Download pdf - Soal dan-solusi-uas-kalkulus-i-ittelkom

1001 Pembahasan UAS Kalkulus I

i

K A T A P E N G A N T A R

S ebagaian besar m ahasi sw a m engan ggap bahw a M ata K u l i ah y ang

berhubungan dengan m engh i tung y an g salah satun y a K a lku lu s adalah susah ,

rum i t d an m em usin gkan . A lh asi l j al an keluar y ang d i tem puh un tu k

m en gatasin y a adalah m ahasi sw a m enghaf al tekn ik ( u ru tan cara) m en j aw ab

so al , b u kan m em aham i in t i p erso al an , m ateri , d an bagaim ana m endapatkan

id e m eny elesaikan so al .

S eb ag ian l ag i m enganggap pem aham an m ateri saj a sudah cukup .

P engalam an say a, m ahasi sw a y ang baru m em aham i sebuah m ateri secara

in tu i t i f te tap saj a akan kesu l i tan ket i ka m en j aw ab perso alan . K esu l i tan bukan

karen a ti d ak tahu jaw abann y a, tetap i ku rang pandai b agaim ana cara

m en gungkapkann y a. K em am puan seseo rang m enuangkan apa y ang

d i f ah am in y a ke dalam tu l i san y ang si stem at i s d an b i sa d im engert i o rang lain

j u ga pen t i n g , karena o rang khu su sn y a do sen keti ka U A S m en i l a i ap a y ang

k i ta tu l is p ada lem bar j aw aban bukan apa y ang ada d i d al am o tak k i ta .

“ 1 0 0 1 so a l d a n pemba ha sa n “ in i d i bu at buka n dengan tu ju an agar

m ahasi sw a pem baca m en ghaf al tekn ik m en j aw abny a, m elain kan supay a

pem baca dapat leb ih m em aham i m ateri , d an berl at ih m en gungkapkan apa

y ang d i f ah am i . T en tu nn y a tu l isan in i t i dak l ah cukup bag i pem baca, tex t

b o o k dan pen jelasan dari do sen tetap lah leb ih u tam a, j ad ikan so al- so al y ang

ada d i si n i sebagai l at i h an , sekedar un tu k m el i h at keb enaran jaw aban anda

atau keti ka anda m erasa sudah m engalam i kebun tu an , b aru si l ah kan pem baca

m en y im ak pem bahasann y a.


ii

S em o ga berm an f aat !

P enu l i s

A r ip P a r y a d i


iii

D A F T A R I S I

K A T A P E N G A N T A R ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

D A F T A R I S I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i i

M A T H E M A T I C F O R M U L A E .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

S O A L S O A L .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

U as 2 0 0 9 -2 0 1 0 K alku lu s I M A 1 1 1 4 (S P ) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

U as 2 0 0 8 -2 0 0 9 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

U as 2 0 0 7 -2 0 0 8 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

U as 2 0 0 6 -2 0 0 7 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

U as 2 0 0 5 -2 0 0 6 K alku lu s 1 M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

U as 2 0 0 4 -2 0 0 5 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

U as 2 0 0 3 -2 0 0 4 K alku lu s I M A 1 1 2 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

U as 2 0 0 3 -2 0 0 4 K alku lu s I P U 1 3 3 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

U as 2 0 0 3 -2 0 0 4 K alku lu s I M A 1 3 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

U as 2 0 0 2 -2 0 0 3 K alku lu s I P U 1 3 3 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2

U as 2 0 0 2 -2 0 0 3 K alku lu s I M A 1 3 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

U as 2 0 0 2 -2 0 0 3 K alkuku s I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

U as 2 0 0 1 -2 0 0 2 K alku lu s I D A 1 3 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

U as 2 0 0 0 -2 0 0 1 K alku lu s I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

P E M B A H A S A N ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

U as 2 0 0 9 -2 0 1 0 K alku lu s I M A 1 1 1 4 (S P ) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

U as 2 0 0 8 -2 0 0 9 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

U as 2 0 0 7 -2 0 0 8 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

U as 2 0 0 6 -2 0 0 7 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8


iv

U as 2 0 0 5 -2 0 0 6 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

U as 2 0 0 4 -2 0 0 5 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

U as 2 0 0 3 -2 0 0 4 K alku lu s I M A 1 1 2 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0

U as 2 0 0 3 -2 0 0 4 K alku lu s I P U 1 3 3 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5

U as 2 0 0 3 -2 0 0 4 K alku lu s I M A 1 3 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

U as 2 0 0 2 -2 0 0 3 K alku lu s I P U 1 3 3 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2

U as 2 0 0 2 -2 0 0 3 K alku lu s I M A 1 3 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6

U as 2 0 0 2 -2 0 0 3 kalku lu s I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

U as 2 0 0 1 -2 0 0 2 K alku lu s I D A 1 3 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6

U as 2 0 0 0 -2 0 0 1 K alku lu s I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1

T R I G O N O M E T R Y F O R M U L A E .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6


v

M A T H E M A T I C F O R M U L A E

( ) uvvuu v ''' +=

2

'''

v

uvvuvu −

=

d xd y

d yd u

d xd u

⋅=

( ) 1' −= nn n xx

( ) xx ee ='

( ) aaa xx l n'=

( ) xx co ssin '=

( ) xx sinco s ' −=

( ) xx 2' sectan =

( ) xx 2' cscco t −=

( ) xxx tansecsec ' =

( ) xxx co tcsccsc ' −=

( )x

x1

ln ' =

( ) )(')(

1)(l n ' xf

xfxf =

( )2

'1

1

1sin

xx

−=−

( )2

'1

1

1co s

xx

−−=−

( )2

'1

1

1co t

xx

+−=−

∫−=∫ vd uu vu d v

∫ ++

=+

cnx

d xxn

n

1

1

cxd xx

+=∫ l n1

cea

d xe a xa x +=∫1

∫ +

=

−

− cax

xa

d x 1

22sin

∫ +−= cxx d x co ssin

cxx d x +=∫ sinco s

cax

ax

d x+∫

=

+

−1

22sinh

cxx d x +−=∫ co slntan

cxx d x +=∫ sinl nco t

cxxx d x ++=∫ tanseclnsec

cxxx d x +−=∫ co tcsclncsc

cax

aax

d x+

=∫

+−1

22tan

1

( )2

'1

1

1tan

xx

+=−

1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I

Arip Paryadi , IT Telkom 2

S O A L S O A L



U J I A N A K H I R S E M E S T E R P E N D E K 2 0 0 9 /2 0 1 0K A L K U L U S I /M A 1 1 1 4

1 5 A G U S T U S 2 0 0 9T U T U P B U K U

U a s 2 0 0 9 -2 0 1 0 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4 ( S P )

1 . D iketahu i d aerah D d ibatasi ku rv a xy = , g ari s 1=y , g ari s 4=x .

a . G am barkan daerah Db . H i tu ng lu as daerah Dc. H i tu ng v o lum e benda pu tar b i la D d ipu tar terhadap sum bu y .

2 . a . C ari tu ru nan dari xey1sin −

=

b . H i tu ng ( ) xx

xxe

12l im +−

∞→b i l a ad a

3 . H i tu n g in teg ral

a . ∫2

0

5co sπ

x d x

b . ∫+−

−d x

xx

x

1 06

32

4 . P eri ksa keko n v ergenan in teg ral tak w ajar ( )( )∫−+

+∞

0 234

d xxx

x

N o 1 a 1 b 1 c 2 a 2 b 3 a 3 b 4N i l ai 2 4 7 4 7 7 7 7

Selamat Bekerja dengan Jujur !



U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 8 /2 0 0 9K A L K U L U S I M A 1 1 1 4

S E L A S A / 1 3 JA N U A R I 2 0 0 9T U T U P B U K U

U a s 2 0 0 8 -2 0 0 9 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4

1 . D iketau i D adalah daerah y ang d ib atasi o l eh ku rv a 42 =+ yx dan gari s2+= xy

a. G am barkan daerah D dan cari t i t i k -t i t i k p o to ngn y ab . H i tu ng lu as daerag Dc. H i tu ng v o lum e benda pu tar, b i la D d ip u tar m engel i l i n g i sum bu x

2 . B i l a ( )a xxa

xf 11 tantan1

)( −− += , a ko n stan ta. T en tu kan a seh in gga

2)0(' =f

3 . H i tu n g ( ) xx

xco tl im0 +→

, b i l a ada.

4 . H i tu ng in teg ral

a. ∫−+− 342 xx

d x

b . d xxx∫ + 423

5 . P eriksa keko nv ergenan in tegral tak w ajar d xex x∫∞

∞−

− 32

S o al 1 2 3 4 5N i l ai 8 8 8 8 8

Selamat Mengerjakan !



U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 7 -2 0 0 8K A L K U L U S I /M A 1 1 1 4

T U T U P B U K UU as 2 0 0 7 -2 0 0 8 K alku lu s I M A 1 1 1 4

1 . D iketahu i suatu daerah D d i kuadran I y an g d ibatasi o leh ku rv a24 xy −= , gari s xy 3= dan sum bu y .

a. G am barkan daerah D dan h i tung luasny ab . H i tu ng v o lum e benda pu tar, b i la D d ipu tar terhadap gari s 4=x

2 . D iketahu i ( ) ( )

−=

2

1

sin

πxxxf

a. H i tu ng ( )xfxl im

2

+→ π

b . T en tukan tu runan pertam a dari ( )xf

3 . a. H i tu ng in teg ral ∫−−

+d x

xxx

x

6

623

3

b . periksa keko nv ergenan in tegral tak w ajar ∫∞

−

0dxxe x

N o 1 2 3N i l ai 1 2 1 4 1 4

Selamat mengerjakan denga jujur !



U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 6 /2 0 0 7K A L K U L U S I M A 1 1 1 4

S A B T U / 1 3 JA N U A R I 2 0 0 7T U T U P B U K U

U a s 2 0 0 6 -2 0 0 7 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4B erdo alah sebelum m u lai m engerj akan !K erj akan dengan j u ju r dan tel i t i !

1 . D iketau i d aerah D d ibatasi o l eh graf ik 21 xy −= , gari s x = 1 , dan garis

y = 1d . H i tu ng luas daerah De. V o lum e benda pu tar , j i ka daerah D d ipu tar terhadap sum bu y .

2 . a. T en tukan 'y ( u n tuk x > 0 dan y > 0 ) j i ka yx xy =

b . D iketahu i ∫ −=3

0) .1( co s)(

xxxd ttf π T en tukan n i l ai f( 8 ) .

3 . H i tu ng ∫++

d xxx

x23

2 1

4 . S el id ik i keko nv ergenan ∫+−

0

1 1d x

x

x

5 . D iketahu i1

)(+

=xx

xf

a. S el id ik i apakah f( x ) m em puny ai i n v ers ?b . C ari ( )11 −−f !

N O M O R 1 2 a 2 b 3 4 5N I L A I M A K S 8 4 4 8 8 8P E N G O R E K S I F D A JD N E R W Z K A D M A S S I

-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-



U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 5 /2 0 0 6K A L K U L U S 1 M A 1 1 1 4S E N IN 2 JA N U A R I 2 0 0 6

T U T U P B U K UU a s 2 0 0 5 -2 0 0 6 K a lk u lu s 1 M A 1 1 1 4

B erdo alah sebelum m u lai m engerj akan !K erj akan dengan j u ju r dan tel i t i !

1 . D iketahu i d aerah D d ibatasi o leh graf ik y = x 2 dan y = x . G raf i k f ungsiy = xm m em bag i lu as daerah D m en j ad i dua bag ian y ang sam a.a. G am barkan daerah Db . T en tukan m

2 . T en tukan pan j ang ku rv a y = x 3 /2 dari t i t i k ( 0 ,0 ) ke ( 1 ,1 ) .

3 . C ari l ah

a. ∫ d xxx )(co s)(si n 34

b . ∫ −1

0

1 )(tan d xx

4 . S el id ik i keko nv ergenan ∫−

3

0 29 x

d x

5 . D iketahu i f( x ) = ( x-π) tan x . T en tukana. ( )xf ' .

b . )(l im xfx +→ π

N o 1 2 3 4 5 Jum lahN i l ai M ax 8 8 8 8 8 4 0P engo reksi E R W B Z L F D A S S I JD N




U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 4 /2 0 0 5M A -1 1 1 4 K A L K U L U S I

S E N IN 1 0 JA N U A R I 2 0 0 5T U T U P B U K U

U a s 2 0 0 4 -2 0 0 5 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4

1 . D iketahu i D d ibatasi o l eh 2xy = , x = 2 dan y = 1

a. H i tu ng lu as Db . H i tu ng v o lum e benda pu tar y ang terj ad i j i ka D d ipu tar terhadap gari s

x = 3

2 . B i l a xxxxf )si n()( += , ten tukan :

a. )(' xf

b . )(l im0

xfx +→

3 . H i tu ng ∫++

+

−

1

12 52

5d x

xx

x

4 . H i tu ng ∫−

d xx 2

32 )14(

1

5 . P eriksa keko nv ergenan in tegral tak w ajar ∫ −2

1)1ln ( d xx




U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 3 /2 0 0 4M A 1 1 2 2 K A L K U L U S I2 3 D E S E M B E R 2 0 0 3

T U T U P B U K UU a s 2 0 0 3 -2 0 0 4 K a lk u lu s I M A 1 1 2 2

1 . D iketahu i1

)(2 +

=x

xxf

T en tukan :a. D aerah d im ana graf ik f naik atau tu run dan t i t i k ekstrim ny a beserta

j en i sn y a ( b i la ada)b . D aerah d im ana graf ik f cekung atau cekung ke baw ah dan ti t i k

belo kny a ( b i l a ada)c. G ari s-gari s A sim to td . S ketsa graf ik f

2 . D iketahu i ∫+

=−4

2 4

3

,1

)(x

xd t

t

xxH ten tukan H ’ (2 )

3 . D aerah D d ibatasi o l eh ku rv a-ku rv a y = x 2 dan y = 4a. G am bar daerah D dan h i tung lu as daerah tersebu tb . H i tu ng v o lum e benda pu tar y ang terj ad i apab i la daerah D d ipu tar

terhadap gari s y = -1

4 . D ib erikan ( ) xxxf

ln2 1)( += , ten tuka f ‘ ( x )

5 . H i tu ng in teg ral-in teg ral b eriku t

a. ∫ − d xe x9 D engan m enggunakan sub ti tusi xeu −= 9

b . ∫π

0

2co s x d xx




U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 3 /2 0 0 4P U 1 3 3 3 K A L K U L U S

S E N IN 5 JA N U A R I 2 0 0 4T U T U P B U K U

U a s 2 0 0 3 -2 0 0 4 K a lk u lu s I P U 1 3 3 3

1 . D iketahu i daerah tertu tup D y an g d ibatasi o leh ku rv a xy = , gari s

0=x dan garis y = 3a. H i tu ng lu as daerah Db . H i tu ng v o lum e benda pu tar j i ka D d ipu tar terhadap gari s y = -1

2 . D iketahu i ( ) ecxxxf co sco s)( =

a. H i tu ng : )(l im0

xfx →

b . T en tukan tu runan pertam a f( x )

3 . H i tu ng in teg ral b eriku t :

a. ∫+−

d xxx

x

52

22

b . ( )∫ + d xx2ln

4 . S el id ik i keko nv ergenan in tegral tak w aj ar beriku t :

a.( )∫

+

+∞

0 23

32 x

d x

b . ∫−−

−3

12 6

12d x

xx

x

Selamat Bekerja Dengan Jujur



U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 3 /2 0 0 4M A 1 3 1 4 K A L K U L U S IS E N IN 5 JA N U A R I 2 0 0 4


1 . T en tukan 'y dari b en tuk em p l i si t 1=+ x yex

2 . H i tu ng ∫ + d xx )2ln (

3 . D iketahu i ∫−−

−3

12 6

12d x

xx

x

a. P eriksa apakah in tegral d i atas adalah in teg ral tak w aj ar ?b . Jika in teg ral tak w ajar, periksa keko n v ergenanny a!

4 . a. T en tukan selang keko n v ergenan deret :

( )∑ +++=+∞

=0

2 . . .3211n

n xxxn

b . T en tukan jum lah deret pada so al 4 a dengan m enggunakan :

xxxx

−=++++

11

. . .1 32

5 . T en tukan deret M cL aurin dari f u ngsix

xxf

+=

1)(




U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 2 /2 0 0 3K A L K U L U S / P U 1 3 3 3

6 JA N U A R I 2 0 0 3T U T U P B U K U

U a s 2 0 0 2 -2 0 0 3 K a lk u lu s I P U 1 3 3 3K erj akan dengan singkat dan j elas!Jangan lupa berdo ’ a sebelum m engerjakan !

1 . D iketau i ecxxxf co s)1()( +=

a. T en tukan )(' xf

b . H i tu ng )(l im0

xfx +→

2 . H i tu ng in teg ral b eriku ta. ( )d xx 25ln +∫

b . ∫− 22 4 xx

d x

3 . S el id ik i keko nv ergenan dari

a.( )∫

+

+∞

0231x

d x

b . ∫+∞−

0

21d x

e

ex

x

4 . D iketahu i d aerah D d ibatasi o leh xy = , x = 4 , sum bu x .

a . T en tukan luas Db . H i tu ng v o lum e benda pu tar j i ka D d ipu tar terhadap sum bu y .




U J I A N A K H I R S E M E S T E R G E N A P 2 0 0 2 / 2 0 0 3M A 1 3 1 4 K A L K U L U S IJU M A T , 1 3 JU N I 2 0 0 3


1 . H i tu ng

a.( ) ( )∫

+−

+−

41

64322

23

xx

xxx

b . ∫+

d xxx 1

122

2 . T en tukan keko nv ergenan in tegral tak w aj ar( )

d xx

x∫

+

+∞

1232 1

3 . D iketau i ( )2

co t)( xxxf =

T en tukan :a. T u runan pertam a dari f( x ) !b . )(l im

0xf

x +→

4 . T en tukan selang keko nv ergenan ( )∑

+∞

=+

1212

1

nn

n

n

x




U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 2 /2 0 0 3K A L K U L U S IT U T U P B U K U

U a s 2 0 0 2 -2 0 0 3 K a lk u k u s I

1 . H i tu ng lah ( ) x

xx sin

0tanl im

+→

2 . T en tukan )(' xf dari2

)si n2()( xxxf +=

3 . H i tu ng in teg ral b eriku t ∫−

d xxx 14 2

4 . T en tukan keko nv ergenan in tegral tak w aj ar d i b aw ah

a. d xe

ex

x

∫+

∞

∞−−

−

21

b . ∫∞

∞− xx

d x3l n

5 . a. P eriksa keko nv ergenan deret ∑∞

=

+

1

1

!3

n

n

n

b . T en tukan selang keko nv ergenan deret ∑+

∞

=

−

02

1

)1(

2

n

nn

n

x




U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 1 /2 0 0 2D A 1 3 1 4 K A L K U L U S I

S E N IN 1 5 JA N U A R I 2 0 0 1T U T U P B U K U

U a s 2 0 0 1 -2 0 0 2 K a lk u lu s I D A 1 3 1 4

1 . D ib erikan f ungsi 1,22)( 2 −≤++= xxxxf . T un jukkan bahw a f ungsi

)( xf m em pun y ai i n v ers kem ud ian cari lah )(1 xf −

2 . a. C ari lah in teg ral tak ten tu ∫+

+d x

xx

x

4

43

b . H i tu ng lah ∫−3

12

29d x

x

x

3 . sel i d ik i keko nv ergenan in tegral tak w ajar beriku t

a. d xx∫ +∞

0)1ln (

b . ∫1

0

2

d xx

e x

4 . T en tukan selang /h im punan keko nv ergenan dari d eret p angkat

∑+

−∞

=

+

0

1

32)2(

n

nn

nx

5 . P erderetkan ke dalam deret M ac L au rin (m in im al 4 suku pertam a) un tuk

f ungsi24

1)(

xxf

−=




U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 0 /2 0 0 1K A L K U L U S 1

S E N IN / 2 4 N O V E M B E R 2 0 0 0T U T U P B U K U

U a s 2 0 0 0 -2 0 0 1 K a lk u lu s I

1 . D iketahu i xxxxf1

)42()( +=

a. T en tukan )(' xf

b . H i tu ng lah )(l im xfx ∞→

( j i ka ada )

2 . H i tu ng

a. ( )( ){ }∫ −−5

321ln d xxx

b . ∫−

−d x

x

x29

32

3 . H i tu ng ∫++−

−−d x

xxx

xx

)22) (1(

322

2

4 . T en tukan keko nv ergenan in tegral tak w aj ar beriku t :

a. ∫2

0tan

π

θθ d

b . ∫∞−

0 2

d xx e x

5 . T en tukan selang ( h im punan ) keko nv ergenan deret ∑+

−∞

=

+

1

1

)1()1(

k

kk

kkx




P E M B A H A S A N



P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R P E N D E K 2 0 0 9 /2 0 1 0

K A L K U L U S I /M A 1 1 1 41 5 A G U S T U S 2 0 0 9

U a s 2 0 0 9 -2 0 1 0 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4 ( S P )1 . D iketahu i d aerah D d ibatasi ku rv a

xy = , gari s 1=y , gari s 4=x .

a . G am bar daerah D d iperl ih atkan padagam bar d i sam p ing

b . M engh i tung lu as daerah Dluas salah satu parti si d ari D adalah :

( ) yyA ∆−=∆ 24

apab i l a lu as selu ruh part i si d ari Dd i j um lahkan akan d ipero leh lu as daerahD y ai tu

( ) 2

1

331

2

1

2 44 yyd yyA −=∫ −=

( ) ( ) 35

31

38 48 =−−−=

c. M engh i tung v o lum e benda pu tar b i l aD d ipu tar terhadap sum bu y .

Jika salah satu parti si d ari D d ipu tarterhadap sum bu y m aka akan d ipero lehsebuah cakram dengan j ari-j ari b ag ian

dalam 2y dan jari-j ari b ag ian lu ar 4

serta tebal y∆ . V o lum e cakram

tersebu t y ai tu

( ) ( ) yytrrV dl ∆−=−=∆ 422 1 6ππ

S eh ingga v o lum e benda pu tar y angd im aksud adalah

( ) ( ) πππ 54 9

2

1

551

2

1

4 1 61 6 =−=∫ −= yyd yyV

1

xy =

40 Dd aerah

y∆

1 24 y−

40 1

2

y

2yrd =

4=lr



2 . a. M encari tu runan dari xey1si n −

=

m isalkan xu 1sin −= m aka21

1

xd xd u

−= , uey = dan ue

d ud y

= .

D engan m enggunakan atu ran ran tai k i ta pero leh :

2

sin

2 11

11

x

e

xe

d xdu

dud y

d xd y x

u

−=

−==

−

b . M engh i tung ( ) xx

xxe

12l im +−

∞→

( ) xx

xxe

12l im +−

∞→( ) ( )2

12 l n

1l imex plnex pl im xe

xxe x

x

xx

x+=+= −

∞→

−

∞→

( )**

2l imex p*

lnl imex p

2

2

xe

xex

xex

x

x

x

x +

+−=

+=

−

−

∞→

−

∞→

( ) 10ex p2

2l imex p ==

+−

+=

−

−

∞→ xe

ex

x

x

N o te : * dan * * l im i t b erben tuk ∞ /∞ seh ingga L ’ H dapat d i terapkan .

3 . M engh i tung in teg ral

a. ∫2

0

5co sπ

x d x

∫ x d x5co s ( )∫= x d xx co sco s22 ( )∫ −= x d xx co ssi n1

22

( )∫ +−= x d xxx co ssi nsi n21 42

( ) ( )∫ +−= xdxx si nsi nsi n21 42

cxxx ++−= 5513

32 sinsinsin

∫2

0

5co sπ

x d x ( ) 1 58

0

5513

32 2sinsinsin =+−=

π

xxx

b . ∫+−

−d x

xx

x

1 06

32

∫+−

−d x

xx

x

1 06

32

( )∫

+−

+−=

1 06

1 062

2

21

xx

xxdcxx ++−= 1 062



A l ternat i v e lain adalah dengan m el ih at keny ataan bahw a

∫+−

−d x

xx

x

1 06

32 ( )

∫+−

−= d x

x

x

13

32

kem ud ian lakukan subst i tu si

tx tan3 =−

4 . M em eriksa keko nv ergenan in tegral tak w aj ar ( )( )∫−+

+∞

0 234

d xxx

x

( )( )∫−+

+∞

0 234

d xxx

x( )( ) ( )( )∫

−++

+∫−+

+=

+− →→

3

202 234

l im23

4l im

bb

a

ad x

xxx

d xxx

x

( )( ) ( )*.. . . . . . .23

4l im

3∫

−++

+∞→

c

cd x

xxx

M isalkan ( )( ) ( ) ( )23234

−+

+=

−++

xb

xa

xxx . U n tuk m endapatkan n i l ai a dan b

k i ta kal i kan kedua ruas dengan ( )( )23 −+ xx m en j ad i

( ) ( )324 ++−=+ xbxax

un tuk 2=x d ipero leh b56 = atau 56=b

un tuk 3−=x d ipero leh a51 −= atau 51−=a seh ingga

( )( )∫−+

+d x

xxx

234

( ) ( ) cxxd xxx

+−++−=∫

−

++

−= 2ln3l n25

635

156

51 .

S ekarang k i ta selesaikan l im i t b ag ian pertam a pada ruas kanan ( * )

( )( )∫−+

+−→

a

ad x

xxx

02 234

l im ( ) aa

xx05

651

22ln3lnl im −++−=

−→

( ) ( ) −∞=−+−−−++−=−→

2ln3ln2ln3lnl im 56

51

56

51

2aa

a

I n i m enun jukkan bahw a ( )( )∫−+

+−→

a

ad x

xxx

02 234

l im d iv ergen y ang berak ib at

( )( )∫−+

+∞

0 234

d xxx

x j u ga d iv ergen .



P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 8 /2 0 0 9

K A L K U L U S I M A 1 1 1 4S E L A S A / 1 3 JA N U A R I 2 0 0 9

U a s 2 0 0 8 -2 0 0 9 K a lk u lu s I M A 1 1 1 41 . D iketau i D adalah daerah y ang d ibatasi o l eh

ku rv a 42 =+ yx dan gari s 2+= xy

a. M enggam bar daerah D dan m encarit i t i k-t i t i k po to ngny a

T i t i k po to ng ku rv a an tara 42 =+ yx dan2+= xy

42 =+ yx

422 =++ xx

022 =−+ xx( )( ) 012 =−+ xx

2−=x atau 1=x

b . M engh i tung lu as daerah Dluas salah satu parti si d ari D adalah :

( ) ( )( ) xxxA ∆+−+−=∆ 242

( ) xxx ∆+−−= 22

Jika lu as sem ua parti si d ari D k i tajum lahkan akan d idapat luas daerah Dy ai tu :

( )∫ +−−=−

1

2

2 2 d xxxA

1

2

23 221

31

−

+−−= xxx

29

4238

221

31

=

−−−

+−−=

2+= xy

42 +−= xy

2− 1

) ( )24 +− x



c. M engh i tung v o lum e bend a pu tar, b i laD d ipu tar m engel i l i n g i sum bu x .

B i l a sebuah part isi d engan t in gg i

22 +−− xx dan alas x∆ d ipu tar terhadapsum bu x m aka akan d ipero leh sebuahcakram dengan j ari – jari d alam 2+x

dan j ari j ari b ag ian lu ar 42 +− x sertatebal x∆ . L u as v o lum e cakram tersebu tadalah

( ) trrV dl22 −=∆ π

( ) ( ) xxx ∆

+−+−= 222 24π

( ) ( )( ) xxxxx ∆++−+−= 441 68 224π

( ) xxxx ∆+−−= 1 249 24π

S eh ingga v o lum e benda pu tar y ang d im aksud adalah :

( )∫ +−−=−

1

2

24 1 249 d xxxxV π1

2

235 1 22351

−

+−−= xxxxπ

−−+−−

+−−= 2 482 4

53 2

1 22351

π π5

1 0 8=

2 . M enen tukan a seh ingga 2)0(' =f j ika ( )a xxa

xf 11 tantan1

)( −− +=

( )( )22 11

11'

a x

axa

xf+

++

=

karena 2)0(' =f m aka

aa

+=1

2

212 aa +=

0122 =+− aa

( ) 01 2 =−a ,

1=a

= xrd

42 +



3 . M engh i tung ( ) x

xxco tl im

0 +→

( ) x

xxco tl im

0 +→( ) ( )xxx

x

x

xco tl nl imex pco tl nex pl im

00 ++ →→==

( )*

1co tln

l imex p0

=+→

x

x

x

−

−

=+→

2

2

0 1

co tcsc

l imex p

x

xx

x

xx

xx

xx

x

x

xxx co sl im

sinl imex p

co ssin

sinl imex p

002

2

0 +++ →→→==

( ) 10.1ex p ==

N o te : * l im i t b erben tuk ∞ /∞ seh ingga L ’ H b isa d i terapkan .

4 . M eng i tung in teg ral

a. ∫−+− 342 xx

d x

( )*

21 2∫

−−=

x

d x ( ) cx +−= − 2si n 1

N o te: * j i ka ku rang f aham lakukan subst i tu si tx sin2 =−

b . d xxx∫ + 423

m isalkan : 42 += xu m aka x d xdu 2= ataux

d ud x

2= seh ingga

d xxx∫ + 423∫=

xd uux

2

3

∫= duux 2

21 ( )∫ −= duuu 4

21

∫

−= duuu 2

12

34

21

cuu +

−= 2

32

5

38

52

21

( ) ( ) cxx ++−+= 23

225

2 434

451



5 . M em eriksa keko nv ergenan in tegral tak w aj ar d xex x∫∞

∞−

− 32

d xex x∫∞

∞−

− 32∫+∫= −

∞→

−

−∞→

bx

ba

x

ad xexd xex

0

20

2 33

l iml im

m isalkan 3xu −= m aka d xxdu 23−= seh ingga

∫ − d xex x 32 ∫−= d ue u

31

ce u +−=31

ce x +−= − 3

31

d xex x∫∞

∞−

− 32b

x

ba

x

aee

0

033

31

l im31

l im −

∞→

−

−∞→−+−=

∞=+−++−= −

∞→

−

−∞→ 31

31

l im31

31

l im33 b

b

a

aee

Jad i d xex x∫∞

∞−

− 32 d iv ergen .



P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 7 -2 0 0 8

K A L K U L U S I /M A 1 1 1 4U a s 2 0 0 7 -2 0 0 8 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4

1 . D iketahu i suatu daerah D d i kuad ran I y ang

d ibatasi o l eh ku rv a 24 xy −= , gari s xy 3=

dan sum bu y .a. G am bar daerah D luas daerahny a

P erhat ikan gam bar d isam p ing !

T i t i k po to ng an tara ku rv a 24 xy −= dan

xy 3= terj ad i saat xx 34 2 =− y ai tu

0432 =−+ xx( )( ) 014 =−+ xx

4−=x ( t id ak m em enuh i karena D padakw ad ran I ) atau 1=xL uas salah satu part isi d ari D adalah :

( )( ) ( ) xxxxxxA ∆+−−=∆−−=∆ 4334 22

Jika k i ta j um lahkan luas selu ruh parti sid ari D akan d idapat lu as daerah D y ai tu

( )∫ +−−=1

0

2 43 d xxxA

61 3

1

0

2233

31 4 =+−−= xxx satuan lu as.

b . M engh i tung v o lum e benda pu tar, b i l a Dd ipu tar terhadap garis 4=x

A pab i la salah satu part i si d engan t in gg i432 +−−= xxt dan alas x∆ serta

berj arak x−4 dari garis 4=x d ipu tarterhadap gari s 4=x akan d ipero lehsebuah ku l i t ta bung dengan dengant in gg i 432 +−−= xxt , j ari -j ari xr −= 4

serta tebal x∆ .

xy 3= 1

( ) xx 34 2 −−



V o lum e ku l i t tabung tersebu t adalah :

( )( ) xxxxrr tV ∆+−−−=∆=∆ 43422 2ππ ( ) xxxx ∆+−−−= 1 61 62 23π

A pab i la v o lum e selu ruh ku l i t tabung d i j um lahkan akan d ipero lehv o lum e benda pu tar y ang d im aksud y ai tu

( )∫ +−−−=1

0

23 1 61 62 d xxxxV π ( ) ππ 65

1

0

23314

41 1 51 682 =+−−−= xxxx

2 . D iketahu i ( ) ( ) ( )2

1

sin π−= xxxf

a. M engh i tung ( )xfxl im

2

+→ π

( ) ( ) ( )2

1

22

sinlnex pl iml imπ

ππ

−

++→→

= xxxfxx

( ) ( )*

sinlnl imex p

sinlnex pl im

22 22

ππ ππ −=

−=

++→→ x

x

x

x

xx

( ) 10ex psinco s

l imex p2

===+

→ xx

x π

N o te :* l im i t b erben tuk 0 /0 seh ingga L ’ H dapat d i terapkan .

b . M enen tukan tu runan pertam a dari ( )xf

( ) ( )

−= 2

1

sinπxxxf

( ) ( )2

2

1sinln

sinlnlnπ

π

−==

−

xx

xxf x

( )

−=

2

sinlnln

πxx

DxfD xx

( )( )

( )( ) 22

2sinco s sinln'

π

π

−

−−=

x

xx

xfxf x

x

( )( )

( )( )

( )( )

( )

−

−

−−=

−

−−= 2

1

22

22

2

2 sinsinlnco tsi nl nco t

'π

π

π

π

πxx

x

xxxxf

x

xxxxf



3 . a. M engh i tung in teg ral ( )( )∫+−

+=∫

−−

+d x

xxxx

d xxxx

x23

6

6

6 3

23

3

m isalkan ( )( ) 232363

++

−++=

+−+

xd

xc

xb

axxx

x

un tuk m endapatkan n i lai a , b , c dan d k i ta kal i kan kedua ruas dengan( )( )23 +− xxx m enghasi l kan

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )*... . . . . . . .. . . . . . . . . .32232363 −++++−++−=+ xd xxcxxxbxxa xx

kem ud ian dengan m eny u l ih kan n i l ai 0=x , 3=x , 2−=x dan 1−=xke dalam ( * ) secara bertu ru t tu ru t k i ta pero leh

b66 −= atau 1−=b

c1 53 3 = atau 51 1=c

d1 02 =− atau 51−=d

dcba 4445 +−−= atau 1=aD engan dem ik ian k i ta m em i l i k i

( ) ( ) Cxxxx

d xxxx

d xxxx

x

++−−+−=

∫

+

−−

+−=∫−−

+

2ln3lnln

231

16

6

51

51 1

51

51 1

23

3

b . M em eriksa keko nv ergenan in tegral tak w aj ar ∫∞

−

0dxxe x

M isalkan xu = dan d xed v x−= m aka d xd u = dan xev −−= seh ingga

∫−=∫=∫ − vd uu vu d vd xx e x

cex ed xex e xxxx +−−=∫+−= −−−−

∫∞

−

0dxxe x axx

a

ax

aexedxxe

00l iml im −−

∞→

−

∞→−−=∫=

11

l im1**1

l im11l im =−

+=−−

+=+−−=∞→∞→

−−

∞→ aaaa

aa

a ee

aea e

Jad i ∫∞

−

0d xx e x ko nv ergen ke 1 .

N o te :* * l im i t b erben tuk ∞/∞ seh ingga L ’ H dapat d i terapkan

1001 Soal & Pembahasan UAS

Arip Paryadi , IT Telkom

P E M B A H A S A NU JI A N A K H I R S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 6 /2 0 0 7

K A L K U L U S I M A 1 1 1 4S A B T U / 1 3 JA N U A R I 2 0 0 7

U a s 2 0 0 6 -2 0 0 7 K a lk u lu s I M A 1 1 1 41 . D iketau i d aerah D d ib atasi o l eh g raf i k

21 xy −= , g ari s x = 1 , d an garis y = 1 .

a. M engh i tung lu as daerah DP erh at i kan gam bar d i sam p in g !L u as salah satu p art i si d ari D adalah

xxxxA ∆=∆−−=∆ 22 ) )1(1( .

S eh in gga lu as daerah D adalah :

l u assatuan31

31 1

0

31

0

2 ==∫= xd xxA

b . M enen tu kan v o lum e benda pu tar , j i k ad aerah D d ip u tar terh adap sum bu y .

M eto de ku l i t ta b u n gJika sal ah satu i ri san dengan t i n gg i

22 )1(1 xx =−− dan alas x∆ serta

b erj arak x dari sum bu y d ip u tar

terhadap sum bu y akan d ipero leh suatu

ku l i t ta bung dengan t i n gg i 2x , j ari j arix dan tebal x∆ . S eh in gga v o lum e ku l i ttab ung tersebu t ad alah :

( ) xxxxxV ∆=∆=∆ 32 22 ππ

241

221

0

41

0

3 πππ =

=∫= xd xxV

1=y

1y −=

Pembahasan UAS Kalkulus I

28

E S T E R G A N JI L 2 0 0 6 /2 0 0 7

x

y

1=x2x−

Dx∆



2 . a. M enen tukan 'y j i ka yx xy =yx xy =

yx xy l nl n =

xyyx l nln =

( ) ( )xyDyxD xx l nln =

yx

xyxyy

y1

ln''1

ln +=+

yxy

xyyyx

l nln'' −=−

yxy

yxyx

l n'ln −=

−

xyx

yxy

yl n

ln'

−

−=

b . M enen tukan f( 8 ) j i ka d iketahu i ( )*... . . . . .) .1( co s)(3

0∫ −=x

xxd ttf π

T erleb ih dahu lu k i ta ten tukan f ungsi eksp i l i si t dari f( x ) d enganm enerapkan teo rem a dasar kalku lu s pada ( * )

]) .1( co s[)(3

0∫ −=x

xx xxDd ttfD π

πππ )si n()1( co s3)( 23 xxxxxf −+−=

1sinco s3)( 23 −−= xxxxxf πππ

23

3

1sinco s)(

x

xxxxf

−−=

πππ

D engan m en y u l ih kan n i l ai x = 2 ke persam aan terkah ir k i ta pero leh

23

2.3

12sin22co s)8()2(

−−==

πππff 0

1 2101

=−−

=



3 . M engh i tung ∫+

+d x

xx

x23

2 1

m isalkan1)1(

122

2

+++=

+

+xc

x

bxa

xx

x m aka :

)1(

)1()1(

)1(

12

2

2

2

+

++++=

+

+

xx

cxxbxa x

xx

x

22 )1()1(1 cxxbxa xx ++++=+

un tuk 0=x k i ta pero leh 1=b

un tuk 1−=x k i ta pero leh 2=c

un tuk 1=x k i ta pero leh cba ++= 222 atau 1−=aseh ingga :

∫+

+d x

xx

x23

2 1∫

+++−= d x

xxx 1211

2Cx

xx +++−−= 1ln2

1ln

4 . M eny el id ik i keko nv ergenan ∫+−

0

1 1d x

x

x

∫+

=∫+ −→−

0

1

0

1 1l im

1 aad x

x

xd x

x

x

∫+

−+=

−→

0

1 1

1)1(l im

aad x

x

x

∫

+−+=

−→

0

1 1

11l im

aad x

xx

dxxxaa

+−+∫=

−

−→

21

210

1)1()1(l im

02

12

3

1)1(2)1(

32

l imaa

xx

+−+=

−→

34

)1(2)1(32

232

l im 21

23

1−=

+−+−

−=

−→aa

a

D engan dem ik ian ∫+−

0

1 1d x

x

x ko nv ergen ke34

−



5 . D iketahu i1

)(+

=xx

xf

a. M eny el id ik i apakah )( xf m em puny ai i n v ers

U n tuk m eny el i d ik in y a k i ta periksa apakah f m ono to n m urn i un tukseti ap selang pada R ( sesuai dengan dom ainny a) . S ekarangperhat ikan bahw a

Rxxx

xxxf ∈∀>

+=

+

−+= 0

)1(

1

)1(

)1()('

22

I n i m enun jukkan bahw a f selalu naik y ai tu f m ono to n m urn iseh ingga f m em i l i k i in v ers.

b . M encari )1(1 −−f

m isalkan )(1 yfx −=

1)(

+=

xx

xf

1+=

xx

y

xxy =+ )1(xyyx =+yxyx −=−

yxy −=− )1(

yy

yy

x−

=−

−=

11

yy

yf−

=−

1)(1

xx

xf−

=−

1)(1

21

)1(11

)1(1 −=−−

−=−−f



2xy =

xy =

mxy =


K A L K U L U S 1 M A 1 1 1 4S E N IN 2 JA N U A R I 2 0 0 6

U as 2 0 0 5 -2 0 0 6 K alku lu s I M A 1 1 1 41 . D iketahu i d aerah D d ibatasi o leh graf ik y = x 2 dan y = x . G raf i k f ungsi

y=xm m em bag i lu as daerah D m en j ad i 2 bag ian y ang sam a.a. M enggam bar daerah D

b . M enen tukan n i l ai mK arena G raf ik f ungsi y = xm m em bag ilu as daerah D m en j ad i 2 bag ian y angsam a, m aka luas daerah y ang d ibatasif ungsi y = xm dan y = x adalahsetengah luas D . secara m atem at is dapatd i tu l iskan dalam :

∫ −=∫ −1

0

21

0)(

21

)( dxxxd xxx m

1

0

321

0

12

31

21

21

11

21

−=

+− + xxx

mx m

−=

+−

31

21

21

11

21

m

1 21

11

21

=

+−

m

1 25

1 21

21

11

=−=+m 5

7=⇒ m

2xy =

xy =



2 . M enen tukan l = pan j ang ku rv a y = x 3 /2 dari t i t i k ( 0 ,0 ) ke ( 1 ,1 ) .

∫

+=

1

0

2

1 d xd xd y

l ∫

+=

1

0

22

1

23

1 d xx

∫ +=1

0 49

1 d xx1

0

23

94

49

132

+= x

−

= 1

41 3

2 78 2

3

3 . M enen tukan :

a. ∫ d xxx )(co s)(si n 34

∫ d xxx )(co s)(si n 34 ∫= d xxxx )co s()(co s)(si n 24

( )∫ −= d xxxx )co s()(si n1)(si n 24

( )∫ −= d xxxx )co s()(si n)(si n 64

( ) ( )∫ −= xdxx sin)(si n)(si n 64

( ) ( ) cxx +−= 75 sin71

sin51

b . ∫ −1

0

1 )(tan dxx

m isalkan : )(tan 1 xu −= dan d xd v =

m aka : d xx

d u21

1

+= dan xv = seh ingga

∫=∫ − u d vd xx )(tan 1∫−= vduu v d x

x

xxx ∫

+−= −

21

1)(tan

( )∫

+

+−= −

2

221

1

1

1)(tan

x

xdxx

Cxxx ++−= − 21 1ln21

)(tan

dengan dem ik ian ∫ −1

0

1 )(tan dxx1

0

21 1ln21

)(tan

+−= − xxx

−−

−= − 1ln

21

02ln21

)1(tan 1 2ln21

4−=

π



4 . M eny el id ik i keko nv ergenan ∫−

3

0 29 x

d x

∫−

3

0 29 x

d x∫

−=

−→

a

a x

d x

0 23 9l im

m isalkan : θsin3=x m aka θθ dd x co s3=

j i ka 0=x m aka 0=θ

j i ka −→ 3x m aka−

→2π

θ seh ingga

∫−−→

a

a x

d x

0 23 9l im ∫

−=

−

→

b

b

d

0 2

2sin99

co s3l im

θ

θθπ

∫−

=−

→

b

b

d

0 2

2)sin1(9

co s3l im

θ

θθπ

∫=−

→

b

b

d

0 2

2co s9

co s3l im

θ

θθπ

∫=−

→

b

b

d

02

co s3co s3

l imθθθ

π∫=

−

→

b

b

d0

2

l im θπ 2

l im

2

ππ

==−

→

bb

Jad i ∫−

3

0 29 x

d xko nv ergen ke

2π

A l ter n a ti ve l a i n

∫−

3

0 29 x

d x∫

−=

−→

a

a x

d x

0 23 9l im

a

a

x

0

1

3 3sinl im

= −

→ −

23sinl im 1

3

π=

= −

→ −

a

a

y ai tu ∫−

3

0 29 x

d xko nv ergen ke

2π



5 . D iketahu i ( ) xxxf tan)( π−=

a. M enen tukan ( )xf 'xxy tan)( π−=

xxy tan)l n (l n π−=

)ln ()tan (ln π−= xxy

( ) ( )[ ]π−= xxDyD xx l ntanln

( ) ( )xx

xxyy

tan1

ln)(sec'1 2

ππ

−+−=

( ) ( ) ( ) yxx

xxy

−+−= tan

1lnsec' 2

ππ

( ) ( ) ( ) ( ) xxxx

xxy tan2 tan1

lnsec' ππ

π −

−+−=

b . M engh i tung )(l im xfx +→ π

)(l im xfx +→ π

x

xx tan)(l im π

π−=

+→

−=

+→

x

xx tan)l n (ex pl im π

π

[ ])l n ()tan (ex pl im ππ

−=+→

xxx

[ ])l n ()tan (l imex p ππ

−=+→

xxx

( ) *

)co t(ln

l imex p

−=

+→ xx

x

ππ

−

−=

+→ )(csc

1

l imex p2 x

x

x

ππ

*2 )(sinl imex p

ππ −−=

+→ xx

x 1)co s()sin (2

l imex pxx

x−=

+→ π

( ) 10ex p 0 === e

no te : * l im i t b ern i l ai 0 /0 seh ingga L ’ H dapat d i terapkan




M A -1 1 1 4 K A L K U L U S IS E N IN 1 0 JA N U A R I 2 0 0 5

U a s 2 0 0 4 -2 0 0 5 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4

1 . D iketahu i D d ibatasi o l eh 2xy = , x = 2 dan y

= 1a. M engh i tung lu as D

L uas salah satu parti si pada D adalah

( ) xxA ∆−=∆ 12

seh ingga luas daerah D adalah

( )∫ −=2

1

2 1 dxxA

2

1

3

31

−= xx

34

131

238

=

−−

−=

b . M engh i tung v o lum e benda j i ka D d ipu tarterhadap gari s x = 3j ika salah satu i ri san dengan t in gg i 12 −x

dan alas x∆ serta berj arak x−3 dari gari s x= 3 d ipu tar terhadap gari s 3=x akand ipero leh suatu ku l i t ta bung dengan t in gg i

12 −x , j ari j ari x−3 dan tebal x∆ .S eh ingga v o lum e ku l i t tabung tersebu tadalah :

( )( )( ) xxxx

xxxV

∆−++−=

∆−−=∆

332

13223

2

π

π

( )∫ −++−=2

1

23 332 dxxxxV π

1 127

321

41

22

1

234 ==

−++−=

ππ xxxx

}x∆

2y

1=y

2=x1

4

x

y

12 −

}x∆

30 x

x−3



2 . D iketahu i xxxxf )si n()( +=

a. M enen tukan )(' xfxxxy )si n( +=

xxxy )si nl n (l n +=xxxy )si nl n (l n +=

( )( )xxxDyD xx sinln)( ln +=

( ) xxxx

xxyy sin

co s1sinln'

1++

++=

( ) yxxxx

xxy

++

++=sinco s1

sinln'

( ) ( ) xxxxxxx

xxy sinsinco s1

sinln' +

++

++=

b . M engh i tung )(l im0

xfx +→

)(l im0

xfx +→

( ) xx

xx sinl im0

+=+→

( ) xx

xx sinlnex pl im0

+=+→

( )[ ]xxxx

sinlnex pl im0

+=+→

( )[ ]xxxx

sinlnl imex p0

+=+→

( )*

1sinln

l imex p0

+

=+→

x

xx

x

−

++

=+→

20 1

sinco s1

l imex p

x

xxx

x

( )**

sinco s1

l imex p2

0

++

−=+→ xx

xx

x

( ) ( )

+−++

−=+→ x

xxxx

x co s1sinco s12

l imex p2

0

1)0ex p (20

ex p 0 ===

= e

N o te : * l im i t b erb en tu k ∞ /∞ * * ( 0 /0 ) seh i n gga L ’ H d ap at d i terap kan .



3 . M engh i tung ∫++

+

−

1

12 52

5dx

xx

x

∫++

+

−

1

12 52

5dx

xx

x

( )∫++

+=

−

1

122 21

5d x

x

x

m isalkan : θtan21 =+x m aka θθ dd x 2sec2=

j i ka 1−=x m aka 0=θ

j i ka 1=x m aka4π

θ = seh ingga

( )∫++

+

−

1

122 21

5d x

x

x∫

+

+−=

4

0

22

sec24tan4

5)1tan2(π

θθθ

θd

∫+

+=

4

0

22

sec2)1( tan4

4tan2π

θθθ

θd ∫

+=

4

0

22

sec2)( sec4

4tan2π

θθθ

θd

( )∫ +=4

04tan2

21

π

θθ d [ ] 4

04co sln2

21

π

θθ +−=

( )

−

+−= 02

21

ln221

π 221

ln2

−=π

4 . M engh i tung ∫−

d xx 2

32 )14(

1

m isalkan : θsec21

=x m aka θθθ dxd tansec21

= seh ingga

∫−

dxx 2

32 )14(

1

( )∫

−= θθθ

θdtansec

21

1sec

1

23

2

∫= θθ

θθd

232 )( tan

tansec21

∫= θθ

θθd

3tan

tansec21

∫= θθ

θd

2tan

sec21

∫= θθθ

θd

co s1

sin

co s21

2

2

∫= θθθθ

dsinco s

sin1

21

∫= θθθ dco tcsc21

C+−= θcsc21

Cx +−−= 24121

θx2

1 241 x−



5 . M em eriksa keko nv ergenan in tegral tak w aj ar ∫ −2

1)1ln ( dxx

∫ −2

1)1ln ( dxx ∫ −=

+→

2

1)1ln (l im

aadxx

M isalkan )1ln ( −= xu dan d xd v = m aka1−

=xd x

d u dan xv = seh ingga

∫ ∫−=∫=− vduu vud vd xx )1ln (

∫−

−−= d xxx

xx1

)1ln (

∫−

+−−−= d x

xx

xx1

1)1()1ln (

∫

−+−−= d x

xxx

11

1)1ln (

( ) Cxxxx +−+−−= )1ln ()1ln (

Cxxxx +−−−−= )1ln ()1ln (

Cxxx +−−−= )1ln ()1( j ad i

∫ −2

1)1ln ( dxx [ ]

2

1)1ln ()1(l im

aaxxx −−−=

+→

( ) ( ) ( )( )[ ]aaaa

−−−−−=+→

1ln12l im1

)1ln ()1(2l im1

−−−−=+→

aaaa

)1ln ()1(l im)2(l im11

−−−−=++ →→

aaaaa

−

−−−=

+→

11

)1ln (l im1

1

a

a

a

−−

−−−=

+→

2

1

)1(1

11

l im1

a

a

a

)(1)1(l im11

a nsaa

−=−−−−=+→

1keko n v erg en)1ln (2

1−∫ −∴ d xx




M A 1 1 2 2 K A L K U L U S I2 3 D E S E M B E R 2 0 0 3

U a s 2 0 0 3 -2 0 0 4 K a lk u lu s I M A 1 1 2 2

1 . D iketahu i1

)(2 +

=x

xxf

a. D aerah kem o no to nan f dan t i t i k ekstrim ny a beserta j en i sn y aK em o no to nan dari f dapat d i ten tukan dari )(' xf

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )2222

2

22

2

1

11

1

1

1

21)('

+

+−=

+

−=

+

−+=

x

xx

x

x

x

xxxxf

• f m ono to n naik j i ka 0)(' >xf y ai tu pada selang ( -1 ,1 )

• f m ono to n tu run j i ka j i ka 0)(' <xf y ai tu pada selang),1()1,( ∞∪−−∞

• karena terj ad i p erubahan kem o no to nan pada 1−=x ( -- �++)m aka t i t i k ( )( ) ( )21,11,1 −−=−− f m erupakan t i t i k m in im um .

B eg i tu juga pada 1=x terj ad i p erubahan kem o no to nan (++�--)m aka t i t i k ( )( ) ( )21,11,1 =f m erupakan t i t i k m aksim um .

b . D aerah graf ik f cekung atau cekung ke baw ah dan ti t ik belo kny aD aerah kecekungan dari f dapat d i ten tukan dari ( )xf "

( )( ) ( ) ( )( )42

2222

1

121212)("

+

−+−+−=

x

xxxxxxf

( )( ) ( )( )32

22

1

1412

+

−−+−=

x

xxxx

( )32

33

1

4422

+

+−−−=

x

xxxx

( )32

3

1

62

+

−=

x

xx ( )( )( )32 1

332

+

+−=

x

xxx

• •1− 1

+++++ −−−−−−−−−− ( )xf '

• •3− 3

+++−−− ( )xf "•0

+++ −−−



43

,3

0,0

•

•

•

•

•

43

,3 −−

21

,1

21

,1 −−

( )1

graf ik2 +

=x

xxf

• f cekung ke atas j i ka ( ) 0" >xf y ai tu pada selang

),3()0,3( ∞∪−

• f cekung ke baw ah j ika ( ) 0" <xf y ai tu pada selang

)3,0()3,( ∪−−∞

• K arena terj ad i p erubahan kecekungan pada 3±=x , 0=x dan

( ) ( ) ( )0,3,3 fff − ada, m aka t i t i k ( )( ) ( )43,33,3 =f dan

( )( ) ( )43,33,3 −−=−− f serta ( )( ) ( )0,00,0 =f m erupakan

t i t i k belo k .

c. G ari s-gari s A sim to t• A sim to t d atar/m i rin g beben tuk ba xy +=

( )0

1

1l iml im 2

=+

==∞→∞→ xx

xfa

xx

( ) 01

l iml im 2=

+=−=

∞→∞→ x

xa xxfb

xx

D engan dem ik ian f hany a m em i l i k i asisto t d atar y ai tu y = 0 .

• A sim to t tegakf t i d ak m em i l i k i asim to t tegak .

d . S ketsa graf ik f



2 . M enen tukan )2('H j i ka d iketahu i ∫+

=−4

2 4

3

1)(

x

xd t

t

xxH

T erleb ih dahu lu k i ta ten tukan f ungsi eksp isi t d ari H ( x ) d enganm enerapkan teo rem a dasar kalku lu s.

∫

+∫ =

+=

−− 4

2 4

4

2 4

33

1

1

1)('

x

xx

x

xx d t

txDd t

t

xDxH

∫+

+∫+

=−− 4

2 4

4

2 4

33

1

1

1

1 x

xx

x

xd t

tx Dd t

t

( ) ( )

+−

−++∫

+=

−

443

24

2 4 21

2

41

3

1

13

xx

xxd t

t

x

x

( )2 5 7

1 2

2 5 61

2

2 5 61

82

1

12'

4

4 4=

+−

++∫

+= d t

tH

3 . D aerah D d ibatasi o leh ku rv a-ku rv a y = x 2

dan y = 4

a. M enggam bar daerah D danm engh i tung lu as daerahny a.

l u as salah satu parti si dari D adalah :( ) xxA ∆−=∆ 24

A pab i la lu as selu ruh parti si k i tajum lahkan m aka akan d ipero leh lu asdari D y ai tu :

( )2

2

32

2

2

31

44−−

−=∫ −= xxd xxA

33 2

38

838

8 =

+−−

−=

22−

2xy =4x∆



b . M engh i tung v o lum e benda pu tar y angterj ad i apab i l a daerah D d ipu tarterhadap gari s y = -1

A pab i la sebuah part isi d ipu tarterhadap garis y = -1 m aka akand ipero leh sebuah cakram dengan j arij ari l uar 5=lr dan jari j ari d alam

12 += xr d serta tebal xt ∆= . v o lum e

dari cakram tersebu t y ai tu( ) trrV dl

22 −=∆ π

( ) xx ∆

+−=

22 12 5π

( ) xxx ∆+−−= 2 42 24π

S eh ingga v o lum e benda pu tar y angd im aksud adalah :

( )∫ +−−=−

2

2

24 2 42 d xxxV π2

2

35 2 432

51

−

+−−= xxxπ

−+−

+−−= 4 8

31 6

53 2

4 831 6

53 2

π π1 5

1 0 8 8=

4 . M enen tukan 'y j i ka ( ) xxy

ln2 1+=

( ) ( ) ( )1lnln1lnln 2ln2 +=+= xxxyx

( ) ( )( )1lnlnln 2 += xxDyD xx

( )1

ln21ln'2

2

++

+=

x

xxx

xyy

( )y

x

xxx

xy

++

+=

1

ln21ln'

2

2 ( ) ( ) xx

x

xxx

x ln22

2

11

ln21ln+

++

+=

4x∆

5=lr

1−



5 . H i tu ng in teg ral-in teg ral b eriku t

a. ∫ − d xe x9

M isalkan xeu −= 9 m akax

x

e

d xed u

−

−=

92atau

xx

x

e

udu

e

dued x

292−=

−−= seh ingga

∫ − d xe x9 ∫−=xe

d uu 2

2 d uu

u∫

−−=

2

2

92 d u

u

u∫

−=

92

2

2

duu

∫−

+=9

912

2du

uu∫

+−

−+=

323

323

12

( ) ( ) cuuu +

+−−+= 3ln

23

3ln23

2

( ) ( ) cuuu ++−−+= 3ln33ln32

( )( ) cuu

u ++−

+=33

ln32

ce

ee

x

xx +

+−

−−+−=

39

39ln392

b . ∫π

0

2co s x d xx( )

∫+

=π

0 22co s1

d xx

x ( )∫ +=π

02co s

21

d xxxx

∫+=ππ

00

2 *2co s21

21

x d xxx

∫−+=πππ

00

2

2sin21

2sin22

14

x d xxx

42co s

41

021

4

2

0

2 ππ π

=

++= x

N o te : * terapkan in tegrasi parsial d engan xu = dan x d xd v 2co s=




P U 1 3 3 3 K A L K U L U SS E N IN 5 JA N U A R I 2 0 0 4

U a s 2 0 0 3 -2 0 0 4 K a lk u lu s I P U 1 3 3 3

1 . D iketahu i daerah tertu tup D y an g d ibatasi o leh ku rv a xy = , gari s

0=x dan garis y = 3a. M engh i tung lu as daerah D

L uas salah satu parti si pada D adalah

( ) xxA ∆−=∆ 3

seh ingga luas daerah D adalah

( )9

0

239

0 32

33

−=∫ −= xxd xxA ( ) 909

32

2 7 23

=

−

−=

b . M engh i tung v o lum e benda pu tar j i ka D d ipu tar terhadap gari s1−=y

j i ka salah satu i risan d ipu tar terhadap garis 1−=y m aka akan

d ipero leh sebuah cakram dengan jari j ari dalam ( ) 11 +=−− xx

dan j ari j ari l u ar 4 serta tebal x∆ . S eh ingga v o lum e cakram tersebu tadalah :

trtrV dl22 ππ −=∆

x∆ xy =

3

90

x∆3

9

4

1−



trr dl )( 22 −= π ( ) xx ∆+−= )14(22π

( ) xxx ∆++−= )121 6(π

( ) xxx ∆+−−= 1 52π

( )∫ +−−= d xxxV 1 52π

9

0

23

2 1 532

.221

+−−= xxxπ

9

0

23

2 1 534

21

+−−= xxxπ

( )

−

+−−= 01 3 52 7.

34

8 1.21

π π2

1 1 7=

2 . D iketahu i ( ) ecxxxf co sco s)( =

a. M engh i tung : )(l im0

xfx →

)(l im0

xfx +→

x

xx csc

0)( co sl im

+→=

( )( )x

xx csc

0co slnex pl im

+→=

( )( )x

xx csc

0co slnl imex p

+→=

( )xxx

co sln.cscl imex p0 +→

=

.si n

)l n ( co sl imex p

*

0 xx

x +→=

xxx

x co sco ssin

l imex p0

=+→

1)0ex p ( ==

N o te : * l im i t b erben tuk 0 /0 , seh ingga L ’ H b isa d i terapkan .



b . M enen tukan tu runan pertam a f( x )

( ) ecxxy co sco s=xxy csc)l n ( co sl n =

)l n ( co scscln xxy =

[ ])l n ( co scscln xxDyD xx =

xx

xxxxyy co s

sin.csc)ln ( co sco t.csc'

1+−=

[ ] yxxxxy sec)ln ( co sco t.csc' +−=

[ ] xxxxxxy csc)( co s.sec)l n ( co sco t.csc' +−=

3 . M engh i tung

a. ∫+−

dxxx

x

52

22

∫+−

d xxx

x

52

22 ( )∫

+−= d x

x

x22 21

2

m isalkan θtan21 =−x m aka θθ dd x 2sec2=seh ingga :

( )∫+−

d xx

x22 21

2∫

+

+= θθ

θθ

d22

sec24tan4

)1( tan2

∫+

+= θθ

θθ

d22

sec2)1( tan4

2tan2

∫+

= θθθ

θd2

2sec2

sec4

2tan2

∫+

= θθθ

θd2

2sec2

sec4

2tan2

( ) c++−= θθ 2co sln221 c+−= θθ co sl n

cxx

x+

+−−

−

= −

52

2ln

21

tan2

1

θ1−x

2



b . ( )∫ + d xx2ln

M isalkan )2ln ( xu += dan d xd v = m aka

d xx

d u+

=21

dan xv = seh ingga

( )∫ + d xx2ln ∫= udv ∫−= vduuv

∫+

−+= d xx

xxx

2)2ln (

∫+

−+−+= d x

xx

xx2

2)2()2ln (

∫

+−−+= d x

xxx

22

1)2ln (

cxxxx +−+++= )2ln (2)2ln (

cxxx +−++= )2ln ()2(

4 . M eny el id ik i keko nv ergenan in tegral tak w aj ar

a.( )∫

+

+∞

0 23

32 x

d x∫

+=

+∞→

a

a x

d x

0 23

)32(l im

∫ +=−

+∞→

a

ax

0

23

)32(l ima

ax

0

21

21

.)32(2l im−

+∞→+−=

a

a x 032

1l im

+−=

+∞→ 3

1

32

1l im +

+−=

+∞→ aa 3

1=

( )∫

+∴

+∞

0 23

32 x

d xko nv ergen ke

3

1

b . ∫−−

−3

12 6

12d x

xx

x∫

−−

−=

−→

a

ad x

xx

x

12

3 6

12l im

( )∫

−−

−−=

−→

a

ad x

xx

xxd

12

2

3 6

6l im

a

axx

1

2

36lnl im −−=

−→

−∞=−−−=−→

6ln6lnl im 2

3aa

a

Jad i i n teg ral d i atas d iv ergen .




M A 1 3 1 4 K A L K U L U S IS E N IN 5 JA N U A R I 2 0 0 4

U a s 2 0 0 3 -2 0 0 4 K a lk u lu s I M A 1 3 1 4

1 . M enen tukan 'y dari ben tuk em p l isi t 1=+ x yex

( ) ( )1xx y

x DexD =+

( ) 0'1 =++ x yye x y

0'1 =++ x yx y ex yyex yx y yeex y −−= 1'

x y

x y

x e

yey

−−=

1'

2 . M engh i tung ∫ + d xx )2ln (

( L ih at P em bahasan U j ian A kh i r S em ester G an j i l 2 0 0 3 /2 0 0 4 P u 1 3 3 3K alku lu s I S en in 5 Januari 2 0 0 4 N o . 3 b )

3 . D iketahu i ∫−−

−3

12 6

12d x

xx

x

a. M em eriksa apakah in tegral d i atas adalah in teg ral tak w aj arB enar , i n teg ral d i atas m erupakan in tegral tak w ajar karena j i ka

sub ti tusikan x = 3 m aka f ungsi i n teg ran6

122 −−

−xx

x m en j ad i tak

terdef in isi .

b . M em eriksa keko nv ergenan in tegral d i atas.( L ihat P em bahasan U j i an A kh i r S em ester G an j i l 2 0 0 3 /2 0 0 4 P u1 3 3 3 K alku lus I S en in 5 Januari 2 0 0 4 N o . 4 b )



4 . ( U n tuk ku riku lum baru so al in i term asuk dalam m ateri kalku lu s t in gkatI I )

a. M enen tukan selang keko nv ergenan deret :

( )∑ +++=+∞

=0

2 . . .3211n

n xxxn

m isalkan : ( ) nn xna 1+=

m aka ( ) 11 2 +

+ += nn xna

n

n

n aa 1l im +

∞→=ρ

( )( ) n

n

n xn

xn

1

2l im

1

+

+=

+

∞→

( )( ) xnn

n 12

l im++

=∞→

( )( )1

2l im

++

=∞→ n

nx

nx=

• A gar deret ko nv ergen m aka haruslah ρ < 1y ai tu 1<x atau

11 <<− x .• M em eriksa keko nv ergenan deret p ada u jung selang

- un tuk 1−=x deret m en j ad i ( )∑ −+∞

=0)1.(1

n

nn . U n tuk m engu j i

keko n v ergenanny a k i ta l akukan u j i deret gan ti tanda.

111

1121 >

++=

++

=+

nnn

aa

n

n atau nn aa >+1

K arena nn aa >+1 m aka m enu ru t u j i d eret gan t i tanda deret

tersebu t d i v ergen .

- U n tuk 1=x deret m en j ad i ( )∑ +++=+∞

=0. . . .3211

nn . D eret i n i

m o no to n naik dan ta k terba ta s d i a ta s seh ingga deret i n id i v ergen .

j ad i ( )∑ +∞

=01

n

nxn ko n v ergen pada 11 <<− x



b . M enen tukan jum lah deret p ada so al 4 a dengan m enggunakan :

xxxx

−=++++

11

...1 32

( )∑ ++++=+∞

=0

32 . . .43211n

n xxxxn

( ). . . .1 32 ++++= xxxD x

( )21

111

xxD x

−=

−=

5 . M enen tukan deret M cL au rin dari f ungsix

xxf

+=

1)(

( )

−−

=

+=

+=

xx

xx

xx

xf1

11

11

)(

( ) ( ) ( )( ). . . . . .1 32 +−+−+−+= xxxx

( ) ( ) ( ) 1

00011 +∞

=

∞

=

∞

=∑ −=∑ −=∑ −= n

n

nn

n

n

n

n xxxxx




K A L K U L U S / P U 1 3 3 36 JA N U A R I 2 0 0 3

U a s 2 0 0 2 -2 0 0 3 K a lk u lu s I P U 1 3 3 3

1 . D iketau i ecxxxf co s)1()( +=

a. M enen tukan )(' xfecxxxf co s)1l n ()(l n +=

)1ln (co s)(ln += xecxxf

( ) ( ))1ln (co s)(ln += xecxDxfD xx

11

.co s)1ln (co t.co s)()('

+++−=

xecxxg xecx

xfxf

[ ] )(1

1.co s)1ln (co t.co s)(' xfx

ecxxg xecxxf+

++−=

[ ] ecxxecxx

xg xecxxf co s)1ln (.co s1

1)1ln (co t.co s)(' +

+++−=


xfx +→

)(l im0

xfx +→

ecx

xx co s

0)1(l im +=

+→

( )ecx

xx co s

0)1ln (ex pl im +=

+→

( )ecx

xx co s

0)1ln (l imex p +=

+→

)1ln (.co sl imex p0

+=+→

xecxx

*sin

)1ln (l imex p

0 xx

x

+=

+→

xx

x co s1

1

l imex p0

+=

+→e== )1ex p (

N o te : * l im i t b erben tuk 0 /0 , seh ingga k i ta dapat m enerapkan L ’ H



2 . M engh i tung in teg rala. ( )dxx 25ln +∫

m isalkan : )25ln ( += xu dan d xd v =

m aka d xx

du25

5+

= dan xv = seh ingga

( ) ∫=+∫ udvd xx 25ln ∫−= vduuv

d xxx

xx ∫+

−+=25

5) .25ln (

d xx

xx ∫+

−−+= )25

21()25ln (

cxxxx +

+−−+= )25ln (

52

)25ln (

cxxx +−+

+= )25ln (

52

b . ∫− 22 4 xx

d x

m isalkan : tx sin2= m aka td td x co s2=seh ingga

∫− 22 4 xx

d x∫

−=

tt

td t22 sin44sin4

co s2

∫−

=)si n1(4sin4

co s222 tt

td t∫=

)( co s4sin4

co s222 tt

td t

∫=tt

td t

co s2.sin4

co s22 ∫=

t

d t2sin4

∫= td tec 2co s41

cg t +−= co t41

cxx

+−

−=24

41

tx

2

24 x−



3 . M eny el id ik i keko nv ergenan dari

a.( )∫

+

+∞

0231x

d x

( ) ( )∫

+=∫

+ +∞→

+∞ a

a x

d x

x

d x

0 23

023

1l im

1

( )∫ += −

+∞→

a

ad xx

0

23

1l im

a

ax

0

21

)1(2l im−

+∞→+−=

211

12l im =

−

+−=

+∞→ aa

I n i m enun j ukkan bahw a( )∫

+

+∞

0231x

d xko nv ergen ke 2 .

b . ∫+∞−

0

21d x

e

ex

x

∫+

=∫+ −∞→∞−

0

2

0

2 1l im

1 bx

x

bx

x

e

d xed x

e

e

M isalkan : xeu = m aka d xedu x=

Jika −∞→x m aka +→ 0u

Jika 0=x m aka 1=u seh ingga

∫+

=∫+ −∞→∞−

0

2

0

2 1l im

1 bx

x

bx

x

e

d xed x

e

e

∫+

=+→

1

20 1

l imcc u

du 11

0)(tanl imcc

u−

→ +=

4)(tan)1(tanl im 11

0

π=−= −−

→ +c

c

I n i m enun j ukkan bahw a ∫+∞−

0

21d x

e

ex

x

ko nv ergen ke4π.



4 . D iketahu i d aerah D d ibatasi o l eh xy = ,

x = 4 , sum bu x .a . M enen tukan luas D

L uas salah satu parti si d ari D adalah

xxA ∆=∆dengan dem ik ian luas selu ruh daerah Dadalah

31 6

32

4

0

234

0==∫= xd xxA

b . M engh i tung v o lum e benda pu tar j i ka Dd ipu tar terhadap sum bu y .Jika sebuah parti si d ari D dengan t in gg i

x dan alas x∆ serta berj arak x darisum bu y d ipu tar terhadap sum bu ym aka aka d ipero leh sebuah ku l i t tabungdengan j ari j ari x , tebal x∆ dan tin gg i

x . S eh ingga v o lum e ku l i t tabungtersebu t sebesar

xxxxxV ∆=∆=∆ 23

22 ππj ad i v o lum e benda y ang d im aksudadalah

πππ5

1 2 852

.224

0

254

0

23

==∫= xd xxV

x∆ 4=x0

x∆x



P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G E N A P 2 0 0 2 / 2 0 0 3

M A 1 3 1 4 K A L K U L U S IJU M A T , 1 3 JU N I 2 0 0 3

U a s 2 0 0 2 -2 0 0 3 K a lk u lu s I M A 1 3 1 41 . M engh i tung

a.( ) ( )∫

+−

+−

41

64322

23

xx

xxx

m isalkan( ) ( ) ( ) ( ) ( )41141

6432222

23

+

++

−+

−=

+−

+−

x

dcx

x

bxa

xx

xxx ,

u n tuk m endapatkan n i lai a, b , c, d an d kal i kan kedua ruas dengan

( ) ( )41 22 +− xx seh ingga persam aan m en j ad i

( )( ) ( ) ( )( )*1441643 22223 −+++++−=+− xdcxxbxxaxxx ,kem ud ian dengan m eny u l ih kan n i l ai 1=x , 1−=x , 0=x dan 2=xsecara bertu ru t tu ru t k i ta pero leh

b55 = atau 1=b

ba 51 01 3 +−=− atau 59=a

dba −+−= 440 atau 51 6−=d

dcba 36882 0 +++= atau 56=c

seh ingga

( ) ( ) d xxx

xxx∫

+−

+−

41

64322

23

( ) ( ) ( ) dxx

x

xx∫

+

−+

−+

−=

45

1 66

1

115

922

( ) ( ) ( ) dxxx

x

xx∫

+−

++

−+

−=

4

**151 6

4

*253

1

115

9222

( ) ( ) ( ) cx

xx

x +

−++

−−−= −

2tan

58

4ln53

11

1ln59 12

N o te : gunakan subst i tu si 42 += xu pada ( * ) dan tx tan2= pada ( * * )



b . ∫+

d xxx 1

122

m isalkan θtan=x m aka θθ dd x 2sec= seh ingga

∫+

d xxx 1

122

∫+

= θθθθ

d2

22sec

1tantan

1

∫= θθθθ

d2

22sec

sectan

1

∫= θθθ

dsectan

12 ∫= θ

θθθ

dco s

1

sin

co s2

2

∫= θθθ

θd

sin1

sinco s

∫= θθθ dcscco t

c+−= θcsc cx

x+

+−=

12

2 . M enen tukan keko nv ergenan in tegral tak w aj ar( )

d xx

x∫

+

+∞

1232 1

( )d x

x

x∫

+

+∞

1232 1 ( )

∫+

=+∞→

a

a x

x

1 23

2 1l im

m isalkan 12 += xu m aka x d xdu 2=j i ka 1=x m aka 2=uj i ka +∞→x m aka +∞→u seh ingga

( )∫

++∞→

a

a x

x

1 23

2 1l im ∫=

+∞→

b

b u

du

2 23

21

l imb

b u 2

2.

21

l im−

=+∞→

2

1

2

11l im =+−=

+∞→ bb

Jad i( )

d xx

x∫

+

+∞

1232 1

ko nv ergen ke2

1

θ

12 +x

1

x



3 . D iketau i ( ) 2

co t)( xxxf =

a. M enen tukan tu runan pertam a dari f( x )

( ) 2

co tl nln xxy =

( )xxy co tl nl n 2=

( ) ( ))l n ( co tl n 2 xxDyD xx =

( )x

xxxxxy

y co tco t.csc

co tln2'1 2 −

+=

( ( ) ) yxxxxy cscco tl n2' 2−=

( ( ) )( ) 2

co tcscco tln2' 2 xxxxxxy −=


xfx +→

( ) 2

co tl im0

x

xx

+→( ) 2

co tl nex pl im0

x

xx

+→=

( )xxx

co tlnex pl im 2

0 +→= ( )xx

xco tlnl imex p 2

0 +→=

( )*

1co tln

l imex p

2

0

=

+→

x

x

x

−

−

=+→

3

2

0 2

co tcsc

l imex p

x

xx

x

xx

x

x

x co ssin

sin

12

l imex p2

3

0 +→=

=

++ →→ xx

xx

xx co sl im

sinl im

21

ex p2

00

10.1.21

ex p =

=

N o te :* l im i t berben tuk ∞ /∞ seh ingga k i ta dapat m enerapkan L ’ H



4 . M enen tukan selang keko nv ergenan( )∑

+∞

=+

1212

1

nn

n

n

x

( u n tuk ku riku lum baru m ateri i n i term asuk dalam kalku lu s t i n gkat I I )

m isalkan( )

212

1

n

xa

n

n

n +

+=

m aka( )

22

1

1)1(2

1

+

+=

+

+

+n

xa

n

n

n( )

)12(2

122

1

++

+=

+

+

nn

xn

n

n

n

n a

a 1l im +

∞→=ρ ( )

( ) ( ) nn

n

n

n x

n

nn

x

1

2

122

1l im

21

22

1

+++

+=

+

+

+

∞→

( )( ) ( )121

1

2

2l im 2

21

2

1

+++

+=

+

+

+

∞→ nn

n

x

xn

n

n

n

n

( )12)1(

21

l im 2

2

+++=

∞→ nn

nx

n

++

+=

∞→2

2

2

121l im

21

nnn

nxn 2

1+=

x

• A gar deret ko nv ergen m aka haruslah 1<ρ y ai tu 121

<+x atau

21 <+x 212 <+<−⇒ x 13 <<−⇒ x

• M em eriksa keko nv ergenan deret p ada u jung selang- un tuk 3−=x deret m en j ad i

( )∑

−∞

=+

1212

2

nn

n

n

( )∑

−=

∞

=+

1212

21

nn

nn

n

( )∑

−=

∞

=12

121

n

n

nU n tuk m em eriksa keko nv ergenanny a dapat d i l akukan u j i d eretgan t i tanda.

m isalkan2

1

na n = m aka

21)1(

1

+=+

na n seh ingga

n

n

aa 1+o

( ) 22

1+=

n

n1;1

11

11

22

≥<

+−=

+= n

nnn



nn

al im∞→

o 01

l im 2==

∞→ nn

K arena 11 <+

n

n

aa

dan 0l im =∞→

nn

a m aka m enu ru t u j i d eret gan t i

tan d a( )∑

−∞

=1 2

1

n

n

nko n v ergen y an g berak ib at

( )∑

−∞

=1 2

121

n

n

nj u ga

ko n v ergen .

- un tu k 1=x deret m en j ad i( )

∑∞

=+

1212

2

nn

n

n∑=∞

=12

121

n ny ang m erupakan

deret p dengan p = 2 < 1 y ang m enun j u kan bahw a deret i n iko n v ergen .

• Jad i d eret( )∑

+∞

=+

1212

1

nn

n

n

xko n v ergen pada 13 ≤≤− x



P E M B A H A S A NU JI A N A K H I R S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 2 /2 0 0 3

K A L K U L U S IU a s 2 0 0 2 -2 0 0 3 k a lk u lu s I

1 . M engh i tu ng ( ) x

xx sin

0tanl im

+→

( ) x

xx sin

0tanl im

+→( ) x

xx sin

0tanlnex pl im

+→= ( ) x

xx sin

0tanlnl imex p

+→=

( )xxx

tanlnsinl imex p0 +→

=( )

*csctanln

l imex p0 x

x

x +→=

xx

xx

x co tcsc

tansec

l imex p

2

0 −

=+→ x

x

x cscsec

l imex p2

0 −=

+→

x

x

x2

0 co s

sinl imex p −=

+→1)0ex p ( 0 === e

N o te : * l im i t b erb en tu k ∞ /∞ seh in gga k i ta d apat m enerapkan L ’ H

2 . M enen tu kan 'y dari2

)sin2( xxy +=2

)sin2( xxy +=2

)sin2ln (l n xxy +=

)si n2ln (l n 2 xxy +=

( ) ( )( )xxDyD xx sin2lnln 2 +=

( )x

xxxxy

y sin2co s

sin2ln2'1 2

+++=

( ) yxxx

xxy

+++=

sin2co s

sin2ln2'2

( ) ( ) 2

sin2sin2co s

sin2ln2'2

xxxxx

xxy +

+++=



3 . M engh i tu ng ∫−

d xxx 14 2

m isalkan : θsec21

=x m aka θθθ ddx tansec21

= seh in gga

∫−

d xxx 14 2

∫−

= θθθθ

θdtansec

21

sec21

1sec 2

∫= θθθ dtantan 2

∫= θθ d2tan ∫ −= θθ d)1( sec2

c+−= θθtan ( ) cxx +−−= − 2sec14 12

4 . M enen tu kan keko n v ergenan

a. d xe

ex

x

∫+

∞

∞−−

−

21

d xe

ex

x

∫+

∞

∞−−

−

21∫

++∫

+=

−

−

∞→−

−

−∞→

b

x

x

bax

x

ad x

e

ed x

e

e

02

0

2 1l im

1l im

m isalkan : xeu −= m aka d xed u x−−= seh in gga

d xe

ex

x

∫+ −

−

21∫

+

−=

21 u

ducu +−= −1tan ( ) ce x +−= −−1tan

d xe

ex

x

∫+

∞

∞−−

−

21( ) ( ) bx

ba

x

aee

0

101 tanl imtanl im −−

∞→

−−

−∞→−+−=

( )

+−+

+−= −−

∞→

−−

−∞→ 4tanl imtan

4l im 11 ππ b

b

a

aee

240

24ππππ

=

++

+−=

Jad i d xe

ex

x

∫+

∞

∞−−

−

21ko n v ergen ke

2π

θ14 2 −x

1

x2



b . ∫∞

∞− xx

d x3l n

K arena dom ain d ari l n x adalah x > 0 m aka k i ta t i dak dapatm elaku kan peng in teg ral an un tu k kasu s in i .

5 . a . M em eriksa keko n v ergenan deret ∑∞

=

+

1

1

!3

n

n

n

m isalkan :!

3 1

na

n

n

+

= maka) !1(

3 2

1 +=

+

+ na

n

n

n

n

n aa 1l im +

∞→=ρ ( ) 1

2

3

!!1

3l im +

+

∞→ +=

n

n

n

nn ( )!1

!

3

3l im 1

2

+=

+

+

∞→ nn

n

n

n

( ) !1!

3l imnn

nn +

=∞→ ( ) 0

11

l im3 =+

=∞→ nn

karen a ρ = 0 < 1 m aka m enu ru t u j i h asi l bag i d eret ∑∞

=

+

1

1

!3

n

n

nko n v ergen .

b . M enen tu kan selang keko n v ergenan deret ∑+

∞

=

−

02

1

)1(

2

n

nn

n

x

m isalkan : ( )12

2

1

+=

−

n

xa

nn

n m aka( )( ) 22

2

11

22

1

2

1

1++

=++

=++

+nn

x

n

xa

nnnn

n

n

n

n aa 1l im +

∞→=ρ nn

nn

n x

n

nn

x1

2

2

1

2

1

22

2l im −

+

∞→

+

++=

22

1

2

2l im 2

21

1 ++

+=

+

−∞→ nn

n

x

xn

n

n

n

n 22

12l im 2

2

++

+=

∞→ nn

nx

n

22

1l im2

2

2

++

+=

∞→ nn

nx

n

++

+

=∞→

22

22

221

11

l im2

nnn

nn

xn

x2=



• A gar deret ko nv ergen m aka haruslah 1<ρ y ai tu 12 <x atau

21

21

121 <<−⇒<<− xx

• M em eriksa keko nv ergenan deret p ada u jung selang .

- un tuk21

−=x deret m en j ad i

∑+

−

∞

=

−

02

1

)1(

21

2

n

nn

n

( )∑

+

−=

∞

=

−−

0 2

1

)1(

212

n

nnn

n

( )∑

+

−=

∞

=0 2 )1(

121

n

n

n

U n tuk m em eriksa keko nv ergenanny a dapat d i lakukan u j id eret gan ti tanda.

m isalkan1

12 +

=n

a n m aka22

1

1)1(

1221

++=

++=+

nnna n

22

12

21

++

+=+

nn

na

a

n

no ( )22

12)12(12

2

++

+−+++=

nn

nnn

( )22

12222

2

++

+−++=

nn

nnn ( )0;1

22

121

2≥<

++

+−= n

nn

n

nn

al im∞→

o 01

1l im 2

=+

=∞→ nn

karena 11 <+

n

n

aa

dan 0l im =∞→

nn

a m aka m enu ru t u j i deret gan t i

tanda deret ( )∑

+

−∞

=02 )1(

1

n

n

nko nv ergen y ang berak ib at

( )∑

+

−∞

=02 )1(

121

n

n

nj u ga ko nv ergen .

- un tuk21

=x deret m en j ad i

∑+

∞

=

−

02

1

)1(

21

2

n

nn

n∑

+=

∞

=

−−

02

1

)1(

22

n

nn

n∑

+=

∞

=02 )1(

121

n n



S ekarang perhat ikan bahw a 22 1 nn >+ atau22

1

1

1

nn<

+

un tuk seti ap n i l ai n . m eng ingat bahw a ∑∞

=0 2

1

n nm erupakan

deret y ang ko nv ergen ( deret p dengan 12 >=p ) m aka

m enu ru t u j i p er ba nd inga n deret ∑+

∞

=0 2 1

1

n nko nv ergen y an g

berak ib at ∑+

∞

=0 2 )1(

121

n nj u ga ko nv ergen .

• D engan dem ik ian deret ∑+

∞

=

−

02

1

)1(

2

n

nn

n

xko nv ergen pada

21

21

≤≤− x




D A 1 3 1 4 K A L K U L U S IS E N IN 1 5 JA N U A R I 2 0 0 1

U a s 2 0 0 1 -2 0 0 2 K a lk u lu s I D A 1 3 1 4

1 . M em buk t ikan bahw a 1,22)( 2 −≤++= xxxxf m em i l i k i i n v ers dan

m enen tukan )(1 xf −

U n tuk m em buk t ikan bahw a f m em i l i k in v ers harus k i ta tun j ukkan bahw af m ono to n m urn i p ada dom ain y an g d iberikan . S ekarang perhatikanbahw a un tuk 1−<x k i ta m em i l i k i 0)1(222)(' <+=+= xxxf y an g

m enun j ukkan bahw a f selalu naik pada 1−<x atau f m ono to n m urn iy ai tu f m em i l i k i i n v ers.

m isalkan ( )yfx 1−=

1,222 −≤++= xxxy

( ) 11 2 ++= xy

( ) 11 2 −=+ yx

( ) 11 −−=+ yx 1,01 −≤∀≤+ xxka ren a

11 −−−= yx

11)(1 −−−=− yyf

1,11)(1 ≥−−−=− xxxf

2 . a. m encari i n teg ral tak ten tu ∫+

+d x

xx

x

4

43

m isalkan : ( )4

42 +

+

xx

x

42 +

++=

x

cbxxa

dengan m eny am akan peny ebu t pada ruas kanan d ipero leh

( )4

42 +

+

xx

x

)4(

)()4(2

2

+

+++=

xx

xcb xxa

4+x xcb xxa )()4( 2 +++=

acxxbax 4)(4 2 +++=+



D engan m em band ingkan ko ef isien suku y ang sej en i s d i d apat44 =a atau 1=a , 1=c , 0=+ ba atau 1−=b . seh ingga

∫+

+d x

xx

x

4

43 ∫

+

+−+= d x

x

xx 4

112 ∫

++

+

−+= d x

xx

xx 4

1

4

122

( )∫ ∫

++

+

+∫ −=

44

4211

22

2

x

d x

x

xdd x

x

( ) cx

xx +

++−= −

2tan

21

4ln21

ln 12

b . M engh i tung ∫−3

12

29d x

x

x

m isalkan : θsin3=x maka θθ dd x co s3=

j i ka 1=x m aka31

sin 1−=θ

j i ka 3=x m aka2π

θ = seh ingga

∫−3

12

29d x

x

x∫

−=

−

2

31

sin2

2

1

co s3sin9

sin99π

θθθ

θd

∫−

=−

2

31

sin2

2

1

co s3sin9

)si n1(9π

θθθ

θd

∫=−

2

31

sin2

2

1

co s3sin9

co s9π

θθθθ

d

∫=−

2

31

sin2

1

co s3sin9

co s3π

θθθθ

d

∫=−

2

31

sin

2

1

co t

π

θθ d ∫ −=−

2

31

sin

2

1

)1( csc

π

θθ d



( )2

31

sin 1

co t

π

θθ−

−−=

−

−−

−= −−

31

sin31

sinco t2

0 11π

31

sin222

1−++−=π

3 . M eny el id ik i keko nv ergenan in tegral tak w aj ar

a. d xx∫ +∞

0)1ln (

d xx∫ +∞

0)1ln ( dxx

a

a∫ +=

∞→ 0)1ln (l im

M isalkan )1ln ( += xu dan d xd v = m aka d xx

d u1

1+

= dan xv =

seh ingga

dxx∫ + )1ln ( ∫= udv ∫−= vduuv

∫+

−+= d xxx

xx1

)1ln (

∫+

−+−+= d x

xx

xx1

1)1()1ln ( d x

xxx ∫

+−−+=

11

1)1ln (

( ) cxxxx ++−−+= )1ln ()1ln ( cxxx +−++= )1ln ()1(

d xx∫ +∞

0)1ln ( [ ]

a

axxx

0)1ln ()1(l im −++=

∞→[ ] ∞=−++=

∞→aaa

a)1ln ()1(l im

Jad i dxx∫ +∞

0)1ln ( d iv ergen .

4 . M enen tukan selang keko nv ergenan dari d eret p angkat ∑+

−∞

=

+

0

1

32)2(

n

nn

nx

m isalkan ( )32

2 1

+−

=+

nx

ann

n m aka ( )52

2 12

1 +−

=++

+ nx

ann

n



n

n

n aa 1l im +

∞→=ρ

( )( ) nn

nn

n x

nn

x1

12

2

)32()52(

2l im +

++

∞→ −

++

−=

( )5232

2l im++

−=∞→ n

nx

n 5232

l im2++

=∞→ n

nx

nx2=

• A gar deret ko ngergen m aka haruslah 1<ρ y ai tu 12 <x atau

21

<x21

21

<<−⇒ x

• M em eriksa keko nv ergenan deret p ada u jung selang .

- un tuk21

−=x deret m en j ad i

∑+

−−

∞

=

+

0

1

3221

)2(

n

nn

n( ) ( )

∑+

−−=

∞

=

−++

0

11

32212)1(

n

nnnn

n∑

+−=

∞

=0 321

2n n

.

sekarang perhatikan bahw a un tuk 0≥n berlaku

)2(24232 +=+<+ nnn atau)2(2

132

1+

>+ nn

. m eng in gat

bahw a ∑=∑+

∑ =+

∞

=

∞

=

∞

= 200

121

21

21

)2(21

knn knnm erupakan kel i p atan

dari d eret harm o n is y ang d iv ergen , m aka m enu ru t u j i

p er ba nd inga n deret ∑+

∞

=0 321

n nd iv ergen y ang berak ib at

∑+

−∞

=0 321

2n n

j u ga d iv ergen .

- un tuk21

=x deret m en j ad i

∑+

−

∞

=

+

0

1

3221

)2(

n

nn

n( ) ( )

∑+

−=

∞

=

−++

0

111

3222)1(

n

nnn

n∑

+−

=∞

=

+

0

1

32)1(

2n

n

n



m isalkan32

1+

=n

a n maka ( ) 521

3121

1 +=

++=+ nn

a n seh ingga

152

21

522)52(

52321 <

+−=

+−+

=++

=+

nnn

nn

aa

n

no dan

032

1l iml im =

+=

∞→∞→ na

nn

no

karena 11 <+

n

n

aa

dan 0l im =∞→

nn

a m aka m enu ru t u j i d eret gan t i

tanda ∑+

−∞

=

+

0

1

32)1(

n

n

nko n v ergen y an g b erak ib at ∑

+−∞

=

+

0

1

32)1(

2n

n

nj u ga

ko nv ergen .

• j ad i ∑+

−∞

=

+

0

1

32)2(

n

nn

nx

ko n v ergen pada in terv al21

21

≤<− x .

5 . P erderetkan ke dalam deret M ac L au rin un tuk f ungsi24

1)(

xxf

−=

24

1)(

xxf

−=

−

=2

41

1

141

x

12

;. . .41

41

41

141 3

22

22 <

+

+

+

+=

xxxx

++++= . . .

6 41

1 61

41

141 642 xxx

++++= . . .

2 5 61

6 41

1 61

41 642 xxx 1

2; <x




K A L K U L U S 1S E N IN / 2 4 N O V E M B E R 2 0 0 0

U a s 2 0 0 0 -2 0 0 1 K a lk u lu s I

1 . D iketahu i xxxxf1

)42()( +=

a. M enen tukan )(' xf

xxxy1

)42( +=

xxxy1

)42ln (l n +=

)42ln (1

ln xx

xy +=

( ) ( )

+= xx

xx xDyD 42ln

1ln

( )xx

yy xx

xxxx 1

42

4ln42ln242ln

1'

12 +

+++

−=

( )( ) y

xxy

xx

xxxx

+

++

+−=

42

4ln42ln242ln'

2

( )( ) ( ) xxx

xx

xxxx

xxy

1

242

42

4ln42ln242ln' +

+

++

+−=

b . m engh i tung )(l im xfx ∞→

)(l im xfx ∞→

( ) xxx

x

1

42l im +=∞→

( ) xxx

x

1

42lnex pl im +=∞→

( ) xxx

x

1

42lnl imex p +=∞→

( )xx

x x42ln

1l imex p +=

∞→

( )*

42lnl imex p

x

xx

x

+=

∞→ xx

xx

x 42

4ln42ln2l imex p

+

+=

∞→



+

+

=∞→

142

4

4ln2ln42

4

l imex px

x

xx

x

+

+

=∞→

121

4ln2ln21

l imex px

x

x

( ) 44lnex p ==

N o te : * l im i t b erben tuk ∞ /∞ seh ingga dal i l L ’ H dapat d i terapkan

2 . M engh i tung

a. ( )( ){ }∫ −−5

321ln dxxx

( )( ){ } ( )∫ +−=∫ −−5

3

25

323ln21ln dxxxd xxx

m isalkan : ( )23ln 2 +−= xxu dan d xd v = m aka

dxxx

xdu

23

322 +−

−= dan xv = seh ingga

( ) ∫−=∫=∫ +− vd uu vu d vd xxx 23ln 2

( ) d xxx

xxxxx ∫

+−

−−+−=

23

3223ln

2

22

( ) d xxx

xxx ∫

−+

−+−+−=

22

11

223ln 2

( ) ( ) ( ) cxxxxxx +−−−−−+−= 2ln21ln223ln 2

( ) ( ) ( ) ( )[ ]5325

3

2 2ln21ln223ln23ln −−−−−+−=∫ +− xxxxxxd xxx

( )02ln62ln33ln24ln1 01 2ln5 −−−−−−−=

62ln23ln24ln1 01 2ln5 +−−−−=

42.3.4

1 2ln

22

5

−

= 4

34

1 2ln

22

5

−

= 41 2ln3 −=



• U n tu k so lu si y an g leb ih m ud ah gun akan h ub un gan

( )( ){ } ( ) ( )∫ −+∫ −=∫ −−5

3

5

3

5

32ln1ln21ln dxxd xxd xxx kem ud ian laku kan

laku kan in teg ral p arsial p ad a m asin g m asin g b ag ian p ad a ru as kan an .

b . ∫−

−d x

x

x29

32

m isalkan : θsin3=x maka θθ dd x co s3= sehingga

∫−

−d x

x

x29

32∫

−

−= θθ

θ

θdco s3

sin99

3)sin3(22

∫−

−= θθ

θ

θdco s3

)sin1(9

3sin62

∫−

= θθθ

θdco s3

co s9

3sin62

( )∫ −= θθ d3sin6 c+−−= θθ 3co s6

cxx

+

−

−−= −

3sin3

39

6 12

cx

x +

−−−= −

3sin392 12

3 . M engh i tung ∫++−

−−d x

xxx

xx

)22) (1(

322

2

m isalkan :221)22) (1(

3222

2

++

++

−=

++−

−−

xx

cb xxa

xxx

xx

dengan m engal ikan kedua ruas dengan )22) (1( 2 ++− xxx d ipero leh

( ) ( )( )12232 22 −++++=−− xcb xxxaxx .

D engan m en y u l ih kan n i l ai 1=x , 0=x , d an 2=x k i ta pero leha54 =− atau 54−=a

ca −=− 23 atau 57=c

cba ++=− 21 03 atau 59=b seh ingga

θ

x3

29 x−



∫++−

−−d x

xxx

xx

)22) (1(

322

2

dxxx

xx

∫

++

++

−−

=)22(5

79)1(5

42

( ) ∫ ∫++

−++

++−−=

2252

2222

1 09

1ln54

22 xx

d xd x

xx

xx

( ) ( )( )∫

++−∫

++

+++−−=

1152

22

221 09

1ln54

22

2

x

d x

xx

xxdx

( ) ( ) ( ) cxxxx ++−+++−−= − 1tan52

22ln1 09

1ln54 12

4 . M enen tukan keko nv ergenan in tegral tak w aj ar

a. ∫2

0tan

π

θθ d ∫=−

→

a

a

d0

2

tanl im θθπ

a

a

tt0

2

tanseclnl im +=−

→π

∞=+−+=−

→

oaaa

tan0seclntanseclnl im

2π

I n i m enun j ukkan bahw a ∫2

0tan

π

θθ d d iv ergen .

b . ∫∞−

0 2

dxx e x d xxeb

x

b∫=

−∞→

0 2

l im

m isalkan : 2xu = m aka x d xd u 2=

j i ka 0=x m aka 0=u

j i ka −∞→x m aka +∞→u seh ingga

d xxeb

x

b∫

−∞→

0 2

l im ∫=∞→

0

21

l imc

u

cdue ∫=

∞→

0

l im21

c

u

cdue

0

l im21

c

u

ce

∞→= −∞=−=

∞→

c

cee 0l im

21

Jad i ∫∞−

0 2

dxx e x d iv ergen .

5 . M enen tukan selang keko nv ergenan deret ∑+

−∞

=

+

1

1

)1()1(

k

kk

kkx



m isalkan : ( ))1(

1 1

+−= +

kkx

ak

kk m aka ( )

)2) (1(1

12

1 ++−=

++

+ kkx

ak

kk dan

k

k

k aa 1l im +

∞→=ρ

( )( ) kk

kk

k x

kkkkx

1

12

1

)1()2) (1(

1l im +

++

∞→ −

+++

−=

( ))2(.1

l im+

−=

∞→ kxk

kx

kk

xk

=+

=∞→ )2(

.l im

• A gar deret ko nv ergen m aka haruslah 1<ρ y ai tu 1<x atau

11 <<− x

• M em eriksa keko nv ergenan pada u jung selang .- un tuk 1−=x deret m en j ad i

( ) ( )∑+

−−

∞

=

+

1

1

1)1(

1k

kk

kk( ) ( )∑

+−=

∞

=

+

1

12

11

1k

k

kk∑

+−−=

∞

1 111

kk

D eret i n i m erupakan deret co l lap s y ang ko nv ergen .- un tuk 1=x deret m en j ad i :

( ) ( )∑+

−∞

=

+

1

1

1)1(

1k

kk

kk( ) ( )∑

+−=

∞

=

+

1

1

11

1k

k

kk

U n tuk m em eriksa keko n v ergenanny a k i ta lakukan u j i deret gan titanda.

M isalkan)1(

1+

=kk

a k m aka)2) (1(

11 ++

=+ kka k seh ingga

( ))2) (1(

1* 1

+++

=+

kkkk

aa

k

k

22)2(

+−+

=k

k1;1

22

1 ≥<+

−= kk

dan

0)1(

1l iml im* =

+=

∞→∞→ kka

kk

k

K arena 11 ≥∀<+ kaa kk dan 0l im =∞→

kk

a m aka m enu ru t u j i

d eret gan ti tanda deret ( ) ( )∑+

−∞

=

+

1

1

11

1k

k

kkko v ergen .

• Jad i ∑+

−∞

=

+

1

1

)1()1(

k

kk

kkx ko nv ergen pada selang 11 ≤≤− x



T R I G O N O M E T R Y F O R M U L A E

1co ssin 22 =+ xx

xx 22 tan1sec =−( ) yxyxyx sinco sco ssinsin +=+

( ) yxyxyx sinco sco ssinsin −=−

( ) yxyxyx sinsinco sco sco s −=+

( ) yxyxyx sinsinco sco sco s +=−

( )yxyx

yxtantan1tantan

tan−

+=+ ( )

yxyx

yxtantan1tantan

tan+

−=−

xxx co ssin22sin = xxx 22 sinco s2co s −=

−=

−=

2co s

2co ssin

ππxxx

+=

−=

2sin

2sinco s

ππxxx

( ) xx sinsin =−π ( ) xx co sco s −=−π

( )xx 2co s1co s 212 +=

( )xx 2co s1sin 212 −=

( ) ( )[ ]yxyxyx −++−= co sco ssinsi n 21

( ) ( )[ ]yxyxyx −++= co sco sco sco s 21

( ) ( )[ ]yxyxyx −++= sinsi nco ssin 21

2co s

2sin2sinsin

vuvuvu

−+=+

2co s

2co s2co sco s

vuvuvu

−+=+

2sin

2sin2co sco s

vuvuuv

−+=−

xx

xco ssin

tan =xx

xsinco s

co t =

xx

co s1

sec =x

xsin1

csc =