i
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS DAN
APLIKASINYA DALAM MASALAH RAMP HANDLING PESAWAT
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
REGINA WAHYUDYAH SONATA AYU
NIM :111414060
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
HALAMAN PENGESAHAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
All Things are Difficult Before They are Easy
(Thomas Fuller)
Mistakes are Often The Best Teachers
(James A. Froude)
The Noblest Pleasure is The Joy of Understanding
(Leonardo da Vinci)
Karya ini kupersembahkan kepada:
Tuhan Yesus dan Bunda Maria yang senantiasa menyertaiku
Bapa Ambros dan Mama Rosalia
Kakak Tian, Kakak Tini, Kakak Andy, Kakak Yovan dan Adik Etu
Keponakanku Chiko
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Regina Wahyudyah Sonata Ayu, 2015. Sistem Persamaan Linear Aljabar
Max-Plus dan Aplikasinya dalam Masalah Ramp Handling Pesawat. Skripsi.
Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan,
Universitas Sanata Dharma.
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji penyelesaian sistem
atas aljabar max-plus dengan ,
, , dan
serta aplikasinya dalam masalah ramp handling pesawat. Penelitian ini diawali
dengan mengkaji sub-penyelesaian terbesar dari sistem persamaan
yang kemudian menjadi calon penyelesaian sistem. Selanjutnya, diselidiki
mengenai eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan .
Langkah berikutnya adalah membahas aplikasi sistem atas aljabar
max-plus dalam masalah ramp handling pesawat di bandara.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa sistem atas aljabar max-
plus dapat tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai penyelesaian tunggal, atau
mempunyai takhingga banyak penyelesaian. Diberikan matriks dengan
elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . Sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian bila terdapat
baris nol dalam matriks , mempunyai satu penyelesaian bila terdapat lone one
pada setiap baris matriks dan mempunyai takhingga banyak penyelesaian bila
terdapat elemen slack dalam matriks . Aplikasi sistem persamaan
dalam masalah ramp handling adalah untuk menentukan waktu mulai paling
lambat bagi setiap aktivitas ramp handling sehingga semua aktivitas tersebut telah
selesai pada waktu keberangkatan pesawat.
Kata kunci: Aljabar Max-Plus, Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus,
Ramp Handling.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Regina Wahyudyah Sonata Ayu, 2015. System of Linear Equations in Max-
Plus Algebra and Its Application in Aircraft Ramp Handling Problem. Thesis.
Mathematic Education Study Program, Mathematic and Science Education
Departement, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma
University, Yogyakarta.
This research aims to study the solution to system of over max-
plus algebra where ,
, , and its application
in aircraft ramp handling problem. This research is started by studying the
principal sub-solution that is the candidate for solution of .
Furthermore, the existence and the uniqueness of the solution to are
investigated. The next step is discussing the application of system of
over max-plus algebra in aircraft ramp handling problem at airport.
The result shows that the system of has either no solution, one
solution or an infinite number of solutions. Let with elements in each
column are not all equal to and . System of has no solution if
there is a zero-row in , has one solution if each row of has a lone one and
has an infinite number of solutions if there are slack entries in . The
application of system of in aircraft ramp handling problem is to
determine the latest starting times for each ramp handling activity so that all of the
activities are completed at the departure time of the plane.
Key word: Max-Plus Algebra, System of Linear Equations in Max-Plus Algebra,
Ramp Handling.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena
atas berkat dan rahmat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul
“Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus dan Aplikasinya dalam Masalah
Ramp Handling Pesawat”. Skripsi ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu
syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi
Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas
Sanata Dharma Yogyakarta.
Banyak hambatan dan rintangan yang dialami oleh penulis selama
penyusunan skripsi ini. Namun atas bantuan dan dukungan dari berbagai pihak,
maka penulis dapat mengatasi segala hambatan dan rintangan yang dialami. Oleh
karena itu, pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terima kasih
kepada:
1. Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Kaprodi Pendidikan Matematika
Universitas Sanata Dharma sekaligus dosen pembimbing skripsi yang
telah membimbing, memberikan kritikan dan masukan yang membangun
dalam penyusunan skripsi ini.
2. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan.
3. Kedua orang tuaku, Bapak Ambrosius Madut dan Ibu Rosalia Nuet serta
saudara-saudaraku, Kristianus Panjo Candra, Kristiana Deti Sajutin,
Didimus Andi Gunawan, Yuventus Yonavan Cahyono, dan Hersintus
Suwenda Syah Suyoso yang senantiasa menyayangi dan mendukung
penulis baik lewat doa, perhatian maupun dukungan materi.
4. Ibu Veronika Fitri Rianasari, S.Pd. M.Sc. selaku dosen pembimbing
akademik yang telah membantu dan membimbing penulis terutama
berkaitan dengan hal akademis selama penulis menempuh kuliah di
Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.
5. Bapak dan Ibu dosen di Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sanata Dharma yang telah membimbing dan mendidik penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
selama menuntut ilmu di Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sanata Dharma..
6. Sahabat-sahabatku, Margaretha Nobilio Pasia Janu, Ana Karisma Adi
Purwito, Theresia Veni Dwi Lestari, Yuliana Pebri Heriawati, Pilipus Neri
Agustima dan Singgih Satriyo Wicaksono yang telah menemaniku serta
berbagi suka duka selama menempuh kuliah di Universitas Sanata
Dharma.
7. Adik-adikku tersayang, Imak, Itak dan Elisa serta teman-temanku, Yos,
Eki dan Charles yang senantiasa mendukung dan menyemangati penulis
dalam menyelesaikan tulisan ini.
8. Teman-teman seperjuangan di Program Studi Pendidikan Matematika
Universitas Sanata Dharma angkatan 2011 yang telah berbagi pengalaman
selama penulis menempuh kuliah di Universitas Sanata Dharma.
9. Semua pihak yang telah membantu penulis menyelesaikan tugas akhir ini,
baik secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat disebutkan
satu persatu.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan
skripsi ini. Oleh karena itu, dengan rendah hati, penulis mengharapkan kritik dan
saran yang membangun demi kesempurnaan tulisan ini. Semoga tulisan ini dapat
memberikan manfaat dan wawasan yang lebih kepada setiap pembaca.
Yogyakarta, 17 Juni 2015
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH .. vi
ABSTRAK ............................................................................................................ vii
ABSTRACT ......................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix
DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi
DAFTAR SIMBOL .............................................................................................. xiii
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1
A. Latar Belakang ........................................................................................ 1
B. Rumusan Masalah .................................................................................. 4
C. Batasan Masalah ..................................................................................... 4
D. Tujuan Penelitian .................................................................................... 4
E. Manfaat Penelitian .................................................................................. 5
F. Metode Penelitian ................................................................................... 5
G. Sistematika Penulisan ............................................................................. 5
BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................. 7
A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Aljabar Max-Plus .................................... 7
B. Matriks dan Vektor atas Aljabar Max-Plus .......................................... 12
BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS ................ 21
A. Sub-Penyelesaian Terbesar ................................................................... 22
B. Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian Sistem Persamaan
...............................................................................................................25
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
C. Penyelesaian Sistem Persamaan dengan Program MATLAB
...............................................................................................................44
BAB IV APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS
DALAM MASALAH RAMP HANDLING PESAWAT ...................... 50
A. Ramp Handling ..................................................................................... 50
B. Aplikasi Sistem Persamaan dalam Masalah Ramp Handling 52
BAB V PENUTUP ................................................................................................ 60
A. Kesimpulan ........................................................................................... 60
B. Saran ..................................................................................................... 61
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 62
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR SIMBOL
( ) : himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua operasi biner
dan
: himpunan semua bilangan real
:
: * +
: operasi max
: operasi plus ( )
: ( )
: { [ ] }
: { , -
}
: himpunan semua bilangan asli
: relasi “lebih kecil atau sama dengan” dalam aljabar max-plus
: matriks „discrepancy‟
: matriks hasil reduksi
: tanda akhir pembuktian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Aljabar merupakan cabang matematika yang menggeneralisasi bentuk
aritmatika dengan menggunakan variabel-variabel untuk menggantikan bilangan-
bilangan. Aljabar memiliki ruang lingkupnya sendiri antara lain aljabar dasar,
aljabar linear, aljabar abstrak, dan sebagainya. Salah satu ruang lingkup aljabar
yang masih tergolong baru adalah aljabar max-plus. Menurut Andersen (2002),
aljabar max-plus muncul pada akhir tahun 1950‟an segera setelah topik mengenai
Riset Operasi mulai dikembangkan. Sementara itu, menurut Butkovič (2000),
aljabar max-plus telah dipelajari dan ditulis dalam bentuk makalah-makalah
penelitian dan buku-buku pada awal 1960‟an dan dikembangkan secara intensif
sejak tahun 1985.
Aljabar max-plus merupakan suatu contoh semiring yang terdiri dari
himpunan * + dengan merupakan himpunan semua bilangan real, yang
dilengkapi dengan operasi maksimum, dinotasikan dengan dan operasi
penjumlahan, dinotasikan dengan . Dalam aljabar max-plus, operasi
penjumlahan didefinisikan sebagai operasi maksimum sedangkan operasi
perkalian didefinisikan sebagai operasi penjumlahan. Selanjutnya, ( * +, ,
) dinotasikan dengan dan * + dinotasikan dengan . Elemen
merupakan elemen netral terhadap operasi dan 0 merupakan elemen identitas
terhadap operasi .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Sebagai suatu semiring, aljabar max-plus merupakan semiring komutatif
sekaligus idempoten (Subiono, 2013). Lebih jauh, aljabar max-plus merupakan
semifield sebab untuk setiap di * + memiliki invers terhadap operasi ,
yakni ( * +)( * +)
.
Sama halnya dalam aljabar linear, pasangan operasi ( ) dalam aljabar
max-plus juga dapat diperluas untuk operasi matriks atas aljabar max-plus.
Demikian juga, penjumlahan matriks atas aljabar max-plus hanya terdefinisi untuk
matriks dengan ukuran yang sama. Matriks atas aljabar max-plus kemudian
digunakan dalam merepresentasikan sistem persamaan linear aljabar max-plus
untuk kemudian dicari penyelesaiannya. Representasi sistem persamaan linear
yang dimaksud serupa dalam aljabar linear yakni berupa persamaan matriks
. Namun demikian, berbeda dengan aljabar linear, aljabar max-plus
tidak memiliki invers terhadap penjumlahan. Hal ini menyebabkan cara
menyelesaikan sistem persamaan linear aljabar max-plus berbeda dengan sistem
persamaan linear dalam aljabar biasa. Penyelesaian sistem persamaan linear
aljabar max-plus, sebagaimana dalam aljabar biasa, tidak selalu ada dan bila ada
tidak selalu tunggal.
Kehadiran sistem linear aljabar max-plus sangat membantu dalam
memodelkan serta menganalisa Discrete Event System (DES) seperti sistem
transportasi, sistem komunikasi, sistem produksi, sistem komputasi paralel, dan
sebagainya. Namun demikian, menurut Subiono (2013), pendekatan aljabar max-
plus diterapkan pada sistem yang hanya mempertimbangkan sinkronisasi tanpa
konkurensi. Sinkronisasi berkaitan dengan ketersediaan beberapa sumber dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
waktu bersamaan sedangkan konkurensi tampak ketika pada suatu saat seorang
pengguna harus memilih beberapa sumber.
Penanganan pesawat di bandara atau lebih dikenal dengan istilah ramp
handling merupakan salah satu masalah sinkronisasi. Ramp handling merupakan
penanganan pesawat yang dilakukan di ramp area, yakni suatu pelataran yang ada
di bandara. Ramp handling meliputi beberapa kegiatan antara lain
deplane/boarding, loading/unloading, refueling, dan lain-lain. Masing-masing
kegiatan memiliki durasi waktu yang berbeda untuk tiap pesawat. Kegiatan-
kegiatan ini dilakukan secara simultan dan harus selesai pada waktu yang sudah
ditentukan. Karena itu, perlu ditentukan waktu mulai paling lambat untuk setiap
kegiatan sehingga semua kegiatan dipastikan telah selesai pada waktu
keberangkatan (departure time) pesawat-pesawat dari bandara. Masalah ramp
handling ini terkait dengan masalah penyelesaian sistem persamaan linear
dimana matriks menyatakan durasi tiap kegiatan ramp handling
untuk tiap pesawat, vektor menyatakan ground time pesawat dan akan
ditentukan vektor yang menyatakan waktu mulai paling lambat untuk tiap
kegiatan ramp handling.
Berdasarkan penjabaran di atas, penulis tertarik untuk mengkaji lebih jauh
mengenai sistem persamaan linear aljabar max-plus serta aplikasinya dalam
masalah ramp handling pesawat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
B. Rumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah
1. Bagaimana menentukan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear
aljabar max-plus?
2. Bagaimana eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari suatu sistem
persamaan linear aljabar max-plus?
3. Bagaimana aplikasi sistem persamaan linear aljabar max-plus dalam masalah
ramp handling pesawat?
C. Batasan Masalah
Pembahasan masalah dalam skripsi ini hanya dibatasi pada sistem persamaan
linear aljabar max-plus berbentuk A x = b, sedangkan aplikasinya hanya
dibatasi pada masalah ramp handling pesawat di bandara.
D. Tujuan Penelitian
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk:
1. Mengetahui bagaimana cara menentukan penyelesaian sistem persamaan
linear aljabar max-plus berbentuk A x = b.
2. Mengetahui bagaimana eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem
persamaan linear aljabar max-plus A x = b.
3. Mengetahui bagaimana aplikasi sistem persamaan linear aljabar max-plus
tersebut dalam masalah ramp handling pesawat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
E. Manfaat Penelitian
Manfaat yang diperoleh melalui penulisan skripsi ini adalah:
1. Bagi penulis
Bila dalam perkuliahan penulis mempelajari struktur aljabar atas field,
melalui penelitian ini penulis mendapat pengetahuan baru tentang contoh
struktur aljabar lain yakni aljabar max-plus lebih khusus lagi mengenai sistem
persamaan linear aljabar max-plus. Selain itu, penelitian ini juga menambah
wawasan penulis mengenai aplikasi sistem persamaan linear aljabar max-plus
dalam masalah ramp handling pesawat di bandara.
2. Bagi pembaca
Pembaca dapat memahami sistem persamaan linear A x = b dalam aljabar
max-plus serta aplikasinya dalam masalah ramp handling pesawat di bandara.
F. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode studi pustaka, yaitu
dengan membaca dan mempelajari buku-buku, jurnal-jurnal serta tesis-tesis yang
berkaitan dengan topik skripsi.
G. Sistematika Penulisan
Tulisan ini akan mengkaji tentang sistem persamaan linear aljabar max-
plus dan aplikasinya dalam masalah ramp handling pesawat. Untuk itu, tulisan ini
akan dibagi dalam lima bab. Pada Bab I, terlebih dahulu akan dibahas mengenai
latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat
penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan skripsi ini. Selanjutnya,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
pada Bab II akan dibahas mengenai definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus,
dan vektor dan matriks atas aljabar max-plus yang akan melandasi pembahasan
mengenai sistem persamaan linear aljabar max-plus dan aplikasinya dalam
masalah ramp handling pesawat.
Inti dari tulisan ini terdapat dalam Bab III dan Bab IV. Pada Bab III akan
dibahas mengenai sistem persamaan linear aljabar max-plus yang meliputi sub-
penyelesaian terbesar, eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan
A x = b. Pada bab ini juga diberikan penyelesaian sistem persamaan A x = b
dengan program MATLAB guna mempermudah perhitungan, sedangkan pada Bab
IV akan dibahas mengenai ramp handling dan aplikasi sistem persamaan A x =
b dalam masalah ramp handling.
Bagian terakhir dalam tulisan ini adalah Bab V yang berisi kesimpulan
dari pembahasan pada Bab III dan Bab IV serta beberapa saran yang dapat
digunakan dalam penelitian selanjutnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
7
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang diperlukan sebagai
landasan teori dalam pembahasan mengenai sistem persamaan linear aljabar max-
plus dan aplikasinya dalam masalah ramp handling pesawat. Pembahasan akan
dibagi menjadi dua bagian, yakni: definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus
serta matriks dan vektor atas aljabar max-plus.
A. Definisi dan Sifat-sifat Dasar Aljabar Max-Plus
Berikut ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus.
Pembahasan akan diawali dengan definisi semiring.
Definisi 2.A.1
Suatu semiring (S, ) adalah suatu himpunan tak kosong S disertai dengan
dua operasi biner dan yang memenuhi:
1. (S, ) komutatif dan asosiatif serta memiliki elemen netral, yakni:
a.
b. ( ) ( )
c. ( )( )
2. (S, ) asosiatif serta memiliki elemen identitas, yakni:
a. ( ) ( )
b. ( )( )
3. Sifat penyerapan elemen netral terhadap operasi , yakni:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
4. Operasi distributif terhadap (distributif kiri dan distributif kanan),
yakni berlaku
a. ( ) ( ) ( ) (distributif kiri)
b. ( ) ( ) ( ) (distributif kanan)
Contoh 2.A.1
Diberikan * + dengan himpunan semua bilangan real, :=
dan := 0. Kemudian, dalam didefinisikan operasi dan yakni
berlaku:
( ) dan
Selanjutnya akan ditunjukkan ( , ) merupakan semiring.
Bukti:
( , ) semiring sebab:
1. ( ) komutatif dan asosiatif serta memiliki elemen netral, yakni:
a. ( ) ( )
b. ( ) * ( ) + ( )
* ( )+ ( )
c. ( )( ) ( )
( )
2. ( , ) asosiatif serta memiliki elemen identitas, yakni:
a. ( ) ( ) ( )
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
b. ( )( )
3. Sifat penyerapan elemen netral terhadap operasi , yakni:
( )
4. Operasi distributif terhadap , yakni berlaku
a. ( ) ( )
( ) ( ) ( )
b. ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( , ) kemudian cukup ditulis . Selanjutnya akan
diberikan definisi mengenai dua semiring khusus, yakni semiring komutatif dan
semiring idempoten.
Definisi 2.A.3
Suatu semiring (S, ) merupakan semiring komutatif bila dan hanya bila
berlaku sifat komutatif terhadap operasi , yakni .
Definisi 2.A.4
Suatu semiring (S, ) merupakan semiring idempoten bila dan hanya bila
berlaku sifat idempoten terhadap operasi , yakni
Contoh 2.A.2
Semiring merupakan semiring komutatif sekaligus semiring idempoten.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Bukti:
a. Semiring merupakan semiring komutatif sebab :
.
b. Semiring merupakan semiring idempoten sebab :
( )
Lebih lanjut, dalam Subiono (2013) didefinisikan mengenai semifield
yang merupakan ragam khusus dari semiring komutatif.
Definisi 2.A.5
Suatu semiring komutatif ( ) disebut semifield bila dan hanya bila setiap
elemen a di * + mempunyai invers terhadap operasi , yaitu (
)( ) .
Contoh 2.A.3
Semiring komutatif merupakan semifield.
Bukti:
semifield sebab ( * +)( * +)
( ) ( ) ( ) .
Struktur aljabar ( , ) inilah yang kemudian disebut sebagai aljabar
max-plus. Elemen-elemen akan disebut juga sebagai skalar (Rudhito, 2003).
Sama halnya dalam aljabar biasa, operasi perkalian dikerjakan terlebih
dahulu sebelum operasi penjumlahan, demikian juga halnya dalam aljabar max-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
plus, operasi mempunyai prioritas daripada operasi . Berikut ini diberikan
beberapa contoh yang mengilustrasikan operasi-operasi dalam .
Tabel 1: Pengoperasian dalam .
Operasi dalam Arti Hasil
( ) 3
( ) 9
( ) 4
16
7
( ) ( ) 6
( ) ( ) 8
Bila dalam field bilangan real terdapat elemen invers terhadap operasi +,
tidak demikian halnya dalam . merupakan semiring idempoten
sehingga menyebabkan tidak memiliki invers terhadap operasi . Hal ini
ditunjukkan dalam teorema berikut.
Teorema 2.A.1 (Farlow, 2009)
Diberikan semiring ( ). Sifat idempoten dari berakibat bahwa
elemen invers terhadap tidak ada .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Bukti:
memiliki invers terhadap operasi yakni dirinya sendiri di mana
( )
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa untuk setiap elemen dalam * + tidak
memiliki invers yakni dengan mengambil sebarang * +. Misalkan bahwa
mempunyai invers terhadap yaitu , didapat .
Tambahkan pada kedua ruas persamaan, didapat
Dengan sifat idempoten, persamaan menjadi . Hal ini bertentangan
dengan .
Hal inilah yang kemudian membedakan aljabar max-plus dengan aljabar
konvensional.
B. Matriks dan Vektor atas Aljabar Max-Plus
Pada bagian ini akan dibahas mengenai matriks dan vektor atas aljabar
max plus serta relasi urutan di dalamnya. Himpunan matriks berukuran
dalam aljabar max-plus dinotasikan dengan untuk . Elemen
pada baris ke dan kolom ke dinotasikan dengan atau , - untuk
dan Dalam hal ini matriks direpresentasikan
sebagai berikut
[
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Serupa dalam matriks real, pada matriks atas aljabar max-plus juga dapat
didefinisikan operasi penjumlahan matriks, perkalian skalar, dan perkalian
matriks. Selain itu, pada matriks atas aljabar max-plus juga dapat didefinisikan
transpos matriks.
Definisi 2.B.1
Diberikan matriks , dan . Elemen ke-ij dari penjumlahan
matriks , perkalian skalar , serta transpos matriks didefinisikan
sebagai
1. , - ( ), untuk dan
2. , - , untuk dan
3. , - , untuk dan
Contoh 2.B.1
Diberikan matriks [
] dan [
], maka
a. [
] [
]
b. [
] [
]
c. [
]
Definisi 2.B.2
Misalkan
dan
maka elemen ke-ij dari perkalian matriks
didefinisikan sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
, -
, ,
Contoh 2.B.2
Diberikan matriks [
] dan [
], maka
[
] [
]
[
]
[
]
[
]
Teorema 2.B.1 (Rudhito, 2003)
Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar dan serta
sebarang matriks , , dan asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi.
1. ( ) ( )
2.
3.
4. ( ) ( )
5. ( ) ( )
6. ( ) ( ) ( )
7. ( ) ( ) ( )
Sifat-sifat lain dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi operasi dan sifat-
sifat operasi dalam Di bawah ini akan diberikan bukti untuk sifat 4.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Bukti:
Misalkan , -
, , -
dan [ ]
. Elemen
ke- kolom ke- matriks ( ) adalah
[( ) ]
(
)
(
)
[ ( )]
( )
Definisi 2.B.3 (Rudhito, 2003)
Didefinisikan matriks dengan , - untuk semua dan .
Selanjutnya akan dibahas mengenai semimodul atas serta relasi
urutan di dalamnya. Definisi semimodul berikut ini mengikuti definisi dalam
Rudhito (2003).
Definisi 2.B.4
Misalkan (S, ) adalah semiring komutatif dengan elemen netral 0 dan
elemen identitas 1. Semimodul M atas S adalah semigrup komutatif (M, )
bersama operasi perkalian skalar ●: , dituliskan sebagai ( )
● yang memenuhi aksioma berikut:
dan berlaku:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
i) ●( ) ● ●
ii) ( )● ● ●
iii) ●( ● ) ( )●
iv) ●
v) ●
Elemen dalam semimodul dinamakan vektor.
Contoh 2.B.3
adalah semimodul atas , dalam hal ini
cukup ditulis
dimana
{ [ ]
}
Untuk setiap dan untuk setiap didefinisikan operasi
dengan
, -
dan operasi perkalian skalar ● dengan
● , -
Berdasarkan Teorema 2.B.1 1 dan 2 maka dapat disimpulkan bahwa ( )
merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral , - .
Selanjutnya, berdasarkan Teorema 2.B.1 5, 6 dan 7 maka dapat disimpulkan
bahwa merupakan semimodul atas .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Definisi 2.B.5
Suatu relasi pada suatu himpunan P dinamakan urutan parsial pada P bila
untuk semua memenuhi:
1. Sifat reflektif, yaitu:
2. Sifat antisimetris, yaitu: jika dan , maka
3. Sifat transitif, yaitu: jika dan , maka
Elemen dan dikatakan komparabel (comparable) jika atau .
Sementara itu, dapat juga ditulis . Jika dan maka ditulis
.
Definisi 2.B.6
Bila setiap dua elemen P komparabel, maka urutan parsial disebut urutan
total.
Definisi 2.B.5 dan Definisi 2.B.6 di atas didasarkan pada definisi
Wohlgemuth (dalam Rudhito, 2003). Berikut ini diberikan suatu teorema yang
berkaitan dengan urutan parsial pada suatu semigrup komutatif idempoten.
Teorema 2.B.2 (Rudhito, 2003)
Jika ( ) semigrup komutatif idempoten maka relasi yang didefinisikan
pada dengan merupakan urutan parsial pada .
Bukti:
Ambil sebarang
1. Karena idempoten maka .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
2. Jika dan maka dan . Karena
komutatif maka .
3. Jika dan maka dan . Karena
semigrup maka berlaku sifat asosiatif. Akibatnya,
( ) ( )
Sehingga .
Akibat 2.B.1 (Rudhito, 2003)
Relasi yang didefinisikan pada dengan
merupakan urutan parsial pada . Lebih lanjut, relasi pada
merupakan urutan total.
Bukti:
Karena ( ) merupakan semigrup komutatif idempoten, maka menurut
Teorema 2.B.2 relasi pada merupakan urutan parsial. Selanjutnya,
untuk setiap berlaku:
( ) atau
( )
Jadi, relasi merupakan urutan total.
Relasi pada ekuivalen dengan relasi pada , sebab
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Akibat 2.B.2 (Rudhito, 2003)
Relasi yang didefinisikan pada dengan
untuk setiap dan merupakan urutan parsial pada .
Bukti:
Berdasarkan Teorema 2.B.1 1, 2, dan 3 nampak bahwa ( ) merupakan
semigrup komutatif idempoten sehingga menurut Teorema 2.B.2 relasi
pada merupakan urutan parsial.
Akibat 2.B.3 (Rudhito, 2003)
Relasi yang didefinisikan pada dengan
untuk setiap merupakan urutan parsial pada .
Bukti:
Berdasarkan Teorema 2.B.1 1, 2, dan 3 nampak bahwa ( ) merupakan
semigrup komutatif idempoten sehingga menurut Teorema 2.B.2 relasi
pada merupakan urutan parsial.
Relasi yang didefinisikan pada di atas bukan merupakan urutan
total sebab terdapat matriks [
] dan [
] sedemikian sehingga
[
] [
] [
] tetapi dan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Demikian juga, relasi yang didefinisikan pada di atas bukan
merupakan urutan total sebab terdapat vektor , - r dan , -
sedemikian sehingga
, - , - , - tetapi dan
Teorema 2.B.3 (Subiono, 2013)
Diberikan . Jika
dengan , maka
( ) ( ).
Bukti:
Ambil sebarang dengan , maka
( )
( ) ( )
( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
BAB III
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS
Sistem persamaan linear yang akan dibahas adalah sistem persamaan
berbentuk dengan ,
, , dan .
Penyelesaian sistem ini adalah himpunan semua vektor sedemikian
sehingga . Sistem persamaan dapat ditulis ulang dalam
bentuk persamaan matriks yang lebih rinci dan kemudian dalam bentuk sistem
ekuivalen persamaan max-plus sebagai berikut
[
] [
] [
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Bila ditulis dalam bentuk baku, maka sistem persamaan di atas menjadi
*( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( )+
}
Penyelesaian sistem persamaan diperoleh dengan
menyelesaikan sistem terakhir di atas secara simultan. Sama halnya dalam aljabar
biasa, penyelesaian sistem persamaan tidak selalu ada. Sistem yang
tidak memiliki penyelesaian ditunjukkan dalam contoh berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Contoh 3.1
Diberikan matriks [
] dan [ ]. Persamaan tidak
mempunyai penyelesaian, sebab bila mempunyai penyelesaian berarti ada
[ ] sehingga
[
] [ ] [
]
Didapat , * + , dan * + . Nampak bahwa
tidak akan ada sehingga * + dan * + .
Jadi, tidak mempunyai penyelesaian.
Di lain pihak, sistem selalu mempunyai penyelesaian
karena untuk diperoleh . Karena itu, masalah
penyelesaian sistem persamaan dapat diperlemah dengan
mendefinisikan konsep sub-penyelesaian terbesar dengan sebelumnya
mendefinisikan konsep sub-penyelesaian.
A. Sub-Penyelesaian Terbesar
Berikut diberikan definisi mengenai sub-penyelesaian dan sub-
penyelesaian terbesar sistem persamaan .
Definisi 3.A
Diberikan dan
. Sub-penyelesaian sistem persamaan
adalah vektor yang memenuhi .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Definisi 3.B
Sub-penyelesaian terbesar adalah vektor terbesar yang memenuhi
, dinotasikan dengan .
Dengan kata lain, untuk setiap sub-penyelesaian dari sistem
persamaan . Sub-penyelesaian terbesar tidak harus merupakan suatu
penyelesaian dari . Sub-penyelesaian terbesar diberikan oleh teorema
berikut.
Teorema 3.A.1 (Rudhito, 2003)
Diberikan dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak
semuanya sama dengan dan , maka
( )
untuk setiap * + dan * +.
Bukti:
{
( )
dan
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
( )
Jadi, sub-penyelesaian dari sistem persamaan adalah setiap vektor
di mana komponen-komponennya memenuhi
( )
Jika vektor ,
- didefinisikan dengan
( )
maka diperoleh:
( )
( )
dan
(
)
Hal ini berarti bahwa merupakan sub-penyelesaian dari sistem persamaan
. Karena ( ) , maka .
Akibatnya, . Jadi, vektor merupakan sub-penyelesaian terbesar dari
sistem persamaan .
Teorema 3.A.1 menjelaskan penyelesaian dari sedangkan
penyelesaian dari dijelaskan dalam teorema berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Teorema 3.A.2 (Butkovič, 2000)
Diberikan dengan elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak
semuanya sama dengan dan . memiliki penyelesaian bila
dan hanya bila adalah penyelesaiannya.
Bukti:
Misalkan merupakan penyelesaian dari sistem . Karena
merupakan sub-penyelesaian terbesar maka . Berdasarkan Teorema
2.B.3 diperoleh
.
Jadi,
B. Eksistensi dan Ketunggalan Penyelesaian Sistem Persamaan
Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas mengenai sub-penyelesaian
terbesar dari sistem persamaan . Pada bagian ini akan dibahas
mengenai eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan .
Berdasarkan Teorema 3.A.2 dapat disimpulkan bahwa eksistensi penyelesaian
sistem persamaan ini ditentukan oleh sub-penyelesaian terbesarnya.
Diberikan matriks dengan elemen-elemen pada setiap
kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . Sub-penyelesaian terbesar
merupakan calon penyelesaian sistem persamaan yakni vektor
dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
[
]
[ ( )
( )
( )]
[ ( )
( )
( )]
[
* +
* +
* +
]
Selanjutnya didefinisikan matriks „discrepancy‟ dinotasikan dengan dimana
[
]
Catatan bahwa setiap dapat ditentukan dengan mengambil nilai maksimum
dari setiap kolom .
Untuk memprediksi banyaknya penyelesaian persamaan , maka
selanjutnya didefinisikan matriks yang merupakan reduksi matriks
sebagai berikut
[ ] di mana {
Di bawah ini akan diberikan contoh-contoh penyelesaian sistem persamaan
.
Contoh 3.2
Tentukan penyelesaian jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
[
], [
], dan [
]
Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks
[
] [
]
[
]
Perhatikan bahwa terdapat elemen bernilai 1 pada tiap baris matriks . Karena
pada tiap kolom matriks pasti terdapat elemen bernilai 1, maka sistem
persamaan pada contoh ini hanya memiliki satu penyelesaian. Elemen-
elemen dari vektor penyelesaian dapat ditentukan dengan mengambil nilai
maksimum dari tiap kolom , yakni:
* +
* +
* +
Dengan demikian, , - merupakan calon penyelesaian sekaligus
menjadi satu-satunya penyelesaian dari sistem persamaan . Hal ini
ditunjukkan sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
[
] [ ] [
* +
* +
* +
* +
] [
]
Contoh 3.3
Tentukan penyelesaian jika
[
], [
], dan [
]
Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks
[
] [
]
[
]
Perhatikan bahwa terdapat elemen bernilai 1 pada tiap baris matriks . Hal ini
berarti bahwa sistem persamaan pada contoh ini juga hanya memiliki
satu penyelesaian yakni , - . Hal ini ditunjukkan sebagai berikut
[
] [ ] [
* +
* +
* +] [
]
Contoh 3.2 dan 3.3 di atas merupakan contoh sistem persamaan
yang memiliki penyelesaian tunggal baik untuk kasus maupun .
Berikut ini akan diberikan contoh-contoh sistem persamaan yang tidak
memiliki penyelesaian baik untuk kasus , maupun kasus .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Contoh 3.4
Tentukan penyelesaian jika
[
], [
], dan [
]
Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks
[
]
[
]
Berdasarkan matriks diperoleh , - . Namun demikian, dari
matriks di atas terlihat bahwa terdapat baris yang tidak memiliki nilai
maksimum yakni baris pertama atau dengan kata lain semua elemen dalam baris
pertama bernilai 0. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan
tidak memiliki penyelesaian. Hal ini diperkuat melalui perhitungan berikut:
[
] [ ] [
* +
* +
* +
* +
] [
] [
]
Dengan demikian, hanya merupakan sub-penyelesaian terbesar dan bukan
merupakan penyelesaian sistem persamaan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Contoh 3.5
Tentukan penyelesaian jika
[
], [
], dan [
]
Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks
[
]
[
]
Berdasarkan matriks diperoleh , - . Namun demikian, dari
matriks di atas terlihat bahwa semua elemen dalam baris pertama bernilai 0.
Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan dalam contoh ini
tidak memiliki penyelesaian. Hal ini juga diperkuat melalui perhitungan berikut:
[
] [ ] [
* +
* +
* +] [
] [
]
Dengan demikian, hanya merupakan sub-penyelesaian terbesar dan bukan
merupakan penyelesaian sistem persamaan .
Contoh 3.6
Tentukan penyelesaian jika
[
], [
], dan [
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks
[
]
[
]
Berdasarkan matriks diperoleh , - . Serupa dengan dua contoh
sebelumnya, sistem persamaan dalam contoh ini juga tidak memiliki
penyelesaian karena semua elemen pada baris kedua matriks -nya bernilai 0.
Hal ini ditunjukkan juga melalui perhitungan berikut:
[
] [
] [ * +
* +] [
] [
]
Jadi, sistem persamaan linear tersebut hanya memiliki sub-penyelesaian terbesar
namun tidak mempunyai penyelesaian.
Selanjutnya akan diberikan contoh-contoh sistem persamaan
yang memiliki takhingga banyak penyelesaian baik untuk kasus ,
maupun kasus .
Contoh 3.7
Tentukan penyelesaian jika
[
], [
], dan [
]
Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
[
]
[
]
Berdasarkan matriks diperoleh , - . Selanjutnya akan dicek
apakah memang merupakan penyelesaian dari .
[
] [ ] [
* +
* +
* +
* +
] [
]
Ternyata memang merupakan penyelesaian dari . Akan tetapi, pada
baris kedua dan ketiga matriks terdapat lebih dari satu nilai maksimum atau
dengan kata lain terdapat lebih dari satu elemen bernilai 1 pada kedua baris
tersebut. Hal ini mengisyaratkan bahwa sistem persamaan memiliki
takhingga banyak penyelesaian. Selain itu, berdasarkan Teorema 3.A.1 diperoleh
bahwa elemen-elemen dari merupakan batas atas. Karena itu, elemen-elemen
vektor penyelesaian dalam contoh ini harus mememenuhi , dan
. Pada baris pertama dan keempat matriks nampak bahwa nilai
maksimum terdapat pada kolom ke-3 karena itu . Pada baris kedua nilai
maksimum terdapat pada kolom ke-2 dan ke-3 maka terdapat dua kemungkinan
yakni atau . Bila nilai diubah maka akan mempengaruhi
persamaan baris pertama dan keempat. Karena itu, selama maka
persamaan pertama dan keempat akan selalu terpenuhi. Demikian halnya dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
memilih maka persamaan baris akan selalu terpenuhi. Jadi, semua vektor
yang berbentuk , - dengan dan juga memenuhi
sistem persamaan.
Jadi, sistem persamaan dalam contoh ini memiliki takhingga banyak
penyelesaian.
Contoh 3.8
Tentukan penyelesaian jika
[
], [
], dan [
]
Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks
[
]
[
]
Berdasarkan matriks diperoleh , - . Selanjutnya akan dicek
apakah memang merupakan penyelesaian dari .
[
] [ ] [
* +
* +
* +] [
]
Nampak bahwa memang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan
. Akan tetapi, dapat diperiksa bahwa semua yang memenuhi bentuk
, - dengan juga memenuhi sistem persamaan di atas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Jadi, sistem persamaan dalam contoh ini memiliki takhingga banyak
penyelesaian.
Contoh 3.9
Tentukan penyelesaian jika
[
], [
], dan [
]
Berdasarkan matriks dan vektor diperoleh matriks
[
]
[
]
Berdasarkan matriks diperoleh , - . Selanjutnya ditunjukkan
bahwa juga merupakan penyelesaian dari sistem persamaan yakni:
[
] [
] [ * +
* + ] [
]
Namun demikian, dapat diperiksa bahwa semua yang berbentuk , -
dengan dan juga memenuhi sistem persamaan di atas.
Jadi, sistem persamaan pada contoh ini juga memiliki takhingga
banyak penyelesaian.
Matriks dan berperan dalam menentukan perilaku sistem
persamaan . Berikut ini diberikan teorema mengenai ada atau tidak
adanya (eksistensi) penyelesaian .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Teorema 3.B.1
Diberikan sistem persamaan di mana dengan elemen-
elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan .
1. Jika terdapat baris nol pada matriks maka sistem tidak mempunyai
penyelesaian.
2. Jika terdapat paling tidak satu elemen 1 pada tiap baris , maka
adalah penyelesaian dari sistem persamaan .
Bukti:
1. Misalkan baris nol pada matriks adalah baris ke dan andaikan
merupakan penyelesaian dari sistem persamaan , maka
( )
Akibatnya,
.
Dengan demikian, tidak memenuhi persamaan ke- . Hal ini
bertentangan dengan adalah penyelesaian dari sistem persamaan
. Jadi, bukan merupakan penyelesaian dari sistem persamaan
atau sistem persamaan tidak mempunyai
penyelesaian.
2. Akan dibuktikan kontrapositifnya. Andaikan bukan merupakan
penyelesaian dari sistem persamaan . BerdasarkanTeorema 3.A.1
diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Akibatnya,
(
)
Jika bukan merupakan penyelesaian dari , maka terdapat
sedemikian sehingga
(
)
Hal ini ekuivalen dengan
Karena ( ) untuk beberapa , maka tidak ada elemen
dalam baris dari yang bernilai 1.
Teorema 3.B.1 di atas digunakan untuk menentukan eksistensi
penyelesaian sistem persamaan . Namun demikian, eksistensi ini belum
menjelaskan kapan penyelesaiannya tunggal dan kapan penyelesaiannya
taktunggal. Karena itu, untuk menentukan ketunggalan sistem persamaan
diberikan definisi berikut.
Definisi 3.B
Elemen bernilai 1 pada suatu baris dinamakan elemen peubah tetap jika
1. Elemen tersebut merupakan satu-satunya elemen bernilai 1 pada baris
tersebut ( lone-one), atau
2. Elemen tersebut berada pada kolom yang sama dengan lone-one.
Elemen-elemen bernilai 1 lainnya dinamakan elemen-elemen slack.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Tabel berikut ini akan menunjukkan elemen peubah tetap dari setiap
contoh yang telah diberikan sebelumnya. Elemen yang dilingkari merupakan
elemen peubah tetap
Tabel 2: Elemen Peubah Tetap
Tidak Mempunyai
Penyelesaian
Satu Penyelesaian
Takhingga Banyak
Penyelesaian
Contoh 3.4
[
]
Contoh 3.2
[
]
Contoh 3.7
[
]
Contoh 3.5
[
] Contoh 3.3
[
]
Contoh 3.8
[
]
Contoh 3.6
[
]
Contoh 3.9
[
]
Pada contoh 3.2, semua elemen bernilai 1 merupakan peubah tetap.
Persamaan baris pertama menetapkan elemen , persamaan baris kedua
menetapkan elemen , dan persamaan baris ketiga menetapkan elemen
. Ketika sampai pada persamaan keempat, semua elemen sudah
ditentukan. Setiap elemen yang sudah dipilih tidak dapat diubah karena bila
diubah akan menimbulkan pertidaksamaan pada salah satu dari ketiga baris
sebelumnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Pada contoh 3.3, semua elemen bernilai 1 juga merupakan peubah tetap.
Persamaan baris pertama menetapkan elemen , persamaan baris kedua
menetapkan elemen , dan persamaan baris ketiga menetapkan elemen
.
Pada contoh 3.7, terdapat elemen slack pada . Persamaan baris
pertama menetapkan elemen . Pada persamaan baris kedua, terdapat dua
kemungkinan untuk memenuhi persamaan yakni atau . Akan tetapi,
nilai sudah ditetapkan sebelumnya yakni sama dengan 3. Jadi, asalkan
maka persamaan baris diatasnya tidak akan berubah. Dengan cara yang sama,
pada persamaan baris ketiga, asalkan maka persamaan baris diatasnya
tidak akan berubah. Sedangkan, pada persamaan baris keempat, elemen
penyelesaiannya sudah ditetapkan oleh persamaan baris pertama. Dengan
demikian, dengan menetapkan dan asalkan serta , maka
persamaan baris akan selalu benar.
Berikut ini diberikan teorema untuk menunjukkan bila mana persamaan
memiliki penyelesaian tunggal dan bilamana penyelesaiannya
taktunggal.
Teorema 3.B.2
Diberikan persamaan matriks dimana dengan elemen-
elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan serta
penyelesaian persamaan ada.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
1. Jika tiap baris memiliki lone one, maka penyelesaian sistem
persamaan tunggal.
2. Jika terdapat elemen-elemen slack pada , maka sistem memiliki
takhingga banyak penyelesaian.
Bukti:
1. Jika terdapat lone one pada tiap baris , maka terdapat satu elemen
peubah tetap pada tiap baris . Hal ini berarti bahwa tidak akan ada
elemen-elemen slack. Dengan demikian, semua elemen tetap dan
penyelesaian sistem persamaan tunggal.
2. Misalkan adalah salah satu elemen slack pada dan merupakan
penyelesaian dari . Karena tidak tetap, maka tidak terdapat
elemen peubah tetap pada kolom ke dari . Jadi, persamaan dapat
dipenuhi tanpa menggunakan elemen . Dengan demikian, meskipun
nilai menunjukkan nilai maksimum yang mungkin untuk elemen ini,
setiap nilai yang lebih kecil atau sama dengan tidak akan
mempengaruhi eksistensi persamaan baris yang telah ditetapkan.
Sistem persamaan dalam Contoh 3.2 dan 3.3 memiliki
penyelesaian tunggal karena pada tiap baris matriks -nya memiliki lone one.
Sedangkan sistem persamaan dalam Contoh 3.7, 3.8 dan 3.9 memiliki
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
takhingga banyak penyelesaian karena terdapat elemen slack pada matriks -
nya.
Akibat 3.B
Diberikan persamaan matriks di mana dengan elemen-
elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan serta
. Jika penyelesaian persamaan ada maka sistem memiliki
takhingga banyak penyelesaian.
Bukti:
Penyelesaian sistem persamaan ada maka tidak terdapat baris nol pada
matriks Andaikan penyelesaian sistem tunggal maka terdapat lone one pada
tiap baris . Sementara itu, berarti banyaknya persamaan lebih sedikit
daripada banyaknya variabel. Karena itu, pastilah terdapat slack pada matriks
. Hal ini bertentangan dengan penyelesaian sistem tunggal. Jadi, haruslah
sistem memliki takhingga banyaknya penyelesaian.
Pembahasan pada bagian A dan B dalam bab ini ditekankan pada sistem
persamaan dengan dengan elemen-elemen pada setiap
kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . Berikut ini diberikan
penyelesaian sistem persamaan untuk kasus-kasus lain.
Andaikan terdapat * + sedemikian sehingga untuk
setiap * + dan maka berlaku hal-hal berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
1. Jika elemen-elemen pada setiap baris matriks tidak semuanya sama
dengan maka untuk sebarang . Hal ini berangkat dari
fakta bahwa elemen netral merupakan elemen penyerap terhadap operasi
.
2. Jika terdapat baris pada matriks dengan semua elemennya sama dengan
maka sistem tidak memiliki penyelesaian. Hal ini ditunjukkan sebagai
berikut. Andaikan baris tersebut adalah baris ke- . Persamaan ke-
berbentuk
( ) * +
Mengingat untuk setiap berlaku
maka ( ) . Dengan kata lain, persamaan baris ke- tidak
terpenuhi. Jadi, sistem tidak memiliki penyelesaian.
Berikut diberikan contoh-contoh untuk mengilustrasikan dua hal di atas.
Contoh 3.10
Diberikan sistem persamaan linear
[
] [ ] [
]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{
atau {
atau { ( )
( ) atau
{
sehingga diperoleh .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Jadi, semua vektor yang berbentuk , - merupakan penyelesaian sistem
di atas.
Contoh 3.11
Diberikan sistem persamaan linear
[
] [ ] [
]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{
atau {
atau {
Karena maka persamaan baris kedua tidak terpenuhi. Jadi, sistem
persamaan di atas tidak memiliki penyelesaian.
Selanjutnya, andaikan terdapat * + sedemikian sehingga
untuk setiap * + dan terdapat * + sedemikian
sehingga maka berlaku hal-hal berikut
1. Jika elemen-elemen pada baris ke- matriks tidak semuanya sama
dengan maka sistem tidak memiliki penyelesaian. Hal ini ditunjukkan
sebagai berikut. Karena elemen-elemen pada baris ke- tidak semuanya
sama dengan maka terdapat * + sedemikian sehingga .
Agar persamaan ke- terpenuhi maka haruslah . Namun demikian,
karena terdapat * + sedemikian sehingga maka
persamaan ke- tidak terpenuhi. Jadi, sistem tidak memiliki penyelesaian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
2. Jika elemen-elemen pada baris ke- matriks semuanya sama dengan
maka untuk sebarang . Hal ini berangkat dari fakta bahwa
elemen netral merupakan elemen penyerap terhadap operasi .
Berikut diberikan contoh-contoh untuk mengilustrasikan dua hal di atas.
Contoh 3.12
Diberikan sistem persamaan linear
[
] [ ] [
]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{
atau {
atau { ( )
( )
Agar persamaan baris kedua terpenuhi maka haruslah . Namun demikian,
jika maka persamaan baris pertama tidak terpenuhi sebab .
Jadi, sistem di atas tidak memiliki penyelesaian.
Contoh 3.13
Diberikan sistem persamaan linear
[
] [ ] [
]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{
atau {
atau atau
Jadi, semua vektor yang berbentuk , - merupakan penyelesaian sistem
di atas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Kasus selanjutnya adalah andaikan elemen-elemen pada setiap kolom
matriks tidak semuanya sama dengan dan terdapat * +
sedemikian sehingga . Jika maka . Hal ini ditunjukkan
sebagai berikut. Persamaan ke- berbentuk . Karena maka
haruslah .
Contoh 3.13
Diberikan sistem persamaan linear
[
] [ ] [
]
Sistem persamaan ini ekuivalen dengan
{
atau {
Agar persamaan baris kedua terpenuhi maka haruslah . Akibatnya, .
Jadi, , - merupakan penyelesaian sistem di atas.
C. Penyelesaian Sistem Persamaan dengan Program MATLAB
Bila sistem memuat banyak persamaan, dalam hal ini ukuran matriks
sangat besar maka perhitungan manual dirasa kurang efektif untuk menentukan
penyelesaian sistem persamaan linear . Untuk itu, perlu dibuat program
komputer untuk memudahkan perhitungan. Bahasa program yang akan digunakan
adalah bahasa pemograman komputer MATLAB. Program ini akan menampilkan
penyelesaian sistem persamaan linear . Program secara lengkap diberikan sebagai
berikut dengan nama file solsislinmax.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
% Program Matlab Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Ax = b % Input: A = matriks max-plus Amxn % b = vektor mx1 % Output: Menampilkan penyelesaian sistem
function x = solsislinmax
% Memasukkan matriks A dan b A = input('Masukkan matriks A(mxn) = '); disp(' ') b = input('Masukkan matriks b(mx1) = '); disp(' ') [m,n]= size (A); [p,q]= size (b); if m == p & q == 1 A1=zeros(1,n); for j = 1:n if A(:,j)== -inf A1(j)=0; else A1(j)=1; end; end; Sum1 = sum(A1); b1=zeros(m,1); for i = 1:m if b(i)== -inf b1(i)=0; else b1(i)=1; end; end; Sum2 = sum(b1); if Sum1 == n & Sum2 == m for i = 1:m for j = 1:n D(i,j)= -b(i)+ A(i,j); end; end; xj = max(D); xc = -xj'; R = zeros(m,n); for j = 1:n for i = 1:m if D(i,j)== xj(j) R(i,j) = 1; else R(i,j) = 0; end; end; end;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Berikut ini diberikan hasil eksekusi untuk beberapa contoh soal yang telah
diberikan pada bagian sebelumnya
c = zeros(m,1); for i = 1:m if R(i,:)== 0 c(i)= 0; else c(i)= 1; end end; Sum3 = sum(c); if Sum3 < m x = '{}'; else x = xc; end
%Menampilkan Penyelesaian Sistem disp('Matriks A = '),disp(A) disp('Matriks b = '),disp(b) disp('Matriks D = '),disp(D) disp('Matriks R = '),disp(R) disp('Penyelesaian sistem adalah '), disp('x = ') disp(x) else disp('Elemen-elemen tiap kolom matriks A tidak
semuanya -inf dan elemen-elemen matriks b semuanya
berhingga') end; % Peringatan sistem persamaan tidak dapat diselesaikan else disp('Ordo matriks A dan b tidak sesuai') end;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Contoh 3.2
Masukkan matriks A(mxn) = [1 6 11; 4 1 2; 8 -1 0; 10 5 12]
Masukkan matriks b(mx1) = [12; 5; 8; 13]
Matriks A =
1 6 11
4 1 2
8 -1 0
10 5 12
Matriks b =
12
5
8
13
Matriks D =
-11 -6 -1
-1 -4 -3
0 -9 -8
-3 -8 -1
Matriks R =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 0 1
Penyelesaian sistem adalah
x =
0
4
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Contoh 3.4
Masukkan matriks A(mxn) = [1 6 11; 4 1 2; 8 -1 0; 10 5 12]
Masukkan matriks b(mx1) = [14; 6; 8; 13]
Matriks A =
1 6 11
4 1 2
8 -1 0
10 5 12
Matriks b =
14
6
8
13
Matriks D =
-13 -8 -3
-2 -5 -4
0 -9 -8
-3 -8 -1
Matriks R =
0 0 0
0 1 0
1 0 0
0 0 1
Penyelesaian sistem adalah
x =
{}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Contoh 3.9
Masukkan matriks A(mxn) = [1 6 11;4 1 2;8 -1 0;10 5 12]
Masukkan matriks b(mx1) = [14;5;3;15]
Matriks A =
1 6 11
4 1 2
8 -1 0
10 5 12
Matriks b =
14
5
3
15
Matriks D =
-13 -8 -3
-1 -4 -3
5 -4 -3
-5 -10 -3
Matriks R =
0 0 1
0 1 1
1 1 1
0 0 1
Penyelesaian sistem adalah
x =
-5
4
3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
BAB IV
APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS
DALAM MASALAH RAMP HANDLING PESAWAT
A. Ramp Handling
Ramp handling merupakan kegiatan penanganan pesawat yang dilakukan di
ramp area atau apron yakni suatu pelataran yang ada di bandara, saat jeda waktu
antara pesawat block-on (yakni saat ganjalan pesawat dipasang dan pesawat dalam
posisi berhenti) hingga pesawat block-off (yakni saat ganjalan dilepas dan pesawat
bersiap menuju landasan pacu). Waktu antara pesawat block-on dan pesawat
block-off ini dikenal dengan istilah ground time. Keberlangsungan kegiatan ramp
handling berada dalam pengawasan dari satuan unit khusus yang dikenal dengan
istilah ramp dispatcher. Setiap petugas ramp dispatcher bertanggung jawab untuk
mengawasi dan mengkoordinasi segala aktivitas ramp berkaitan dengan
keberangkatan ataupun kedatangan pesawat. Secara umum, aktivitas-aktivitas
yang dilakukan dalam ramp handling adalah sebagai berikut
1. Maintenance merupakan kegiatan pemeriksaan/pemeliharaan kondisi
pesawat, termasuk kebersihan tempat duduk dan pantry.
2. Fueling/Refueling merupakan kegiatan pengisian bahan bakar pesawat.
3. Loading/Unloading berkaitan pelaksanaan bongkar muat barang/bagasi.
4. Aircraft Cleaning berkaitan dengan kegiatan membersihkan kabin pesawat
dan kamar kecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
5. Catering berkaitan dengan penyediaan konsumsi bagi para penumpang
selama penerbangan.
Menurut Widadi (2001), penanganan pesawat di bandara dibedakan atas dua
cara yakni turnaround arrangement dan transit arrangement. Turnaround
arrangement adalah penanganan bagi pesawat yang mendarat di kota tujuan akhir
(destination) sedangkan transit arrangement adalah penanganan bagi pesawat
yang mendarat di kota persinggahan atau transit. Penanganan pesawat ini
dilakukan pada tempo waktu yang sudah ditentukan yakni sesuai dengan ground
time agar sesuai dengan jadwal penerbangan (departure time).
Lebih lanjut, Widadi menambahkan penanganan pesawat di bandara udara,
baik turnaround arrangement maupun transit arrangement menganut sistem yang
sama. Perbedaannya terletak pada lama waktu penanganannya. Penanganan
transit arrangement biasanya lebih pendek dibanding turnaround arrangement.
Hal ini disebabkan karena pada transit arrangement terdapat perbedaan dalam
hal-hal tertentu, yaitu:
1. Kabin tidak dibersihkan seluruhnya.
2. Awak pesawat (crew) biasanya tidak diganti.
3. Penumpang transit tidak turun ke ruang transit.
4. Kadangkala konsumsi untuk penumpang sudah tersedia di dalam pesawat,
kecuali jika ada penambahan penumpang pada saat-saat terakhir.
Prosedur penanganan pesawat di bandara udara antara satu jenis pesawat
dengan jenis pesawat yang lain tidak sama. Hal ini tergantung tipe pesawat,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
kondisi pesawat, jarak yang akan ditempuh pesawat, serta banyaknya penumpang.
Namun, secara umum lama ground time untuk keperluan turnaround arrangement
adalah 40 menit sampai 1 jam sedangkan untuk transit arrangement memerlukan
minimal 25 menit untuk penerbangan domestik dan sekitar 1 jam untuk
penerbangan internasional (Bazargan, 2004).
B. Aplikasi Sistem Persamaan dalam Masalah Ramp Handling
Berdasarkan penjelasan di atas nampak bahwa kegiatan ramp handling
merupakan salah satu masalah sinkronisasi yang merupakan salah satu
karakteristik DES. Dalam masalah sinkronisasi, kejadian-kejadian (events) terjadi
secara simultan dan harus selesai pada batas waktu yang ditentukan (deadline).
Rangkaian kegiatan ramp handling dilakukan secara simultan dan harus selesai
pada waktu yang ditentukan sehingga ketepatan jadwal tercapai.
Misalkan di suatu bandara terdapat tiga pesawat yakni pesawat A, B dan C
telah tiba di gate-nya masing-masing. Pesawat-pesawat tersebut membutuhkan
penanganan sebelum penerbangan berikutnya. Penanganan yang dibutuhkan
berupa refueling, maintenance, food service dan luggage service. Masing-masing
pesawat membutuhkan waktu yang berbeda untuk refueling dan food service
(terkait dengan jarak tempuh penerbangan selanjutnya), maintenance (tergantung
apakah ada masalah dalam penerbangan selanjutnya atau tergantung pada usia
pesawat terbang tersebut), dan luggage service (berkaitan dengan jarak tempuh
dan banyaknya penumpang). Ketiga pesawat tersebut akan ditangani sekaligus
dengan asumsi bahwa tim yang bertugas memadai dan peralatan yang dibutuhkan
pun memadai. Berikut ini diberikan matriks yang berisi waktu yang diperlukan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Gate 1
Gate 2
Gate 3
untuk penanganan pesawat per kegiatan penanganan (waktu kegiatan dalam
menit).
[
]
Contoh 4.1
Ketiga pesawat memiliki ground time berturut-turut , ,
menit. Akan dicari waktu mulai paling lambat untuk kegiatan , , , dan
sedemikian sehingga kegiatan terakhir sudah selesai pada waktu keberangkatan
pesawat. Masalah ini dapat diformulasikan dalam bentuk sistem persamaan
aljabar max-plus sebagai berikut.
[
] [
] [ ]
Dalam hal ini kita akan mencari vektor . Hasil eksekusi program MATLAB untuk
sistem ini diberikan sebagai berikut
Masukkan matriks A(mxn) = [25 10 35 15;15 45 15 20;25 15 20 15]
Masukkan matriks b(mx1) = [45;50;55]
Matriks A =
25 10 35 15
15 45 15 20
25 15 20 15
Matriks b =
45
50
55
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Matriks D =
-20 -35 -10 -30
-35 -5 -35 -30
-30 -40 -35 -40
Matriks R =
1 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 0
Penyelesaian sistem adalah
t =
{}
Berdasarkan matriks dan teorema 3.B.1 maka sistem tidak memiliki
penyelesaian. Vektor , - bukan merupakan penyelesaian sebab
[
] [
] [ ] [
]
Meskipun bukan merupakan penyelesaian yang tepat untuk sistem
persamaan di atas, bukan berarti pesawat akan mengalami delay. Akan tetapi,
tidak terpenuhinya persamaan ketiga disebabkan karena penanganan pesawat di
gate 3 selesai lebih awal. Penyelesaian seperti ini disebut sebagai penyelesaian
tak ideal.
Contoh 4.2
Bagian Departure Control memutuskan untuk menjadwal ulang waktu lepas
landas (take-off) dari ketiga pesawat karena pesawat di gate 1 dan 2 membutuhkan
waktu penanganan yang lebih panjang. Ground time ketiga pesawat secara
berturut-turut dalam , , menit. Sistem persamaaannya
berbentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
[
] [
] [ ]
Hasil eksekusi program MATLAB untuk sistem ini diberikan sebagai berikut
Masukkan matriks A(mxn) = [25 10 35 15;15 45 15 20;25 15 20 15]
Masukkan matriks b(mx1) = [50;55;45]
Matriks A =
25 10 35 15
15 45 15 20
25 15 20 15
Matriks b =
50
55
45
Matriks D =
-25 -40 -15 -35
-40 -10 -40 -35
-20 -30 -25 -30
Matriks R =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 1
Penyelesaian sistem adalah
t =
20
10
15
30
Berdasarkan matriks dan berdasarkan teorema 3.B.2 maka sistem
memiliki takhingga banyak penyelesaian dan merupakan salah satu penyelesaian
sistem. Semua vektot yang berbentuk , - dengan dan
juga merupakan penyelesaian sistem. Dalam hal ini, waktu mulai paling
lambat untuk kegiatan perawatan dan layanan makanan sudah pasti dan tidak
dapat diubah. Sedangkan waktu mulai untuk kegiatan pengisian bahan bakar dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
layanan bagasi bisa lebih awal tanpa mempengaruhi penyelesaian. Kehadiran
lebih dari satu elemen 1 pada baris ketiga matriks mengindikasi bahwa kegiatan
pengisisan bahan bakar dan layanan bagasi selesai dalam waktu bersamaan.
Contoh-contoh yang diberikan di atas mengikuti contoh dalam tesis Maria
Andersen (2002). Penanganan pesawat hanya dibatasi pada empat kegiatan yakni
pengisian bahan bakar, perawatan, layanan makanan, dan layanan bagasi. Berikut
diberikan contoh rangkaian kegiatan ramp handling secara lebih rinci.
Contoh 4.3
Terdapat tiga pesawat yakni pesawat model 767-200, 767-200ER dan 767-300
yang tiba di gatenya masing-masing dan memerlukan penanganan turnaround
sebelum penerbangan selanjutnya. Lama ground time ketiga pesawat secara
berturut-turut , , menit. Akan dicari waktu mulai paling
lambat untuk setiap kegiatan penanganan sedemikian sehingga kegiatan terakhir
sudah selesai pada waktu keberangkatan pesawat. Diasumsikan bahwa tim
bertugas dalam kegiatan penanganan memadai. Tabel kegiatan ramp handling
ketiga pesawat diberikan sebagai berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Tabel 3: Kegiatan ramp handling
No Nama Kegiatan
Waktu yang
Diperlukan
Pesawat 767-
200 (menit)
Waktu yang
Diperlukan
Pesawat 767-
200ER
(menit)
Waktu yang
Diperlukan
Pesawat
767-300
(menit)
1 Unloading & loading
bulk compartment 26 31 36
2 Fuel airplane 18 30 18
3 Service toilet 12 12 12
4 Service potable water 7 7 10
5 Service galleys 21 21 26
6 Service cabin 13,5 18,5 14,5
7 Loading AFT
compartment 10 10 14
8 Loading FWD
compartment 12 6 16
Berdasarkan tabel di atas, maka dapat dibentuk sistem persamaaan
sebagai berikut
[
]
[ ]
[ ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Penyelesaian sistem ini dapat dicari dengan menggunakan program yang telah dibuat sebelumnya dengan sedikit modifikasi. Hasil
eksekusi program diberikan sebagai berikut:
Masukkan matriks A(mxn) = [26 18 12 7 21 13.5 10 12;31 30 12 7 21 18.5 10 6;36 18 12 10 26 14.5 14 16]
Masukkan matriks b(mx1) = [40;40;45]
Matriks A =
26.0000 18.0000 12.0000 7.0000 21.0000 13.5000 10.0000 12.0000
31.0000 30.0000 12.0000 7.0000 21.0000 18.5000 10.0000 6.0000
36.0000 18.0000 12.0000 10.0000 26.0000 14.5000 14.0000 16.0000
Matriks b =
40
40
45
Matriks D =
-14.0000 -22.0000 -28.0000 -33.0000 -19.0000 -26.5000 -30.0000 -28.0000
-9.0000 -10.0000 -28.0000 -33.0000 -19.0000 -21.5000 -30.0000 -34.0000
-9.0000 -27.0000 -33.0000 -35.0000 -19.0000 -30.5000 -31.0000 -29.0000
Matriks R =
0 0 1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 0 0 0 1 0 0 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Penyelesaian sistem adalah
t =
9.0000
10.0000
28.0000
33.0000
19.0000
21.5000
30.0000
28.0000
Kolom-kolom matrks menyatakan jenis kegiatan ramp handling berturut dari nomor 1 sampai 9. Dalam hal ini, akan
ditentukan waktu mulai paling lambat untuk setiap jenis kegiatan. Berdasarkan matriks dan berdasarkan teorema 3.B.2 maka sistem
memiliki takhingga banyak penyelesaian dan t merupakan salah satu penyelesaian sistem persamaan di atas. Karena tidak
terdapat elemen peubah tetap pada matriks maka semua elemen vektor berupa variabel bebas. Semua vektor yang berbentuk
, - dengan , , , , , , , dan juga merupakan
penyelesaian sistem. Kehadiran lebih dari satu elemen 1 pada tiap baris matriks mengindikasi bahwa kegiatan yang bersesuaian
dengan kolom di mana elemen-elemen bernilai 1 itu ada selesai dalam waktu bersamaan. Namun demikian, karena kegiatan loading
dilakukan setelah kegiatan unloading selesai maka dipilih dan . Penyelesaian sistem menjadi
, - .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan-pembahasan sebelumnya, maka dapat diambil
kesimpulan sebagai berikut
1. Sub-penyelesaian terbesar merupakan vektor terbesar yang
memenuhi sistem . Diberikan matriks dengan
elemen-elemen pada setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan
. Sub-penyelesaian terbesar merupakan calon penyelesaian sistem
persamaaan dengan
( )
untuk setiap * + dan * +.
2. Serupa dalam aljabar biasa, sistem persamaan dalam aljabar
max-plus dapat mempunyai penyelesaian dan dapat pula tidak mempunyai
penyelesaian. Diberikan matriks dengan elemen-elemen pada
setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan dan . Sistem
persamaan tidak mempunyai penyelesaian bila terdapat baris nol
dalam matriks dan mempunyai penyelesaian bila terdapat paling tidak
satu elemen 1 pada tiap baris dalam matriks dan penyelesaiannya
adalah . Sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian bila
terdapat elemen peubah tetap pada setiap baris matriks dan mempunyai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
takhingga banyak penyelesaian bila terdapat elemen slack dalam matriks
.
3. Sistem persamaan dalam aljabar max-plus dapat diterapkan
dalam masalah ramp handling pesawat di bandara yakni untuk menentukan
waktu mulai paling lambat untuk setiap aktivitas ramp handling sehingga
semua aktivitas tersebut telah selesai pada waktu keberangkatan pesawat.
B. Saran
Adapun saran-saran yang dapat penulis berikan bagi penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1. Sistem persamaan linear yang dibahas dalam penelitian ini hanya terbatas
pada semiring aljabar max-plus. Penelitian selanjutnya dapat mengkaji
sistem persamaan linear atas semiring aljabar min-plus.
2. Aplikasi sistem persamaan dalam penelitian ini dibatasi pada
masalah ramp handling pesawat di bandara. Penelitian selanjutnya dapat
mengkaji aplikasi lain dalam aktivitas bandara seperti penjadwalan
penerbangan pesawat.
3. Program MATLAB yang telah dibuat baru sebatas menampilkan eksistensi
penyelesaian. Penelitian selanjutnya dapat menambahkan ketunggalan
penyelesaian sistem.
4. Penelitian ini hanya mengkaji sistem persamaan berbentuk atas
aljabar max-plus. Peneltian selanjutnya dapat mengkaji sistem persamaan
dalam bentuk lain seperti .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
DAFTAR PUSTAKA
Andersen, Maria H. 2002. Max-Plus Algebra: Properties and Applications.
Master of Science in Mathematics‟ Thesis. Laramie, WY .
Bazargan, Massoud. 2004. Airline Operations and Scheduling. Asghate
Publishing Company: USA.
Butkovič, Peter. 2010. Max Linear System: Theory and Algorithm.London:
Springer.
Farlow, Kasie G. 2009. Max-Plus Algebra. Master‟s thesis Virginia Polytechnic
Institute and State University. Virginia: Virginia Polytechnic Institute and
State University.
Rudhito, M. Andy. 2003. Sistem Linear Max-Plus Waktu Invariant. Tesis.
Yogyakarta: Universitas Gajah Mada.
Subiono. 2013. Aljabar Max-Plus dan Terapannya. Surabaya: Institut Teknologi
Sepuluh November.
Suwarno, FX Widadi A. 2001. Tata Operasi Darat. Jakarta: PT Gramedia
Widiasarana Indonesia.
http://www.boeingfrontiers.com/assets/pdf/commercial/airports/acaps/767sec5.pd
f diakses pada tanggal 20 Mei 2015.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI