5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
1/37
Sluajni grafovi imogunosti primjene
ZAVRNI RADPrvog ciklusa studija
Student Mentor
Elma Birparid, III-3/07 r.sc. Amir Nuhanovid, re
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
2/37
Uvod
Poetkom90-ih godina 20.stoljedazapoelasu istraivanjausluajnihgrafova i kompleksnih mrea.
Grafovi su matematika apstrakcija raznih problema usvijetu. Oni su preovlaavajuda struktura podataka u rnauci, a algoritmi za rad s njima su osnova raunarstva.
U osnovi graf se sastoji od skupa vorovai skupa bridova. Postoji vievrsta grafova i vienainanjihovog prikazivanja.
Grafika,matematikai raunarskareprezentacija grafova.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
3/37
Osnove teorije grafova
Matematikigledano, graf je par (V, E) gdje je V konanisbinarna relacija na V.
Za voroveu i vkaemoda su susjedni ako postoji brid e(uspaja.
Stepen vorav (deg(v)) grafa G je broj bridova koji su inciden
U raunarstvu graf moemo predstaviti pomodu matrice smatrice incidencije, liste susjedstva ili liste bridova.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
4/37
Sluajni grafovi
Do informacija o mreama iz stvarnog svijeta se jako tekodpokazalo potrebnim napraviti modele koji bi dovoljno dobrstvarni svijet kao tosu interakcije proteina i mreecitata.
Postoje tri moela sluajnih grafova:
ErdosRenyi model AlbertBarabasi model
Model duplikacije i divergencije
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
5/37
Erdos-Renyi model
Razlikuje se o mrea iz stvarnog svijeta u vije kljune stvari: Neostaje mu mrena grupiranost
Ima nerealistinu istribuciju broja briova po voru
E-R model moemo generisati na vie naina ovisno o tom
zadati: Broj vorovai bridova
Broj vorovai vjerovatnoduveze izmeudva vora
Distribuciju stepena
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
6/37
AlbertBarabasi model
Priceov mehanizam akumulirane prednosti Albert i Barabasi su uzeli Priceov mehanizam, doradili g
preferirano povezivanje. Njihov model je jednostavniji i vrza neusmjerene grafove. Po njima svaki vorkoji se dodajepoetni inicijalni stepen. Time se izbjegava mogudnvjerovatnode, odnosno ukoliko vor inicijalno ima stepen nijedan novi vornedepovezati na njega.
Primjer Albert-Barabasi modela rasta mree u stvarnom mreacitata.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
7/37
Duplikacija i divergencija
Moel olino opisuje: Mreu protein-protein interakcija
Rast mree ljuskih kontakata
Rast WWW mree
Rast prema modelu sastoji se od dvije faze:
Duplikacija
Divergencija
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
8/37
Kompleksne mree
E-R model osnova za definisanje veliina kojima stopolokeosobine mrea.
Kompjuterski resursi i dostupnost ogromnim elektronskimpodataka uticali su na razvoj oblasti kompleksnih mrea,modstupaju od karakteristika sluajnihgrafova.
Zajenikoza sve ove sisteme je postojanje oreenogbrokoje meusobnointerreaguju estojakim nelinearnim inter
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
9/37
Kompleksne mree (2)
Postojanje ili odsustvo oreeneinterakcije izmeudva sistemafundamentalnu osnovu za primjenu teorije kompleksnih mrea.
Kompleksne mree su mree ija je struktura mnogo komplestruktura klasinihsluajnihgrafova.
Raspodjela veza po voru moe biti daleko sloenija od Praspodjela.
Kompleksne mree su sastavljene od vorova i (i=1.....N) mpovezanih linkovima eij.
MreaveliineN se formalno moezapisati u obliku matrice poiji element Aij = 1 ukoliko postoji link od vora i do vorajsuprotnom.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
10/37
Kompleksne mree (3)
Svaka mreaima jedinstvenu matricu povezanosti. vorovi u mrei odgovaraju osnovnim jedinicama gra
sistema kao to su proteini, delije, web stranice dok seopisuju interakcije izmeujedinica kao tosu na primjer veneurona i hiperlinkovi.
Postoje vije vrste kompleksnih mrea: Mali svijet (small world)
Mree bez skale (scale-free mree)
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
11/37
Mali svijet (small world)
Stenli Milgram,ameriki
psiholog jeezesetih
godinstoljedapokuaoda napravi sliku mreemeusobnihveza kljude inediod njih zajednicu.
6 stepeni razvojenosti
Danas je osobina malog svijeta direktno provjerena u velirazliitihmrea.
Zadnjih desetak godina izraz mali svijet je dobio i znaenje. Ukoliko l koji oznaava srednji najkradi put u glogaritamski ili jo sporije s obzirom na rast veliine mresrednjeg stepena tada moemoredida za mreuvrijedi efesvijeta.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
12/37
Mree bez skale (scale-free netwo
Izraz slobodno skaliranje se odnosi na bilo koju funkcijsku koja ostaje nepromijenjena bez obzira na skaliranje neovisnx.
Karakteristinoza mreebez skale je da se u njima pojavlju(eng. hub) koji imaju stepene za red veliine vede od pstepena svih vorova.
Fundamentalna osobina pri kreiranju mrea bez skale je ppovezivanje.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
13/37
Parametri kompleksnih mrea
Svaka mrea ima oreeni skup parametara koji nam govormreii na taj naino stvarnom svijetu kojeg ta mreapredsta
Ti parametri su:
Promjer mree
Najkradi put izmeu pojeinih vorova
Koeficijent grupiranja za cijelu mreu
Zajenica unutar mree
Najveda komponenta
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
14/37
Dijagram vremena kreiranja sluamrea razliitih veliina
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Broj vorova mree
Vrije
meizvravanja(s)
random
scale-free
small-world
Dij k i j l
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
15/37
Dijagram vremena kreiranja sluamrea razliitih veliina (logaritam
prikaz)
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 400010
-1
100
101
102
103
Broj vorova mree
Vrijemeizvravanja(s)
random
scale-free
small-world
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
16/37
Primjena sluajnih grafova u beimreama
Modeli grafova za mree vor predstavlja ureakomunikacijski link ili ponekad odnos interferencije.
Hromatski broj minimalni broj boja potrebnih tako da nijsusjednih vorovanije dodijeljena ista boja.
Susjedni vorovi dijele brid, susjedni bridovi dijele najma
vori boje se koriste za identifikaciju razliitihfrekvencija. Cilj je pronadi vezu izmeu osnovnih obiljeja i dva vana
beinih mrea: vjerovatnode da je mrea povezana i mbroja kanala potrebnih mreida smanji interferenciju.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
17/37
Uopteno o beinim komunikacija
Beine komunikacije su promijenile nau interakciju sa cjelokupan nainivota.
Povezanost mreeu literaturi se odnosi na vjerovatnoduda u mreimogu komunicirati jedan sa drugim u bilo koje vrijem
Interferencija je bitna za beine mree, via interferencij
manju propusnost i samim tim i niuefikasnost komunikacij
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
18/37
Uopteno o beinim komunikacijam
Problem interferencije se eliminira dodjelom dovoljnog broj
U stvarnosti, broj raspoloivihkanala je ogranien.
Tehnika viestrukog pristupa sa raspodjelom frekvencija vkanala koritenjem razliitih frekvencija buudi da je spek
deficitaran resurs. Pod jednakim uslovima, to je manji broj frekvencija potre
bolja emaalokacije kanala.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
19/37
Pregled beinih mrea
Mobilne mree se sastoje o fiksnih baznih stanica i mobilni
Spektar je poijeljen na set kanala koji mogu biti koriteniistovremeno.
Tehnike koje se koriste za podjelu kanala: FDM, TDM i CDM.
Prva generacija beinih mrea (1G)
Druga generacija beinih mrea (2G)
Treda generacija beinih mrea (3G)
etvrta generacija beinih mrea (4G)
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
20/37
Pregled beinih mrea (2)
Beinelokalne mree(WLAN) imaju visoku irokopojasnupi jeftinu implementaciju.
Pristup Internetu putem pristupnih taaka(APs).
WLAN je dizajniran da osigura veliku brzinu prijenosa korisnicima na oreenomporuju.
Voedi standard za WLAN je IEEE 802.11 (WiFi) kojfrekvencijama od 2GHz i 5GHz i koristi ortogonalno fmultipleksiranje (OFDM).
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
21/37
Pregled beinih mrea (3)
Mobilne i WLAN mreezahtijevaju postojanje fiksne infrastr
Ad-hoc je mreakoja ne zahtijeva fiksnu infrastrukturu.
U poreenju sa ostalim beinimmreama, ima prednost brze implementacije i automatske kontrole.
Navedeno predstavlja poeljne osobine u izvanrednim s
poput zemljotresa, zaguenja autocesta ili u sredinama gdmogu pristupiti kao tosu mjesta visokih i niskih temperatu
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
22/37
Povezanost i alokacija kanala u bemreama
Postojanje najmanje jednog puta od jednog do drugog vora
Gubitak jedne veze ili vora uzrokuje da jedan dio mdiskonektovan i samim tim promet izgubljen.
Postojanje alternativnih puteva.
Broj alternativnih puteva predstavlja mjeru robusnosti mre
Dodjela kanala mrenim ureajima na nain da je ukuinterferencije minimalan.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
23/37
Modeli grafova za beine mre
Jednostavan pristup prouavanja beinih mrea je prestkao grafove.
Ukoliko se vornalazi u prijenosnom ospegu rcdrugog vorova dva vorasusjedna odnosno postoji veza meunjima.
Ako je ri granina vrijednost za interferenciju onda
udaljenost izmeu vorova manja od ri
, vorovi inerferijadrugim.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
24/37
Primjer komunikacijskog iinterferencijskog grafa
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
25/37
Komunikacijski graf
Graf koji predstavlja skup predajnika i komunikacijskih linkse komunikacijski graf.
U komunikacijskom grafu, stepen predajnika je broj prekojim komunicira taj predajnik.
Uopteno,vrednovanje interferencije je teakzadatak zbog izmeupredajnika, fizikih karakteristika okruenja u komimplementirana i zbog razliitih tehnika kontrole kopredajnim ureajimaza smanjenje odnosa signal-um(SNR)
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
26/37
Bojenje grafa
Planiranjemeto za poboljanje iskoristivosti mree i reuinterferencije.
Planer oijeljuje razliite frekvencije/vrijeme/ko kanalima
Broj razliitih kanala ostupnih planeru zavisi o koritene btehnologije.
IEEE 802.11 stanar omogudava 12 nepreklapajudih kanala IEEE 802.11 stanar je preloio CSMA/CA mehanizam u ci
smanjivanja kolizije.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
27/37
Bojenje grafa (2)
U poslednjih nekoliko esetljeda, za prouavanje plakoritenametoda bojenja grafa.
U ovom radu, kanal je predstavljen bojom.
Problem planiranja postaje problem bojenja ija je sudodijeliti boje kanalima tako da susjedni kanali nemaju istu
Najmanji broj boja potrebnih za bojenje grafa se naziva broj.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
28/37
Bojenje grafa (3)
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
29/37
Bojenje grafa (4)
Problem rasporeivanja mrenih kanala za eliminaciju interfmoe biti mapiran u problem bojenja na ogovarajudeminterferencijskom grafu.
Na primjer, boje mogu biti razmatrane kao ili odvojeni vremslotovi ili frekvencijski opsezi.
vor prestavlja pristupnu taku, a link prestavlja interfereukoliko svi vre prijenos na istoj frekvenciji.
Nakon bojenja interferencijskog grafa, svakom voruje dodidruga boja.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
30/37
Modelovanje ad-hoc senzorskih mpomou sluajnih grafova
Ad-hoc mrease moeznaajnorazlikovati u veliini: moedva modula koji razmjenjuju podatke pa sve do na hiljsenzora koji posmatraju okolinu.
Glavna osobina ad-hoc mree je mogudnost ostvarenja kopostojedimbeinimtehnologijama.
Senzorske mree se sastoje o velikog broja sitnih senzorskikoji ukljuuju oitavanje, obrau poataka i komunikacijukomponenti.
Nema unaprijed konfigurisane mrene infrastrukture ili cenkontrole na porujuprekrivenom senzorima.
M d l j d h kih
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
31/37
Modelovanje ad-hoc senzorskih msluajnim grafovima (2)
Kao posljedicu toga imamo stohastikuraspodjelu senzora. Ovo dovodi do toga da su lokacije senzora i informacije o
susjedima nepoznate prije uspostavljanja mree neizvjesnost i sluajnostu strukturu mree.
Energija senzora je ogranienau senzorskim mreama.
Stoga je jedan od glavnih ciljeva u istraivanju senzorspredlaganje novih nainaza smanjenje potronjeenergije.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
32/37
Teorija perkolacije
Uvedena 1957.godine od strane Broadbenta i Hamersleya.
Osnovni cilj je primjeniti fazni prijelaz u teoriji perksenzorske mreei ostvariti novi nainouvanjaenergije.
Model perkolacije bridovi se formiraju samo izmeu
vorova.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
33/37
Teorija perkolacije (2)
Kada nastupi kritina vjerovatnoda p, ogaa se nagla stanja.
Ako je vjerovatnoda p velika, vedina vorova de biti posluajnomgrafu, a ako je p malo vorovideprije biti nepovepovezani.
Na slijeedojslici imamo prikazan model perkolacije pomou vodnjaku. Stabla su smjetenau reetkuradi jednostavnijJedno stablo je zaraeno. Epidemija inficira susjedna stabla se na cijeli vodnjak.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
34/37
Teorija perkolacije (3)
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
35/37
Teorija perkolacije (4)
Neka je C0povezana komponenta sluajnog grafa i neka je broj vrhova
lC0l. Oekivana vrijenost je ata slijeedom formulom:
E(lC0l)= (=1 lC0l=n)
Oito, ova oekivana vrijednost je funkcija koje se povedava savjerovatnodep i beskonanaje kada je p=1 pa mora postojati infimuod p za koju je oekivanibroj vrhova u povezanoj komponenti beskona
Grubo govoredi, ova vrijednost za p je prag iznad kojeg je sluajnipovezani oznaavase sa pT.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
36/37
Teorija perkolacije (5)
Drugi kriterij za tako visoku povezanost grafa je vjerovpovezana komponenta saribeskonanomnogo vorova,P
Ova vrijednost praga je oznaenasa pH.
Koincidencija postojanja dva praga vrijednosti je dokazana bilo koje dimenzije.
Postojanje kritinevrijednosti i rastinepromjene koje nas
prekoraenja ove vrijednosti predstavlja univerzalni fensusredemou raznim situacijama.
Ova univerzalnost je razlog za oekivati da ovakav pristupprimjeniti i u ad-hoc senzorskim mreama.
5/20/2018 Slu ajni Grafovi i Mogu nosti Primjene
37/37
Zakljuak
U ovom radu obraenisu koncepti grafova, parametri i mjere
grafova i kako su ovi koncepti koriteni za opisivanje beiKarakteristika grafa koja igra kljunuulogu pri prouavanjupmree i interferencije je stepen vorova. Koliko je robusnapovezana mrea, prvenstveno ovisi o stepenima vorova. Mplaniranja za izbjegavanje interferencije mapiran je u problegrafa koji se pak odnosi na hromatski broj ijaje vrijednost o
stepenom vorova. Za modelovanje ad-hoc senzorskih mreaje metoda perkolacije koja se bazira na tome da se povesusjedni vorovigdje kada se pojavi kritinavjerovatnodap,nagla promjena stanja.