Download pdf - Sintonia de Controladores PID - dt.fee.unicamp.brvargas/principiosCap12.pdf · • Métodos de sintonia automática vêm sendo desenvolvidas e algumas ... R(s) Y(s) 4500K s(s+361.2)

Sintonia de Controladores PID

• Objetivo: Determinar Kp, Ki e Kd de modo a satisfazer

especificacoes de projeto.

Os efeitos independentes dos ganhos Kp, Ki e Kd na resposta de malha fechadado sistema sao resumidos na Tabela seguinte:

tr MO ts ess Estabilidade

↑ Kp Decresce Aumenta Aumenta pouco Decresce Degrada↑ Ki Decr. Pouco Aumenta Aumenta Decr. Muito Degrada↑ Kd Decr. Pouco Decresce Decresce Influi Pouco Melhora

Figura: Controle PID de uma planta.

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B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil


• PID apresenta muitas vantagens. A industria percebeu isso, o que justificaque a maior parte dos controladores industriais empregam esquemas decontrole baseados em PID.

• Os controladores PID na industria comumente sao ajustadosempiricamente (tentativa-erro).

• Metodos de sintonia automatica vem sendo desenvolvidas e algumasimplementacoes industriais de controlador PID tem a capacidade deefetuar a sintonia automatica on-line.

• Regras empıricas sao propostas na literatura e permitem ajustar osparametros do PID sem conhecimento do modelo matematico da planta.

• Tais regras fornecem estimativas dos valores dos parametros docontrolador e proporcionam um ponto de partida para uma sintonia maisfina, caso necessaria.

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+−

R(s) Y (s)Gp(s)Gc(s)

plantacontrolador

entrada saıda

• O controlador e

Gc(s) = Kp +Ki

s+ Kds.

Objetivo: Como escolher Kp, Ki e Kd de modo a satisfazer

especificacoes de projeto?

• A resposta pode ser muito difıcil de se obter.

• A literatura sugere alguns metodos, mas estes ainda possuem muitaslimitacoes.

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PD – Estudo de caso

ProjetoDesejamos projetar um controlador de posicao para um aviao.

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+−R(s) Y (s)

Gp(s)Gc(s)

plantacontrolador

entrada saıda

Esquematico em blocos do aviaoO esquematico em blocos do aviao pode ser representado de uma maneirasimplificada pelo diagrama de blocos acima no qual

Gp(s) =4500K

s(s + 361.2)

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+−

R(s) Y (s)4500K

s(s+361.2)Gc(s)

plantacontrolador

entrada saıda

ProjetoDetermine o controlador Gc(s) de modo que:(a) Erro estacionario devido a entrada rampa unitaria ≤ 0.000433.

(b) Maximo overshoot ≤ 5%.

(c) Tempo subida tr ≤ 0.005 seg.

(d) Tempo assentamento ts ≤ 0.005 seg.

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Solucao 1: Vamos adotar o controlador no formato proporcional:

Gc(s) = 1

Para satisfazer item (a), temos

lims→0

sG(s) = 12.45K .

Entao

0.000443 ≥ ee =1

12.45K⇒ K ≥ 181.18.

Usando a malha fechada

4500K

s(s + 361.2) + 4500K=

ω2n

s2 + 2ξωns + ω2n

e adotando K = 181.18 encontramos ξ = 0.2. Este valor produz maximoovershoot de 52.7% que nao satisfaz especificacao. Aumentando-se K

tambem aumenta Movershoot. Conclusao: controlador proporcional naoatende o projeto.

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Solucao 2:Vamos adotar o controlador PD:

Gc(s) = Kp + Kds

Vamos adotar K = 181.18 . Entao a nova G(s) resultante (ou sejaG(s) = Gc(s)Gp(s)) e

G(s) =815265(Kp + Kds)

s(s + 361.2)

⇒ M(s) =815265(Kp + Kds)

s2 + (361.2 + 815265Kd)s + 815265Kp

Para calcular a especificacao do item (a) temos:

Kv = lims→0

s

(

815265(Kp + Kds)

s(s + 361.2)

)

= 2257.1Kp

Entao

0.000443 ≥ ee =1

Kv

=1

2257.1Kp

⇒ Kp ≥ 1 .

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Vamos considerar Kd muito pequeno, ou seja, Kd ≈ 0. Entao

M(s) =815265(Kp + Kds)

s2 + (361.2 + 815265Kd)s + 815265Kp

≈815265Kp

s2 + (361.2 + 815265Kd)s + 815265Kp

=ω2n

s2 + 2ξωns + ω2n

Logo

2ξωn = 361.2 + 815265Kd ω2n = 815265Kp

Para satisfazer item (b) temos que Mo≤ 0.05, o que implica em

ξ = −ln(0.05)

√

π2 + ln2(0.05)= 0.7

Portanto Mo≤ 0.05 requer 0.7 ≤ ξ < 1. Vamos adotar ξ = 0.7 .

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Vamos adotar Kp = 1 pois satisfaz item (a). Lembre-se que

2ξωn = 361.2 + 815265Kd ω2n = 815265Kp (1)

Entao usamos a Eq. (1) para encontrar ωn = 902.92 e Kd = 0.001107. Comestes valores calculamos

tr =0.8 + 2.5ξ

ωn

= 0.00282 seg. ts =4

ξωn

= 0.00632 seg.

O tempo ts nao atende especificacao.

E necessario escolher outro valor para Kp. Vamos entao agora adotar Kp = 10pois satisfaz item (a). Usando a Eq. (1) novamente encontramosωn = 2855.28 e Kd = 0.00446. Com estes valores calculamostr = 0.00089 seg.; ts = 0.002 seg. Agora sim as especificacoes sao satisfeitas eKd encontrado“e muito pequeno”.

• Conclusao: Kp = 10 e Kd = 0.00446 atendem as especificacoes

desejadas para o controlador de posicao do aviao.

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PI – Estudo de caso

+−

R(s) Y (s)815265s(s+361.2)

Gc(s)

plantacontrolador

entrada saıda

ProjetoDetermine o controlador Gc(s) de modo que:(a) Erro estacionario devido a entrada parabolica unitaria ≤ 0.2.

(b) Maximo overshoot ≤ 5%.

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Solucao:Vamos adotar o controlador PI:

Gc(s) = Kp +Ki

s

Entao a nova G(s) resultante (ou seja G(s) = Gc(s)Gp(s)) e

G(s) =815265(Kp + Ki/s)

s(s + 361.2)=

815265Kp(s + Ki/Kp)

s2(s + 361.2)

Para calcular a especificacao do item (a) temos:

Ka = lims→0

s2(

815265Kp(s + Ki/Kp)

s2(s + 361.2)

)

=815265Ki

361.2= 2257.1Kp

Entao

0.2 ≥ ee =1

Ka

=1

2257.1Kp

⇒ Ki ≥ 0.002215 .

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Para satisfazer item (b) temos que Mo≤ 0.05, o que implica em

ξ = −ln(0.05)

√

π2 + ln2(0.05)= 0.7

Portanto Mo≤ 0.05 requer 0.7 ≤ ξ < 1. Vamos adotar ξ = 0.7 .

Vamos considerar Ki/Kp muito pequeno, ou seja, Ki/Kp ≈ 0. Entao

G(s) =815265Kp(s + Ki/Kp)

s2(s + 361.2)≈

815265Kp

s(s + 361.2)

Usando essa G(s) aproximada acima encontramos

M(s) ≈815265Kp

s2 + 361.2s + 815265Kp

=ω2n

s2 + 2ξωns + ω2n

Logo

2ξωn = 361.2 ω2n = 815265Kp

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Usando ξ = 0.7 nas formulas

2ξωn = 361.2 ω2n = 815265Kp

obtemos ωn = 255.4 e Kp = 0.08.Perceba que a unica restricao que nos e imposta e que Ki/Kp seja muitopequeno, ou seja, Ki/Kp ≈ 0. Aqui adotamos“muito pequeno”como sendo

Ki

Kp

= 0.5 pois esse valor quando comparado ao 815265 e desprezıvel.

• Conclusao: Kp = 0.08 e Ki = 0.04 satisfazem as especificacoes do

projeto.

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PI – Estudo de caso

A figura mostra a influencia da escolha de Ki/Kp no maximo overshoot,tempo de subida tr e tempo de assentamento ts .

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Discussao de Metodos

Fatos

• Note que nos metodos anteriores realizamos um desenvolvimentoalgebrico-matematico para determinar Kp e Ki (ou Kp e Kd). Naodesenvolvemos metodo para computo simultaneo dos tres parametros Kp,Ki , e Kd .

• Os metodos anteriores necessitam de um modelo matematico G(s). Sem oconhecimento de G(s) nao se pode aplicar os metodos.

• Os metodos anteriores so se aplicam para restricoes basicas em controle,tais como o maximo overshoot, tempo de subida, tempo de assentamento.

• Os metodos anteriores so se aplicam para sistemas de ordem pequena,grau 2.

• Ha metodos mais elaborados que tratam de sistemas de ordem superior a2, mas nao ha garantia de cumprimento das especificacoes.

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Metodos Baseados na Curva de Reacao

• Baseados na resposta experimental da planta (em malha aberta) ao sinalde excitacao em degrau. Aplica-se entrada degrau na entrada e observa sea saıda possui um formato em“S”.

Figura: Resposta ao degrau unitario de uma planta.

• Caso a planta nao possua integradores nem polos complexos, a resposta aodegrau pode ter o aspecto de um“S”(curva de reacao). Os metodosbaseados na curva de reacao se aplicam somente em plantas com respostaao degrau que tenham esse aspecto.

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A curva em“S”pode ser caracterizada pelo ganho estatico K , pelo atraso L ea constante de tempo T . A funcao de transferencia pode ser aproximada porum sistema de primeira ordem com atraso de transporte. A funcao detransferencia e−Ls corresponde a um atraso no tempo. Daı o nome atraso detransporte (ou tempo morto).

Y (s)

R(s)=

K e−Ls

Ts + 1

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A seguir sao apresentadas tres formas distintas de se obter K , L e T . Naprimeira forma, desenha-se uma linha tangente ao ponto de inflexao edetermina-se a interseccao desta linha com c(t) = 0 e c(t) = K . T e dadopela distancia AC , enquanto que L e dado pela distancia desde a origem ate oponto de interseccao da reta tracada com o eixo t. A inclinacao da reta eP = K

T, como mostrado na Figura.

Figura: Curva de resposta em forma de“S”.

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Metodo 1 de Ziegler e Nichols:

• Ziegler e Nichols sugeriram escolher Kp, Ti e Td de acordo com a seguintetabela:

Controlador Kp Ti Td

PT

KL∞ 0

PI0.9T

KL

L

0.30

PID1.2T

KL2L 0.5L

• O metodo Ziegler-Nichols considerou a forma de identificacao curva“S”.Os valores nesta tabela foram determinados de forma empırica. Ocontrolador PID sintonizado por esse metodo fornece

Gc(s) = Kp

(

1 +1

Tis+ Tds

)

=0.6

P

(

s + 1L

)2

s, (2)

Controlador Z-N possui um polo na origem e zeros duplos em s = −1/L.20 of 33


Metodo de Cohen-Coon:


PT

KL

(

1 +0.35τ

1− τ

)

∞ 0

PI0.9T

KL

(

1 +0.92τ

1− τ

)

3.3− 3τ

1 + 1.2τ0

PID1.35T

KL

(

1 +0.18τ

1 − τ

)

2.5− 2τ

1− 0.39τL

0.37− 0.37τ

1− 0.81τL

τ = L/(L+ T ) .

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Metodo de Chien-Hrones-Reswick (CHR):

Chien, Hrones and Reswick (CHR) propuseram dois criterios de sintonia:resposta mais rapida com 0% de ultrapassagem e resposta mais rapida com20% de ultrapassagem.

Sobresinal 0% 20%

Controlador Kp Ti Td Kp Ti Td

P 0.3TKL

0.7TKL

PI 0.35TKL

1.2T 0.6TKL

T

PID 0.6TKL

T 0.5L 0.95TKL

1.4T 0.47L

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ExemploConsidere um processo a ser controlado com a seguinte funcao detransferencia

G(s) =1

(s + 0.5)(s + 1)(s + 1)(s + 2)

O sistema de controle engloba um controlador PID em serie com a planta(compensacao em serie) e realimentacao unitaria.Utilize o metodo de sintonia de Ziegler-Nichols em malha aberta para obteruma estimativa dos parametros de controlador PID.

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Figura: A resposta ao degrau de G(s).

Solucao: Verifica-se que L = 1.3; T = 5.45; K = 1. Logo, segundo o metodode Ziegler e Nichols da curva de reacao, tem-se que Kp = 5.03; Ti = 2.6;Td = 0.65. A funcao de transferencia do controlador PID e dada por

Gc(s) = 3.27(s + 0.7692)2

s(3)

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Figura: Reposta ao degrau do sistema em malha fechada.

Os valores Kp = 5.03; Ti = 2.6; Td = 0.65 geram resposta bastanteoscilatoria. Note todavia que a regra permite se ter um ponto de partidapara, logo apos, realizar-se uma sintonia fina.

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Metodos Baseados na Sensibilidade Limite

• Baseado na resposta em malha fechada do sistema de controle,considerando, inicialmente, somente a acao proporcional Kp para levar osistema a condicao de oscilacao sustentada.

• Inicialmente, assuma Ti = ∞ e Td = 0.

• Utilizando apenas a acao proporcional, aumente Kp de 0 a Kcr , no qual asaıda atinja uma oscilacao sustentada, ou seja, o sistema equivalentetorne-se marginalmente estavel.

• Se a saıda nao apresentar uma oscilacao sustentada, entao esse metodonao se aplica, ou seja, o sistema deve ser capaz de instabilizar com oaumento do ganho para que o metodo seja aplicado.

Figura: Sistema em malha fechada com controlador proporcional.

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Metodos Baseados na Sensibilidade Limite

Figura: Oscilacao sustentada com perıodo Pcr .

• Se a saıda apresentar uma oscilacao sustentada, entao marque o valor Pcr .A formula a seguir e valida:

Pcr =2π

ωcr

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Metodo 2 de Ziegler e Nichols

Ziegler e Nichols sugeriram escolher Kp, Ti e Td de acordo com a seguintetabela:


P 0.5Kcr ∞ 0

PI 0.45KcrPcr

1.2 0

PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr

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Metodo 2 de Tyreus e Luyben

Tyreus e Luyblen propuseram uma tabale para o ajusta dos parametros doscontroladores PI e PID, baseados na sensibilidade limite.


PI Kcr/3.2 2.2Pcr 0

PID Kcr/2.2 2.2Pcr Pcr/6.3

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Exercıcio

Considere o sistema de controle acima. Considere

G(s) =1

s(s + 1)(s + 5)

Aplique o 2o. metodo de Ziegler-Nichols para obter um controlador PID.

Solucao: A funcao de transferencia de malha fechada do sistema considerandoTi = ∞ e Td = 0 e dado por

Y (s)

R(s)=

GC (s)G(s)

1 + GC (s)G(s)=

Kp

s(s + 1)(s + 5) + Kp

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O valor de Kp que leva o sistema a uma oscilacao sustentada (Kcr ) pode serobtido pelo criterio de Routh-Hurwitz.

s3 1 5s2 6 Kp

s130− Kp

6s0 Kp

Como isso, Kcr = 30. A frequencia de oscilacao sustentada e encontradasubstituindo-se s = jω na equacao caracterıstica, ou seja,

(jω)3 + 6(jω)2 + 5(jω) + 30 = 0⇒ 6

(

5− ω2)

+ jω(

5− ω2)

= 0.

Logo, ω2 = 5 ⇒ ω =√5. Portanto,

Pcr =2π

ω=

2π√5= 2, 8099.

Encontramos:

Kp = 0.6Kcr = 18Ti = 0.5Pcr = 1.405Td = 0.125Pcr = 0.35124

.

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A funcao de transferencia do controlador PID e dada por

GC (s) = Kp

(

1 +1

Tis+ Tds

)

= 18

(

1 +1

1.405s+ 0.35124s

)

=6.3223 (s + 1.4235)2

s

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Dica de atividades

Dica

1. Fazer os Exercıcios apresentados no livro K. OGATA,“Engenharia deControle Moderno”.

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