S E M I N A R I O M A T E M A T I C O D E L L ' U N I V E R S I T A " 1) I F E R R A R A
1) i re t tm 'e : Prof . (;. Zx.VIRNEI{.
S U L P R O B L E M A D I D A R B O U X
P E R 12 E Q U A Z I O N E z ~ = f ( x , y, z, z~, z.)
Nota (li ROIr ( 'ONTI [Fireuze)
1. - - I1 ln'oblema di I)at, ' ,ocx pro" l 'equazione alle derivale parziali
del secondo ordine
(A) z . , . : ,=fIz , y, z, z.,.. Zy)
eousiste, eom'b nolo, nella ricerca di una soluzione . : : at.r, y) della IA).
definita in un re t tangolo assegnato
R : O ~ x ~ a , O ~ y ~ b
del piano .r. y, la quah, si riduca a due funzioni z(.e), ~(y), Imre asse
gnate, lungo i lati di R uscenti da (0, 0): la z (x , y) eercata deve quindi
soddisfare le comlizioni a] contorno
z ( . r . O) = z I x ) , I) _<..r <__, (B)
z~O, y ) = ":(y) , ~ < y ~_ I~
dove :(0) e ~(0) hanno un ugual valore, the indichm'emo con z0 ~).
I1 problema si pone solitamente solto fm'ma integrale scrivendo la
a: y
~c) z(.,,, v) = .(*) + :~v)- : , , + 11f4~.. ~. :<a v, : ,(~. ~), ::,(~.. r.) )d~d.r,
o o
('he cOral)ten(h, la (A) e le (B), sotto oppor lune ipolesi sulla f inlegramla.
) [l i)l'o|)lellla, fll pos to pe r la ]}l'illlll volt;l iti llio{lo ospl ic i lo o r i so l to da l ]-)ARBiH'X
(Leqons su r la thdor i r gdndr~tlc des surface,~. 2.5mo par t io . 1SS9, p. 92) pe r il caso
de l la f l i nea re in z, z z, zy. e . n i eoe f f i e ien t i funz ion i a n a l i t i c h e di (x , y ) . I1
PICARD (nel le s t e s s e << Lewons >>, 4.Ome p a t t i e , 1896, Nora 1 in a p p e n d i c e ) r imoss~
l ' ipotes i del la l ine 'u ' i t f l e ana l i t i ( . i th e r i so l se il p r o b h m m m e d i a n t e a p p r o s s i m a z h m i
,qlICC(~SSiVt~. I)ello stes.qo ine todo si e r a s e rv i t o poco p r i m a il |{IANCHI pet ' tt 'lttt/H'e lln
p r i m o caso non l imqlre , que l lo del l 'equazion~, Z z y - - s m ~ z, Stl (qli si blls:t la |t,Ol'ia
del le SUl)erfieie p s e u d o s f e r l e h e (L. BIAXCHI, Appl i caz ion i g e o m c t r i e h c dcl n~r
dellc oppro.~simazioni succe s s i ve di PIC^RD, Rend . Lineei , (5), 3~, 1894, pp. 143-15o:
red . a n c h e le L e z i o n i di Geome t r i a d i f f r r e n z i a l e , a" ed.. w 242).
1~I0 ROI~F:ICTO C.x'l" i
l l e c e n t e m e n t e PiE HAR'rMAN ed A. WINTER'-') h a n n o r isol to la (1')
nei campo del le funz iou i z ( x , y) di cht.~xe 1 (vale a dii-e delle funz ion i
c o n t i n u e ins ieme con le de r iva t e lWinle), su l )ponemlo ~(.r), z(y) alwh 'esse
di c lasse 1 ed imponemlo a l ia f(.r, y, z, p, q) di essere c o n t i n u a v l i ra ( ta ra
hello s t r a t o
ed uniformemente ]ip,~chi(ziana ri,~petto alh, due variabil i p e q: tab, ri- .~ult;ltO segna lln uotev0le I)l'ogres.~o r i spe l to ai preeedel i t i , o t t eml t i (nel
caso the ]a ~ d i p e n d a e f f e t t i v a m e n t e da p e q) e o l l ' a m n t e t t e r e la l ipsehi t-
ziani tf i de l la f r i spe t to al le t re va r i ab i l i z, p e q :*).
M a n t c n c n d o .s'ulla f le ipote.~i :lt'nerali di HARTMAN r XVINTNER tratte-
remo ora il problema nel ea.~o di ,(:e) e z(y) lip.~ehitziam' (anziehO di
classe 1) e mos t rercmo I 'esistenza di una .~oluzione di {(') nel r
delle z ( x , y) l ipsehi tz iane in R.
P r e e i s a m e n t e mos t r e remo i]
T~:OnEMa. Siano ~(:r) e z (y ) due ]unzioni l ipschi t z iane i , 0 < . r <__ a,
0 <z y < b r i spe t t i ramen te , con =(0) = +.(()) = z0.
La ](.r, !1, z, ~, q) sia una funz ione de]in(to hello .s'tr, to
S: (x,y)~R, I z l < ~ , ] p l < ~ , Iq l<~ ici con t inua e lira(tara, co.~iceh~ e.~i.s'te una c, as tan te M 2> 0 tale da acersi
(1 ) I/t.r.v. : . p , q) I <- J I . i .r. !1, :. p, q) E S.
I no l t r e esista umt vos tante L :> 0 tale ehe per ogni eoppia (.r. y, z,
p', q') (.r, y, z. p", q") di pun t ( di ,~ .~i abbia
[2) I f ~ . r , y . z . p " , q " ) - - / { . r . ! t , z , p ' , q ' ) [ < _ L ] p " - - p ' ] + L ~ q " - - q ' [ .
In ques'le ipotr'si e.~ixte (a lmeno) una funz ionc z(.r, y) de.finita in Ir
iv( lip.~ehitziana e .~oddi.s'.hu.ente l 'equazione inte:lrale (C).
2) PII. I{AwrMA.~ - A. WIN'r.x'~, On hyperbolic partial di//erential equations. Am. Jour. of .Math., 7~, 1952, pp. 834-864.
3) Cfr. m l e s . : E.KA.xtK~:, Differentialgh'ichungcn rceHcr Funklionen, (Leipzig, lt~30), p. 401 e segg.; J. ~CHAI'DIs Z/IF Theorie Metigcr Abbildungcn in Funktio- nr Math. Zeitschr., 26, 1927, 47-65.
Si v~la inoltre: G. Zw I RNV.R, tgugli clement( unit( dclle tra.~formazioni fu~zio~ali: alcune applicazioni al problemu di .NZCCOLETTZ per h" equazioni diHerenziali a tie- r(rate parziali di tipo iperbolico, Rend. Lincei., (8) , 3, 1947, 44-9; (7,. STAMI'A('('HIA, 11 problcma di GOURSA'r per un'equar alle dcrirate parziali del m'cotldo ordino di tipo iperbolico, Giorn. di Mat. di Battaglini, 79, 1.94D-gX), 66-85.
Sul problema di Dr r162 131
Per giungere a quest(~ r isul ta to ci varremo di un'Ol)l)Orruna (( ver- sione in due variabili >) del procedimento di al)l)rossim;~zione di L. TO.','~LL~ gi5 largamente impiegato nella risoluzione dei problen~i ai limiti per le equazioni differenziali ordinarie ~). A quanto ei r isulta g questa la prima applieazione di tale proeedimento nel camI)o delle equazioni alle derivate parziali.
2. - - Per ogni intero n > () indiehiamo con R~,i i re t tangol i
i i + l j j ~ - I R~,j: - a . ~ x ~ a, b < : y ~ - - - b (i, j ~ o , 1, ..., ~ - - 1 )
e sia
Rn = Ro, o -Jr- Ro, 1 + Ro, 2 -Ji- ... -Jr- R'o, n - i -~ RI. o -[-" R2, o -t- . . . § R,~_I, o.
Definiamo in R~ la funzione z(n) (x, y) ponendo
(T~) z(~) (x, y) = ~(x) + ~(y) --z0
quindi, mediante la
(T_.) z(n)(x, y)"--:(x) + ~(y)--Zo + /-
1
+ !
6 o
COIl
x , , - - x - - a / n , y , - - y - - b / n
definiamo z(n)(x, y) (e quindi zx(n)(x, y) e zSZ)(x, y)) dapI)rima in R1,1 indi in RI,~ ...... R1,~-1 ed in Ra,1, ..., R~-1,1, indi in R2,,~ e cosl via, fin() raggiungere R~-1,~-1. In tal modo si ~ def ini ta la z(n)(x, y) in tu t to R e per n - - 1 , 2, ..., si ha una successione {z( n)(x, Y)t di funzioni defi- ni te in R.
Posto 5)
A .-- m a x [ a ( a ) ~- ~ ( y ) - - z 0 [ , B---- extr . sup. ~d(x)l , C - - exi t . sup. ] : ' (Y)I , R 0:Kx-<a 0<: ~-<:b
4) L. TO3T.LLI, Sulle cquazioni funzionali dcl tipo di VOLTERRA, Bull. Calcutta Math. Soc., 20, 1928, 31-48. SMle equazioni intcgrali di Volterra, Mem. Acc. Bologna, (8) 5 (1928).
5) Con r tndichiamo la der ivata di a(x) (love essa esiste tinita (cIo6 quasi dapper tu t to) in 0 ~ x ~ a , 1o zero nell ' insieme (di misura nulla) res tan te ; analoga avver tenza valga per i sinhboli .:'(y), z:}n~(x, y), zy(n)(x , y).
132 ROBEItTO CONTI
si ha in R, per la (1)
�9 (3) I z(n)('r, y) [ ~ A § Mab, I zx (n)(x ,y) ] ~__ B § i b ,
[zy(n)(x,y) [ ~ C § Ma.
Queste disuguagl ianze provano the ]e z(n)(x, y) sono in R equilimi-
ta te ed equil ipschitziane, quindi si pus es t ra r re da l la { z(n) (x, y) ] una suc-
cessione the indicheremo ancora coil I z(n)(x, y)I, uni formemente conver-
gente in R verso una z(x, y) anch 'essa l ipsehitziana.
Segue da ci5 (:he ha senso porre
A(.r, y) --Iz(.~', y) - - :(.r) - - ~(y) + z0 - -
f , P
~))d~d~ I, ] ]
0 0
e noi avremo d imos t ra to il nost ro teorema faeendo vedere che (~
(4) /~(x, y)_--0, (x, y) ~ R.
Ora, se (x, y) appar t i ene ad R - - R , , ~ per la (T.~), tenuto conto
di (2) :
• y) <_ [z (x , y)--z(~)(x, y)[ §
D n { x , y )
y P / .
] 0 0
--](~, ~, z(n)(~, ~), Zx(~, ~), Zy(f, ~)) [dCdv, §
+ J J R R
dove D,(x, y) s ta ad indicare, per ogni (.r, y) E R - -R , , , il poligono dif- ferenza del re t tangolo (0 ~ ~ ~ x , 0 ~ ' ~ ~ y ) meno il re t t angolo
(0_< ~__< x, , , 0 -< ~ _< y,,). Pe r p rovare la (4) facciamo tendere n a l l ' inf in i to e mos t r iamo che
ognuno dei te rmini nel 20 membro della d isuguagl ianza ora scr i t ta tende a zero.
La cosa c~ evidente per il p r imo ; per il secondo r i su l t a dal la (]) e dal f a t to che
a ( x a ) 5 m i s n , ( x , Y)~-- n - Y § - - n n - - 0
Sul problcma di ])arboux, ccc. 133
quando n ~ oo ; per il tevzo termine r isul ta dal teorema di passaggio al
limite sotto il segno di integrale, applieabile in xirlfl delle il)otesi l'atle
sulla / (x , y, z, p, q). Restano perci6 da considerate i due ult imi termini ; faremo per questo
vedere, nel n. successive, che dalla I z(n)(x, Y) I ~ possibile es t ra r re una
successione I=( v)(x, Y) I tale che I zx(~)(x, Y) I e I zy ( ~)(x, Y) I convergono in media (del 1~ ordine) in R. Da ci6 seguirh in virtfi delle 'fltre ipolesi
elm i rispettivi limiti in media sono proI)rio z.,.(,c, y) e Zy(X, y) (natural- mente a meno di un insieme di R di misura nulla) e quindi
iim__oo f f I "O) - - Z'r(~)(~' r') l d~dr' = O ; R
lira f f i z r ( ~ . , rd)-- zy(~)(~., ~ ) [ d ~ d ~ = 0 . I / R
Infa t t i , ammesso ad es. che zx(~)(x, y) couverga in media (, d(,tto p(x, y) il limite in media, si ha per 0 _ ~ x ~ _ - a e per quasi tu t t i gli y
di (0, b) : X
]z(x, y ) - - - c ( y ) - - / p ( ~ , y)d~ I ~ _ [z(x, y ) - - z ( ' ) ( . , ' , Y) I + 6
-{-Iz(~)(x, y ) - - x ( y ) - - / p(~, y)d~[ ~ Iz(x, y ) - - z ( ~ ) l . r . Y) I + , 2 0
+ [ i z~:(~)(~, y) - - p(~, y) I d~, o
quindi, ancora per quasi tut t i gli y di (0, b) X
z(x. y ) - - ~ ( y ) + /p (~ , y)d~, !
b e pet' quasi tu t t i gli x di (0, a):
z~,tx, y) = p(x, y ) .
3. - - Per provare l 'csistenza di una .~u('ce.~.~ioue zx(~)( x. Y) I
[i z~(v)( x, Y)I] eonvergente in media (e quimli, c.onw si h osservalo era. il teorema enunciate) ci varremo di un note cri terio di M. RH;sz").
6) M. RIESZ, Sur los ensembles compacts de /onction.~ sommablcs, Acta Mathc- matica, (Szeged), 6, 1932-4, 136-142.
1 ~ ROBERTO C O N T I
Definiamo perei6 la funzione p(")(x, y)[q(")(x, y)] in tut to il piano x, y uguaglian(tola a zx(n)(x, y) [a zx(n)(x, y)] dove questa esiste finita, ed uguagliandola invece a zero negli altri tmnti di /~ e(I in tut t i quelli fuori di R. Si ha allora per le (3)
(5) / . f ] P ( n ) ( x ' Y ) l d x d y = / f [ z x ( n ) ( x , y ) ,dxdy '< [B+Mb]ab, - - o r - - o r R
ed analogamente
(5')
~= 00 - ~ OO
/ j'lq('><:, y)la~ay<-Ic +,,,o1,,~. - - r - - 0 0
(6) I , < _ ~ ( h , k) , I. <_ ~(h, k) .
Se poniamo
+ o o + c o
I 1 , 1 - - - - "
- - o o - - o o
4-oo _ o o ./ j lq ('~)(x, y + k) q(")(x, y) ] d . rdy , - - 0 0 - - 0 0
Per poter applieare il criterio di I{IESZ resta ora (ta provare che gli integrali
-1 oo -)-oo
I~-~-f / I p ( " ) ( x q - h ) y~. lr y)[d.rdy, - - O O ~ 0 0
q - o o q - ~ / ,
[ / I q(n>(x + h, y :-k)-q(n,(x, y) i~x~y, I~_~- . 1
- - 0 0 - - O O 2 0
.~ono, per k ~ 0 + , k ~ 0 + , infinitesimi uniformemente ri.~petto ad ~ (e quindi Io sono anchc per h ~ 0 , k ~ 0 ) .
Da ora in avanti avremo da considerare quantit~t (come 11 e 12) (li- pendenti d a n (intero) e da h, k (humeri positivi infinitesimi); per indi. care che una tale quanti th H -- H(n, h, k), per h ~ 0 -]-, k ~ 0 + 0 infini- tesima uniformemente rispetto ad n scriveremo, per brevitfi
H <_ ~(h, k).
F a t t a questa convenzione ci restano dunquc da prorate le
R u l p r o b l e n l a d i D a r b o u x , e tc . 135
.4-00 -t-co
j f I i ,2-- ~ p(n)(x -t- h , y) - - p('Z)(x, y) ( dxdy ; - - r - - 0 0
- 4 0 0 + 0 0
- - 0 0 - - ~O
ed osserviamo che g
11< I~,~ + Ii,2 , 12 < I~,, + I2,,,
per poter d imost rare le (6) sarii suffieiente mostrare the ~ Ii,./ ~---r k) per i, j = 1, 2; proveremo anzi add i r i t t u ra le
(6') I,,~_< e(O, k), I,,2 _< r 0), I2,~ <_ ~(h, 0), I2,, <_ ~(0, k).
Cominciamo (lal considerate I1,~; avendo presente la definizione della
p(n)(x, y) e la seconda delle (3) si ha
f5 ;/ 11,~ = z.,.(') (.r, y + k) - -z f l n) (x, y) Idxdy -',- [z,.(n) (x, y) Idxdy+ a/n 0 0 b--k
+ zx(n)(J, y)ldxdy~_~(O, k)-t- [ zx(n)(x, y + k) -- =.,.(n)(x, y) [ dxdy. (J 0 aln 0
Supposto b - - k > b / 2 ~ b/n (come ~ h,citm dall 'essere k ~ 0@, n ~ c,~) si pu6 spezzare l ' intervallo (0, b - k) nei due interval l i 11), b/t~), (b/n, b - - k ) ed avendo presenti le (T~) e (T~) e poi la (1) si ha
a b . n
tf I,,,<_r k)-t- ]zx(n)(x, y - t -k ) - -Zx(n) (x , y) J d x d y +
al~* 0
d b--~r
+ ( y y)la y< -
aln bin a bin .;
<~r k ) + ] IZx(n)(x, y-{-k)- -Zx(n)(x , y) l d x d y + a/n 0
1;-'5" + dx dy II(x,,, ~, z(n)(x,,, ~), z.v(")(x,,, n), zy(")(x,, vj)) i,lr,<~ ,)
a/n bin y., a b/n
a/n 0
136 RonzaTO CO~TI
Quindi se b/u ~ k la l)rima delle (6') segue in virtfi della seconda (3),
men t re se ~ b/n > k pot remo spezzare (0, b/n) nei" due interval l i (0, b/n--k) e (b/n--k, b/n). Per la (T~) ~ Izfl nl(x, y -~k) - - --zx(n)(x, y) [ ~ 0 se 0 "~ y ~ b/n--k, perci6 l 'u l t imo integrale scr i t to
si r iduee a a b/n
f / [zx(n)(x, y + k)--z:o'n)(x, y)'dxdy a/n; b ln- -k
e, ancora per la seconda (3), segue l 'asserto, eio~ la p r ima (6').
I n modo del tu t to analogo si ot t iene la te rza (6'). Pas s i amo ora a cons idera te I~,2, per il quale, da l la definizione della
p(n)(x, y) e poi dal la seconda (3) si ha
a - -h b a b
I : , , " - / f ' zx.(n)(x + h, y)-- zx(n)(x, y) ' dxdy nL/ f [ zx(n)(x, y) [ dxdy-~ - 0 0 a - - k 0
h b a- -h
+ / f l z.<")(~, y) l,,x~,y <_ ~(h. o)§ b_ f l ~'(x § h)--~'(~) I ~'." § �9 j ' ? l
o o 5 a- -h b ./ + j [zfln)(x+h, y)--zfln)(x, y)[dxdy.
0 bl**
I1 pr imo dei due integral i o ra scr i t t i tende a zero con h per una nota
p ropr ie th del l ' in tegrale di LnaEs~uz e quindi si pus scr ivere
a/n b
/ / II.,~__~.(h, (1)+ ]zx(n)(x+h, y)--zx(n)(x, y) ldxdy-{- 0 b/n
o - b b
-~ f f [zx(n)(x+h' y)-zf l 'O(x' y)[dxdy' a/n bin
avendo spezzato (0, a - - h ) in (0, a/n) e (a/u, a--h), coal(; ~ lecito, po-
tendosi semi)re supporre a - - h > a/2 ~ a/~l. Ora, se a/n > It, in virtfi della seconda (3) si ha
a--b b
(7) 1,,,_< ~(,~, 0) + f /I ..(~)(~ + h, y ) - ~(~)(~, y) I ~l.~ey, aln bin
se invece ~ a/n~_~h si spezza (0, a/n) in (0, a/n--h), (a/n--h, a/n) e
Sul problema di Darboux, ecc. 137
si ha aln b
/ (Izx(n)( x + h, y ) - - z.r(n)(x, y) l d x d y : 0 bin
aln--h b . / -- / ] z,(n) (x -4- h, y) - - zfl n) (x, y) I dxdy -b 0 b/n
a/n b / / "-[- I zx (n) (x + h, y) -- Z.r(n) (X, y) [ d,rdy aln--h bin
aln--h
<~ ( b - - b / n ) f l l a ' (x-4- h ) - a ' ( x ) ] d x - ~ - r O) <--- r 0 ) ,
0
e quindi vale in ogni caso la (7).
Resta da valutare l ' integrale che compare nella (7) stessa; avendo
presente la (Tz) si ha
a--h b a--h / *
aln bln aln
a--h b Y,t
+ ( f f l f(X,, + h, ~, Z(n)(X,, + h, ~), Z.r(n)(X,, + h, ~), + h , ' ~ ) ) - - a / n b n 0
- -] (x . , ~, z(n)(x,,, r,), z:,(n)(xn, ~), zy(n)(x,,, ~)) ]d~dxdy <-- r O) -4- t~
+ i f ( u + a , ~, o o ~o
- - I (u , ~, z(")(u, ~), z~(.)(u, ~,), zy(")(u, *.)) I d~ ,
dove a,, - - a - - a / n , bn -- b - - b / n .
Facemlo intervenire la (2) possiamo scrivere
a - - k b
f e,,,:,j_< 0)+ dln bl~
] b,, ;
] 'du]dv q-h,~, . 0 0 0
138 ROBERTO CONTI
- - l (u, ~, z(")(u, ~), zx(")(u, ~,), zy(")(u, ~)) l d~ + a,=--h b,,
+cb.[ /'l.x(t*)(u+h, y)--..(')(,,, y) ld,,,ty+ 0 0
a,~--h ba
+ L,,. ] ( ! . / . , ( , , + ~, ~)-.,(.,(u, ~) I ~,,,,.~,. 0 5
La funzione ](x, y, z, p, q) ~ uniformemente cont inua nel parallele- pipedo (x, y) E R. I z l ~ . A . - ~ i a b , I P l ~ B + Mb, I q l ~ C'~ Ma e poich~, le z(t*)(x, y) sono equicontinue avremo
a - - h : b
. f f [zflt*)(x+h, y) - -z f l" ) (x , y ) ,dxdy<~(h , 0)+ aln bln
a~--k b
.f --~ Lb,, / ] z,('O (u ~- h, y) -- Zx(n) (u, y) ! dudy -~ o o
+ Lb,, f f [ zy(n) (u-4- h, y)--zy(n) (u, y) l dudy. o
Tenuto conto anche della terza (6'), gii~ acquisita, si avrh
a - h b
f f l~.(n)(x + h, y ) - ..(~)(~, y) ldxey <_~(h, ,,) + aln bln
a--h b
/ / -(- Lb [ zflt*) (u -~ h, y) -- zfl") (u, y) I dudy, 0 0
e l 'ul t imo integrale ~, come si ~ gi',i visto, minore di
a- -h b
(f ~(h, O) + I z,: (n) (u + h, y) - - z,(") (u, y) ] dudy. a/tt blM
Perci5 avremo
a--h b
( I - - L b ) [ f lzx(t*)(x--~h, y)--zx(n)(x, Y) ldxdy<r 0).
Di qui, supposto
(8) 1 - Lb > 0
,,;ul probh'mu di l m r b o u x , vcc. 139
.'qA'gll(r a--h b
! j j + h. : / ) - < / /
aln him
e d a l l a (7) a b b i a m o a i l o r a la seeomla de i ie 16'). In r e . d o ;sn; l log. , SUlq)O.'s, to
( S ' ) I - - L a > 0 ,
si r i c a v a la q u a p t a (6'). l ) i qui, le (6), cite ins ieme con h, t5), (5') permet-
tOl|O, pe r il c r i t e r i o di RH.:sz, di a f f e r n i a r e l ' e s i s te l l za di lln~l ~otto.~u('ves
.qiom' {p(~)( . r ' , Y) I [{ q(~)(x, Y)I] uonvet 'gente in medi;t in t l l l t o il pi;Ino
x, y e qu ind i l ' e s i s t e n z a di una sottosu(.( 'es.~iotte I z.t -(v)('r. Y) I [{ zy (~l ' r ' , Y) I]
t h e converge in m e d i a in R. D a ci5 l a (4).
4 . - - Oss . 1. - - l ,e (,),~ (8') non v a p p v e s e n t a n o nn;t ve s i r i z ione t.fft, t-
t iva , poich6 si pub senli)re l )ensare di ~( 'olnl)ol ' l ' t ' lWeVt.Utiv;tnmsltt ' R in un
n m n e r o f in i fo di r e t t a n g o l i s imi l i , le uui ql imensioni o' , b' .~oddisfino t~)
e (8'). Riso i to il p r o b l e m a per c i a scuno di t a l l r e t t a n g o l i (a Imvtive da qn~lli
c o n t i g u i ag i i assi c o o r d i n a t i ) ie d ive r se sol izioni << p a r z i a l i >> ~' ) s t i tn isc , , ,,
unn so luz ione di IC) ( :on t imm e ii l) .~cili tziana in R.
Oss . 2. - - Se le q u a n t i t h z . p . q sono dei vet tovi (veal i ) a /," ( . (mq, )
nen l i , il l ) r oced imen to vesta in ; f l t e r a to neli~ sos t anz ; l : t.sso pe rc i5 ,~i ;q)-
p l iea anche a l l a r i s o l u z i o n e dei s i s t e m i di pquaz ioni
02z~ = [ ( x , y ; z~, , z , ; p ~ , , p ~ : q ~ , , q , ) , ~ i = : l . "' 1,) . . . . , . . . . . . . . - - . . . . . .
~x~y
con Iv c,)ndizi,)ni
z ,~ .v . 0) := :~ l . r ) , : , 1 0 , y ) - - : , ( y ) . ( i ---- 1. "2 . . . . . k ) .
O.~'.~. 3. - - A n c h e l ' e s tenuiom, al e;1.~o delh, e q m l z i . n i ~'on i r e v: lr ialf i l i
i n d i p e n d e n t i u, c, w
03z ~u~v~w = f u, v, w; z . , z . , z..',
o con un n u m e r o m a g g i o r e di v a r i a b i l i , non vi( ' lliede ('he v a v i a n t i fomtmli.
Oss . ~. - - Se z, p, q, anzieh6 assumprq, v:flori qu;ll l ln(ll lo to.~uero sog-
ge t t e a | l e l i m i t a z i o n i
i : i _ < z , I p ' , _ < v Iqi_<q
I40 ROBEI~TO CONTI
il p r o c e d i m e n t o r e s t e r e b b e v a l i d o ; c o n le u l t e r i o r i r e s t r i z i o n i
ab <_~ Z / M , a < - - Q / M , b <_~ P / M .
Pervenu ta in Redazione i~ 1~ ot tobre 1953.
RIASSUNTO
Mediante l ' introduzione nel campo delle equazioni alle der ivate parziali di un procedimento approssimante di L. TONELLI, gih la rgamente impiegato nella risolu- zione di problemi ai limiti relat ivi alle equazioni differenziali ordinarie, si risolve il problema di DAaBOVX per l 'equazione
z ~ :---- / (x , y, z, z , zy)
he1 campo delle funzioni z(x , y) l ipschitziane. Si suppongono i dati al contorno anch'essi l ipschitziani e si mantengono sulla
f (x , y, z, p, q) le stesse ipotesi nella quali PH. HART)~IAN ed A. WINTNEIr hanno, con metodo diverso, risotto il problema nel campo delle z (x , y) con derivate prime conti- nue, in corr ispondenza a dati al contorno pure con der iva te pr ime continue.
a suM
Avec l ' introduct ion dans le domain des 6quations aux d6riv6es partiel les d 'un proc6d6 d 'approximat ion dfi a M. TO~r qui a 6t6 plusieurs lois employ6 pour les Oluations diff6rentielles ordinaires, on r6sout ici le probl~me de DARSOUX re la t i f h l '6quation
zxy----1(x, y, z, z x, zy),
dans la classe des fonctions z(x , y) qui sat isfont h une condition de LIPSCI-IITZ. On suppose ici que les donn6es sur le contour soient aussi l ipschitziennes, pendant
que la fonction 1(x, y, z, 10, q) a 6t6 assuje t t ie aux m~mes hypotheses avec iesquelles MM. PH. HARTMAN et A. W~NTNER ont r6cemment, par une m6thode diff6rente de celle ci, trouv6 une solution du probl~me continue avec ses d~riv6es premi6res, pa r t an t des donn6es ayant aussi des d~riv6es continues.
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