UNIVERSIDAD DE PIURA
Facultad de Ingenieríax2
Curso: Análisis Matemático IIPráctica # 6Lunes, 11 de Junio de 2012 hora: 3 pmDuración: 2 hSin libros ni apuntes, solo calculadoras no programables
1. Enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo par Integrales de Línea de Campos Vectoriales. El alumno deberá fundamentar sus afirmaciones y hará los gráficos que crea conveniente y por último se pide que explique cuales son las ventajas de este teorema. (3p)
Si consideramos a ∇ f (vector gradiente) de una función de f, como una especie de derivada de f , entonces el teorema siguiente puede considerarse como una versión del teorema fundamental para integrales de línea
TEOREMA:Sea C una curva suave dada por la función vectorial . Sea f una función diferenciable de dos o tres variables cuyo vector gradiente es continuo en C. Entonces:Dice que podemos calcular la integral de un campo vectorial conservativo cuando F = ∇ f Esta integral de línea de ∇ f es el cambio total en f.Si función z=f(x, y) y C es una curva plana:
Si f es una función de tres variables f(x, y, z) y C una curva en el espacio que une los puntos P y Q, entonces:DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA
y curva plana C P=(x1, y1) P=(x2, y2) 0 x
2. Enunciar y demostrar el Teorema de Green, el alumno demostrará una de las dos sub-tesis, concretamente la que no se ha desarrollado en las diapositivas. Luego diga que ventajas tiene. (5p)
Sea una curva C suave a trozos, cerrada, simple y positivamente orientada del plano, y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales contínuas en una región abierta que contiene a D entonces:
C
D
dAy
P
x
QQdyPdx
La notación C
QdyPdx se utiliza para indicar que la integral de línea
se calcula usando la orientación positiva de la curva cerrada.
Otra notación:
DD
QdyPdxdAy
P
x
Q
D indica orientación positiva de la curva frontera Esta ecuación comparada con el enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo
b
aaFbFdxxF )()()('
Los eros1 miembros comprenden las derivadas dy
dP
dx
dQxF ,),(' y el segundo
los valores de las funciones originales F, Q, P solo en la frontera. Demostración del Teorema de Green para los casos en que D es una región tipo I o II
z P=(x1, y1, z1) Curva en el espacio=r(t)=(x,y,z)
Q=(x2, y2, z2)
C
∇ f .dr=a
b∇ f (r ( t )). r ' ( t )dt
=a
b [∂ f∂ x∂ x∂ t
+∂ f∂ y
∂ y∂ t
+∂ f∂ z
∂ z∂ t ]dt
Como : f ( x , y , z ) y r ( t )=( x ( t ), y ( t ) , z ( t ))
Entonces : ∂∂ t
f (r ( t ) )=∂ f∂ x
∂ x∂ t
+∂ f∂ y
∂ y∂ t
+∂ f∂ z
∂ z∂ t
C
∇ f .dr =a
b ∂∂ t
f (r ( t ))dt=a
b∂ f (r ( t ))= f (r ( t ))|a
b
C
∇ f .dr =f (r (b ))− f (r ( a))
Si )()(,/),( 21 xgyxgbxayxD Región tipo I
Tenemos que
C
D
dAy
P
x
QQdyPdx
C
D
dAy
PPdx
)1(
y
C
D
dAx
QQdy
)2(
De (1)
b
a
xg
xgD
b
a
xg
xgdy
y
yxPdxdydx
y
yxPdA
y
P )(
)(
)(
)(
2
1
2
1
),(),(=
D
b
adxxgxPxgxPdA
y
P))(,())(,( 12
Vamos a demostrar el Teorema de Green considerando una situación particular, luego iremos generalizando su aplicación.
3. Dadas las superficies S1: el paraboloide z = 4 +x2+ y2; S2: el cilindro
x2+ y2=2 x ,S 3: el plano z=x. Se pide (4p)
a) Las regiones de integración.
Descomponiendo C en 4321 ,,, CyCCC calcularemos
C dxyxP ),( en c/u de ellas
4
1
),(),(i
CC i
dxyxPdxyxP
En 1C : Si tenemos como parámetro )(1 xgyxx
1
))(,(),( 1
C
b
adxxgxPdxyxP
bxa
z=xx2+ y2=2 x ,
z = 4 +x2+ y2
Z
8
4
E
X 2 1 0
X 2 1 0
y
D
De los esquemas grométricos se tiene que la región está dada por:
E={( x , y , z )/ ( x , y )∈D; x≤z≤4+x2+ y2 }D={(x , y )/ 0≤x≤2 ; −√2x−x2≤ y≤√2 x−x2 }
b) El área lateral del sólido.
4. Use el teorema de Green para evaluar la integral: C
( x3− y3 )dx+( x3+ y3 )dyC es la
frontera SI C es la curva frontera de la corona circular, entre los círculos:
x2+ y2=1 y x2+ y2=9 (3p)
5. Si F(x, y) = e2 y i +(1+2 x e2 y ) j y C: r(t)= te t i +(1+t) j en done 0≤ t ≤1, se pide: (5p)
a) Saber si F es conservativo.
b) En caso afirmativo determine la función potencial f.
c) Evalúe la integral C
❑
F .dr