Matemática I Escuela Profesional de Ingeniería Industrial
Escuela Profesional de Ingeniería de Sistemas
Docente: Javier Vicente Escobar Villafuerte UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
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Matemática I Lic. Javier Escobar Villafuerte
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UNIDAD I
SESIÓN 01 SISTEMA DE NÚMEROS REALES
1. Introducción
En la era primitiva, a causa de la necesidad de representar cantidades y así resolver los
problemas que se representan en nuestro alrededor, diversas culturas representan la noción
de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones
de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron
simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día
los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas.
El significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica
mucho en su visión de vida, por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad
basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan
importante que se le otorgaba: “El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es
imposible pensar nada ni conocer nada.”
La facultad de contar está implícita en la aparición del número. Se sabe que el hombre
hacía marcas para representar ciertas cantidades, pues esta actividad perdura desde
tiempos inmemoriales y se formalizó en cada cultura con el número.
El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una cualidad en
común, con independencia de la naturaleza de los objetos o de los seres que lo componen.
La cualidad se denomina número. Un ejemplo práctico reside en que el hombre al realizar
tantas marcas, juntar tantas piedras, hacer tantos nudos deduce racionalmente, según la
contabilidad de cada objeto, que dichas contabilidades conllevan a “representaciones”,
que no depende de qué estuviese contando, sino más bien del número de marcas, de
piedras, de nudos, etc. Entonces se estableció un símbolo para cada contabilidad
respectiva.
De ahí que la notación que utilizamos hoy en día, que en general, fueron traídos de la India
a Europa, por los árabes en el siglo X. Los números han pasado por un largo proceso de
evolución, por ejemplo el grupo griego liderado por Pitágoras se dieron cuenta de la
necesidad de los números irracionales, mucho tiempo después los números negativos fueron
inventados por matemáticos indios cerca del año 600.
Con todo esto el estudio de los números para su construcción y sistematización en el siglo XIX
fue logrado con la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos) y el
análisis matemático de Richard Dedekind, todo esto es el resultado de las aportaciones de
grandes matemáticos como Descartes, Newton, entre otros.
El sistema de números reales que ahora conocemos, se sustentan en un conjunto de axiomas
que los describen completamente, y tomando en cuenta estos axiomas se pueden deducir
todas las propiedades que se cumplen en este conjunto numérico.
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2. Definición
Los números reales constituyen un conjunto no vacío ℝ, provisto de dos operaciones
internas, llamadas adición y multiplicación, denotadas por:
𝜓(𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏
𝜙(𝑎, 𝑏) = 𝑎 . 𝑏
y una relación de orden, denotada por “<” que se lee “menor que”, que satisface las
siguientes relaciones o leyes:
1.1. De la adición
A1. ∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ ∶ 𝑎 + 𝑏 𝜖 ℝ (Clausura)
A2. ∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ ∶ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (Ley conmutativa)
A3. ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ ∶ ( 𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + ( 𝑏 + 𝑐) (Ley asociativa)
A4. Existe un único elemento denotado por “0”, tal que;
𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎; ∀ ∈ ℝ (Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo)
A5. Existe un único elemento denotado por “−𝑎”, tal que:
𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0; ∀𝑎 ∈ ℝ (Existencia y unicidad del elemento inverso
aditivo)
1.2. De la multiplicación
M1. ∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ ∶ 𝑎 . 𝑏 𝜖 ℝ (Clausura)
M2. ∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ ∶ 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 (Ley conmutativa)
M3. ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ ∶ ( 𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎( 𝑏𝑐) (Ley asociativa)
M4. Existe un único elemento denotado por “1” diferente de “0”, tal que:
𝑎. 1 = 1. 𝑎 = 𝑎; ∀𝑎 ∈ ℝ (Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo)
M5. Existe un único elemento denotado por “𝑎−1”, tal que;
∀𝑎 ∈ ℝ; 𝑎 ≠ 0; 𝑎. 𝑎−1 = 𝑎−1 . 𝑎 = 1; ∀ ∈ ℝ (Existencia y unicidad del elemento
inverso multiplicativo)
D. ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ ∶ 𝑎( 𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 (Ley distributiva)
1.3. Definición de la Sustracción
∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ ∶ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
1.4. Definición de la División
∀ 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ , donde 𝑏 ≠ 0 ∶ 𝑎
𝑏= 𝑎 ∙ 𝑏−1
1.5. Axiomas
En ℝ, está definida la relación menor “<”, entre dos números reales y cumple los
siguientes axiomas:
O1. 𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑏 < 𝑐 → 𝑎 < 𝑐 ; ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ (Ley transitiva)
O2. 𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 ; ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ (Ley de monotonía)
O3. Dadas 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ, una y solo una de las siguientes relaciones se verifica:
𝑎 < 𝑏; 𝑎 = 𝑏; 𝑏 < 𝑎 𝜖 ℝ (Ley de tricotomía)
O4. 𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑦 0 < 𝑐 → 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 (Ley de monotonía de la multiplicación en relación
menor).
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3. Operaciones con Números Reales
La siguiente lista establece las propiedades más importantes de los números reales, las
propiedades que contienen denominadores, debemos considerar que estos son diferentes
de cero.
3.1 Propiedades Generales
Propiedad Ejemplo
1. 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
2. 𝑎 − (−𝑏) = 𝑎 + 𝑏
3. −𝑎 = (−1)(𝑎)
4. 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
5. 𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐
6. −(𝑎 + 𝑏) = 𝑎 − 𝑏
7. −(𝑎 − 𝑏) = −𝑎 + 𝑏
8. −(−𝑎) = 𝑎
9. 𝑎(0) = 0
10. (−𝑎)(𝑏) = −(𝑎𝑏) = 𝑎(−𝑏)
11. (−𝑎)(−𝑏) = 𝑎𝑏
12. 𝑎
1= 𝑎
13. 𝑎
𝑏= 𝑎 (
1
𝑏)
14. 𝑎
−𝑏= −
𝑎
𝑏=
−𝑎
𝑏
15. −𝑎
−𝑏=
𝑎
𝑏
16. 0
𝑎= 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0
17. 𝑎
𝑎= 1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0
18. 𝑎 (𝑏
𝑎) = 𝑏
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19. 𝑎 (1
𝑎) = 1 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 ≠ 0
20. 𝑎
𝑏∙
𝑐
𝑑=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
21. 𝑎𝑏
𝑐= (
𝑎
𝑐) 𝑏 = 𝑎 (
𝑏
𝑐)
22. 𝑎
𝑏𝑐= (
𝑎
𝑏) (
1
𝑐) = (
1
𝑏) (
𝑎
𝑐)
23. 𝑎
𝑏= (
𝑎
𝑏) (
𝑐
𝑐) =
𝑎𝑐
𝑎𝑐 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐 ≠ 0
24. 𝑎
𝑏(−𝑐)=
𝑎
(−𝑏)𝑐=
−𝑎
𝑏𝑐=
−𝑎
(−𝑏)(−𝑐)= −
𝑎
𝑏𝑐
25. 𝑎(−𝑏)
𝑐=
(−𝑎)𝑏
𝑐=
𝑎𝑏
−𝑐=
(−𝑎)(−𝑏)
−𝑐= −
𝑎
𝑏𝑐
26. 𝑎
𝑐+
𝑏
𝑐=
𝑎 + 𝑏
𝑐
27. 𝑎
𝑐−
𝑏
𝑐=
𝑎 − 𝑏
𝑐
28. 𝑎
𝑐+
𝑏
𝑑=
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑐𝑑
29. 𝑎
𝑐−
𝑏
𝑑=
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑐𝑑
30.
𝑎𝑏𝑐𝑑
=𝑎
𝑏÷
𝑐
𝑑=
𝑎
𝑏∙
𝑑
𝑐=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
31.
𝑎
𝑏𝑐
= 𝑎 ÷𝑏
𝑐= 𝑎 ∙
𝑐
𝑏=
𝑎𝑐
𝑏
30.
𝑎𝑏𝑐
=𝑎
𝑏÷ 𝑐 =
𝑎
𝑏∙
1
𝑐=
𝑎
𝑏𝑐
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3.2 Leyes de Exponentes y Radicales
Ley Ejemplo
1. 𝑥𝑚 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑥𝑚+𝑛
2. 𝑥0 = 1 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0
3. 𝑥−𝑛 =1
𝑥𝑛
4. 1
𝑥−𝑛= 𝑥𝑛
5. 𝑥𝑚
𝑥𝑛= 𝑥𝑚−𝑛 =
1
𝑥𝑛−𝑚
6. 𝑥𝑚
𝑥𝑚= 1
7. (𝑥𝑚)𝑛 = 𝑥𝑚∙𝑛
8. (𝑥𝑦)𝑛 = 𝑥𝑛𝑦𝑛
9. (𝑥
𝑦)
𝑛
=𝑥𝑛
𝑦𝑛
10. (𝑥
𝑦)
−𝑛
= (𝑦
𝑥)
𝑛
=𝑦𝑛
𝑥𝑛
11. 𝑥1𝑛 = √𝑥𝑛
12. 𝑥−1𝑛 =
1
𝑥1𝑛
=1
√𝑥𝑛
13. √𝑥𝑛 ∙ √𝑦𝑛 = √𝑥𝑦𝑛
14. √𝑥𝑛
√𝑦𝑛= √
𝑥
𝑦
𝑛
15. √ √𝑥𝑛𝑚
= √𝑥𝑚𝑛
16. 𝑥𝑚𝑛 = √𝑥𝑚𝑛
= ( √𝑥𝑛 )𝑚
17. ( √𝑥𝑚 )𝑚
= 𝑥
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4. Operaciones con Expresiones Algebraicas
Cuando se combinan números, representados por símbolos, mediante operaciones de
suma, resta, multiplicación, división o extracción de raíces, entonces la expresión resultante
se denomina expresión algebraica.
a. √3𝑥4+6𝑥−8
10−𝑥
3 es una expresión algebraica en la variable x.
b. 10 − 4√𝑦 +5
7+𝑦2 es una expresión algebraica en la variable y.
c. (𝑥+𝑦)3−𝑥𝑦
𝑦 es una expresión algebraica en las variables x e y.
Resuelve:
a) (3𝑥2𝑦 − 2𝑥 + 1) + (4𝑥2𝑦 + 6𝑥 − 3) b) (3𝑥2𝑦 − 2𝑥 + 1) − (4𝑥2𝑦 + 6𝑥 − 3)
c) 3{2𝑥[2𝑥 + 3] + 5[4𝑥2 − (3 − 4𝑥)]} d) −{−2[2𝑎 + 3𝑏 − 1] + 4[𝑎 − 2𝑏] − 𝑎[2(𝑏 − 3)]}
4.1 Productos Especiales
Producto Ejemplo
1. (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
2. (𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2
3. (𝑥 − 𝑎)2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2
4. (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) = 𝑥2 − 𝑎2
5. (𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥3 + 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 + 𝑎3
6. (𝑥 − 𝑎)3 = 𝑥3 − 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 − 𝑎3
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4.2 Reglas de Factorización
Regla Ejemplo
1. 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 = 𝑥(𝑦 + 𝑧)
2. 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)
2. 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = (𝑥 + 𝑎)2
3. 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎)2
4. 𝑥2 − 𝑎2 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎)
5. 𝑥3 + 𝑎3 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥2 − 𝑎𝑥 + 𝑎2)
6. 𝑥3 − 𝑎3 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2)