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Sistemas de ecuaciones ydesigualdades

C A P Í T U L O

5Continúe pensando acerca de su interacción con su estudiante con respecto a lasmatemáticas. Acuérdese de animar a su estudiante a volverse un aprendiz y un pensadormás independiente pidiéndole que dé explicaciones. Si usted le está explicando, no leestá dando a su estudiante la oportunidad de ver lo que él o ella no entiende.

Resumen del contenidoEl Capítulo 5 refuerza las ideas de linealidad del Capítulo 3. El Capítulo 5 presentaproblemas modelados por más de una ecuación lineal a la vez y luego consideraproblemas representados por desigualdades lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales Muchos problemas reales tienen que ver con situaciones en las cuales dos o másvalores cambian linealmente a la misma vez. A menudo, se desea hallar cuándo estosvalores serán iguales. Por ejemplo, los valores pueden ser la ubicación de doscaminantes y se desea determinar cuándo se encontrarán los caminantes.

Cada valor creciente se representa por una ecuación lineal. Así que varios valores quecambian linealmente se representan por varias ecuaciones lineales, llamadas unsistema de ecuaciones lineales. Identificar dónde los valores serán iguales requiereresolver el sistema, esto es, hallar los valores de las variables que hacen ciertas todas lasecuaciones lineales en el sistema.

Discovering Algebra incluye cuatro métodos para resolver sistemas de dos ecuacioneslineales: por gráficas, por sustitución, por eliminación y por matrices.

Desigualdades linealesOtra manera de extender los conceptos de una ecuación lineal es cambiar el signo deigualdad por un signo de menor o de mayor. Si hace esto, está expresando que lasdos expresiones no son equivalentes.

Este capítulo introduce las desigualdades (inequalities) lineales en las cuales una delas variables tiene un valor conocido, tal como 5 � 2a � 21. Tal desigualdad tiene unnúmero infinito de soluciones y usted lo puede visualizar en una recta numérica. Losestudiantes hallan las soluciones usando los mismos métodos que usaron pararesolver ecuaciones lineales en el Capítulo 3.

Luego este capítulo considera una desigualdad lineal en dos variables. Aligual que el par de números que satisface una ecuación puede representarsepor una recta en una gráfica, los pares de números que satisfacen unadesigualdad pueden representarse en una gráfica. Estos aparecen comotodos los puntos a un lado de la recta que representan la ecuacióncorrespondiente. Para una desigualdad estricta, tal como y � 2x �1, lospuntos en la recta fronteriza y � 2x � 1 hacen falsa la desigualdad, así quela recta está entrecortada para mostrar que sólo la porción sombreada dela gráfica, y no la recta fronteriza, representa la solución.

Sistema de desigualdades linealesLos métodos matemáticos llamados programación lineal (linear programming)aplican a muchas situaciones reales. Estos métodos dependen de sistemas de desigualdadeslineales. Se pueden visualizar las soluciones a estos sistemas gráficamente como la regiónque contiene sólo los puntos que satisfacen todas las desigualdades en el sistema.

(continuado)

�5

�5

y

10

10x

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Chapter 5 • Ejercicios de repaso

Nombre Periodo Fecha

1. (Lección 5.1) Determina si el par ordenado es una solución del sistema deecuaciones. Grafica ambas rectas en el sistema y grafica el punto.

a. (1, �2) �

b. (3, 1) �2. (Lección 5.2) Resuelve este sistema de ecuaciones usando el método de

sustitución y luego verifica tu respuesta.

�3. (Lección 5.3) Resuelve este sistema por eliminación y luego verifica tu

trabajo.

�4. (Lecciones 5.1–5.3) Jenna compró melocotones y peras en el mercado

local. Los melocotones costaron $2.90 por libra y las peras costaron $1.10por libra. Jenna compró un total de 8 libras de frutas, las cuales costaron$18.34. ¿Cuántas libras de cada fruta compró Jenna?

5. (Lección 5.5) Resuelve la desigualdad 3 � 5x � 8 y grafica las solucionesen una recta numérica.

6. (Lecciones 5.6, 5.7) Considera el sistema de desigualdades � .

a. Determina si cada uno de los siguientes pares ordenados es unasolución a este sistema de desigualdades.

i. (0, 2) ii. (4, 2) iii. (�3, 1) iv. (3, �2)

b. Grafica el sistema de desigualdades y grafica cada uno de los puntosde 6a.

y � 2x � 3y � �x � 1

2x � 3y � �25x � 2y � �5

2x � 3y � 7x � 4y � �2

y � ��23�x � 3

y � �23�x � 2

y � 2x � 4y � �x � 1

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3. (�1, 0)

2(2x � 3y) � 2(�2) → 4x � 6y � �4 Multiplicaamboslados por2.

3(5x � 2y) � 3(�5) → 15x � 6y � �15 Multiplicaamboslados por3.

19x � �19 Suma laecuación.

x � �1Divide ambos lados por 19.

Sustituye este valor de x en cualquiera de las ecua-ciones originales y resuelve para hallar y. Usando laprimera ecuación 2(�1) � 3y � �2; y � 0.

Verifica tu solución en ambas ecuaciones.

4. 5.3 lb de melocotones, 2.7 lb de peras. Sea x elnúmero de libras de melocotones y y el número de li-bras de peras que Jenna compró. Sumar las libras pro-duce la ecuación x � y � 8, y sumar los preciosproduce la ecuación 2.90x � 1.10y � 18.34. Este sis-tema puede resolverse más fácil por sustitución.

5. 3 � 5x � 8 Desigualdad original.

�5x � 5 Resta 3 de ambos lados.

x � �1 Divide ambos lados por �5 e invierte ladesigualdad.

6. a. Sustituye los valores para x y y en cada desigualdady verifica si resulta en una aseveración cierta.

i. No. El par ordenado satisface la segunda de-sigualdad pero no la primera.

ii. Sí. El par ordenado satisface ambas desigualdades.

iii. No el par ordenado no satisface ninguna de lasdesigualdades.

iv. Sí. El par ordenado satisface ambas desigualdades.

b. Grafica las ecuaciones y � 2x � 3 y y � 1 � x.Debido a que laprimera desigualdadtiene � en lugar de �,la recta y � 2x � 3debería ser entre-cortada para indicarque no está incluidaen la solución. Laotra recta deberíaser sólida. Graficalos puntos y sombrea el área que contiene las soluciones.

50–5 10–10

5

y

5

–5

x–5

iiiiii

iv

1. a. Sí. El par ordenado (1,�2) satisface ambas ecuaciones.

y � 2x � 4 y � �x � 1

�2 �? 2(1) � 4 �2 �

?�1 � 1

�2 � �2 �2 � �2

b. No. El para ordenado (3, 1) no satisface la segundaecuación.

y � ��23�x � 3 y � �

23�x � 2

1 �?

��23�(3) � 3 1 �

? �23�(3) � 2

1 �?

�2 � 3 1 �? 2 � 2

1 � 1 1 � 0

2. (2, 1). Resuelve la segunda ecuación para x, y sustituyela expresión en la primera ecuación.

x � 4y � �2 Segunda ecuación.

x � 4y � 2 Suma 4y a ambos lados.

2(4y � 2) � 3y � 7 Sustituye 4y � 2 por x enla primera ecuación.

8y � 4 � 3y � 7 Usa la propiedad distributiva.

11y � 4 � 7 Combina términos iguales.

11y � 11 Suma 4 a ambos lados.

y � 1 Divide ambos lados por 11.

Sustituye 1 por y en una de las ecuaciones originales y re-suelve para x: x � 4(1) � �2; x � 2. La solución es (2, 1).

Verifica tu solución.

2x � 3y � 7 x � 4y � �2

2(2) � 3(1) �? 7 2 � 4(1) �

?�2

7 � 7 �2 � �2

4

y

5

�5

x�4

(3, 1)

5

y

5

x�5

(1, �2)

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