Méthodes de sondages, le pouvoir de l’alea
Nathalie Villa-Vialaneixhttp://www.nathalievilla.org
Chargée de recherche INRA, Statistique
Lycée Jules Fil, Carcassonne - 27 Mars 2014
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 1 / 18
Loi des grands nombres
Outline
1 Loi des grands nombres
2 Utiliser le hasard pour un sondage
3 Théorème Centrale Limite
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Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =]pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur1 0, 1
12 , 1
22 0, 1
2 , 1 14 , 1
2 , 14
3 0, 13 , 2
3 , 1 18 , 3
8 , 38 , 1
8... ... ...n 0, 1
n , 2n , ..., 1 1
2n , n2n , n×(n−1)
2n+1 , ..., 12n
issues possibles : {pile, pile}, {pile, face}, {face, pile}, {face, face}
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Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =]pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur1 0, 1
12 , 1
22 0, 1
2 , 1 14 , 1
2 , 14
3 0, 13 , 2
3 , 1 18 , 3
8 , 38 , 1
8... ... ...n 0, 1
n , 2n , ..., 1 1
2n , n2n , n×(n−1)
2n+1 , ..., 12n
issues possibles : {pile, pile}, {pile, face}, {face, pile}, {face, face}
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Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =]pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur1 0, 1
12 , 1
22 0, 1
2 , 1 14 , 1
2 , 14
3 0, 13 , 2
3 , 1 18 , 3
8 , 38 , 1
8... ... ...n 0, 1
n , 2n , ..., 1 1
2n , n2n , n×(n−1)
2n+1 , ..., 12n
issues possibles : {pile, pile}, {pile, face}, {face, pile}, {face, face}
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Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =]pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur1 0, 1
12 , 1
2
2 0, 12 , 1
14 , 1
2 , 14
3 0, 13 , 2
3 , 1 18 , 3
8 , 38 , 1
8... ... ...n 0, 1
n , 2n , ..., 1 1
2n , n2n , n×(n−1)
2n+1 , ..., 12n
issues possibles : {pile, pile}, {pile, face}, {face, pile}, {face, face}
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Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =]pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur1 0, 1
12 , 1
2
2 0, 12 , 1
14 , 1
2 , 14
3 0, 13 , 2
3 , 1
18 , 3
8 , 38 , 1
8... ... ...n 0, 1
n , 2n , ..., 1 1
2n , n2n , n×(n−1)
2n+1 , ..., 12n
issues possibles : {pile, pile}, {pile, face}, {face, pile}, {face, face}
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Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =]pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur1 0, 1
12 , 1
2
2 0, 12 , 1
14 , 1
2 , 14
3 0, 13 , 2
3 , 1
18 , 3
8 , 38 , 1
8
... ...
...
n 0, 1n , 2
n , ..., 1
12n , n
2n , n×(n−1)2n+1 , ..., 1
2n
issues possibles : {pile, pile}, {pile, face}, {face, pile}, {face, face}
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Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =]pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur1 0, 1 1
2 , 12
2 0, 12 , 1
14 , 1
2 , 14
3 0, 13 , 2
3 , 1
18 , 3
8 , 38 , 1
8
... ...
...
n 0, 1n , 2
n , ..., 1
12n , n
2n , n×(n−1)2n+1 , ..., 1
2n
issues possibles : {pile, pile}, {pile, face}, {face, pile}, {face, face}
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Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =]pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur1 0, 1 1
2 , 12
2 0, 12 , 1 1
4 , 12 , 1
43 0, 1
3 , 23 , 1
18 , 3
8 , 38 , 1
8
... ...
...
n 0, 1n , 2
n , ..., 1
12n , n
2n , n×(n−1)2n+1 , ..., 1
2n
issues possibles : {pile, pile}, {pile, face}, {face, pile}, {face, face}
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Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =]pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur1 0, 1 1
2 , 12
2 0, 12 , 1 1
4 , 12 , 1
43 0, 1
3 , 23 , 1 1
8 , 38 , 3
8 , 18
... ...
...
n 0, 1n , 2
n , ..., 1
12n , n
2n , n×(n−1)2n+1 , ..., 1
2n
issues possibles : {pile, pile}, {pile, face}, {face, pile}, {face, face}
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Loi des grands nombres
Jeu de pile ou face
Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}
n jeux de pile ou face ; on considère
P =]pile
n
(fréquences de “pile” parmi les lancers)
n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur1 0, 1 1
2 , 12
2 0, 12 , 1 1
4 , 12 , 1
43 0, 1
3 , 23 , 1 1
8 , 38 , 3
8 , 18
... ... ...n 0, 1
n , 2n , ..., 1 1
2n , n2n , n×(n−1)
2n+1 , ..., 12n
issues possibles : {pile, pile}, {pile, face}, {face, pile}, {face, face}
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Loi des grands nombres
Répéter le jeu de pile ou face... longtemps !
Regardons comment P évolue :
1 lancer
2 lancers3 lancers...
n lancers
→
→
→...
→
P(1)
P(2)P(3)...
P(n)
tracer le graphique de P(n) en fonction de n...
Simulons !
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Loi des grands nombres
Répéter le jeu de pile ou face... longtemps !
Regardons comment P évolue :
1 lancer2 lancers
3 lancers...
n lancers
→
→
→...
→
P(1)P(2)
P(3)...
P(n)
tracer le graphique de P(n) en fonction de n...
Simulons !
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 4 / 18
Loi des grands nombres
Répéter le jeu de pile ou face... longtemps !
Regardons comment P évolue :
1 lancer2 lancers3 lancers...
n lancers
→
→
→...
→
P(1)P(2)P(3)...
P(n)
tracer le graphique de P(n) en fonction de n...
Simulons !
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Loi des grands nombres
Conclusion
Quand n devient très grand,
P(n) =]pile
n
se rapproche de 12 , càd, de la probabilité d’obtenir “pile” en lançant
une pièce !
Loi des grands nombres
fréquence observée d’un événement sur un grand nombre d’essais↓
probabilité (théorique) d’obtenir cet événement sur un essai
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 5 / 18
Loi des grands nombres
Conclusion
Quand n devient très grand,
P(n) =]pile
n
se rapproche de 12 , càd, de la probabilité d’obtenir “pile” en lançant
une pièce !
Loi des grands nombres
fréquence observée d’un événement sur un grand nombre d’essais↓
probabilité (théorique) d’obtenir cet événement sur un essai
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Loi des grands nombres
Perspective historique“Ars Conjectandi” (1713) de Jacques Bernoulli est le premier ouvragecontenant une démonstration de la loi des grands nombres dans le cas dela fréquence de succès d’un événement (comme le jeu de “pile ou face”).
La démonstration lui prit 20 ans et fût publiée par son neveu huit ans aprèssa mort. On appelle loi de Bernoulli une loi qui donne la probabilité dusuccès d’un événement : “avoir un pile au jeu de pile ou face” (1/2), “avoirun 6 au dé” (1/6), etc...
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Loi des grands nombres
Perspective historique“Ars Conjectandi” (1713) de Jacques Bernoulli est le premier ouvragecontenant une démonstration de la loi des grands nombres dans le cas dela fréquence de succès d’un événement (comme le jeu de “pile ou face”).
La démonstration lui prit 20 ans et fût publiée par son neveu huit ans aprèssa mort. On appelle loi de Bernoulli une loi qui donne la probabilité dusuccès d’un événement : “avoir un pile au jeu de pile ou face” (1/2), “avoirun 6 au dé” (1/6), etc...Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 6 / 18
Loi des grands nombres
Extension au cas d’une loi quelconqueExpérience : On tire au hasard des nombres selon une distribution deprobabilité donnée (ex : tirer au hasard un nombre entre 0 et 1)
x1, x2, x3...
Densité de la distribution de probabilité, fX : exemple de la densité dela loi Gaussienne
Espérance : E(X) =∫
xfX(x)dx (exemple : pour la loi Gaussienne,E(X) = 0 ; pour un nombre tiré au hasard entre 0 et 1 : E(X) = 0, 5)
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Loi des grands nombres
Extension au cas d’une loi quelconqueExpérience : On tire au hasard des nombres selon une distribution deprobabilité donnée (ex : tirer au hasard un nombre entre 0 et 1)
x1, x2, x3...
Densité de la distribution de probabilité, fX : exemple de la densité dela loi Gaussienne
Espérance : E(X) =∫
xfX(x)dx (exemple : pour la loi Gaussienne,E(X) = 0 ; pour un nombre tiré au hasard entre 0 et 1 : E(X) = 0, 5)
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Loi des grands nombres
Extension au cas d’une loi quelconqueExpérience : On tire au hasard des nombres selon une distribution deprobabilité donnée (ex : tirer au hasard un nombre entre 0 et 1)
x1, x2, x3...
Densité de la distribution de probabilité, fX : exemple de la densité dela loi Gaussienne
Espérance : E(X) =∫
xfX(x)dx (exemple : pour la loi Gaussienne,E(X) = 0 ; pour un nombre tiré au hasard entre 0 et 1 : E(X) = 0, 5)Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 7 / 18
Loi des grands nombres
Convergence vers l’espérance
On définit la moyenne des n premiers nombres tirés : Xn = x1+...+xnn
tracer le graphique de Xn en fonction de n...
Simulons !
Loi des grands nombres
Xn se rapproche de E(X)
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 8 / 18
Loi des grands nombres
Convergence vers l’espérance
On définit la moyenne des n premiers nombres tirés : Xn = x1+...+xnn
tracer le graphique de Xn en fonction de n...
Simulons !
Loi des grands nombres
Xn se rapproche de E(X)
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Loi des grands nombres
Convergence vers l’espérance
On définit la moyenne des n premiers nombres tirés : Xn = x1+...+xnn
tracer le graphique de Xn en fonction de n...
Simulons !
Loi des grands nombres
Xn se rapproche de E(X)
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Utiliser le hasard pour un sondage
Outline
1 Loi des grands nombres
2 Utiliser le hasard pour un sondage
3 Théorème Centrale Limite
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Utiliser le hasard pour un sondage
Exemple introductifOn cherche à savoir le pourcentage de personnes en France qui aiment lapizza (noté P et inconnu)
1 Solution 1 : interroger tous les habitants de France et leur demandersi ils aiment la pizza : c’est long !!!!!!!
2 Solution 2 (sondage aléatoire) : interroger au hasard n personnesdans la population et calculer P̂(n) le pourcentage de personnes quiaiment la pizza
la probabilité qu’une personne prise au hasard aime la pizza est P(inconnue) donc
P̂(n) ' P
si n est assez grand
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Utiliser le hasard pour un sondage
Exemple introductifOn cherche à savoir le pourcentage de personnes en France qui aiment lapizza (noté P et inconnu)
1 Solution 1 : interroger tous les habitants de France et leur demandersi ils aiment la pizza : c’est long !!!!!!!
2 Solution 2 (sondage aléatoire) : interroger au hasard n personnesdans la population et calculer P̂(n) le pourcentage de personnes quiaiment la pizza
la probabilité qu’une personne prise au hasard aime la pizza est P(inconnue) donc
P̂(n) ' P
si n est assez grand
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Utiliser le hasard pour un sondage
Exemple introductifOn cherche à savoir le pourcentage de personnes en France qui aiment lapizza (noté P et inconnu)
1 Solution 1 : interroger tous les habitants de France et leur demandersi ils aiment la pizza : c’est long !!!!!!!
2 Solution 2 (sondage aléatoire) : interroger au hasard n personnesdans la population et calculer P̂(n) le pourcentage de personnes quiaiment la pizza
la probabilité qu’une personne prise au hasard aime la pizza est P(inconnue) donc
P̂(n) ' P
si n est assez grand
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Utiliser le hasard pour un sondage
Exemple introductifOn cherche à savoir le pourcentage de personnes en France qui aiment lapizza (noté P et inconnu)
1 Solution 1 : interroger tous les habitants de France et leur demandersi ils aiment la pizza : c’est long !!!!!!!
2 Solution 2 (sondage aléatoire) : interroger au hasard n personnesdans la population et calculer P̂(n) le pourcentage de personnes quiaiment la pizzala probabilité qu’une personne prise au hasard aime la pizza est P(inconnue) donc
P̂(n) ' P
si n est assez grandSondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 10 / 18
Utiliser le hasard pour un sondage
Perspective historique• le principe du sondage est pratiqué depuis le Moyen-Âge mais sans
contrôle probabiliste ;
•
au XVIIIe, Pierre-Simon de Laplace :premières estimations pour évaluer lapopulation française à partir des naissances(choix raisonné d’échantillonnage, notiond’“erreur à craindre”) ;
•
Arthur Bowley (∼ 1900) : premierssondages aléatoires (notion d’intervalle deconfiance) ;
• approche reconnue au congrès de l’IIS en 1925 (Rome) et qui segénéralise dans les instituts de sondage nationaux.
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 11 / 18
Utiliser le hasard pour un sondage
Perspective historique• le principe du sondage est pratiqué depuis le Moyen-Âge mais sans
contrôle probabiliste ;
•
au XVIIIe, Pierre-Simon de Laplace :premières estimations pour évaluer lapopulation française à partir des naissances(choix raisonné d’échantillonnage, notiond’“erreur à craindre”) ;
•
Arthur Bowley (∼ 1900) : premierssondages aléatoires (notion d’intervalle deconfiance) ;
• approche reconnue au congrès de l’IIS en 1925 (Rome) et qui segénéralise dans les instituts de sondage nationaux.
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 11 / 18
Utiliser le hasard pour un sondage
Perspective historique• le principe du sondage est pratiqué depuis le Moyen-Âge mais sans
contrôle probabiliste ;
•
au XVIIIe, Pierre-Simon de Laplace :premières estimations pour évaluer lapopulation française à partir des naissances(choix raisonné d’échantillonnage, notiond’“erreur à craindre”) ;
•
Arthur Bowley (∼ 1900) : premierssondages aléatoires (notion d’intervalle deconfiance) ;
• approche reconnue au congrès de l’IIS en 1925 (Rome) et qui segénéralise dans les instituts de sondage nationaux.
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Utiliser le hasard pour un sondage
Méthodes de sondage aléatoiresSondage simple
On choisit au hasard n personnes dans la population.
Sondage par strates
Simulons !
La population est divisée en un petit nombre de sous-populations qui ontdes valeurs différentes pour la variable d’intérêt (ex : 3 classes d’âges)
⇒
on choisit au hasard quelques personnes dans chaquesous-population : réduit la variabilité de l’estimation... !
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Utiliser le hasard pour un sondage
Méthodes de sondage aléatoiresSondage simple
On choisit au hasard n personnes dans la population.
Sondage par strates
Simulons !
La population est divisée en un petit nombre de sous-populations qui ontdes valeurs différentes pour la variable d’intérêt (ex : 3 classes d’âges)
⇒
on choisit au hasard quelques personnes dans chaquesous-population : réduit la variabilité de l’estimation... !
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Utiliser le hasard pour un sondage
Méthodes de sondage aléatoiresSondage par grappes
La population est divisée en (beaucoup de) petites sous-populations (ex :les départements français)
⇒ on choisit au hasard quelquessous-populations pour lesquelles on interroge tout le monde : c’estmoins coûteux... !
Sondage par strates
Simulons !
La population est divisée en un petit nombre de sous-populations qui ontdes valeurs différentes pour la variable d’intérêt (ex : 3 classes d’âges)
⇒
on choisit au hasard quelques personnes dans chaquesous-population : réduit la variabilité de l’estimation... !
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Utiliser le hasard pour un sondage
Méthodes de sondage aléatoiresSondage par grappes
La population est divisée en (beaucoup de) petites sous-populations (ex :les départements français)⇒ on choisit au hasard quelquessous-populations pour lesquelles on interroge tout le monde : c’estmoins coûteux... !
Sondage par strates
Simulons !
La population est divisée en un petit nombre de sous-populations qui ontdes valeurs différentes pour la variable d’intérêt (ex : 3 classes d’âges)
⇒
on choisit au hasard quelques personnes dans chaquesous-population : réduit la variabilité de l’estimation... !
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Utiliser le hasard pour un sondage
Méthodes de sondage aléatoiresSondage par strates
Simulons !
La population est divisée en un petit nombre de sous-populations qui ontdes valeurs différentes pour la variable d’intérêt (ex : 3 classes d’âges)
⇒
on choisit au hasard quelques personnes dans chaquesous-population : réduit la variabilité de l’estimation... !
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Utiliser le hasard pour un sondage
Méthodes de sondage aléatoiresSondage par strates Simulons !
La population est divisée en un petit nombre de sous-populations qui ontdes valeurs différentes pour la variable d’intérêt (ex : 3 classes d’âges)⇒on choisit au hasard quelques personnes dans chaquesous-population : réduit la variabilité de l’estimation... !
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Utiliser le hasard pour un sondage
Le sondage en pratique : souvent, la méthode des quotas
Actuellement, les instituts de sondage pratiquent souvent la
méthode des quotas
(construction d’un échantillon non aléatoire construit pour reproduire lescaractéristiques d’âge, sexe, CSP, etc de la population)
Problème : Aucune possibilité de contrôler l’ampleur de l’erreur effectuéelors de l’estimation avec une approche probabiliste !
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 13 / 18
Utiliser le hasard pour un sondage
Le sondage en pratique : souvent, la méthode des quotas
Actuellement, les instituts de sondage pratiquent souvent la
méthode des quotas
(construction d’un échantillon non aléatoire construit pour reproduire lescaractéristiques d’âge, sexe, CSP, etc de la population)
Problème : Aucune possibilité de contrôler l’ampleur de l’erreur effectuéelors de l’estimation avec une approche probabiliste !
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Théorème Centrale Limite
Outline
1 Loi des grands nombres
2 Utiliser le hasard pour un sondage
3 Théorème Centrale Limite
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Théorème Centrale Limite
Retour au jeu de pile ou face...
Ici, on fixe n. On sait que pour n “assez grand”, P(n) ' 0, 5 (lepourcentage de “pile” observés sur n tirages est proche de 50%).
Comment se répartit P(n) autour de 0,5 si on effectue plusieurs sériesde n tirages ?
Simulons !
1 on génère m séries de n tirages chacune ;
2 pour chacune des séries, on calcule P(n) ;
3 on centre et on réduit P(n) en calculant pour chaque série : P(n)−0,51/(2
√n)
;1
4 on effectue l’histogramme des m valeurs ainsi trouvées.
1 12√
nest en fait l’écart type attendu de P(n).
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Théorème Centrale Limite
Retour au jeu de pile ou face...
Ici, on fixe n. On sait que pour n “assez grand”, P(n) ' 0, 5 (lepourcentage de “pile” observés sur n tirages est proche de 50%).
Comment se répartit P(n) autour de 0,5 si on effectue plusieurs sériesde n tirages ?
Simulons !
1 on génère m séries de n tirages chacune ;
2 pour chacune des séries, on calcule P(n) ;
3 on centre et on réduit P(n) en calculant pour chaque série : P(n)−0,51/(2
√n)
;1
4 on effectue l’histogramme des m valeurs ainsi trouvées.
1 12√
nest en fait l’écart type attendu de P(n).
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 15 / 18
Théorème Centrale Limite
Retour au jeu de pile ou face...
Ici, on fixe n. On sait que pour n “assez grand”, P(n) ' 0, 5 (lepourcentage de “pile” observés sur n tirages est proche de 50%).
Comment se répartit P(n) autour de 0,5 si on effectue plusieurs sériesde n tirages ?
Simulons !
1 on génère m séries de n tirages chacune ;
2 pour chacune des séries, on calcule P(n) ;
3 on centre et on réduit P(n) en calculant pour chaque série : P(n)−0,51/(2
√n)
;1
4 on effectue l’histogramme des m valeurs ainsi trouvées.
1 12√
nest en fait l’écart type attendu de P(n).
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 15 / 18
Théorème Centrale Limite
Conclusion des simulationsRésultat : Lorsque n devient grand et que le nombre de séries de tiragesdevient grand aussi l’histogramme des P(n)−0,5
σ(P(n)) ' densité gaussienne demoyenne 0 et d’écart type 1.
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 16 / 18
Théorème Centrale Limite
Extension pour une distribution généraleLe théorème Centrale Limite
La propriété précédente est vraie de manière très générale : Xn−E(X)σX
estréparti autour de 0 comme une loi gaussienne de moyenne 0 et d’écarttype 1 lorsque n devient grand.
95% des valeurs Xn−E(X)σX
sont entre −1, 96 et 1, 96 (très faible probabilité).
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 17 / 18
Théorème Centrale Limite
Extension pour une distribution généraleLe théorème Centrale Limite
La propriété précédente est vraie de manière très générale : Xn−E(X)σX
estréparti autour de 0 comme une loi gaussienne de moyenne 0 et d’écarttype 1 lorsque n devient grand.
95% des valeurs Xn−E(X)σX
sont entre −1, 96 et 1, 96 (très faible probabilité).
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 17 / 18
Théorème Centrale Limite
Application pour la recherche d’un intervalle de confiance
En sondage :
1 on calcule : moyenne de la variable étudiée sur l’échantillon X ;
2 si σX est connue, on en déduit un intervalle de confiance :IC =
[X − 1, 96 × σX√
n;X + 1, 96 × σX√
n
].
Interprétation : 95% des échantillons construits ainsi contiennent labonne valeur de l’espérance E(X).
Simulons !
En pratique, σX n’est pas connue, comme la moyenne, on l’estime àpartir de l’écart type sur l’échantillon.
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 18 / 18
Théorème Centrale Limite
Application pour la recherche d’un intervalle de confiance
En sondage :
1 on calcule : moyenne de la variable étudiée sur l’échantillon X ;
2 si σX est connue, on en déduit un intervalle de confiance :IC =
[X − 1, 96 × σX√
n;X + 1, 96 × σX√
n
].
Interprétation : 95% des échantillons construits ainsi contiennent labonne valeur de l’espérance E(X).
Simulons !
En pratique, σX n’est pas connue, comme la moyenne, on l’estime àpartir de l’écart type sur l’échantillon.
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 18 / 18
Théorème Centrale Limite
Application pour la recherche d’un intervalle de confiance
En sondage :
1 on calcule : moyenne de la variable étudiée sur l’échantillon X ;
2 si σX est connue, on en déduit un intervalle de confiance :IC =
[X − 1, 96 × σX√
n;X + 1, 96 × σX√
n
].
Interprétation : 95% des échantillons construits ainsi contiennent labonne valeur de l’espérance E(X).
Simulons !
En pratique, σX n’est pas connue, comme la moyenne, on l’estime àpartir de l’écart type sur l’échantillon.
Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 18 / 18