FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA PADA BILANGAN KOMPLEKS
Skripsi
Untuk memenuhi persyaratan dalam menyelesaikan program sarjana strata-1 Matematika
Oleh
Megawati NIM J1A106023
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT
BANJARBARU
AGUSTUS 2010
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
SKRIPSI
FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA PADA BILANGAN KOMPLEKS
Oleh
Megawati NIM. J1A106023
Telah dipertahankan di depan Penguji pada tanggal 27 Juli 2010.
Susunan Penguji:
Penguji:
1. Dewi Sri Susanti, S.Si, M.Si
2. Nur Salam, S.Si, M.Sc
3. Drs. Faisal, M.Si
Pembimbing Pendamping
M. Ahsar Karim, S.Si, M.Sc NIP. 198202082005011003 Banjarbaru, Juli 2010
Ketua Program Studi Matematika FMIPA UNLAM
Drs. Faisal, M.Si NIP. 196309021992031001
Pembimbing Utama
Na’imah Hijriati, S.Si, M.Si NIP. 197911222008012013
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
“Dengan menyebut nama Allah yang Maha Pemurah lagi Maha Penyayang”
Saya memulai menulis skripsi ini dengan menyebut nama Allah, karena setiap pekerjaan yang baik, hendaknya dimulai dengan menyebut asma Allah. Allah ialah nama zat yang Maha suci, yang berhak disembah dengan sebenar-benarnya, yang tidak membutuhkan makhluk-Nya, tapi makhluk yang membutuhkan-Nya. Ar Rahmaan (Maha Pemurah): salah satu nama Allah yang memberi pengertian bahwa Allah melimpahkan karunia-Nya kepada makhluk-Nya, sedang Ar Rahiim (Maha Penyayang) memberi pengertian bahwa Allah senantiasa bersifat rahmah yang menyebabkan dia selalu melimpahkan rahmat-Nya kepada makhluk-Nya.
“Dan kelak Tuhanmu pasti memberikan karunia-Nya kepadamu, lalu (hati) kamu menjadi puas”. (QS. Adh Dhuhaa: 5)
“Segala puji bagi Allah, Tuhan semesta alam” Kusadari hidup ini indah
Penuh dengan karunia Satu yang aku dambakan
‘MAMPU MEMBUAT HIDUP JADI LEBIH BERMAKNA. Melalui skripsi ini yang aku persembahkan teruntuk:
1. Ayah dan Ibuku tercinta yang penuh kasih dan sayang memberikan perhatiannya padaku
2. Kakakku terkasih yang selalu mendukungku dan memberikan arahan-arahan dengan pengalaman-pengalamannya
3. Adikku tersayang yang senantiasa dapat membuatku bersemangat dan tersenyum dalam lika-liku perjalanan pembuatan skripsi ini.
Motto hidup: “Sedikit Bicara Banyak Berkarya”
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam skripsi ini tidak terdapat karya
yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan
Tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat
yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis
diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam Daftar Pustaka.
Banjarbaru, 27 Juli 2010
Megawati NIM. J1A106023
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
ABSTRAK
FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA PADA BILANGAN KOMPLEKS (Oleh Megawati; Pembimbing: Na’imah Hijriati dan M. Ahsar Karim; 2010; 60 halaman)
Himpunan bilangan terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian, yaitu bagian riil dan bagian imajiner (khayal), yang secara matematis berbentuk iba dengan a dan b bilangan-bilangan riil. Bagian imajiner bercirikan adanya bilangan imajiner i yang didefinisikan sebagai 1i . Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menjelaskan karakteristik dari dua fungsi khusus yang terdapat dalam kajian kalkulus tingkat lanjut yang dibangun pada bilangan kompleks, yaitu fungsi gamma : C → C yang didefinisikan sebagai )(z dan fungsi beta :B C C → C yang didefinisikan sebagai ),( 21 zzB dengan 21,, zzz C.
Penelitian ini dilakukan dengan metode studi literatur, mengumpulkan berbagai referensi yang terkait dengan materi tentang permasalahan bilangan kompleks, fungsi gamma dan fungsi beta. Dengan mengkaji beberapa karakteristik bilangan kompleks yang dikenakan pada fungsi gamma, maka selanjutnya fungsi beta pada bilangan kompleks dapat secara langsung dikaji
dengan menggunakan hubungan )()()(),(
21
2121 zz
zzzzB
, untuk setiap 21 , zz c
dengan z }}0{{ Z . Setelah fungsi gamma dan fungsi beta dikaji pada bilangan kompleks,
diperoleh )()( zz yang berakibat ),(),( 212 zzBzzB , dan
)Re()( zz yang berakibat )Re(),Re(),( 2121 zzBzzB , dimana
21,, zzz C dengan 0)Re(,0)Re(,0)Re( 21 zzz . Jika bilangan kompleks z
adalah bilangan imajiner murni maka diperoleh bb
ib
sinh
)( 2 dan
2121
2121221 sinhsinh
)(sinh)(),(bbbb
bbbbibibB
, untuk setiap 21,bb R dengan
0,, 21 bbb . Jika 21)Re( z maka diperoleh sifat khusus
bib
cosh)( 2
21
dan 222
112
1 )(),( ibibB 21
21
21 coshcosh)(sinh
)( bbbb
bb
.
Kata kunci: bilangan kompleks, fungsi gamma, fungsi beta.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
ABSTRACT
GAMMA FUNCTION AND BETA FUNCTION AT COMPLEX NUMBER (By: Megawati; Supervisors: Na’imah Hijriati and M. Ahsar Karim; 2010; 60 pages)
The biggest set of numbers in mathematics is the set of complex number. Generally, complex number consisted of two parts, those are real part and imaginary part (illusion), that mathematically is in the form of iba with a and b are real numbers. The imaginary part has characteristic by its imaginary number i which is defined as 1i . The objective of this research is to explain the characteristics of two special functions which are in advanced calculus study which constructed on complex number, those are gamma function : C → C which is defined as )(z and beta function :B C C → C which is defined as
),( 21 zzB with 21,, zzz C. This research is conducted with literature study method, by collecting
various references which are related to the theories of complex number problems, gamma function and beta function. By observing some characteristics of complex numbers in gamma function, then the observation can be straightaway held in beta function at complex number by using the equation below:
)()()(),(
21
2121 zz
zzzzB
, for each 21 , zz c with z }}0{{ Z .
After the gamma function and beta function are observed at complex numbers, )()( zz is obtained, hence ),(),( 212 zzBzzB , and
)Re()( zz is obtained, therefore )Re(),Re(),( 2121 zzBzzB , where
21,, zzz C with 0)Re(,0)Re(,0)Re( 21 zzz . If the complex number z is a
pure imaginary number, then bb
ib
sinh
)( 2 and
2121
2121221 sinhsinh
)(sinh)(),(bbbb
bbbbibibB
are obtained, for each 21,bb R with
0,, 21 bbb . If 21)Re( z then the special characters
bib
cosh)( 2
21 and
222
112
1 )(),( ibibB 21
21
21 coshcosh)(sinh
)( bbbb
bb
are obtained.
Keyword: complex number, gamma function, beta function.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah Subhanahu Wa Ta’ala, atas segala rahmat dan
hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini yang
berjudul Fungsi Gamma dan Fungsi Beta pada Bilangan Kompleks. Sholawat dan
salam semoga selalu tercurah kepada Nabi Muhammad Salallahu ‘Alaihi
Wasallam yang telah menuntun manusia menuju jalan kebahagiaan hidup di dunia
dan akhirat.
Banyak pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan hingga
terwujudnya skripsi ini. Oleh karena itu dengan segala kerendahan hati, penulis
ingin mengucapkan rasa terima kasih dan perhargaan yang tulus kepada:
1. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lambung Mangkurat Banjarbaru.
2. Ketua Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lambung Mangkurat Banjarbaru.
3. Ibu Na’imah Hijriati, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing utama skripsi yang
telah bersedia meluangkan pikiran dan waktu serta memberikan saran yang
berharga serta tidak henti memotivasi penulis hingga akhirnya penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini.
4. Bapak M. Ahsar Karim, S.Si, M.Sc selaku dosen pembimbing pendamping
skripsi yang telah membimbing dengan sabar dan memberikan banyak
masukan dan saran selama penyusunan skripsi ini.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
5. Bapak Nur Salam, S.Si, M.Sc selaku dosen pembimbing akademik yang telah
memberikan bimbingan akademik selama penulis kuliah.
6. Dosen-dosen di Fakultas MIPA UNLAM terutama dosen-dosen pengajar di
Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu kepada penulis.
7. Ibu dan Ayahku serta kakak dan adikku, terima kasih atas segala dukungan,
doa, dan suasana penuh cinta dan kasih sayang yang selalu dihadirkan di
tengah keluarga, terima kasih atas segala kejutan dan kebahagiaan yang
senantiasa kalian berikan padaku.
8. Sahabat-sahabat terbaikku Hj. Nor Latifah, Yuana Sukmawaty, dan Hani
Ghalib Alkathiri, terima kasih atas segala doa, dukungan semangat, perhatian,
dan bantuan ilmunya.
9. Seluruh rekan mahasiswa matematika FMIPA UNLAM, khususnya angkatan
2006 serta semua pihak yang telah memberikan bantuan, baik berupa
masukan, saran, maupun nasihat kepada penulis selama proses penulisan
skripsi ini.
Semoga segala amal kebaikan kalian mendapat balasan yang setimpal dari
Allah Subhanahu Wa Ta’ala. Penulis mohon maaf atas segala kesalahan yang
pernah dilakukan baik sengaja maupun tidak sengaja. Penulis sadar bahwa tulisan
ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik selalu penulis
harapkan demi perbaikan tulisan ini. Akhir kata, penulis berharap semoga skripsi
ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.
Banjarbaru, Juli 2010
Penulis
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL ................................................................................. i
HALAMAN PENGESAHAN .................................................................... ii
PERNYATAAN ........................................................................................ iii
ABSTRAK ................................................................................................ iv
ABSTRACT .............................................................................................. v
PRAKATA ................................................................................................ vi
DAFTAR ISI ............................................................................................. viii
ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN .................................................... x
BAB I PENDAHULUAN ..................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ................................................................................. 1
1.2 Rumusan Masalah ............................................................................ 2
1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................. 2
1.4 Manfaat Penelitian ........................................................................... 2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................. 3
2.1 Sistem Bilangan Kompleks .............................................................. 3
2.2 Sifat-Sifat Aljabar Bilangan Kompleks ............................................ 4
2.3 Geometri Bilangan Kompleks .......................................................... 6
2.3.1 Modulus dari Bilangan Kompleks ........................................... 6
2.3.2 Bentuk Polar dan Eksponen ..................................................... 8
2.4 Limit Fungsi Kompleks ................................................................... 10
2.5 Fungsi Pangkat Bilangan Kompleks ................................................. 15
2.6 Fungsi Trigonometri Bilangan Kompleks ......................................... 17
2.7 Fungsi Hiperbolik Bilangan Kompleks ............................................ 18
2.8 Fungsi Logaritma Bilangan Kompleks ............................................. 18
2.9 Kekonvergenan Perkalian Tak Hingga ............................................. 19
2.10 Notasi Faktorial ............................................................................... 20
2.11 Fungsi Gamma ................................................................................. 20
2.12 Fungsi Beta ...................................................................................... 24
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
BAB III METODE PENELITIAN ........................................................... 27
3.1 Materi Penelitian .............................................................................. 27
3.2 Cara Penelitian ................................................................................. 27
3.3 Prosedur Penelitian .......................................................................... 27
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .................................................. 28
4.1 Karakteristik Dasar )(z ................................................................. 28
4.2 Sifat-Sifat Khusus )(z ................................................................... 41
4.3 Definisi ),( 21 zzB dan Hubungannya dengan )(z .......................... 49
BAB V PENUTUP ................................................................................. 58
5.1 Kesimpulan ...................................................................................... 58
5.2 Saran ............................................................................................... 59
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 60
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN
Simbol Arti
Elemen (anggota)
Untuk setiap
Delta
Epsilon
C Himpunan bilangan kompleks
R Himpunan bilangan riil ZZZ ,, Himpunan bilangan bulat, himpunan
bilangan bulat positif, himpunan
bilangan bulat negatif
Sama dengan
Tidak sama dengan
Lebih kecil dari
Lebih kecil dari atau sama dengan
Lebih besar dari
Lebih besar dari atau sama dengan
n
iif
0 Jumlah dari 0f sampai dengan nf
n
iif
1 Perkalian dari 1f sampai dengan nf
lim Limit
ln Logaritma natural
Fungsi gamma
B Fungsi beta
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan
bilangan kompleks. Himpunan bilangan riil yang biasa dipakai sehari-hari
merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks. Secara umum
bilangan kompleks terdiri dari dua bagian, yaitu bagian riil dan bagian imajiner
(khayal), yang secara matematis berbentuk iba dengan a dan b bilangan-
bilangan riil. Bagian imajiner bercirikan adanya bilangan imajiner i yang
didefinisikan sebagai 1i .
Dalam kajian kalkulus tingkat lanjut, dikenal dua fungsi khusus yaitu
fungsi gamma dan fungsi beta. Kedua fungsi tersebut biasanya digunakan di
dalam menyelesaikan permasalahan di bidang fisika dan teknik. Fungsi gamma
yang disimbolkan sebagai dan fungsi beta dengan simbol B pada dasarnya
dapat didefinisikan pada bilangan riil dan kompleks dengan beberapa syarat
tertentu. Dasar-dasar teori fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan riil akan
sangat membantu di dalam mengkaji sifat-sifat fungsi gamma dan fungsi beta
yang didefinisikan pada bilangan kompleks.
Oleh sebab itu, untuk memahami lebih mendalam akibat dari karakteristik
bilangan kompleks terhadap nilai fungsi gamma dan fungsi beta, maka perlu
dibahas beberapa sifat khusus yang terjadi akibat penurunan rumus-rumus dasar
nilai fungsi gamma dan fungsi beta yang dikaji pada bilangan kompleks.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka rumusan masalah pada penelitian
ini adalah bagaimana karakteristik fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan
kompleks.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menjelaskan karakteristik )(z dan
),( 21 zzB dengan 21,, zzz C.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan bermanfaat sebagai bahan kajian di dalam
mempelajari sifat-sifat fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan kompleks
yang berguna di dalam menambah pengetahuan di bidang matematika yang dapat
diaplikasikan baik di bidang matematika atau lainnya seperti fisika dan teknik.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Sistem Bilangan Kompleks
Sistem bilangan kompleks dapat dinyatakan secara formal dengan
menggunakan konsep pasangan terurut (ordered pair) bilangan riil (a,b).
Himpunan semua pasangan itu dengan operasi-operasi tertentu yang sesuai
padanya dapat didefinisikan sebagai sistem bilangan kompleks (Wibisono, 1975).
Definisi 2.1.1 (Wibisono, 1975)
Himpunan bilangan kompleks adalah keseluruhan besaran yang berbentuk
iba atau bia ,
dengan a dan b bilangan-bilangan riil dan .12 i
Jika ibabaz ),( merupakan suatu bilangan kompeks, maka a
dinamakan bagian riil (real part) dari z dan b dinamakan bagian imajiner
(imaginary part) dari z yang secara berturut-turut dinyatakan dengan )zRe( dan
)zIm( . Lambang z yang dapat ditempatkan untuk sesuatu dari himpunan bilangan
kompleks dinamakan peubah kompleks.
Bilangan riil dapat dipandang sebagai bagian dari himpunan bilangan
kompleks dengan 0b . Jika 0a , maka ib0 atau ib dinamakan bilangan
imajiner murni (Spiegel, 1994).
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2.2 Sifat-Sifat Aljabar Bilangan Kompleks
Operasi penjumlahan dan perkalian dua bilangan kompleks didefinisikan
sebagai berikut:
Definisi 2.2.1 (Sardi, 2008)
Jika 111 ibaz dan 222 ibaz adalah bilangan kompleks, maka:
i. )()()()( 2121221121 bbiaaibaibazz
ii. )()())(( 12212121221121 babaibbaaibaibazz .
Pada bilangan kompleks juga diperkenalkan suatu operasi yang disebut
kesekawanan (conjugation), yang didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.2.2 (Sardi, 2008)
Jika ibabaz ),( , maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis z dan
didefinisikan sebagai ibabaz ),( .
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan
kompleks memenuhi sifat-sifat berikut:
Teorema 2.2.3 (Sardi, 2008)
i. Jika z bilangan kompleks, maka
1). zz
2). 22 )zIm()zRe(zz .
ii. Jika 21 , zz bilangan kompleks, maka
1). 2121 zzzz
2). 2121 zzzz
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
3). .0, 22
1
2
1
z
zz
zz
Bukti:
i. Misalkan ibaz , maka ibaz , maka
1). zibaibaz .
2). .)Im()Re())(( 2222 zzbaibaibazz ■
ii. Misalkan 111 ibaz dan 222 ibaz , maka
1). )()( 221121 ibaibazz
)()( 2121 bbiaa
)()( 2121 bbiaa
)()( 2211 ibaiba
21 zz .
2). ))(( 221121 ibaibazz
)()( 12212121 babaibbaa
)()( 12212121 babaibbaa
)()( 12212121 babaibbaa
))(( 2211 ibaiba
21zz .
3).
22
11
2
1
ibaiba
zz
))(())((
2222
2211
ibaibaibaiba
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2
22
2
12212121 )()(ba
babaibbaa
22
22
12212121 )()(ba
babaibbaa
22
22
12212121 )()(ba
babaibbaa
))(())((
2222
2211
ibaibaibaiba
)()(
22
11
ibaiba
.0, 22
1 zzz ■
2.3 Geometri Bilangan Kompleks
Arti geometri dari bilangan kompleks dalam hal ini dapat dipahami
sebagai vektor di bidang xy, dengan sumbu x dan sumbu y secara berturut-turut
dinamakan sumbu riil dan sumbu imajiner. Bilangan kompleks iba pada bidang
datar xy dapat diidentifikasikan berpangkal pada titik pusat dan berujung pada titik
(a,b) (Wibisono, 1975).
2.3.1 Modulus dari Bilangan Kompleks
Untuk sebarang bilangan kompleks ibaz , modulus (nilai mutlak) dari
bilangan kompleks yang merupakan panjang vektor z didefinisikan sebagai
berikut:
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Definisi 2.3.1.1 (Sardi, 2008)
Jika ibaz bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis z didefinisikan
sebagai 22 baibaz .
Definisi ini menunjukkan bahwa z merupakan bilangan riil positif atau
nol. Arti geometri z menyatakan panjang vektor ),( ba , yaitu jarak dari titik asal
)0,0(O terhadap titik ),( baz .
Berikut ini terdapat teorema yang menjelaskan sifat-sifat dari modulus
atau nilai mutlak dari bilangan kompleks, yaitu:
Teorema 2.3.1.2 (Sardi, 2008)
i. Jika z bilangan kompleks, maka
1). 222 ))z(Im())z(Re(z
2). zz
3). zzz 2 .
ii. Jika 21 , zz bilangan kompleks, maka
1). 2121 zzzz
2). 0, 22
1
2
1 zzz
zz .
Bukti:
i. Misalkan ibaz , maka
1). 22222
222 ))(Im())(Re( zzbabaz .
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2). ibaz , sehingga zbabaz 2222 )( .
3). zzibaibabaz ))((222 . ■
ii. Misalkan 21 , zz bilangan kompleks, maka
1). 22
21221121212121
221 ))(())(( zzzzzzzzzzzzzzzz .
Jadi, 2121 zzzz .
2). 2
12
1 1z
zzz
, sehingga:
21
21
2
21
2
2
1 111z
zz
zz
zzz
2
1
21
1zz
zz
2
1
2
1
zz
zz
22
11
zzzz
22
21
zz
.
Jadi, 2
1
2
1
zz
zz
, 02 z . ■
2.3.2 Bentuk Polar dan Eksponen
Dalam koordinat polar, bilangan kompleks ),( baz dinyatakan dalam r
dan θ yaitu ),( rz . Pada Gambar 1 diperoleh hubungan sebagai berikut:
sin;cos rbra , dengan:
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
zbar 22
θ : sudut antara sumbu x positif dengan Oz.
),( baz
Untuk 0z , sudut θ dihitung dari ab
tan dan untuk 0z maka 0r
dan θ dapat dipilih sebarang. Dengan demikian bilangan kompleks ibaz
dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu:
).sin(cos irz
Definisi 2.3.2.1 (Sardi, 2008)
Diberikan bilangan kompleks )sin(cos irz . Sudut θ disebut argument dari
z, ditulis .arg z Sudut θ dengan 20 atau disebut
argument utama dari z, ditulis .zArg Pembahasan untuk θ tersebut dipilih
salah satu saja.
Dengan menggunakan rumus Euler
sincos ie i ,
maka bentuk polar bilangan kompleks z dapat diubah menjadi
ireirz )sin(cos .
O
Gambar 1.
r
θ
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Penulisan irez merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks z.
Selanjutnya bilangan kompleks sekawan dari z adalah:
)sin(cos irz
))sin()(cos( ir
ire .
2.4 Limit Fungsi Kompleks
Secara formal definisi limit untuk suatu fungsi kompleks )(zf ditulis
sebagai berikut:
Definisi 2.4.1 (Sardi, 2008)
Diberikan fungsi f: C → C dan misalkan fungsi )(zfw terdefinisi pada daerah
D kecuali di 0z (titik 0z di dalam D atau batas D). Limit dari )(zf adalah 0w
untuk z menuju 0z , jika untuk setiap 0 terdapat 0 sehingga
0)( wzf , apabila 00 zz ditulis 0)(lim0
wzfzz
.
Teorema berikut menyatakan jika dua fungsi kompleks yang diberikan
masing-masing mempunyai limit, maka jumlah, selisih, perkalian dan pembagian
fungsi-fungsi itu mempunyai limit berturut-turut sama dengan jumlah, selisih,
perkalian dan pembagian masing-masing limit yang diberikan.
Teorema 2.4.2 (Saff, 2003)
Diketahui Azfzz
)(lim0
dan Bzgzz
)(lim0
, maka
1). BAzgzfzgzfzzzzzz
)(lim)(lim)()(lim000
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2). BAzgzfzgzfzzzzzz
)(lim)(lim)()(lim000
3). ABzgzfzgzfzzzzzz
)(lim)(lim)()(lim000
4). .0,)(lim
)(lim
)()(lim
0
0
0
Bjika
BA
zg
zf
zgzf
zz
zz
zz
Bukti:
1). Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka 2 adalah positif.
Karena Azfzz
)(lim0
, maka terdapat suatu bilangan positif 1 sedemikian
sehingga
100 zz2
)( Azf .
Karena Bzgzz
)(lim0
, maka terdapat suatu bilangan positif 2 sedemikian
sehingga
200 zz2
)( Bzg .
Pilih };,min{ 21 yaitu pilih sebagai yang terkecil di antara 1 dan
2 , maka 00 zz menunjukkan
BzgAzfBAzgzf )()()()()(
BzgAzf )()(
22.
Jadi, )(lim)(lim)()(lim000
zgzfBAzgzfzzzzzz
.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2). Berdasarkan bukti 1), maka dapat ditunjukkan
)()1()(lim)()(lim00
zgzfzgzfzzzz
)()1(lim)(lim00
zgzfzzzz
,
dengan sifat bahwa );(lim)(lim00
zgkzkgzzzz
k konstanta, yang dapat
dibuktikan sebagai berikut:
Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka 1k
adalah positif.
Karena Bzgzz
)(lim0
, maka terdapat suatu bilangan positif 1 sedemikian
sehingga
100 zz1
)(
k
Bzg .
Dengan demikian terdapat suatu sedemikian sehingga 00 zz yang
menunjukkan
BzgkkBzkg )()(
Bzgk )(
1
kk
.
Jadi, );(lim)(lim00
zgkkBzkgzzzz
k konstanta.
Oleh karena itu,
)(lim)1()(lim)()(lim000
zgzfzgzfzzzzzz
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
)(lim)(lim00
zgzfzzzz
BA .
3). Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka 1)(2
1zg
adalah
positif. Karena Azfzz
)(lim0
, maka terdapat suatu bilangan positif 1
sedemikian sehingga
100 zz1)(2
1)(
zg
Azf .
Karena Bzgzz
)(lim0
, maka terdapat suatu bilangan positif 2 sedemikian
sehingga
200 zz12
1)(
A
Bzg .
Pilih },min{ 21 , maka 00 zz menunjukkan
ABzAgzAgzgzfABzgzf )()()()()()(
BzgAAzfzg )()()(
BzgAAzfzg )()()(
BzgAAzfzg )()()(
121)(2)(
AA
zgzg
22.
Jadi, )(lim)(lim)()(lim000
zgzfABzgzfzzzzzz
.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
4). Berdasarkan bukti 3), maka dapat ditunjukkan
)(1)(lim
)()(lim
00 zgzf
zgzf
zzzz
)(
1lim)(lim00 zg
zfzzzz
,
dengan )(lim
1)(
1lim0
0 zgzgzz
zz
, yaitu dengan diberikan bilangan positif ,
maka Bzg )(21 adalah positif. Karena Bzg
zz
)(lim
0
, maka terdapat suatu
bilangan positif 1 sedemikian sehingga
100 zz BzgBzg )(21)( .
Dengan demikian terdapat suatu sedemikian sehingga 00 zz yang
menunjukkan
Bzg
BzgBzgzgB
Bzg )()(
)()(1
)(1
BzgBzg
)()(
BzgBzg
)()(
BzgBzg
)(1)(
21
2
.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Jadi, )(lim
11)(
1lim0
0 zgBzgzz
zz
.
Oleh karena itu,
)(lim1)(lim
)()(lim
0
00 zgzf
zgzf
zzzzzz
BA
. ■
2.5 Fungsi Pangkat Bilangan Kompleks
Fungsi pangkat didefinisikan sebagai:
)sin(cos bibeeew aibaz ,
dengan ...71828,2e adalah bilangan dasar logaritma natural (asli). Jika a
bilangan riil positif, maka didefinisikan azz ea ln , dengan aln adalah logaritma
natural (asli) dari a. Jika ea maka direduksi kembali menjadi w (Spiegel,
1994).
Berikut ini adalah sifat-sifat aljabar yang paling pokok untuk fungsi
pangkat dengan bilangan dasar logaritma natural, yaitu:
Teorema 2.5.1 (Wibisono, 1975)
i. Untuk setiap peubah kompleks 1z dan 2z berlaku sifat-sifat berikut:
1). 2121 zzzz eee
2). 2
121
z
zzz
eee .
ii. Jika ibaz , maka
1). zz ee
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2). bedanee zaz )arg( .
Bukti:
i. Misalkan 111 ibaz dan 222 ibaz , maka
)sin(cos 1111 bibee az dan )sin(cos 22
22 bibee az .
1). )sin)(cossin(cos 22112121 bibbibeeee aazz
)sincossin(cos)sinsincos(cos 1221212121 bbbbibbbbe aa
)sin()cos( 212121 bbibbe aa
21 zze .
2). )()( 212121 bbiaazz , maka
)sin()cos( 21212121 bbibbee aazz
)sincoscos(sin)sinsincos(cos 212121212
1
bbbbibbbbee
a
a
211211 sin)sin(coscos)sin(cos2
1
bibibbbibee
a
a
)sin)(cossin(cos 22112
1
bibbibee
a
a
21
2
1ibib
a
a
eeee
2
1
2
1
ib
ib
a
a
ee
ee
22
11
iba
iba
ee
2
1
z
z
ee
. ■
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
ii. Misalkan ibaz , maka beibebibee aaaz sincos)sin(cos ,
sehingga:
1). Karena ibaz maka ibaz , sehingga:
ibaz ee
ibaee
)sin(cos bibe a
biebe aa sincos
biebe aa sincos
)sin(cos bibe a
ze .
2). aaaaz ebbebebee )sin(cos)()sin()cos( 22222 ,
dan bbarcbebearce a
az
)tan(tan
cossintan)arg( . ■
2.6 Fungsi Trigonometri Bilangan Kompleks
Definisi yang diberikan cukup konsisten dengan Rumus Euler, yaitu untuk
setiap b bilangan riil,
bibe ib sincos dan bibe ib sincos .
Dengan menjumlahkan dan mengurangkan kedua rumus tersebut diperoleh
ieebeeb
ibibibib
2sin;
2cos
,
sehingga dapat didefinisikan fungsi trigonometri dengan peubah kompleks z,
sebagai berikut:
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2cos
iziz eez
(2.1)
dan
ieez
iziz
2sin
(2.2)
(Sardi, 2008).
2.7 Fungsi Hiperbolik Bilangan Kompleks
Fungsi hiperbolik didefinisikan sebagai kombinasi dari fungsi pangkat
(eksponen), sebagai berikut:
Sinus hiperbolik didefinisikan dengan
2sinh
zz eez
; z C (2.3)
dan cosinus hiperbolik dengan
2cosh
zz eez
; z C (2.4)
(Sardi, 2008).
2.8 Fungsi Logaritma Bilangan Kompleks
Jika wez , maka dapat dituliskan zw ln , yang dinamakan logaritma
natural (asli) dari z. jadi fungsi logaritma natural adalah invers dari fungsi pangkat
dan dapat didefinisikan sebagai:
Definisi 2.8.1 (Boas, 2006)
Misalkan bilangan kompleks biaz , yang dalam bentuk eksponen ditulis
irez , maka
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
irerrezw ii lnlnln)ln(ln ,
dengan rln adalah logaritma bilangan riil biasa dengan bilangan pokok e, dan r
adalah suatu bilangan riil positif.
2.9 Kekonvergenan Perkalian Tak Hingga
Analog dengan deret bilangan (jumlahan yang banyak sukunya tak hingga
terhitung), maka pada perkalian n suku pertama juga analog dengan jumlah n suku
pertama deret, dengan definisi sebagai berikut:
Definisi 2.9.1 Perkalian Parsial (Arfken, 2005)
Jika np adalah suatu perkalian parsial, maka np didefinisikan sebagai:
n
inin fffffp
1321 ; n bilangan asli.
Berdasarkan kenyataan tersebut, dapat disusun pengertian untuk
kekonvergenan perkalian tak hingga sebagai berikut:
Definisi 2.9.2 Konvergen (Arfken, 2005)
Perkalian tak hingga
1iif dikatakan konvergen ke suatu bilangan P (P bukan 0
ataupun ∞) jika
n
iinnn
PfatauPp1
limlim ; n bilangan asli.
Pada kasus fungsi trigonometri, dipunyai dua pengertian penting dalam
bentuk perkalian tak hingga sebagai berikut:
Definisi 2.9.3 Sinus dan Cosinus (Arfken, 2005)
Dalam perkalian tak berhingga, untuk setiap x bilangan riil, sin x dan cos x pada
fungsi trigonometri didefinisikan sebagai:
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
122
2
1sinn n
xxx
;
1
22
2
)12(41cos
n nxxx
.
2.10 Notasi Faktorial
Definisi dasar untuk notasi faktorial dinyatakan sebagai berikut:
Definisi 2.10.1 (Siang, 2002)
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (simbol !n )
didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara 1 hingga n.
n1n321n )....(..! .
2.11 Fungsi Gamma
Terdapat dua definisi penting untuk mendefinisikan fungsi gamma, yaitu:
Definisi 2.11.1 (Boas, 2006)
Diberikan fungsi : r → r. Fungsi gamma pada bilangan riil yang dinyatakan
oleh )(n didefinisikan sebagai:
dtten nt 1
0
)(
; 0n (2.5)
dengan n dan t adalah sebarang bilangan riil.
Dari persamaan (2.5) di atas diperoleh:
0 0
2
0
,)3(,)2(,)1( dttedttedte ttt
dan seterusnya. Kemudian untuk menentukan nilai integral di atas, digunakan
rumus integral parsial, sehingga untuk n bilangan bulat positif diperoleh:
0
2
00
11
0
1 )1()( dttentedetdtten ntnttnnt .
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Apabila di dalam bentuk 1 ntte atau t
n
et 1
peubah t diganti dengan , maka
diperoleh bentuk tak tentu , sehingga digunakan aturan De L’Hopital, yaitu
)()(lim
)()(lim '
'
tgtf
tgtf . Dengan demikian, diperoleh:
t
n
tt
n
t
nt
t etn
ette
211 )1(limlim)(lim
t
n
t etnn 3)2)(1(lim
01)3)(2)(1(lim
tt e
nnn .
Jadi,
0
2
0
1 )1()00( dttendtte ntnt atau )1()1()( nnn . Dengan
demikian diperoleh:
)()1( nnn ; n Z . (2.6)
Dari persamaan (2.5) diperoleh:
0
01)10()1( tt edte ,
sehingga
.!)()1(
!4!3.4)4(.4)5(!3!2.3)3(.3)4(!21.2)2(.2)3(
11.1)1(.1)2(1)1(
nnnn
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Jadi diperoleh:
!)1( nn ; n Z . (2.7)
Selanjutnya !n dapat didefinisikan ke dalam bentuk fungsi integral sebagai berikut:
0
)1(! dttenn nt ; 1n , (2.8)
dan !0 dapat didefinisikan sebagai:
1)1(!0 . (2.9)
Nilai )(n untuk 21 n dapat dibaca dari tabel. Tabel berikut ini adalah
tabel beberapa nilai )(n untuk 21 n .
Tabel 1. Tabel Fungsi Gamma
n )(n
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
1
0,9513507699
0,9181687424
0,8974706963
0,8872638175
0,8862269255
0,8935153493
0,9086387329
0,9313837710
0,9617658319
1
Nilai )(n dapat ditentukan untuk semua 1n , dengan n sebarang bilangan riil
dengan menggunakan rumus rekursif )()1( nnn .
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Contoh 1.
Hitunglah nilai )4,3( .
Jawab:
981206427,28872638175,04,14,2)4,1(4,14,2)4,2(4,2)4,3( .
Untuk 1n , nilai )(n dapat dihitung dengan rumus n
nn )1()( .
Contoh 2.
Hitunglah nilai )6,0( dan )7,1( .
Jawab:
489192249,16,0
8935153493,06,0
)6,1()6,0(
.
7,0)3,0(
7,11
7,1)7,0()7,1(
3,0)3,1(
7,01
7,11
3,08974706963,0
7,01
7,11
.513923519,2
Namun )(n tidak terdefinisi untuk setiap n sama dengan nol atau bilangan bulat
negatif, sebab 01
0)1()0(
(tidak terdefinisi). Demikian pula
1)0()1(
,
2)1()2(
, dan seterusnya, dan ini dinamakan sebagai sifat dasar dari fungsi
gamma pada bilangan riil (Spiegel, 1990).
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Selanjutnya fungsi gamma dapat juga didefinisikan dalam bentuk yang
dikenal sebagai rumus Euler sebagai berikut:
Definisi 2.11.2 (Arfken, 2005)
Fungsi gamma adalah:
z
nn
nzzzznz
)()2)(1(321lim)(
dimana z bilangan riil atau kompleks, dan z })0{( Z .
2.12 Fungsi Beta
Dari rumus faktorial dapat dituliskan hasil kali dua fungsi faktorial sebagai
perkalian dari dua fungsi integral. Dengan mengganti variabel dan integral
berbatas, diperoleh:
a anvmu
advveduuenm
0 0
,lim!! 1,1 nm . (2.10)
Jika u dan v masing-masing diganti dengan 2x dan 2y , maka
didapatkan:
a anymx
adyyedxxenm
0 0
1212 22
4lim!! . (2.11)
Dengan memandang x dan y sebagai koordinat-koordinat di dalam sistem
koordinat Cartesian serta mentransformasikan persamaan (2.11) ke dalam sistem
koordinat polar, maka menurut hubungan ,sin,cos ryrx dan
ddrrdydx diperoleh:
anmnmr
addrrenm
0
2/
0
1212322 sincos4lim!!2
.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Kemudian dilakukan variasi bentuk lain dari )(n yang dapat dibentuk menjadi
persamaan bentuk integral lain dengan dimisalkan 2st . Karena dssdt 2 ,
maka diperoleh:
dsssen ns 2)()( 12
0
2
dsse ns 12
0
2
2
.
Untuk ts , maka didapatkan variasi lain dari )(n dengan bentuk sebagai
berikut:
0;2)( 12
0
2
ndtten nt , (2.12)
sehingga diperoleh:
0
2/
0
12121)2(2 sincos22!!2
ddrrenm nmnmr
dnm nm 2/
0
1212 sincos2)2(
dnm nm 2/
0
1212 sincos2)!1(
)1,1()!1( nmBnm , (2.13)
dengan 2/
0
1212 sincos2)1,1(
dnmB nm . (2.14)
Jadi, )!1(
!!)1,1(
nmnmnmB . (2.15)
Persamaan (2.15) dikenal sebagai fungsi beta (Soedojo, 1995).
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Selanjutnya dari persamaan (2.14) dimisalkan t2cos , jika 0 maka
1t , dan jika 2 maka 0t , sehingga diperoleh:
0
1
22
sincos2sinsincoscos2)1,1(
dtnmB nm
1
0
)1( dttt nm . (2.16)
Oleh karena itu, jika diberikan :B R R → R, maka fungsi beta yang dinyatakan
dengan ),( nmB dapat ditulis sebagai:
dtttnmB nm 1
0
11 )1(),( ; 1m dan 1n . (2.17)
Jika dalam persamaan (2.17) diadakan substitusi st 1 , maka
1
0
110
1
11 ),()1()()()1(),( mnBdsssdsssnmB mnnm (2.18)
yang berarti bahwa fungsi beta bersifat simetri terhadap pertukaran peubahnya.
Kemudian berdasarkan persamaan (2.15), diperoleh hubungan antara
fungsi beta dan fungsi gamma sebagai berikut:
)()()(
)!1()!1()!1(),(
nmnm
nmnmnmB
(2.19)
(Arfken, 2005).
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
BAB III
METODE PENELITIAN
3.1 Materi Penelitian
Materi yang digunakan dalam penelitian ini adalah buku-buku dan jurnal
yang terkait dengan materi permasalahan bilangan kompleks, fungsi gamma dan
fungsi beta.
3.2 Cara Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dari materi penelitian
baik buku maupun jurnal serta referensi pendukung yang digunakan pada
penelitian ini.
3.3 Prosedur Penelitian
Prosedur penelitian yang dilakukan meliputi langkah-langkah sebagai
berikut:
1. Mempelajari sifat-sifat bilangan kompleks
2. Mempelajari dasar-dasar teori fungsi gamma
3. Mempelajari dasar-dasar teori fungsi beta
4. Mempelajari hubungan antara fungsi gamma dan fungsi beta
5. Melakukan pengkajian karakteristik bilangan kompleks yang dikenakan pada
fungsi gamma dan selanjutnya dikaji pada fungsi beta dengan menggunakan
hubungan antara kedua fungsi tersebut.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Karakteristik Dasar )z(
Fungsi gamma merupakan generalisasi bentuk !n , dengan n adalah
sebarang bilangan rill atau bilangan kompleks dengan syarat tertentu. Dalam hal n
sebagai bilangan bulat positif, fungsi gamma dari n ditulis sebagai )!1()( nn
(Renreng, 1990).
Pengertian di atas digeneralisasi oleh Euler pada Definisi 2.11.2.
Berdasarkan definisi tersebut, dapat diturunkan hubungan dasar fungsi gamma
sebagai berikut:
Dengan mensubstitusi 1z ke z, diperoleh persamaan:
1
)1()3)(2)(1(321lim)1(
z
nn
nzzzznz
z
nn
nzzzzn
nznz
)()2)(1(321
1lim
)(zz . (4.1)
Persamaan (4.1) merupakan rumus rekursif untuk fungsi gamma (Arfken, 2005).
Proses selanjutnya dapat dilakukan secara terus-menerus sehingga diperoleh
hubungan ,!1.2.3)2)(1()1()1()()1( zzzzzzzzzz jika z
bilangan bulat positif, sehingga pada perhitungan berikutnya dengan z bilangan
kompleks yang dikenakan pada fungsi gamma dapat digunakan hubungan
)!1()( zz sebagai generalisasi dari bentuk !z .
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Dari Definisi 2.11.2 tersebut, dapat dinyatakan bahwa:
1)1(321
321lim)1(
n
nnn
n.
Kemudian dengan menggunakan persamaan (4.1), diperoleh:
1)1(1)2(
2)2(2)3(
)!1()1(321)( nnn , untuk n bilangan bulat positif.
Pada bilangan kompleks dikenal istilah bilangan kompleks sekawan dari z
menurut Definisi 2.2.2. Jika dikenakan bilangan kompleks ibaz pada fungsi
gamma, maka dari definisi 2.11.2, dapat diperlihatkan sifat sekawan dari nilai
)(z sebagai berikut:
Sifat 4.1.1
Untuk sebarang bilangan kompleks z, maka )()( zz .
Bukti:
Diambil sebarang z C, maka
)()2)(1(
!lim)(nzzzz
nnzz
n
)()2)(1(!lim nzzzznn z
n
)()2()1(!lim
nzzzznn z
n
.
Karena nznz eenz lnln , dengan ibaz sehingga ibaz , maka
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
nibnanibanz eee lnlnln)(ln
nibnae lnln
nibae ln)(
nze ln
zne ln .
Diklaim bahwa:
zz lnln ; z C,
yang dapat dibuktikan sebagai berikut:
Berdasarkan Definisi 2.8.1, irrez i ln)ln(ln maka
irrez i ln)ln(ln
ir ln
ireln
zln .
Dengan demikian, secara analog dapat ditunjukkan bahwa zz nnzn eee lnlnln ,
sehingga zz nn . Jadi,
)()2)(1(!lim)(
nzzzznnz
z
n
)(z . ■
Pembuktian Sifat 4.1.1 di atas akan sama saja jika digunakan hubungan
)!1()( zz dengan berdasarkan sifat kesekawanan bilangan kompleks pada
Teorema 2.2.3, yaitu:
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Jika diambil sebarang z C, dengan ibaz , maka
)!1()!1()( ibazz
)!2)(1)((..).3)(2)(1( mibamibamibaibaibaiba
)!2()1()(...)3()2()1( ibmaibmaibmaibaibaiba
)!2)(1)((..).3)(2)(1( ibmaibmaibmaibaibaiba
)!2)(1)((..).3)(2)(1( mibamibamibaibaibaiba
)!1( iba
)!1( z
)(z .
Kemudian, untuk setiap z bilangan kompleks dengan sifat kesekawanan
yang dimilikinya pada Teorema 2.2.3 dapat diperoleh sifat kesekawanan pada
fungsi gamma sebagai berikut:
Sifat 4.1.2.
Untuk setiap 21 , zz C, dengan 111 ibaz dan 222 ibaz maka berlaku:
i. )()())(( 2121 zzzz
ii. )()(
)()(
2
1
2
1
zz
zz
.
Bukti:
Diambil sebarang 21 , zz C, dengan 111 ibaz dan 222 ibaz , maka
i. )!1()!1())(( 2121 zzzz
)!1()!1( 2211 ibaiba
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
)!2)(1())...(3)(2)(1()!2(
)1)()...(3)(2)(1(
2222
2222222211
1111111111
mibamibamibaibaibaibamiba
mibamibaibaibaiba
)!2)(1())...(3)(2)(1()!2(
)1)()...(3)(2)(1(
2222
2222222211
1111111111
ibmaibmaibmaibaibaibaibma
ibmaibmaibaibaiba
)!2()1(
)(...)3()2()1()!2(
)1()(...)3()2()1(
2222
2222222211
1111111111
ibmaibma
ibmaibaibaibaibma
ibmaibmaibaibaiba
)!2)(1())...(3)(2)(1()!2(
)1)()...(3)(2)(1(
2222
2222222211
1111111111
ibmaibmaibmaibaibaibaibma
ibmaibmaibaibaiba
)!1()!1( 2211 ibaiba
)!1()!1( 2211 ibaiba
)!1()!1( 2211 ibaiba
)!1()!1( 21 zz
)()( 21 zz
)()( 21 zz .
ii.
)(1)(
)(1)(
)()(
21
21
2
1
zz
zz
zz
)!1(
1)(2
1 zz
)!3)(2)(1(
1)(222222
1 ibaibaibaz
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
)!3)(2)(1(1)(
2222221 ibaibaiba
z
)!1(1)(
21
zz
)()(
)(1)(
2
1
21 z
zz
z
. ■
Selanjutnya, fungsi gamma berdasarkan Definisi 2.11.1 sebagai bentuk
integral Euler dengan peubah kompleks, yaitu jika diberikan fungsi : C → C,
maka fungsi gamma pada bilangan kompleks dapat ditulis sebagai:
0)Re(,)( 1
0
zdttez zt (4.2)
(Arfken, 2005).
Pada bilangan kompleks telah didefinisikan modulus (nilai mutlak) yang
terdapat pada Definisi 2.3.1.1. Jika bilangan kompleks ibaz dikenakan pada
fungsi gamma, maka berdasarkan persamaan (4.2) di atas dapat diperoleh sifat
berikut ini:
Sifat 4.1.3
Jika diberikan z C dengan 0)Re( z , maka berlaku
)Re()( zz .
Bukti:
Diambil sebarang z C dengan .0)Re( z Kemudian dituliskan modulus dari
nilai fungsi gamma sebagai berikut:
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
0
1)( dttez zt . Karena berdasarkan persamaan (2.7) dari perhitugan berturut-turut untuk nz ,
dengan n Z menghasilkan )!1()( nn yang kemudian direduksikan ke
dalam )!1()( zz , dengan z C, maka diperoleh:
dttez zt
0
1)(
dtte zt
0
1 .
Karena
tztz eetz ln)1(ln1 1
tibae ln)1(
tibtae lnln)1(
tibta ee lnln)1(
)lnsin()lncos(ln)1( tbitbe ta ,
sehingga
)lnsin()lncos(ln)1(1 tbitbet taz tae ln)1(
1ln
ate
1 at
1)Re( zt .
Dengan demikian,
dttez zt 1)Re(
0
)(
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
dtte zt
0
1)Re(
dtte zt
0
1)Re(
dtte zt
0
1)Re(
)Re(z .
Jadi, )Re()( zz . ■
Contoh 3.
Tentukan nilai perkiraan yang lebih tepat untuk )69,2( i dan
)43,3( i dengan membandingkan perhitugan secara langsung dan perhitungan
tak langsung menggunakan Tabel 1.
Jawab:
1. Perhitungan langsung
9617658319,09,1)9,1(9,1)9,2()69,2( i
827355081,1 827355081,1 .
)3,0)(3,1)(3,2)(3,3()3,1()3,3()43,3(
i
9601,28974706963,0
3031893167,0
3031893167,0 .
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2. Perhitungan tak langsung
)69,1(69,1)69,1()69,1()69,2( iiiii
)9,1()6()9,1( 22
9617658319,03661,3
9617658319,0293647591,6
053015211,6 .
)43,0)(43,1)(43,2)(43,3()43,1()43,3(
iiiiii
)43,0)(43,1)(43,2)(43,3()43,1(
iiiii
iiii 43,043,143,243,3)3,1(
22222222 4)3,0(4)3,1(4)3,2(4)3,3(
8974706963,0
)1609,0)(1669,1)(1629,5)(1689,10(8974706963,0
10022328484,0 .
Jadi, nilai perkiraan yang lebih tepat adalah 827355081,1)69,2(0 i dan
10022328484,0)43,3(0 i . Hal ini dikarenakan sifat )Re()( zz
dapat digunakan secara langsung jika 0)Re( z .
Akibat dari Sifat 4.1.3, diperoleh sifat sebagai berikut:
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Sifat 4.1.4
Jika diberikan bilangan kompleks ibaz , maka )!(! ibaa untuk setiap a
dan b bilangan riil.
Bukti:
Diambil sebarang z C dengan baibaz ,, R. Berdasarkan )1(! zz ,
maka diperoleh:
)1()1()!(! ibaibaibaz .
Misal ,)1( ibaw maka ,1)Re( aw dan berdasarkan Sifat 4.1.3 diperoleh:
)Re()( ww
!)1()1( aaiba .
Dengan demikian,
)!(! ibaa . ■
Selanjutnya dengan meninjau kembali Definisi 2.11.2 bahwa,
z
nn
nzzzznz
)()2)(1(321lim)(
zn
mnn
zmm
z
1
1lim
1
1
1lim1
n
m
z
n mzn
z. (4.3)
Berdasarkan invers persamaan (4.3), dan diketahui bahwa ,ln nzz en maka
diperoleh:
n
m
zn
n mzez
z 1
)ln( 1lim)(
1
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
n
mn
zn
n mzez
1
)ln( 1limlim
mz
mz e
mzeez
n
mn
znn
mn
1
)ln(
11limlim . (4.4)
Karena ,131
211exp
1
/
n
m
mzezn
maka persamaan (4.4) dapat
dituliskan sebagai berikut:
zn
nz
z nln1
31
211explim
)(1
mz
n
mne
mz /
1
1lim .
dengan ...5772156619,0ln1limln131
211
1
nm
nn
n
mn yang
dikenal sebagai tetapan Euler. Dengan demikian dapat didefinisikan:
nz
n
z enzze
z/
11
)(1
. (4.5)
Persamaan (4.5) dikenal sebagai bentuk Weiertrass (Arfken, 2005).
Kemudian dengan menggunakan bentuk Weiertrass di atas, diperoleh sifat
sebagai berikut:
Sifat 4.1.5
Untuk sebarang bilangan z riil atau kompleks dengan z tidak sama dengan 0 atau
bilangan bulat negatif, berlaku
zzz
sin)1()( .
Bukti:
Diambil sebarang bilangan z dengan z }}0{{ Z , maka
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
1
/1)(
1n
nzz enzze
z
1
1
/1)(
n
nzz enzzez
1
1
/1
1
/ 11)()(
n
nzz
n
nzz enzzee
nzzezz
1
1
/
1
/ 11
n
nz
n
znzz enzzee
nzze
1
12
22 1
n nzz .
Kemudian dari Definisi 2.9.3 diperoleh:
122
22
1sinn n
zzz
12
22 1
sinn n
zzzz .
Dengan demikian,
zzzz
sin)()( ; z }}0{{ Z . (4.6)
Karena dari persamaan (4.1) telah ditunjukkan bahwa ),()1( zzz maka
dengan pengembangan matematik diperoleh )()1( zzz . Jadi,
)()()1()( zzzzz
)()( zzz
zzz
sin (akibat 4.6)
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
z
sin ; z }}0{{ Z . ■
Akibat dari Sifat 4.1.5, diperoleh sifat sebagai berikut:
Sifat 4.1.6
Untuk sebarang bilangan z riil atau kompleks dengan z tidak sama dengan 0 atau
bilangan bulat negatif , berlaku
zzzz
sin
)1()1( .
Bukti:
Diambil sebarang bilangan z dengan z }}0{{ Z , dan berdasarkan persamaan
(4.1), maka diperoleh:
)1()()1()1( zzzzz
zz
sin
; z }}0{{ Z . ■
Untuk 21z , maka dengan menggunakan Sifat 4.1.5, diperoleh
2sin
)1( 221
21
21 . Jadi, 2
1 .
Contoh 4.
Hitunglah nilai )( 25 dan )( 2
3 .
Jawab:
43)(
21
23)(
23)( 2
123
25 .
34)(
32)(
)(2121
2321
23
.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
4.2 Sifat-Sifat Khusus )z(
Fungsi gamma pada dasarnya dapat didefinisikan pada bilangan kompleks
dengan syarat tertentu yang kemudian akan didapatkan beberapa sifat penting
sebagai akibat sifat-sifat mendasar dari bilangan kompleks dan sifat-sifat fungsi
gamma yang telah terbentuk sebelumnya.
Pada bilangan kompleks, salah satu sifat modulusnya yang terdapat pada
Teorema 2.3.1.2 adalah zzz 2 . Jika bilangan kompleks ibaz dikenakan
pada fungsi gamma, maka diperoleh sifat berikut:
Sifat 4.2.1
Jika diberikan fungsi : C → C, maka
i. Untuk sebarang bilangan kompleks ibaz , dengan a dan b bilangan riil,
berlaku )()()( 2 zzz .
ii. Untuk setiap 21 , zz C, berlaku:
a. )()()()( 2121 zzzz
b. )()(
)()(
2
1
2
1
zz
zz
.
Bukti:
i. Diambil sebarang bilangan kompleks ibaz , dengan ba, R, maka
22 )()( ibaz
2)!1( iba
2)!2)(1)((..).3)(2)(1( mibamibamibaibaibaiba
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
222222 )!2(1...321 ibmaibmaibmaibaibaiba
2)!2()1)(1)()((
...)3)(3)(2)(2)(1)(1(
ibmaibmaibmaibmaibma
ibaibaibaibaibaiba
)!2)(1)((...)3)(2)(1()!2)(1)((...)3)(2)(1(
ibmaibmaibmaibaibaibaibmaibmaibmaibaibaiba
)!1()!1( ibaiba
)()( ibaiba
)()( zz . ■
ii. Akibat bukti (i), dapat ditunjukkan bahwa:
a. 21111
221 )!1()!1()()( babazz
)!1()!1()!1()!1( 11111111 babababa
)()()()( 2121 zzzz
)()()()( 2121 zzzz (Sifat 4.1.2)
)()()()( 2211 zzzz
22
21 )()( zz .
Jadi, )()()()( 2121 zzzz .
b.
)(1)(
)(1)(
)(1)(
)()(
21
21
2
21
2
2
1
zz
zz
zz
zz
)()(
)()(
2
1
2
1
zz
zz
)()(
)()(
2
1
2
1
zz
zz
(Sifat 4.1.2)
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
)()()()(
22
11
zzzz
22
21
)(
)(
z
z
.
Jadi, )()(
)()(
2
1
2
1
zz
zz
. ■
Selanjutnya, jika bilangan kompleks z yang diberikan adalah bilangan
imajiner murni, artinya 0)Re( z , maka diperoleh:
Sifat 4.2.2
Jika b R sebarang dengan 0b , maka
bbib
sinh)( 2 .
Bukti:
Diambil sebarang b R, dengan 0b . Berdasarkan Sifat 4.2.1, diperoleh:
)()()( 2 ibibib .
Dengan menggunakan persamaan (4.6), maka
ibibib
sin)( 2
)()(
21 ibiibi eei
ib
(akibat 2.2)
)()(
21 bb eeb
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
)()(
21 xx eeb
bb
sinh
, 0b . ■ (akibat 2.3)
Dengan demikian, untuk setiap bilangan kompleks z dengan )Re(z Z dapat
ditentukan nilai )(z berdasarkan Sifat 4.2.2 dan persamaan (4.1).
Contoh 5.
Tentukan nilai dari:
1. )5( i dan )32( i
2. )5( i dan )23( i
Jawab:
1. )())(1)(2)(3)(4()5( iiiiiii
)()()1()2()3()4( iiiiii
sinh111121314 222222222
sinh)1)(2)(5)(10)(17(
sinh1700
sinh1710 .
)3()3)(31()32( iiii
)3()3()31( iii
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
)3(sinh)3()3()3(1 222
33
21 (3
)9)(10(ee
)(30
3321
ee
3sinh
30 .
2. )1)(2)(3)(4)(5(
)()5()4()5(
iiiiii
iii
)1()2()3()4()5()(
iiiiii
2222222222 1)1(1)2(1)3(1)4(1)5(sinh
sinh)2)(5)(10)(17)(26(
sinh44200
sinh44210
1 .
)21)(22)(23()2()23(
iiiii
)21()22()23()2(
iiii
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
222222 )2()1()2()2()2()3(
)2(sinh)2(
22
21 ()2)(5)(8)(13( ee
)(6541
2221
ee
2sinh6541
.
Sesuai bentuk generalisasi !)1( zz dan !)1( zz , melalui Sifat
4.1.6 diperoleh bentuk sebagai berikut:
zzzz
sin
)!(! ; z C dengan z }}0{{ Z . (4.7)
Kemudian, berdasarkan Sifat 4.2.1 dan persamaan (4.7) di atas, terbentuk sifat
berikut ini:
Sifat 4.2.3
Jika b R sebarang dengan 0b , maka
bbib
sinh
)!( 2 .
Bukti:
Diambil sebarang b R, dengan 0b . Berdasarkan bentuk !)1( zz dapat
dibentuk hubungan sebagai berikut:
)1()1()!( ibibib ,
sehingga dengan mengunakan Sifat 4.2.1 diperoleh:
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
)1()1()1( 2 ibibib
)1()1( ibib
)!()!( ibib .
Karena 222 )1()1()!( ibibib , maka )!()!()!( 2 ibibib . Berdasarkan
persamaan (4.7) diketahui bahwa:
ibibibib
sin
)!()!( ,
sehingga diperoleh:
ibibib
sin
)!( 2
)()(
21 ibiibi eei
ib
(akibat 2.2)
)()(
21 bb ee
b
)()(
21 bb ee
b
b
b
sinh
, 0b . ■ (akibat 2.3)
Selanjutnya, jika bilangan kompleks z yang dikenakan pada fungsi gamma
ke dalam Sifat 4.2.1 adalah bilangan kompleks dengan 21)Re( z , maka akan
diperoleh sifat khusus berikut ini:
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Sifat 4.2.4
Diberikan sebarang bilangan kompleks ibaz . Jika 21a maka
bib
cosh)( 2
21 , b R.
Bukti:
Diambil sebarang z C dengan ibaz . Ditentukan 21)Re( az dan b R,
maka berdasarkan Sifat 4.2.1 dan Sifat 4.1.5 diperoleh:
)()()( 21
212
21 ibibib (Sifat 4.2.1)
)(1)( 21
21 ibib
)(sin 21 ib
(Sifat 4.1.5)
bibi
sin2
coscos2
sin
bi
cos
)()(
21 biibii ee
(akibat 2.1)
bb ee
21
bb ee
21
b
cosh
, b R. ■ (akibat 2.4)
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Contoh 6.
Hitunglah nilai i223 dan i 2
1 .
Jawab:
iiii 2)2(122 21
21
21
23
ii 22 21
21
2cosh41 4
2cosh1721
=
2cosh
1721 .
ii
ii
i
2121
2121
21
)()(
141
cosh
cosh52 .
4.3 Definisi )z,z(B 21 dan Hubungannya dengan )z(
Misalkan fungsi :B C C → C adalah suatu fungsi yang didefinisikan
sebagai berikut:
1
021
1121 ,;)1(),( 21 zzdtttzzB zz C dengan 0)Re(,0)Re( 21 zz . (4.8)
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
B disebut sebagai fungsi beta, dan persamaan (4.8) merupakan fungsi beta pada
bilangan kompleks (Remmert, 1996).
Sebelumnya karakteristik bilangan kompleks telah diuji pada fungsi
gamma, maka selanjutnya untuk menguji karakteristik bilangan kompleks pada
fungsi beta dapat digunakan hubungan langsung antara fungsi beta dan fungsi
gamma berdasarkan persamaan (2.19) dengan ketentuan peubahnya berupa
bilangan kompleks yang dapat dituliskan sebagai berikut:
),()()()(
)()()(),( 21
21
21
21
2121 zzB
zzzz
zzzzzzB
; 21 , zz C (4.9)
Berikut ini sifat-sifat yang dapat diperoleh pada fungsi beta sebagai akibat
hubungannya dengan fungsi gamma pada bilangan kompleks.
Sifat 4.3.1
Untuk setiap 21 , zz C dengan 0)Re(,0)Re( 21 zz , berlaku:
i. ),(),( 2121 zzBzzB
ii. )Re(),Re(),( 2121 zzBzzB .
Bukti:
Diambil sebarang 21 , zz C dengan 0)Re( 1 z dan 0)Re( 2 z .
i. Berdasarkan Sifat 4.1.1 yaitu )()( zz , maka untuk 21 zzz berakibat
)()( 2121 zzzz , sehingga dengan mengunakan persamaan (4.9)
diperoleh:
)()()(
),(21
2121 zz
zzzzB
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
)()()(
21
21
zzzz
(Sifat 4.1.2)
21
21 )()(zzzz
(Sifat 4.1.2)
)()()(
21
21
zzzz
(Sifat 4.1.1 dan Teorema 2.2.3)
),( 21 zzB . ■
ii. Berdasarkan Sifat 4.1.3, bahwa )Re()( zz maka untuk 21 zzz
berakibat )Re()( 2121 zzzz , sehingga pada fungsi beta juga
berlaku
)()()(
),(21
2121 zz
zzzzB
)()()(
21
21
zzzz
(Sifat 4.2.1)
)()()(
21
21
zzzz
(Sifat 4.2.1)
)Re(
)Re()Re(
21
21
zzzz
(Sifat 4.1.3)
)Re(
)Re()Re(
21
21
zzzz
)Re(
)()Re(
21
21
zzzz
.
)Re(),Re( 21 zzB . ■
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Sifat 4.3.2
Untuk sebarang bilangan z riil atau kompleks dengan z tidak sama dengan 0 atau
bilangan bulat negatif, berlaku
zzzzB
sin
)1,1( .
Bukti:
Diambil sebarang bilangan z dengan z }}0{{ Z . Dengan menggunakan
persamaan (4.9) dan Sifat 4.1.6, maka diperoleh:
)2()1()1()1,1(
zzzzB
)1()1( zz
zz
sin
; z }}0{{ Z . ■ (Sifat 4.1.6)
Selanjutnya, beberapa karakteristik bilangan kompleks yang membentuk
sifat-sifat khusus pada fungsi beta dapat diperlihatkan sebagai akibat sifat-sifat
khusus fungsi gamma pada bilangan kompleks, sebagai berikut:
Sifat 4.3.3
Jika diberikan bilangan-bilangan kompleks 111 ibaz dan 222 ibaz , maka
),(),(),( 21212
21 zzBzzBzzB , 2121 ,,, bbaa R.
Bukti:
Diambil sebarang 21 , zz C, dengan 111 ibaz , 222 ibaz , dan
2121 ,,, bbaa R, maka berdasarkan hubungan fungsi beta terhadap fungsi gamma
dari persamaan (4.9), dapat dituliskan sebagai berikut:
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2
21
21221 )(
)()(),(
zzzzzzB
2
2121
2211
)()()()(
bbiaaibaiba
2
2121
2211
!)()1()!1()!1(
bbiaaibaiba
22121
22211
!)()1(
)!1()!1(
bbiaa
ibaiba
22121
222
211
!)()1(
)!1()!1(
bbiaa
ibaiba
!)()1(!)()1()!1()!1()!1()!1(
21212121
22221111
bbiaabbiaaibaibaibaiba
(Sifat 4.2.1)
)()()()()()()()(
21212121
22221111
bbiaabbiaaibaibaibaiba
2121
2211
)()()()()(
zzzzzzzz
)()()(
)()()(
21
21
21
21
zzzz
zzzz
),(),( 2121 zzBzzB . ■
Jika bilangan imajiner murni dikenakan pada Sifat 4.3.3, maka akan
diperoleh sifat berikut:
Sifat 4.3.4
Jika 21,bb R sebarang dengan 0, 21 bb , maka
2121
2121221 sinhsinh
)(sinh)(),(bbbb
bbbbibibB
.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Bukti:
Diambil sebarang 21,bb R, dengan 0, 21 bb . Berdasarkan Sifat 4.3.3,
diperoleh:
),(),(),( 21212
21 ibibBibibBibibB
)()()()(
)()()(
21
21
21
21
ibibibib
ibibibib
(akibat 4.9)
)()()()()()(
2121
2211
bbibbiibibibib
221
22
21
)(
)()(
bbi
ibib
(Sifat 4.2.1)
)(sinh)(
sinhsinh
2121
2211
bbbb
bbbb
(Sifat 4.2.2)
2121
2121
sinhsinh)(sinh)(
bbbbbbbb
; 0, 21 bb . ■
Kemudian, jika masing-masing bilangan kompleks 1z dan 2z yang
dikenakan pada fungsi beta adalah bilangan kompleks dengan
21)Re()Re( 21 zz , maka akan diperoleh sifat khusus berikut ini:
Sifat 4.3.5
Jika diberikan bilangan-bilangan kompleks 111 ibaz dan 222 ibaz ,
dengan 21)Re()Re( 21 zz , maka dapat ditunjukkan bahwa:
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
21
21
21
222
112
1
coshcosh)(sinh
)()(),(
bbbb
bbbbB
, 21 ,bb R.
Bukti: Diambil sebarang 21 , zz C, dengan 111 ibaz , 222 ibaz , dan
2121 ,,, bbaa R. Ditentukan 21)Re()Re( 2211 azaz maka berdasarkan
hubungan fungsi beta terhadap fungsi gamma dari persamaan (4.9), diperoleh:
222
112
1221 )(),(),( ibibBzzB
2
21
221
121
)(1)()(
bbiibib
(akibat 4.9)
221
222
112
1
)(1
)()(
bbi
ibib
(Sifat 4.2.1)
2
21
222
1212
1
)(1
)()(
bbi
ibib
(Sifat 4.2.1)
2
21
21
!(coshcoshbbi
bb
(Sifat 4.2.4)
)(sinh)(
coshcosh
21
21
21
2
bbbb
bb
(Sifat 4.2.3)
21
21
21 coshcosh)(sinh
)( bbbb
bb
. ■
Contoh 7.
Hitunglah:
1. iiB 71,2 31
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2. iiB 4, 23
61
25
3. iiB 41
27,31
Jawab:
1. )1(
)71()2(71,2
322
31
31
iii
iiB
)()()71(
)7()())(1(
322
322
31
31
31
iii
iiii
)7()7()(
))(71())(1(
31
31
322
31
31
iiii
iiii
iiBii
ii7,
)()71()()1(
31
322
31
31
9
78491
910
)50(
7sinhsinh)7(sinh)7(
337
31
31
7sinhsinh82320sinh
3
322
322
7sinhsinh)3)(105(sinh22
281
3
322
7sinhsinh315sinh22
281
3
322
.
2. )4(
)4()(4,
623
23
61
25
23
61
25
iii
iiB
)1()1)(2)(3()4()4()())((
623
623
623
623
21
21
61
21
61
21
61
23
iiiiiiiii
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
)4(1()4()(
)1()2()3()4()()(
61
21
61
21
623
623
623
21
61
21
61
23
iii
iiiiii
iiB 4,)(1)(2)(3
)4()()()()()(21
61
21
262322
62322
6232
22212
612
212
612
23
)4cosh(cosh)4(sinh
)4()1)(4)(9()16)()((
6
61
61
36529
36529
36529
41
361
41
361
49
)(cosh))()()((
sinh))()((44
21
6623
36565
36673
36853
623
465
3610
3682
ee
)(cosh)23)(565)(673)(853(
sinh)65)(205)(6)(36(44
21
6
623
ee
4coshcosh1492005331sinh15990
66
623
.
3. )(
)()31(,31
413
21
41
23
41
23
iii
iiB
)()(
))(()(
)3()3(
413
21
413
21
41
21
41
23
41
21
ii
iii
ii
)())(()()3())(3(
413
21
41
21
41
23
41
21
413
21
iiiiiii
)()()()()3()()3(
413
21
41
21
41
23
41
21
413
21
iiiiiii
413
4116
173
cosh
cosh3sinh3))(9(
41
413
cosh3sinh3cosh173
43
.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian tentang fungsi gamma dan
fungsi beta pada bilangan kompleks ini adalah:
1. Karakteristik dasar yang dapat dibangun oleh bilangan kompleks yang
dikenakan pada fungsi gamma dan fungsi beta adalah sebagai berikut:
a. Jika )()( zz maka untuk 21 zzz berakibat
)()( 2121 zzzz , sehingga ),(),( 2121 zzBzzB , untuk setiap
21,, zzz C.
b. Jika )Re()( zz maka untuk 21 zzz berakibat
)Re()( 2121 zzzz , sehingga )Re(),Re(),( 2121 zzBzzB ,
untuk setiap 21,, zzz C dengan 0)Re(,0)Re,0)Re( 21 zz .
2. Sifat-sifat khusus fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan kompleks
dengan syarat tertentu dapat diberikan sebagai berikut:
a. Jika 0)Re( z , atau dengan kata lain bilangan kompleks z adalah
bilangan imajiner murni maka diperoleh sifat bb
ib
sinh
)( 2 dan
2121
2121221 sinhsinh
)(sinh)(),(bbbb
bbbbibibB
, untuk setiap 21,bb R,
dengan 0,, 21 bbb .
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
b. Jika 21)Re( z , dengan z bilangan kompleks, maka dapat diperoleh
sifat khusus berikut:
i. b
ib
cosh
)( 221
ii. 222
112
1 )(),( ibibB 21
21
21 coshcosh)(sinh
)( bbbb
bb
.
5.2 Saran
Penelitian lebih lanjut untuk dikaji karakteristik fungsi gamma dan fungsi
beta pada bilangan kompleks hingga dapat diperluas ke dalam bentuk bidangnya
yang berhubungan dengan diagram Argand yang ada pada bilangan kompleks
yang dapat dihubungkan dengan keanalitikan berdasarkan bentuk-bentuk fungsi
kompleks.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
DAFTAR PUSTAKA
Arfken, G.B. dan Hans J.W. 2005. Mathematical Methods for Physicist. Elsevier Academic Press, United States of America.
Boas, M.L. 2006. Mathematical Methods in the Physical Sciences. DePaul
University, United States of America. Pallouras, J.D. 1975. Peubah Kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur. Terjemahan
Wibisono Gunawan. Erlangga, Surabaya. Remmert, R. 1996. Wielandt's Theorem About the Γ-Function. The American
Mathematical Monthly; March 1996; 103, 3; Mathematical Association of America; pg. 214-220.
Renreng, A. 1990. Asas-Asas Metode Matematika dalam Fisika. Angkasa,
Bandung. Saff, E.B. dan A.D. Snider. 2003. Fundamental of Complex Analysis with
Aplications to Engineering and Science. Pearson Educational International, New Jersey.
Sardi, H. 2008. Fungsi Kompeks. Universitas Terbuka, Jakarta. Siang, J.J. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.
ANDI, Yogyakarta. Soedojo, P. 1995. Asas-Asas Matematika, Fisika, dan Teknik. Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.
Spiegel, M.R. 1990. Advanced Calculus. McGraw-Hill, New York. Spiegel, M.R. 1994. Peubah Kompleks dengan Pengenalan Pemetaan Konvormal
dan Penerapannya. Terjemahan Koko Martono. Erlangga, Jakarta.
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
RIWAYAT HIDUP
Megawati dilahirkan di Kertak Hanyar, tepatnya
pada tanggal 14 Februari 1988 dari pasangan Bapak
H. Husni Tamberin dan Ibu Hj. Arbayah. Mega
merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Mega
memulai pendidikan formalnya di TK Dolog pada
tahun 1993, kemudian melanjutkan ke SD Negeri
Kertak-Hanyar I-I pada tahun 1994. Setelah lulus
SD, Mega melanjutkan sekolahnya di SLTP Negeri 3
Banjarmasin pada Tahun 2000. Mega melewati masa
SLTAnya di SMA Negeri 3 Banjarmasin dan menyelesaikan studinya pada tahun
2006. Pada tahun 2006, Mega melanjutkan studinya di FMIPA program studi S-1
Matematika Universitas Lambung Mangkurat dan menyelesaikan kuliahnya pada
tahun 2010. Pengalaman organisasi Mega selama kuliah, yaitu anggota
HIMATIKA “REAL” staf Departemen Pendidikan, Sains dan Teknologi. Dalam
masa perkuliahan Mega diberi kepercayaan sebagai asisten dari beberapa
matakuliah wajib, yaitu Kalkulus 1, Kalkulus 2, Kalkulus Peubah Banyak,
Statistika Elementer, Statistika Matematika, Statistika Inferensi, dan Analisis Riil
2, serta sebagai asisten pelatihan SPSS dalam Rancangan Percobaan. Mega juga
termasuk penerima beasiswa PPA. Alamat orang tua Mega adalah JL. Mahligai
RT.05 Kertak-Hanyar II, Komplek Mahligai Permata 2, Kabupaten Banjar. Untuk
menghubungi Megawati bisa melalui email: [email protected].
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)