SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 1
SOAL-JAWAB MATEMATIKA SAINTEK
PEMBAHASAN SBMPTN
Soal 1
Diketahui dua lingkaran berpusat di titik O(0,0) berjari-jari r dan R dengan r < R.
Sebuah garis menyinggung lingkaran dalam di titik E dan memotong lingkaran luar di
titik P. Jika diketahui selisih luas antara lingkaran luar dan lingkaran dalam 36 dan
60EOP , maka persamaan lingkaran luar adalah….
Jawab:
Perhatikan gambar berikut!
Dari informasi selisih luas = 36 , maka
3622 rR
3622 rR ………... (1)
Karena garis PE menyinggung lingkaran
dalam, maka 90OEP (siku-
siku).
Dari informasi 60EOP , maka
OP
OEEOP cos
Maka R
r60cos
R
r
2
1 Rr
2
1 ……. (2)
Substitusi (2) ke (1), kita peroleh:
362
12
2
RR
364
1 22 RR
364
3 2 R 483
4362 R .
Dengan demikian persaman lingkaran luarnya adalah:
222 Ryx .4822 yx
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 2
Soal 2
Misalkan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku pada titik C. Jika panjang sisi di hadapan
titik A, B, C berturut-turut adalah a, b, c maka cos 2A = ….
Jawab:
AAA 22 sincos2cos
22
c
a
c
b
2
2
2
2 c
a
c
b
2
22
c
ab
Ada juga ya soal
SBMPTN yang simpel..
Soal 3
Fungsi xxxxf sectansec)( 2 untuk 20 x , 2
x dan
2
3x
naik pada interval…..
Jawab:
Fungsi )(xf naik sa’at 0)( xf .
Perhatikan bahwa:
Jika nUxy 2sec maka UnUy n .1
xxxxx 2sectan2sec.tan.sec2 .
Jika vuxxy .sec.tan maka '' uvvuy
xxxxx sec.tan.tansec.sec2
xxx sec.tansec 23
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 3
Karena xxxxf sectansec)( 2 , maka untuk bagian naik,
0)( xf
0)sectan(secsec.tan2 232 xxxxx
0)tansectan2(sec 22 xxxx
0)tantan1tan2(sec 22 xxxx
(sebab xx 22 tan1sec )
0)tan21tan2(sec 2 xxx
0)1tan2tan2(sec 2 xxx ………..(*)
Bentuk )1tan2tan2( 2 xx adalah definit postif karena Diskriminannya:
04841.2.4)2(4 22 acbD .
Sehingga (*) menjadi:
0sec x
0sec x
0cos
1
x
Fungsi cos bernilai negatif pada kuadran II dan III, yakni pada interval 2
3
2
x .
Jadi, fungsi )(xf naik pada interval 2
3
2
x .
Soal 4
Jika titik (a, b) dicerminkan terhadap garis y = x – 1 menjadi titik (c, d), maka 2c + d = ….
(nyatakan dalam a dan b !)
Jawab:
Wah… rumus pencerminan terhadap garis y = x – 1 tidaklah terkenal, dan kebanyakan
orang tidak hafal…!! Tapi soal ini bisa kita kerjakan dengan ide sebagai berikut:
Geser titik P(a, b) dan garis y = x – 1, masing-masing digeser satu satuan ke kiri,
sehingga menjadi titik Q dan garis y = x. Lalu titik Q ini dicerminkan terhadap garis
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 4
y = x, bayangannya kita namakan Q’. Lalu titik Q’ ini kita geser satu satuan ke kanan,
menjadi P’. Nah, P’ inilah bayangan titik P jika dicerminkan terhadap garis y = x – 1.
Perhatikan koordinatnya:
Titik P(a, b) digeser satu satuan ke kiri, menghasilkan titik Q(a – 1, b).
Titik Q(a – 1, b) dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan titik Q’(b, a – 1)
(Ingat pencerminan terhadap garis y=x memenuhi: (x, y) (y, x))
Lalu titik Q’(b, a – 1) digeser satu satuan ke kanan menjadi P’(b + 1, a – 1).
Titik P’ ini pada soal berkoordinat (c, d) maka:
P’ = (c, d) = (b + 1, a – 1).
Sehingga c = b + 1 dan d = a – 1.
Jadi, 2c + d = 2(b + 1) + (a – 1) =2b + 2 + a – 1 = a + 2b + 1.
Soal 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M berada pada rusuk AD sedemikian sehingga AM :
MD = 1 : 2. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga CN : ND = 1 : 2. Titik P
berada pada rusuk DH sedemikian sehingga DP : PH = 2 : 1. Jika adalah sudut antara
bidang MNP dan bidang ACGE, maka nilai sin
Hmmm, ide ini
sepertinya cukup
menarik ….
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 5
Jawab:
Karena pada gambar di atas, bidang MNP “tidak berpotongan langsung” dengan bidang
ACGE, maka untuk menentukan sudut antara bidang MNP dengan bidang ACGE, ganti
saja bidang MNP dengan bidang lain yang sejajar dengannya, dalam kasus ini kita ganti
dengan bidang ACH. Bidang ACH adalah bidang yang sejajar dengan bidang MNP. (Ingat
bahwa titik-titik M, N, dan P membagi rusuk-rusuk kubus terkait dengan perbandingan
yang sama yaitu 1 : 2).
Jadi, sudut antara bidang MNP dengan bidang ACGE
= sudut antara bidang ACH dengan bidang ACGE = HOR .
(disini O adalah pusat bidang ABCD dan R adalah pusat bidang EFGH)
Maka
OH
HRsin …….. (1)
Misal panjang rusuk kubus = r, maka:
22
1
2
1rHFHR
dan
222
222
4
22
2
1rrrrROHROH
62
1
4
6 2 rr
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 6
Substitusi nilai-nilai ini ke persamaan (1), maka:
33
1
3
1
6
2sin
2121
r
r.
Soal 6
Diketahui sisa pembagian suku banyak )()( xgxf oleh 22 xx adalah x , sisa
pembagian )()( xgxf oleh 232 xx adalah 1x , maka sisa pembagian
22 ))(())(( xgxf oleh 1x adalah….
Jawab:
Karena sisa pembagian suku banyak )()( xgxf oleh 22 xx adalah x , maka
dapat kita tuliz:
xxhxxxgxf )()2()()( 2
Masukkan x = 1,
1)1()211()1()1( 2 hgf
1)1(.0 h
1
Di lain pihak, karena sisa pembagian )()( xgxf oleh 232 xx adalah 1x ,
maka dapat kita tuliz:
)1()()23()()( 2 xxHxxxgxf
Masukkan x = 1 ,
)11()1()21.31()1()1( 2 Hgf
2)1(.0 H
2
Sekarang, jika 22 ))(())(( xgxf dibagi oleh 1x , misalkan sisanya = C. Kita
tuliz:
Cxhxxgxf )(~
)1())(())(( 22
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 7
Masukkan x = 1,
Chgf )1(~
)11())1(())1(( 22
Ch )1(~
0
C
Jadi untuk mencari C, kita perlu menghitung 22 ))1(())1(( gf . Caranya…??
Perhatikan yang berikut ini:
222 ))1(()1()1(2))1(())1()1(( ggffgf
222 ))1(()1()1(2))1(())1()1(( ggffgf
2222 ))1((2))1((2))1()1(())1()1(( gfgfgf
22
22
))1(())1((2
))1()1(())1()1((gf
gfgf
C
2
)1()2( 22
2
5 C
Jadi, sisanya = 5/2.
Soal 7
Grafik
xxy
9
13 1
berada di bawah grafik 13 xy jika….
Jawab:
Grafik
xxy
9
13 1
berada di bawah grafik 13 xy jika:
139
13 1
x
xx
+
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 8
133
13.3
2 x
xx
0133
13.3
2 x
xx
013
1)13(3
2
xx
013
12.3
2
xx
Samakan penyebut, sehingga menjadi
03
313.2.32
22
x
xxx
03
313.22
23
x
xx
Misalkan xp 3 , maka pertidaksamaan menjadi
0122
23
p
pp
012
2
23
p
pp
Karena p = 1 adalah pembuat nol bentuk 12 23 pp , maka 12 23 pp habis
dibagi p – 1, sehingga dapat difaktorkan. Yuk kita bagi sekarang…!!
12
0
)( 11
)(
1
)( 22
121
2
2
2
23
23
pp
p p
pp
p
pp
ppp
Ayuuuuuukk….
Ayuuuuuukk..…
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 9
Dari pembagian di atas, kita dapatkan
)12)(1(12 223 ppppp
Sehingga pertidaksamaan menjadi:
0)12)(1(
2
2
p
ppp
Bentuk )12( 2 pp adalah definit positif (selalu bernilai positif, berapapun nilai
p-nya) karena diskriminannya 071.2.414 22 acbD dan koefisien
p2 nya = a = 2 > 0.
Buat garis bilangan:
0p atau 10 p
03 x 130 x
0333 x
(tidak ada x yang memenuhi) 0 x
Jadi, penyelesaiannya adalah 0 x atau cukup dituliz saja 0x .
Soal 8
Nilai dari xx
x
x 2
)2cos(1
22lim
= ….
Jawab:
)2(
)sin21(1
2
)2cos(1 222
222limlim
xxxx
xx
xx
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 10
)2(
sin22
22
2lim
xx
x
x
)2(
sin.
sin22
22
2
2lim
xx
xx
x
1
)(.
2
0sin2 21
0 .
Wahai kawan, bedakan ya :
b
a
bx
ax
x
sinlim
0 dan 0
0sinlim
0
bb
ax
x
Soal 9
Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika 91
43
21
UU
UU maka
....32
4321
UU
UUUU
Jawab:
Rumus suku ke-n barisan geometri adalah 1 n
n arU .
Maka dari 91
43
21
UU
UU
91
32
arar
ara
araarar 9932
)1(9)1(2 rarar
92 r 3r (karena suku-sukunya positif)
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 11
Dengan demikian,
2
32
32
4321
arar
ararara
UU
UUUU
)1(
)1( 32
rar
rrra
)1(
)1( 32
rr
rrr
)31(3
)3331( 32
3
10
12
40 .
Soal 10
Misalkan x
bxaxf )( mempunyai titik belok di )13 ,4( . Nilai a + b = ….
Jawab:
Fahami bahwa titik belok (4, 13) tentu berada pada grafik y = f (x). Dengan demikian,
4
4)4(13b
af
2
213b
a ……………………….……… (1)
Titik belok memenuhi persamaan: 0)( xf .
Kita cari turunan pertama:
21
21
)(
bxaxx
bxaxf
23
212
1
21)(
bxaxxf
25
23
212
3
21
21)(
bxaxxf
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 12
25
432
3
41
bxax .
Maka 0)(4
xxf
04.4. 25
432
3
41
ba
02.2. 25
2432
32
41
ba
02.2. 5433
41 ba
0..321
43
81
41 ba
Kalikan kedua ruas dengan 4 x 32, sehingga menjadi:
034 ba ……………… (2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), kita peroleh:
8
39a dan
2
13b
Sehingga 8
91
8
5239
2
13
8
39
ba .
Soal 11
Diketahui )2()( xfxf untuk setiap x . Jika 2
0 )( Bdxxf maka
7
3.... )8( dxxf
Jawab:
Karena )2()( xfxf untuk setiap x , maka )(xf adalah fungsi periodik
dengan periode = 2. Dengan demikian, berlaku:
....)8()6()4()2()( xfxfxfxfxf (1)
dan juga:
....)8()6()4()2()( xfxfxfxfxf (2)
Selain itu, jika fungsi f periodik dengan periode p, berlaku:
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 13
pb
pa
pb
pa
b
a
dxxfdxxfdxxf )( )( )( …... (3)
Maka:
7
3
7
3)()8( dxxfdxxf (digunakan persamaan (1))
27
23)( dxxf (digunakan persamaan (3))
5
1)( dxxf
5
4
4
2
2
1)()()( dxxfdxxfdxxf (“dipecah”)
25
24
24
22
2
1)()()( dxxfdxxfdxxf
(digunakan persamaan (3))
3
2
2
0
2
1)()()( dxxfdxxfdxxf
23
22
2
0
2
1)()()( dxxfdxxfdxxf
(digunakan persamaan (3))
1
0
2
0
2
1)()()( dxxfdxxfdxxf
2
0
2
1
1
0)()()( dxxfdxxfdxxf (pindah tempat aja)
2
0
2
0)( )( dxxfdxxf (digabung)
)(22
0 dxxf
.2B
CARA LAIN:
Buat sembarang grafik dengan periode 2, misalkan seperti pada gambar di bawah.
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 14
Maka
7
3
7
3)()8( dxxfdxxf
= Luas daerah biru di bawah:
= Luas daerah biru di bawah:
= 2 x Luas ini:
= 2
0 )( 2 dxxf
= 2B.
Soal 12
Diketahui fungsi kxxf )( dan xxg )( . Misalkan D adalah daerah yang dibatasi
kurva g , sumbu y dan y = 1. Jika kurva f membagi daerah D sama besar maka k = ….
Jawab:
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 15
Perhatikan grafik di bawah!
Fungsi f membagi daerah D menjadi dua bagian sama besar, misalkan D1 dan D2
seperti pada gambar. Jelas fungsi f mesti cekung ke bawah agar dapat membagi dearah
D. (Kalau cekung ke atas tidak bisa, coba aja gambar sendiri!)
Maka
21 D LuasD Luas
dxxgxfdxxf 1
0
1
0
))()(())(1(
dxxxdxx kk 1
0
1
0
)()1(
1
0
211
0
1
2
1
1
1
1
1
xx
kx
kx kk
002
1
1
100
1
11
kk
1
1
1
1
2
11
kk
1
2
2
3
k
433 k
3
1k .
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 16
Soal 13
Banyaknya bilangan genap tiga digit abcn sehingga cb 3 adalah….
Jawab:
n adalah bilangan genap tiga digit , berbentu abcn .
Kemungkinan digit untuk a adalah 1, 2, 3, …., 9 ada 9 kemungkinan !
Karena disyaratkan cb 3 , maka b paling kecil mulai dari 4.
Untuk b = 4 maka c = 6 atau 8 (karena harus genap) ada 2 kemungkinan.
Untuk b = 5 maka c = 6 atau 8 ada 2 kemungkinan.
Untuk b = 6 maka c = 8 ada 1 kemungkinan.
Untuk b = 7 maka c = 8 ada 1 kemungkinan.
Untuk b = 8 maka tidak ada pilihan digit untuk c.
Untuk b = 9 juga tidak ada pilihan digit untuk c.
Jadi , banyak kemungkinan susunan (b, c) adalah 2 + 2 + 1 + 1 = 6.
Dengan demikian, banyaknya bilangan genap tiga digit n = abc ada 9 x 6 = 54 bilangan.
Soal 14
Garis singgung kurva 23 xy di titik ),( baP dan ),( baQ memotong sumbu y
di titik R. Nilai a yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah….
Jawab:
Kurva 23 xy adalah sebuah parabola yang terbuka ke bawah, memotong sumbu
Y di ordinat y = 3, seperti diperlihatkan pada gambar.
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 17
Gradien garis singgung kurva di titik Q(a,b) adalah axym
.
Karena 23 xy , maka axym
axax22
.
Maka persamaan garis singgung kurva yang melalui titik Q(a,b) adalah:
)( axmby
)(2 axaby
baaxy 222 ………….(1)
Misalkan koordinat titik R adalah ),( RR yx . Dari gambar jelas 0Rx . Karena titik
R terletak juga pada garis persamaan (1), maka titik ),( RR yx memenuhi persamaan
(1) . Maka:
bababaaxy RR 222 22022 .
Diketahui segitiga PQR samasisi. Maka berlaku:
QRPQ
22 QRPQ
2222 )()()()( QRQRPQPQ yyxxyyxx
22222 )2()0()())(( bbaabbaa
2222 )2(0)2( aaa
422 44 aaa
24 340 aa
)34(0 22 aa
02 a atau 034 2 a
0a 4
32 a
32
1a
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 32
1 .
Tidak memenuhi, sebab a = 0
mengakibatkan P berimpit dengan Q,
dan tidak terbentuk segitiga PQR
SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika IPA/Bahas SBMPTN (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 18
Soal 15
Diketahui tiga bilangan positif alog2, blog2
, clog2membentuk barisan
aritmatika. Jika 128abc maka suku kedua barisan tersebut adalah….
Jawab:
Barisan aritmatika adalah barisan yang mempunyai beda (selisih antar suku) yang
tetap. Pada barisan ini,
beda = bcab loglogloglog 2222
b
c
a
bloglog 22
b
c
a
b
2bac
Sementara itu, diketahui pula:
128abc
128acb
72 2bb
73 2b
37
2b
Dengan demikian, suku kedua = 3
72log 3
72 .