19.5.2006 prof.dr. Srečko Devjak 1
STATISTIKA Srednjevrednosti
Nosilec:Prof.dr.Srečko Devjak
Sodelavci: Dr. Žiga AndoljšekJanez Vogrinc
prof.dr. Srečko Devjak 219.5.2006
SREDNJE VREDNOSTI - POMEN
Srednja vrednost je predstavnik“PARAMETER” populacije, in na ta načinomogoča primerjavo med posameznimipopulacijami
srednja vrednost je izraz centralnetendence, srednje vrednosti pokažejo lastnoststatistične populacije in njene porazdelitve
Srednje vrednosti delimo na:
računane srednje vrednostisrednje vrednosti določene z lego
prof.dr. Srečko Devjak 319.5.2006
Računane srednje vrednosti
aritmetična sredina geometrijska sredinaharmonična sredina
Srednje vrednosti določene z lego
mediana ali središčna vrednostmodus ali gostiščna vrednost
prof.dr. Srečko Devjak 419.5.2006
ARITMETIČNA SREDINA
Uporabljamo jo za izračunavanjearitmetične sredine iz posamičnihpodatkov.
IZ POSAMIČNIH PODATKOV ali NAVADNA ARITMETIČNA SREDINA
N
y
Ny...yyY
N
ii
N∑==
+++= 121
prof.dr. Srečko Devjak 519.5.2006
Kadar so podatki v obliki frekvenčneporazdelitve.Kadar vrednosti pojava na delih populacije nimajo enakega vpliva (niso enako pomembne) za vrednost pojava na celotni populaciji
IZ FREKVENČNE PORAZDELITVE ali TEHTENA(PONDERIRANA) ARITMETIČNA SREDINA
∑
∑
=
== k
jj
k
jjj
f
y*fY
1
1
prof.dr. Srečko Devjak 619.5.2006
Primer: Telesna teža študentov ........
(tehtana aritmetična sredina)
∑∑=
j
jj
fy*f
Y
Odgovor: Ob predpostavki, da bi imeli vsi enako vrednost......
60Skupaj
od 70 do pod 90
od 50 do pod 70
od 30 do pod 50
fj*yjyjfjTeža
prof.dr. Srečko Devjak 719.5.2006
Aritmetična sredina iz aritmetičnihsredin
Tabela 16: Povprečna ocena treh predmetov
0,72952065*
===
∑∑
j
jj
f
YfY
Povprečne ocene predmetov (yj)
Število izpitov (fj)
Agregat (fj*yj)
Ppredmet 1 6,5 200 1300Predmet 2 7,5 60 450Predmet 3 9 35 315
295 2065
prof.dr. Srečko Devjak 819.5.2006
Povprečni delež (struktura)
Delež:
i0
jiji Y
YD =
∑∑
∑∑
==
ii0
ijii0
ii0
iji
j Y
DY
Y
YD
Primer:
Oddelek A ima 60% deklet v oddelku B je 10% deklet. Določite povprečen delež deklet, če je v A 400 študentov in v B 100 študentov.
prof.dr. Srečko Devjak 919.5.2006
Aritmetična sredina iz statističnihkoeficientov
oo
j
jj X
YK = Kj –koeficient področja j populacije
j=1,2,...,k
∑
∑
=
=== k
jj
k
jj
X
Y
XYK
1
1
Povprečni koeficient na celotni populaciji:
∑∑
∑
∑==
=
=
j
jjk
jj
k
jj
X
XK
X
Y
K*
1
1
Računanje povprečnega koeficienta (na celotni populaciji), če so poznani Kj in Xj
prof.dr. Srečko Devjak 1019.5.2006
Primer: Povprečni proračunski prihodki na prebivalca treh občin
Tabela 17: Proračunski prihodki na prebivalca v treh mestnih občinah za leto 2000(Vir: URL: http://www.fu.uni-lj.si/sib/vhod.htm)
Prihodki na prebivalca (v tisoč sit)
Prebivalci (v tisoč)
j Kj Xj Kj*Xj1 VELENJE 90,7 34,1 3.090,22 SLOVENJ GRADEC 126,7 17,0 2.147,83 PTUJ 105,6 24,1 2.549,4
75,2 7.787,4Povprečni prihodki na 103,6
6,1033,75
4,787.7*===
∑∑
j
jj
X
KXK
Odgovor: Povprečni proračunski prihodki na prebivalca za leto 2000 so v obravnavanih občinah znašali 103,6 tisoč sit.
prof.dr. Srečko Devjak 1119.5.2006
Standardizirana povprečna relativna števila
Tabela 18: Povprečna plača po izobrazbeni strukturi v podjetjih A in B
Povprečne plače Struktura zaposlenih
Izobrazba j Yj/A Yj/B Dj/A Dj/BVisoka 1 200 220 0,2 0,1Višja 2 180 180 0,6 0,5Srednja 3 120 100 0,4 0,4
Povprečje podjetje A struktura A
Povprečje podjetje A struktura B
Povprečje podjetje B struktura A
Povprečje podjetje B struktura B
Izobrazba j YA/A YA/B YB/A YB/BVisoka 1 40 20 44 22Višja 2 108 90 108 90Srednja 3 24 48 20 40Povprečje 172 158 172 152
Povprečne plače za podjetja po upoštevanju izobrazbenih strukturah
prof.dr. Srečko Devjak 1219.5.2006
AGREGATNI INDEKSI
Agregatni ali grupni indeksi za merjenje sprememb zaradi skupnega vpliva spreminjanja večjega številapojavov med dvema: •razdobjema, •krajema, •področjema ipd.
Primerjamo agregate pojavov z različnim opredeljevanjem osnov ali baz.
Agregat vsota vrednosti spremenljivke:
Y = y1+y2+...+yN
Ali pri frekvenčni porazdelitvi – ponderji ali uteži:
∑=
=k
jjj yfY
1
*
prof.dr. Srečko Devjak 1319.5.2006
Agregatni indeks količin in agregatni indeks cen –najpogosteje uporabljena
Agregat pri obeh pomeni vrednost dobrin pri določenih cenah in količinah dobrin.
Agregatni indeks količin primerja vrednosti agregatov pri istih cenah za različni količinah (strukturi) dobrin/med dvema primeroma.
Agregatni indeks cen primerja vrednosti agregatov pri isti količini (strukturi) dobrin za različne cene dobrin -med dvema primeroma.
Primeri uporabe:- življenski stroški in inflacija - storilnost ali produktivnost- ekonomičnost
.
OPREDELITVE AGREGATNIH INDEKSOV
prof.dr. Srečko Devjak 1419.5.2006
Agregatni indeksi - OBRAZCI
Agregatni indeks cen računamo po obrazcu:
∑
∑
=
== N
iii
N
iiji
p
qp
qp
I
10
1*100
N- število upoštevanih dobrin,Ip agregatni indeks cenpji - cena dobrine i (i=1,2,...,N) v
obdobju j,p0i - cena dobrine i (i=1,2,...,N) v
osnovnem obdobju ,qi - količina dobrine i,
N- število upoštevanih vrst dobrin,Iq agregatni indeks količinqji - količina dobrine i (i=1,2,...,N) v obdobju j,q0i - količina dobrine i (i=1,2,...,N) vosnovnem obdobju ,pi - cena dobrine i,
∑
∑
=
== N
iii
N
ijii
q
qp
qp
I
10
1*100
Agregatni indeks količin računamo po obrazcu:
prof.dr. Srečko Devjak 1519.5.2006
Indeks rasti življenskih stroškov
2,1063745039765100100
197
198
97/98, ===
∑
∑
=
=N
iii
N
iii
p
qp
qp
I
Primer : Indeks rasti življenjskih stroškov Vir: SL 2001 str278Življenjska potrebščina
EM qi pi97
(v sit)
p i98
(v sit)
pi97*qi pi98*qi
Kruh beli kg 40 185 213 7400 8520Jabolka kg 20 132 155 2640 3100Meso- goveje kg 25 1010 1049 25250 26225
Jajca kos 80 27 24 2160 1920Skupaj 37450 39765
prof.dr. Srečko Devjak 1619.5.2006
Pri Laspeyresovem agregatnem indeksu vzamemo za primerjalno osnovno obdobje.
oo
ojp
qp
qpL
*
**100∑∑=
Pri Paaschejevem agregatnem indeksu vzamemo za primerjalno tekoče obdobje.
jo
jjp
q*p
q*p*100P∑∑=
Geometrijsko sredino med obema agregatnima indeksomaimenujemo Ficherjev idealni agregatni indeks
ppp P*LF =
Laspeyresovi in Paaschejevi agregatni indeksi cen
prof.dr. Srečko Devjak 1719.5.2006
Primer: Merjenje indeksa cen in storilnosti
V spodnji tabeli so podatki za ugotavljanje indeksa cen in obsega dejavnosti krojaške delavnice in čistilnice
Storitvepi/97
(v tisoč sit)pi/98
(v tisoč sit) pi/97 qi/98
Moške obleke 22,14 24 50 45Čiščenje moške obleke 1,46 1,57 90 90Šivanje krila 5,07 5,41 60 80
Tabela 5.2: Cene in obseg storitev Vir:SL2001, str.282
Storitve pi/97*qi/97 pi/98*qi/97 pi/97*qi/98 pi/98*qi/98Moške obleke 1107,0 1200,0 996,3 1080,0Čiščenje moške obleke 131,4 141,3 131,4 141,3Šivanje krila 304,2 324,6 405,6 432,8SKUPAJ 1542,6 1665,9 1533,3 1654,1
99,1076,15429,1665==pL 88,107
3,15331,1654==pP
94,10788,107*99,107* === ppp PLF
4,996,15423,1533*100 ==qI
Spreminjanje cen:
Spreminjanje obsega dejavnosti/storilnost:
prof.dr. Srečko Devjak 1819.5.2006
HARMONIHARMONIČČNA SREDINANA SREDINA
Harmonična sredina Hy je recipročna vrednost povprečja iz reciprokov vrednosti yi .
UPORABA:računanje povprečij pri asimetričnih porazdelitvah (če se reciproki porazdeljujejo simetrično)
računanje povprečij koeficientov, kadar so poleg koeficientov poznani vrednosti števcev teh koeficientov.
prof.dr. Srečko Devjak 1919.5.2006
RAČUNANJE HARMONIČNE SREDINE
∑=
= N
i j
y
y
NH
1
1
∑
∑
=
== k
j j
j
k
jj
y
yf
f
H
1
1
POSAMIČNE VREDNOSTI
FREKVENČNA PORAZDELITEV
NAVADNA HARMONIČNA SREDINA
TEHTANA HARMONIČNA SREDEINA
prof.dr. Srečko Devjak 2019.5.2006
HARMONIČNA SREDINA ZA STATISTIČNEKOEFICIENTE
∑
∑
=
== k
j j
j
k
jj
KY
Y
K
1
1
∑
∑
=
==++++++
=
=
k
1jj
k
1jj
k21
k21
X
Y
X...XXY...YYK
XjYjKj
j
jj K
YX =Poznamo: Kj, Yj
IZHODIŠČE:
Povprečni koeficient:
prof.dr. Srečko Devjak 2119.5.2006
Primer:
Tabela 17: Proračunski prihodki na prebivalca za dve mestni občini - leto 2002(Vir: URL: http://www.fu.uni-lj.si/sib/vhod.htm)
6,10206,51
5238
KY
Y
X
YK k
1j j
j
k
1jj
k
1jj
k
1jj
====
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
51,065238SKUPAJ
16,952148126,70 SLOVENJ GRADEC2
34,11309090,60 VELENJE1
Xj=Yj/KjYjKjj
Proračunski prihodki (v 109 sit)
Prihodki na prebivalca (tisoč)
prof.dr. Srečko Devjak 2219.5.2006
GEOMETRIJSKA SREDINAGEOMETRIJSKA SREDINA
Geometrijsko sredino uporabljamo za računanje povprečja, kadar opazujemo relativne odnose med vrednostmi spremenljivk.
Najpogosteje jo uporabljamo pri računanju povprečij dinamikepojava:verižnih indeksih, koeficientih dinamike, stopnja rasti.
prof.dr. Srečko Devjak 2319.5.2006
Računanje geometrijske sredine
Splošni obrazec:
N NKKKK *....** 21=
N Ny yyyG *....** 21=
N NVVVV *....** 21=
100*100100 −=−= KVSPovprečna stopnja rasti:
Povprečni verižni indeks:
Povprečni korficientdinamike:
prof.dr. Srečko Devjak 2419.5.2006
GeometrijskaGeometrijska sredinasredina --PrimerPrimer
Primer: PovprePrimer: Povpreččna stopnja rasti vrednosti na stopnja rasti vrednosti bruto investicij (stalne cene) v Sloveniji za bruto investicij (stalne cene) v Sloveniji za obdobje 1997obdobje 1997--20002000 (Vir.SL02,str.470)(Vir.SL02,str.470)
103,13429,101.1*19.1*12.1 33 ===K
Yj Vj KjLeto 109 sit Preizkus
1997 595 - - 595,00
1998 669 112,4 1,12 656,441999 795 118,8 1,19 724,222000 799 100,5 1,01 799,00
(Vir: SL2001, str.470)
Vrednost bruto investicij se je v opazovanem obdobju vsako leto v povprečju povečala za 10,3 %.
prof.dr. Srečko Devjak 2519.5.2006
SREDNJE VREDNOSTI DOLOČENE Z LEGO
modus ali gostiščna vrednostmediana ali središčna vrednost
prof.dr. Srečko Devjak 2619.5.2006
MEDIANA
Mediana “Me” je srednja vrednost, ki leži na polovici statistične množice Mediana je drugi kvartil: in mu ustreza kvantilni rang P=0,5
0
15,00,05,0 *
fFR
dyyMe s−−
+==
prof.dr. Srečko Devjak 2719.5.2006
5,695,0138*5,05,0*5,0 =+=+= NPR
Tabela: Frekvenčna porazdelitev občin manjših od 10 tisočprebivalcev (Vir: URL: http://www.fu.uni-lj.si/sib/vhod.htm)
Primer:Mediana za slovenske občine manjše od 10 tisoč prebivalcev
138SKUPAJ138118000 do pod 1000127206000 do pod 8000107364000 do pod 6000
71482000 do pod 400023230 do pod 2000
FjfjRazred
393848
235,69*200020005,0 ≅−
+== yMe
prof.dr. Srečko Devjak 2819.5.2006
MODUS
Modus je najpogostejša vrednost v opazovani populaciji.
V frekvenčnih porazdelitvah najdemo njegovo vrednost v razredu z največjofrekvenco.
Primer: Izpitne ocene
prof.dr. Srečko Devjak 2919.5.2006
Modus- frekvenčna porazdelitev
Modus iščemo v razredu z največjo frekvencoVrednost modusa se pomakne proti sosednjemu razredu z večjo frekvencoObrazec:
110
100 2 +−
−
−−−
+=fff
ff*dyM s,o
prof.dr. Srečko Devjak 3019.5.2006
Primer: Frekvenčna porazdelitev slovenskih občin ki ne presegajo 10 tisoč prebivalcev
Tabela: Frekvenčna porazdelitev občin manjših od 10 tisoč prebivalcev (Vir: URL: http://www.fu.uni-lj.si/sib/vhod.htm)
Razred fj0 do pod 2000 232000 do pod 4000 484000 do pod 6000 366000 do pod 8000 208000 do pod 1000 11SKUPAJ 138
110
10,0 2
*+−
−−−
−+=
fffffdyM so
3351362348*2
2348*20002000 ≅−−
−+=oM
prof.dr. Srečko Devjak 3119.5.2006
Tabela: Frekvenčna porazdelitev občin manjših od 10 tisočprebivalcev (Vir: URL: http://www.fu.uni-lj.si/sib/vhod.htm)
Primer:Aritmetična sredina za slovenske občine -manjše od 10 tisoč prebivalcev
4246138
000.586≅=Y
3351≅oM
Razred fj yj fj*yj0 do pod 2000 23 1000 230002000 do pod 4000 48 3000 1440004000 do pod 6000 36 5000 1800006000 do pod 8000 20 7000 1400008000 do pod 1000 11 9000 99000SKUPAJ 138 586000 y
3938≅Me
prof.dr. Srečko Devjak 3219.5.2006
Grafični prikaz
Frekvenčna porazdelitev slovenskih občin po številu prebivalcev za občine ki ne presegajo
10tisoč prebivalcev
0
10
20
30
40
50
60
2000 4000 6000 8000 10000 12000
Prebivalci
Štev
ilo o
bčin
(fj)
YMeMo ≤≤
Recommended