Download pptx - STRUKTUR STATIS TAK TENTU METODE CLAPEYRON- CONTINUOUS BEAM-2

STRUKTUR STATIS TAK TENTU

Metode Clapeyron-Continuous Beam

JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS TRIBHUANA TUNGGADEWI

HARVY IRVANI ST., MT.

3/8

Defleksi

• Sebuah struktur dapat mengalami defleksi diakibatkan dari beragam simber, misalnya dari adanya beban, perubahan suhu, kesalahan pabrikasi, atau penurunan.

• Pada desain struktur diharuskan defleksinya kecil untuk menjaga integritas struktur dan untuk keamanan pengguna struktur tersebut.

• Defleksi dalam hal ini dianggap berlaku pada struktur yang memiliki material elastis linear (linear elastic material response) sehingga sebuah struktur yang dikenakan beban akan kembali ke kondisi asal yang belum terdeformasi setelah beban dilepaskan.

Defleksi

• Defleksi pada struktur disebabkan oleh beban-beban internal seperti gaya normal (N), gaya geser (V), dan bending momen (M).

• Untuk balok dan rangka kaku defleksi terbesar kebanyakan disebabkan oleh momen internal, sedangkan pada rangka batang kebanyakan disebabkan oleh gaya axial internal.

Defleksi

Defleksi – Kurva Elastisitas

Defleksi - Teori Balok Elastis

• Dua persamaan diferensial penting yang berhubungan dengan momen internal pada balok terhadap perpindahan (displacement) dan kemiringan (slope) di kurva elastisitas.

• Persamaan tersebut merupakan dasar dari metode defleksi yang diberikan pada materi ini dan oleh karena itu asumsi dan batasan yang diberikan pada penyelesaian persamaan ini harus dipahami.

Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)

• Diberikan sebuah balok lurus yang terdeformasi secara elastis oleh beban tegak lurus sumbu x balok yang terletak pada bidang x-v dan simetris pada potongan melintang balok.

• Dengan adanya beban, deformasi balok disebabkan oleh gaya geser dalam dan bending momen.

• Jika panjang balok jauh lebih besar dari tinggi balok, deformasi terbesar disebabkan oleh bending momen.


• Ketika momen internal M mendeformasi elemen dari sebuah balok, setiap potongan melintang tetap sebidang dan sudut yang terbentuk diantaranya disebut d .

• Busur dx yang merepresentasikan bagian dari kurva elastis berpotongan dengan sumbu netral pada setiap potongan melintang.

• Jari-jari kelengkungan busur ini didefinisikan sebagai jarak , yang diukur dari pusat kelengkunga O’ ke dx.


• Setiap busur dari elemen selain dx terkena regangan normal.

• Sebagai contoh pada busur ds, terletak pada jarak y dari sumbu netral, maka regangan :

• Sedangkan, ds-dx=d dan ds’=(-y)d, maka:

𝜖=(𝑑 𝑠′−𝑑𝑠)

𝑑𝑠

𝜖=( 𝜌− 𝑦 ) 𝑑 𝜃−𝜌 𝑑 𝜃

𝜌 𝑑 𝜃atau 1

𝜌=− 𝜖𝑦


• Kemiringan kurva tegangan-regangan

• Persamaan Lentur

𝑆𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝜖=𝛿𝐿

Tegangan

xxx

x

x

x

Batas proporsional

Batas Elastik

Titik MulurKekuatan Patah

Kekuatan tertinggi

Kekuatan patah sebenarnya Hukum Hooke : Deformasi Aksial

𝐸=𝜎𝜖

Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)• Kombinasi dan substitusi tiga

persamaan tersebut menghasilkan:

Dengan: = jari-jari kelengkungan dari titik

spesifik kurva elastis. (1/ dirujuk sebagai kelengkungan/ curvature

M = momen internal balok

E = modulus elastisitas

I = momen inersia

1𝜌=− 𝜖

𝑦

• Kemiringan kurva tegangan-regangan

• Persamaan Lentur

𝐸=𝜎𝜖


• Produk EI dari persamaan merujuk pada kekakuan lentur (flexural rigidity) dan nilainya selalu positif. Dengan dx = d, maka

• Jika kita memilih sumbu mengarah positif ke atas dan kita dapat mengekspresikan kelengkungan (1/) sebagai dan , dapat ditentukan kuva elastisitas balok. Pada kebanyakan buku kalkulus ditunjukkan bahwa hubunga kelengkungan adalah:

-- dilanjutkan ke slide berikutnya


• Maka didapatkan

• Persamaan di atas adalah termasuk persamaan diferensial nonlinier orde kedua.

• Solusi berikut , memberikan bentuk eksak dari kurva elastis yang tentunya dengan asumsi defleksi karena beding momen.

-- dilanjutkan ke slide berikutnya


• Untuk menyelesaikan masalah bilangan yang lebih besar maka dilakukan modifikasi dengan membuat simplifikasi.

• Karena slope kurva elastis dari kebanyakan struktur adalah sangat kecil, maka digunakan teori defleksi kecil (small deflection theory) dan mengasumsikan . Sehingga persamaan tersebut disederhanakan menjadi:


• Bisa juga dinyatakan bahwa dengan mengasumsikan , panjang asli balok sumbu x dan busur dari kurva elastis akan mendekati sama.

• Dengan kata lain ds = dx, sehingga:

= • Hasil ini menunjukkan bahwa kurva elastis akan hanya

dipindahkan secara vertical dan bukan horizontal.

Contoh

• RA=ql/2

• Mx = Rax - ½qx2 = ½(qlx qx2)• Persamaan differensial :• Diintegralkan menjadi

• Jika dimasukkan syarat batas x=0 y=0 akan didapat C2=0

A B

2

2

2

2 qxqlxdxydEI

1

32

64Cqxqlx

dxdyEI

21

43

2412CxCqxqlxEIy

Contoh

• Jika dimasukkan syarat batas x=1 dan y=0, akan didapat:• Didapat persamaan lenturan yang memenuhi syarat batas:

• Persamaan defleksi rotasi atau turunan pertama lenturan:

• Rotasi ujung pada x=0 dan x=1 adalah:

241224

333

1qlqlqlC

242412

343 xqlqxqlxEIy

2464

332 qlqxqlxdxdyEIEI

EIql

A 24

3

EIql

B 24

3

Metode CLAPEYRON

Pada 1857 Benoit Paul Emile Clapeyron, mempresentasikan makalahnya Comptes Rendus di hadapan French Academy untuk analisis pada balok menerus.

Sehingga dikenal dengan Metode Clapeyron

Method of Structural Analysis for Statically Indeterminate Rigid Frames. Arnulfo Luevanos Rojas. International Journal of Innovative Computing, Information and Control Volume 9, Number 5, May 2013

Metode CLAPEYRON

Pada balok menerus pada gambar di atas diketahui bahwa tumpuan A dan B tidak mendukung momen, sehingga ditinjau poin B.

Clapeyron mendekati dengan persamaan sebagai berikut:

Metode CLAPEYRON

Penggambaran bidang momen diperoleh dari superposisi:• Akibat muatan luar/ defleksi rotasi • Akibat momen peralihan

Penggambaran Bidang Momen

Tanda pada penggambaran selalu berlawanan dengan tanda pada hasil yang diperoleh dari perhitungan.

Bila tanda pada hasil perhitungan (+) maka tanda pada penggambaran bertanda (-)

Tanda-Tanda Penggambaran (Khusus Momen Peralihan)

Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian

Dilihat pada tumpuan B.• Akibat muatan luar :

……. (1)

Gambar Bidang M dan D

Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian• Akibat momen peralihan

……. (2)

(MA dan MC = 0, sehingga tidak menginduksi momen)

Persamaan (1) dan (2) dipersamakan:

Didapat MB = 3.760 kg.m


• Batang dipisahkan secara free body

Untuk bentangan AB=4000 kg.m

Untuk bentangan BC=2250 kg.m

3760 kg.m

Momen tersebut kemudian di superposisi

Penggambaran Bidang Momen (M) dan Lintang (D)

Metode CLAPEYRON – Soal dan PenyelesaianBidang D

Metode CLAPEYRON – Soal dan PenyelesaianBidang M

4.000 kg.m 4.000 kg.m3.760 kg.m

(-)(+)

(+)


Freebody Diagram

Kontrol: 3060 + 4940 + 4253 + 1747 = 14.000 kg = 2000.7 = 14.000 kg (OK)

B

4940 kg 4253 kg

MB

3060 kg 1747 kg

MB

4 4 3 3

M M

RA RB1 RB2 RC

MB M

Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2

Dilihat pada tumpuan B, tumpuan A tidak perlu ditinjau karena MA = 0• Akibat muatan luar : +

18,4

Gambar Bidang M dan D

Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2• Akibat momen peralihan


Dilihat pada tumpuan C• Akibat muatan luar :idak ada gaya-gaya luar• Akibat momen peralihan


Persamaan-Persamaan di Tumpuan B dipersamakan

4MB +1,33 MC = 18,4 …. (1)Persamaan-Persamaan di Tumpuan C dipersamakan

1,33MB +4,67 MC = 0 …. (2)


Dari persamaan (1) : 14MB +4,67 MC = 64,6Dari persamaan (2) : 1,33MB +4,67 MC = 012,67MB = 64,6 MB = 5,08 tmDimasukkan ke pers (2) = 1,33 (5,08) + 4,67 MC = 0 MC = -1,45 tm


Diperhatikan free body ABRA’ = (RB)1 = MI’ = RA(4) – 8.2 = 7,58(4) – 16 = 14,32 tmMII’ = RA(7) – 8.5 = 7,58(7) – 40 = 13,06 tmMIII’ = (RB)1 .(3) = 3,42(3) = 10,26 tmUntuk momen peralihan langsung dapat digambar sehingga hasil akhir dapat disuperposisi

Bidang M


Diperhatikan free body ABRA = RA’ - = 7,58 - = 7,156 tRB = (RB)1 + + + = 3,42+ + + = 4,66tRC = + + = + + = -1,058 tonRD = = = 0,242 tonDari bidang D yang tergambar, tampak bahwa Mmax terletak n di sebelah kanan A. Nilai n dapat dicari dengan perbandingan, sehingga nilai Mmax dapat ditentukan pula.

Bidang D


RA

MB

7,16 t

12

RB1

MB

3,84 t

12MB

0.816

8MB

0.816 t

8MC

0,242 t

6MC

0,242 t

6

MC

8MC

8

7,58 t

5,08 / 12 = 0,42

3,42 t

5,08 / 8 = 0,635

1,45 / 8 = 0,181t

1,45 / 6 = 0,242t0,42 t

0,181 t

0,635 t 0,242 t

M M M M

Kontrol: 7,16t+3,84t+0,816t-0,816t-0,242t+0,242t = 11t (OK)

Tugas

Selesaikan :• Perhitungan Bidang Momen Akibat Perletakan• Gambar Bidang Momen Akibat Perletakan• Perhitungan Bidang Momen Akibat Pembanan• Gambar Overlay Bidang Momen Karena Pereletakan dan Pembebanan• Gambar Diagram Free Body• Gambar Bidang LintangKeterangan :• Folio Bergaris• Gambar Dalam Kertas Milimeter