Download pdf - Suites arithmétiques et géométriques A) Suites … · Exercice n°1 : Les suites suivantes, données par le terme initial et une formule de récurrence, sont-elles arithmétiques

Lycée Français de DOHA 1ère S1

Année 2016 – 2017 M. Evanno

Suites arithmétiques et géométriques

A) Suites arithmétiques.

1. Définition et formules.

Définition : forme récursive.

Une suite est arithmétique lorsque, à partir du terme initial, l’on passe d'un terme de la suite au

terme suivant en ajoutant toujours le même nombre a , appelé raison.

n ℕ : auu nn 1 avec 0u un réel donné.

Théorème : forme explicite.

La formule explicite du terme général en fonction de n est :

n ℕ : nauun 0 et k ℕ et n ℕ : aknuu kn )( .

Démonstration :

A l’aide du schéma ci-dessous on peut établir la formule explicite du terme général en fonction

de n :

n ℕ : nauun 0 et k ℕ et n ℕ : aknuu kn )( .

2. Reconnaissance de la nature.

Propriété : algébrique

Une suite nu est arithmétique de raison a si et seulement si n ℕ : auu nn 1 .

Propriété : graphique

Si une suite nu est arithmétique de raison a alors n ℕ : )(0 nfnauun .

La suite nu est liée à la fonction affine baxxf )( avec 0ub donc sa représentation

graphique est une série de points situés sur la droite d’équation : baxy .

Exemples :

• Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on montre que la différence nn uu 1 est

constante pour tout entier naturel n .

Ainsi la suite nu définie sur ℕ par nun 32 est arithmétique de raison 3 car :

n ℕ : 332332)32()1(321 nnnnuu nn .

• Pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique un contre exemple suffit.

Ainsi la suite nu définie sur ℕ par

0

2

0

1

u

nuu nn n’est pas arithmétique car :

002 0001 uuuu et 0212 1112 uuuu .



3. Sens de variation.

Propriété :

nu est une suite arithmétique de raison a .

• Si 0a , nu est strictement croissante.

• Si 0a , nu est strictement décroissante.

• Si 0a , nu est constante.

Démonstration :

Soit nu une suite est arithmétique de raison a .

On a alors : n ℕ : auu nn 1 .

Donc n ℕ : auu nn 1 .

D’où la variation de la suite nu dépend uniquement du signe de la raison a .

4. Somme des termes d’une suite arithmétique.

Propriété :

Soit nu une suite arithmétique, on a alors :

n ℕ :

21... 0

12210n

nnnn

uunuuuuuuS .

Démonstration : ROC (Restitution organisée de connaissances) !

Partie A :

2

1...321

nnnS .

Soit S la somme des n premiers entiers naturels non nuls : nnS 1...21 .

Ecrivons cette somme ensuite dans l'ordre décroissant : 12...1 nnS .

En sommant ces deux égalités, on obtient :

111...112 nnnnnnS .

Et donc :

2

1...321

nnnS .

Partie B :

21 0 n

n

uunS .

Les n premiers termes d’une suite arithmétique nu de raison q sont :

0u ; quu 01 ; quu 202 ; … ; qnuun 101 et nquun 0 .

Donc : nnnn uuuuuuS 12210 ... .

nquqnuqnuququuSn 000000 12...2 .

nqqnqnqqunSn 12...21 0 .

nnnqunSn 12...211 0 .

2

21

21

2

11 0

00

qnun

nqun

nnqunSn .

21

21 000 n

n

uun

qnuunS .



B) Suites géométriques.

1. Définition et formules.

Définition : forme récursive

Une suite est géométrique lorsque, à partir du terme initial, l’on passe d'un terme de la suite au

terme suivant en multipliant toujours par le même nombre q , appelé raison :

n ℕ : n : nn uqu 1 avec 0u donné.

Théorème : forme explicite

La formule explicite du terme général en fonction de n est :

n ℕ : n

n quu 0 et k ℕ et n ℕ : kn

kn quu .

Démonstration :

A l’aide du schéma ci-dessous on peut établir la formule explicite du terme général en fonction

de n :

n ℕ : n

n quu 0 et k ℕ et n ℕ : kn

kn quu .

2. Reconnaissance de la nature.

Propriété :

Une suite nu est géométrique de raison q si et seulement si n ℕ : qu

u

n

n 1 .

Exemples :

• Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on montre que la quotient n

n

u

u 1 est constante

pour tout entier naturel n .

Ainsi la suite nu définie sur ℕ par n

n

nu2

1

3

2

est géométrique de raison 9

2 car :

n ℕ :

9

2

3

2

3

2

2

3

3

2

3

2

3

2

2222

12

1

2

22

2

2

1

12

11

1

nn

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

u

u.

• Pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique un contre exemple suffit.

Ainsi la suite nu définie sur ℕ par

1

2

1

1

u

nuu nn n’est pas géométrique car :

21

121

1

2

u

u et 24

2

222

2

3

u

u.



3. Sens de variation.

Propriétés :

nu , est une suite géométrique de raison q et de terme initial positif.

• Si 1q , nu est strictement croissante.

• Si 10 q , nu est strictement décroissante.

• Si 0q ou si 1q , nu est constante.

Démonstration :

Soit nu une suite est géométrique de raison q .

Alors pour tout entier n : 100

1

01

qquququuu nnn

nn .

Or 00 u et 0q .

D’où la variation de la suite nu dépend du signe de 1q .

On en déduit les conclusions de la propriété précédente.

4. Somme des termes d’une suite géométrique.

Propriété :

Soit nu une suite géométrique de raison q , on a alors :

n ℕ : q

quuuuuuuS

n

nnnn

1

1...

1

012210 .

Démonstration : ROC (Restitution organisée de connaissances) !

Partie A : q

qqqqS

nn

1

1...1

12 .

Posons : nqqqS ...1 2

On a alors : 1322 ......1 nn qqqqqqqqqS .

1...1... 12132 nnn qqqqqqqqSqS .

11 1 nqSqSqS

q

q

q

qqqqS

nnn

1

1

1

1...1

112 .

Partie B : q

quS

n

n

1

1 1

0 .

Les n premiers termes d’une suite géométrique nu de raison q sont :

0u ; quu 01 ; 2

02 quu ; … ; 1

01

n

n quu et n

n quuu 00 .

Donc : nnnn uuuuuuS 12210 ... . nnn

n quququququuS

0

1

0

2

0

2

000 ... .

n

n qqquS ...1 2

0 .

Or on sait que : q

qqqq

nn

1

1...1

12

D’où q

quS

n

n

1

1 1

0 .



Exercice n°1 :

Les suites suivantes, données par le terme initial et une formule de récurrence, sont-elles

arithmétiques ? géométriques ? Si tel est le cas, exprimer le terme général nu en fonction de n

et donner les variations de nu .

1) nn uu 21 et 10 u .

2) 421 nn vv et 10 v .

3) 21 nn ww et 30 w .

4) 1000 u et nn uu 9,01 .

5) 300 u et nn nuu 1

.

6)

nnn uuu

u

05,0

150

1

0.

Exercice n°2 :

Déterminer parmi les suites suivantes, données par le terme général, les suites géométriques et

arithmétiques. Si tel est le cas, préciser la raison, les variations et la forme récursive.

1) 34 nun

2) n

nu 23 .

3) n

nu 2,03 .

4) 26

5

nun .

5) n

nu 4 .

6) nnu

2

3

7) n

nu 103,01 .

8) 22nun .

Exercice n°3 :

La suite nu est arithmétique de raison a .

Exprimer le terme général nu en fonction de n et donner les variations de nu .

1) 30 u et 4a .

2) 100 u et 2,0a .

3) 500 u et 451 u .

4) 210 u et 720 u .

Exercice n°4 :

La suite nu est géométrique de raison 0q .

Exprimer le terme général nu en fonction de n et donner les variations de nu .

1) 30 u et 4q .

2) 500 u et 451 u .

3) 2,11 u et 8,43 u .

Exercice n°5 : sommes

Un utilisant des suites arithmétiques et géométriques dont on précisera la raison et le premier

terme, calculer les sommes suivantes :

a) 302299...852 .

b) 43741458...1862 .

c) 135131...315 .

d) 64

3...

4

3

2

33612 .



Exercice n°6 : Bac ES Pondichéry 2013

Le 1er janvier 2000, un client a placé 0003 € à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.

On note nC le capital du client au 1er janvier de l’année n2000 , où n est un entier naturel.

1) Calculer 1C et 2C . Arrondir les résultats au centime d’euro.

2) Exprimer 1nC en fonction de nC .

3) En déduire que, pour tout nombre entier naturel n , on a : n

nC 025,10003 .

4) On donne l’algorithme suivant :

a) Pour la valeur 3003S saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau

suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité.

b) En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de S saisie est 3003 .

c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en

sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre S supérieur à 3003 .

5) Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 0005 €.

Montrer que le capital de son placement n’est pas suffisant à cette date.

Exercice n°7 : La légende du jeu d’échecs

Une légende dit que pour le remercier des plaisirs que lui procuraient le jeu d’échecs,

l’empereur Shiram promit à son inventeur Sissa le cadeau suivant : « Sur la première case du

jeu, je déposerai un grain de riz, puis le double sur la deuxième case et ainsi de suite en doublant

chaque fois le nombre de grains jusqu'à la dernière case. ». Soit nu la suite qui, pour tout

1n , associe au terme nu le nombre de grains de riz déposés sur la n ième case.

1) Déterminer le premier terme 1u .

2) Exprimer 1nu en fonction de nu .

3) En déduire la nature de la suite nu et déterminer sa monotonie.

4) Exprimer nu en fonction de n .

5) Sachant qu'un jeu d’échec comporte 64 cases, déterminer le nombre de grains de riz que

l'empereur s'engage à donner à Sissa.

6) Dans un kilogramme de riz, il y a environ 3000 grains de riz. La production mondiale

annuelle aujourd'hui est de 6108 tonnes de riz. Commenter le résultat précédent.



Exercice n°8 : Bac ES Polynésie 2013

La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la

Polynésie Française. Une étude a démontré que depuis 2011 la production baisse de 8% par an.

On admet que cette baisse de 8% se poursuit les années suivantes.

1) On considère l’algorithme suivant :

Si on saisit 00050P en entrée, qu’obtient-on en sortie par cet algorithme ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles.

2) Pour prévoir les montants réalisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la

situation par une suite nu . On note :

• 0u le montant en 2011, en milliers d’euros ;

• nu le montant en n2011 , en milliers d’euros.

On a donc 182630 u et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.

a) Montrer que nu est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b) Exprimer, pour tout entier naturel n , nu en fonction de n .

c) Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l’exportation des produits perliers

de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira le résultat au millier d’euros.

3) Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l’on peut prévoir avec ce

modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu’à 2020 (comprise).

On donnera une valeur approchée au millier d’euros.

Exercice n°9 : On étudie l'évolution de deux fourmilières A et B .

Chaque mois 20% de fourmis de la population A passent en B et 30% des fourmis de la

population B passent en A .

On notera nu et nv le nombre total de milliers de fourmis le mois n respectivement dans les

fourmilières A et B . Le nombre initial de fourmis est 3200 u milliers et 1800 v milliers.

1) Justifier que, pour tout entier naturel n , on a :

nnn

nnn

vuv

vuu

7,02,0

3,08,0

1

1.

2) On pose pour tout entier n : nnn vus et nnn vut 32 .

a) Exprimer 1ns en fonction de ns . En déduire ns est constante et donner cette constante.

b) Interpréter ce résultats dans le contexte de l’exercice.

c) Montrer que nt est une suite géométrique et donner ses éléments caractéristiques.

d) En déduire une expression de nu puis de nv en fonction de n .

e) Calculer nn uu 1 et nn vv 1 et en déduire la monotonie des suites nu et nv .



Exercice n°10 : Suite arithmético-géométrique.

On considère la suite nu définie sur ℕ par : 20 u et n ℕ nn uu 231 .

1) Calculer les termes 1u et 2u .

2) La suite u est-elle arithmétique ? géométrique ?

3) On a tracé dans le repère ci-dessous la droite : xy et la courbe représentative de la

fonction xxf 23: .

4) Placer 0u , 1u , 2u et 3u sur l’axe des abscisses

5) Quelle conjecture peut-on émettre sur les variations de la suite u ?

6) Montrer que n ℕ 342 nn uu .

7) On définit la suite v sur IN par : 1 nn uv .

a) Calculer 0v .

b) Exprimer, pour tout entier n , 1nv fonction de nv et en déduire que v est géométrique.

c) En déduire nv puis nu en fonction de n .



Exercice n°11 :

On considère la suite nu définie par : 40 u et n ℕ 2

61

n

nn

u

uu .

1) On représente ci-dessous :

• la courbe représentative de la fonction f définie par 2

6

x

xxf ;

• la représentation de la droite xy .

Représenter sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite.

2) Soit nv la suite définie par : n ℕ 3

2

n

nn

u

uv .

a) Déterminer les trois premiers termes de cette suite.

b) Montrer que n ℕ : nn vv4

11 .

c) En déduire la nature et la forme explicite de la suite nv .

3) Déterminer l’expression de nu en fonction du terme nv .

4) En déduire la forme explicite de la suite nu .



Exercice n°12 : BAC S Asie 2010

Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie

préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.

Lorsque le nième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. On utilisera

les notations suivantes :

• nV l’évènement : « le nième sondage est positif ».

• np la probabilité de l’évènement nT .

On a donc : nn pVP , 11 nn pVP et nn pVP 1 .

On suppose que le premier sondage est positif et donc que 111 pVP .

L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que :

• Si un sondage est positif, le suivant a une probabilité de l’être aussi égale à 0,6.

• Si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité de l’être aussi égale à 0,9.

1) Le 1er sondage étant positif car 111 pVP , on modélise la situation à l’aide de l’arbre

ci-dessous pour un entier naturel supérieur ou égale à 2 :

Montrer que : 1,05,01 nn pp .

2) On définit la suite nu par : n ℕ∗ 2,0 nn pu .

a) Montrer que nu est géométrique de raison 0,5 et donner son premier terme.

b) Déterminer la variations de nu puis celles de np .

c) En déduire l’expression de nu puis de np en fonction de n .

Exercice n°13 :

nu est la suite définie par : 10 u ; 21 u et nnn uuu 5,05,1 12 .

1) Démontrer que la suite nv définie par : nnn uuv 1 est une suite géométrique.

2) Exprimer nv en fonction de n .

3) Exprimer 1210 ... nn vvvvS en fonction de n .

4) Justifier que 0uuS nn et en déduire que 15,012 n

nu .



Exercice n°14 :

On considère la suite nu définie par : 140 u et n ℕ 8

1101

n

nn

u

uu .

1) On représente ci-dessous :

• la courbe représentative de la fonction f définie par 8

110

x

xxf ;

• la représentation de la droite xy .

Représenter sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite.

2) On considère la suite nv définie par n ℕ: 1

1

n

nu

v .

a) Montrer que n ℕ, on a : 9

11 nn vv .

b) Donner la formule explicite définissant chaque terme de la suite nv .

c) Déterminer l’expression de nu en fonction du terme nv .

d) En déduire la formule explicite définissant chaque terme de la suite nu .

Exercice n°15 :

1) Soit nu la suite définie par : n ℕ 12 nun .

a) Montrer que nu est arithmétique et préciser le premier terme 0u et la raison.

b) Soit la suite nv définie par : n ℕ nu

nv 2 .

Montrer que nv est géométrique et préciser le premier terme 0v et la raison.

2) On considère la suite nu définie par : n ℕ* nn un

nu

3

11

et

3

11 u .

a) Montrer que la suite nv définie par n ℕ* n

uv n

n est une suite géométrique.

b) Exprimer nv en fonction de n .

c) En déduire l’expression de nu en fonction de n .



Exercice n°16 :

Partie A

On considère l’algorithme suivant dont les variables sont le réel U et les entiers k et N :

Quel est l’affichage en sortie lorsque 3N (on détaillera les calculs) ?

Partie B

Soit nu la suite définie, pour tout entier naturel n , par :

323

0

1

0

nuu

u

nn

.

1) Montrer 31 u et 102 u . On admet que 293 u et 844 u .

2) Dans ces questions, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non

fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On suppose que, pour tout entier naturel n , on a : nun .

a) Déduire de cette inégalité que la suite nu est croissante.

b) Déduire de cette même inégalité que la suite nu est divergente.

3) Soit la suite nv définie, pour tout entier naturel n , par : 1 nuv nn .

a) Démontrer que la suite nv est géométrique et préciser sa raison et son terme initial.

b) En déduire l'expression de nv puis de nu en fonction n .