GH. DOGARU I. COLŢESCU

ANALIZĂ MATEMATICĂ II

( ) ( ) ( )∫ −=b

a

aFbFdxxf

PREFAŢĂ

În ultimile decenii, majoritatea disciplinelor de matematică şi-au schimbat mult aspectul fie printr-o precizare a conţinutului, fie adoptând o formă nouă de expunere care să corespundă procesului general de modernizare a matematicii. Evident că, analiza matematică nu poate rămâne în afara acestei evoluţii. Dacă nu poate fi vorba de o schimbare de fond a conţintului analizei matematice, în schimb credem că forma de expunere trebuie să sufere unele modificări. În ansamblul disciplinelor care fac parte din planul de învăţământ al unei facultăţi tehnice, analiza matematică trebuie să se coreleze cu alte displine ca algebra, matematici speciale, analiză numerică şi altele. În cartea de faţă pe care autorii o prezintă, printre altele o importanţă deosebită s-a acordat modernizării ca formă a analizei matematice. O modernizare exagerată şi forţată în detrimentul conţinutului clasic al analizei matematice ar constitui un eşec. Din această cauză una din direcţiile importante a fost aceea de a găsi măsura potrivită de expunere care să echilibreze într-un tot forma şi conţinutul, intuiţia rămânând în unele locuri o metodă de bază pentru înţelegerea anumitor noţiuni. Cartea “Analiză matematica II” constituie un al doilea volum al unei serii de lucrări dedicate studiului unor capitole importante ale analizei matematice moderne. În volumul de faţă sunt studiate unele noţiuni fundamentale, cum ar fi cele de primitivă, integrală definită, integrală cu parametru, integrală curbilinie, integrală dublă, integrală triplă, integrală de suprafaţă, formule integrale, folosindu-se conceptul de spaţiu topologic şi spaţiu metric. Am ales acest cadru întrucât permite, pe de o parte, o tratare unitară a unor probleme fundamentale, fiind suficient de larg pentru a include principalele probleme ce intervin frecvent în diferite domenii teoretice şi practice, iar pe de altă parte, permite o deschidere spre abordarea lor într-un cadru mai general. Având în vedere că problemele care fac obiectul analizei matematice nu sunt uşor accesibile, am urmărit introducerea motivată a noţiunilor şi problemelor, o tratare care să se sprijine pe exemple cât mai sugestive şi am încheiat fiecare capitol cu un paragraf de exerciţii rezolvate în care sunt prezentate un număr mare de exerciţii de dificultăţi diferite rezolvate complet. Cartea se încheie cu un capitol ce propune spre rezolvare un număr foarte mare de exerciţii corespunzătoare fiecărui capitol tratat, din dorinţa de a da posibilitatea cititorului să se autoverifice în ce grad a înţeles noţiunile prezentate. Sperăm ca lucrarea să fie utilă atât studenţilor ce studiază în programa universitară analiza matematică, profesorilor de licee care-şi pregătesc examenle de definitivat sau grad, cât şi tuturor celor care doresc să înveţe şi să aprofundeze matematica modernă a zilelor noastre, facilitându-le înţelegerea mai precisă şi mai aprofundată a unor noţiuni şi modele matematice de mare fineţe.

Autorii

CUPRINS

PREFAŢĂ .............................................................................................................2 CUPRINS..............................................................................................................3 CAPITOLUL 1 CALCUL INTEGRAL. INTEGRALA DEFINITĂ .............................5

1. Diviziune. Normă............................................................................................5 2. Sume integrale...............................................................................................6 3. Clase de funcţii integrabile .............................................................................9 4. Proprietăţi ale funcţiilor integrabile ...............................................................11 5. Inegalităţi integrale.......................................................................................13 6. Exerciţii rezolvate.........................................................................................16

CAPITOLUL 2 PRIMITIVE ..................................................................................23 1. Primitive. Definiţie. Proprietăţi ......................................................................23 2. Metode de calcul a primitivelor.....................................................................26 3. Primitive reductibile la primitive de funcţii raţionale......................................30 4. Exerciţii rezolvate.........................................................................................32

CAPITOLUL 3 INTEGRALE IMPROPRII ............................................................43 1. Integrala improprie. Proprietăţi generale. .....................................................43 2. Criterii de convergenţă a integralelor improprii ............................................48 3. Exerciţii rezolvate.........................................................................................52

CAPITOLUL 4 INTEGRALE CU PARAMETRU ..................................................60 1. Definiţie. Proprietăţi......................................................................................60 2. Proprietăţile funcţiei ( ) ( )

( )

( ),

y

yJ y f x y dx

ψ

ψ= ∫ ...................................................64

3. Funcţiile lui Euler..........................................................................................66 4. Exerciţii rezolvate.........................................................................................71

CAPITOLUL 5 INTEGRALA CURBILINIE.........................................................125 1. Integrala curbilinie în raport cu coordonatele. Proprietăţi. Formulă de calcul.......................................................................................................................125 2. Proprietăţile integralei curbilinii în raport cu coordonatele..........................130 3. Integrala curbilinie în raport cu elementul de arc .......................................135 4. Exerciţii rezolvate.......................................................................................138

CAPITOLUL 6 INTEGRALA DUBLĂ.................................................................148 1. Definiţie. Proprietăţi....................................................................................148 2. Calculul integralei duble.............................................................................153 3. Formula lui Green. Schimbarea de variabilă în integrala dublă .................155 4. Exerciţii rezolvate.......................................................................................158

CAPITOLUL 7 INTEGRALA TRIPLĂ ................................................................174 1. Definiţie. Proprietăţi....................................................................................174 2. Calculul integralei triple..............................................................................179 3. Schimbarea de variabilă în integrala triplă .................................................183 4. Exerciţii rezolvate.......................................................................................187

CAPITOLUL 8 INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ .................................................201 1. Elemente de teoria suprafeţelor .................................................................201

2. Integrala de suprafaţă de speţa I sau în raport cu elementul de arie .........204 3. Integrala de suprafaţă în raport cu coordonatele sau de speţa a doua ......208 4. Formule integrale .......................................................................................209 5. Exerciţii rezolvate.......................................................................................215

CAPITOLUL 9 EXERCIŢII PROPUSE..............................................................224 ANEXĂ..............................................................................................................260 BIBLIOGRAFIE.................................................................................................270

CAPITOLUL 1 CALCUL INTEGRAL. INTEGRALA DEFINITĂ

1. Diviziune. Normă Fie [ ],a b ⊂ R .

Definiţia 1.1.1. Se numeşte diviziune a lui [ ],a b şi se notează cu Δ o mulţime

finită { } [ ]0 1, ,..., ,nx x x a b⊂ ale cărei elemente verifică condiţia:

0 1 2 ... nx a x x x b= < < < < = . Pentru a pune în evidenţă că o mulţime de elemente este diviziune se scrie astfel:

{ }0 1 2: ... nx a x x x bΔ = = < < < < = .

Elementele ix , 0,i n= , se numesc punctele diviziunii Δ iar [ ]1 ,i i iJ x x−= ,

1,i n= , se numesc intervale parţiale definite de diviziunea Δ . Definiţia 1.1.2. Se numeşte normă a diviziunii { }0 1 2: .... nx a x x x bΔ = = < < < < =

numărul 11

n

i iix x −=−max .

Acest număr se notează cu ( )v Δ . Diviziunea Δ se numeşte diviziune

echidistantă a lui [ ],a b dacă: 1i ib ax x

n−

−− = , ( ) 1,i n∀ = . Pentru o

diviziune echidistantă, punctele de diviziune ix se pot exprima cu ajutorul capetelor a şi b ale intervalului.

( )iix a b an

= + −

Notaţii: a) Mulţimea tuturor diviziunilor intervalului [ ],a b se notează astfel: L sau când se folosesc mai multe intervale, pentru a înlătura confuzia, se notează [ ]a,bL .

b) O familie (mulţime) de puncte intermediare asociate diviziunii Δ se notează cu

( ){ }1,i i iJ i nξ ξ ξΔ = ∈ ∀ =

c) Mulţimea tuturor familiilor de puncte intermediare asociate diviziunii Δ se notează cu ΔL .

Definiţia 1.1.3. Fie [ ]1 2, a,bΔ Δ ∈ L . Se spune că diviziunea 2Δ este mai fină decât

diviziunea 1Δ sau că diviziunea 2Δ este consecutivă diviziunii 1Δ dacă toate punctele diviziunii 1Δ sunt conţinute de diviziunea 2Δ . Acest lucru se scrie astfel: 1 2Δ ⊆ Δ .

Propoziţia 1.1.1. a) Relaţia de fineţe “⊆“ definită în definiţia 1.1.3. defineşte pe mulţimea [ ]a,bL o

relaţie de ordine filtrantă, adică ( ) [ ]1 2 a,b∀ Δ Δ ∈, L , există [ ]a,bΔ∈ L ] astfel

încât 1Δ ⊆ Δ şi 2Δ ⊆ Δ . b) Fie ( ) 1n n≥

Δ un şir de diviziuni ale intervalului[ ],a b astfel încât:

1 2 3 ... ...nΔ ⊆ Δ ⊆ Δ ⊆ ⊆ Δ ⊆

Atunci ( )( )n 1v

n≥Δ este un şir de numere reale crescător, adică:

( ) ( ) ( )1 2v v ... v ...nΔ ≥ Δ ≥ ≥ Δ ≥

Demonstraţie: a) Pentru a arăta că relaţia de fineţe “⊆“ este o relaţie de ordine, trebuie arătat că ea este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă. Aceste proprietăţi sunt evidente ţinând cont de Definiţia 1.1.3. Pentru a arăta că relaţia este filtrantă, se consideră

( )3 1 2 1, Δ = Δ ∪Δ ∀ Δ , [ ]2 a,bΔ ∈ L atunci 3 1 3 2,Δ ⊇ Δ Δ ⊇ Δ ,

deci relaţia de fineţe este o relaţie de ordine filtrantă. b) Dacă 1 2 3 ... ...nΔ ⊆ Δ ⊆ Δ ⊆ ⊆ Δ ⊆ , ţinând cont de definiţia 1.1.2. şi de definiţia 1.1.3. se obţine ( ) ( ) ( )1 2v v ... v ...nΔ ≥ Δ ≥ ≥ Δ ≥

2. Sume integrale Definiţia 1.2.1. Fie [ ]: ,f a b → R o funcţie mărginită şi [ ]a,bΔ∈ L o diviziune

oarecare a lui[ ],a b .

Numerele [ ]( )1,i if x x−inf şi [ ]( )1,i if x x−sup se notează cu im respectiv iM şi reprezintă minimul, respectiv maximul funcţiei pe intervalul de diviziune

[ ]1,i i iJ x x−= .

Sumele ( ) ( )11

,n

f i i ii

s m x x −=

Δ = ∑ şi ( ) ( )11

,n

f i i ii

S M x x −=

Δ = ∑ se numesc

sumele Darboux inferioară respectiv superioară asociată funcţiei f şi diviziunii Δ .

Definiţia 1.2.2. Fie [ ]: ,f a b → R mărginită şi [ ]a,bΔ∈ L o diviziune oarecare a

lui[ ],a b . Dacă [ ]a,bξΔ ∈ L este o familie oarecare de puncte intermediare asociate

diviziunii Δ , atunci suma ( ) ( )( )11

,n

f i i ii

f x xσ ξ ξΔ −=

Δ = −∑ se numeşte suma

Riemann asociată funcţiei f , diviziunii Δ şi familiei de puncte intermediareξΔ .

Observaţia 1.2.1. a) Pentru o diviziune oarecare Δ şi o funcţie f există o singură sumă Darboux inferioară şi una singură superioară. b) Pentru o diviziune Δ şi o funcţie f există o infinitate de puterea conţinutului de sume Riemann .

Propoziţia 1.2.1. Sumele Darboux şi Riemann asociate unei funcţii f pe intervalul [ ],a b au următoarele proprietăţi:

1) ( ) ( ) ( ) ( )f fm b a s S M b a− ≤ Δ ≤ Δ ≤ − , unde { }1

infn

iim m

== şi { }

1sup

n

ii

M M=

= .

2) ( ) ( ) ( ),f f fs Sσ ξΔΔ ≤ Δ ≤ Δ

3) ( ) ( ){ }inf ,f fsξ

σ ξΔ Δ

Δ∈Δ = Δ

L; ( ) ( ){ }sup ,f fS

ξσ ξ

Δ Δ

Δ∈

Δ = ΔL

4) Dacă [ ]1 2 1 2, a,bΔ Δ ∈ Δ ⊆ ΔL , atunci ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1f f f fs s S SΔ ≤ Δ ≤ Δ ≤ Δ .

5) Fie o diviziune [ ]a,bΔ∈ L atunci ( ) ( )f fs SΔ ≤ Δ

Demonstraţie: Proprietăţile 1), 2), 3), 5) rezultă din definiţiile 1.2.1 şi 1.2.2 şi din definiţia lui inf şi sup. 4) Fie [ ]1 2 1 2, a,bΔ Δ ∈ Δ ⊆ ΔL atunci există [ ]' ,x a b∈ astfel încât '

2x ∈Δ , '

1x ∉Δ şi fără a micşora generalitatea presupunem că 2Δ diferă de 1Δ numai prin acest 'x . Presupunem că [ ]'

1 ,i ix x x−∈ . Deci sumele ( )1fS Δ şi ( )2fS Δ coincid pe toate intervalele intermediare ale diviziunii 1Δ , mai puţin pe intervalul

[ ]1 ,i ix x− . Deci vor avea loc egalităţile:

(a)( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1

' ' '' ' '2 1

,

, ,

if i i

f i i i i i

S A M x x

S A M x x M x x

−

−

⎧ Δ = +⎪⎨

Δ = + +⎪⎩

Dar cum ( )

( )1 ,

supi i

ix x x

M f x−∈

= , ( )

( )'

1

'

,sup

i i

ix x x

M f x−∈

= , ( )

( )''

'' '

,sup

i

iix x x

M f x M M∈

= ⇒ ≤

şi ''iiM M≤ .

Ţinând cont de acestea rezultă:

(b) ( ) ( )( ) ( )

M x x M x x

M x x M x xi i i i

i i i i

“ ’ ’

“ ’ ’

− ≤ −

− ≤ −

⎧⎨⎪

⎩⎪− −1 1

Ţinând cont de (a) şi (b) rezultă: ( ) ( )2 1f fS SΔ ≤ Δ .

În mod analog se arată că ( ) ( )1 2f fs sΔ ≤ Δ şi ţinând cont de punctul 1) rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1f f f fs s S SΔ ≤ Δ ≤ Δ ≤ Δ Consecinţe: a) Din cele expuse până în prezent rezultă: ( ) ( )f fs S

Δ∈ Δ∈

Δ ≤ ΔL L

sup inf .

b) Mulţimea de numere reale ( ){ }fsΔ∈

ΔLşi mulţimea de numere reale

( ){ }fSΔ∈

ΔL

sunt mulţimi mărginite superior respectiv mărginite inferior.

Deci numerele ( )fsΔ∈

ΔL

sup şi ( )fSΔ∈

ΔL

inf există şi sunt finite.

Definiţia 1.2.3. Dacă numărul ( )fsΔ∈

ΔsupL

şi ( )fSΔ∈

ΔinfL

care se mai notează şi

astfel ( )b

a

f x dx∫ şi ( )b

a

f x dx∫ sunt egale, atunci se spune că funcţia

[ ]: ,f a b → R este integrabilă Darboux pe intervalul [ ],a b . ( )b

a

f x dx∫ se

numeşte integrala Darboux inferioară. ( )b

a

f x dx∫ se numeşte integrala

Darboux superioară. Definiţia 1.2.4. Fie [ ]: ,f a b → R o funcţie mărginită. Dacă ( ) 0ε∀ > , există

( ) 0η ε > şi L∈ R astfel încât

( ) ( ) [ ] ( ) ( ), , f Lσ ξ ε υ η εΔΔ − < ∀ Δ∈ Δ <a,bL , atunci funcţia f este

integrabilă Riemann pe [ ],a b şi ( )b

a

L f x dx= ∫ .

Propoziţia 1.2.2. Fie [ ]: ,f a b → R . Dacă f este mărginită, atunci integrabilitatea Darboux este echivalentă cu integrabilitatea Riemann. Deci, pentru funcţii mărginite, cele două tipuri de integrabilităţi coincid. De aceea, pentru această clasă de funcţii se va spune simplu că este integrabilă pe [ ],a b .

Propoziţia 1.2.3. (Criteriul de integrabilitate al lui Darboux)

Fie [ ]: ,f a b → R o funcţie mărginită; f este integrabilă pe [ ],a b dacă şi numai dacă ( ) 0ε∀ > , există ( ) 0η ε > astfel încât

( ) [ ] ( ) ( )υ η ε∀ Δ∈ Δ <a,bL rezultă:

( ) ( )f fS s εΔ − Δ < Demonstraţie: Se presupune că f integrabilă şi se arată că: ( ) ( )f fS s εΔ − Δ < .

Într-adevăr f integrabilă implică conform cu definiţia 1.2.4. că ( ) 0ε∀ > ,

există ( ) 0η ε > astfel încât ( ) [ ] ( ) ( )υ η ε∀ Δ∈ Δ <a,bL rezultă:

( ) ( ), , f fL Lσ ξ ε ε σ ξ εΔ ΔΔ − < ⇔ − < Δ − < rezultă:

( ), /fL Lε σ ξ εΔ− < Δ < + . Ţinând cont de propoziţia 1.2.1. punctele 2), 3) rezultă: ( ) ( ), ,f fL L

ξ ξε σ ξ σ ξ ε

Δ Δ Δ Δ

Δ Δ∈ ∈− < Δ < Δ < +

L Linf sup

rezultă: ( ) ( )f fL s S Lε ε− < Δ < Δ < + rezultă ( ) ( ) 'f fS s εΔ − Δ < .

Se presupune că în condiţiile date de propoziţia 1.2.3. are loc inegalitatea: ( ) ( )f fS s εΔ − Δ < .

Ţinând cont de definirea integralei Darboux inferioară respectiv superioară se obţine

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

b b b b

f f f fa a a a

b b

a a

s f x dx f x dx S f x dx f x dx S s

f x dx f x dx fε

Δ < ≤ < Δ ⇒ − < Δ − Δ ⇒

⇒ − < ⇒

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ integrabila Darboux.

Cum f este mărginită conform cu propoziţia 1.2. rezultă că f integrabilă.

3. Clase de funcţii integrabile Definiţia 1.3.1. Fie A ⊂ R o mulţime de numere reale.

a) Mulţimea A se numeşte neglijabilă sau de măsură Lebesque nulă (de L măsură nulă) dacă ( ) 0ε∀ > , există un şir ( ) 0nJ n ≥ , nJ intervale

de numere reale, astfel încât: 0

nn

J A≥

⊇∪ şi 0

nn

J ε≥

<∑ .

b) Mulţimea A se numeşte mulţime de măsură Jordan nulă (mulţime de J măsură nulă) dacă ( ) 0ε∀ > , există o mulţime ( ) 1,kJ k n= , kJ

intervale de numere reale cu proprietatea că 1

kk

J A=

⊇∪ şi 1

kk

J ε=

<∑ .

Observaţia 1.3.1. O proprietate “P“ se spune că are loc aproape peste tot (a.p.t.) pe mulţimea A ⊆ R dacă există 0A A⊂ astfel încât 0A neglijabilă şi proprietatea “P“ are loc în fiecare punct al mulţimii 0\A A .

Propoziţia 1.3.1. a) Orice submulţime a unei mulţimi de L - măsură nulă ( J -măsură nulă) este o mulţime de L - măsură nulă, respectiv J -măsură nulă. b) Dacă A ⊂ R este de L măsură nulă, respectiv J măsură nulă, atunci este de L -măsură nulă, respectiv de J -măsură nulă (Mulţimea \ AR este densă în R ). c) Dacă mulţimea A ⊂ R este numărabilă sau finită atunci A este de L -măsură nulă, respectiv de J -măsură nulă. d) Fie nA un şir de mulţimi o mulţime de L măsură nulă, respectiv de J măsură nulă, n N∈ atunci

1n

n

A≥∪ este L -măsură nulă, respectiv de J -

măsură nulă. Propoziţia 1.3.2. (Criteriul de integrabilitate al lui Lebesque).

Fie [ ]: ,f a b → R ; f este integrabilă pe [ ],a b dacă şi numai dacă sunt îndeplinite proprietăţile:

1) f este mărginită 2) f este continuă pe [ ],a b aproape peste tot Propoziţia 1.3.3. Fie [ ]: ,f a b → R o funcţie monotonă atunci f integrabilă pe

[ ],a b . Demonstraţie:

Deoarece funcţia f este monotonă, mulţimea punctelor ei de discontinuitate este cel mult numărabilă, iar natura acestora este de puncte de discontinuitate de speţa I . Atunci f mărginită pe [ ],a b şi continuă aproape peste tot pe [ ],a b . Deci, conform cu propoziţia 1.3.2

rezultă f integrabilă pe [ ],a b . Propoziţia 1.3.4. Fie [ ]: ,f a b → R ; f continuă atunci f integrabilă pe [ ],a b . Demonstraţie:

Se ştie că o funcţie continuă pe un interval compact este mărginită şi îşi atinge marginile. Deoarece este continuă pe [ ],a b atunci mulţimea punctelor de discontinuitate este mulţimea vidă. Dar conform cu propoziţia

1.3.1., mulţimea vidă este o mulţime de L -măsură nulă. Deci fiind îndeplinite condiţiile propoziţiei 1.3.1 atunci f integrabilă pe [ ],a b .

4. Proprietăţi ale funcţiilor integrabile Propoziţia 1.4.1. a) Fie [ ]: ,f a b → R , integrabilă, atunci ( ) ( )

b a

a bf x dx f x dx= −∫ ∫

b) Fie [ ], : ,f g a b → R , integrabile şi ,λ β ∈ R atunci funcţia f gλ β± integrabilă pe [ ],a b şi are loc egalitatea :

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dxλ β λ β⎡ ⎤± = ±⎣ ⎦∫ ∫ ∫

(Proprietatea de liniaritate a integralei definite).

c) Fie [ ]: ,f a b → +R , integrabilă; atunci ( ) 0b

af x dx ≥∫ (Proprietatea de

monotonie a integralei definite). d) Fie [ ]: ,f a b → R , integrabilă şi ( ),c a b∈ atunci f integrabilă pe [ ],a c şi

[ ],c b şi are loc egalitatea: ( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ (aditivitatea

faţă de interval). e) Fie [ ]: ,f a b → R , integrabilă; atunci funcţia f integrabilă pe [ ],a b şi are loc inegalitatea:

( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx≤∫ ∫ .

Demonstraţie: Proprietăţile a, b, c, d rezultă din proprietăţile sumelor integrale Riemann. e) Este evident că ( ) ( ) ( )f x f x f x− ≤ ≤ . Conform cu proprietatea c)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b b b

a a a a af x dx f x dx f x dx f x dx f x dx− ≤ ≤ ⇔ ≤∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Propoziţia 1.4.2. (Prima formulă de medie) Fie [ ], : ,f g a b → R , integrabile şi ( ) 0g x > , ( ) [ ],x a b∀ ∈ . Atunci există

[ ],n Mμ ∈ astfel încât ( ) ( ) ( )b b

a af x g x dx g x dxμ⋅ = ⋅∫ ∫ , unde ,m M sunt

minimul respectiv maximul funcţiei f pe [ ],a b . Demonstraţie: Pentru orice [ ] ( ), x a b m f x M∈ ≤ ≤are loc inegalitatea

( ) ( ) ( ) ( ) m g x f x g x M g x⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅Deci

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

b

b b ba

ba a a

a

f x g x dxm g x dx f x g x dx M g x dx m

g x dx

⋅⋅ ≤ ⋅ ≤ ⇔ ≤

∫∫ ∫ ∫

∫Atunci

Dacă se consideră

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

b

b bab a a

a

f x g x dxf x g x dx g x dx

g x dxμ μ

⋅= ⇒ ⋅ = ⋅∫

∫ ∫∫

.

Observaţia 1.4.1. Dacă în formula de medie dată de propoziţia 1.4.2. se consideră ( ) 1g x = , ( ) [ ],x a b∀ ∈ se obţine ( )

b b

a af x dx dxμ=∫ ∫ deci

( ) ( )b

af x dx b aμ= −∫ , [ ],m Mμ ∈ .

Propoziţia 1.4.3. Fie [ ], : ,f g a b → R două funcţii integrabile pe [ ],a b şi [ ]a,bΔ∈ L

o diviziune echidistantă. Atunci ( ) ( ) ( ),i i im f x M fα ⎡ ⎤∀ ∈ ⎣ ⎦ şi

( ) ( ),i i im g M gβ ⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦ are loc egalitatea:

( ) ( ) ( )11

lim .n b

i i i i an ix x f x g x dxα β −→∞

=

⋅ − =∑ ∫

Propoziţia 1.4.4. (A doua formulă de medie) Fie [ ], : ,f g a b → R , integrabile. Dacă funcţia ( )f x este monoton

descrescătoare pe [ ],a b , ( ) 0f x ≥ , ( ) [ ],x a b∀ ∈ , atunci

( ) ( ) ( ) ( ) [ ], ,b

a af x g x dx f a g x dx a b

ξξ⋅ = ⋅ ∈∫ ∫ .

Demonstraţie: Ţinând cont de aditivitatea integralei definite faţă de interval se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1

1 1 1

0 01

0

i

i i

i

i

n nb x x

ia x xi i

n x

ixi

I f x g x dx f x g x dx f x g x dx

f x f x g x dx

+

+

− − +

= =

−

=

= ⋅ = ⋅ = +

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

∑ ∑∫ ∫ ∫

∑∫

unde 0 1 2 ... na x x x x b= < < < < = . Deci I σ ρ= + unde σ este prima sumă iar ρ a doua sumă.

Fie [ ]

( )1,

maxi ix x x

L g x+∈

= şi iω i oscilaţia funcţiei f pe [ ]1,i ix x + . Atunci

( ) ( ) ( ) ( )1

10 1

n n

i i i ii i

f x f x g x dx x xρ ω−

+= =

≤ − ⋅ ≤ −∑ ∑ .

Folosind criteriul majorării, deoarece ( )1

10

l 0n

i i in ix xω

−

+→∞=

− =∑im se obţine

0n

ρ→∞

=lim . Deci n

I σ→∞

= lim .

Se consideră funcţia ( ) ( )b

aG x g t dt= ∫ . Ţinând cont de această notaţie

rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1 10 0

n n

i i i n i i ii i

f x G x G x G b f x G x f x f xσ− −

+ − += =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − = ⋅ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑

dar ( )G x fiind continuă îşi atinge marginile m şi M pe [ ],a b , iar ţinând

cont de ipoteză, factorii ( ) ( )1i if x f x+⎡ ⎤−⎣ ⎦ sunt pozitivi şi atunci are loc inegalitatea:

( ) ( )m f a M f aσ⋅ ≤ ≤ ⋅ . Atunci ( ) ( )m f a I M f a⋅ ≤ ≤ ⋅ . Deci

( )I f a μ= unde [ ],m Mμ ∈ . Cum funcţia ( )G x este continuă pe [ ],a b , ea

are proprietatea lui Darboux conform acesteia există [ ],a bξ ∈ astfel încât

( )G ξ μ= . Astfel s-a demonstrat egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( )a

I f a G f a g x dxξ

ξ= = ∫ .

Observaţia 1.4.2. a) Dacă în propoziţia 1.4.4 ( )f x este monoton crescătoare

are loc relaţia: ( ) ( ) ( ) ( )b b

af x g x dx f b g x dx

ξ⋅ = ⋅∫ ∫ .

b) Dacă ( )f x descreşte monoton fără a mai fi pozitivă, atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b

a af x g x dx f a g x dx f b g x dx

ξ

ξ⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ .

Definiţia 1.4.1. Fie [ ]: ,f a b → R .

( )12

f f f+ = + - partea pozitivă a lui f .

( )12

f f f− = − - partea negativă a lui f .

Propoziţia 1.4.5. Fie [ ]: ,f a b → R . Funcţia f este integrabilă pe [ ],a b dacă şi

numai dacă funcţiile f + şi f − sunt integrabile pe [ ],a b .

5. Inegalităţi integrale 1.5.1. Inegalitatea lui Cebîşev.

Fie [ ], : ,f g a b → R două funcţii monotone şi de sens contrar. Atunci

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx

b a⋅ ≤ ⋅ ⋅

−∫ ∫ ∫ .

Demonstraţie: Se consideră f monoton crescătoare şi g monoton descrescătoare şi

( )1:b

af x dx

b aα = ⋅

− ∫ .

Este evident că ( ) ( )f a f bα≤ ≤ . Fie [ ] ( ){ }, c x x a b f x α= ∈ ≤sup şi .

Atunci ( ) [ ] ( ),x a c f xα∀ ∈ ⇒ ≥ şi ( ) ( )g x g c≥ (vezi figura 1).

Fig. 1

Atunci ( )( ) ( ) ( )( ) ( )f x g x f x g cα α− ⋅ ≥ − ⋅ , ( ) [ ],x a c∀ ∈ (1)

Analog ( )( ) ( ) ( )( ) ( )f x g x f x g cα α− ⋅ ≥ − ⋅ , ( ) [ ],x c b∀ ∈ (2) Din (1) şi (2) rezultă:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

b c b

a a c

c b b

a c a

b

a

f x g c dx f x g c dx f x g c dx

f x g c dx f x g c dx g c f x dx

g c b a f x dx

α α α

α α α

α

− ⋅ = − ⋅ + − ⋅ ≥

⎡ ⎤≤ − ⋅ + − ⋅ = − =⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

∫

Deci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )10b b b b

a a a af x g x dx f x g x dx f x dx g x dx

b aα⎡ ⎤− ⋅ ≥ ⇒ ⋅ ≤ ⋅ ⋅⎣ ⎦ −∫ ∫ ∫ ∫

1.5.2. Inegalitatea lui Young. Fie :f →+ +R R o funcţie continuă strict crescătoare astfel încât ( )0 0f = .

Atunci ( )a∀ ∈ +R şi ( )b f∈ +R , ( ) ( )1a b

o oab f x dx f y dy−≤ +∫ ∫ .

Demonstraţie: Fie ( )1 , ,x fS o G x aσ σ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ şi ( )2 , ,y fS o G y bσ σ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ca în figura 2.

Fig. 2

Este evident că ( ) ( )1 2ab S Sσ σ≤ + . Dar ( ) ( )1

a

oS f x dxσ = ∫ şi

( ) ( )12

b

oS f y dyσ −= ∫ . Deci ( ) ( )1a b

o oab f x dx f y dy−≤ +∫ ∫ .

Consecinţă. Fie ,a b∈ R şi , 0p q > astfel încât 1 1 1p q+ = . Atunci

,p qa b

a bp q

≤ + .

Demonstraţie: Rezultă imediat din 1.5.2. dacă se consideră că ( )f x xα= , 0x ≥ ,

1pα = − fixat. 1.5.3. Inegalitatea lui Holder.

Fie [ ], : ,f g a b → +R două funcţii integrabile şi *, ,p q +∈ R astfel încât

1 1 1p q+ = . Atunci ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

1 1b b bp qp q

a a af x g x dx f x d x g x d x⋅ ≤ ⋅∫ ∫ ∫ .

Demonstraţie:

Fie ( )

( )( )1:

b p p

a

f x

f x dx

α =

∫ şi

( )

( ) ( )( )1:

b q q

a

g x

g x d x

β =

∫. Utilizând consecinţa

anterioară se obţine: p q

p qα βα β⋅ ≤ + .

Înlocuind α şi β în această inegalitate şi integrând de la a la b se obţine inegalitatea lui Holder.

Observaţia 1.5.1 a) Pentru 2p q= = se obţine inegalitatea lui Buniakovscki.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1

2 22 2b b b

a a af x g x f x dx g x dx⋅ ≤ ⋅∫ ∫ ∫ .

b) Pentru ( ) 1g x = se obţine:

( ) ( ) ( )( )1

1b b p pq

a af x dx b a f x dx≤ − ⋅∫ ∫ .

1.5.4. Inegalitatea lui Minkowski. Fie [ ], : ,f g a b → +R integrabile şi 1p ≥ .

Atunci ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1

b b bp p pp p p

a a af x g x dx f x dx g x dx+ ≤ +∫ ∫ ∫ .

Demonstraţie: Integrând inegalitatea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1p p pf x g x f x g x f x f x g x g x

− −+ ≤ + ⋅ + + ⋅

şi aplicând 1.5.3 membrului drept se obţine inegalitatea lui Minkowski.

6. Exerciţii rezolvate 1. Folosind sumele integrale să se calculeze:

a) b k

ax dx k ∈∫ .

b) b

ax dx , a > 0, b > 0μ μ ∈∫ R .

c) b

axdx∫ sin .

d) ( )2

01 2a x a dx

π− +∫ ln cos .

Rezolvare: a) Ţinând cont de egalitatea

0 0

b b ak k k

ax dx x dx x dx= −∫ ∫ ∫ se calculează

0

a kx dx∫ .

Se împarte intervalul [ ]0, a în n părţi egale şi se consideră suma Riemann

corespunzătoare acestei diviziuni şi funcţiei [ ]: 0,f a → R , ( ) kf x x= ,

11

1

1 2 ...k k k knk

n ki

ia a nan n n

σ ++

=

+ + +⎛ ⎞= ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ . Cum funcţia [ ]: 0,f a → R este

continuă, atunci este integrabilă şi 0

lima k

nnx dxσ

→∞= ∫ .

Conform cu lema lui Stoltz 1

lim1

k

nn

ak

σ+

→∞=

+.

Deci 1

0 1

ka k ax dxk

+

=+∫

Analog se arată că 1

0 1

kb k bx dxk

+

=+∫ .

Conform cu (1), se obţine 1 1

1

k kb k

a

b ax dxk

+ +−=

+∫ .

b) Se împarte intervalul [ ],a b în părţi neegale folosind diviziunea

{ }0 1 2: ... ....k na q a q a q a q a qΔ = ⋅ < ⋅ < ⋅ < ⋅ < < ⋅ unde nbqa

= .

Se consideră suma Riemann:

( ) ( ) ( ) ( )1 1

11 1

0 01

n nkk k k

nk k

a q a q a q a q qμ μμσ

− −+ ⋅+ +

= =

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅∑ ∑ . Cum [ ]: ,f a b → R ,

( )f x xμ= , 0a > , 0b > , μ ∈ R este continuă, atunci ( )f x este integrabilă

pe [ ],a b .

Deci b

na n ax dxμ σ

→=∫ lim .

( )

( )

1

1 1 11 1

1 11 1

111

1 11

11

n

n

n mn a n a n a

q a

ab qa q b aq q

q b ab qq

μ

μ μ μμ

μ μμ μ

μ

σ

μ

+

+ + ++ +→ → →

+ ++ +

→

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ −⎣ ⎦ ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ = − ⋅ =⎣ ⎦− −

− −= − ⋅ =

+−

lim lim lim

lim

Deci 1 1

1b

a

b ax dxμ μ

μ

μ

+ +−=

+∫

c) Se împarte intervalul [ ],a b în n părţi egale şi se scrie suma Riemann

pentru funcţia [ ]: ,f a b → R , ( )f x x= sin şi diviziunea dată.

( )1

n

nk

h a k hσ=

= ⋅ + ⋅∑sin .

b ahn−

= .

Dar conform cu sumele lui Euler

( )

( )

1

2 112 2

22

n

k

n ha h a

a khh=

⎛ ⎞+⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ =∑cos cos

sinsin

.

Deci 1 122 2

2

n

h

a h b hh

σ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦cos cos

sin.

Deci 1 122 2sin

2

nn n

h

a h b h a bh

σ→∞ →∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦lim lim cos cos cos cos

Deci b

axdx a b= −∫ sin cos cos .

d) Se observă că ( )2 21 1 2r r x r− ≤ − +cos . Deci ( ) 1r t∀ ≠ , 21 2 0r x r− + >cos ,

( ) x∀ ∈ R .

Deci [ ]: ,f a π → R , ( ) ( )21 2f x r x r= − +ln cos este continuă deci integrabilă.

Se împarte intervalul [ ],a π în n părţi egale şi se construieşte suma

Riemann asociată diviziunii date şi funcţiei ( )f x .

( )1

22 2

1 1

1 2 1 1 2nn

nk k

k kr r r r rn n n nπ π π πσ

−

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = + ⋅ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∏ln cos ln cos .

Se ştie că ( )1

2 2 2

1

1 1 1 2n

n

k

kz z z znπ−

=

⎛ ⎞− = − ⋅ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∏ cos .

Ţinând cont de această identitate se obţine:

( )21 11

nn

r rn rπσ +⎡ ⎤= −⎢ ⎥−⎣ ⎦

ln

Dacă 1r > , 10 01nn

rr

σ→∞

+= ⋅ =

−lim ln .

Dacă 1r < , 2

2

1 1 21

n

n n

r r n rn r rπσ⎧ ⎫⎡ ⎤+ −⎪ ⎪= ⋅ +⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ln ln .

Deci pentru 1r > ⇒ 2nnrσ π

→∞=lim ln .

Aşadar ( )22 , 1

1 20, 1

r rr x r dx

rπ π⎧ >⎪− + = ⎨

<⎪⎩∫0

lnln cos .

Integrala ( )21 2r x r dxπ

− +∫0 ln cos este integrala Poisson.

2. Fără a calcula efectiv integralele să se arate:

a) 7

4

1 3 13 5

x dxx−

≤ ≤+∫

b) 21

01 xe dx e≤ ≤∫

c) ( )

1

10 2 3 26 4 24

dx

x x

π π< <

− −∫ .

Rezolvare: Fie

[ ]( ){ }

,x a bm f x

∈= inf ,

[ ]( ){ }

,x a bM f x

∈= sup .

Atunci ( ) ( ) ( )b

am b a f x dx M b a− ≤ ≤ ⋅ −∫ .

a) Funcţia [ ]: 4,7f → R , ( ) 35

xf xx−

=+

este crescătoare ( ) 149

m f= = ,

( ) 4 1712 3

M f= = = .

Deci 7

4

1 3 13 39 5 3

x dxx−

⋅ ≤ ≤ ⋅+∫ . Aşadar

7

4

1 3 13 5

x dxx−

≤ ≤+∫ .

b) Funcţia [ ]: 0,1f → R , ( ) 2xf x e= este crescătoare ( )0 1m f= = ,

( )1M f e= = .

Deci 21

01 xe dx e≤ ≤∫ .

c) 2 2 3 2

1 1 1

4 4 2 2x x x x≤ ≤

− − − ⋅ −, ( ) [ ]0,1x∀ ∈ .

Conform cu proprietatea de monotonie a integralei definite se obţine: 1 1 1

0 0 02 2 3 2

124 4 2

dx dx dx

x x x x≤ ≤

− − − −∫ ∫ ∫ ⇒

1 1

0 02 3 2 3

1 110 02 62 2 4 24 4

x dx x dx

x x x x

π π⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤

− − − −∫ ∫arcsin arcsin

. 3. Folosind integrala definită să se calculeze:

a) 1

2 21

1n

n kn

n k

−

→∞=

⋅+∑lim

b) ( )

12 2 21

124

n

n k n k→∞=

⋅−

∑lim

c) ( )

1

n

k

n

n k

n=

→∞

+∏lim

Rezolvare:

Fie [ ]: 0,1f → R integrabilă. Atunci ( )1

01

1 n

n k

kf f x dxn n→∞

=

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∫lim .

a) 1 1 1

2 2 2 201 1

11 1 10 41

1

n n

n nk k

dxn xnn k xk

n

π− −

→∞ →∞= =

⋅ = = = =+ +⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ ∫lim lim arctg

b) ( )

1

1 1 2022 2 2 21 1

1 1 124 1 11 44

n n

n nk k

dxn xn k k

n

→∞ →∞= =

⋅ = = =⎛ ⎞− ⎛ ⎞ −−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ ∫lim lim

1

20

12 2

02 34dx x

xπ

= = =−

∫ arcsin

c) ( )

1 1

1 11 11

n n

k k

n

k kn n n nk

n

n ke e

n= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→∞

+∏ ∑

= =∏ ln ln

lim

Ţinând cont de această egalitate, se obţine

( )( ) ( )1

1 0

1 21 1lim ln 1 ln 1 lnln 11 0 0 2n

n k

n

kx xx dxn nk e

n

n ke e e e

n e→∞

=

⎛ ⎞+⎜ ⎟ − + ++= ⎝ ⎠

→∞

+∑ ∫= = = = =

∏lim .

4. Să se arate că 220

22

x dxπ π

π≤ ≤∫ cos .

Rezolvare: 22 2

0 0 2x dx dx

π π π≤ =∫ ∫cos . Folosind inegalitatea lui Cebîşev se obţine:

2 22 2 20 0 0

2x x dx xdx x dxπ π π

π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫cos cos

(1)

Dar ( )2 2 2 22 20 0

1 1 1 1 2 222 2 2 4 2 2 4

0x x dx x d x x

π π π π= = = = =∫ ∫cos cos sin sin

(2)

2

20 22 8

0

xxdxπ π π

= =∫

(3) Din (1), (2), (3) se obţine:

220

2 24 8

x dxππ

π≤ ⋅ ∫ cos . Deci 2 22 2

0 0

22 x dx x dxπ π

ππ

≤ ⇒ ≥∫ ∫cos cos

5. Fie :f + →R R o funcţie continuă. Dacă există 0λ > astfel încât

( ) ( )( )22

0 0

x xf x dx f x dxλ ⋅ ≤∫ ∫ , ( ) x +∀ ∈ R atunci ( ) 0f x = , ( ) x +∀ ∈ R .

Rezolvare: Aplicând inegalitatea lui Buniakovski

( )( ) ( )2

2

0 0

x xf x dx x f x dx≤∫ ∫ , ( ) x +∀ ∈ R

(1) Ţinând cont de (1) şi inegalitatea din ipoteză se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

0 0 00

x x xf x dx x f x dx x f x dxλ λ⋅ ≤ ⇒ − ⋅ ≤∫ ∫ ∫ , ( ) x +∀ ∈ R . Pentru

[ ]0,x λ∈ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

0 0 00 0 0 0

xf x dx f x dx f x dx f x

λ λ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ = ⇒ =∫ ∫ ∫ ,

( ) [ ]0,x λ∀ ∈ . Din aceasta rezultă că inegalitatea din enunţ se scrie

( ) ( )( )22

0 0

xf x dx f x dx

λλ ≤∫ ∫ , ( ) x λ∀ ≥ . Repetând raţionamentul, se obţine

( ) 0f x = , ( ) [ ], 2 ,...x λ λ∀ ∈ Deci ( ) ( )0 f x x += ∀ ∈ R .

CAPITOLUL 2 PRIMITIVE

1. Primitive. Definiţie. Proprietăţi Definiţia 2.1.1. Fie I ⊂ R interval şi :f I → R o funcţie reală de variabilă

reală. Se spune că f admite primitive (este antiderivabilă) dacă există :F I → R derivabilă astfel încât ( ) ( ) ( )' , .F x f x x I= ∀ ∈ Funcţia F se numeşte primitiva sau antiderivata funcţiei f . Mulţimea tuturor primitivelor funcţiei ( )f x se notează:

( )f x dx∫ ; În locul intervalului I se poate considera o reuniune de intervale nedegenerate. Mulţimea tuturor funcţiilor ( )f x care admit primitive se notează a(I). Primitiva unei funcţii este tot funcţie, pe când integrala unei funcţii este un număr. Prin abuz de limbaj, mulţimii tuturor primitivelor funcţiei ( )f x i se spune integrală din ( )f x .

Propoziţia 2.1.1. Fie I ⊂ R un interval şi :f I → R o funcţie care admite primitive. Atunci orice două primitive ale funcţiei f diferă printr-o constată. Demonstraţie: Fie 1F şi 2F primitive ale funcţiei ( )f x atunci ( ) ( )'

1F x f x= şi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )'' ' '2 1 2 2 1 2 10 0F x f x F x F x F x F x F x F x C= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = .

Observaţia 2.1.1. Dacă I se înlocuieşte cu o reuniune de intervale, atunci propoziţia 2.1.1. nu mai este în general adevărată.

Propoziţia 2.1.2. Fie :f I → R o funcţie reală de variabilă reală; f admite primitive dacă şi numai dacă oricare ar fi ,K I K⊂ interval compact, funcţia :f K → R admite primitive. Dacă funcţia ( )f x admite integrală definită pe intervalul [ ],a b , atunci ea este

integrabilă şi pe [ ] ( ) [ ], , ,a x x a b∀ ∈ şi în acest mod, pornind de la ( )b

af x dx∫ , prin

înlocuirea limitelor de integrare b cu x , se obţine funcţia integrală

( ) ( )x

aF x f t dt= ∫ .

Propoziţia 2.1.3. a) Dacă ( )f x este integrabilă în intervalul [ ],a b atunci funcţia

( ) ( )x

aF x f t dt= ∫ este continuă pe [ ],a b .

b) Dacă funcţia ( )f x este continuă în punctele [ ], ,t x x a b= ∈ atunci

funcţia ( )F x este derivabilă în t x= şi are loc egalitatea: ( ) ( )'F x f x= . Demonstraţie: a) Fie h∈ R astfel încât [ ],x h a b+ ∈ .

Atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x h x x h x h

a a x xF x h f t dt f t dt f t dt F x h F x f t dt

+ + ++ = = + ⇒ + − =∫ ∫ ∫ ∫

Se trece la limită în această egalitate şi se obţine:

( ) ( ) ( )0 0

0x h

xh hF x h F x f t dt

+

→ →⎡ ⎤+ − = =⎣ ⎦ ∫lim lim . Deci ( ) ( )

0lim 0h

F x h F x→⎡ ⎤+ − =⎣ ⎦ ceea

ce arată că F este continuă în [ ],t x a b= ∈ .

Cum t x= arbitrar atunci F continuă pe [ ],a b .

b) Deoarece ( )f x este continuă, atunci pentru integrala ( )x h

xf t dt

+

∫ se poate

aplica prima formulă de medie. Conform acesteia, există [ ],x x hξ ∈ + şi astfel încât:

( ) ( )x h

xf t dt f hξ

+=∫

Deoarece funcţia ( )f x este continuă pe [ ],x x h+ , ea are proprietatea lui

Darboux pe acest compact şi atunci oricare ar fi [ ],m Mμ ∈ există

[ ],x x hξ ∈ + astfel încât ( )fμ ξ∈ , ,m M reprezintă minimul respectiv maximul

funcţiei ( )f x pe intervalul[ ],x x h+ . Deci va avea loc egalitatea:

( )x h

xf t dt hμ

+=∫

Pentru ca funcţia ( )F x să fie derivabilă în punctul t x= , trebuie ca

( ) ( )0h

F x h F xh→

+ −lim să existe şi să fie finită. Cum

( ) ( )F x h F xh

μ+ −

= care este

constantă, atunci există limita raportului şi această limită este finită.

Deci ( ) ( ) ( )

0 0 0

x h

x

h h h

f t dtF x h F x hh h h

μ μ

+

→ → →

+ − ⋅= = =∫lim lim lim (1)

Cum funcţia ( )f x este continuă atunci ( )f x este mărginită şi îşi atinge

marginile pe compactul [ ],x x h+ . Deci ,m M sunt numere reale finite.

Dar [ ],m Mμ ∈ atunci μ este finit şi funcţia ( )F x este derivabilă.

( )f x continuă în ( ) 0t x ε= ⇒ ∀ > , există ( ) 0δ ε > astfel încât:

( ) ( ) ( ) ( )h h f x m M f xδ ε ε μ ε∀ < ⇒ − < < < < + .

Dar aceste inegalităţi sunt echivalente cu: ( ) ( )0h

f x f xμ ε μ→

− < ⇒ =lim (2)

Din (1) şi (2) ⇒ ( ) ( )'F x f x= .

Observaţia 2.1.2. Conform punctului b) al propoziţia 2.1.3 ( ) ( ) [ ], ,x

aF x f t dt x a b= ∈∫

este primitivă a funcţiei ( )f x pe [ ],a b . Această primitivă este considerată ca o

primitivă de bază a funcţiei ( )f x . De asemenea, propoziţia pune în evidenţă proprietatea de continuitate şi derivabilitate ale primitivei în orice punct al lui [ ],a b .

Propoziţia 2.1.4. Fie :f I → R . Dacă f continuă atunci f admite primitive. Propoziţia 2.1.5. Fie :f I → R o funcţie care admite primitive atunci f are

proprietatea lui Darboux. Observaţia 2.1.3. Fie [ ]C I mulţimea funcţiilor continue pe intervalul I , ( )a I

mulţimea funcţiilor care admit primitive pe intervalul lui I şi ( )D I mulţimea funcţiilor care au proprietatea lui Darboux pe I . Conform cu propoziţia 2.1.4. şi propoziţia 2.1.5. se obţine [ ] ( ) ( )C I a I D I⊂ ⊂ .

Algoritm pentru studiul existenţei primitivelor 1) Se studiază continuitatea lui ( )f x pe intervalul I . a) f continuă pe I atunci f admite primitive; STOP ; b) f discontinuă pe I . Se continuă studiul; 2) a) Dacă discontinuităţile sunt de speţa întâi (f nu are proprietatea lui

Darboux), ( )f D I∉ atunci f nu admite primitive; STOP; b) Dacă discontinuităţile sunt de speţa a-II-a se continuă studiul;

3) Ţinând cont că dacă ( )F x este primitivă a lui ( )f x atunci ( ) ( )'F x f x= Se construieşte o funcţie ( )F x care să satisfacă această proprietate. Ţinând cont de propoziţia 2.1.3., această funcţie trebuie să fie continuă şi derivabilă pe I . Se studiază continuitatea şi derivabilitatea funcţiei ( )F x . Dacă ambele proprietăţi sunt verificate, ( )F x este o primitivă a funcţiei f . Dacă cel puţin una din aceste proprietăţi nu este îndeplinită, atunci ( )F x nu este primitivă a lui f şi deci alta nu poate exista.

Propoziţia 2.1.6. (Formula lui Leibnitz-Newton) Dacă [ ]: ,f a b → R este integrabilă pe [ ],a b

rezultă: ( ) ( ) ( ) ( )b

a

af x dx x b a

b= Φ = Φ −Φ∫ , unde ( )xΦ este primitivă a lui

( )f x . Demonstraţie:

Din ipoteză, ( )xΦ este primitivă a lui ( )f x atunci ( ) ( )' x f xΦ = .

Conform cu propoziţia 2.1.3., ( ) ( )x

aF x f t dt= ∫ primitivă a lui ( )f x ,

( ) [ ],x a b∀ ∈ . Conform cu Propoziţia 2.1.1., ( ) ( )x F x CΦ = + , sau ( ) ( )x C F xΦ − = . Din această egalitate rezultă:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0a

ab

b aa

F a f t dtC a

F a a C f t dt b af t dt b C

F b b C

⎧ = =⎪ ⎧ = Φ⎪ ⎪= Φ − ⇔ ⇒ = Φ −Φ⎨ ⎨= Φ −⎪ ⎪⎩= Φ −⎪⎩

∫∫

∫

Observaţia 2.1.4. Propoziţia 2.1.6. face legătura între integrala definită şi primitivă. De aceea pentru a putea calcula integrale definite trebuie cunoscute cât mai multe procedee de găsire a primitivelor.

Propoziţia 2.1.7. (Proprietatea de liniaritate a primitivelor)

Fie [ ]: ,if a b → R funcţii ce admit primitive pe [ ],a b , 1,i n= şi

{ }( ) 1,i 0 i nα ∈ ∀ =R \ .

Atunci funcţia ( )1

n

i ii

f xα=

⋅∑ admite primitive pe [ ],a b şi are loc egalitatea:

( ) ( )1 1

n n

i i i ii i

f x dx f x dxα α= =

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ .

2. Metode de calcul a primitivelor Propoziţia 2.2.1. Fie :u I J→ şi :f J → R ( I şi J intervale). Dacă:

1) u este derivabilă pe I , 2) f admite primitive pe J , atunci funcţia ( ) ( )' :f u x u x I⎡ ⎤ ⋅ →⎣ ⎦ R admite primitive şi are loc egalitatea:

( ) ( ) ( )'f u x u x dx F u x C⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ , unde ( ) ( )'F x f x= . Egalitatea din propoziţia 2.2.1. se numeşte prima formulă de schimbare de

variabilă. Propoziţia 2.2.2. Fie :u I J→ şi :f J → R . Dacă: 1) f continuă pe J ; 2) u inversabilă şi v inversa ei; 3) v admite derivată continuă pe J astfel încât ( ) ( ) ( )'f x x dx F x C⋅ = +∫ 'v , unde ( ) ( )'F x f x= ,

atunci ( ) ( )f u x dx F x C⎡ ⎤ = +⎣ ⎦∫ - a doua formulă de schimbare de variabilă Propoziţia 2.2.3. (Integrarea prin părţi)

Fie : :f g I → R , funcţii ce admit primitive pe I . Dacă ,f g sunt derivabile şi au derivatele continue pe I atunci sunt integrabile şi are loc egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'f x g x dx f x g x f x g x⋅ = −∫ ∫ . Demonstraţie:

,f g derivabile atunci ,f g derivabilă şi ( )' ' 'fg f g fg= + . Integrând această

egalitate se obţine ( )' ' 'f g dx f gdx fg dx⋅ = +∫ ∫ ∫ .

Deci ' 'f g f gdx fg dx⋅ = +∫ ∫ Observaţia 2.1.5 Dacă funcţiile f şi g sunt derivabile de n ori pe I şi au derivatele

până la ordinul n inclusiv, continue, atunci are loc egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1

0

1 1kn

nn k n k n

k

f x g x dx f x g x dx f x g x dx−

− −

=

⋅ = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅∑∫ ∫ ∫

numită formula de integrare prin părţi generalizată. Folosind aceste metode şi un tabel de primitive imediate, se pot determina primitivele unui mare număr de funcţii. În continuare se dă tabelul primitivelor imediate.

Tabelul primitivelor imediate

1. ( ) ( ) ( )1' ; -1, 0

1

aa u x

u x u x dx C a ua

+

⋅ = + ≠ >+∫

2. ( )( ) ( )

'

ln ; 0, 1u x

dx u x C a au x

= + > ≠∫

3. ( ) ( )( )

' ; 0, 1ln

u xu x aa u x dx C a a

a⋅ = + > ≠∫

4. ( )

( )( )( )

'

2 2

1 ln ; u , 02

u x u x adx C a a

a u x au x a−

= + ≠ ± ≠+−∫

5. ( )

( )( )'

2 2

1 ; 0u x u x

dx C aa au x a

= + ≠+∫ arctg

6. ( )

( )( ) ( )( )

'2 2

2 2ln ; 0

u xdx u x u x a C a

u x a= + + + ≠

+∫

7. ( )

( )( ) ( )

'2 2 2 2

2 2ln ; 0,

u xdx u x u x a C a u a

u x a= + − + ≠ >

−∫

8. ( )

( )( )'

2 2; 0,

u x u xdx C a a u a

aa u x= + > − < <

−∫ arcsin

9. ( ) ( ) ( )' u x u x dx u x C⋅ = − +∫ sin cos

10. ( ) ( ) ( )' u x u x dx u x C⋅ = +∫ cos sin

11. ( )( ) ( ) ( ) ( )

'

2 ; 2 1 , 2cos

u xdx u x C u x k x I

u xπ

= + ≠ + ∈∫ tg

12. ( )( ) ( )

'

2 ; , u x

dx u x C u k x Iu x

π= − + ≠ ∈∫ ctgsin

13. ( ) ( ) ( ) ( )' ; 2 1 , 2

u x u x dx C u n x Iπ⋅ = − + ≠ + ∈∫ ln cos u xtg

14. ( ) ( ) ( )' ; , u x u x dx C u k x Iπ⋅ = + ≠ ∈∫ ctg ln sin u x Definiţia 2.2.1. Se numeşte funcţie raţională de k variabile câtul a două

polinoame de k variabile, k ≥ 2. Un polinom de două variabile u şi v este o

funcţie :f →2R R prin ( ), n

iij

j j nf u a u

+ =

= ⋅∑ jv v n fiind gradul polinomului, iar

ija numere reale. Definiţia 2.2.2. Fracţiile:

( ) 2, , n

A A Mx Nx a ax bx cx a

+− + +−

şi ( )2

, nMx N

ax bx c

+

+ +2 4 0b acΔ = − <

se numesc fracţii simple. Propoziţia 2.2.4. Fie ( )Q x un polinom astfel încât ( ) ( ) ( )1

kQ x x a Q x= − ⋅ . Dacă

( )1 0Q a ≠ şi ( )P x un polinom astfel încât grad ( ) ( )P x x< grad Q atunci are loc

egalitatea: ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )1

1

*k k

P x P xAQ x x a x a Q x

= +− − ⋅

Demonstraţie: Egalitatea ( ) * este adevărată dacă există a∈ R şi ( )1P x -un polinom astfel încât ( ) ( ) ( ) ( )1 1P x AQ x x a P x− = − (1). Din această egalitate rezultă:

( ) ( ) ( )( )1

1

0P a

P a AQ a AQ a

− = ⇒ =

şi cum ( )1 0Q a ≠ , numărul A este bine determinat. A astfel determinat se înlocuieşte în (1) şi astfel se va determina polinomul ( )1P x .

Propoziţia 2.2.5. Fie ( )Q x un polinom astfel încât ( ) ( ) ( )21

kQ x x px q Q x= + + ⋅ . Dacă

2 4 0p qΔ = − < şi polinomul ( )1Q x nu se mai divide la 2x px q+ + atunci are loc egalitatea:

( )( )

( )( ) ( )2 12

1

k

P x R xMx NQ x x px q x px q Q x

−

+= +

+ + + + ⋅.

unde ( )P x este un polinom astfel încât grad ( ) ( )P x Q x< grad . Demonstraţie:

Egalitatea este adevărată dacă există ,M N ∈ R şi un polinom ( )1P x astfel

încât: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1P x Mx N Q x x px q P x− + = + + . Din această egalitate, ca şi în

propoziţia 2.2.4. se va determina M şi N . Cu M şi N determinate va rezulta polinomul ( )1P x .

Propoziţia 2.2.6. Fie ( )( )

P xQ x

o funcţie raţională astfel încât ( ) ( )P x Q x< grad . Atunci

ea poate fi reprezentată ca o sumă algebrică finită de fracţii simple. Demonstraţie:

Într-adevăr, afirmaţia rezultă imediat dacă se aplică în mod succesiv propoziţia 2.2.4. şi propoziţia 2.2.5.

Coeficienţii care apar în descompunerea lui ( )( )

P xQ x

într-o sumă finită de fracţii

simple se determină folosind de obicei metoda coeficienţilor nedeterminaţi, dar această metodă atunci când ( )Q x are gradul mare conduce la calcule lungi şi de aceea, această metodă se va combina cu următoarele:

Dacă:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 2 1 1 2

2 2 21 1 2 2

... ...

... ... nn

n n n

Q x x a x a x a x b x b

x b x p x q x p x q x p x q

α α

β β βα

= − − − − −

− + + + + + +

unde iα şi iβ 1,i n= sunt numere naturale şi 2 4 0, 1,i i ip q i nΔ = − < = atunci conform cu propoziţia 2.2.6.se obţine: ( )( ) ( ) ( )

1 1

21 1 0 1 0

j jj j j

j j

j j jl n ni i i

i ii j i j ii j j j

B C x DP x AiQ x x a x b x p x q

α βα β β

α β

− −− − −

− −= = = = =

⋅ += + +

− − + ⋅ +∑ ∑∑ ∑∑ (1)

Exemplu: ( ) 2 1P x x= +

( ) ( )( )( ) ( ) ( )33 2 21 2 3 1 1Q x x x x x x x= − − − + + +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 2 2231 2 2 1 2 1

3 2 2

1 1 13 3 2 2 1 1

3 2 22 2

12 2 3 13 3 1

11 1

BA A B B B BxQ x x x x xx x x

C x D C x D C x Dx xx x x x

+= + + + + + + +

− − − +− − +

+ + ++ + +

+ ++ + + +

Coeficienţii corespunzători rădăcinii reale simple se pot calcula direct după formula:

( ) ( )( )

ii

i

x a P xA

x aQ x− ⋅

==

(2)

Coeficienţii corespunzători rădăcinii reale şi multiple se pot calcula după

formula:

(3)

Demonstraţia formulelor (2) şi (3) rezultă în mod direct din scrierea lui ( )( )

P xQ x

ca sumă de fracţii simple Exemplu: ( ) 2 1P x x= +

( ) ( )( )( ) ( )23 21 2 1 1Q x x x x x x= − + − + + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' 1' ' ' '3 3 21 2 2 1 2 2 1 1

3 2 3 2 22 21 2 1 11 1 1 1

P x B C x DA A B B C x D C x DQ x x x x x xx x x x x x

+ + += + + + + + + +

− + + + ++ + + + + +

( )

( )( ) ( )

2

1 23 2

1 11 1082 1 1

xA

xx x x x

+= =

=+ + + +,

( ) ( )( )

( )

1!

i

j

k

jjk

x b P xB

k Q x

α

α −

⎡ ⎤−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( ) ( )2

2 23 2

1 32 271 1 1

xAxx x x x

+= =

= −− + + +, etc.

Coeficienţii găsiţi cu ajutorul formulelor (2) şi (3) se înlocuiesc în formula (1) şi coeficienţii rămaşi nedeterminaţi corespunzători rădăcinilor complexe se determină prin identificare.

Propoziţia 2.2.7. Fracţiile simple sunt funcţii raţionale ce admit primitive pe domeniul lor de definiţie şi acestea sunt:

a) ( ) ( ) 1

1 .1n n

A Adx Cnx a x a −= ⋅ +

−− −∫

b) ( )

.n

A dx A x a Cx a

= ⋅ − +−∫ ln

c) ( )22

2N-pM 2+2 -

Mx N M xdx x px q Cx px q

ρ+ += ⋅ + + +

+ + Δ −Δ∫ ln arctg

2 4 0p qΔ = − <

d) Fie ( )2 2n n

dxFx a

=+

∫

Atunci are loc următoarea relaţie de recurenţă:

( ) ( ) 12 1 22 2

1 1 2 32 22 2n nn

x nF Fna n ax a

−−

−= ⋅ + ⋅ ⋅

−− +

Demonstraţie: Se foloseşte direct tabelul primitivelor imediate ( ),a b sau se fac descompuneri

adecvate şi după aceea se foloseşte tabelul primitivelor imediate ( ),c d .

3. Primitive reductibile la primitive de funcţii raţionale Propoziţia 2.3.1. Fie ( )1 2, , ,..., knn nR x ax b ax b ax b dx+ + +∫ , unde R este o funcţie

raţională de 1k + variabile. Dacă se face substituţia 1n ax b t+ = , unde ( )1 2, ,..., kn n n n= este c.m.m.m.c. al numerelor 1 2, ,..., kn n n atunci primitiva se

transformă într-o primitivă de funcţie raţională. Demonstraţie:

1 1n

n n nt b nt ax b ax b t x dx t dta a

−−= + ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ⋅ .

nii

nn tax b t+ = , , 1,i

i

n p N i kn

= ∈ =

Cu aceste rezultate se obţine:

( ) ( )1 2 1 2 11, , ,..., , , ,...,k k

nnn n pp p nn t b nR x ax b ax b ax b dx R t t t t dt R t dt

a a a−⎛ ⎞−

+ + + = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫unde ( )1R t este o funcţie raţională.

Propoziţia 2.3.2. Fie , Ax bR X dxCx D

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ , unde R este o funcţie raţională de două

variabile.

Dacă se face substituirea Ax BCx D

t++

= se ajunge la o primitivă de funcţie

raţională. Demonstraţie – Se procedează ca la propoziţia 2.3.1. Propoziţia 2.3.3. Fie ( )R x ax bx c dx+ +∫ 2, , unde R este o funcţie raţională de două

variabile şi 0ax bx c+ + >2 , ( ) x I∀ ∈ ; I intervalul pe care se consideră primitiva. Folosind una din substituţiile: 1° ; 0ax bx c t x a a+ + = + >2

2° ; c 0ax bx c t x c+ + = + >2

3° ( )1ax bx c t x x+ + = −2 unde 1x este rădăcina reală a ecuaţiei

0ax bx c+ + =2 , se ajunge la o primitivă de funcţie raţională. Substituţiile din propoziţia 2.3.3. se numesc SUBSTITUŢIILE LUI EULER. Demonstraţie – Se procedează ca la propoziţia 2.3.1.

Propoziţia 2.3.4. Fie primitivele px q dxax bx c

+

+ +∫ 2

şi ( )( )px q ax bx c dx+ + +∫ 2 .

Folosind una din substituţiile lui Euler sau substituţia 2bx ta

+ = , se ajunge la o

primitivă de funcţie raţională. Generalizare:

Fie primitiva ( )P x

dxax bx c+ +

∫ 2, unde ( ) 2P x ≥grad . Pentru a determina

această primitivă se foloseşte egalitatea: ( ) ( )

P x dxdx Q x ax bx cax bx cax bx c

λ= + + + ⋅+ ++ +

∫ ∫222

(4)

unde ( )Q x este un polinom cu coeficienţi nedeterminaţi astfel încât grad

1Q P= −grad şi λ ∈ R . Coeficienţii lui ( )Q x precum şi λ se determină prin metoda identificării aplicată în egalitatea ce se obţine prin derivarea egalităţii (4).

Propoziţia 2.3.5. (Integrale binoame sau de tip Cebîşev) Fie primitiva ( ) pm nx ax b dx+∫ , unde , ,m n p∈Q . Folosind una din substituţiile:

1° ( )1

n sx y= , dacă p∈ şi 1mn+ este o fracţie cu numitorul

( ), 1/ /s m n r s+ = .

2° ( )1

n sa x b y⋅ + = dacă 1/m n+ ∈ iar rps

= .

3° ( )1

n sa b x y+ ⋅ = dacă 1m pn+

+ ∈ şi rps

= , se ajunge la o primitivă de

funcţie raţională.

Propoziţia 2.3.6. (Primitive trigonometrice) Fie primitiva ( ),R x x dx∫ sin cos unde R este o funcţie raţională de două

variabile. Dacă se face substituirea 2x t=tg se ajunge la primitiva unei funcţii

raţionale. Demonstraţie

2

22 2 1x dtt x t dx

t= ⇒ = ⇒ =

+tg arctgt ; 2

21

txt

=+

sin ; 2

2

11

txt

−=

+cos

Ţinând cont de aceste relaţii se obţine:

( ) ( )2

2 2 2

2 12 , 21 1 1

t t dtR x, x dx R R t dtt t t

⎛ ⎞−= =⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠∫ ∫sin cos 1 . ( )R t1 funcţie raţională

în variabila t .

Observaţia 2.3.1. Matematicianul rus Cebîşev a arătat că dacă 1, mpn+ şi 1m p

n+

+

nu sunt numere întregi nici unul, atunci integrala binomă ( ) pm nx ax b dx+∫ nu poate fi calculată prin mijloace elementare (quadraturi), ea calculându-se prin dezvoltări în serie sau alte procedee.

Observaţia 2.3.2. În cazul în care gradul numitorului funcţiei raţionale R este mare,

substituţia 2x t=tg conduce la integrala unei funcţii raţionale al cărui numitor

are gradul foarte mare şi calculul acesteia este foarte lung. De aceea, această substituţie se combină cu următoarele:

1° Dacă ( ) ( )R x, x R x, x= −-sin cos sin cos (funcţia R este impară în sin) se face

substituţia x = tcos , care în aceste condiţii conduce la o integrală de funcţie raţională.

2° Dacă ( ) ( )R x,- x R x, x= −sin cos sin cos se face substituţia

3° Dacă ( ) ( )R x,- x R x, x=-sin cos sin cos se face substituţia sau chiar unde p se determină de la caz la caz.

4. Exerciţii rezolvate 1. Să se cerceteze dacă funcţiile următoare admit primitive:

a) :f →R R , ( ) [ ]f x x=

x t=sin

x t=tg px t=tg

b) :f →R R , ( )1, 00, 0

1, 0

xf x x

x

>⎧⎪= =⎨⎪− <⎩

c) :f →R R , ( ), 0

1 1 , 0

x xf x

xx x

≤⎧⎪= ⎨

− >⎪⎩sin cos

d) :f →R R , ( ) 3

, , \

x xf x

x x∈⎧

= ⎨∈⎩ QQ

R

e) :f →R R , ( )sin , 0

1, 0

x xf x x

x

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

f) :f →R R , ( )2

1

2

1 , 0

0, 0

xe xf x xx

−⎧⎪ ⋅ ≠= ⎨⎪ =⎩

Rezolvare: Fie ( )C I = mulţimea funcţiilor continue pe I .

( )a I = mulţimea funcţiilor care admit primitive pe I . ( )D I = mulţimea funcţiilor care admit proprietatea lui Darboux pe I .

Atunci ( )C I ⊂ ( )a I ⊂ ( )D I (*) a) Fie I ⊂ R .Deci ( )f I nu este interval. Atunci ( ) [ ]f x x= nu are proprietatea

lui Darboux pe I . Deci conform cu (*), f nu admite primitive pe I . b) Se observă că ( ) { }1,0,1f = −R . Deci ( )f R nu este interval. Conform cu (*),

( )f x nu admite primitive.

c) Se observă că '1 1 1 1sinx

x x x x⎛ ⎞⋅ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

sin cos . De asemenea se observă că o

primitivă a funcţiei ( )f x ar fi de forma ( )

2

, 02

1 , 0

x C xF x

x C xx

⎧+ ≤⎪⎪= ⎨

⎪ ⋅ + >⎪⎩

sin. Pentru ca

( )F x să fie primitivă trebuie ca ea să fie derivabilă în 0x = . Dar

( ) ( )0

0

0 1x o xx

F x FX x→ →

>

−=lim limsin nu există, rezultă că nu există ( )' 0sF . Cum ( )F x nu

este derivabilă în 0x = , ( )F x nu este primitivă a lui ( )f x . Deci ( )f x nu admite primitive pe R .

d) Se consideră intervalul 2, 3I ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ . Se observă că 4 2 2,3 3⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦ şi nu

există Iα ∈ astfel încât ( ) 4f α = . Deci funcţia f nu are proprietatea lui

Darboux. Atunci conform cu (*), ( )f x nu admite primitive.

e) Deoarece ( )0

1l 1 0x

x fx→

⋅ = =im sin , funcţia f este continuă pe R . Atunci

conform cu (*) admite primitive pe R . f) Se procedează analog ca la e) şi se obţine că f admite primitive. 2. Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii:

a) ( ) 2 4f x x= − , ( )2,x∈ ∞ .

b) ( ) 2 2 1f x x x= + , x∈ R .

c) ( ) 3 2 1f x x x= + , x∈ R Rezolvare:

Dacă , :f g J → R sunt continue pe J , atunci 'f g⋅ şi 'g f⋅ admit primitive pe J şi are loc egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'f x g x dx f x g x f x g x dx⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫ (*)

a) ( )2

'2 2 2

24 4 4

4

xI x dx x x dx x x dxx

= − = − = − − ⇒−

∫ ∫ ∫

( )( )

2 2 2 2

2

2 2

4 4 4 4 4 44

1 4 42

dxI x x x dx I x x I x x Cx

I x x x x C

= − − − − ⇒ = − − − + − + ⇒−

⇒ = − − + − +

∫ ∫ ln

ln

b) ( )'

32 2 211 13

I x x dx x x dx⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

( ) ( )2 2 2 21 11 1 1 13 3

x x x x x dx= ⋅ + + − + ⋅ + ⇒∫

( )2 2 21 1 11 1 13 3 3

I x x x I x dx⇒ = ⋅ + + − − +∫ (1)

( )2

'2 2 2

2

2

2

1 1 11

11

xK x dx x x dx x x dxx

dxK x x Kx

= + = + = + −+

⇒ = + − + ⇒+

∫ ∫ ∫

∫

( )2 21 11 12 2

K x x x x⇒ = + + + +ln (2)

Din (1) şi (2) ( ) ( )2 2 2 24 1 1 11 1 1 13 3 6 6

I x x x x x x x C= + + − + − + + ⇒ln

( ) ( )2 2 2 21 1 11 1 1 14 8 8

I x x x x x x x C⇒ = + + − + − + +ln

c) ( )'

33 2 2 211 13

I x x dx x x dx⎛ ⎞= ⋅ + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 21 1 1 13 3

1 2 21 1 13 3 3

5 1 11 1 1 13 3 3

x x x x x x dx

I x x x I x x dx

I x x x x d x

= ⋅ + + − ⋅ + ⋅ + ⇒

⇒ = ⋅ + + − − + ⇒

⇒ = ⋅ + + − + ⋅ +

∫

∫

∫

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

5 1 21 1 1 13 3 9

1 21 1 1 15 15

I x x x x x C

I x x x x x C

= ⋅ + + − + + + ⇒

⇒ = ⋅ ⋅ + + − + + +

3. Să se calculeze:

a) 2

4

1 , 1

x dx xx

+∈

+∫ R

b) 2

4

1 , 1

x dx xx

−∈

+∫ R

c) 4 , 1

dx xx

∈+∫ R

Rezolvare:

a) 2 2 2

4 22

2

1 11 1111 1 2

x x xdx dx dxx x xx x

+ ++= =

+ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

Se face substituţia 2

1 1x t x dx dtx x

⎛ ⎞− = ⇒ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

4 2

1 1 1 11 2 2 2 2 2

x dt t xdx C Cx t x

+ −= = + = +

+ − ⋅∫ ∫ arctg arctg

b) 2 2

4 2

1111 1 2

x xdx dxx

xx

−−=

+ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

Se face substituţia 2

1 11x t dx dtx x

⎛ ⎞+ = ⇒ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

4 2 2

1 1 2 1 2 1ln ln1 2 2 2 2 2 2 2 1

x dt t x xdx C Cx t t x x− − − +

= = + = +− − + + +∫ ∫

c) 2 2

4 4 4

1 1 1 12 21 1 1

dx x xdx dxx x x

+ −= −

+ + +∫ ∫ ∫

Ţinând cont de această egalitate se folosesc punctele a) şi b). Se poate folosi şi descompunea în fracţii simple, dar calculele pentru determinarea coeficienţilor sunt foarte lungi.

4. Să se calculeze: a) 21I x dx= +∫ , x∈ R

b) 2 3 2I x x dx= − +∫ , ( )2,x∈ ∞

c) 2 3 2I x x dx= − + −∫ , ( )1,2x∈ Rezolvare: a) Dacă se folosesc substituţiile lui Euler se obţin calcule lungi.

( )2'2 2 2

21 1 1 2

1

x dxI x dx x x dx x xx

= + = ⋅ + = ⋅ + −+

∫ ∫ ∫

( )( )

2 2

2

2 2

2 2

1 11

2 1 1

1 11 12 2

dxI x x x dxx

I x x x x C

I x x x x C

⇒ = + − + + ⇒+

⇒ = ⋅ + + + + + ⇒

⇒ = ⋅ + + + + +

∫ ∫

ln

ln

b) Dacă se folosesc direct substituţiile lui Euler, se ajunge la o integrală raţională care necesită calcule lungi, de aceia mai întâi se aplică integrarea prin părţi.

( )( )

( )

'2 2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

3 2 3 2

2 313 22 3 2

1 2 6 3 4 43 22 3 2

2 3 2 3 413 22 3 2

43 33 22 3 2

12 33 33 24 3 2

2 3

I x x dx x x x dx

x xx x x dx

x xx x xI x x x dx

x xx x x

x x x dxx x

xx x x I dx

x x

xI x x x I dx

x x

I x x

= − + = ⋅ − + =

−= − + − ⇒

− +− + + −

= − + − =− +

− + + −= − + − =

− +

−= − + − − ⇒

− +

− +⇒ = − + − − ⇒

− +

⇒ = −

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

2 2

3 2 3 124 43 2 3 1

2 4

x dxx dxx x

x

−+ − −

− + ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

2 2 23 1 2 32 3 2 3 2 ln 3 22 4 2

xI x x x x x x x C−⎛ ⎞= − + − − + − + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 22 3 1 2 33 2 ln 3 24 8 2

x xI x x x x− −⎛ ⎞= − + − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Şi în acest caz, dacă se folosesc substituţiile lui Euler, se ajunge la o integrală raţională care necesită foarte multe calcule, de aceia se foloseşte integrarea prin părţi.

( )2

' 2 2

2

22

2

2

2

2

2 2

1 2 33 2 3 22 3 2

1 2 6 4 3 43 22 3 2

1 3 43 22 3 2

3 2 3 12 3 24 43 2 3 2

x xI x x x dx x x x dxx x

x x xx x x dxx x

xI x x x I dxx xx dxI x x x dx

x x x x

− += ⋅ − + − = − + − − =

− + −− + − − +

= − + − − ⇒− + −

− +⇒ = − + − − − ⇒

− + −− +

⇒ = − + − − + ⇒− + − − + −

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

2 2

2

2 2

2

2

3 12 3 2 3 22 4 3 23 12 3 2 3 22 4 1 3

4 23

2 3 1 23 214 82

dxI x x x x xx x

dxI x x x x x

x

xxI x x C

⇒ = − + − − − + − + ⇒− + −

⇒ = − + − − − + − + =⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

−−= = − + − + +

∫

∫

arcsin

5. Să se calculeze

a) ( )( )( )( ) ( )1 2 3 4 ... 100

dxx x x x x x⋅ + + + + +∫

b) ( )

( ) ( )2

3 2

1

1 3 2

x dx

x x x

+

+ + +∫

c) 2

4 2

11

x dxx x

++ +∫

Rezolvare:

a) ( )

100

1000

0

1 k

k

k

Ax kx k =

=

=++

∑∏

( )( ) ( )0 0

1 101 2 ... 100 100!

A Axx x x

= ⇒=+ + +

( ) ( ) ( )1 1

1 112 ... 100 1! !99!

A Axx x x

= ⇒= −+ + −

( )( ) ( )2 2

1 121 2 ... 100 2!98!

A Axx x x x

= ⇒= −+ + +

( )( )( ) ( )2 3

1 131 2 4 ... 100 3!97!

A Axx x x x x

= ⇒= −+ + + + −

Se poate observa că ( ) ( )

11 ! 100 !

k kAk k

=− ⋅ ⋅ −

Deci ( )

( ) ( )100

1000

0

11 ! 100 !1

k

k

k

k kx kx k =

=

− ⋅ −=

++∑

∏

Atunci ( ) ( ) ( )

100

0

0

11 ! 100 !n k

k

k

dx dxx kk kx k =

=

= =+− ⋅ ⋅ −+

∑∫ ∫∏

( ) ( )

100

0

11 ! 100 !k

kx k C

k k=

= ⋅ + +− ⋅ ⋅ −

∑ ln

b) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

3 42

1 11 3 2 1 2

x xx x x x x

+ +=

+ + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

234 2 1

4 4 3 2

12 11 2 1 1 1

BB B Bx Ax xx x x x x

+= + + + +

+ ++ + + + +

( ) ( )

2

4 4

1 4 1 521 1

xAxx

+ += = =

= −+ −

2

41 2

12xB

xx+

= == −+

; ( )

'2 2

3 2

1 4 1 41 12 2

x x xBx xx x

⎛ ⎞+ + −= = = −⎜ ⎟ = − = −+ +⎝ ⎠

( ) ( )

'2

2 2 3

1

1 4 1 1 10 512 22 2

x

x xBxx x

=−

⎡ ⎤⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎢ ⎥ = −+ +⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )

1

1 3 4

1

5 1 5 3 513! 6 22 2

x

Bxx x

=−

⎡ ⎤ −⎢ ⎥= = = −

= −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

S-a folosit formula( ) ( )( ) ( )

( )4 2

4 4

1

1 21 k=0,1,2,3! 1 2

k

k

x

x xB

k x x−

=−

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥=⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

3 4 3 22

3 2

3 2

1 5 2 2 4 51 3 2 1 1 1

5 2 1 1 1 55 2 2 5 12 1 3 1 21 1

2 2 1 1 15 2 53 11 11

x dx dx dxdx xx x x x x x

dx x x Cx xx x

x Cxx xx

+= + + − + −

+ + + + + +

− = + − ⋅ + − − + + =+ ++ +

+= − + − +

++ ++

∫ ∫ ∫ ∫

∫

ln

ln ln

ln

c) ( )( )

2 2

4 2 2 22 2

1 11 1 11 1

x x Ax B Cx Dx x x x x xx x x x

− − + += = + ⇒

+ + + + − ++ + − +

( )( ) ( )( )2 2 21 1 1

01

01

x Ax B x x Cx D x x

A CA B C D

A B C DB D

⇒ − = + − + + + + + ⇒

+ =⎧⎪− + + + =⎪⇒ ⎨ − + + =⎪⎪ + =⎩

Rezolvând sistemul se obţin soluţiile: 1A = − , 12

B = − , 1C = , 12

D = − .

2

4 2 2 2

2 2

1 11 2 2

1 1 11 2 1 1 2 12 21 1

x xx dx dx dxx x x x x x

x xdx dxx x x x

− − −−= + =

+ + + + − ++ −

= − + =+ + − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )2 2

2

2

1 11 12 2

1 12 1

x x x x C

x x Cx x

= − + + + − + + =

− += +

+ +

ln ln

ln

6. Să se calculeze:

a)( )3 21 1

x dxx x− −

∫

b) ( )

3443

23

1 xdx

x

+∫

c) 5 33

dx

x x−∫

Rezolvare: a) Folosind substituţiile lui Euler se obţine:

( )( ) ( )2

2

11 1 11

tx x t x xt

−− − + = + ⇒ =

+; 1

1xtx

−=

+;

( )22

4

1

tdx dtt

=+

( ) ( )

4

2 43 2

131 1

x tdx dtt tx x

−=

+− −∫ ∫

( )

42 122 4 2 2

13 3 3

A At Bt C Dt Ettt t t at t at

− + += + + +

+ + + + +

4 12a =

unde: 213

A = − ; 1 0A = ; 23

Ba

= ; 0C = ; 23

Da

= − ; 0E =

Deci ( ) ( )

4

3 2 42

131 1

x tdx dtt tx x

−= =

+− −∫ ∫

2 2 2

2

2 22

4 4

4 44

1 2 2 3 3 33 3

1 1 3 2 23 3 3 23

1 1 112 3 2 121 1 1 21 1 1ln

13 1 3 12 1 1 3 12 2 3 212 3 11 1

dt t dt t dtdta at t at t at

t at at Ca a a tt at

x x xx x x x C

xt x x xxx x

= − + − =− + + +

− ++ + + =

−+ +

+ + +− +

+ − − −= + + ++− + + −+ ⋅ + −− −

∫ ∫ ∫

ln arctg

arctg

b) ( )

33443

2 3 43 4

23

11

xI dx x x dx

x

−+ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ .

Se observă că integrala este binomă cu 1 1m pn+

+ = şi atunci se face

substituţia ( )4

334 4 4

43

1 1x t x tx

−+= ⇒ = − , ( )

73 4 43 1dx t t dt

−= − ⋅ − .

Deci ( ) ( ) ( )( )

1 3 7 64 3 4 3 42 4 4

243 1 1 1 3

1

tI t t t t t dt dtt

−−

= − − ⋅ − ⋅ − = −−

∫ ∫ şi se calculează

prin descompunerea în fracţii simple.

c) 5 33

dx

x x−∫ , se face substituţia 5 3 5 3 33 x x y x x y− = ⇒ − = . Se taie această

curbă cu y tx= pentru a găsi o reprezentare parametrică. 3

3

1

1

x t

y t t

⎧ = +⎪⎨

= +⎪⎩

2

3

32 1

tdx dtt

=+

.

Cu aceste date, 35 33

3 2 1

dx t dttx x

=+−

∫ ∫ . Se calculează descompunând în fracţii

simple. Integrala de la punctul c) se mai numeşte şi integrală abeliană.

7. Să se calculeze:

a) dxx a−∫ sin sin

b) 22 2

dxx+ +∫ cos sinx

c) 6

dx dxx x+∫ 6cos sin

Rezolvare:

a) Se face schimbarea de variabilă 2

22 1x dtt dx

t= ⇒ =

+tg , 2

21

tt+

sinx = .

( )2

2

2

2 22

2

2 2

21 2

2 21

2 22 11

1 12

1 12

dtdx dtt

tx a a t t aat

dt dta a at t ta a a

a x ata aa a aCa x aa at tg

a a a

+= = =− − ⋅ + −−

+− −

= = =⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

+− − −

= + ==−

− + −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

sin sin sin sinsin

sin sin cossin sin sin

cos costgsin sinsin sin sinln lncos coscos cos

sin sin sin

C+

Altfel 1 2 2cos 2

2 2

x a x adx dx

x a x ax a a

+ −⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= =− +−∫ ∫

cos

sin sin sin cos

2

1 1 12 2 2ln22 2

2 2 2

x a x a x

dx dx Cx a x a xa a a

− + −

= + = +− + +∫ ∫

cos sin sin

cos cos cossin cos cos

b) Dacă se face schimbarea 2xtg t= se obţine:

2

2

2 2 22 2 2 2 1 2 2 2 1

2 2 1 2 2 12 2

2 2 1 2 2 22 2 1 2 2 1

dx dtx x t t

dt

t

= =+ + − +

+ +− −

= =− ⎛ ⎞⎛ ⎞

+ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

∫

cos sin

( )

( ) ( )

2 2 1 12 2 2 2 12 2 1 2 2

2 2 1 12 2 1 1 22 22 2

tC

xt

C C

− +−= + =

−

− +− += + = +

arctg

tgarctg arctg

Altfel: 22 2 2

4

dx dxx x x π

=⎛ ⎞+ + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫cos sin cos se face substituţia

4x uπ− = .

Deci 22

4

dx duux π

=+⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ coscos se face substituţia

2u t= ⇒tg 2

21

dtdut

=+

.

2

2 2

2

21 2

2 1 321

23 3

dtdu dtt

x t tt

t C

+= = =+ − +

++

= +

∫ ∫ ∫cos

arctg

Deci 2 2 83 32

4

xdx C

x

π

π

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= +

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫tg

arctgcos

CAPITOLUL 3 INTEGRALE IMPROPRII

În capitolul INTEGRALA DEFINITĂ s-a definit noţiunea ( )

b

af x dx∫ în

condiţiile în care intervalul [ ],a b este mărginit şi funcţia ( )f x este mărginită în

acest interval ( )b

af x dx∫ se poate defini şi fără a ţine cont de aceste restricţii şi

astfel se ajunge la noţiunea de integrală improprie. Pentru integralele improprii se deosebesc următoarele cazuri:

1) [ ],a b nemărginit şi f mărginită pe [ ],a b -integrală improprie de speţa întâi,

( ) ( ) ( ), ,b

af x dx f x dx f x dx

∞ ∞

−∞ −∞∫ ∫ ∫

2) [ ],a b mărginit şi ( )f x nemărginită pe [ ],a b -integrală improprie de speţa a doua,

Exemplu:( )

3

22 1dx

x x− −∫ ;

3) [ ],a b nemărginit şi ( )f x nemărginită pe [ ],a b -integrală improprie de speţa a treia.

Exemplu: ( )

3

22 1dx

x x− −∫

1. Integrala improprie. Proprietăţi generale. Definiţia 3.1.1. Fie ,a b∈ R astfel încât a b−∞ ≤ < ≤ +∞ şi ( ): ,f a b → R , o funcţie

local integrabilă pe ( ),a b .

Atunci ( )b

af x dx

−

+∫ se numeşte integrala improprie a funcţiei ( )f x pe

( ),a b . Observaţia 3.1.1.

a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , b c b a b

a a c c cc a b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

− − + −

+ +∀ ∈ = + = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

în cele ce urmează, teoria integralei improprii va fi dată pentru integrale de forma ( ) [ ], : ,

b

af x dx f a b

−→∫ R .

b) funcţia ( )f x este local integrabilă pe ( ),a b dacă este integrabilă în orice

interval compact inclus în ( ),a b .

Definiţia 3.1.2. Dacă ( )t

at bL f x dx

↑= ∫lim există şi este număr finit, atunci se spune

că integrala improprie ( ) b

af x dx

−

∫ este convergentă (are sens) şi are loc

egalitatea:

( )b

aL f x dx

−= ∫ .

În caz contrar ( L nu există sau este infinită), integrala improprie este divergentă sau fără sens.

Definiţia 3.1.3. Integrala improprie ( ) b

af x dx

−

∫ se numeşte absolut

convergentă dacă: ( ) b

af x dx

−

∫ este convergentă. Orice integrală improprie

convergentă dar nu absolut convergentă se numeşte semiconvergentă. Observaţia 3.1.2. Orice integrală improprie absolut convergentă este

convergentă. Reciproca nu este în general adevărată. Observaţia 3.1.3. După cum s-a observat, studiul convergenţei integralei

improprii cu ajutorul definiţiei definiţia 3.1.2. impune calculul primitivei ( )F x . În foarte multe cazuri, calculul acestei primitive este greu sau

imposibil. De aceea, în continuare, se vor da proprietăţi şi criterii necesare în studiul convergenţei integralei improprii fără a se folosi primitiva ( )F x .

Propoziţia 3.1.1.

a) Fie a b−∞ < < < +∞ şi p∈ *+R . Atunci

( )b

pa

dxb x

−

−∫ şi ( )

b

pa

dxx a+ −∫ sunt

convergente dacă ( )0,1p∈ şi divergente dacă 1p ≥ .

b) Fie a p∈şi *+R . Atunci pa

dxx

∞

∫ este convergentă dacă 1p > şi divergentă

dacă ( ]0,1p∈ . Demonstraţie:

a) ( )

b

pa

dxb x

−

−∫ , ţinând cont de ipoteză, este o integrală improprie de speţa

a doua.

( )( )

( ) ( )

( ) ( )1 1

1 1

p

p

p p

dxF x b x d b xb x

b x b xC C C

p p

−

− + −

= = − − =−

− −= − + = + ∈

− −

∫

R

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

1 1 1

1

1 1 1

, 0,11, 1

p p pb t

p pa at b t b t b

p

b x b a b atdx dxap p pb x b x

b app

p

− − −−

↑ ↑ ↑

−

− − −= = = − =

− − −− −

⎧ −⎪= ∈⎨ −⎪±∞ >⎩

∫ ∫lim lim lim

Deci, în cazul în care ( )0,1p∈ , L există şi este finită atunci( )

b

pa

dxb x

−

−∫

este convergentă. Dacă 1p > , L este ±∞ . Deci integrala este divergentă.

Pentru ca propoziţia 3.1.1. a) să fie complet demonstrată, trebuie studiată convergenţa integralei în cazul 1p = .

Pentru 1p = , integrala devine: b

a

dxb x

−

−∫ .

Dar ,

b t

a at b t b

t b

tdx dx dxb x C b xab x b x b x

b t b a

−

↑ ↑

↑

= − − + ⇒ = = − − =− − −

= − − + − = +∞

∫ ∫ ∫ln lim limln

limln ln

Deoarece, în acest caz, L = +∞ ⇒ pentru 1p = integrala este divergentă. b) Analog ca la punctul a).

Observaţia 3.1.4. Pentru orice p∈ *+R ,

0 p

dxx

∞

∫ este divergentă. Ţinând cont de

propoziţia 3.1.1., consecinţa este imediată. Propoziţia 3.1.2. Fie a b−∞ < < < +∞ şi [ ): ,f a b → R o funcţie local integrabilă.

Atunci afirmaţiile: 1) ( )

b

af x dx

−

∫ convergentă

2) ( ) ( ),c a b∀ ∈ , ( )b

cf x dx

−

∫ convergentă

3) există ( ),c a b∈ astfel încât ( )b

af x dx

−

∫ convergentă;

sunt echivalente. Demonstraţie:

Pentru a demonstra echivalenţa celor trei afirmaţii, trebuie arătat că: 1 2 3 1⇒ ⇒ ⇒ .

1 2⇒ Presupunem că ( )b

af x dx

−

∫ convergentă. Atunci ( )t

at bL f x dx

↑= ∫lim

există şi este finită. Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,b c b

a a cf x dx f x dx f x dx c a b

− −= + ∀ ∈∫ ∫ ∫ .

Cum ( )c

af x dx∫ este un număr finit ⇒

( ) ( )1

t c

c at bL f x dx L f x dx

↑= = −∫ ∫lim există şi este finită. Aceasta arată că

( )b

cf x dx

−

∫ este convergentă ( ) ( ),c a b∀ ∈ .

2 3⇒ evident 3 1⇒ evident Propoziţia 3.1.3. Fie a b−∞ < < < +∞ şi [ ): ,f a b → +R o funcţie local

integrabilă. Atunci afirmaţiile: 1) ( )

b

af x dx

−

∫ este convergentă.

2) ( )∀ şirul ( ) { } [ )1,n nn

b b a b>

⊂ şi nb b→ atunci şirul ( )( )1

nb

a nf x dx

≥∫

convergent

3) există şirul ( ) { } [ )1,n nn

b b a b>

⊂ şi nb b→ ⇒ şirul ( )( )1

nb

a nf x dx

≥∫

convergent. 4)

[ )( )

,

t

at a bf x dx

∈< +∞∫sup

5) [ ] [ )

( ), ,a b

f x dxβ

αα β ⊂< +∞∫sup

sunt echivalente. Demonstraţie:

Se notează ( ) ( )t

aF x f x dx= ∫ , [ ),t a b∈ . Cum ( ) 0f x ≥ , ( ) [ ),x a b∀ ∈

atunci ( )F x monoton crescătoare. Aceasta implică ( ) ( )t b

F b F t↑

− = lim

există, este finită, sau este +∞. Ţinând cont de aceste notaţii, se poate afirma că ( )

b

af x dx

−

∫ este convergentă dacă ( )F b − < +∞ Conform

definiţiei limitei unei funcţii prin şiruri şi definiţiei funcţiei crescătoare rezultă echivalenţa celor cinci afirmaţii.

Propoziţia 3.1.4. Fie a b−∞ < < < +∞ şi [ ): ,f a b → +R o funcţie mărginită şi local integrabilă.

Atunci funcţia ( ) ( ) [ ), ,,

f x x a bf x

x bα

α

⎧ ∈⎪= ∈⎨=⎪⎩

R este integrabilă şi are loc

egalitatea: ( ) ( )b b

a af x dx f x dx

−=∫ ∫ .

Demonstraţie:

Deoarece f este mărginită şi local integrabilă rezultă f continuă aproape peste tot. f continuă aproape peste tot şi mărginită rezultă f continuă aproape

peste tot şi mărginită deci (conform criteriului de integrabilitate al lui Lebesque) f integrabilă pe [ ],a b Aşadar există ( )

b

af x dx L=∫

Pentru a arăta că integrala improprie ( )b

af x dx

−

∫ este convergentă şi

egală cu L , trebuie arătat că ( )t

at bf x dx L

↑= =∫lim . Dar în condiţiile date

( )t

aL f x dx− ∫ este strict mai mic decât ( )b t f

∞−

Aşadar ( ) ( )0t t

a at b t bL f x dx L f x dx

↑ ↑− = ⇒ =∫ ∫lim lim .

Propoziţia 3.1.5. Fie [ ): ,f a ∞ → +R . Dacă: 1) f local integrabilă

2) ( )a

f x dx∞

∫ convergentă

3) există ( )t

f x↑∞

lim

atunci ( ) 0t

f x↑∞

=lim

Demonstraţie: Ţinând cont de condiţia 3), fie ( )

tL f x

↑∞= lim . Presupunem prin reducere la

absurd că 0L ≠ şi anume 0L > . Ţinând cont de definiţia limitei unei funcţii într-un punct, se poate afirma că există ( ),c a∈ ∞ astfel încât

( )2Lf x ≤ , pentru orice [ ),x c∈ ∞ .

Deoarece, conform cu condiţia 2), ( )a

f x dx∞

∫ convergentă, rezultă:

( )c

f x dx∞

∫ convergentă, pentru orice ( ),c a∈ ∞ (propoziţia 3.1.2.).

Deoarece ( )2Lf x ≤ , ( ) [ ),x c∀ ∈ ∞ ⇒

[ )( )

[ ), , 2t t

c ct c t c

Lf x dx dx∈ ∞ ∈ ∞

≥ = +∞∫ ∫sup sup .

Deci[ )

( ),

t

ct cf x dx

∈ ∞= +∞∫sup . Contradicţie cu ( )

af x dx

∞

∫ convergentă ⇒ 0L = .

Consecinţa 3.1.5. Fie [ ): ,f a ∞ → R cu proprietăţile: 1. f local integrabilă 2. ( )

tf x

→∞lim există şi este diferită de zero.

Atunci ( )a

f x dx∞

∫ divergentă.

Exemplu:

Să se studieze convergenţa integralei improprii 12

1x dxx

∞

∫ sin

( )1

11

xf x xx

x

= =sin

sin . Cum

1

1 01x

x

x→∞

= ≠sin

lim , rezultă (conform

consecinţei) 12

1x dxx

∞

∫ sin divergentă.

Propoziţia 3.1.6. Fie a b−∞ < < < +∞ şi [ ), : ,f g a b → R astfel încât ( )b

af x dx

−

∫

şi ( )b

ag x dx

−

∫ sunt convergente. Atunci ( ) ( )b

af x g x dxα β

−⎡ ⎤±⎣ ⎦∫ ,

,α β ∈ R , este convergentă şi are loc egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af x g x dx f x dx g x dxα β α β

− − −⎡ ⎤± = ±⎣ ⎦∫ ∫ ∫

Demonstraţie: Ţinând cont de definiţia 3.1.2. şi de proprietatea limitei unei funcţii într-un punct, propoziţia 3.1.6. este evidentă.

2. Criterii de convergenţă a integralelor improprii Definiţia 3.2.1. Fie A ⊂ R o mulţime şi '

0x A∈ . Se spune că funcţia

{ }0: \f A x → R este o funcţie ( )( )O g x , { }0: \g A x → R

( ) ( )( ) 0, f x O g x x x⎡ ⎤= →⎣ ⎦ dacă există o funcţie { }0: \A xα → R mărginită

pe mulţimea { }0\A V x∩ , V vecinătatea lui 0x astfel încât

( ) ( ) ( )f x x g xα= , pentru orice { }0\x A V x∈ ∩ . 'A după cum se ştie este mulţimea punctelor de acumulare ale lui A . Observaţia 3.2.1. a) ( ) ( )( ) 0, f x O g x x x= → ⇔ există 0M > , V vecinătatea lui 0x astfel încât:

( ) ( ) ( ) { }0, f x M g x x A V x≤ ∀ ∈ ∩ − b) Dacă ( ) 0g x ≠ , ( ) { }0x A V x∀ ∈ ∩ − se spune că

( ) ( )( ) 0, f x O g x x x= → dacă funcţia fg

este mărginită,

( ) { }0x A V x∀ ∈ ∩ − .

Notaţiile din definiţia 3.2.1. şi observaţia 3.2.1. se datorează lui Landau. Propoziţia 3.2.1. Fie a b−∞ < < < +∞ şi [ ), : ,f g a b → +R două funcţii local

integrabile. Dacă ( ) ( )( ) , f x O g x x b= → şi ( )

b

ag x dx

−

∫ convergentă atunci

( )b

af x dx

−

∫ convergentă.

Demonstraţie: Deoarece ( ) ( )( ) , f x O g x x b= → conform cu observaţia 3.2.1 a) există

0M > şi ( ),c a b∈ astfel încât ( ) ( )f x M g x≤ ⋅ , ( ) [ ),x c b∀ ∈ .

( )b

ag x dx

−

∫ convergentă, atunci ( )b

cg x dx

−

∫ convergentă (propoziţia 3.1.2)

şi atunci[ )

( ),

t

ct c bg x dx

∈< +∞∫sup conform cu propoziţia 2.1.3.

Deoarece ( ) ( )f x M g x= ⋅ , ( ) [ ),x c b∀ ∈

⇒[ )

( ) [ ) ( ) ( ),,

t t b

t c bc c ct c bg x dx M g x dx f x dx

−

∈∈

≤ < ∞⇒∫ ∫ ∫supsup convergentă.

Atunci ( )b

af x dx

−

∫ convergentă conform cu propoziţia 3.1.2.

Propoziţia 3.2.2. Fie a b−∞ < < < +∞ şi [ ), : ,f g a b → +R două funcţii local

integrabile şi ( ) 0g x ≠ ,( ) [ ),x a b∀ ∈ .

a) Dacă ( )( )x b

f xg x→

lim există şi este finită şi ( )b

ag x dx

−

∫ convergentă

atunci ( )b

af x dx

−

∫ convergentă;

b) Dacă ( )( )x b

f xg x→

lim există şi este diferită de zero şi ( )b

af x dx

−

∫ convergentă

atunci ( )b

ag x dx

−

∫ convergentă;

c) Dacă ( )( )x b

f xg x→

lim , există este finită şi diferită de zero atunci ( )b

af x dx

−

∫ şi

( )b

ag x dx

−

∫ au aceeaşi natură.

Demonstraţie:

a) Presupunem că ( )( )x b

f xg x

λ→

= lim , λ finit. Conform definiţiei limitei unei funcţii

într-un punct, se poate afirma că există [ ),c a b∈ şi 1ε = astfel încât

( )( )

1f xg x

λ< + , ( ) [ ),x c b∀ ∈ , ceea ce arată conform cu observaţia 3.2.1 b)

că ( ) ( )( ) , f x O g x x b= → şi cum ( )b

ag x dx

−

∫ convergentă atunci

( )b

af x dx

−

∫ convergentă.

b) Dacă ( )( )x b

f xg x

λ→

= lim , 0λ > , conform definiţiei limitei unei funcţii într-un

punct, pentru / 2ε λ= , ( )( ) 2

f xg x

λ> , ( ) [ ),x c b∀ ∈ ⇒ ( ) ( )2g x f x

λ< ,

( ) [ ),x c b∀ ∈ atunci conform cu propoziţia 3.2.1.a) ( ) ( )( ) , g x O f x x b= → şi

cum ( )b

af x dx

−

∫ convergentă atunci conform cu propoziţia 3.2.1 ( )b

ag x dx

−

∫

convergentă. c) Din a) şi b) este evidentă afirmaţia c). Consecinţa 1:

Fie a b−∞ < < ≤ +∞ şi [ ): ,f a b → +R o funcţie local integrabilă.

a) Dacă există ( )0,1p∈ astfel încât ( ) ( )p

xb x f x

→∞− ⋅lim există şi este finită,

atunci ( )b

af x dx

−

∫ convergentă.

b) Dacă există 1p ≥ astfel încât ( ) ( )p

xb x f x

→∞− ⋅lim există, este finită şi

diferită de zero, atunci ( )b

af x dx

−

∫ divergentă.

Demonstraţie:

a) Deoarece ( ) ( ) ( )

( )1

p

p

f xb x f x

b x

− ⋅ =

−

şi (conform cu propoziţia 3.2.1)

( )b

pa

dxb x

−

−∫ convergentă, pentru orice ( )0,1p∈ , luând ( )( )

1pg x

b x=

−

(conform cu propoziţia 3.2.2. a) ( )b

af x dx

−

∫ convergentă.

b) Se demonstrează în mod analog ca a). Consecinţa 2:

Fie a∈ R şi [ ): ,f a +∞ → +R o funcţie local integrabilă. a) Dacă există 1p > astfel încât ( )p

xx f x

→∞⋅lim există şi este finită

atunci ( )b

af x dx

−

∫ convergentă.

b) Dacă există ( ]0,1p∈ astfel încât ( )p

xx f x

→∞⋅lim există, este finită şi

diferită de zero atunci ( )a

f x dx∞

∫ divergentă.

Propoziţia 3.2.3. (Criteriul de convergenţă pentru integralele improprii al lui Cauchy)

Fie a b−∞ < ≤ ≤ +∞ şi [ ): ,f a b → R o funcţie local integrabilă.

Atunci ( )b

af x dx

−

∫ convergentă dacă şi numai dacă ( ) 0ε∀ > , există [ ),c a b∈

astfel încât ( )J

f x dx ε<∫ , ( ),J c b⊂ compact.

Demonstraţie: Fie ( ) ( ) [ ), ,

t

aF t f x dx t a b= ∈∫ . ( )

b

af x dx

−

∫ convergentă ⇔ ( )F b − există şi

este finită ( )( ( ))limt b

F b F t↑

− = . Ţinând cont de definiţia limitei unei funcţii

într-un punct se poate afirma că ( )F b − există şi este finită ⇔ ( ) 0ε∀ > ,

există [ ),c a b∈ astfel încât

( ) ( ) ( ) [ ) ( ) ( ) [ )''

'

'' ' ' '' '' ', , , , ,t

tF t F t t t a b f x dx t t c bε ε− < ∀ ∈ ⇔ < ∀ ∈∫ .

Luând ' '',J t t⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , criteriul este demonstrat. Propoziţia 3.2.4. (Criteriul de convergenţă al lui Abel-Dirichlet)

Fie [ ), : ,f g a b → R două funcţii local integrabile, unde a b−∞ < < ≤ +∞ . Dacă:

1) g monoton descrescătoare pe [ ),a b şi ( ) 0g b − = ;

2) [ )

( ),

: supt

at a bM f x dx

−

∈= < +∞∫

atunci ( ) ( )b

af x g x dx⋅∫ convergentă.

Demonstraţie:

Din condiţia 2) rezultă că există ' 2M M= astfel încât ( ) 2d

cf x dx M<∫

( ) [ ), ,c d a b∀ ∈ Deoarece ( ) 0g b − = , există [ ),d a b∈ astfel încât

( )4

g xMε

< , ( ) [ ),x d b∀ ∈ . Se fixează [ ), ,d bα β ∈ , α β< . Conform cu a

doua teoremă de medie pentru integrala definită există [ ),d bξ ∈ astfel încât: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ], ,f x g x dx g f x dx g f x dx

β ξ β

α α ξξ ξ ξ α β

−⋅ = + ∈∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 24 4

f x g x dx g f x dx g f x dx M MM M

β ξ β

α α ξ

ε εξ ξ ε⋅ ≤ + < ⋅ + ⋅ =∫ ∫ ∫

Deci ( ) ( )f x g x dxβ

αε⋅ <∫ , [ ] [ ), ,J d bα β= ⊂ . Atunci conform cu criteriul

lui Cauchy ( ) ( )b

af x g x dx

−⋅∫ convergentă.

Acest criteriu are şi alte forme echivalente, după cum urmează: Consecinţa 1: Fie a b−∞ < < ≤ +∞ şi [ ), : ,f g a b → R două funcţii local integrabile. Dacă:

1) g monoton descrescătoare şi mărginită pe [ ),a b ;

2) ( )b

af x dx

−

∫ convergentă,

atunci ( ) ( )b

af x g x dx

−⋅∫ convergentă.

Consecinţa 2: Fie a b−∞ < < ≤ +∞ şi [ ), : ,f g a b → R două funcţii local integrabile. Dacă:

1) g monoton descrescătoare pe [ ),a b şi ( ) 0g b − = ; 2) f continuă şi posedă o primitivă continuă şi mărginită,

atunci ( ) ( )b

af x g x dx

−⋅∫ convergentă.

Propoziţia 3.2.5. (Criteriul lui Cauchy - Mac Laurin) Fie 0a ≥ şi [ ): ,f a ∞ → +R o funcţie monoton descrescătoare.

Atunci ( )a

f x dx∞

∫ convergentă dacă şi numai dacă seria ( )[ ]n a

f n≥∑

convergentă. [ ]a este partea întreagă a lui a).

3. Exerciţii rezolvate 1. Să se studieze convergenţa integralelor:

a) 1

0

dxx∫ ,

1

0 0, xe dx x dx

∞ − ⋅∫ ∫ ln

b) 20 0 0

, , xdx xdx xdxπ

∞ ∞

∫ ∫ ∫sin ln tg

Rezolvare:

a) ( ) ( ) ( ) ( )1

at b t b t b

tL f x dx F x F t F a

a↑ ↑ ↑= = = −∫lim lim lim ;

1

0

dxx∫ este o integrală

improprie de speţa a-II-a deoarece intervalul de integrare este mărginit şi

0x = punct critic pentru funcţia ( ) 1f xx

= .

11 1 1

20 0 0

0 0

2

12 2 2 2

tt

t t

dx dx dxx dx xx x x

x xt

↓

↓ ↓

= = ⇒ = =

= = − =

∫ ∫ ∫ ∫lim

lim lim

Deoarece L există şi este finită integrala improprie 1

0

dxx∫ este

convergentă şi are loc egalitatea: 1

02dx

x=∫ .

0

xe dx∞ −∫ este o integrală improprie de speţa întâi deoarece intervalul de

integrare este nemărginit iar funcţia ( ) xf x e−= mărginită pentru orice [ )0,x∈ ∞ .

0 0

11 1

0tx x x x x t

t t te dx e e dx e dx e e

∞− − − − − −

↑∞ ↑∞ ↑∞= − ⇒ = − = − = − + =∫ ∫ ∫lim lim lim

Deoarece L există şi este finită, 0

xe dx∞ −∫ este convergentă şi are loc

egalitatea:

01xe dx

∞ − =∫

xdx∫ ln este o integrală improprie de speţa a doua deoarece intervalul de

integrare este mărginit iar 0x = punct critic pentru funcţia ( )f x x= ln .

xdx x x dx x x x= − = −∫ ∫ln ln ln

Atunci ( )

1 10 0 0

1 1 1

t t

t t t

txdx xdx x x x tt e↓ ↓ ↓

= = ⋅ = − − ⋅ = −∫ ∫ln lim ln lim ln - lim ln

Deoarece L există şi este finită

1

0xdx∫ ln convergentă şi are loc

egalitatea: 1

01xdx = −∫ ln

b) 0

xdx∞

∫ sin este o integrală improprie de speţa întâi deoarece intervalul de

integrare este infinit iar funcţia ( )f x x= sin este mărginită ( ) [ )0,x∀ ∈ ∞ .

0 0

10

t

t t t

txdx x C xdx xdx x t

∞

↑∞ ↑∞ ↑∞= − + ⇒ = = − = − +∫ ∫ ∫sin cos sin lim sin limcos limcos

Deoarece t↑∞lim nu există

0xdx

∞

∫ sin este o integrală divergentă.

Convergenţa integralelor 0

xdx∞

∫ ln şi 20

xdxπ

∫ tg se studiază în mod analog.

2. Să se studieze convergenţa şi în caz afirmativ să se calculeze: a)

0

axe bx dx∞ − ⋅∫ sin .

b) 40 1dx dx

x∞

+∫ .

c) ( )30 21

x x dxx

∞

+∫

ln .

Rezolvare: Fie [ ): ,f a b → R local integrabilă. Atunci ( )

b

af x dx

−

∫ este convergentă

dacă există ( ):t

at bL f x dx

↑ ∫lim şi L finită. Atunci ( )b

aL f x dx

−= ∫ .

( ) ( ) ( )t

af x dx F t F a= −∫ ; ( )F x primitivă a lui ( )f x pe [ ],a t .

Ţinând cont de acestea se cercetează integralele de la punctele a), b), c).

a) ( ) 2 20

ax axa bx b bxF x e bx dx ea b

∞ − −+= ⋅ = −

+∫sin cossin . Deoarece ( )

xF x

→∞= ±∞lim

pentru 0a < rezultă că 0

axe bx dx∞ − ⋅∫ sin divergentă. Pentru 0a > ,

( ) 0x

F x→∞

=lim atunci există şi este finită L . Deci 0

axe bx dx∞ − ⋅∫ sin

convergentă şi ( ) 2 20 bL Fa b−

= − =+

.

Aşadar pentru 0a > , 2 20

ax be bx dxa b

∞ − −⋅ =

+∫ sin .

b)

( ) ( ) ( )2

4 2

1 2 1 1 12 1 2 1 .1 4 2 2 1 2 2 2 2

dx x xF x dx x xx x x

+ += = − + − −

+ − +∫ ln arctg arctg

Pentru determinarea primitivei ( )F x se foloseşte egalitatea

2 2

4 4 4

1 1 1 112 21 1 1

dx x xdx dxx x x

+= −

+ + +∫ ∫ ∫ şi substituţiile 1x tx

± = sau

descompunerea în fracţii simple a lui ( ) 4

11

f xx

=+

. Cum ( )2 2x

F x π→∞

=lim

există şi este finită atunci L există şi este primită şi 40 1 2 2dx

xπ∞

=+∫

deoarece ( )02 2 2 2

L Fπ π= − = .

c) integrând prin părţi şi descompunând în fracţii simple se obţine:

( )( ) ( )

( )23 2 22 2

1 1 1 1 114 4 8 8 11 1

x x xF x dx x xxx x

= = − + − + + ⋅++ +

∫ln ln ln ln .

Se observă că pentru ( )( )321

x xf xx

=+

ln , atât 0x = cât şi x = ±∞ sunt

puncte critice şi atunci ( ) ( ) ( )

1

3 3 30 0 12 2 21 1 1

x x x x x xdx dx dxx x x

∞ ∞= +

+ + +∫ ∫ ∫

ln ln ln . Cum

( ) 18x

F x→∞

=lim , ( ) 0x

F x→∞

=lim atunci ( )30 21

x x dxx

∞

+∫

ln este convergentă şi

( )( ) ( ) ( ) ( )30 02

11 181 x x

x x dx F F x F x Fx

∞

→ →∞= − + − = −

+∫

ln lim lim .

3. Să se studieze convergenţa integralelor:

a) 0

xdxx

∞

∫arctg .

b) ( )( )

( )0

0, x

dx x a bx x a x b

∞> >

− −∫ .

c) 2 2

2 2

0

a bx xe e dx

− −∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ .

d) 20

1 12x x

x dxe e x

∞

−

⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟−⎝ ⎠∫ .

e) ( )0

, 0axx e dx aμ μ∞ −⋅ >∫ .

f) 0 2

e 1x

x dx∞

−∫

g) 1 2 1

x

x x

∞

−∫

ln .

Rezolvare: I. Fie [ ): ,f a b → +R , ,a b finite şi f local integrat şi

( ) ( )p

x bL b x f x= − ⋅lim .

a) Dacă L < ∞ pentru ( )0,1p∈ atunci ( )b

af x dx

−

∫ convergent.

b) Dacă 0 L< < ∞ pentru 1p ≥ atunci ( )b

af x dx

−

∫ divergent.

II. Fie [ ): ,f a ∞ → +R , a finit, funcţie local integrabilă şi ( )p

x bL x f x= ⋅lim .

a) Dacă L < ∞ pentru 1p > atunci ( )a

f x dx∞

∫ convergent.

b) Dacă 0 L< < ∞ pentru ( ]0,1p∈ atunci ( )a

f x dx∞

∫ divergent.

Ţinând cont de I. şi II. se obţine:

a) 1

1 20 0 1

x x xI dx dx dx I Ix x x

∞ ∞= = + = +∫ ∫ ∫

arctg arctg arctg .

Deoarece ( )0

0 0p

x

xx px→

⋅ = ∀ >arctglim atunci conform cu I a),

1

1 0

xI dxx

= ∫arctg convergentă.

Deoarece ( ) ( )0 0,1p p

x x

xx x x px→∞ →∞

⋅ = = ∀ ∈arctglim lim arctg atunci conform cu

I. a) 2 1

xI dxx

∞= ∫

arctg convergentă. Atunci 1 2I I I= + este convergentă.

b) ( )( )

1x

dxx x a x b→∞

=− −

lim dacă 3 12

p = > . Atunci conform cu II.a)

( )( )0x

dxx x a x b

∞

− −∫ este convergentă.

c) 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 21

1 20 0 1

a b a b a bx x x x x xI e e dx e e dx e e dx I I

− − − − − −∞ ∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − + − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ .

Deoarece 2 2

2 2

0 00

a bp px x

x xx e x e

− −

→ →⋅ = ⋅ =lim lim , ( ) 0p∀ > , atunci conform cu I. a),

2 2

2 2

1 0

a bx xI e e dx

− −∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ este convergentă. Pentru 2 2

2 2

2 1

a bx xI e e dx

− −∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ nu

se pot aplica I. şi II. Se dezvoltă în serie funcţia ( )2 2

2 2a bx xf x e e

− −= − şi se

obţine:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 22 2

2 2...a b a bx x x x

b ab ae e e ex x

− − − − −−− = + ⇒ − <

(1)

2 2

2 2 22 0p p

x x

b ax x b a

x−

→∞ →∞

−⋅ = − =lim lim dacă ( )0, 2p∈ . Atunci conform cu

II.a) 2 2

21

b a

x∞ −∫ convergentă. Atunci ţinând cont de inegalitatea (1)

2 2

2 2

2 1

a bx xI e e dx

− −∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ este convergentă. Deci 1 2I I I= + este

convergentă. d)

1

1 22 2 20 0 1

1 1 1 1 1 12 2 2x x x x x x

x x xI dx dx dx I Ie e x e e x e e x

∞ ∞

− − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⋅ = − ⋅ + − ⋅ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

Dezvoltând în serie se obţine:

2

1 1 12 12 240x x

x xe e x− − < +

−

(2)

Deoarece 0

1 012 240

p

x

xx→

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

lim , ( ) 0p∀ > atunci conform cu I. a) şi

inegalitatea (2) 1 20

1 12x x

xI dxe e x

∞

−

⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟−⎝ ⎠∫ este convergentă.

Deoarece 2 22

1 1 1 02 2

p px x x xx x

x xx xe e x e e

− −− + −→∞ →∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠lim lim ,

( ) 2p∀ < conform cu II. a) 2 20

1 12x x

xI dxe e x

∞

−

⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟−⎝ ⎠∫ este

convergentă. Atunci 1 2I I I= + este convergentă.

e) Deoarece 0p ax

xx x eμ −

→∞⋅ ⋅ =lim , ( ) , , 0p aμ∀ > conform cu II. a)

0

axx e dxμ∞ −⋅∫

este convergentă.

f) Deoarece 2

0e 1

p

xx

x dxx→∞

=−

lim , ( ) 0p∀ > atunci conform cu II. a) 0 2

e 1x

x dx dx∞

−∫

este convergentă.

g) Deoarece 2

2

2

1 011 1

p p

x x

xx x xx x

x

−

→∞ →∞= ⋅ =

− −

lnlim lim ln , ( ) ( )1, 2p∀ ∈ atunci

conform cu II. a) 1 2 1

x

x x

∞

−∫

ln este convergentă.

4. Dacă , , 0a k λ > să se studieze convergenţa integralelor:

a) 2 20

x ax dxk x

∞ ⋅+∫

sin .

b) 0

2x xe dxxλ

∞⋅∫ sin sin .

c) 0

xx dxx

λ∞⋅∫sinln .

d) ( )2

0

x xdx

xλ

∞ +∫

sin.

Rezolvare:

a) Se consideră ( )2

2 2

xg xk x

=+

, ( )g x este descrescătoare ( ) x k∀ > şi

( ) 0x

g x→∞

=lim (3)

Fie ( )f x ax= sin . Atunci 0

1 1 2 10

A Aax dx ax A

a a a= = − <∫ sin cos cos

(4)

Din (3) şi (4) conform cu criteriul Abel-Dirichlet 2 20

x ax dxk x

∞ ⋅+∫

sin este

convergentă.

b) 1

1 20 0 1

2 2 2x x xx x xI e dx e dx e dx I Ix x xλ λ λ

∞ ∞= ⋅ = ⋅ + ⋅ = +∫ ∫ ∫sin sin sinsin sin sin .

Deoarece 2 2 0p x p x

x x

xx e dx x e xx

λλ

−

→∞ →∞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =sin sinsinlim lim sin , ( ) 0p λ∀ > >

conform cu I. a) 1 0

2x xI e dxxλ

∞= ⋅∫ sin sin este convergentă ( ) ( )0,1λ∀ ∈ . Se

consideră ( ) 1g xxλ= , ( )g x este descrescătoare

( ) 1x∀ ≥ şi ( ) 0x

g x→∞

=lim

(5) Fie ( ) 2xf x e x= ⋅sin sin .

1 12 2 2 2 2 2

1A Ax x x Ae x dx e x dx e e e e⋅ ≤ ⋅ = = − <∫ ∫sin sin sin sinA sin1sin cos . Deci

12 2

A xe x dx e⋅ <∫ sin sin

(6)

Din (5) şi (6) conform cu criteriul Abel-Dirichlet 2 0

2x xI e dxxλ

∞= ⋅∫ sin sin este

convergentă. Deci 1 2I I I= + este convergentă.

c) 1

1 20 0 1

x x xI x dx x dx x dx I Ix x x

λ λ λ∞ ∞= ⋅ = ⋅ + ⋅ = +∫ ∫ ∫

sin sin sinln ln ln . Deoarece

00p

x

xx xx

λ

→⋅ =sinlim ln , ( ) 0p∀ > atunci conform cu I. a)

1 0

pp xI x x dx

x∞

= ⋅∫sinln este convergentă..

Fie ( ) 1pg x xx

= ⋅ln , ( )g x este descrescătoare

( ) x eλ∀ > şi 0p

x

xx→∞

=ln

lim

(7)

Fie ( )1

1 2A

f x x xdx A= ⋅ = − + <∫sin sin cos cos

(8)

Din (7) şi (8) conform cu criteriul Abel-Dirichlet 2 0

p xI x dxx

∞= ⋅∫

sinln este

convergentă. Atunci 1 2I I I= + este convergentă.

d) Fie ( ) 1g xxλ= , ( )g x este descrescătoare ( ) 1x∀ ≥ şi ( ) 0

xg x

→∞=lim

(9) Fie ( ) ( )2f x x x= +sin . Făcând substituţia 2z x x= + se obţine

( ) ( )2

2

2

1 4

A A A A

a a a a

zf x dx x x dx dxz

+

+= + =

+∫ ∫ ∫sinsin

(10) care este mărginită ( ) A a∀ > .

Din (9) şi (10) conform cu criteriul Abel-Dirichlet ( )2

0

x xdx

xλ

∞ +∫

sin este

convergentă.

CAPITOLUL 4

INTEGRALE CU PARAMETRU

1. Definiţie. Proprietăţi. Definiţia 4.1.1. Fie M o mulţime oarecare şi [ ],a b un interval compact de numere reale.

Dacă funcţia [ ]: ,f a b M× → R este integrabilă în raport cu [ ],x a b∈ ,

( ) y M∀ ∈ şi [ ], : ,M a bϕ ψ → funcţii, atunci are sens funcţia

( ) ( )( )

( ),

y

yI y f x y dx

ψ

ϕ= ∫ , numită integrală cu parametru.

Observaţia 4.1.1. Proprietăţile funcţiei ( )I y depind de proprietăţile funcţiilor , ,f ϕ ψ precum şi de structura mulţimii M . În cele ce urmează, se consideră

[ ],M c d= ⊂ R şi ( )y aϕ = , ( )y bψ = , ( ) [ ],y c d∀ ∈ . În aceste condiţii, funcţia

( )I y are forma: ( ) ( ),b

af x y dx I x=∫ .

Pentru această funcţie se vor studia în continuare proprietăţile de limită, continuitate, derivabilitate şi integrabilitate.

Propoziţia 4.1.1. (Proprietatea de limită a funcţiei ( ) ( ),b

aI y f x y dx= ∫ )

Fie [ ] [ ]: , ,f a b c d× → R . Dacă:

1) ( ),f x y integrabilă pe [ ],a b , ( ) [ ],y c d∀ ∈ ;

2) ( ),f x y converge uniform când 0y y→ către ( )xϕ , atunci funcţia I(y) are limită în punctul y0 şi are loc egalitatea:

( ) ( ) ( )0 0

,b b

a ay y y yI y f x y dx x dxϕ

→ →= =∫ ∫lim lim

Demonstraţie:

Deoarece ( ) ( )0

,u

y yf x y xϕ

→→ şi f integrabilă în raport cu x atunci ( )xϕ

integrabilă deci are sens ( )b

ax dxϕ∫ . Deoarece ( ) ( )

0

,u

y yf x y xϕ

→→ , ţinând cont de

definiţia convergenţei uniforme, se poate afirma că ( ) 0ε∀ > , există ( ) 0δ ε > astfel încât

( ) [ ] ( ) ( ) ( )0, ,y c d y y f x y xδ ε ϕ ε∀ ∈ − < ⇒ − < (1)

Pentru a arăta că ( ) ( )0

,b b

a ay yf x y dx x dxϕ

−→∫ ∫ , trebuie arătat că în condiţiile

anterioare are loc inegalitatea: ( ) ( ),b b

a af x y dx x dxϕ ε− <∫ ∫ . Într-adevăr,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) '

, ,

,

b b b

a a a

b b

a a

f x y dx x dx f x y dx x dx

f x y x dx dx b a

ϕ ϕ

ϕ ε ε ε

− = − ≤

≤ − < = − =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Într-adevăr, conform definiţiei limitei ⇒

( ) ( ) ( )0 0

, ,b b b

a a ay y y yf x y dx f x y dx x dxϕ

→ →⇒ = =∫ ∫ ∫lim lim

Propoziţia 4.1.2. (Continuitatea funcţiei ( ) ( ),b

aI y f x y dx= ∫ ).

Fie [ ] [ ]: , ,f a b c d× → R o funcţie local integrabilă.

Dacă ( ),f x y este continuă pe mulţimea [ ] [ ], ,a b c d× , atunci funcţia

( ) ( ),b

aI y f x y dx= ∫ este continuă pe [ ],c d .

Demonstraţie: Deoarece ( ),f x y este continuă pe compactul [ ] [ ], ,a b c d× ⊂ 2R atunci ( ),f x y

uniform continuu pe acest compact, adică ( ) 0ε∀ > , există ( ) 0δ ε > astfel încât

( )( ) ( ) [ ] [ ] ( )' ' '' '' '' ', , , , ,x y x y a b c d x x δ ε∀ ∈ × − < şi ( )'' 'y y δ ε− < ,

( ) ( )'' '' ' ', ,f x y f x y ε− < .

(1) Luând ' ''x x x= = , inegalitatea (1) devine:

( ) ( )'' ', ,f x y f x y ε− < , ( ) [ ]' '', ,y y c d∀ ∈

(2)

Deci ( ) ( ) ( ) ( )'' ' '' ', ,b b

a aI y I y f x y dx f x y dx− = − ≤∫ ∫

( ) ( ) ( )(2)

'' ' ', ,b b

a af x y f x y dx dx b aε ε ε− < = − =∫ ∫

Deci ( ) ( ) ( ) [ ]'' ' ' ' '', , ,I y I y y y c dε− < ∀ ∈ . Atunci ( )I y continuă pe [ ],c d .

Propoziţia 4.1.3. (Proprietatea de derivabilitate a funcţiei ( ) ( ),b

aI y f x y dx= ∫ ).

Fie [ ] [ ]: , ,f a b c d× → R . Dacă:

1) f este continuă în raport cu x , ( ) [ ],y c d∀ ∈ ;

2) există ( )' ,yf x y continuă în [ ] [ ], ,a b c d× , atunci ( ) ( ),b

aI y f x y dx= ∫

derivabilă şi are loc egalitatea: ( ) ( )' ' ,b

yaI y f x y dx= ∫ .

Demonstraţie: Fie [ ]0 ,y c d∈ un punct oarecare dar fixat.

Atunci ( ) ( )0 0,b

aI y f x y dx= ∫ şi ( ) ( )0 0,

b

aI y k f x y k dx+ = +∫ . Atunci

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0, ,b

a

I y k I y f x y k f x ydx

k k+ − + −

= ∫

(1) În condiţiile ipotezei propoziţiei 4.1.3, funcţia ( ),f x y satisface condiţia teoremei lui Lagrange în raport cu variabila y . Deci va avea loc relaţia:

( ) ( ) ( )0 0 '

0

, ,,y

f x y k f x yf x y k

kθ

+ −= + , unde 0 1θ< <

(2) Conform ipotezei (2) din enunţul teoremei, funcţia ( )' ,yf x y fiind continuă în

compactul [ ] [ ], ,a b c d× , ea este uniform continuă în acest compact. Ţinând cont

de definiţia uniform continuităţii se poate afirma că ( ) 0ε∀ > , există ( ) 0δ ε >

astfel încât ( )( )' ',x y∀ şi ( ) [ ] [ ] ( )'' '' '' ', , ,x y a b c d x x δ ε∈ × − < şi

( )'' 'y y δ ε− < , ( ) ( )' '' '' ' ' ', ,y yf x y f x y ε− <

(3) Luând ' ''x x x= = şi '

0y y= iar ''0y y kθ= + cu ( )k δ ε< , relaţia (3) devine:

( ) ( )' '0 0, ,y yf x y k f x yθ ε+ − <

(4)

Ţinând cont de relaţia (2) şi (4) ⇒ ( ) ( ) ( )0 0 '

0

, ,,y

f x y k f x yf x y

kε

+ −− <

(5) Deci, conform relaţiei (5), se poate afirma că ( ) ( ) ( )0 0 '

00

, ,,

u

yk

f x y k f x yf x y

k →

+ −→

(6) S-a demonstrat că funcţia ( ),f x y satisface condiţia propoziţiei 4.1.1 de trecere la limită sub integrală. Deci, ţinând cont de relaţia (1) şi (6) se obţine

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 0 0 000 0

'0

, ,

,

b

ak k

b

ya

I y k I y I x y k I x ydx I y

k k

f x y dx

→ →

+ − + −= ⇔ =

=

∫

∫

lim lim

Cum 0y a fost ales arbitrar, el poate fi înlocuit de y şi astfel propoziţia este demonstrată.

Propoziţia 4.1.4. (Integrabilitatea funcţiei ( ) ( ),b

aI y f x y dx= ∫ )

Fie [ ] [ ]: , ,f a b c d× → R funcţie continuă în [ ] [ ], ,a b c d× în raport cu fiecare

variabilă. Atunci funcţia ( ) ( ),b

aI y f x y dx= ∫ este integrabilă în intervalul [ ],c d

şi are loc egalitatea ( ) ( ), ,d b b d

c a a cdy f x y dx dy f x y dy=∫ ∫ ∫ ∫ .

Demonstraţie: Se va demonstra egalitatea mult mai generală şi anume:

( ) ( ), ,b b

c a a cdy f x y dx dy f x y dy

η η=∫ ∫ ∫ ∫ , ( ) [ ],c dη∀ ∈

(1) Se observă că atât în membrul stâng cât şi în cel drept avem funcţii în variabila η .

( ) ( )b

c aU dy I y dy

ηη = ∫ ∫ , ( ) ( ),

b

a cV dx f x y dy

ηη = ∫ ∫

Egalitatea (1) va fi demonstrată dacă: ( ) ( )' 'U Vη η= (2)

Într-adevăr (2) ⇒ (1) deoarece din ( ) ( ) ( ) ( )' 'U V U V Cη η η η= ⇒ = + ,

pentru ( ) ( )0C C U Vη η η= ⇒ = ⇒ = . În continuare se va demonstra că (2) este adevărată.

Fie ( ),F x y o primitivă a funcţiei ( ) ( ),b

aI y f x y dx= ∫ . Ţinând cont de această

presupunere se obţine ( ) ( ) ( )a

U I y dy F yc

η μη = =∫

Deci ( ) ( ) ( ) ( )' ' ,b

aU F I f x dxη η η η= = = ∫

(3)

Se consideră ( ) ( ),b

aV x dxη ϕ η= ∫ unde ( ) ( ), ,

cx y f x y dy

ηϕ = ∫

Deoarece ( ),f x y este continuă conform propoziţia 4.1.2 rezultă că funcţia

( ),xϕ η este continuă în raport cu x . Deoarece ( ) ( )' , ,x f xηϕ η η= atunci 'ηϕ este

continuă, deci sunt satisfăcute condiţiile propoziţiei 4.1.3 pentru funcţia

( ) ( ),b

aV x dxη ϕ η= ∫ Deci ( ) ( ) ( ) ( )' ' , ,

b b

a aV x dx V f x dxηη ϕ η η η= = =∫ ∫

(4) Din (3) şi (4) ( ) ( )' 'U Vη η= .

2. Proprietăţile funcţiei ( ) ( )( )

( ),

y

yJ y f x y dx

ψ

ψ= ∫

În acest paragraf se va considera că [ ],M c d= , iar funcţiile

[ ] [ ], : , ,c d a bϕ ψ → nu mai sunt funcţii constante ca în paragraful 1.

Propoziţia 4.2.1. (Proprietatea de continuitate a funcţiei ( )J y )

Fie [ ] [ ]: , ,f a b c d× → R . Dacă:

1) ( ),f x y este continuă în raport cu fiecare variabilă în [ ] [ ], ,a b c d× .

2) funcţiile ( )x yϕ= şi ( )x yψ= sunt continue în [ ],c d iar graficele lor sunt

incluse în dreptunghiul [ ] [ ], ,a b c d× , atunci ( ) ( )( )

( ),

y

yJ y f x y dx

ψ

ψ= ∫ este

continuă în [c,d]. Demonstraţie:

Fie [ ]0 ,y c d∈ fixat dar arbitrar atunci

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( )0

0

, ,y y

y yJ y f x y dx f x y dx

ψ ψ

ϕ ϕ= +∫ ∫

( ) ( )( )

( )

( )

( )

0 0

, ,y y

y yf x y dx f x y dx

ψ ϕ

ψ ϕ+ −∫ ∫

(1)

Se notează ( ) ( )( )

( )0

00 ,

y

yJ y f x y dx

ψ

ϕ= ∫ ; ( ) ( )

( )

( )

01 ,

y

yJ y f x y dx

ψ

ϕ= +∫ ;

( ) ( )( )

( )

02 ,

y

yJ y f x y dx

ϕ

ϕ= ∫ .

Egalitatea (1) este evidentă ţinând cont de aditivitatea faţă de interval a integralei definite.

Ţinând cont de propoziţia 4.1.1, este evident că

( ) ( )( )

( )0

00 00 ,

y

yy y y yJ y f x y dx

ψ

ϕ→ →= ∫lim lim

(2).

De asemenea ( )( )

( ) ( ) ( )0

0,y

yf x y dx M y y

ψ

ϕψ ψ≤ ⋅ −∫

(3)

şi ( )( )

( ) ( ) ( )0

0,y

yf x y dx M y y

ψ

ϕϕ ϕ≤ ⋅ −∫

(4) unde ( ),M f x y= max .

Ţinând cont de continuitatea funcţiilor ϕ şi ψ şi de relaţiile (3) şi (4)se obţine ( )

01 0

y yJ y

→=lim şi ( )

02 0

y yJ y

→=lim

(5) Din (1), (2) şi (5) ( ) ( )

00y y

J y J y→

=lim , egalitate ce arată că funcţia ( )J y este

continuă în punctul 0y . Cum 0y a fost ales arbitrar ( )J y este continuă pe [ ],c d .

Propoziţia 4.2.2. (Proprietatea de derivabilitate a funcţiei J(y)) Fie [ ] [ ]: , ,f a b c d× → R . Dacă:

1) ( ),f x y este continuă în [ ] [ ], ,a b c d× ;

2) există ( )' ,yf x y continuă în [ ] [ ], ,a b c d× ;

3) există ( )' yϕ şi ( )' yψ , ( ) [ ],y c d∀ ∈ , atunci funcţia ( )J y este derivabilă pe [c,d] şi are loc egalitatea:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )' ' ' ', , ,y

yyJ y f x y dx y f y y y f y y

ψ

ϕψ ψ ϕ ϕ= + ⋅ − ⋅∫

Demonstraţie: Fie [ ]0 ,y c d∈ fixat, dar arbitrar atunci

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )0

0 0

, , ,y y y

y y yJ y f x y dx f x y dx f x y dx

ψ ψ ψ

ϕ ϕ ψ= = + −∫ ∫ ∫ ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )0

0 1 2,y

yf x y dx J y J y J y

ϕ

ϕ− = + −∫

(1) În condiţiile propoziţiei 4.2.2, pentru integrala ( )0J y sunt satisfăcute condiţiile propoziţiei 4.1.3, deci va avea loc egalitatea:

( ) ( )( )

( )0

0

' '0 ,

y

yyJ y f x y dx

ψ

ϕ= ∫

(2) Pentru integrala ( )1J y , folosind teorema de medie se poate scrie:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )0

1 00 0 0

1 1 1, ,y

yJ y f x y dx y y f x y

y y y y y yψ

ψψ ψ= = −

− − −∫

unde ( ) ( )0 ,x y yψ ψ⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦

Trecând la limită după 0y y→ se obţine

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0 0

1 1 0 00 0

0 0

,y y y y

J y J y y yf y y

y y y yψ ψ

ψ→ →

− −= ⇔

− −lim lim

( ) ( ) ( )( )' '1 0 0 0 0,J y y f y yψ ψ⇔ = ⋅

(3) Analog se arată că:

( ) ( ) ( )( )' '2 0 0 0 0,J y y f y yψ ψ= ⋅

(4) Din (1), (2), (3) şi (4)

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0

0

' ' ' '0 0 0 0 0 0 0 0, , ,

y

yyJ y f x y dx y f y y y f y y

ψ

ϕψ ψ ϕ ϕ= + ⋅ − ⋅∫

Cum 0y este arbitrar ales, poate fi înlocuit cu y şi propoziţia 4.2.2 este demonstrată.

Observaţia 4.2.1.

a) Fie a∈ R şi [ ): ,f a M∞ × → R o funcţie local integrabilă în raport cu

variabila x , ( ) y M∀ ∈ . Atunci are sens funcţia ( ) ( ),a

k y f x y dx∞

= ∫ , numită

integrală cu parametru pe interval necompact.

b) Funcţia ( ) ( ),a

k y f x y dx∞

= ∫ are următoarele proprietăţi:

a. Dacă ( ),f x y este local integrabilă în raport cu x ;

b. Dacă ( ) ( )0

,u

y yf x y xϕ

→→ , ( ) [ ]0,x A∀ ∈ , ( ) A a∀ > .

Atunci ( )k y are limită în 0y şi

( ) ( ) ( )0 0

,a ay y y y

k y f x y dx x dxϕ∞ ∞

→ →= =∫ ∫lim lim unde

( ) ( )0

,y y

x f x yϕ→

= lim

Dacă: a. [ ],M c d=

b. ( ),f x y continuă în [ ] [ ], ,a b c d×

c. ( )k y uniform convergent în raport cu y pe [ ],c d , atunci

integrala improprie ( ) ( ),a

k y f x y dx∞

= ∫ este convergentă pe

mulţimea [ ],c d Dacă:

a. [ ],M c d=

b. ( ),f x y continuă în [ ] [ ], ,a b c d×

c. există ( )' ,yf x y continuă în [ ] [ ], ,a b c d×

d. integrala improprie ( )k y este uniform convergentă,

( ) [ ],y c d∀ ∈ , atunci funcţia k(y) este derivabilă pe [ ],c d şi are

loc egalitatea: ( ) ( )' ' ,yak y f x y dx

∞= ∫

3. Funcţiile lui Euler A. Funcţia beta Definiţia 4.3.1. Funcţia ( ) ( )

1 11

0, 1 baB a b x x dx−−= −∫ cu 0a > , 0b > se numeşte

integrala lui Euler de speţa întâi.

La propunerea matematicianului Legendre, mai poartă denumirea de funcţia beta.

Pentru ca funcţia ( ),B a b să fie bine definită, trebuie arătat că ( )1 11

01 bax x dx−− −∫

este convergentă, ( ) 0a∀ > , 0b > . Pentru 1a > şi 1b > , această integrală este o integrală definită, neavând puncte

critice. Pentru ( )0,1a∈ şi ( )0,1b∈ , integrala este improprie de speţa a doua având

0x = , 1x = puncte critice pentru funcţia ( ) ( ) 11 1 baf x x x −−= − . Ţinând cont de faptul că:

( ) ( ) ( )11 11 1 11 1 12

10 02

1 1 1b b ba a ax x dx x x dx x x dx− − −− − −− = − + −∫ ∫ ∫

se studiază convergenţa celor două integrale care au acum câte un singur punct critic 0x = respectiv 1x = . Dar ţinând cont de propoziţia 3.1.1 şi considerând 1p a= − atunci această integrală este convergentă dacă 1p < deci 1 1a− < ⇒

0 0a a− < ⇒ > . Deci prima integrală este convergentă, ( ) 0a∀ > .

Analog se demonstrează că şi a doua integrală este convergentă, ( ) 0b∀ > .

Aşadar ( )1 11

01 bax x dx−− −∫ este convergentă ( ) 0a∀ > şi 0b > şi atunci funcţia

( ),B a b este bine definită.

Propoziţia 4.3.1. (Proprietăţile funcţiei ( ),B a b )

Fie funcţia ( ) ( )1 11

0, 1 baB a b x x dx−−= −∫ , 0a > , 0b > . Această funcţie are

următoarele proprietăţi: 1. ( ) ( ), ,B a b B b a=

2. ( ) ( ) ( )1, , 1 , 11

bB a b B a b ba b

−= − ∀ >

+ −

3. ( ) ( ) ( ),1 , 0,1B a a aaπ

π− = ∀ ∈

⋅sin

Demonstraţie:

1. Pornind de la funcţia ( ) ( )1 11

0, 1 baB a b x x dx−−= −∫ , 0a > , 0b > , făcând

substituţia 1 x t− = se obţine:0 11 0

x tx tdx dt

= ⇒ =⎧⎪ = ⇒ =⎨⎪ = −⎩

Cu aceste rezultate,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 0 111 1 1

0 1 0, 1 1 1 ,

a aba b bB a b x x dx t t dt t t dt B b a− −−− − −= − = − − ⋅ = ⋅ − =∫ ∫ ∫

2. Pentru a demonstra această proprietate se porneşte de la

( ) ( )1 11

0, 1 baB a b x x dx−−= −∫ şi se foloseşte integrarea prin părţi. Se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 11 1 21

0 0

1 1 12 2 11 1

0 0 0

11 1 1, 1 1 10

1 11 1 1

b b ba a a a

b b ba a a

bB a b x x dx x x x x dxa a a

b bx x dx x x dx x x dxa a

− − −−

− − −− −

−= − = − ⋅ + − =

− − ⎡ ⎤= − = − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Deci ( ) ( ) ( )1 1, , 1 ,b bB a b B a b B a ba a− −

= − − ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 , 1 , 1 , , 11

ba b B a b b B a b B a b B a ba b

−⇒ + − = − − ⇒ = −

+ −.

În proprietatea 2), dacă numerele reale a şi b se înlocuiesc cu numerele naturale m şi

n , proprietatea 2) are următoarea formă: ( ) ( )( )( )

1 1 !,

1 !m n

B m nm n− −

=+ −

. Această relaţie

se obţine prin aplicarea repetată a proprietăţii 2). 3. Pentru a demonstra proprietatea 3) se porneşte de la

( ) ( )1 11

01 ,bax x dx B a b−− − =∫ , 0a > , 0b > şi se face substituţia

1yx

y=

+. Deci

1xy

x=

−.

Se obţine:

( )2

0 01

1

x yx y

dydxy

⎧⎪

= ⇒ =⎪⎪ = ⇒ = +∞⎨⎪⎪ =⎪ +⎩

Cu aceste rezultate se obţine:

( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 1 20 0

1,1 1 1 1

a a

a b a b

y dy yB a b dyy y y y

− −∞ ∞

− − += =+ + + +∫ ∫

4. Deoarece ( )0,1 1 0a a∈ ⇒ − > . În integrala ( ),B a b la proprietatea 3) se

consideră 1 0b a= − > şi se obţine ( )1

0,1

1

ayB a a dyy

−∞− =

+∫ . Aceasta este o

integrală improprie de speţa a-III-a, deoarece pentru ( )0,1 1 0a a∈ ⇒ − < şi

0y = este punct critic pentru funcţia ( )1

1

ayf yy

−

=+

. Din acest motiv se va scrie:

( )1 1 11

1 20 0 1,1

1 1 1

a a ay y yB a a dy dy dy I Iy y y

− − −∞ ∞− = = + = +

+ + +∫ ∫ ∫ .

Pentru a calcula pe 1I se ţine cont că pentru ( )0,1y = , funcţia ( )1

1

ayf yy

−

=+

este

suma seriei ( ) 1

01 n a n

ny

∞+ −

=

− ⋅∑ , adică ( )1

1

01

1

an a n

n

y yy

− ∞+ −

=

= − ⋅+ ∑

Deoarece această serie este uniform convergentă către funcţia ( )1

1

ayf yy

−

=+

, se

poate integra termen cu termen şi se obţine:

( )11

1 00

111

an

n

yI dyy a n

− ∞

=

= = − ⋅+ +∑∫

(1)

Pentru a calcula integrala 2I se foloseşte substituţia 1yz

= .

Ţinând cont de această substituţie se obţine:

2

1 10

y zy z

dzdyz

⎧⎪ = ⇒ =⎪

= ∞⇒ =⎨⎪⎪ = −⎩

Ţinând cont de aceste relaţii 0 1

2 1 21 0

11 1

a

a

z dz zI dzz zz z

−

−= − =+ +∫ ∫ .

Se observă că 2I este o integrală de tipul lui 1I . În acelaşi mod cum s-a procedat

la 1I se obţine că 1

2 0 1

azI dzz

−

=+∫ va fi egală cu ( )

0

11 n

n a n

∞

=

− ⋅+∑ (2)

Deci

( ) ( )1 21

1 1 1,1 1 n

nB a a I I

a a n a n

∞

=

⎡ ⎤− = + = − +⎢ ⎥+ −⎣ ⎦∑

(3)

De la serii de puteri se ştie că ( )1

1 1 1 11 n

nx x x n x nπ π

∞

=

⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥− +⎣ ⎦∑sin

Atunci ( )1

1 1 1 1 11 n

na a n a nπ π π

∞

=

⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥⋅ − +⎣ ⎦∑sina

Deci ( )1

1 1 1 11 n

na a n a nπ

∞

=

⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥⋅ − +⎣ ⎦∑sina

(4)

Din (3) şi (4) se obţine ( ),1B a aaπ

π− =

⋅sin.

B. Funcţia Γ(a)

Definiţia 4.3.2. Funcţia ( ) 1

0

a xa x e dx∞ − −Γ = ⋅ ⋅∫ , 0a > , se numeşte integrala de speţa a

doua a lui Euler (de genul II), iar la propunerea matematicianului Legendre, această funcţie mai poartă denumirea de funcţia “gama“. Pentru ca funcţia ( )aΓ să fie bine definită, trebuie ca integrala improprie care o defineşte să fie o integrală convergentă. Se observă că 1

0

a xx e dx∞ − −⋅ ⋅∫ pentru 1a ≥ este o integrală improprie de speţa I,

iar pentru ( )0,1a∈ , aceasta este o integrală improprie de speţa a-III-a. Din această cauză se consideră descompunerea:

( ) 1 1

0 1

a x a xa x e dx x e dx∞ ∞− − − −Γ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫ .

Prima integrală, ţinând cont de propoziţia 3.2.2, consecinţa 2 este convergentă pentru ( )0,1a∈ , iar a doua integrală în mod evident este

convergentă. Atunci funcţia ( )aΓ este convergentă pentru ( ) 0a∀ > .

Propoziţia 4.3.2. (Proprietăţile funcţiei ( )aΓ )

Funcţia ( ) 1

0

a xa x e dx∞ − −Γ = ⋅ ⋅∫ , 0a > , are următoarele proprietăţi:

1. ( ) ( )1a a aΓ + = ⋅Γ

2. ( ) ( ) ( )( )

,a b

B a ba b

Γ ⋅Γ=

Γ +

3. ( ) ( )1a aaπ

πΓ ⋅Γ − =

⋅sin, ( ) ( )0,1a∀ ∈

4. Funcţia ( )aΓ este indefinit derivabilă cu derivata de orice ordin continuă.

Demonstraţie: 1. Pentru a demonstra proprietatea se va porni de la ( )a a⋅ Γ şi se va integra prin părţi. Se obţine:

( )

( )

1 1

0 0

1

0 0 01

0

a x a x

a a x a a x a x

a a a x e dx x e adx

x dx e x x e dx x e dx a

∞ ∞− − − −

∞ ∞ ∞− − − −

⋅ Γ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

∞= ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = Γ +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Aşadar ( ) ( )1a a a⋅ Γ = Γ + Dac• în proprietatea 1) se consider• a n= , n∈ ,

aplicând proprietatea 1) în mod repetat, ( )1 !n nΓ + = .

Deci func•ia Γ este o generalizare a func•iei factoriale. Se consider• ( )0 1Γ = .

2. Pentru a demonstra această proprietate, în ( ) 1

0

a xa x e dx∞ − −Γ = ⋅∫ se face

substituţia: x t y= ⋅ , ( )0t > unde y este variabilă de integrare. Ţinând cont de această substituţie se obţine

0 0x y

x ydx t dy

= ⇒ =⎧⎪ = ∞⇒ = ∞⎨⎪ = ⋅⎩

şi atunci ( ) 1 1

0

a a tya t y e dt∞ − − −Γ = ⋅ ⋅ ⋅∫

Atunci ( ) ( )1 1

0 0

a a ty a tya

aa t y e dy y e dy

t∞ ∞− − − −Γ

Γ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅∫ ∫

(1) Dacă în relaţia (1) se înlocuieşte a cu a b+ şi t cu 1 t+ , se obţine:

( )

( )( )11

01t ya b

a b

a by e dy

t

∞ − ++ −+

Γ += ⋅ ⋅

+ ∫

(2) Se înmulţeşte relaţia (2) cu 1at − şi se integrează în raport cu t de la zero la infinit

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 1

0 0 0

1 1 1

0 0 0

1

0

1

,

, ,

aa a b y ty

a b

a b y a ty a b ya

b y

ta b t dt y e et

aa b B a b y e dy t e dt y e dy

y

a b B a b a y e dy a b B a b a b

−∞ ∞ ∞− + − − −+

∞ ∞ ∞+ − − − − + − −

∞ − −

Γ + = ⋅ ⋅ ⇒+

Γ⇒ Γ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⇒ Γ + ⋅ = Γ ⋅ ⇒ Γ + ⋅ = Γ ⋅Γ

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

Deci ( ) ( ) ( )( )

,a b

B a ba b

Γ ⋅Γ=

Γ +.

3. Dacă în proprietatea 2 se consideră 1 0b a= − > şi ţinând cont că:

( ) ( ),1 1B a a aa aπ π

π π− = ⇒ = Γ −

⋅ ⋅sin sin.

Observaţia 4.3.1. Funcţiile ( ),B a b şi ( )aΓ sunt utile în practică la calculul unor integrale definite ce apar în diverse fenomene fizice şi procese tehnice, integrale care în alt mod nu ar putea fi calculate.

4. Exerciţii rezolvate.

1. Pornind de la funcţia integrală ( )0

, dxFx

πλ μ

λ μ=

+∫ cos; 0λ μ> > să se

calculeze ( )1 20

dxIx

π

λ μ=

+∫ cos şi

( )2 20

x dxIx

π

λ μ=

+∫cos

cos.

Rezolvare:

Se observă ( ) 1,f xx

λλ μ

=+ cos

sau ( ) 1,f xx

μλ μ

=+ cos

îndeplineşte

condiţiile teoremei de derivabilitate a funcţiei integrale.

( )20

F dxx

π

λ λ μ∂

= −∂ +∫ cos

şi ( )20

F x dxx

π

μ λ μ∂

= −∂ +∫

coscos

.

Adică

1FIλ∂

= −∂

, 2FIμ∂

= −∂

(1) Se găseşte valoarea sub formă neintegrală a funcţiei ( ),F λ μ .

( ) ( ) 20 0, 2dx dxF

x tπ π

λ μλ μ λ μ λ μ

= =+ − + +∫ ∫cos

2xt⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠tg

( )2 2

,F πλ μλ μ

=−

(2) Derivând egalitatea (2) în funcţie de λ şi μ se obţine:

( )2 2 2 2

F πλλ λ μ λ μ

∂= −

∂ − ⋅ −;

( )2 2 2 2

F πμμ λ μ λ μ

∂= −

∂ − ⋅ −

(3)

Din (1) şi (3) se obţine ( )1 2 2 2 2

I πλ

λ μ λ μ=

− ⋅ −,

( )2 2 2 2 2I πμ

λ μ λ μ=

− ⋅ −.

2. Să se calculeze:

( )0

1 kxxF ex

α∞ −−

= ∫cos , 0, 0kα ≥ > .

Rezolvare: Ţinând cont de criteriile de convergenţă de la integralele improprii, integrala ce

defineşte pe ( )F α este convergentă. Funcţia ( ) 1, kxnf x exαα −− ⋅

=cos

îndeplineşte condiţiile teoremei de derivabilitate a funcţiei integrale.

( )'

0

kxF x e dxα∞ −= ⋅ ⋅∫ sin . Integrând prin părţi se obţine:

( )'2 2F

kαα

α=

+

(1)

Se integrează egalitatea (1) în raport cu α şi se obţine ( ) ( )2 212

F k Cα α= + +ln

(2) Din forma integrală a lui ( )F α şi din egalitatea (2) pentru 0α = se obţine:

( )( )0 0

0

FC k

F k C

⎧ =⎪ ⇒ = −⎨= +⎪⎩

lnln

.

Aşadar ( )2 2kFk

αλ += ln

3. Să se calculeze 2

0

xI e dx∞ −= ∫ .

Rezolvare: Pornim de la ( ) 1

0

a xa x e dx∞ − −Γ = ⋅ ⋅∫ , 0a > .

Se foloseşte substituţia 2x t= şi se obţine: 12

0

12

tI t e dt−∞ −= ⋅ ⋅∫ .

Deci 1 12 2

I ⎛ ⎞= ⋅Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1)

Se cunoaşte că ( ) ( )1a a ππ

Γ ⋅Γ − =sin

, ( )0,1a∈ .

Deci 2

1 12 2

π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ = ⇒ Γ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2)

Din (1) şi (2) se obţine 2

I π= .

4. Să se demonstreze egalitatea:

21 1

0 04 4 41 1

dx x dx

x x

π⋅⋅ =

− −∫ ∫

Rezolvare: Pentru a demonstra egalitatea se utilizează funcţia ( ) ( )

1 11

0, 1 baB a b x x dx−−= −∫ ,

0, 0a b> > . Pentru aceasta se face substituţia 4x t= şi se obţine:

21 1

0 04 4

1 1 1 3 1, ,16 4 2 4 21 1

dx x dx B Bx x

⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −

∫ ∫

(1)

Ţinând cont de faptul că ( ) ( ) ( )( )

,a b

B a ba b

Γ ⋅Γ=

Γ + din (1) se obţine.

21 1

0 04 4

1 1 3 11 4 2 4 2

3 5161 14 4

dx x dx

x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ ⋅Γ Γ ⋅Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅ = ⋅ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − Γ Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

2

2

1 12 41 1 11 116 4 2 44 4

π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ ⋅Γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎣ ⎦= = ⋅Γ =⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⋅ Γ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Deci 21 1

0 04 4 41 1

dx x dx

x x

π⋅⋅ =

− −∫ ∫ .

5. Să se calculeze: ( )

4

20 1xI dxx

∞=

+∫ .

Rezolvare:

Ţinând cont de faptul că ( )( )

1

0,

1

a

a b

yB a b dyy

−∞

+=+∫ ,

( )

4

20

5 3,4 41

xI dx Bx

∞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠+∫

(1)

Se ştie că ( ) ( )1, 1,1

aB a b B a ba b

−= −

+ −

(2) Ţinând cont de (2) din (1) se obţine:

( )

4

20

1 1 3 1,4 4 4 41

414 2 2 2

2

xI dx Bx

ππ

π π

∞ ⎛ ⎞= = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠+

= ⋅ =

∫sin

Deci ( )

4

20 2 21x dxx

π∞=

+∫ .

CAPITOLUL 5 INTEGRALA CURBILINIE

1. Integrala curbilinie în raport cu coordonatele. Proprietăţi. Formulă de calcul

Integrala curbilinie este o generalizare a integralei definite, deoarece intervalul de integrare [ ],a b se înlocuieşte cu arcul de curbă netedă AB . Necesitatea studierii integralei curbilinii a fost impusă de foarte multe probleme practice din fizică şi tehnică. În continuare, pentru a introduce noţiunea de integrală curbilinie în raport cu coordonatele se va porni de la problema lucrului mecanic. Se ştie că dacă o forţă constantă ca modul şi direcţie F îşi deplasează rectiliniu punctul de aplicaţie din punctul A în punctul B ca în figura1, se obţine că: L F AB θ= ⋅ cos (1)

Fig. 1 Dacă că forţa F nu mai este constantă în mărime şi sens şi ea se înlocuieşte cu câmpul vectorial ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,F X x y z Y x y z Z x y z⎡ ⎤⎣ ⎦ şi segmentul AB se înlocuieşte

cu arcul de curbă AB ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , , , ,A x y z B x y z⎡ ⎤⎣ ⎦ (totul s-a raportat la sistemul cartezian Oxyz ), atunci formula 1 nu mai poate fi utilizată.

Fig. 2

F

θ

A B

z

x 0 y

A

BM0

M1M2

Mk ... Mn

F

Dacă AB este un segment din 3R cu ajutorul formulei (1), ţinând cont de produsul scalar, se obţine:

( )( ) ( )( ) ( )( )2 1 2 1 2 1, , + , , + , , L X x y z x x Y x y z y y Z x y z z z≅ − + − − (2)

unde 3, , :X Y Z AB ⊆ →R R Pentru a putea calcula lucrul mecanic efectuat de forţa ( ), ,F x y z X i Y j Z k= ⋅ + ⋅ + ⋅

ce îţi deplasează punctul de aplicaţie pe arcul de curbă AB se procedează astfel: se consideră o diviziune nΔ a arcului dată de următoarea mulţime:

{ }0 1 2 1, , ,..., , ,...,n K K nA M M M M M M B+Δ = ≡ ≡ .

Se calculează lucrul mecanic efectuat de forţa ( ), ,F x y z pe segmentul 1k kM M + ,

ţinându-se cont că ( ), ,k k k kM x y z , ( )1 1 1 1, ,k k k kM x y z+ + + + şi se obţine:

( )( ) ( )( )

( )( )

1

1 10

1

, , , ,

, ,

n

n k k k k k k k k k kk

k k k k k

L X x x Y y y

Z z z

ξ η ζ ξ η ζ

ξ η ζ

−

+ +=

+

⎡= − + − +⎣

⎤− ⎦

∑ (3)

Definiţia 5.1.1. Fie ( ) 0n n≥Δ un şir de diviziuni ale arcului AB cu proprietatea că:

( ) 0nϑ Δ → . Dacă pentru acest şir de diviziuni, şirul ( ) 0n nL

≥ dat de relaţia (3) are

limită finită, limita respectivă reprezintă lucrul mecanic al forţei ( ), ,F x y z ce se

deplasează pe arcul AB şi acesta se notează astfel: ( ) ( ) ( ), , , , , ,

AB

L X x y z dx Y x y z dy Z x y z dz= + +∫ (4)

şi integrala respectivă se numeşte integrală curbilinie în raport cu coordonatele pe o curbă din R3. Observaţia 5.1.1. a) Dacă vectorul de poziţie al punctului mobil M AB∈ este r x i y j z k= ⋅ + ⋅ + ⋅ , atunci

AB

Xdx Ydy Zdz+ +∫ , unde ( ), ,F F x y z= se mai notează şi astfel: AB

Fdr∫ .

Într-adevăr ( ), ,F x y z X i Y j Z k= ⋅ + ⋅ + ⋅ , iar

dr dx i dy j dz k Fdr Xdx Ydy Zdz= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ = + +

şi astfel notaţia este justificată. Dacă arcul de curbă AB se înlocuieşte cu o curbă închisă Γ, atunci integrala curbilinie pe curba închisă Γ se notează astfel: Fdr

Γ∫ .

b) Pentru simplificarea scrierii atunci când nu se pot face confuzii se scrie , ,X Y Z , în loc de ( ), ,X x y z , ( ), ,Y x y z , ( ), , .Z x y z Integrala curbilinie în raport cu coordonatele se mai numeşte integrală curbilinie de speţa a II-a.

Propoziţia 5.1.1. (Formula de calcul a integralei curbilinii de speţa a II-a) Fie AB ⊂ 3R un arc de curbă care are următoarele ecuaţii parametrice:

( )( ) [ ] [ ]

( )

1,: , , , a b

x f t

AB y g t t a b f g h C

z h t

⎧ =⎪⎪= = ∈ ∈⎨⎪

=⎪⎩

şi

şi ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,F x y z X x y z i Y x y z j Z x y z k= ⋅ + ⋅ + ⋅ ,

unde 3, , :X Y Z AB ⊂ →R R continue. Atunci:

( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ))(( ' ', , , ,

AB

b

a

Xdx Ydy Zdz

X f t g t h t f t Y f t g t h t g t

+ + =

⎡= ⋅ + ⋅ +⎢⎣

∫

∫

( ) ( ) ( ) ( ))( ', ,Z f t g t h t h t dt⎤+ ⋅ ⎦ (5)

Demonstraţie: Fie { }0 1 2: , , ,..., ,....,n k nM A M M M M BΔ = = = o diviziune a arcului AB . Acestei diviziuni

nΔ îi corespunde diviziunea { }0 1 2: ... ...n k nd a t t t t t b= = < < < < < < = a intervalului

[ ],a b astfel încât ( ) ( ) ( ), ,k k k k k kx f t y g t z h t= = = , unde , ,k k kx y z sunt coordonatele punctului kM . Se consideră suma:

( )( ) ( )( ) ( )( )1

1 1 10

, , , , , ,n

k k k k k k k k k k k k k k kk

X x x Y y y Z z zξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ−

+ + +=

⎡ ⎤− + − + −⎣ ⎦∑

unde [ ] [ ] [ ]1 1 1, , , , ,k k k k k k k k kx x y y z zξ η ζ+ + +∈ ∈ ∈ . Din motive de analogie, în continuare se va considera numai suma:

( )( )1

11

, ,n

k k k k kk

X x xξ η ζ−

+=

−∑

( ) ( ) ( ) ( )'1 1 1k k k k k k kx x f t f t t t f θ+ + +− = − = − ⋅ unde ( )1,k k kt tθ +∈ , relaţia obţinându-

se prin aplicarea teoremei lui Lagrange funcţiei f . Datorită continuităţii funcţiilor , ,f g h , se poate afirma că există [ ]1,k k kt t t +∈ astfel

încât ( ) ( ) ( ), ,k k k k k kf g hξ τ η τ ζ τ= = = . Cu aceste rezultate se obţine:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1

'1 1

1 1

, ,n n

k k k k k k k k k k kk k

X x x X f g h t t fξ η ζ τ τ τ θ− −

+ += =

− = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅∑ ∑ (6)

Conform ipotezei, ( )'f t este continuă pe [ ],a b . Fiind continuă pe compactul [ ],a b , ea este uniform continuă pe acest compact. Deci, conform definiţiei uniform continuităţii se obţine: ( ) 0ε∀ > , există ( )δ ε astfel încât:

( ) [ ] ( ) ( ) ( )' '1, ,k k k k k k k kt t f fθ τ θ τ δ ε θ τ ε+∀ ∈ − < ⇒ − < (7)

De asemenea, funcţia ( ), ,X x y z fiind continuă pe [ ],a b ea este mărginită pe această curbă. Deci există 0M > astfel încât:

( ), ,X x y z M≤ (8) Egalitatea (6) mai poate fi scrisă şi astfel:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

1'

11

1'

11

1' '

11

n

k k k k k kk

n

k k k k k kk

n

k k k k k k kk

X f g h t t f

X f g h t t f

X f g h t t f f

τ τ τ θ

τ τ τ τ

τ τ τ θ τ

−

+=

−

+=

−

+=

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −

∑

∑

∑

(9)

Ţinând cont de inegalităţile (7) şi (8), prin trecere la limită după n→∞ în egalitatea (9), limita celei de-a doua sume este zero. Deci se obţine:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1'

11

1'

11

', ,

n

k k k k k kn kn

k k k k k kn kb

a

X f g h t t f

X f g h f t t

X f t g t h t f t

τ τ τ θ

τ τ τ τ

−

+→∞=

−

+→∞=

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ − =

⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦

∑

∑

∫

lim

lim

deoarece suma din membrul drept este o sumă Riemann a funcţiei ( ) ( ) ( ) ( ) ( )', ,H t X f t g t h t f t⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦ .

Astfel s-a obţinut că ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )', , , ,b

aAB

X x y z dx X f t g t h t f t dt= ⋅ ⋅∫ ∫

În mod cu totul analog se obţine că ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )', , , ,b

aAB

Y x y z dy Y f t g t h t f t dt= ⋅ ⋅∫ ∫

şi

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )', , , ,b

aAB

Z x y z dz Z f t g t h t f t dt= ⋅ ⋅∫ ∫

Însumând cele trei egalităţi se obţine egalitatea (5) din propoziţia 5.1.1., care este formula de calcul a integralei curbilinii cu raportul cu coordonatele.

Observaţia 5.1.2. a) Rezultatul obţinut este valabil şi pentru o curbă închisă; b) Pentru a putea calcula o integrală curbilinie pe curba AB este neapărat nevoie de o

ecuaţie parametrică a acestei curbe; c) În cazul în care AB ⊂ 2R , atunci ecuaţiile parametrice sunt de forma:

( )( ) [ ]: . ,

0

x f t

AB y g t t a bz

⎧ =⎪

= = ∈⎨⎪ =⎩

În această situaţie, formula de calcul este:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' ', ,b

aAB

Xdx Ydy X f t g t f t Y f t g t g t dt⎡ ⎤+ = ⋅ + ⋅ ⋅⎣ ⎦∫ ∫ egalitate ce

reprezintă for-mula de calcul a integralei curbilinii în raport cu coordonatele pe o curbă plană.

Exemplu:

Să se calculeze 22C

xydx x dy+∫ dacă curba (C) este elipsa de ecuaţie carteziană:

2 2

2 2 1 0x ya b

+ − =

Conform Propoziţia 5.1.1., trebuie să se scrie ecuaţiile parametrice ale elipsei.

Acestea sunt: [ ]'

0, 2

x a t

ty b t

π=⎧

∈⎨=⎩

sin cos

. În acest caz concret

( ), 2 ;X x y xy=

( ) 2,Y x y x=

( ) ;f t a t= sin

( ) g t a t= cos ;

[ ] [ ], 0, 2a b π= ;

( )h t nu apare, deoarece 0z = , curba fiind plană. Conform formulei de calcul a integralei curbilinii rezultă

( )

22 2 2 2 2

0

22 2 2

0

2 2

2 0

C

xydx x dy a b t t a b t dt

a b b t t t dt

π

π

⎡ ⎤+ = ⋅ − =⎣ ⎦

= ⋅ − =

∫ ∫

∫

sin cos sin

sin cos sin

Propoziţia 5.1.2. Valoarea unei integrale curbilinii nu depinde de ecuaţie parametrică aleasă pentru curba AB . Demonstraţie:

( )( ) [ ]( )

; ,

x f t

y g t t a b

z h t

⎧ =⎪

= ∈⎨⎪ =⎩

o ecuaţie parametrică a curbei AB

O altă ecuaţie parametrică a curbei se poate obţine pornind de la această ecuaţie folosind substituţia: ( )t uϕ= , [ ],u α β∈ . Atunci noua ecuaţie parametrice ale curbei este:

( )( )( )( ) [ ]( )( )

,

x f u

y g u u

z h u

ϕ

ϕ α β

ϕ

⎧ =⎪⎪ = ∈⎨⎪

=⎪⎩

este funcţia continuă strict monotonă.

Ţinând cont de schimbarea de variabilă în integrala definită rezultă că cele două integrale definite care se obţin prin aplicarea formulei de calcul (pentru integrală

x

a

-b

-a

curbilinie folosind cele două reprezentări parametrice ale curbei AB ), dau acelaşi rezultat, ceea ce demonstrează propoziţia 5.1.2.

2. Proprietăţile integralei curbilinii în raport cu coordonatele Propoziţia 5.2.1. Integrala curbilinie

AB

Fdr∫ are următoarele proprietăţi:

1) AB BA

Fdr Fdr= −∫ ∫

2) Fie AB AC CB= ∪ . Atunci AB AC CB

Fdr Fdr Fdr= +∫ ∫ ∫

3) Fie 1 2,F F două funcţii vectoriale astfel încât

1AB

F dr∫ şi 2AB

F dr∫ există şi ,λ β ∈ R

Atunci există ( )1 2AB

F F drλ β±∫ şi are loc egalitatea:

( )1 2 1 2AB AB AB

F F dr F dr F drλ β λ β± = ±∫ ∫ ∫ (proprietatea de liniaritate a integralei

curbilinii) 4) Dacă curba Γ este o curbă închisă, nu contează punctul M care se consideră pe această curbă pentru a calcula integrala. Demonstraţie: Conform cu formula de calcul a integralei curbilinii, are loc o egalitate de forma:

( )b

aAB

Fdr G t dt=∫ ∫

Ţinând cont de proprietăţile integralei definite, proprietăţile 1), 2), 3), 4) sunt evidente. Observaţia 5.2.1. a) Între , ; , ; ,X x Y y Z z -de foarte multe ori în scriere se face confuzie între

aceste litere. De aceea se scrie în loc de : ;

AB AB

Xdx Ydy Zdz Pdx Qdy Rdz+ + + +∫ ∫ ( ), ,P P x y z= , ( ), ,Q Q x y z= ,

( ), ,R R x y z=

b) Valoarea integralei curbilinii depinde atât de curba AB cât şi de funcţiile , ,P Q R . În cele ce urmează se vor da condiţiile necesare şi suficiente ca integrala curbilinie să nu mai depindă de curba ce uneşte punctele A şi B .

Propoziţia 5.2.2. (Independenţa faţă de drum a integralei curbilinii de speţa aII-a) Fie 3, , :P Q R D ⊂ →R R . Condiţie necesară şi suficientă ca integrala curbilinie

AB

Pdx Qdy Rdz+ +∫ să nu

depindă de curba ce uneşte punctele ,A B D∈ este ca Pdx Qdy Rdz+ + să fie o diferenţială totală exactă. Demonstraţie:

Se spune că Pdx Qdy Rdz+ + este o diferenţială totală exactă dacă există ( ), ,V x y z diferenţiabilă astfel încât dV Pdx Qdy Rdz= + + .

Această afirmaţie este evident echivalentă cu: VPx

∂=∂

, VQy

∂=∂

, VRz

∂=∂

.

Fig. 3

Fie domeniul D ca în figura 3. Presupunem că integrala curbi-linie este independentă de drumul ce uneşte pe A cu M , adică:

( ) ( ), , ; , ,AM

Pdx Qdy Rdz V x y z M M x y z+ + = =∫

Atunci ( ) ( )'

' ', , ; , ,AM

Pdx Qdy Rdz V x h y z M M x h y z+ + = + = +∫

Ţinând cont de proprietatea de liniaritate a integralei curbilinii se obţine: ( ) ( )

'

, , , ,MM

V x h y z V x y z Pdx Qdy Rdz+ − = + +∫

Deci ( ) ( ) ( ), , , , , ,x h

x

V x h y z V x y z P x y z dx+

+ − = ∫

Conform formulei de medie pentru integrala definită se obţine: ( ) ( ) ( ), , , , , ,V x h y z V x y z h P x h y zθ+ − = ⋅ + , ( )0,1θ ∈ . Trecând la limită în această egalitate se obţine:

( ) ( ) ( )0 0

, , , ,, ,

h h

V x h y z V x y zP x h y z

hθ

→ →

+ −= +lim lim . Aşadar ( ), ,V P x y z

x∂

=∂

.

În mod analog, luând segmentele 'MM Oy , respectiv 'MM Oz , se va obţine:

( ) ( ), , şi , ,V VQ x y z R x y zx z

∂ ∂= =

∂ ∂

De unde prin adunare se obţine V V VPdx Qdy Rdz dx dy dz dVx y z

∂ ∂ ∂+ + = + + =

∂ ∂ ∂

Astfel s-a arătat că Pdx Qdy Rdz+ + este o diferenţă totală exactă. În continuare se va demonstra că condiţia de diferenţială totală exactă este şi suficientă pentru independenţa faţă de drum.

x

z

y0

A(a,b,c)

M’(x+h,yz)

M(x,y,z)

Deci, să presupunem că există ( ), ,V x y z diferenţiabilă astfel încât

dV Pdx Qdy Rdz= + + . Deci , ,V V VP Q Rx y z

∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂

Fie curba Γ care uneşte

punctele A şi B şi care are următoarele ecuaţii parametrice: ( )( ) [ ]( )

[ ]1

,: ; , , , ,

x f t

y g t t f g h C

z h tα βα β

⎧ =⎪

Γ = = ∈ ∈⎨⎪ =⎩

Dacă ( ), ,A a b c şi ( ), ,M x y z D∈ atunci există [ ]0 ,t α β∈ astfel încât ( )0a f t= ,

( )0b g t= , ( )0c h t= şi ( )x f t= , ( )y g t= , ( )z h t= . Deci, se poate spune că:

( ) ( ) ( ))( ( ) ( ) ( )( ( ) ( )

0

0 0

, , , ,

AM AM

t

t

t

t

V V VPdx Qdy Rdz dx dy dzx y z

V x V y V z dtx t y t z t

td V f t g t h t V f t g t h t V M V Atdt

∂ ∂ ∂+ + = + + =

∂ ∂ ∂

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅ =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = −⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫

∫

∫

ceea ce arată că în cazul în care cantitatea de sub integrală este o diferenţă totală exactă, atunci valoarea integralei curbilinii depinde numai de punctul de sosire M şi de punctul de plecare A , deci există independenţă faţă de drum. În continuare se va pune problema recunoaşterii dacă cantitatea de sub integrala curbilinie este o diferenţă totală exactă. Se consideră că:

, ,V V VP Q Rx y z

∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂

Rezultă că

2 22

2 22; ;

V Q V RV Py x x z x yx y yV Q V RV P

y z z z y zx z z

⎧ ⎧∂ ∂ ∂ ∂⎧ ∂ ∂ = == ⎪ ⎪⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪ ⎪= ==⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎩ ⎩ ⎩

Ţinând seama de teorema lui Schwartz pentru derivate mixte din egalităţile anterioare se obţine

P Qy xP Rz xQ Rz y

∂ ∂⎧ =⎪ ∂ ∂⎪∂ ∂⎪ =⎨ ∂ ∂⎪∂ ∂⎪ =⎪ ∂ ∂⎩

Şi astfel am demonstrat următoarea proprietate. Propoziţia 5.2.3. Dacă

AB

Pdx Qdy Rdz+ +∫ nu depinde de drum, atunci are loc sistemul de

egalităţi:

P Qy xP Rz xQ Rz y

∂ ∂⎧ =⎪ ∂ ∂⎪∂ ∂⎪ =⎨ ∂ ∂⎪∂ ∂⎪ =⎪ ∂ ∂⎩

şi reciproc.

Propozi•ia 5.2.4. Integrala curbilinie în raport cu coordonatele nu depinde de drum dac• •i numai dac• ea este nul• pe orice curb• închis• inclus• în domeniul de defini•ie al func•iilor , ,P Q R. Demonstraţie: Fie D ⊂ R domeniul de definiţie al lui , ,P Q R şi DΓ ⊂ o curbă închisă ca în figura 4. Să presupunem că integrala curbilinie este independentă faţă de drum. Atunci rezultă că:

Fig. 4

0

0

AM B

ANB

AM B

B NA

r

Pdx Qdy Rdz

Pdx Qdy Rdz

Pdx Qdy Rdz

Pdx Qdy Rdz

Pdx Qdy Rdz

+ + =

= + + ⇒

⇒ + + +

+ + + = ⇒

⇒ + + =

∫

∫

∫

∫

∫

Reciproc, se presupune că:

x

0 y

z M

A

N

B

D

0 0AM BNA AM B B N A

AM B ANB

Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz

Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz

+ + = ⇒ + + + + + = ⇒

⇒ + + = + + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

egalitate ce ne arată independenţa faţă de drum a integralei curbilinii. Propoziţia 5.2.5. (Calculul integralei curbilinii independente faţă de drum)

Dacă integrala curbilinie este independentă faţă de drumul ce uneşte pe ( ), ,A a b c cu

( ), ,M x y z , atunci are loc următoarea egalitate:

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,x y z

a b cV x y z P t b c dt Q x t c dt R x y t dt= + +∫ ∫ ∫

Demonstraţie: Deoarece integrala curbilinie este independentă faţă de drum, nu contează drumul ce uneşte punctele A cu M şi în cazul de faţă se va considera drumul din figura 5, unde

, ,AB Ox Bc Oy CM Oz . Datorită independenţei faţă de drum se ştie că:

Fig. 5

( ) ( ) ( ), , , , , ,

AB BC CMx y z

a b c

dV Pdx Qdy Rdz

Pdx Qdy Rdz

P t b c dt Q x t c dt R x y t dt

= + + =

= + + =

= + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Observaţia 5.2.2.a) Integrala curbilinie în raport cu coordonatele se mai numeşte aşa cum s-a mai spus anterior integrală curbilinie de speţa a-II-a.

b) Un alt tip de integrală curbilinie este integrala curbilinie în raport cu elementul de arc, care se numeşte integrala curbilinie de speţa I.

x

z

y

A(a,b,c)

B(x,b,c)

C(x,y,c)

M(x,y,z)

3. Integrala curbilinie în raport cu elementul de arc Definiţia 5.3.1. Fie AB ⊂ 3R o curbă de ecuaţii parametrice:

( )( ) [ ]( )

[ ]1

,: ; , , , ,

x f t

AB y g t t f g h C

z h tα βα β

⎧ =⎪

= = ∈ ∈⎨⎪ =⎩

şi funcţia 3:F D ⊂ →R R o funcţie continuă şi AB D⊂ . Fie { }0 1 2: , , ,..., ,....,n k nM A M M M M BΔ = = = o diviziune a curbei AB şi suma

( )1

0

n

k kk

F M S−

=

⋅∑ unde 1,k k kS M M += .

Dacă se consideră un şir de diviziuni ( ) 0n n>Δ ale arcului AB astfel încât

( ) 0nnυ

→∞Δ =lim şi dacă este finită ( )

1

0

n

k kn k

F M S−

→∞=∑lim , atunci această limită se mai

notează şi astfel: ( ), ,

AB

F x y z ds∫

şi reprezintă integrala curbilinie în raport cu elementul de arc a funcţiei ( ), ,F x y z . Propoziţia 5.3.1. (Calculul integralei curbilinii în raport cu elementul de arc)

Fie curba AB ⊂ 3R de ecuaţii parametrice:

( )( ) [ ]( )

[ ]1

,: , , , ,

x f t

AB y g t t f g h C

z h tα βα β

⎧ =⎪

= = ∈ ∈⎨⎪ =⎩

şi 3:F D ⊂ →R R o funcţie continuă şi AB D⊂ . Atunci există ( ), ,AB

F x y z ds∫ şi

( ) ( ) ( ) ( ))( ( ) ( ) ( )2 2 2' ' ', , , ,b

aAB

F x y z ds F f t g t h t f t g t h t dt⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ (10)

Observaţia 5.3.1. a) Ca şi la integrala curbilinie în raport cu coordonatele, calculul integralei curbilinii în raport cu elementul de arc necesită o parametrizare a curbei AB şi astfel integrala curbilinie în raport cu elementul de arc se reduce la o integrală definită. b) Elementul de arc ds al curbei AB are expresia:

( ) ( ) ( )2 2 2' ' 'ds f t g t h t dt⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Exemplu: Să se calculeze:

( )

C

xy ds∫ , unde ( )

2 2

2 2 1 0

: 00

x ya b

C xy

⎧+ − =⎪

⎪⎪ ≥⎨⎪ ≥⎪⎪⎩

Deoarece curba ( )C este o parte din elipsă situată în planul , 0xOy z = şi formula de calcul (10) se obţine:

( )( )( ( )) ( ) ( )2 2' ' ,

b

aC

xy ds F f t g t f t g t dt⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

( )( )( )

[ ]

( )( )( )

( )

( )

: ,

,

t=1

: 00

t=0

t=00

: 2

t=1

x f tC t a b

y g t

F x y xy

x a t f t

y b t g t

a a tA t

b t

ta t

B tb b t

π

⎧ =⎪ ∈⎨=⎪⎩=

⎧ = =⎪⎨

= =⎪⎩⎫⎧

=⎧ ⎪ ⎪⇒ =⎨ ⎨ ⎪=⎩ ⎪ ⎪⎩ ⎪⇒ ∈⎬⎧

⎪⎪=⎧ ⎪ ⎪⇒ =⎨ ⎨ ⎪=⎩ ⎪ ⎪⎪⎩ ⎭

cos

sin

coscossin

sin

coscossin

sin

0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

( )( )

2 2 2 220

3 32 2 2 22

2 20

3

C

xy ds ab t t a t b tdt

ab a bab t t a t b tdt

a b

π

π

= ⋅ ⋅ + =

−= ⋅ ⋅ + =

−

∫ ∫

∫

cos sin sin cos

cos sin sin cos

Propoziţia 5.3.2. (Calculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii) Fie Γ o curbă închisă ce mărgineşte domeniul D care are proprietatea că orice paralelă la axa Oy întâlneşte curba Γ în cel mult două puncte.

Atunci ( ) 12

D xdy ydxσΓ

= −∫ , ( )D Dσ⎡ ⎤=⎣ ⎦aria domeniului .

Demonstraţie: Domeniul plan D descris în propoziţia 5.3.2. apare ca în figura 6, unde A, B sunt puncte extreme ale curbei Γ adică curba admite în aceste puncte tangente paralele cu axa .Oy Curba AMB se consideră de ecuaţie carteziană:

( )1 ,y x a x bϕ= ≤ ≤ şi curba ANB se consideră de ecuaţie carteziană

( )2 ,y x a x bϕ= ≤ ≤ . Ţinând cont de calculul ariei cu ajutorul integralei definite, are loc relaţia:

B(a,b)

A(a,0)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 b b

a aD ab BNA ab BMA x dx x dxσ σ σ ϕ ϕ= − = −∫ ∫ .

Fig. 6 Ţinând cont de formula de calcul (5)a integralei curbilinii în raport cu coordonatele, această egalitate devine: ( )D ydxσ

Γ

= − ∫ (11)

Dar, ( ), 0 0d x y ydx xdyΓ Γ

= ⇔ + =∫ ∫ .

Dacă în membrul drept al egalităţii (11) se adaugă ( )1 ,2

d x yΓ∫ , egalitatea se

păstrează şi se obţine: ( ) ( ) ( )1 1,2 2

D ydx d x y D xdy ydxσ σΓ Γ Γ

= − + ⇒ = −∫ ∫ ∫ şi

astfel propoziţia 5.3.2. este demonstrată. Propoziţia 5.3.3.

a) Fie ( )y f x= , a x b≤ ≤ , o funcţie continuă cu derivata de ordinul I continuă şi S – suprafaţa generată de rotaţia graficului fG în jurul axei Ox . Atunci: ( ) 2

fG

S ydsσ π= ∫ , fG⎡ ⎤=⎣ ⎦graficul funcţiei f

b) Fie AB o curbă materială de densitate ( ), ,x y zρ ρ= . Atunci coordonatele centrului de greutate ale acestei curbe sunt date de rela•ia:

1

1

1

GAB

GAB

GAB

x x dsM

y y dsM

z z dsM

ρ

ρ

ρ

⎧=⎪

⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ =⎪⎩

∫

∫

∫

unde AB

M dsρ= ∫ şi reprezintă masa acestei curbe.

y

x

A

B

M

N Γ

a b

c) Dacă ( ) ( ) [ ]1 2: , ,C r r θ θ θ θ= ∈ , atunci

( ) ( ) ( ) ( )1

2

22 ', ,C

f x y ds f r r r r dθ

θθ θ θ θ θ⎡ ⎤= ⋅ − ⎣ ⎦∫ ∫ cos sin .

În propoziţia 5.3.2. şi în propoziţia 5.3.3. s-au pus în evidenţă câteva aplicaţii ale integralei curbilinii.

4. Exerciţii rezolvate 1. Să se calculeze:

a) C

xdy ydx−∫ ;

2 2 4 0

: 3 ;C

3

x y x

C y xxy

⎧⎪ + = ≥⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

parcursă în sens trigonometric

b) ( )C

x y dy ydy+ −∫ ;

22 ;C

:20

xyy x

C xy

x

=⎧⎪ =⎪⎪⎨

=⎪⎪

≥⎪⎩

parcursă în sens trigonometric

c) 2 2

5 53 3C

x dy y dx

x y

−

+∫ ;

2 2 23 3 3

: 00

x y aC x

y

⎧+ =⎪

⎪ ≥⎨⎪ ≥⎪⎩

d) 2 2 2

C

y dx z dy x dz+ +∫ , C fiind intersecţia suprafeţelor 2 2 2 2x y z a+ + = şi

2 2 0x y ax+ − = (curba Viviani).

e) ( ) ( )

2 2C

y z dx x y dy dzx y+

+ + + +

+∫ unde

i) C AB+ ≡ ( )1,1,1A , ( )2, 2, 2B .

ii) C+ este arcul elicei. Rezolvare: a) Curba C este dată în figura 7:

Fig. 7

Deci C OA AB BO= ∪ ∪ . Atunci

C OA BOAB

= + +∫ ∫ ∫ ∫ (1)

3

00

3 3OA

x xxdy ydx dx⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ (2)

Se calculează AB

xdy ydx−∫ , 2

: ,sin 6 3

x tAB t

tπ π=⎧ ⎡ ⎤= ∈⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩

cosy = 2

.

Aşadar 3

6

234 43

6AB

xdy ydx dt tπ

π

ππ

π− = = =∫ ∫ (3)

( )0

13 3 0

BO

xdy ydx x x dx− = − =∫ ∫ (4)

Din (1), (2), (3), (4) se obţine: 23C

xdy ydx π− =∫ .

b) Curba C este dat în figura 8:

Fig. 8

Deoarece C OA AB BO= ∪ ∪

C OA BOAB

= + +∫ ∫ ∫ ∫ (1)

( )22 2

0 0

23 5 5 502 4 4 4 2 2OA

x x x xx y dx ydy dx dx⎛ ⎞+ − = − = = =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (2)

2:AB yx

= , [ ]1,2x∈ , 2

2dy dxx

= −

( )21

3 22

1 1 24 222 2 12 2

1 12 2 2 2 3 2 22 2

AB

x xx y dx ydy x dx xx x

⎛ ⎞+ − = + + = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

= − − − + = − −

∫ ∫ ln

ln ln

(3)

( ) ( )20 0

1 1

0 12 412 2BO

xx y dx ydy x x x dx xdx+ − = + − = − = − =∫ ∫ ∫ (4)

Din (1), (2), (3), (4) se obţine: ( ) 2 2

C

x y dx ydy+ − = −∫ ln

c) Curba C mai poartă denumirea şi de astroidă, iar ecuaţiile parametrice sunt: 3

3 0,

2x a t

ty b t

π⎧ =⎪ ⎡ ⎤∈⎨ ⎢ ⎥= ⎣ ⎦⎪⎩

cossin

( )2 2 3 5 5 2 23 x dy y dx a t t t t dt− = + ⋅ ⋅cos sin cos sin (1)

( )5 5 5

5 53 3 3x y a t t+ = +cos sin (2) Din (1) şi (2) se obţine:

44 42 2 3

2 2 23 32 25 5 0 03 3

3 33 24 16C

x dy y dx aa t tdt a tdtx y

π π π+= ⋅ ⋅ = =

+∫ ∫ ∫cos sin sin

d) Suprafaţa 2 2 0x y ax+ − = , z∈ R este o suprafaţă cilindrică cu cercul de bază 2 2

2

2 2a ax y⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Aşadar se folosesc coordonatele cilindrice x r θ= cos , y r θ= sin , z z= . Atunci cercul de bază al cilindrului are ecuaţia r a θ= cos . Aşadar x a θ= 2cos , y a θ θ= sin cos , z z= . Punctele care au aceste coordonate se află şi pe sferă. Deci

2 4 2 2 2 2 2a a z a z aθ θ θ θ+ ⋅ + = ⇒ =cos sin cos sin . Deci ecuaţiile parametrice ale curbei C sunt:

( ) [ ]2

: ; 0,x a

C y az a

θθ θ θ πθ

⎧ =⎪= = ∈⎨⎪ =⎩

cossin cossin

.

Aşadar 3 3

2 2 2 3 5 2

0

224 4C

ay dx z dy x dz a dπ θ πθ θ θ θ⎛ ⎞

+ + = + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫sincos sin cos

e) i) Pe segmentul AB x y z= = . ( ) ( ) 2

2 2 21

2 24 1 1 1 12 2 21 12 42AB

y z dx x y dy dz x xxx y x

+ + + + += = − = +

+∫ ∫ ln ln .

ii) Elicea are ecuaţiile parametrice:

( ) [ ]: t 0,2x r

C y rz kt

π=⎧

⎪= = ∈⎨⎪ =⎩

costsint

Aşadar ( ) ( ) ( )

2

2 2 20

1 22 2 12C

y z dx x y dy dz k kt t t t dt rr rx y r

π π+ + + + ⎡ ⎤= + − + = +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦∫ ∫ cos sin sin

2. Să se calculeze:

a) 2 2AB

xdx ydyx y

++∫ ( )3,0A , ( )0,3B .

b) ( )

32 2 2 2C

xdx ydy zdz

x y z

+ +

+ +∫ 2 2: 4C x y+ = .

c) ( ) ( )2 2x x

C

e y xy dx e y x y dy+ − +∫ cos sin 2 2

: 1 04 9x yC + − = .

d) ( ) ( )4 3 xx x e y dx x y y dyΓ

− ⋅ + + −∫ arctg , Γ fiind reuniunea segmentelor ,BD DA şi

a semicercului AD cu centrul în C , ( ) ( ) ( ) ( )3,0 , 1, 1 , 1,0 , 1,0A B C D− − . Rezolvare:

a) ( ) 2 2, xP x yx y

=+

, ( ) 2 2, yQ x yx y

=+

.

( )22 2

2P xyy x y

∂= −

∂ +,

( )22 2

2Q xyx x y

∂= −

∂ + .

Atunci P Qy x

∂ ∂=

∂ ∂. Deci integrala este independentă faţă de drum şi se aplică

următoarea formulă de calcul: Dacă ( ) ( ), ; ,A a b B c d atunci:

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,c d

a bAB

P x y dx Q x y dy P t b dt Q a t dt+ = +∫ ∫ ∫ (1)

0 3

2 2 2 23 0: 0

9 9AB

xdx ydy t tdt dtx y t t

+= + =

+ + +∫ ∫ ∫

b) ( )( )

32 2 2 2

, , xP x y zx y z

=+ +

, ( )( )

32 2 2 2

, , yQ x y zx y z

=+ +

,

( )( )

32 2 2 2

, , zR x y zx y z

=+ +

.

Se observă că P Qy x

∂ ∂=

∂ ∂, P R

z z∂ ∂

=∂ ∂

, Q Rz y

∂ ∂=

∂ ∂.

Deci integrala curbilinie este independentă faţă de drum. Cum 2 2: 4C x y+ = este cercul cu centrul în margine şi de rază doi, atunci C este o curbă închisă. Deci

( )3

2 2 2 2

0C

xdx ydy zdz

x y z

+ +=

+ +∫ .

c) ( ) 2, xP x y e y xy= +cos , ( ) 2, xQ x y e y x y= − −sin , 2xP e y xyy

∂= − +

∂sin ,

2xQ e y xyx

∂= − −

∂sin .

Dacă se consideră ( )1 , xP x y e y= cos , ( )1 , xQ x y e y= − sin , atunci 1 1P Qy x

∂ ∂=

∂ ∂

Deci ( ) ( )1 1, , 0C

P x y dx Q x y dy+ =∫ (1)

Atunci ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1, ,x x

C C

e y xy dx e y x y dy P x y dx Q x y dy+ − + = + +∫ ∫cos sin

2 2

C

xy dx x ydy+ −∫

( ) ( )2 2 2 2x x

C C

e y xy dx e y x y dy xy dx x ydy+ − + = −∫ ∫cos sin

Curba 2 2

: 1 04 9x yC + − = este o elipsă cu centrul în origine de semiaxe 2 şi 3.

Ecuaţiile ei parametrice sunt:

[ ]2 0,2

3x t

ty t

π=⎧

∈⎨ =⎩

cossin

2 22 2

0 018 2 0

C

xy dx x ydy tπ π

θ θ− = = − =∫ ∫ ∫sin cos sin

d) ( ) 4 3, xP x y x x e y= − − , ( ),Q x y x y y= − arctg

1Py

∂= +

∂, 1Q

x∂

=∂

Deci integrala este independentă faţă de drum. Curba Γ este prezentată în figura 9 şi este reuniunea BD LΓ = ∪ unde L DA AD= ∪ .

Fig. 9

LBDΓ

= +∫ ∫ ∫ . Dar 0L

=∫ , deci:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 3 4 3

51 0 1 04 3 3

1 1 1 1

21 03

1 1

1 11

1 15

13 13 16 1 31 16 2 25 5 2 4 10 4

Dx x

B

t t

t

x x e y dx x x y y dy x x e y dx x x y y dy

tt t e y dt t dt t t e dt t dt

et e dt t dt ee e

π π

Γ

− −

− −

−

−

− − + − − ⋅ = − − + − − ⋅ =

− −= − − + − ⋅ = − − − ⋅ =

−= − − ⋅ = − + + − = + −

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

arctg arctg

arctgt arctgt

arctgt

3. Să se calculeze:

a) AB

xyz ds∫ unde

2 2 2 2 0: a a 2a0 A ,0, , , ,

2 2 6 6 6

x y z a aAB a ax y z B

⎧ + + = >⎪

⎛ ⎞⎨ ⎛ ⎞−− + = ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

b) 2 2 2 AB

x y z ds∫ unde

2 2 2 2 1 1 A , ,0 2 2

: 1 1 20 , ,2 2 2

x y z a

ABx y B

⎧ ⎛ ⎞+ + = ⋅ −⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎨ ⎛ ⎞⎪ + = ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

c) 2 2 AB

zy z ds+∫ unde

2 2 2 2 A , ,0 0 2 2

: 0 ,0,

2 2

a ax y z a aAB

a ax y B

⎧ ⎛ ⎞+ + = ⋅ >⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪ − = ⋅ −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

d) C

x y ds−∫ unde [ ]: 0,x t

C ty t

π⎧ =⎪ ∈⎨

=⎪⎩

cossin

Rezolvare:

Fie 3C ⊂ R de ecuaţii parametrice ( )( ) [ ]( )

: ,

x t

C y t t a b

z h t

ϕ

ψ

⎧ =⎪

= ∈⎨⎪ =⎩

.

Atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2' ' ', , , ,b

aC

f x y z ds f t t h t t t h t dtϕ ψ ϕ ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ (1)

a) Deci pentru rezolvare se parametrizează curba şi se obţine

( )

( )

( )

[ ]6 2

2: 0,26

6 2

a ax t

aAB y t t

a az h t

θ θ ϕ

θ ψ π

θ θ

⎧= + =⎪

⎪⎪

= = ∈⎨⎪⎪

= − =⎪⎩

sin cos

sin

sin cos

( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2' ' ' 2t t h t aϕ ψ+ + = (2) 3

2 2136

ax y z θ θ θ⎛ ⎞⋅ ⋅ = − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

sin cos sin (3)

Din (1), (2), (3) se obţine: 4 4

2 220

1 36 4 6C

a axyz ds dπ

θ θ θ θ⎛ ⎞= − ⋅ = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ sin cos sin

b) Ecuaţiile parametrice ale curbei ( )C sunt:

( )

( )

( )

[ ]

121: 0,22

x t

C y t t

z h t

θ ϕ

θ ψ π

θ

⎧ = =⎪⎪⎪ = − = ∈⎨⎪⎪ = =⎪⎩

cos

cos

sin

(1)

( )2 4 214

x y z θ θ⋅ ⋅ = ⋅cos sin (2)

( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2' ' ' 1t t h tϕ ψ+ + = (3) Din (1), (2), (3) se obţine:

2 2 2 4 2 4 64 4 40 0 0

440

1 1 1 4 4 4

1 1 1 1 1 3 1 7 348 24 48 24 16 4 96 4

AB

x y z ds d d d

d

π π π

π

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ π π

= = − =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ≡ − + + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫

cos sin cos cos

cos

c) Se scriu ecuaţiile parametrice ale curbei AB

( )

( )

( )

[ ]2

: 0,2

ax t

aAB y t t

z d h t

θ ϕ

θ ψ π

θ

⎧ = =⎪⎪⎪ = = ∈⎨⎪⎪ = =⎪⎩

cos

cos

sin

(1)

2 2 2 22y z a a aθ θ+ = + =2 2cos sin (2) (2)

( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2' ' 't t h t aϕ ψ+ + = (3) Din (1), (2), (3) se obţine:

2 2 2 2

02

AB

y z ds a d aπ

θ π+ = = ⋅∫ ∫

d) Se observă că, curba ( )C este:

1 2C C C= ∪ ( )( )1 : 0,

2x t

C ty t

θ ϕ πθ ψ

⎧ = =⎪ ⎡ ⎤∈⎨ ⎢ ⎥= = ⎣ ⎦⎪⎩

cos

sin

( )

( )2 : ,2

x tC t

y t

θ ϕ π πθ ψ

⎧ = − =⎪ ⎡ ⎤∈⎨ ⎢ ⎥= = ⎣ ⎦⎪⎩

cos

sin

Deci 1 2C C C

x y ds x y ds x y ds− = − + −∫ ∫ ∫ (1)

Pentru ambele curbe 1C şi 2C , ( )( ) ( )( )2 2' ' 1t tϕ ψ+ = (2)

( )1

20

2 2 1C

x y ds dπ

θ θ θ− = − = −∫ ∫ cos sin (3)

2 2

2C

x y ds dππ θ θ θ− = − =∫ ∫ cos sin (4)

Din (1), (2), (3),(4) se obţine: 2 2

C

x y ds− =∫

4. Să se calculeze aria folosind integrala curbilinie: a) Aria cercului şi a unui sector de cerc al cărui arc este de lungime egală cu raza cercului. b) Aria elipsei. c) Aria buclei foliului lui Descartes. Rezolvare: Dacă 2D ⊂ R este un domeniu plan a cărui frontieră este curba netedă închisă C atunci:

( ) 12 C

D xdy ydxσ = −∫ (1)

a) Se consideră cercul cu centrul în origine şi de rază R . ( ) 2 2 2:C x y R+ = . Ecuaţiile parametrice sunt:

[ ] 0, 2x Ry R

θθ π

θ=⎧

∈⎨ =⎩

cossin

Conform cu (1) se obţine:

( ) ( )2 22 2 2 2

0 0

1 1 12 2 2C

D xdy ydx R R d R d Rπ π

σ θ θ θ θ π= − = + = =∫ ∫ ∫2 2cos sin

Se consideră sectorul de cerc din figura 10.

Fig. 10

Pentru ca AB să aibă lungimea R trebuie ca [ ] 0,1x

ABy

θθ

θ=⎧

∈⎨ =⎩

cossin

.

( )2 21

02 2R RD dσ θ= =∫ .

b) Se consideră elipsa ( )C cu centrul în origine şi de semiaxe ( )2 2

2 2, , , 1 0x ya b Ca b

+ − = .

Ecuaţiile parametrice sunt:

[ ] 0, 2x ay b

θθ π

θ=⎧

∈⎨ =⎩

cossin

Conform cu (1) se obţine:

( )2 2 2

0 0 0

1 12 2 2 2C

ab abD xdy ydx ab d d d abπ π π

σ θ θ θ θ θ π⎡ ⎤= − = + = = =⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫2 2abcos sin

c) Foliul lui Descartes ( )C este curba din figura 11 de ecuaţie carteziană:

( ) 3 3: 3 0C x y axy+ − = .

Fig. 11 Se observă că această curbă este o cubică cu punct dublu în origine. Aşadar admite o reprezentare parametrică raţională. Aşadar pentru a obţine parametrizarea se intersectează curba cu y tx= şi se obţine:

[ )3

2

3

31 0,31

atxt t

atyt

⎧ =⎪⎪ + ∈ ∞⎨⎪ =⎪ +⎩

.

( )

2 2

23

9

1

a txdx ydy dtt

− =+

.

Conform cu (1) se obţine:

( )( )

2 2 2

20 3

1 9 32 21

a t aD dtt

σ∞

= =+

∫ .

CAPITOLUL 6 INTEGRALA DUBLĂ

1. Definiţie. Proprietăţi Se ştie că pentru a calcula aria unui trapez curbiliniu se foloseşte integrala definită. Se pune problema calculării volumului unui corp (C), care este mărginit superior de o suprafaţă ( ),z f x y= , inferior de un domeniu D xOy⊂ , iar lateral de o suprafaţă cilindrică ale cărei generatoare sunt paralele cu axa Ox şi se sprijină pe frontiera domeniului D . Algoritmul după care se calculează volumul corpului C conduce la sume de

forma: ( ) ( )0

,n

i i ii

f Dξ η σ=

⋅∑ , unde iD sunt subdomenii ale domeniului D care se

obţin prin partiţia domeniului D cu un sistem de curbe de forma( )( )

i i

i i

y y x

x x y

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩şi

( )iDσ este aria domeniului iD . Fie ( ),i i iDξ η ∈ nişte puncte oarecare. Deci se

poate afirma că ( ) ( ) ( )0

,n

i i ii

C f Dξ η σ=

≅ ⋅∑Vol .

Pentru ca să se obţină egalitate trebuie să se treacă la limita în membrul

drept. Atunci ( ) ( ) ( )0

,n

i i in iC f Dξ η σ

→∞=

= ⋅∑Vol lim . Dacă această limită există şi

este finită, ea se mai notează şi astfel ( ),D

f x y dxdy∫ ∫ şi se numeşte integrala

dublă a funcţiei ( ),f x y pe domeniul planului D. În cele ce urmează, se va introduce noţiunea de integrală dublă pe un domeniu dreptunghiular D cu laturile paralele cu axele de coordonate. Fie D este un dreptunghi, ( ){ }2, / ,D x y a x b c y d= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤R sau [ ] [ ], ,D a b c d= × . Dreptunghiul definit mai sus are laturile paralele cu axele de coordonate. Pentru a ajunge la noţiunea de integrală dublă pe acest domeniu se procedează astfel: Se consideră diviziunea

0 1 2 1

0 1 2 2

... ::

... :n

m

a x x x x b dc y y y y d d= < < < < = =⎧

Δ = ⎨ = < < < < = =⎩

care partiţionează dreptunghiul D în dreptunghiurile:

[ ]1 1, ,jk j j k kx x y yσ + +⎡ ⎤= ×⎣ ⎦ , 0, 1j n= − , 0, 1k m= − dreptunghiuri ce au laturile

paralele cu axele de coordonate. Se alege ca normă a diviziunii Δ, numărul:

( ) ( ) ( )2 21 1max j j k kx x y yυ + +

⎧ ⎫Δ = − + −⎨ ⎬⎩ ⎭

, 0, 1j n= − , 0, 1k m= − .

Se aleg în fiecare dreptunghi jkσ punctele ( ),j kξ η , unde 1,j j jx xξ +⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦ şi

[ ]1,k k ky yη +∈ .

Dacă se consideră funcţia :f D ⊂ →2R R se poate construi următoarea

sumă: ( )( ) ( )( )( )1 1

1 10 0

, . , ,n m

j k j k j j k kj k

f f x x y yσ ξ η ξ η− −

+ += =

Δ = − −∑∑

numită suma lui Riemann ataşată funcţiei f(x,y), diviziunii Δ şi alegerii punctelor intermediare de tipul ( ),j kξ η .

Definiţia 6.1.1. (Integrabilitatea Riemann a funcţiei ( ),f x y )

Funcţia :f D ⊂ →2R R , este integrabilă Riemann pe domeniul D dacă există I ∈ R astfel încât ( ) 0ε⎡ ∀ >⎣ , există ( ) 0δ ε > astfel încât (∀) şirul de diviziuni

( ) 0n n≥Δ cu propoziţia că ( ) ( ) ( )( ) ]v , , ,n n

n n j jf Iδ ε σ ξ η εΔ < ⇒ Δ − < .

Numărul real I astfel definit se numeşte integrala dublă a funcţiei f pe domeniul D şi se notează ( ),

D

I f x y dxdy= ∫ ∫

În tehnică şi în mecanică notaţia cea mai des utilizată este următoarea: D

fdω∫ ,

unde domeniului D este din 2R . Propoziţia 6.1.1. Fie :f D ⊂ →2R R . Dacă:

1. f este mărginită pe D .

2. există sumele ( )( )1 11, , ,j jfσ ξ ηΔ şi ( )( )2 2

2, , ,j jfσ ξ ηΔ astfel încât

( )( ) ( )( )1 1 2 21 2, , , , , ,j j j jf fσ ξ η σ ξ ηΔ − Δ atunci f este integrabilă Riemann pe

domeniul D . Observaţia 6.1.1. Definiţia 6.1.1. şi propoziţia 6.1.1. sunt echivalente. Definiţia 6.1.2. Fie 2M ⊂ R o mulţime plană. Se spune că M este o mulţime de

măsură Lebesque nulă (de L măsurabilă) dacă ( ) 0ε∀ > , există o acoperire

a mulţimii M cu dreptunghiuri [ ] ' ', . ,i i i i iD i Iα β α β⎡ ⎤= × ∈⎣ ⎦ ( I familie de indici),

astfel încât ( )ii I

Dσ ε∈

<∑ .

Proprietăţile de la mulţimile reale de L - măsură nulă sunt valabile şi pentru mulţimile plane de L - măsură nulă.

Propoziţia 6.1.2. (Criteriu de integrabilitate al lui Lebesque) Fie :f D ⊂ →2R R o funcţie de două variabile. Se spune că ( ),f x y este integrabilă Riemann pe domeniul D dacă şi numai dacă: 1) ( ),f x y este mărginită pe D .

2) ( ),f x y este continuă pe 1D D− , unde 1D este mulţime de L- măsură nulă

(adică ( ),f x y continuă aproape peste tot pe D ). Folosind criteriul de integrabilitate al lui Lebesque, se pot pune în evidenţă clase de funcţii integrabile Riemann, care sunt date în continuare:

Propoziţia 6.1.3. Fie :f D ⊂ →2R R continuă. Atunci ( ),f x y integrabilă Riemann pe D . Demonstraţie: Fără a micşora generalitatea, 2D ⊂ R se consideră compact. Se ştie că orice funcţie continuă pe un compact este mărginită. Deci este îndeplinită condiţia 1 din propoziţia 6.1.2. Funcţia f fiind continuă pe D , înseamnă că 1D φ= . Cum mulţimea φ este o mulţime de L-măsură nulă rezultă că este îndeplinită şi condiţia 2 din propoziţia 6.1.2. Deci conform criteriului de integrabilitate al lui Lebesque rezultă că ( ),f x y integrabilă Riemann pe D .

Propoziţia 6.1.4. Fie ( ),f x y continuă pe1

n

jj

D γ=

−∪ , unde jγ sunt imaginile unor

drumuri (curbe) netede din domeniul D . Atunci ( ),f x y integrabilă Riemann pe D . Demonstraţie: Se procedează ca în propoziţia 6.1.3, ţinându-se cont că j Dγ ⊂ este o mulţime de L-măsură nulă, conform cu definiţia 6.1.2 şi conform proprietăţilor

mulţimilor de L-măsură nulă rezultă că mulţimea 1

n

jj

γ=∪ este o mulţime de

L-măsură nulă. Definiţia 6.1.3. Fie :f D ⊂ →2R R şi Δ o diviziune a domeniului D ce determină

dreptunghiurile de partiţie jkσ . Dacă ( )

( ){ },

,jk

jk x ym f x y

σ∈= inf şi

( )( ){ }

,,

jkjk

x yM f x y

σ∈= sup , atunci sumele ( ) ( )( )

1 1

1 10 0

,n m

jk j j k kj k

s f m x x y y− −

+ += =

Δ = − −∑∑ şi

( ) ( )( )1 1

1 10 0

,n m

jk j j k kj k

S f M x x y y− −

+ += =

Δ = − −∑∑ se numesc sumele Darboux

inferioară şi superioară ale funcţiei f(x,y) corespunzătoare diviziunii Δ. Observaţia 6.1.2. Proprietăţile sumelor Riemann şi Darboux pentru funcţia

( ),f f x y= sunt aceleaşi cu proprietăţile sumelor Riemann şi Darboux ale funcţiei ( ),f f x y= , care s-au pus în evidenţă la integrala definită.

Definiţia 6.1.4. Dacă există ( ),nm

L S f→∞→∞

= Δlim şi este finită şi există ( ),nm

I s f→∞→∞

= Δlim şi

este finită, acestea se numesc integrala Darboux superioară, respectiv integrala Darboux inferioară a funcţiei ( ),f f x y= şi se mai notează astfel:

( ),D

L f x y dxdy= ∫ ∫ , respectiv ( ),D

I f x y dxdy= ∫ ∫ .

Definiţia 6.1.5. (Integrabilitatea Darboux).

Dacă L I= , atunci funcţia ( ),f f x y= este integrabilă Darboux pe domeniul D .

Observaţia 6.1.3. Pentru funcţiile mărginite pe domeniul D , integrabilitatea Riemann a funcţiei ( ),f f x y= coincide cu integrabilitatea Darboux a acesteia şi pentru astfel de funcţii nu mai este necesară specificarea tipului de integrabilitate, spunându-se numai f este integrabilă pe domeniul D.

Propoziţia 6.1.5. (Proprietăţi ale integralei duble) Fie 2D ⊂ R un domeniu oarecare şi , :f g D ⊂ →2R R funcţii integrabile pe D . 1) Dacă ,α β ∈ R , atunci funcţia f gα β⋅ ± ⋅ este integrabilă pe D şi

are loc egalitatea: ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

D D D

f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdyα β α β⎡ ⎤⋅ ± ⋅ = ⋅ ± ⋅⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

(Proprietate de liniaritate a integralei duble).

2) Fie 0

n

ii

D D=

=∪ , unde mulţimea ( )1 , 0, 1i iD D i n+ ∩ ∀ = − este o mulţime

de L-măsură nulă.

Atunci ( ) ( )0

, ,i

n

iD D

f x y dxdy f x y dxdy=

= ⋅∑∫ ∫ ∫ ∫

(Proprietate de aditivitate faţă de domeniu a integralei duble). 3) Dacă ( ), 0f x y ≥ , ( ) ( ) ,x y D∀ ∈ , atunci ( ), 0

D

f x y dxdy ≥∫ ∫ .

(Proprietatea de monotonie a integralei duble). 4) Fie ,m M ∈ R astfel încât ( ),m f x y M≤ ≤ , ( ) ( ) ,x y D∀ ∈ .

Atunci: ( ) ( ) ( ),D

m D f x y dxdy M Dσ σ⋅ ≤ ≤ ⋅∫ ∫ .

5) Fie :f D ⊂ →2R R continuă. Atunci există ( ), Dξ η ∈ astfel încât ( ) ( ) ( ), ,

D

f x y dxdy D fσ ξ η= ⋅∫ ∫ .

(Prima formulă de medie pentru integrala dublă). 6) Fie , :f g D ⊂ →2R R astfel încât ( ), 0g x y > , ( ) ( ) ,x y D∀ ∈ atunci

există ( ), Dξ η ∈ astfel încât:

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,D D

f x y g x y dxdy f g x y dxdyξ η⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ ∫

(A doua formulă de medie pentru integrala dublă).

7) ( ) ( ), ,D D

f x y dxdy f x y dxdy≤∫ ∫ ∫ ∫ .

8) Fie Dγ ⊂ imaginea unui drum de clasă 1C şi ( ), 0f x y = ,

( )( ), \x y D γ∀ ∈ .

Atunci ( ), 0D

f x y dxdy =∫ ∫ .

Demonstraţie: Proprietăţile 1-4 rezultă din definiţia integralei duble şi proprietăţile sumelor integrale.

5) conform cu 4) se obţine ( ) ( ) ( ),D

m D f x y dxdy M Dσ σ⋅ ≤ ≤ ⋅∫ ∫ Se împarte cu

( )Dσ în această egalitate şi ( )

( )

,D

f x y dxdym M

Dσ≤ ≤∫ ∫

(1)

Funcţia ( ),f x y fiind continuă pe domeniul D , are proprietatea lui Darboux pe

acest domeniu. Deci ( ) [ ]0 ,z m M∀ ∈ , există ( ), Dξ η ∈ astfel încât ( )0 ,z f ξ η= .

Conform inegalităţii (1), 0z poate fi considerat ( )

( )

,D

f x y dxdy

Dσ

∫ ∫.

Deci ( )

( ) ( ),

,D

f x y dxdyf

Dξ η

σ=

∫ ∫ de unde, prin eliminarea numitorului, rezultă

proprietatea 5). 6) Pornind de la ( ),m f x y M≤ ≤ , ( ) ( ) ,x y D∀ ∈ , ţinând cont de faptul că

( ), 0g x y > , prin înmulţirea acesteia cu ( ),g x y se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,m g x y f x y g x y M g x y⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ . Folosind proprietatea de liniaritate şi monotonie a integralei duble se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,D D D

m g x y dxdy g x y f x y dxdy M g x y dxdy⋅ ≤ ⋅ ≤∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

De unde

( ) ( )

( )

, ,

,D

D

f x y g x y dxdym M

g x y dxdy

⋅≤ ≤∫ ∫

∫ ∫.

În continuare, raţionând ca la punctul 5) există ( ),ξ η aparţinând lui D astfel încât :

( ) ( )

( )( )

, ,,

,D

D

f x y g x y dxdyf

g x y dxdyξ η

⋅=

∫ ∫

∫ ∫

Prin eliminarea numitorului rezultă 6). 7) Ţinând cont de proprietatea modului este evidentă inegalitatea:

( ) ( ) ( ), , ,f x y f x y f x y− ≤ ≤ , ( ) ( ) ,x y D∀ ∈ . Folosind liniaritatea şi monotonia integralei duble rezultă:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

, , ,

, ,

D D D

D D

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy

f x y dxdy f x y dxdy

− ≤ ≤

⇔ ≤

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫.

2. Calculul integralei duble Propoziţia 6.2.1. Fie :f D ⊂ →2R R , [ ] [ ], ,D a b c d= × . Atunci:

( ) ( ), ,a d

b cD

f x y dxdy dx f x y dy=∫ ∫ ∫ ∫

sau

( ) ( ), ,a d

b cD

f x y dxdy dx f x y dy=∫ ∫ ∫ ∫

Demonstraţie: Fie Δ o diviziune a dreptunghiului D definită astfel:

0 1 2 1

0 1 2 2

... ::

... :n

m

a x x x x b dc y y y y d d= < < < < = =⎧

Δ = ⎨ = < < < < = =⎩

unde d1 şi d2 sunt diviziuni ale intervalului [ ],a b respectiv [ ],c d .

Această diviziune generează dreptunghiurile de diviziune [ ]1 1 ,jk j j k kx x y yσ − −⎡ ⎤= ×⎣ ⎦

1,j n= , 1,k m= .

Se consideră funcţia ( ) ( )d

cF x f xy dy= ∫ , unde [ ],x a b∈ .

Fie ( )

( ){ },

,jk

jk x ym f x y

σ∈= inf şi

( )( ){ }

,,

jkjk

x yM f x y

σ∈= sup

Este evident că are loc relaţia: ( ),jk jkm f x y M≤ ≤ , ( ) ( ) , jkx y σ∀ ∈ .

Se integrează această inegalitate de la ky la 1ky + şi se obţine:

( ) ( ) ( )1

1 1,k

k

y

jk k k jk k kym y y f x y dy M y y+

+ +− ≤ ≤ −∫

Această inegalitate se însumează după indicele k şi se obţine:

( ) ( ) ( )11 1 1

1 1 10 0 0

, , ,k

k

m m my

jk k k j jk k k j j jyk k k

m y y f y dy M y y x xξ ξ+− − −

+ + −= = =

⎡ ⎤− ≤ ≤ − ∈ ⎣ ⎦∑ ∑ ∑∫

Ţinând cont de aditivitatea integralei definite faţă de interval,

( ) ( ) ( )11

0

, ,k

k

m y d

j j jy ck

f y dy f y dy Fξ ξ ξ+−

=

= =∑∫ ∫ .

Cu aceasta se obţine inegalitatea:

( ) ( ) ( )1 1

1 10 0

m m

jk k k j jk k kk k

m y y F M y yξ− −

+ += =

− ≤ ≤ −∑ ∑ .

Se înmulţeşte inegalitatea cu 1j jx x+ − şi se însumează după indicele j, obţinând relaţia:

( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 1

1 1 1 1 10 0 0 0 0

n m n n m

jk j j k k j j j jk j j k kj k j j k

m x x y y F x x M x x y yξ− − − − −

+ + + + += = = = =

− − ≤ − ≤ − −∑∑ ∑ ∑∑. Se observă că sumele extreme sunt sumele Darboux ale funcţiei ( ),f x y pe domeniul D , asociate diviziunii Δ, iar suma din mijloc reprezintă suma Riemann a funcţiei ( )F x asociată diviziunii 1d şi intervalului [ ],a b . Ţinând cont de aceasta, relaţia devine:

( ) ( ) ( ), , , ,js f d F S fσ ξΔ ≤ ≤ Δ

Trecând la limită şi ţinând cont că funcţia ( ),f x y este integrabilă pe domeniul D , iar funcţia ( )F x este integrabilă pe intervalul [ ],a b , se obţine egalitatea:

Analog se procedează pentru cealaltă egalitate. Observaţia 6.2.1.

a) Propoziţia 6.2.1. reduce calculul integralei duble la calculul a două integrale definite. b) Din propoziţia 6.2.1. se observă că nu contează ordinea de integrare în raport cu cele două variabile, dar de foarte multe ori în practică, alegând ordinea convenabilă, se simplifică foarte mult calculul integralei duble.

Propoziţia 6.2.2. (Calculul integralei duble pe domenii oarecare) Fie :f D ⊂ →2R R funcţie integrabilă, unde D este definit astfel:

( ) ( )

[ ]

1 2

1,

:

, , a b

a x bD x y x

C x a x b

ϕ ϕ

ϕ ψ

⎧ ≤ ≤⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪

∈ = =⎪⎩ şi tangente la fontiera domeniului

Dacă orice paralelă la axa Oy intersectează frontiera domeniului D în cel mult două puncte, iar dreptele x a= şi x b= sunt tangente frontierei domeniului D , atunci:

( ) ( )( )

( )2

1

, ,b x

a xD

f x y dxdy dx f x y dyϕ

ϕ=∫ ∫ ∫ ∫ .

Demonstraţie: Domeniul descris de propoziţia 6.2.2. arată ca în figura 1:

Fig. 1 Ducându-se tangentele la frontiera domeniului D ca în figura 1, se obţine dreptunghiul MNPQ care înscrie domeniul D . Deci dreptunghiul MNPQ , care are laturile paralele cu axele de coordonate se notează cu D. Se construieşte funcţia ( ) 2, :f x y ⊂ →R RD astfel:

( )( ) ( )

( ), , ,

,0, ,

f x y x y Df x y

x y D

⎧ ∈⎪= ⎨∈⎪⎩

pentru

pentru D \

y y=d

y=c

0 a x

L1

L2 M

A

Q

L3

L4

D P

B

N

L5 y=ϕ2(x)

y=ϕ1(x)

b x

( ) ( ) ( ), ,b b d

a c cD

f x y dxdy F x dx f x y dy dx⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Fr D fiind o curbă plană, este o mulţime de măsură Lebesque nulă. Conform cu propoziţia 6.1.2., funcţia ( ),f x y este integrabilă pe domeniul D şi are loc egalitatea:

( ) ( ), ,D D

f x y dxdy f x y dxdy=∫ ∫ ∫ ∫ (1)

Dar ( ) ( ), ,b d

a cD

f x y dxdy dx f x y dy=∫ ∫ ∫ ∫ .

Deoarece x este un parametru din intervalul [ ],c d , îl considerăm fixat ca în figura alăturată şi deci:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

3 4 12 3 4 5

, , , ,d x

c L L xL L L L

f x y dy f x y dy f x y dy f x y dyϕ

ϕ= = =∫ ∫ ∫ ∫ (2)

Din (1) şi (2) se obţine ( ) ( )( )

( )2

1

, ,b x

a xD

f x y dxdy dx f x y dyϕ

ϕ= =∫ ∫ ∫ ∫

Observaţia 6.2.2. a) Dacă domeniul D nu îndeplineşte condiţia ca orice paralelă la axa Oy să

intersecteze frontiera domeniului în cel mult două puncte, atunci domeniul D se descompune într-o reuniune de domenii care verifică această proprietate, iar integrala dublă pe acest domeniu devine o sumă de integrale duble pentru care propoziţia 6.2.2. este aplicabilă.

b) În formula de calcul din propoziţia 6.2.2 domeniul D este orientat (proiectat) la axa Ox . El poate fi orientat (proiectat) şi pe axa Oy şi se obţine o formulă de calcul echivalentă.

3. Formula lui Green. Schimbarea de variabilă în integrala dublă Propoziţia 6.3.1. (Formula lui Green)

Fie D un domeniu plan a cărui frontieră este formată din arcele 1AP B şi

2AP B de ecuaţii carteziene ( )1y xϕ= şi ( )2y xϕ= , [ ],x a b∈ şi x a= , x b= sunt tangente le frontiera lui D . Dacă orice paralelă la axa Oy intersectează frontiera domeniului D în cel mult două puncte şi funcţiile , :P Q D ⊂ →2R R au derivate parţiale de ordinul I continue, atunci are loc egalitatea:

( ) ( ), , C D

Q PP x y dx Q x y dy dxdy C FrDx y

⎛ ⎞∂ ∂+ = − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ unde

Demonstraţie: Domeniul D descris în propoziţia 6.3.1. arată ca în figura 2. Se porneşte de la:

( )

( )2

1

b x

D a x

P Pdxdy dx dyy y

ϕ

ϕ

∂ ∂=

∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ (1)

Fig. 2

( )

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )2

1

12 1

2

, , ,x

x

xP dy P x y P x x P x xy x

ϕ

ϕ

ϕϕ ϕ

ϕ∂

= = −∂∫ (2)

Din (1) şi (2) se obţine ( )( ) ( )( )2 1, ,b

D a

P dy P x x dx P x x dxy

ϕ ϕ∂= −

∂∫ ∫ ∫ .

Ţinând cont de formula de calcul a integralei curbilinii rezultă că

( ),D C

P dxdy P x y dy

∂= −

∂∫ ∫ ∫ .

În mod analog ( ),D C

P dxdy Q x y dyy

∂=

∂∫ ∫ ∫ . Prin adunarea celor două egalităţi

termen cu termen se obţine:

D C

Q P dxdy Pdx Qdyx y

⎛ ⎞∂ ∂− = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

Astfel, formula lui Green este demonstrată. Observaţia 6.3.1.

a) Formula lui Green face legătura între integrala curbilinie pe o curbă închisă C şi integrala dublă calculată pe un domeniu pentru care C este frontieră. b) Dacă condiţiile impuse domeniului D de propoziţia 6.2.1. nu sunt îndeplinite, atunci formula lui Green nu este aplicabilă.

Propoziţia 6.3.2. (Schimbarea de variabilă în integrala dublă) Fie ( ) ( )': vT D xOy uO⊂ →Ω o transformare definită astfel:

( )( )

( ), v

: , v, v

x uT u

y u

ϕ

ψ

⎧ =⎪= ∈Ω⎨=⎪⎩

Dacă transformarea T este o transformare biunivocă şi directă iar funcţiile ϕ şi ψ sunt continue împreună cu derivatele lor parţiale de ordinul I şi II în domeniul Ω, atunci:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

,, , v , , v v

, vDD

Df x y dxdy f u u dud

D uϕ ψ

ϕ ψ=∫ ∫ ∫ ∫

y=ϕ2(x)

y=ϕ1(x)

A B

a b x O

y

P2

P1

unde ( )( )

, v, v

v

D uD u

u

ϕ ϕϕ ψ

ψ ψ

∂ ∂∂ ∂=∂ ∂∂ ∂

este Jacobianul transformării T .

Demonstraţie:

Dacă ( )( )

,0

, vDD uϕ ψ

> , atunci transformarea T este o transformare directă. În caz

contrar, T este o transformare inversă. Ţinând cont de calculul ariei cu ajutorul integralei curbilinii, are loc relaţia: ( )

CD xdyσ = ∫ , C FrD= şi este

parcursă în sens direct. Ţinând cont de transformarea T, se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ), v v , v , v vv v

D u du d u du u du uψ ψ ψ ψσ ϕ ϕ ϕ

Γ Γ

∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤= + = ⋅ + ⋅⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦∫ ∫

unde FrΓ = Ω .

Dacă se notează ( ) ( ), v , vP u uuψϕ ∂

= ⋅∂

şi ( ) ( ), v , vv

Q u u ψϕ ∂= ⋅

∂, se obţine

relaţia: ( ) ( ) ( ), v , v vD P u du Q u dσ

Γ= +∫ .

Ţinând cont de formula lui Green se obţine ( ) vQ PD dudx y

σΩ

⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ .

Dar 2

v vQu u u

ϕ ψ ψϕ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ şi

2

v v vP

u uϕ ψ ψϕ∂ ∂ ∂ ∂

= ⋅ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Prin scădere ( ) vv v

D dudu uϕ ψ ϕ ψσ

Ω

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ⋅ − ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ .

Ţinând cont de definiţia Jacobianului rezultă că ( ) ( )( )

,v

, vD

D dudD uϕ ψ

σΩ

= ±∫ ∫ . Cum

întotdeauna aria este pozitivă, semnele din faţa integralei duble trebuie să coincidă cu semnul Jacobianului. Dacă transformarea T este o transformare directă (Jacobianul

este pozitiv) atunci ( ) ( )( )

,v

, vD

D dudD uϕ ψ

σΩ

= ∫ ∫ .

Aplicând formula de medie acestei integrale duble se obţine relaţia:

( ) ( ) ( )( ) ( )0 0

,, v, v

DD

uD uϕ ψ

σ σ= Ω

Din această egalitate rezultă şi faptul că ( )( )

,v

, vD

dxdy dudD uϕ ψ

= şi propoziţia este

demonstrată.

În continuare se dau câteva transformări care pot folosi la schimbare de variabilă în diverse integrale duble în funcţie de domeniul de integrare.

Transformări utile ce transformă diverse domenii în dreptunghiuri cu laturile paralele cu axele.

1) v

:v

x uT

u=⎧

⎨⎩

cos y = sin

transformă cercurile cu centru în origine şi de rază r în

dreptunghiuri ( ){ }, v 0 , 0 v 2u u r πΩ = ≤ ≤ ≤ ≤ .

2) v

:v

x auT

u=⎧

⎨⎩

cos y = b sin

transformă elipsele de semiaxe ,a b în dreptunghiul

( ){ }, v 0 1, 0 v 2u u πΩ = ≤ ≤ ≤ ≤ .

3)

v

:v

uxT

u

⎧ =⎪⎪⎨⎪⎪⎩

-2 +y =2

transformă domeniul ( ){ }, 2D x y x y= + ≤ în dreptunghiul

( ){ }, v 1 1, -1 v 1u uΩ = − ≤ ≤ ≤ ≤ .

4) v:v

x uT⎧ =⎪⎨⎪⎩

y =

transformă domeniul 2

12

:

0

yy

Dy xx

=⎧⎪ =⎪⎨

=⎪⎪ ≥⎩

în

dreptunghiul ( ){ }, v 0 1, 1 v 2u uΩ = ≤ ≤ ≤ ≤ .

5) 23

23

v:

v

x uT

u

⎧ = ⋅⎪⎨

⋅⎪⎩

y = transformă domeniul

2

2

2: 2

0, 0

x qyD y px

p q

⎧ =⎪

=⎨⎪ > >⎩

în dreptunghiul

( ){ }, v 0 2 , 1 v 2u u p qΩ = ≤ ≤ ≤ ≤ . Mai pot exista multe astfel de transformări.

4. Exerciţii rezolvate

1) Să se calculeze: a) 2 2

Dx a dxdy+∫ ∫ , [ ] [ ], 1,0 ; 0D a a a= − × − > .

b) ( )21D

dxdyxy+∫ ∫ , [ ] [ ]0,1 0,1D = × .

c) ( )

32 2 2

1D

xy dxdy

x y+ +∫ ∫ , [ ] [ ]0,1 0,1D = × .

d) 1D

dxdyxy+∫ ∫ , [ ] [ ]0,1 0,1D = × .

e) 2 2

4 4D

x ydxdy

x y+⋅∫ ∫ , 1, 2 1, 2D ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

f) 2

2D

x dxdyy∫ ∫

sincos

, 0, 0,2 4

D π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Rezolvare: Dacă ( ),f x y este integrabilă pe [ ] [ ], ,D a b c d= × atunci

( ) ( ), ,b d

D a cf x y dxdy dx f x y dy=∫ ∫ ∫ ∫ (1)

( ) ( ), ,b d

D a cf x y dxdy dy f x y dy=∫ ∫ ∫ ∫ (2)

a) Utilizând (1) se obţine: 02 2 2 2 2 2

1

a a

D a ax a dxdy dx x a dy x a dx

− −+ = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

2 2 2 2 2

2 2

xa x dxdy dx a x x aa x

+ = + + ++

∫ ∫ ln .

Dacă 2 2

n

nxI dx

a x=

+∫ , 2n ≥ .

Atunci: ( ) 21 2 2

2

1n

n n

n ax x aI In n

−

−

−⋅ += +

( )2 20I x x a= + +ln .

Ţinând cont de acestea:

( )2 2 2

2 2 2 232 2

x x a aa x dx x x a++ = + + +∫ ln .

Aşadar ( )2 2 2 22 1 2a

ax a dx a a

−+ = + +∫ ln .

Rezultă că ( )2 2 2 22 1 2D

a x dxdy a a+ = + +∫ ∫ ln .

b) ( ) ( )

1 1

2 20 01 1D

dxdy dydxxy xy

=+ +∫ ∫ ∫ ∫ (3)

( )1

20

11 1 1 1 1101 1 1 11

dy x xx xy x x x x xxy

⎛ ⎞− − − −⎛ ⎞= = − = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠+ ⎝ ⎠∫ (4)

( )1

0

11 1 201

dx xx

= + =+∫ ln ln (5)

Din (3), (4), (5) se obţine ( )2 21D

dxdyxy

=+∫ ∫ ln .

c) ( ) ( )

1 1

3 30 02 21 1

D

ydy ydyxdxx y x y

=+ + + +

∫ ∫ ∫ ∫ (6)

( )

1

30 2 22

1 1

1 21

ydy

x xx y= −

+ ++ +∫ (7)

1 1

0 02 22 2 3 1

1 2

x xdx dxx x

− = − −+ +

∫ ∫ (8)

Din (6), (7), (8) se obţine:

( )32

2 2 3 11

D

xy dxdy dxdyx y

= − −+ +

∫ ∫ .

d) Folosind (1) se obţine: 1 1

0 01 1D

y ydxdy dx dyxy xy

=+ +∫ ∫ ∫ ∫ (9)

( ) ( )1

0

11 1

01y dy xy xxy

= + = ++∫ ln ln (10)

( ) ( ) ( )0

1

1 11 1 1 2 2 1

0 0x dx x x x+ = + ⋅ + − = −∫ ln ln ln (11)

Din (9), (10), (11) se obţine:

2 2 11D

y dxdyxy

= −+∫ ∫ ln .

e) Folosind formula (1) se obţine:

( )2 2 12 2 4 2 2 24 4 41 1

1D

x ydxdy y y x dy

x y x−+

= ⋅ +⋅∫ ∫ ∫ ∫ (12)

Folosind substituţiile lui Cebîşev

12 2

21 x ty

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ se obţine:

( )212 4 2 2 32

212

1 21 1 23

1

xy y x dy t

xx

−

⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟

+ = − ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫

( ) ( )2 2 2 22

1 1 1 2 2 1 13 2 2

x x x xx

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + − + ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (13)

( ) ( )2 22 2 2 22 61 1

1 1 1 1 12 2 1 13 32 2

x x dx x x dxx x

⎡ ⎤− ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫

( ) ( )3 32 26 2 6 22 2

1 1

1 12 136 2

x x dx x x dx− −= ⋅ + + ⋅ +∫ ∫

Folosind tot substituţiile lui Cebîşev 12

2

21 tx

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, 12

2

11 tx

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

se obţine:

( ) ( )3 32 26 2 6 22 2

1 1

1 12 136 2

x x dx x x dx− −− ⋅ + + ⋅ + =∫ ∫

5 52 2

2 2

1 2 1 2 3 6 1 4 22 21 115 20 151 160 6 x x

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(14)

Din (12), (13), (14) se obţine:

2 2

4 4

3 6 1 4 220 15D

x ydxdy

x y+ +

= −⋅∫ ∫ .

f) 2

22 42 20 0

D

x dydxdy x dx dyy y

π π

=∫ ∫ ∫ ∫sin sincos cos

(15)

Se face substituţia 21dty t dy

t= ⇒ =

+tg , 2

2

11

yt

=+

cos .

Cu aceste relaţii se obţine: 1

420 0

1dy dty

π

= =∫ ∫cos (16)

222 2 00

1 0 2 4

x xI x dx I Iπ π π⋅

= ⇒ = − + =∫sin cossin

2 (17)

Din (15), (16), (17) se obţine 2

2 4D

x dxdyy

π=∫ ∫

sincos

.

2) Să se calculeze:

a) 2

2 2D

xI dxdyx y

=+

∫ ∫ , 3

01

:2

xy

Dyy x

=⎧⎪ =⎪⎨

=⎪⎪ =⎩

b) D

I xydxdy= ∫ ∫ , 2

1:

yD

y x=⎧

= ⎨=⎩

c) ( )2

DI x y dxdy= +∫ ∫ cos ,

0: 0

4

xD y

x y π

⎧⎪ =⎪

=⎨⎪⎪ + =⎩

d) 2 4 4D

dxdyIx y

=+ +

∫ ∫ , :1

y xD y x

x

≤⎧⎪ ≥ −⎨⎪ ≤⎩

e) 6 9D

dxdyIx y

=+ +∫ ∫ ,

2

:2 1

y xD

y x⎧ =⎪⎨

= −⎪⎩

Rezolvare: a) Domeniul pe care se integrează este prezentat în figura 3.

Fig. 3

Este indicată formula pentru domeniul orientat la axa Oy , adică:

( ) ( )( )

( )1

2

, ,d y

D c yf x y dxdy dy f x y dx

ϕ

ϕ=∫ ∫ ∫ ∫ .

( )2

2 2, xf x y

x y=

+, 1c = , 3 2d = , ( )1 0yϕ = , ( )2 y yϕ = .

Deci 32 22

1 02 2 2 2

y

D

x xdxdy dy dxx y x y

=+ +

∫ ∫ ∫ ∫ (1)

Folosind relaţia de recurenţă din exerciţiul 1. a) se obţine

( )2

2 2 2 22 0 02 2

y yx yI x y x x y= + − + =ln +

( )2

22 1 22 2

yy= − ⋅ +ln (2)

( ) ( )3 32 2 3

1

2 1 2 2 1 2 22 6 1

y dy y⎡ ⎤− + − + ⎛ ⎞⎢ ⎥⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ln ln

( )2 1 2

6

− +=

ln (3)

Din (1), (2), (3) se obţine:

( )2

2 2

2 1 2

6D

x dxdyx y

− +=

+∫ ∫

ln.

b) Domeniul pe care se integrează este prezentat în figura 4.

Fig. 4

Este indicată formula pentru domeniul orientat la axa Ox

( ) ( )( )

( )2

1

, ,b x

D a xf x y dxdy dy f x y dy

ϕ

ϕ=∫ ∫ ∫ ∫ .

Se observă că pentru 1 0x− ≤ ≤ şi 2 1x y≤ ≤ , ( ),f x y xy= nu este definită şi atunci se consideră: 0a = , 1b = , ( ) 2

1 x xϕ = , ( )2 1xϕ = .

2

1 1

0D xxydxdy dx xydy=∫ ∫ ∫ ∫ (4)

( )2 2

11 1 3 32

2

12 2 13 3x x

x xxydy x y dy y xx

⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ (5)

3 51 1 2 2 20 0

1 12 2 4 4 4 4 80 03 3 9 27 9 27 27

xdx x xdx x x− = ⋅ − = − =∫ ∫ .

Din (4) şi (5) se obţine: 827D

xydxdy =∫ ∫

c) Domeniul pe care se integrează este prezentat în figura 5.

Fig. 5

Domeniul poate fi orientat la ambele axe

( ) ( )2 24 40 0

x

Dx y dxdy dx x y dx

π π−

+ = +∫ ∫ ∫ ∫cos cos (6)

( ) ( ) ( )240

1 14

2 2 40

x xx y dx x y x y x

π ππ− − ⎛ ⎞+ = + + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ cos cos sin

( )1 1 1 12 244 2 4 4 4 8 20

x xx y x xπ

π π− ⎛ ⎞= + − − = − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

sin sin (7)

4 4 40 0 0

2 2 2

1 1 124 8 4 2

1 1 12 4 44 8 4 8 4 32 64 16 80 0

dx xdx xdx

xx

π π ππ

π ππ π π π π

⎛ ⎞+ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + + − = − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫sin

cos

2 164 16 8π π

= + − (8)

din (6), (7(), (8) se obţine:

( )2

2 164 16 8D

x y dxdy π π+ = + −∫ ∫ cos .

d) Domeniul pe care se integrează este prezentat în figura 6.

Fig. 6

Pentru ca domeniul să nu fie descompus în două domenii trebuie orientat la axa Oy .

0 1:

yD

y x y≤ ≤⎧

⎨− ≤ ≤⎩

Atunci 1

02 2

14 4 4 4

y

D y

dxdy dy dxx y x y−

=+ + + +

∫ ∫ ∫ ∫ (9)

( ) ( )2

2

1 4 4 2 2 24 4

y

y

ydx x x y y

yx y−= − + + = + − =

−+ +∫ ln ln ln

( )= ln y +1 (10)

( ) ( ) ( )( )1

0

11 2

0dy y y= + ⋅ − =∫ ln y +1 ln y +1 ln2 -1 (11)

Din (9), (10), (11) se obţine:

22

4 4D

dxdyx y

=+ +

∫ ∫ ln2 -1.

e) Domeniul pe care se integrează este prezentat în figura 7.

Fig. 7

Domeniul se orientează la axa Ox şi se descompune în domeniile

1 2D D D= ∪ .

1 2

1 0:

2 1x

Dx y x

− ≤ ≤⎧⎨− − ≤ ≤⎩

, 2 2

0 1:

2 1x

Dx y x≤ ≤⎧

⎨− ≤ ≤⎩

1 26 9 6 9 6 9D D D

dxdy dxdy dxdyx y x y x y

= ++ + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (12)

2

1

0

1 2 16 9 6 9x

D x

dxdy dydxx y x y− − −

=+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ (13)

( ) ( ) ( )2 2

2

2 16 9 6 9

6 9 2 1x

x

xdy x y x xx y x− −

= + + = + + −+ + − −∫ ln ln ln 4x + 8

( ) ( )2 2= − −ln x + 3 ln x + 2 ln2 (14)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

1 10 0

1 1

2 3 2 2

2 3 2 2

x dx x dx dx

x x x x x x− −

− −

+ − + − =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⋅ − − + ⋅ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫0

-1ln ln ln2

ln + 3 ln + 2 ln2 =

6 3 4 6 3 8= − −ln ln2 - 2 - 2ln2 +1- 4ln2 = ln ln2 -1 (15)

Din (13), (14), (15) se obţine 1

8 2 66 9D

dxdyx y

= − ++ +∫ ∫ ln ln3 -1 (16)

2

2

1

0 2 16 9 6 9x

D x

dxdy dydxx y x y−

=+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ (17)

( ) ( ) ( )2 2

2 16 9 2

6 9 2 1x

x

xdy x y x xx y x−

= + + = − =+ + −∫ ln ln + 3 ln8 +1

( ) [ ]2 3 1 3x x= + − + −ln ln ln2 (18)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

0 0

0 0

1 1

2 3 1 3

2 3 1 3

x dx x

x x x x x x− −

+ − + −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⋅ − − + ⋅ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ln ln ln2 =

= ln + 3 ln +1 ln2 =

= 8ln4 - 2 - 6ln3 - 2ln2 +1- 3ln2 =11ln2 - 6ln3 -1 (19) Din (17), (18), (19) se obţine:

6 9D

dxdyx y

=+ +∫ ∫ 11ln2 - 6ln3 -1 (20)

Din (12), (16), (20) se obţine:

3 2 26 9D

dxdyx y

= −+ +∫ ∫ ln .

3) Să se calculeze făcând schimbarea de variabilă adecvată:

a) 2 2

2D

x yI dxdy

π+

= ∫ ∫ arcsin , 2 2 2 2: 4D x yπ π≤ + ≤ .

b) ( )

2 2

22 24D

x yI dxdyx y

+=

− +∫ ∫ ,

22: 1

2xD y+ ≤ .

c) D

I xdxdy= ∫ ∫ ,

1 2

: 1 2

0

xyyDx

x

≤ ≤⎧⎪⎪ ≤ ≤⎨⎪

≥⎪⎩

.

d) D

bx ayI dxdybx ay

+=

−∫ ∫ ln ,

2 2

2 21 4

35

12:13

00, 0

x ya b

by xa

bD y xa

xa b

⎧≤ − ≤⎪

⎪⎪ ≤⎪⎪⎪ ≥ −⎨⎪

≥⎪⎪ > >⎪⎪⎪⎩

Rezolvare:

Fie ( )( )

( ), v

: , v, v

x uT u

y u

ϕ

ψ

⎧ =⎪ ∈Ω⎨=⎪⎩

o transformare biunivocă şi ( )( )

,0

, vDD uϕ ψ

≠

jacobianul transformării T .

Atunci ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

,, , v , , v v

, vD

Df x y dxdy f u u dud

D uϕ ψ

ϕ ψΩ

=∫ ∫ ∫ ∫ (1)

a) Domeniul pe care se integrează este prezentat în figura 8.

Fig. 8

Se foloseşte schimbarea de variabilă x

Ty

ρ θρ θ

=⎧= ⎨ =⎩

cossin

, 0 2

:2

θ ππ ρ π≤ ≤⎧

Ω ⎨ ≤ ≤⎩.

Transformarea T transformă domeniul D din figura 8 în domeniul Ω din figura 9. Jacobianul transformării este ρ . Deci este biunivocă.

Fig. 9

Folosind formula (1) de schimbare de variabilă se obţine:

2 2

2 2 2

0

2

2 .

D

x ydxdy d d

d d dπ π π

π π

ρρ ρ θπ πρ ρρ ρ θ π ρ ρπ π

Ω

+= =

= =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

arcsin arcsin2

arcsin arcsin2 2

Ultima integrală integrând-o prin părţi se obţine:

22 2 2

3

22 4

2 4

7 3 .6 2

Iπρ ρ ρπ π π ρππ

ππ

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

arcsin2

b) Domeniul pe care se integrează este prezentat în figura 10.

Fig. 10

Se face schimbarea de variabilă [ ]: 0, 2x

Ty

ρ θθ π

ρ θ=⎧

∈⎨ =⎩

cossin

.

Ecuaţia elipsei în coordonate polare este 2

21

ρθ

=+ sin

. Graficul

funcţiei ( )ρ θ este prezentat în figura 11.

Fig. 11

Deci domeniul D trece prin această transformare în domeniul Ω .

Aşadar ( )

2 2 3

2 42 2 44D

x ydxdy d d

x y

ρ ρ θρΩ

+= =

−− +∫ ∫ ∫ ∫

22 32 2 2 21

0 0 04

22

20

21 4 121 0

32 4

d dπ π

θ

π

ρθ ρ ρ θρ

θπ θ θθ

+= = − − =+−

−= −

∫ ∫ ∫

∫

sin sin

cos sin d .2 - cos

Ţinând cont de funcţia de subintegrală şi de domeniul din figura 11 se

obţine: 2 22 2

2 20 0

3 34π πθ θθ θ θ θ

θ θ− −

=∫ ∫cos cossin d sin d .

2 - cos 2 - cos

Pentru ultima integrală se face substituţia ( )cosuθ = arccos 3 , după

care în integrala obţinută se face schimbarea de variabilă vu =tg şi astfel se obţine:

( )( )( )

2 2

22 22 22 2

v v v v2 12 2 62v 1 v 1 2v v 1

2

4 2 2 3.

d dI π π∞ ∞

= − = − =⎡ ⎤− + ⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= −

∫ ∫

arctg ln

c) Domeniul pe care se integrează este prezentat în figura 12.

Fig. 12

Se face transformarea [ ][ ]1, 2

v v 1, 2

u xy uT y

x

=⎧ ⎧ ∈⎪ ⎪= ⇒⎨ ⎨= ∈⎪⎪ ⎩⎩

.

Această transformare admite inversă şi se obţine:

( )

( )

1 , vv:

v , v

ux uT

y u u

ϕ

ψ

−⎧

= =⎪⎨⎪ = ⋅ =⎩

Aşadar ( )( )

1, 2 , v 2v v 1, v 2vv

2 u 2

uD uD u u

v

ϕ ψ−

= = .

Aplicând formula se schimbare de variabilă în integrala dublă se obţine:

( ) ( )( ) ( )

2 2

1 1

32

21

1 1 1v= v2v 2v v v

1 1 12 2 1 v v 2 2 1 2 2 5 2 6 .3 3 3

D

uxdxdy dud d udu

d

Ω

−

= ⋅ =

= − = − − = −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

d) Domeniul pe care se integrează este prezentat în figura 13.

Fig. 13

Transformarea cea mai adecvată este:

( )( )

v , v:

y=bu shv= u,v

x au ch uT

ϕ

ψ

⎧ = ⋅ =⎪⎨

⋅⎪⎩

Transformarea T este regulată şi are jacobianul abu . Deci admite inversă. Aceasta este:

2 2

2 2

1:

v

x yua bx yTa bx ya b

−

⎧= −⎪

⎪⎪⎨ +⎪ =⎪

−⎪⎩

Ţinând cont de aceasta, rezultă că [ ]1,2u∈ , [ ]v 5, 2∈ −ln ln .

( )( )

,, v

Dabu

D uϕ ψ

= . Folosind schimbarea de variabilă în integrala dublă se

obţine:

( )

2

2 ln 2 2

1 ln 5

v v v=v-shv

=ab v v

3v v=ab v v 2 54

3 510 .4 2

D

v

bx ay ch shdxdy abu dudbx ay ch

u e dud u dud

abab u dud udu d

ab

Ω

Ω Ω

Ω −

+ += ⋅

−

= =

= = − =

= − ⋅ ⋅

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

v

2

ln ln

ln lne

ln ln

ln ln

4) Folosind integrala dublă să se calculeze aria domeniului:

a) D este triunghiul mărginit de drepte y mx= , 1x ya b+ = , 0y = , 0m > ,

0a > , 0.b > b) D este domeniul plan mărginit de cercul de rază 0R > . c) D este domeniul plan mărginit elipsa de semiaxe 0a > , 0.b > d) D este mărginit de dreptele 2x = , 0y = şi de parabola 2y x= .

Rezolvare: Se utilizează formula:

( )D

D dxdyσ = ∫ ∫ (1)

a) Domeniul D este prezentat în figura 14.

Fig. 14

Se află ordonata lui A rezolvând sistemul: 1

y mxx ya b

=⎧⎪⎨

+ =⎪⎩

şi se obţine

mabyb ma

=+

.

Deci domeniul D orientat la axa Oy este:

( )

0:

mabyb maD

y ax b ym b

⎧ ≤ ≤⎪⎪ +⎨⎪ ≤ ≤ −⎪⎩

Atunci conform cu formula (1):

( )0

amab a ybb ma

yDm

D dxdy dy dxσ−

+= =∫ ∫ ∫ ∫ (2)

aa yb

ym

aa ya y b mabdx x a y a y

y b m mbm

−−

+= = − − = − ⋅∫ (3)

2

0 20 0

mabb ma

mab mabb ma b maa y dy ay yb ma b ma

bm bm+ + +⎛ ⎞− = − =+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

( ) ( )2 2 2 2 2

22 2ma b b ma m a b ma b

b ma bm b mab ma+ ⋅

= − ⋅ =+ ++

(4)

Din (2), (3), (4) se obţine:

( ) ( )2

2ma bDb ma

σ =+

.

b) Se consideră cercul cu centrul în origine şi de rază R . Se foloseşte

transformarea :x

Ty

ρ θρ θ

=⎧⎨ =⎩

cossin

cu Jacobianul ρ . Transformarea T trece

domeniul D în domeniul [ ] [ ]0.1 0,2πΩ = × . Aplicând formula (1) se obţine:

( )2

0 0 0

22

2

2 .02

R R

DD dxdy d d d d d

RR

πσ ρ ρ θ ρ ρ θ π ρ ρ

ρπ π

Ω= = = = ⋅ =

= =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Deci ( ) 2D Rσ π= . c) Se consideră elipsa cu centrul în origine de semiaxe

, ,a b2 2

2 2 1 0x ya b

+ − = .

Se foloseşte transformarea :x a

Ty b

ρ θρ θ

= ⋅⎧⎨ = ⋅⎩

cossin

.

Jacobianul transformării T este abρ .

Transformarea T trece domeniul D în domeniul [ ] [ ]0.1 0,2πΩ = × . Aplicând formula (1) se obţine:

( )1 2

0 0

2 12 .

02

DD dxdy d d ab d d

b b

πσ ρ ρ θ ρ ρ θ

ρπ π

Ω= = = =

= =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Deci ( ) .D abσ π= d) Domeniul D este prezentat în figura 15.

Fig. 15

Aplicând formula (1) se obţine:

( )22

0 0

x

DD dxdy dx dyσ = =∫ ∫ ∫ ∫ (5)

2 22

0 0x x

dy y x= =∫ (6)

32 2

0

2 803 3

xx dx = =∫ (7)

Din (5), (6), (7) se obţine ( ) 8 .3

Dσ =

CAPITOLUL 7 INTEGRALA TRIPLĂ

1. Definiţie. Proprietăţi Se ştie din fizică că masa unui corp omogen este dată de produsul dintre volumul corpului şi densitatea sa. Diverse probleme practice au adus în discuţie determinarea masei unui corp K de densitate variabilă ( ), , 0f x y z > . Pentru determinarea masei unui astfel de corp, se

procedează astfel: Se consideră un interval tridimensional [ ] [ ] [ ], , ,I a b c d e f= × × în care este

înscris corpul K şi se consideră că 3:f K I⊂ ⊂ →R R . Se consideră o diviziune Δ a intervalului tridimensional I definită astfel:

0 1 2 1

0 1 2 2

0 1 2 3

... :: ... :

... :

n

m

p

a x x x x b dc y y y y d de z z z z f d

⎧ = < < < < =⎪

Δ = = < < < < =⎨⎪ == < < < < =⎩

Diviziunea Δ împarte intervalul I în paralelipipedele de diviziune [ ] [ ]1 1 1, , ,ijk i i j j k kx x y y z zσ + + +⎡ ⎤= × ×⎣ ⎦ , 0, 1i n= − , 0, 1j m= − ,

0, 1k p= − Deoarece planele ix x= , 1ix x += jy y= , 1jy y += kz z= , 1kz z += sunt paralele cu planele de coordonate, feţele paralelipipedelor de diviziune ijkσ sunt paralele cu planele de coordonate.

Fie ( )

( ){ }, ,

, ,ijk

ijk x y zm f x y z

σ∈= inf şi

( )( ){ }

, ,, ,

ijkijk

x y zM f x y z

σ∈= sup . Dacă se notează

cu ijkμ masa paralelipipedului ijkσ , atunci este evidentă inegalitatea:

( )( )( ) ( )( )( )1 1 1 1 1 1ijk i i j j k k ijk ijk i i j j k km x x y y z z M x x y y z zμ+ + + + + +− − − ≤ ≤ − − −

(1) În inegalitatea (1) însumând pentru toate paralelipipedele ijkσ , se obţine:

( )( )( )

( )( )( )

11 1

1 1 10 0 0

11 1

1 1 10 0 0

pn m

ijk i i j j k ki j k

pn m

ijk i i j j k ki j k

m x x y y z z

M x x y y z z

μ−− −

+ + += = =

−− −

+ + += = =

− − − ≤ ≤

≤ − − −

∑∑∑

∑∑∑

unde μ reprezintă masa corpului K iar cele două sume triple reprezintă pe ( ),s fΔ şi ( ),S fΔ , adică suma Darboux inferioară respectiv superioară

ale funcţiei ( ), ,f x y z relative la diviziunea Δ.

Dacă se consideră un punct oarecare ( ), ,i j k ijkξ η ς σ∈ , adică [ ]1,i i ix xξ +∈ ,

1,j j jy yη +⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦ , [ ]1,k k kz zς +∈ , se poate construi suma:

( ) ( )( ) ( )( )( )( )11 1

1 1 10 0 0

, , , , , ,pn m

i j k i j k i i j j k ki j k

D f f x x y y z zσ ξ η ς ξ η ς−− −

+ + += = =

Δ = − − −∑∑∑ ,

este o suma Riemann ataşată funcţiei f, diviziunii Δ şi alegerii punctelor intermediare ( ), ,i j kξ η ς .

Numărul ( ) ( ) ( ) ( )0 10 1

22 21 1 1

0 1j mk p

i i j j k ki n

x x y y z zυ≤ ≤ −≤ ≤ −

+ + +≤ ≤ −

⎧ ⎫Δ = − − −⎨ ⎬⎩ ⎭

sup

se numeşte norma diviziunii Δ. Definiţia 7.1.1. Dacă există şi este finită ( )( ), , , ,i j kn

mp

fσ ξ η ς→∞→∞→∞

Δlim , atunci aceasta

se notează cu ( ), ,k

f x y z dxdydz∫ ∫ ∫ şi se citeşte integrală triplă pe

domeniul K din ( ), ,f x y z . Definiţia 7.1.2. Funcţia 3:f K ⊂ →R R este integrabilă pe K dacă există un

număr I R∈ cu proprietatea că ( ) 0ε∀ > , există ( ) 0δ ε > astfel încât

pentru orice diviziune Δ cu proprietatea că ( ) ( )υ δ εΔ < ,

( )( ), , , ,i j kf Iσ ξ η ς εΔ − < . După cum se poate observa, pentru a putea

studia integrabilitatea cu definiţia 7.1.2., trebuie pus în evidenţă numărul I. Această punere în evidenţă este însă de foarte multe ori foarte dificilă. De aceea pentru studiul integrabilităţii funcţiei ( ), ,f x y z se poate folosi proprietatea următoare:

Propoziţia 7.1.2. Fie 3:f K ⊂ →R R . Dacă: 1. f este mărginită pe K 2. fie diviziunile Δ1, Δ2 cu proprietatea că ( ) ( )1υ δ εΔ < , ( ) ( )2υ δ εΔ < şi

orice alegere a punctelor intermediare ( )1 1 1, ,i j kξ η ς şi ( )2 2 2, ,i j kξ η ς implică

( )( ) ( )( )2 1 1 1 1 2 2 2, , , , , , , ,i j k i j kf fσ ξ η ς σ ξ η ς εΔ − Δ < , ( ) 0ε∀ >

atunci funcţia ( ), ,f x y z este integrabilă Riemann pe domeniul K . Definiţia 7.1.2. Fie 3M ⊂ R o mulţime oarecare. Mulţimea M se numeşte

mulţime de măsură Lebesque nulă sau mulţime de L măsură nulă dacă pentru orice 0ε > , există o acoperire a acestei mulţimi cu paralelipipede

de forma [ ] ; ' '' '', , ,i i i i i i iP α β α β α β⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦ cu proprietatea că ( )ii I

V P ε∈

<∑ ,

unde I este o mulţime oarecare de indici, iar ( )iV P este volumul paralelipipedului iP .

Propoziţia 7.1.2. (Criteriul de integrare al lui Lebesque) Fie 3:f K ⊂ →R R . Funcţia f este integrabilă Riemann pe domeniul K dacă şi numai dacă: 1. f este mărginită pe K . 2. f este continuă aproape peste tot pe K

Observaţia 7.1.1. Mulţimile de măsuri Lebesque nulă din 3R au aceleaşi proprietăţi ca şi mulţimile de măsuri Lebesque nulă din R şi 2R . Cu ajutorul criteriul de integrare al lui Lebesque se pot pune în evidenţă diferite clase de funcţii integrabile. unele din aceste funcţii sunt date de propoziţiile următoare.

Propoziţia 7.1.3. Fie 3:f K ⊂ →R R continuă pe K . Atunci ( ), ,f x y z este integrabilă pe K . Demonstraţie: Vezi propoziţia asemănătoare de la “Integrala dublă”.

Propoziţia 7.1.4. Fie 3:f ⊂ →K R R . Dacă f este continuă pe1

\n

ii

K S=∪ , unde

iS sunt suprafeţe netede incluse în K , atunci funcţia ( ), ,f x y z este integrabilă pe K . Demonstraţie: Deoarece iS , pentru orice 1,i n= , sunt suprafeţe netede conform cu definiţia 7.1.3. rezultă că iS sunt mulţimi de L măsură nulă. Conform cu

proprietatea mulţimilor de L măsură nulă rezultă că 1

n

ii

S=∪ este o mulţime

de L măsură nulă. Cum f este continuă pe 1

\n

ii

K S=∪ , iar

1

n

ii

S=∪ este

mulţime de L măsură nulă atunci f continuă aproape peste tot pe K . Deci, conform cu propoziţia 7.1.2. ( ), ,f x y z este integrală Riemann pe domeniul K .

Definiţia 7.1.4. a) Dacă există şi este finită ( ),nmp

s f→∞→∞→∞

Δlim , aceasta se notează cu

I sau cu ( ), ,k

f x y z dxdydz∫ ∫ ∫ şi se numeşte integrala Darboux

inferioară a funcţiei f(x,y,z) pe domeniul K.

b) Dacă există şi este finită ( ),nmp

S f→∞→∞→∞

Δlim , aceasta se notează cu I , sau cu

( ), ,k

f x y z dxdydz∫ ∫ ∫ şi se numeşte integrala Darboux superioară a funcţiei f(x,y,z) pe domeniul K. c) Dacă există I şi I şi are loc relaţia I = I , atunci se spune că funcţia f este integrală Darboux pe domeniul K.

Observaţia 7.1.2. a) Pentru funcţia continuă, integrabilitatea Riemann dată de definiţia 7.1.2. şi integrabilitatea Darboux dată de definiţia 7.1.4. sunt noţiuni echivalente şi despre o astfel de funcţie se spune simplu că este integrabilă pe domeniul K . b) Proprietăţile sumelor Darboux şi Riemann asociate funcţiei ( ), ,f x y z sunt aceleaşi cu proprietăţile sumelor Darboux şi Riemann asociate funcţiei ( )f x sau ( ),f x y .

Propoziţia 7.1.5. (Proprietăţile integralei triple) Fie 3, :f g ⊂ →K R R două funcţii integrabile pe domeniul K . 1. pentru orice , Rα β ∈ , funcţia f gα β⋅ ± ⋅ este integrabilă pe domeniul

K şi are loc egalitatea:

( )( )

( ) ( )

, ,

, , , ,K

K K

f gf x y z dxdydz

f x y z dxdydz g x y z dxdydz

α β

α β

⋅ ± ⋅ =

= ⋅ ± ⋅

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(Proprietatea de liniaritate a integralei triple).

2. Dacă 1

n

ii

K K=

=∪ , unde 1i iK K +∩ sunt mulţimi de L măsură nulă,

( ) 0, 1i n∀ = − , atunci ( ) ( )1

, , , ,i

n

K Ki

f x y z dxdydz f x y z dxdydz=

= ∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

(Proprietatea de aditivitate faţă de domeniul de integrare). 3. Dacă ( ) ( ), , 0 , , 0

Kf x y z f x y z dxdydz≥ ⇒ ≥∫ ∫ ∫

(Proprietatea de monotonie a integralei triple). 4. Fie

( )( ){ }

, ,, ,

x y z Km f x y z

∈= inf şi

( )( ){ }

, ,, ,

x y z KM f x y z

∈= sup .

Atunci: ( ) ( ) ( ), ,

Km V K f x y z dxdydz M V K⋅ ≤ ≤ ⋅∫ ∫ ∫ , unde ( )V K este volumul

corpului K . În cazul în care [ ] [ ] [ ], , ,K a b c d e f= × × atunci

( ) ( )( )( )V K b a d c f e= − − − şi proprietatea anterioară va avea forma:

( )( )( ) ( ) ( )( )( ), ,K

m b a d c f e f x y z dxdydz M b a d c f e− − − ≤ ≤ − − −∫ ∫ ∫

5. Dacă f continuă pe K , atunci există punctul ( ), , Kξ η ς ∈ astfel încât:

( ) ( ) ( ), , , ,K

f x y z dxdydz f V Kξ η ς= ⋅∫ ∫ ∫ .

(prima formulă de medie pentru integrala triplă) 6. Fie ,f g continuă pe K şi ( ), , 0g x y z > , pentru orice ( ), ,x y z K∈ .

Atunci există punctul ( ), , Kξ η ς ∈ astfel încât:

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,K K

f x y z g x y z dxdydz f g x y z dxdydzξ η ς⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(A doua formulă de medie pentru integrala triplă) 7. ( ) ( ), , , ,

K Kf x y z dxdydz f x y z dxdydz≤∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

8. Dacă ( ), , 0f x y z = , ( )( ), , \x y z K S∀ ∈ , unde S este o suprafaţă netedă, atunci

( ), , 0K

f x y z dxdydz =∫ ∫ ∫

Demonstraţie: Proprietăţile 1), 2), 3) rezultă din definiţia integralei triple şi proprietăţile sumelor integrale.

4) Este evident că ( ), ,m f x y z M≤ ≤ , ( )( ), ,x y z K∀ ∈ . Conform proprietăţii de monotonie şi liniaritate a integralei triple:

( ), ,K K K

m dxdydz f x y z dxdydz M dxdydz⋅ ≤ ≤ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Dar cum ( )K

dxdydz V K=∫ ∫ ∫ se obţine proprietatea 4).

5) Conform cu proprietatea 4), are loc relaţia: ( ) ( ) ( ), ,

Km V K f x y z dxdydz M V K⋅ ≤ ≤ ⋅∫ ∫ ∫

Prin împărţire cu ( )V K se obţine( )

( ), ,

Kf x y z dxdydz

m MV K

≤ ≤∫ ∫ ∫ .

Dar, deoarece funcţia ( ), ,f x y z este continuă pe compactul K , ea are

proprietatea lui Darboux pe acest compact, adică pentru orice [ ]0 ,z m M∈ ,

există un punct ( ), , Kξ η ς ∈ astfel încât ( )0 , ,z f ξ η ς= . Deci se observă că se poate considera

( )( ) ( )( )0

, ,, ,K

f x y z dxdydzz K

V Kξ η ς= ⇒ ∃ ∈∫ ∫ ∫ astfel încât

( )( )

( ), ,

, , Kf x y z dxdydz

fV K

ξ η ς = ∫ ∫ ∫

Prin eliminarea numitorului se obţine proprietatea 5). 6) Deoarece ( ), , 0g x y z > şi ( ), ,m f x y z M≤ ≤ rezultă că

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,m g x y z f x y z g x y z M g x y z⋅ ≤ ≤ ⋅ . Conform proprietăţii de monotonie şi liniaritate a integralei triple:

( ) ( ) ( )

( )

, , , , , ,

, , .K K

K

m g x y z dxdydz f x y z g x y z dxdydz

M g x y z dxdydz

⋅ ≤ ⋅ ≤

≤ ⋅

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

Dar, conform proprietăţii de monotonie, ( ), , 0K

g x y z dxdydz >∫ ∫ ∫ atunci

( ) ( )( )

, , , ,

, ,K

K

f x y z g x y z dxdydzm M

g x y z dxdydz

⋅≤ ≤∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫.

Continuând raţionamentul ca la punctul 5) rezultă că există ( ), , Kξ η ς ∈ astfel încât:

( )

, ,

K

K

f g dxdydzf

g dxdydzξ η ς

⋅= ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

Prin eliminarea numitorului se obţine proprietatea 6). 7) Ţinând cont de proprietatea modulului, este evident că:

( ) ( ) ( ), , , , , ,f x y z f x y z f x y z− ≤ ≤ . Conform proprietăţii de liniaritate şi monotonie ale integralei triple se obţine:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

, , , , , ,

, , , , .K K K

K K

f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dxdydz

f x y z dxdydz f x y z dxdydz

− ≤ ≤ ⇔

⇔ ≤

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2. Calculul integralei triple Propoziţia 7.2.1. (Calculul integralei triple pe un paralelipipedul

[ ] [ ] [ ], , ,a b c d e fΩ = × × )

Fie [ ] [ ] [ ], , ,a b c d e fΩ = × × un paralelipiped cu feţele paralele cu planele

de coordonate şi 3:f Ω ⊂ →R R o funcţie integrabilă pe Ω. Atunci:

( ) ( ), , , , .b d f

a c ef x y z dxdydz dx dy f x y z dz

Ω=∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(şi formulele obţinute prin toate permutările circulare ale ordinii de integrare). Demonstraţie: Se consideră funcţia ( ) ( ), ,

DI x f x y z dydz= ∫ ∫ , unde domeniul D este

proiecţia domeniului Ω pe planul Oyz . Conform teoremei de medie se poate scrie următoarea relaţie:

( )( ) ( ) ( )( )1 1 1 1, ,jk

ijk j j k k ijk j j k kDm y y z z f x y z dydz M y y z z+ + + +− − ≤ ≤ − −∫ ∫ ,

unde ijkm şi ijkM sunt minime respectiv maximele funcţiei ( ), ,f x y z pe

paralelipipedul de diviziune [ ] [ ]1 1 1, , ,ijk i i j j k kx x y y z zσ + + +⎡ ⎤= × ×⎣ ⎦ , iar

Prjk ijkoyzD σ= .

Se fixează [ ]1,i i ix x xξ += ∈ iar inegalitatea anterioară se însumează după toate valorile indicilor j şi k şi ţinând cont de proprietatea de aditivitate a integralei duble faţă de interval se obţine:

( )( ) ( ) ( )( )1 11 1

1 1 1 10 0 0 0

.p pm m

ijk j j k k i ijk j j k kj k j k

m y y z z I M y y z zξ− −− −

+ + + += = = =

− − ≤ ≤ − −∑∑ ∑∑

Înmulţind această inegalitate cu 1i ix x +− şi însumând după toate valorile indicelui i , se obţine:

( )( )( ) ( )( )

( )( )( )

11 1 1

1 1 1 10 0 0 0

11 1

1 1 10 0 0

.

pn m n

ijk i i j j k k i i ii j k i

pn m

ijk i i j j k ki j k

m x x y y z z I x x

M x x y y z z

ξ−− − −

+ + + += = = =

−− −

+ + += = =

− − − ≤ − ≤

≤ − − −

∑∑∑ ∑

∑∑∑

Sumele triple din această inegalitate reprezintă suma inferioară Darboux, respectiv suma superioară Darboux a funcţiei ( ), ,f x y z asociată diviziunii

Δ, iar ( )( )1

10

n

i i ii

I x xξ−

+=

−∑ reprezintă suma Riemann asociată funcţiei ( )I x ,

intervalului [ ],a b , diviziunii 1d şi alegerii punctului intermediar iξ . Cu acestea, inegalitatea anterioară devine: ( ) ( )( ) ( )1, , , ,is f I x d S fσ ξΔ ≤ ≤ Δ .

Cum funcţia ( ), ,f x y z este integrabilă pe domeniul Ω, înseamnă că:

( ) ( ) ( ), , , , .n nm mp p

s f S f f x y z dxdydzΩ→∞ →∞

→∞ →∞→∞ →∞

Δ = Δ = ∫ ∫ ∫lim lim

Funcţia ( )I x fiind integrabilă pe [ ],a b , se obţine

( )( ) ( )1

10

.n b

i i i an iI x x I x dxξ

−

+→∞=

− =∑ ∫lim . Deci prin trecere la limita după

, ,m n p →∞ , în inegalitatea precedentă se obţine egalitatea:

( ) ( ) ( ), , , , .b b

a a Df x y z dxdydz I x dx f x y z dydz dx

Ω⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Deoarece [ ] [ ]Pr , ,oyz

D c d e f= Ω = × , este un dreptunghi cu laturile paralele

cu axele Oy şi .Oz Ţinând cont de formula de calcul a integralei duble pe un dreptunghi rezultă: ( ) ( ), , , , .

b d f

a c ef x y z dxdydz dx dy f x y z dz

Ω=∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Observaţia 7.2.1. Valoarea integralei triple pe un dreptunghi este aceeaşi indiferent de ce ordine de integrare se adoptă în formula de calcul, dar în practică sunt situaţii încât pentru a scurta calculele celor trei integrale definite obţinute în urma aplicării formulelor, trebuie stabilită o anumită ordine de integrare.

Propoziţia 7.2.2. (Calculul integralei triple pe domenii oarecare) Fie 3:f Ω ⊂ →R R o funcţie integrabilă pe Ω, iar Ω un domeniu definit astfel:

( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2

:

, ,

a x bx y x

x y z x y

ϕ ϕ

ψ ψ

⎧ ≤ ≤⎪

Ω ≤ ≤⎨⎪ ≤ ≤⎩

Dacă suprafeţele ( )1 ,z x yψ= , ( )2 ,z x yψ= sunt suprafeţe netede ce închid domeniul Ω cu proprietatea că orice paralelă la axa Oz intersectează frontiera lui Ω în cel mult două puncte, atunci are loc egalitatea:

( ) ( )( )

( )2

1

,

,, , , ,

xy

x y

x yf x y z dxdydz f x y z dz dxdy

ψ

ψΩ Ω

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )

( ) ( )( )

( )2 2

1 1

,

,, ,

b x x y

a x x ydx dy f x y z dz

ϕ ψ

ϕ ψ= ∫ ∫ ∫ unde Prxy oyz

Ω = Ω .

Demonstraţie: Domeniul Ω descris în propoziţia 7.2.2. apare ca în figura 1.

Fig.1 Curba γ este mulţimea punctelor de tangentă ale cilindrului de proiecţie a domeniului Ω pe planul xyO şi are ca formă forma frontierei lui xyΩ . Se înscrie Ω în paralelipipedul

( ){ }3, , / , , ,P x y z a x b c y d e z f= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤R unde feţele

x

z

y 0 a b

y=ϕ1(x)

y=ϕ2(x)

Ωxy

z=e

z=f

M1

M2

M3

M4 z=ψ2(x,y)

z=ψ1(x,y)

γ

paralelipipedului sunt dreptunghiuri ce se obţin prin intersecţia planelor x a= , x b= , y c= , y d= , z e= , z f= , plane ce sunt tangente lui Ω. Se consideră funcţia:

( )( ) ( )

( )3

, , , , ,, , :

0, , , P\

f x y z x y zf x y z f P

x y z

⎧ ∈Ω⎪= ⊂ →⎨∈ Ω⎪⎩

R R .

Notând cu S Fr= Ω , se observă din construcţie că funcţia f este discontinuă pe S , dar este continuă în celelalte puncte ale paralelipipedului P . Cum S este o mulţime de L măsură nulă şi f este continuă pe \P S atunci f este continuă aproape peste tot pe P . Conform criteriului de integrabilitate al lui Lebesque, f este integrabilă pe P şi are loc egalitatea:

( ) ( ), , , ,xy

f

ef x y z dxdydz f x y z dz dxdy

Ω Ω

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1) Cum în ultima integrală x şi y sunt parametrii care acoperă mulţimea

xyΩ , atunci se pot considera fixaţi 0x x= , 0y y= şi se obţine următorul segment arbitrar de integrare. În această secvenţă are loc egalitatea:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

1 2 3 4

1 2 2 3 3 4

2 0 0

1 0 0

,

,

, , , ,

, , , , , ,

, ,

f

e M M M M

M M M M M M

x y

x y

f x y z dz f x y z dz

f x y z dz f x y z dz f x y z dz

f x y z dzψ

ψ

= =

= + + =

=

∫ ∫∫ ∫ ∫

∫

Considerând că segmentul 1 4M M acoperă întreg domeniul când x acoperă pe [ ],a b şi y o acoperă pe [ ],c d are loc egalitatea:

( ) ( )( )

( )2

1

,

,, , , ,

f x y

e x yf x y z dz f x y z dz

ψ

ψ=∫ ∫

(2) Din (1) şi (2) precum şi din aditivitatea integralei triple faţă de interval rezultă

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )( )

( )

2

1

2 2

1 1

,

,

,

,

, , , , , ,

, ,

xy

x y

P x y

b x x y

a x x y

f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dz dxdy

dx dy f x y z dz

ψ

ψ

ϕ ψ

ϕ ψ

Ω Ω

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Observaţia 7.2.2. Nu întotdeauna integralele simple ce se obţin prin aplicarea formulelor de calcul din propoziţia 7.2.2. într-o anumită ordine se rezolvă prin calcule simple de aceea se pune problema în această situaţie a unei alte ordini de integrare.

Pentru a obţine o schimbare a ordinii de integrare, trebuie ca domeniul Ω să fie proiectat pe planul xzΩ sau pe planul yzΩ . Formulele de calcul pentru aceste proiecţii se scriu prin analogie cu formula dată anterior.

3. Schimbarea de variabilă în integrala triplă Scopul schimbării de variabilă în integrala triplă este acelaşi ca şi la integrala dublă, de a uşura calculele în procesul de calcul al valorii integralei. Dificultatea practică în schimbarea de variabilă la integrala triplă constă în găsirea unei transformări :T VΩ→ .

Propoziţia 7.3.1. (Schimbarea de variabilă în integrala triplă) Fie :T VΩ→ o transformare definită astfel:

( )( )( )

( ) '

, v,

: , v, , , v,

, v,uvw

x f u w

T y g u w u w O

z h u w

⎧ =⎪

= = ∈Ω ⊂⎨⎪ =⎩

unde

Dacă: 1. Transformarea T este biunivocă; 2. Funcţiile 1, ,f g h CΩ∈ (continue pe Ω , împreună cu derivatele lor parţiale de ordinul I ); 3. Jacobianul transformării este diferit de zero,

( )( ) ( )( )

, ,, v, 0 ;

, v,D f g h

u wD u w

⎛ ⎞∀ ∈Ω ≠⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Atunci are loc egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

, ,, , , v, , , v, , , v, v

, v,V

D f g hf x y z dxdydz F f u w g u w h u w dud dw

D u wΩ

⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Demonstraţie: Dacă se notează cu vol.V şi cu vol.Ω, volumul corpurilor V şi Ω atunci are loc egalitatea:

vol.( )( ) ( )0 0 0,v ,

, ,, v, u w

D f g hV

D u w= Ωvol .

Din această egalitate, se obţine şi următoarea egalitate: ( )( ) ( )0 0 0,v ,

, ,v

, v, u w

D f g hdxdydz dud dw

D u w= ⋅ .

Cu această egalitate, formula de schimbare de variabilă devine evidentă. Aşa cum s-a specificat la începutul paragrafului, problema foarte dificilă este găsirea transformării T care să satisfacă propoziţia 7.3.1. Cele mai utilizate transformări folosite în schimbarea de variabilă în integrala triplă sunt:

A. Trecerea de la coordonate carteziene ( ), ,x y z la coordonate sferice

( ), ,ς ϕ θ ; B. Trecerea de la coordonate carteziene la coordonate sferice generalizate; C. Trecerea de la coordonate carteziene la coordonate cilindrice. Ţinând cont de figura 2 se obţin relaţiile:

:x

T yz

ρ ϕ θρ ϕ θρ θ

⎧⎪= =⎨⎪⎩

= cos sinsin sin

= cos

Fig. 2

Dacă se consideră că ( ), ,x y z străbate întreg spaţiul 3R , atunci noile variabile ,ρ ϕ şi θ definesc un domeniu dat de relaţia:

00 2

2 2

ρϕ π

π πθ

⎧⎪ ≤ < ∞⎪

≤ ≤⎨⎪⎪− ≤ ≤⎩

În cazul în care ( ) ( ), , 0,x y z S R∈ , atunci noile variabile ρ , ϕ şi θ vor defini domeniul dat de relaţia:

z

x

y 0

θ

ρ

ϕ

M“ M

M’“

M, ,x y zρ ϕ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

00 2

02 2

Rρϕ π

π π

⎧⎪ ≤ <⎪

≤ ≤⎨⎪⎪− ≤ ≤⎩

Dacă ( ), ,x y z aparţin unor anumite părţi din sferă, prin considerente geometrice, ţinând cont de figura 2, se vor determina relaţiile determinând ρ , ϕ şi θ , relaţii ce vor defini noul domeniu. Conform cu propoziţia 7.3.1, Jacobianul transformării T trebuie să fie diferit de 0. În acest caz, Jacobianul pentru transformarea T este:

( ),OM OZθ = , ( ), PrOxy

Ox OMϕ = .

ρ = raza vectoare OM . Transformarea nu este biunivocă deoarece planul

( )0 0, 0, 0O x y zρϕθρ = ⊂ → = = = . Dreptele 0θ = şi θ π= ,

( )0, 0, 0r x y zρ = → = = = . Din coordonatele sferice prin particularizări se obţin suprafeţele: a) ρ = constant sfere concentrice cu centrul în origine. b) θ = constant conuri circulare cu axa Oz ca axă de simetrie şi înălţime.. c) ϕ = constant semiplane trecând prin axa Oz . B. Dacă domeniul de integrare este elipsoidul de semiaxe , ,a b c ,

2 2 2

2 2 2 1 0x y za b c

+ + − < sau părţi din acestea pentru calculul integralei triple

este indicat a se utiliza transformarea coordonatelor carteziene în coordonate sferice generalizate.

:x a

T y bz

ρ ϕ θρ ϕ θρ θ

⎧⎪= =⎨⎪⎩

= cos sinsin sin

= c cos unde

0 10 20

ρϕ πθ π

≤ ≤⎧⎪ ≤ ≤⎨⎪ ≤ ≤⎩

pentru elipsoid.

Jacobianul transformării este 2J abcρ θ= + sin . Aşadar elipsoidul trece în paralelipipedul [ ] [ ] [ ]0,1 0, 2 0,π π× × . C. Coordonatele cilindrice reprezintă o combinaţie între coordonatele polare din planul xOy cu cotă carteziană obişnuită z .

( )( )

2, ,, ,

D x y zD

ρ θρ ϕ θ

= − sin

z

ρ

Fig. 3

Ţinând cont de figura 3 se obţin relaţiile:

:x

T yz z

ρ θρ θ

⎧⎪= =⎨⎪⎩

= cossin

=

Jacobianul transformării este J ρ= . a) Dacă 0 rρ≤ ≤ , 0 2θ π≤ ≤ , z−∞ < < +∞ atunci în Oxyz este cilindru cu

înălţimea infinită şi rază r . b) Dacă 0 rρ≤ ≤ , 0 2θ π≤ ≤ , 0 z h≤ ≤ atunci în Oxyz este cilindru de

rază r şi înălţime h . c) Dacă 0 ρ≤ < ∞ , 0 2θ π≤ ≤ , z−∞ < < +∞ este întreg spaţiu 3Oxyz ≡ R .

Transformarea T nu este biunivocă deoarece dreapta ( )0, 0, 0,z z x y zρ = = → = = .

Ţinând cont de coordonatele sferice, prin particularizări se obţin suprafeţele: a) ρ = constant-suprafeţe cilindrice cu generatoarea paralelă cu axa .Oz b) θ = constant-semiplane trecând prin axa .Oz c) z = constant-plane paralele cu planul Oxy . D. Coordonate eliptice.

z

x

y 0

θ

M’( ,ρ θ )

M, ,x y z

zρ θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Transformarea ( )( )( )

( )( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

:

xh k

k h hT y

k k h

k k kz

k k h

λμυ

λ μ υ

λ μ υ

⎧⎪ = ±

⋅⎪⎪

− − −⎪= ±⎨

⋅ −⎪⎪

− − −⎪= ±⎪

⋅ −⎩

de Jacobian

( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22

Jk h h k h k

λ μ λ υ μ υ

λ λ μ μ υ υ

− − −=

− − − − − − face legătura

între coordonatele eliptice ( ), ,λ μ υ . Coordonatele eliptice se introduc considerând familia de suprafeţe

coaxiale şi cofocale 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = , 0 h k< < care reprezintă elipse

pentru kλ > , hiperbilozări cu o pânză pentru h kλ< < , hiperbolizări cu două pânze pentru 0 hλ< < . Prin fiecare punct al spaţiului ( ), ,M x y z nesituat în planele de coordonate trece câte o suprafaţă din fiecare tip.

4. Exerciţii rezolvate 1. Să se rezolve:

a) ( ) ;V

x y z dxdydz+ +∫ ∫ ∫ [ ] [ ] [ ]0, 0, 0, .V a b c= × ×

b) ;V

d d dρ θ ρ θ ϕ∫ ∫ ∫ sin [ ]0,2 0, 0, .2 2

V π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

c) ;V

xyz dxdydzxyz∫ ∫ ∫

ln [ ] [ ] [ ]1, 2 1, 2 1, 2 .V = × ×

d) 2

;1V

xyz dxdydzz+

∫ ∫ ∫ [ ] [ ] [ ]0, 2 0,1 0,1 .V = × ×

e) ( )52 2 2 2

;V

xyz dxdydzx y z a+ + +

∫ ∫ ∫ [ ] [ ] [ ]0, 0, 0, .V a a a= × ×

Rezolvare: După cum se observă domeniile de integrare sunt paralelipipede cu feţele paralele cu planele de coordonate adică de forma [ ] [ ] [ ], , ,V a b c d e f= × × . În acest caz integrala triplă se calculează după formula:

( ) ( ), ,b d f

V a c ef x y z dxdydz dx dy f x y z dz+ + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

sau oricare ordine de integrale. a) ( ) ( )

0 0 0, ,

a b c

Vx y z dxdydz dx dy x y z dz+ + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1)

( )2 2

0 0 0 02 2c c c cz cx y z dz x z y z cx cy

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ .

(2) 2 2 2

0 0 0 02 2 2b b b bc y ccx cy dy cx y c y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

2 2

2 2cb c bcbx= + + .

(3)

2 2 2 2 2

0 0 0 02 2 2 2 2a a a acb c b x cb bccbx dx cb x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

( )2 2 2

2 2 2 2cba cb a c ba abc a b c= + + = + + .

(4) Din (1), (2), (3), (4) se obţine:

( ) ( )2V

abcx y z dxdydz a b c+ + = + +∫ ∫ ∫ .

b) ( )22 2

0 0V od d d d d d

π π

ρ θ ρ θ ϕ ρ ρ θ θ ϕ⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫sin sin .

(1)

20 2

dπ πϕ =∫ .

(2)

2 120

od

π πθ θ θ= − =∫ sin cos .

(3) 22

0

22

02d ρρ ρ = =∫ .

(4) Din (1), (2), (3), (4) se obţine:

Vd d dρ θ ρ θ ϕ π=∫ ∫ ∫ sin .

c) 1 1 1

0 0 0

1 1V

xyz xyzdxdydz dx dy dzxyz x y z

=∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ln ln

(1)

2 2 2

1

22

1xyzdz xyz xy xy x yz

= = − = ⋅ =∫ 2 2 2ln ln ln ln ln2 ln2

2 2xy= ⋅ln2 ln (2)

22 4 2 2xydy xy

= ⋅∫2 2

1

lnln2 ln ln

(3) 2

1

24 2 12 2x dxx

=∫2 4lnln ln

(4) Din (1), (2), (3), (4) se obţine:

12 2V

xyz dxdydzxyz

=∫ ∫ ∫ 4ln ln

d) ( ) ( )2 1 1

0 0 02 21 1V

xyz zdxdydz xdx ydy dzx z

⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1) 1 1 2

0 02 2

11 2 1 2 1021 1

z zdzdz zz z

= = + = −+ +

∫ ∫

(2) 1

0

12

ydy =∫

(3) 2

02xdx =∫

(4) Din (1), (2), (3), (4) se obţine:

22 1

1V

xyz dxdydzx

= −+

∫ ∫ ∫

e) ( ) ( )5 50 0 02 2 2 2 2 2 2 2

a a a

V

xyz zdxdydz xdx ydy dzx y z a x y z a

=+ + + + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1)

( ) ( )5 40 2 2 2 2 2 2 2 2

1 108

a az dzx y z a x y z a

= − ⋅ =+ + + + + +

∫

( ) ( )4 42 2 2 2 2 2

1 1 18 2x y a x y a

⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦

(2)

( ) ( )4 40 02 2 2 2 2 2

1 18 82

a ay ydy dyx y a x y a

− + =+ + + +

∫ ∫

( ) ( ) ( )3 3 32 2 2 2 2 2

1 1 2 148 3 2x a x a x a

⎡ ⎤⎢ ⎥= − +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

(3)

( ) ( ) ( )3 3 30 2 2 2 2 2 2

1 248 3 2

a x x x dxx a x a x a

⎡ ⎤⎢ ⎥= − + =⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

∫

( ) ( ) ( )3 3 3 42 2 2 2 2 2

1 1 2 1 25 10192 92163 2

aax a x a x a

⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − = ⋅⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

(4) Din (1), (2), (3), (4) se obţine:

( )5 42 2 2 2

25 19216V

xyz dxdydzax y z a

= ⋅+ + +

∫ ∫ ∫

2. Să se calculeze:

a) ( )41V

dxdydzx y z+ + +∫ ∫ ∫ ,

00

:0

1

xy

Vzx y z

=⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ + + =⎩

b) V

zdxdydz∫ ∫ ∫ ,

2 2 2

2 2 2 1:0

x y zV a b c

z

⎧+ + ≤⎪

⎨⎪ ≥⎩

c) 2 2 2

2 2 2V

x y z dxdydza b c

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ,

2 2 2

2 2 2: 1x y zVa b c

+ + ≤

d) V

zdxdydz∫ ∫ ∫ ( )2

2 2 22:

hz x yV Rz h

⎧= +⎪

⎨⎪ =⎩

e) V

xdxdydz∫ ∫ ∫ ,

00

: 0

xy

V zy hx z a

=⎧⎪ =⎪⎪ =⎨⎪ =⎪

+ =⎪⎩

Rezolvare: Pentru a calcula aceste integrale se foloseşte formula de calcul:

( )( )

( ) ( )( )

( )2 2

1 1

,

,, , , ,

b x x y

V a x x yf x y z dxdydz dx dy f x y z dz

ϕ ψ

ϕ ψ=∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(1) unde corpul V este proiectat pe planul Oxy şi după aceea proiecţia xyV este proiectată pe axa Ox . Se pot utiliza oricare alte proiecţii pentru integralele simple ca integrala să fie uşor de calculat. Se presupune că paralele la axele de proiecţie intersectează frontiera în cel mult două puncte. În locul formulei (1) se poate utiliza formula:

( ) ( )( )

( )2

1

,

,, , , ,

xy

x y

V V x yf x y z dxdydz dxdy f x y z dz

ψ

ψ=∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(2) Sau oricare altă formulă analoagă lui (2) care uşurează calculul integralelor simple şi duble.

a) Corpul V este prezentat în figura 4.

( ) ( )1 1 1

4 40 0 01 1

x x y

V

dxdydz dzdx dyx y z x y z

− − −=

+ + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(3)

( ) ( ) ( )1

4 3 30

11 1 1 1 103 3 81 1 1

x y x ydzx y z x y z x y

− − ⎡ ⎤− −⎢ ⎥= − = − −⎢ ⎥+ + + + + + + +⎣ ⎦

∫ (4)

( )( )

( )1

3 20

1 1 1 1 1 1 113 8 24 6 241 1

xdy x

x y x

− ⎡ ⎤⎢ ⎥− − = − − + ⋅ −⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

∫

(5)

Fig. 4

( )

121

200

1 1 1 1 1 1 2 16 4 4 6 1 4 8 481

x x xdxxx

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥− − = − − + =⎢ ⎥+⎢ ⎥+ ⎣ ⎦⎣ ⎦∫

(6) Din (3), (4), (5), (6) se obţine:

( )4

1481V

dxdydzx y z

=+ + +∫ ∫ ∫ .

b) Se aplică varianta cea mai indicată a formulei (2) şi anume:

0 xy

c

V Vzdxdydz zdz dxdy=∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(7) unde xyV este proiecţia pe planul Oxy a secţiunii elipsoidului cu planul Z z= .

Deci 2 2

2 22 2

2 2

: 11 1

xyx yV

z za bc c

+ ≤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

( )2

21xy

xyV

zdxdy V abc

σ π⎛ ⎞

= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

(8) Din (7), (8), (9) se obţine:

2

4V

abczdxdydz π=∫ ∫ ∫ .

c) 2 2 2

2 22 2 2 2 2

1 1V V V

x y z dxdydz x dxdydz y dxdydza b c a b

⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

22

1V

z dxdydzc

+ ∫ ∫ ∫

(10) Procedând ca la punctul b) cu fiecare din cele trei integrale triple se obţine:

2 2 22 2 2

2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1

yz yz xy

a b c

a V b V c V

a b c

a b c

x dx dydz y dy dxdz z dz dxdya b c

bc x ac y ab zx dx y dy z dza a b b c cπ π π

− − −

+ + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

45

abcπ=

(11) Din (10), (11) se obţine:

2 2 2

2 2 2

45V

x y z dxdydz abca b c

π⎛ ⎞

+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ .

d) Corpul de integrare V este prezentat în figura 5.

Fig. 5

0 xy

h

V Vzdxdydz zdz dxdy=∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(12)

xyV este proiecţia pe Oxy a cercului obţinut prin secţionarea conului cu

planul Z z= . Adică 2 2

2 22:xy

R zV x yh⋅

+ ≤ .

( )2

22

xyxyV

Rdxdy V zhπσ= =∫ ∫

(13) 2 2 2

32 0 4

hR R hz dzhπ π

=∫

(14) Din (12), (13), (14) se obţine:

2 2

4V

R hzdxdydz π=∫ ∫ ∫ .

e) Corpul de integrat este prezentat în figura 6.

Fig. 6

0 xy

a

V Vzdxdydz xdx dydz=∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(15) [ ] [ ]0, 0,yzV x h= × adică proiecţia pe planul Oyz a secţiunii corpului V cu

planul X Z x+ = . ( )

yzyzV

dydz V hxσ= =∫ ∫

(16) 3

2

0 3a h ah x dx ⋅

=∫

(17)

Din (15), (16), (17) se obţine: 3

3V

h azdxdydz ⋅=∫ ∫ ∫

3. Să se calculeze:

a) ( )2 2 2

Vx y z dxdydz+ +∫ ∫ ∫ ,

2 2

2 2 2 2

2:

3x y az

Vx y z a

⎧ + ≤⎪⎨

+ + ≤⎪⎩

b) 2 2 2V

dxdydz

a x y az+ + +∫ ∫ ∫ , 0a > ,

2 2

:0x y az

Vz a

⎧ + ≤⎨

≤ ≤⎩

c) ( )2 2 2

Vx y z dxdydz+ +∫ ∫ ∫ ,

2 2 2 10

:00

x y zx

Vyz

⎧ + + ≤⎪ ≥⎪⎨

≥⎪⎪ ≥⎩

d) ( )2 2 2

Vx y z dxdydz+ +∫ ∫ ∫ ,

2 2 2

2 2 2 1

0

x y zV a b c

x

⎧+ + ≤⎪= ⎨

⎪ ≥⎩

e) 2 2 2 2V

dxdydz

x y z a+ + +∫ ∫ ∫ , 2 2 2 2: 0V x y z r+ + − ≤

Rezolvare: a) Corpul de integrat arată ca în figura 7.

Fig. 7

( ) ( )2 2

2 2 2 2 2 2

0 2

a

V x y azx y z dxdydz dz x y z dxdy

+ ≤+ + = + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2 2 2 2

3 2 2 2

3

a

a x y a zdz x y z dxdy

+ ≤ −+ + +∫ ∫ ∫

(18) Integralele duble se calculează trecând la coordonate polare.

( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2 2 2 2 3

2 02 2

az

x y azx y z dxdy z d a z azπ ρ ρ ρ π

+ ≤+ + = + = +∫ ∫ ∫

(19)

( )5

2 2 3

0

726

a aa z az dz ππ + =∫

(20)

( ) ( ) ( )2 2

2 2 2 2

32 2 2 2 2 4 4

3 02 9

2a z

x y a zx y z dxdy z d a zππ ρ ρ ρ

−

+ ≤ −+ + = + = −∫ ∫ ∫

(21)

( )53 4 4 4 3 39 9

2 2 5a

a

za aa z dz a za a

π π ⎛ ⎞− = ⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

5 55 5 9 39 3 9

2 5 5a aa aπ ⎛ ⎞

⋅ − − + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )5 5

536 3 44 18 3 222 5 5 5

a aaπ π⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

(22) Din (18), (19), (20), (21), (22) se obţine:

( ) ( )5

2 2 2 18 3 225V

ax y z dxdydz π+ + = −∫ ∫ ∫ .

b) Corpul de integrat este prezentat în figura 8.

Fig. 8

2 22 2 2 2 2 2

ax yV D

a

dxdydz dzdxdya x y az a x y az

+=+ + + + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(23)

2 22 2 2 2 2

2 2 2

2ax y

a

adz a x y az x yaa x y az a

+ = + + + =++ + +

∫

( )( )2 2 2 2 2 22 2 2a x y a x ya

= + + − + +

(24)

( )2 2 2 2 2 22 22 2D D

x y a dxdy x y a dxdya a

+ + − + +∫ ∫ ∫ ∫

Folosind coordonatele polare se obţine: xy

ρ θρ θ

=⎧⎨ =⎩

cossin

, [ ]0, aρ ∈ , [ ]0, 2θ π∈ , J ρ= .

Deci

( )322 2 2 2 2

0 0

22 2 3 3 2 23

a

D

ax y a dxdy d a dπ πθ ρ ρ ρ+ + = + = −∫ ∫ ∫ ∫

Deci ( )2

2 2 22 42 3 3 2 23D

ax y a dxdya

π+ + = −∫ ∫

(25)

( ) ( )222 2 2 2 2

0 0

2 2 22 2 3 3 13

a

D

ax y a dxdy d a da a

π πθ ρ ρ ρ+ + = + = −∫ ∫ ∫ ∫ (26) Din (23), (24), (25), (26) se obţine:

( )2

2 2 2

2 3 3 4 2 13V

dxdydz a

a x y az

π= − +

+ + +∫ ∫ ∫ .

c) Corpul de integrat este partea din sferă situată în primul octant. Trecând la coordonate sferice se obţine:

0 1

: : 02

02

xV y V

ρρ ϕ θπρ ϕ θ ϕ

ρ θ πθ

∗

⎧⎪ ≤ ≤

=⎧ ⎪⎪ ⎪= → ≤ ≤⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎪ ≤ ≤⎪⎩

cos sinsin sin

z = cos , 2J ρ θ= sin

Deci ( )2 2 2 4

V Vx y z dxdydz d d dρ θ ρ θ ϕ

∗+ + = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ sin

1 1 1 14 4 42 20 0 0 0 0 02 2 10

d d d d d dπ π π π πρ ρ θ θ ϕ ρ ρ θ θ ρ ρ= = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫sin sin

d) Corpul de integrat este jumătatea din elipsoid secţionat de planul Oyz

cu 0x ≥ . Se poate trece la coordonate polare generalizate.

0 1

: :2 2

02

x aV y b V

ρρ ϕ θπ πρ ϕ θ ϕ

ρ θ πθ

∗

⎧⎪ ≤ ≤

=⎧ ⎪⎪ ⎪= → − ≤ ≤⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎪ ≤ ≤⎪⎩

cos sinsin sin

z = c cos, 2J abcρ θ= sin .

Procedând astfel trebuie calculate următoarele integrale triple: 2 4

1 VI a d d dρ ϕ θ ρ ϕ θ

∗= ∫ ∫ ∫ 2 2cos sin ;

2 42 V

I b d d dρ ϕ θ ρ ϕ θ∗

= ∫ ∫ ∫ 2 3sin sin ; 2 4

3 VI c d d dρ θ θ ρ ϕ θ

∗= ∫ ∫ ∫ 2cos sin ;

2

1 30aI π

= ; 2

2 30bI π

= ; 2

3 30cI π

= .

Deci ( ) ( )2 2 2 2 2 2

30Vx y z dxdydz a b c abc π

+ + = + +∫ ∫ ∫ .

Observaţie: Făcând schimbarea de variabilă x aX= , y bY= , z cZ= se obţine:

( ) ( )1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

V Vx y z dxdydz abc a X b Y c Z dXdYdZ+ + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

unde 2 2 21 : 1V X Y Z+ + ≤ .

Integralele triple 1

21 V

I X dXdYdZ= ∫ ∫ ∫ , 1

22 V

I Y dXdYdZ= ∫ ∫ ∫ ,

1

23 V

I Z dXdYdZ= ∫ ∫ ∫ au aceiaşi valoare datorită simetriei perfecte a

sferei 2 2 2 1X Y Z+ + ≤ şi se calculează trecând la coordonate sferice.

1 2 3 30I I I π= = = .

e) Trecând la coordonate sferice se obţine:

( ) ( ) 2 22

0 0 0 02 2 2 2 2 2 2 24

r r

V

dxdydz dd d dx y z a a a

π π ρ ρ ρϕ θ θ π ρρ ρ

= ⋅ ⋅ =+ + + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫sin

Se face schimbarea de variabil[ ashtρ = şi se obţine

( )2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2

V

dxdydz a r a r a r a ax y z a

π π π= + − + + ++ + +

∫ ∫ ∫ ln ln

4. Să se calculeze volumul următoarelor corpuri:

a) 2 2 2 2:V x y z r+ + ≤ (sferă)

b) 2 2 2

2 2 2: 1x y zVa b c

+ + ≤ (elipsoid)

c) ( )2

2 2 22:

hz x yV rz h

⎧= +⎪

⎨⎪ =⎩

(con cu vârful în origine de înălţime “h”)

d) (paraboloid cu vârful în origine secţionat de planul

z a= )

Rezolvare:

Se ştie că ( )V

V dxdydz= ∫ ∫ ∫vol .

a) Trecând la coordonate sferice se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) 222

0 0 0

43

r rV d d dπ π πρ ρ ϕ θ θ= ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫vol sin .

b) Trecând la coordonate polare generalizate se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) 21 22

0 0 0

43rV abc d d d

π π πρ ρ ϕ θ θ= ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫vol sin .

c) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

2 2hhx y r x y x y rr

hV dxdy dz r x y dxdyr+ ≤ + + ≤

= ⋅ = − + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫vol

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x y r x y r x y r

h hh dxdy x y dxdy r h x y dxdyr r

π+ ≤ + ≤ + ≤

= − + = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫. Integrala dublă se calculează folosind coordonate polare în plan.

2 2

: 0x y az

V zz a

⎧ + =⎪ =⎨⎪ =⎩

xy

ρ θρ θ

=⎧⎨ =⎩

cossin

, [ ]0, rρ ∈ , [ ]0, 2θ π∈ , [ ] [ ]( )0, 0,2r πΩ = × .

2 2 2

32 2 2 2

0

23

r

x y r

rx y dxdy d d d πρ ρ θ ρ ρ+ ≤ Ω

+ == = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Deci ( )3 2

2 2 22 23 3 3r h r hV h r h r h

rπ ππ π π= − ⋅ = − =vol .

Observaţie:

( ) 2 22 2

2

2 2 2 3 2

2 20 0 03 3h h

r zx yh

hr z r z r hV dz dxdy dzh h

π π π+ ≤

= = = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫vol .

d) Corpul '' ''V este prezentat în figura 9.

Fig. 9

( )

( )

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 21 .

ax yV x y a x y a

a

x y a

x yV dxdydz dxdy dz a dxdya

a x y dxdya

++ ≤ + ≤

+ ≤

⎛ ⎞+= = = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

vol

Pentru a calcula integrala dublă se folosesc coordonatele polare plane.

xy

ρ θρ θ

=⎧⎨ =⎩

cossin

, 0

2a

aρθ π

≤ ≤⎧⎨ ≤ ≤⎩

, J ρ= .

Deci ( ) ( ) ( )2 2 2

22 2 2 2 2

0 0

1 1 a

x y aV a x y dxdy a d d

a aπ

ρ ρ ρ θ+ ≤

= − − = − ⋅∫ ∫ ∫ ∫vol

2 4 4 4 3

22 2 .0 02 4 2 4 2a a a a aa

a aπ ρ ρ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

CAPITOLUL 8 INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ

1. Elemente de teoria suprafeţelor Definiţia 8.1.1. Se numeşte suprafaţă netedă mulţimea

( ) ( ) ( ){ }3 2 1, , , ; , ; DS x y z z f x y x y D F C= ∈ = ∈ ⊂ ∈R R .

Ecuaţia ( ),z f x y= se numeşte ecuaţie carteziană explicită a suprafeţei S.

Observaţia 8.1.1. a) Fie o transformare T care transformă domeniul D ⊂ 2R într-un domeniu 2Ω∈ R (în primul plan se consideră sistemul cartezian xOy iar în al doilea vuO ).

( )( )

( ), v

: , v, v

x uT u

y u

ϕ

ψ

⎧ =⎪= ∈Ω⎨=⎪⎩

transformare biunivocă.

Ecuaţia ( )( )( )

( ) ( )1

, v

: , v , v , ,

, v

x u

S y u u h C

z h u

ϕ

ψ ϕ ψ

⎧ =⎪

= = ∈Ω ∈ Ω⎨⎪ =⎩

se numeşte ecuaţia parametrică generală a suprafeţei S.

b) Dacă transformarea T este :v

x uT

y=⎧

= ⎨ =⎩ atunci o reprezentare

parametrică a suprafeţei ( )S este: ( )

: v, v

x uS y

z f u

⎧ =⎪

= =⎨⎪ =⎩

Pentru ca suprafaţa S să fie bine definită de aceste ecuaţii, trebuie ca cel

puţin unul din determinanţii funcţionali ( )( )

,, v

DD uϕ ψ

, ( )( )

,, v

D hD uψ

, ( )( )

,, v

D hD u

ϕsă fie

diferiţi de zero. c) Dacă se consideră sistemul cartezian Oxyz şi o suprafaţă S ca în figura

1, iar M un punct mobil al suprafeţei S , OM vectorul de poziţie al acestui

punct, atunci ecuaţia ( ) ( ) ( ) ( ), v , v , v , vr u u i u j h u kϕ ψ= + + reprezintă

ecuaţia vectorială a suprafeţei S.

x

Fig. 1

Observaţia 2.1.1 a) Determinanţii funcţionali necesari la parametrizarea de la

punctul a) şi b) se mai notează şi astfel:

( )( )

,, v

DA

D uϕ ψ

= , ( )( )

,, v

D hB

D uϕ

= , ( )( )

,, v

D hC

D uψ

= .

b) Parametrizarea de la punctul b) este o particularizare a parametrizării de la punctul a) şi de fapt este proiecţia suprafeţei S pe planul xOy . Pot fi făcute parametrizări asemănătoare proiectând pe celelalte două plane.

Definiţia 8.1.2. Fie suprafaţa S de ecuaţii parametrice ( )( )( )

1

, v

: , v , ,

, v

x u

S y u h C

z h u

ϕ

ψ ϕ ψ Ω

⎧ =⎪

= = ∈⎨⎪ =⎩

Mulţimile ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ){ }0 0 0 0, v , , v , , v , vu u u h u uϕ ψΓ = ∈Ω

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ){ }v 0 0 0 0, v , , v , , v , vu u h u uϕ ψΓ = ∈Ω

se numesc curbe coordonate ale suprafeţei S şi ele apar ca în figura 2.

z

0 y

M(x,y,z)

(S)

Fig. 2

Definiţia 8.1.3. Vectorul ( ) ( )

0 0

0 0

v=v

, v , v,

vu vu u

dr u dr udu d

τ τ=

= = se numesc vectori

tangenţi în punctul 0P la curbele coordonate uΓ şi vΓ . Dacă se consideră că 0 0u u u→ + Δ pe curba uΓ iar 0 0v v v→ + Δ pe curba

vΓ , se obţin alte două curbe coordonate ale suprafeţei 0, uS uΓ + Δ şi

v0 vΓ + Δ , care împreună cu curbele uΓ şi vΓ formează paralelogramul curbiliniu 0 1 2 3P P P P situat pe suprafaţa S ca în figura 2. Ţinând cont de interpretarea geometrică a produsului vectorial, se poate afirma că ( )0 1 2 3 v vv vu uP P P P u uσ τ τ τ τ≅ Δ × Δ = × Δ Δ .

Ţinând cont că u u u ui j h kτ ϕ ψ= + +

v v v vi j h kτ ϕ ψ= + + şi ţinând cont de definirea produsului vectorial a doi vectori se obţine:

v v v

u v u u u

i j kh A i B j C kh

τ τ ρ ψρ ψ

× = = ⋅ + ⋅ + ⋅ , unde

( )( )

( )( )

( )( )

, , ,, ,

, v , v , vD h D h D

A B CD u D u D uψ ϕ ϕ ψ

= = = . Rezultă deci că

( )2 2 2 2 2 2v 0 1 2 3 vu A B C P P P P A B C uτ τ σ× = + + ⇒ ≅ + + ⋅ Δ Δ .

Ţinând cont de identitatea lui Lagrange ( ) ( ) ( )2 2 22u v u v u vτ xτ + τ ×τ = τ × τ şi

de notaţiile

( )( )( )

2 2 2 2

2 2 2 2v v v v

2v v v v

u u u u

u u u u

E r h

G r h

F r r h h

ϕ ψ

ϕ ψ

ϕ ϕ ψ ψ

⎧ = = + +⎪⎪ = = + +⎨⎪

= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅⎪⎩

se obţine

P3

P0

P1

P2 Γv u=u0 Γu v=v0

2 2 2 2A B C EG F+ + = − . Deci 2 2 2 2A B C EG F+ + = − Ţinând cont de această egalitate se poate afirma că:

( ) 20 1 2 3 - vP P P P EG F uσ ≅ ×Δ Δ

(1) Aproximaţia din relaţia (1) este din ce în ce mai bună dacă partiţia suprafeţei S cu ajutorul curbelor coordonatelor devine din ce în ce mai fină. În cazul în care partiţia este atât de fină, astfel încât creşterea

u duΔ → de pe curba Γu, iar creşterea v vdΔ → de pe curba Γv , relaţia (1) devine egalitatea următoare:

2 vd EF F dudσ = − ⋅ (2)

unde dσ este elementul de arie al suprafeţei S sau 2 2 2 vd A B C dudσ = + + .

Prin , ,...,u vϕ ϕ se înţelege , ...vu

ϕ ϕ∂ ∂∂ ∂

.

2. Integrala de suprafaţă de speţa I sau în raport cu elementul de arie

Fie S o suprafaţă de ecuaţii parametrice: ( )( )( )

1

, v

: , v , ,

, v

x u

S y u h C

z h u

ϕ

ψ ϕ ψ Ω

⎧ =⎪

= = ∈⎨⎪ =⎩

Dacă se consideră suprafaţa S ca o suprafaţă materială care are densitatea ( ), ,x y zρ într-un punct ( ), ,M x y z S∈ , atunci se poate pune problema determinării masei μ a acestei suprafeţe. Pentru a rezolva această problemă, se procedează astfel: Se consideră intervalul bidimensional [ ] [ ]1 2 1 2, ,I α α β β= × în care este înscris domeniul Ω. Se consideră o diviziune Δ a acestui interval definită astfel:

1 0 1 2 2

1 0 1 2 2

...:

v v v ... vn

m

u u u uα αβ β

= < < < < =⎧Δ = ⎨ = < < < < =⎩

Această diviziune determină dreptunghiurile de diviziune [ ]1 1, v , vij i i j ju uδ − −⎡ ⎤= × ⎣ ⎦ pe domeniul Ω. Acestor dreptunghiuri de diviziuni

de pe Ω le corespund suprafeţele de diviziune ijs de pe suprafaţa S , unde

se consideră că ( )ij ijsσ σ= . Dacă diviziunea Δ devine din ce în ce mai

fină, atunci se poate considera că suprafaţa ijs de diviziune are aceeaşi

densitate în fiecare din punctele sale. Fie aceasta ( ), ,ij ij ijx y zρ , unde

( ),ij i jx ϕ ξ η= , ( ),ij i jy ψ ξ η= , ( ),ij i jz h ξ η= , unde [ ]1 ,i i iu uξ −∈ iar

1v , vj j jη −⎡ ⎤∈ ⎣ ⎦ . Dacă se notează cu ijμ masa suprafeţelor ijs atunci poate

fi scrisă relaţia: ( ), ,ij ij ij ij ijx y zμ ρ σ≅ . În cazul în care diviziunea Δ este

atât de fină, se poate afirma că ( ), ,ij ij ij ij ijx y z dμ ρ σ= j . Însumând după

toate valorile indicilor i şi j , se obţine şirul ( )1 1

, ,n m

nm ij ij ij iji j

x y z dμ ρ σ= =

= ⋅∑∑ .

Definiţia 8.2.1.Dacă şirul nmμ are o limită finită când norma diviziunii tinde la zero ,n m→∞ →∞ , această limită este egală cu masa μ a suprafeţei S şi se mai notează astfel: ( ), ,

S

x y z dρ σ∫ ∫ citindu-se integrală pe suprafaţa

S din ( ), ,x y zρ . Dacă în locul funcţiei ( ), ,x y zρ se consideră o funcţie

( ), ,F x y z , se obţine forma generală a integralei de suprafaţă în raport cu elementul de arie care este:

( ), ,S

F x y z dσ∫ ∫

Propoziţia 8.2.1. Fie S o suprafaţă de ecuaţii parametrice ( )( )( )

1

, v

: , v , , ,

, v

x u

S y u h C

z h u

ϕ

ψ ϕ ψ Ω

⎧ =⎪

= = ∈⎨⎪ =⎩

şi ( ), ,F x y z o funcţie integrabilă pe

această suprafaţă. Atunci are loc egalitatea: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2, , , v , , v , , v v

S

F x y z d F u u h u EG F dudσ ϕ ψΩ

= ⋅ −∫ ∫ ∫ ∫

Demonstraţie: Ţinând cont de faptul că transformarea T duce domeniul D în domeniul Ω, unde

0Pr,

u vSΩ = şi de faptul că s-a arătat că 2 vd EG F dudσ = − ⋅ , prin

înlocuirea acestora în ( ), ,S

F x y z dσ∫ ∫ , se obţine transformarea integralei

de suprafaţă într-o integrală dublă dată în propoziţia 8.2.1. Observaţia 8.2.1. a) Propoziţia 8.2.1. arată că integrala de suprafaţă este o

generalizare a integralei duble. b) Dacă se consideră că suprafaţa S , are ecuaţia parametrică:

( )

1: v , 0

, v

u

u

u

xx uS y y

fz f u z pu

⎧⎪⎧ ==⎪⎪

= = =⎨ ⎨⎪ ⎪ ∂=⎩ ⎪ = =

∂⎩

rezultã cã şi v

v

v

01

v

xy

fz q

⎧⎪ =⎪

=⎨⎪ ∂⎪ = =

∂⎩

Cu aceste notaţii numite notaţiile lui Monge, 2 21 d p q dx dyσ = + + ⋅ , iar egalitatea din propoziţia 8.2.1. devine:

( ) ( )( ) 2 2, , , , , 1S D

F x y z d F x y f x y q dxdyσ ρ= ⋅ + +∫ ∫ ∫ ∫ , 0

Pr,x y

D S= .

Această formulă de calcul poate fi folosită în cazul în care ecuaţia suprafeţei S poate fi dată sub formă carteziană explicită: ( ),z f x y= .

Propoziţia 8.2.2. Valoarea integralei de suprafaţă este aceeaşi indiferent de ecuaţiile parametrice folosite pentru suprafaţa S . Demonstraţie: Ţinând cont că fiind dată o parametrizare a suprafeţei S , orice altă parametrizare se obţine din aceasta folosind funcţii de clasă 1C , în schimbarea de variabilă şi ţinând cont de formula de schimbare de variabilă în integrala dublă, rezultă afirmaţia din propoziţia 8.2.2.. Exemplu: Să se calculeze ( )

S

I x y z dσ= + +∫ ∫ unde suprafaţa S are ecuaţia:

2 2 2 2

:0

x y z aS

z⎧ + + =

= ⎨≥⎩

Se calculează integrala în două moduri: a) Ecuaţiile parametrice ale sferei sunt:

( )( )

( )

,

: ,

,

x a

S y a

z a h

θ ϕ ϕ θ ϕ

θ ϕ ψ θ ϕ

ϕ θ ϕ

⎧ = =⎪

= = =⎨⎪ = =⎩

cos sin

sin sin

cos

(vezi figura 3) θ

ϕ

O

x y

z M

, ,,

x y zϕ θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

M’ ( , )x y

Fig. 3

Fig. 4

[ ]0, 2

:0,

2

θ π

πϕ

⎧ ∈⎪Ω = ⎨ ⎡ ⎤∈⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩

2 2d EG F d d a d dσ θ ϕ ϕ θ ϕ= − = cos

( ) ( ) 2

S

I x y z d a a aσ θ ϕ θ ϕ ϕ ϕ θ ϕ πΩ

= + + = + ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ 3cos sin sin cos + asin cos d d = a

b) Rezolvarea se mai poate face folosind şi notaţiile lui Monge. Deoarece ecuaţia suprafeţei S poate fi explicitată şi se obţine 2 2 2z a x y= − − , poate fi aplicată formula de calcul folosind notaţiile lui Monge, unde

( ) 2 2 2,f x y a x y= − − ,2 2 2

, z xpx a x y

∂ −= =∂ − − 2 2 2

z yqy a x y

∂ −= =∂ − −

Deoarece 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1

1

d p q dxdy

x yd dxdya x y a x y

ad dxdya x y

σ

σ

σ

= + +

⇒ = + + ⋅− − − −

⇒ = ⋅− −

( ) ( )2 2 2 3

2 2 2S D

ax y z d x y a x y dxdy aa x y

σ π+ + = + + − − ⋅ = ⋅− −

∫ ∫ ∫ ∫

unde D este domeniul din figura 4.

y x 0 0 θ

ϕ ΩT’

3. Integrala de suprafaţă în raport cu coordonatele sau de speţa a doua

Pentru a ajunge în mod natural la integrala de suprafaţă de speţa a doua se porneşte de la noţiunea de flux al unui câmp vectorial V printr-o suprafaţă S . În cele ce urmează se consideră un fluid de viteză constantă v ce trece printr-o suprafaţă plană S de arie σ. În aceste condiţii este cunoscut faptul că fluxul (debitul acestui fluid prin suprafaţa S în unitatea de timp) este dat de relaţia:

v nσΦ = ⋅ ⋅ (1)

unde este normala la suprafaţa plană S .

Dacă suprafaţa S nu mai este o suprafaţă plană iar v nu mai este constantă, ( )v v , ,P Q R= , , ,P Q R fiind funcţie de trei variabile , ,x y z , formula de calcul (1) pentru flux nu mai este valabilă. Pentru a calcula fluxul lui ( )v , ,P Q R printr-o suprafaţă S care nu este plană se procedează astfel : se face o divizare a suprafeţei S în suprafeţe ijS aşa cum s-a procedat la paragraful 2 şi se consideră că partiţia este atât de fină astfel încât suprafeţele ijS să poată fi considerate plane, iar fluidul ce trece prin suprafaţa ijS să fie considerată de viteză constantă vij . În aceste condiţii cu formula (1), se poate determina în mod aproximativ fluxul ijΦ ce trece prin suprafaţa ijS în unitatea de timp şi se obţine :

vij ij ij ijnσΦ ≅ ⋅ ⋅ , unde ( )ij ijSσ σ= , ijn versorul normal la suprafaţa ijS .

Însumând după indicii i şi j se obţine şirul 1 1

0 0

vn n

mn ij ij iji j

nσ− −

= =

Φ = ⋅ ⋅∑∑ .

Definiţia 8.3.1 Dacă suma din membrul doi are o limită finită când norma diviziunii tinde la zero, această limită este fluxul Φ şi se mai notează

( ) ( ) ( ), , , , , ,S

P x y z dydz Q x y z dxdz R x y z dxdy+ +∫ ∫

(2) şi reprezintă forma generală a integralei de suprafaţă în raport cu coordonatele. Problema care se pune este calculul integralei de suprafaţă în raport cu coordonatele.

Propoziţia 8.3.1. Dacă suprafaţa S are ecuaţiile parametrice: ( )( )( )

( ), v

: , v , v

, v

x u

S y u u

z h u

ϕ

ψ

⎧ =⎪

= = ∈Ω⎨⎪ =⎩

( ) ( ) ( ), , , , , ,S

P x y z dydz Q x y z dxdz R x y z dxdy+ + =∫ ∫ ( ) ( ) ( ), , , , , ,

SP x y z Q x y z R x y z dα β γ σ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦∫ ∫ cos cos cos

(3) Demonstraţie: Egalitatea este evidentă dacă se ţine cont că

dxdy dγ σ= cos , dxdz dσ β= ⋅cos , dydz dα σ= cos unde γcos , βcos , αcos sunt cosinuşii direcţori ai normalei la suprafaţa S .

Observaţia 8.3.1. a) Pentru a calcula o integrală de suprafaţă de speţa a doua se procedează astfel: 1° Se reduce integrala de suprafaţă de speţa a II-a la o integrală de

suprafaţă de speţa întâi, adică:

[ ]

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , ) S

S

P x y z dydz Q x y z dxdz R x y z dxdy

P x y z Q x y z R x y z dα β γ σ

+ + =

= + +

∫ ∫∫ ∫ cos cos cos

În acest mod calculele sunt de obicei foarte lungi. 2° Se descompune integrala de suprafaţă într-o sumă de trei integrale:

= .S S S S

Pdydz Qdxdz Rdxdy Pdydz Qdxdz Rdxdy+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Se proiectează suprafaţa S pe planele de coordonateOyz , Oxz şi Oxy obţinându-se domeniile plane Dyz , Dxz , Dxy . Din ecuaţia suprafeţei pentru prima integrală se explicitează 1 ( , ), x f y z= pentru a doua integrală se explicitează 2 ( , )y f x z= , pentru a treia integrală se explicitează 3 ( , ) z f x y= şi astfel se obţine:

( )1( , , ) , , ,S Dyz

P x y z dydz P f y z y z dydz⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

( )2( , , ) , , ,S DxzQ x y z dxdz Q f y z y z dxdz⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

( )3( , , ) , , ,S Dxy

R x y z dxdy R f y z y z dxdy⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

unde integralele din membrul drept sunt integrale duble. Acest mod de calcul al integralei de suprafaţă este posibil în cazul în care din ecuaţia suprafeţei sunt posibile explicitările: 1 ( , ), x f y z= 2 ( , )y f x z= ,

3 ( , ) .z f x y=

4. Formule integrale O formulă integrală des utilizată este formula lui Green care aşa cum s-a văzut face legătura între integrala curbilinie pe o curbă închisă plană şi o integrală dublă. Ca o generalizare a ei este formula lui Stokes.

Propoziţia 8.4.1. (Formula lui Stokes) Fie S o suprafaţă ale cărei ecuaţii parametrice sunt:

( )( )( )

1

, v

: , v , ,

, v

x u

S y u h C

z h u

ϕ

ψ ϕ ψ Ω

⎧ =⎪

= = ∈⎨⎪ =⎩

Se presupune că suprafaţa S este netedă, simplă, are două feţe şi este mărginită de conturul aparent C şi orice parabolă la axa Oz intersectează suprafaţa în cel mult două puncte. Dacă atunci când conturul C este parcurs în sens trigonometric normala la suprafaţa S este îndreptată în exterior şi funcţiile 3, , :P Q R S ⊂ →R R sunt continue cu derivate parţiale de ordinul I continue, atunci are loc egalitatea:

( ) ( ) ( )

( )

, , , , , ,

C S

R QP x y z dx Q x y z dy R x y z dz dydzy z

P R Q Pdxdz dxdyz x x y

⎛ ⎞∂ ∂+ + = − +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

formula lui Stokes

Demonstraţie: Conturului C îi corespunde în planul ' vO u conturul Γ. Se consideră integrala: ( )1 , ,

CI P x y z dx= ∫ .

Cum ( , v), x uϕ= ( , v)y uψ= , ( , v) z h u= atunci [ ]( , , ) ( , ), ( , ), ( , ) ( , )P x y z P u v u v h u v u vϕ ψ ω= = şi

v v.x xdx du d du du v u vϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂

= + = +∂ ∂ ∂ ∂

Cu acestea, integrala 1I devine:

( ) ( )

( ) ( )

1 , , , v v

, v , v v

C

x xI P x y z dx u du du v

x xu du u du v

ω

ω ω

Γ

Γ

∂ ∂⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∂ ∂

= +∂ ∂

∫ ∫

∫

Deoarece integrala curbilinie pe curba Γ este în planul ' vO u , acesteia i se poate aplica formula lui Green şi se obţine:

( ) ( )''

1 , v , v v vv v vu v

x x x xI u u dud dudu u u

ω ωω ωΩ Ω

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − = ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

(1) Ţinând cont de forma lui ( , v), uω se obţine:

v v v v

P x P y P zu x u y u z u

P x P y P zx y z

ω

ω

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎧ = ⋅ + ⋅ + ⋅⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪⎨∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ = ⋅ + ⋅ + ⋅⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩

Dacă se înmulţeşte prima egalitate cu vx∂∂

şi a doua cu xu∂∂

şi se scad, se

obţine:

v v v v v v

v v v v

x x P y x P y x P z x P z xu u y u y u z u z uP y x y x P z x z xy u u z u u

ω ω∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ţinând cont de definiţia determinanţilor funcţionali , B C , se observă că prima paranteză este C− , iar a doua este B . Deci :

v vx x P PC B

u u y zω ω∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ − ⋅ = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2) Ţinând cont de (1) şi (2) se obţine:

1 vP PI C B dudy zΩ

⎛ ⎞∂ ∂= − ⋅ +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫

(3) Dar,

2 2 2 , ,

A B C

EG F EG F EG Fα β γ= = =

− − −cos cos cos şi

2 v d EG F dudσ = − (4)

Din relaţiile (4) rezultă: 2

2

v v vCdu ddudv EG F dud CdudEG F

γ γ⋅= ⇒ ⋅ − = ⇒

−cos cos

cos v

cos vd Cdudd Bdud

γ σβ σ

=⎧⇒ ⎨ =⎩

(5) Din (3) şi (5) ⇒

1S

P PI dy z

γ β σ⎛ ⎞∂ ∂

⇒ = ⋅ ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ -cos + cos .

În mod analog se obţin egalităţile pentru I2 şi I3.

2

3

S

S

Q QI dz x

R RI dy x

α γ σ

α β σ

∂ ∂⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂= ⋅ − ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

-cos cos

cos cos

Prin adunarea lui 1 2 3, , I I I se obţine formula lui Stokes.

Observaţia 8.4.1. a) Dacă se notează cu ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,V V P Q R P x y z i Q x y z j R x y z k= = + +

cu n versorul normalei la suprafaţa S şi cu R Q P R R ProtV i j ky z z x y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

ţinând cont că dydz ddxdz ddxdy d

α σβ σγ σ

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

coscoscos

(6) formula lui Stokes devine:

SC

Pdx Qdy Rdz rotV n dσ⌠⎮⎮⌡

+ + = ⋅ ⋅∫ ∫

şi se numeşte forma vectorială a formulei lui Stokes. b) Deci formula lui Stokes este generalizarea în spaţiu a formulei lui Green şi ea face legătura între o integrală curbilinie pe o curbă închisă în spaţiu şi integrala de suprafaţă de speţa a doua pe o suprafaţă închisă mărginită de curba închisă pe care se calculează integrala curbilinie.

Propoziţia 8.4.2. (Formula lui Gauss-Ostrogradski) Fie V un volum mărginit de suprafaţa S . Dacă: 1. Orice paralelă la axa Oz intersectează suprafaţa S în cel mult două

puncte; 2. Suprafaţa S este netedă şi simplă. 3. Funcţiile 3, , : P Q R V ⊂ →R R sunt continue cu derivatele parţiale de

ordinul I continue, atunci are loc egalitatea: ( ) ( ) ( )

( )

, , , , , ,

S

V

P x y z dydz Q x y z dxdz R x y z dxdy

P Q R dxdydzx y z

+ + =

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫ ∫ formula lui Gauss - Ostrogradski

M2

M1

z

x

y O

V

M(x,yD

S1

γ

S2

Fig. 5 Demonstraţie: Fie Pr

xOyD V= . Frontiera lui D este proiecţia pe planul xOy a conturului Γ

ce reprezintă mulţimea punctelor de tangentă a cilindrului de proiecţie pe planul xOy cu suprafaţa S ce mărgineşte volumul V , ca în figura 5. Dar conturul Γ împarte suprafaţa S în doua suprafeţe 1S şi 2S , astfel că fiecărui punct M D∈ îi corespund pe suprafaţa S două puncte

1 1 M S∈ şi 2 2M S∈ unde ( , ) M M x y= , 1 1 1( , , ) M M x y z= şi

2 2 2( , , )M M x y z= . Elementului de arie dxdy din domeniul D îi corespund elementele de suprafaţă 1dσ şi 2dσ pe suprafeţele 1S şi 2S . Fie 1 2 n nşi versorii normalei la suprafaţa S , în punctele 1 M şi 2M şi

1 γcos , 2 γcos cosinuşii directori în raport cu axa Oz a normalei la suprafaţa S în punctele 1M , 2M , care au în mod evident semne contrare. Pentru a face o alegere se consideră 1 0γ <cos , 2 0γ <cos .

Cum

1 2 3

V V

V V

P Q R Pdxdydz dxdydzx y z xQ Rdxdydz dxdydz I I Iy z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂+ + = + +

∂ ∂

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

se consideră în continuare numai 3 V

RI dxdydzz

∂=

∂∫ ∫ ∫ , cu celelalte două

integrale procedându-se în mod analog. Ţinând cont de formula de calcul a integralei triple, se poate scrie:

( ) ( )2

12 1, , , ,

z

V zD D

R Rdxdydz dxdy dz R x y z R x y z dxdyz z

∂ ∂⎡ ⎤= = −⎣ ⎦∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Dar ţinând cont de considerentele geometrice expuse anterior şi de faptul că

1 1 = - dxdy dγ σ⋅cos pe suprafaţa 1S şi 2 2 = dxdy dγ σ⋅cos pe suprafaţa 2S ,

( ) ( )

( )1 2

2 2 2 1 1 1, , , ,

, , .

VS S

S

R dxdydz R x y z d R x y z dz

R x y z d

γ σ γ σ

γ σ

∂= + =

∂

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

cos cos

cos

În mod analog se exprimă integralele:

( )1 , ,V

S

QI dxdydz Q x y z dy

β σ∂= =

∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫ cos

( )2 , ,V

S

PI dxdydz P x y z dx

α σ∂= =

∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫ cos

Prin adunarea celor trei integrale şi ţinând cont de formulele (6) se obţine:

( ) ( ) ( ), , , , , ,V S

P Q R dxdydz P x y z dxdz Q x y z dxdz R x y z dxdzx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ şi propoziţia este demonstrată. În continuare se pun în evidenţă câteva elemente de arie ale unor suprafeţe foarte des utilizate. a) Se consideră planul : ax by cz dπ + + = atunci:

2 2 21d a b c dxdyc

σ = + + sau

2 2 21d a b c dxdzb

σ = + + sau

2 2 21d a b c dydza

σ = + + .

Dacă Oxyπ = atunci d dxdyσ = , Oxzπ = atunci d dxdzσ = , Oyzπ = atunci d dydzσ =

b) Fie suprafaţa sferică 2 2 2 2:S x y z a+ + = , 2d a d dσ ϕ θ ϕ= cos (s-a ţinut cont de ecuaţiile parametrice ale sferei din exemplul de la pagina 136)

sau 2 2 2

ad dxdya x y

σ =− −

; 2 2 2

ad dxdza x z

σ =− −

;

2 2 2

ad dydza y z

σ =− −

c) Fie suprafaţa elipsoidală 2 2 2

2 2 2: 1 0x y zSa b c

+ + − = , atunci

2 2 2 2 2

d abc d db c

θ ϕ θ ϕ ϕσ ϕ θ ϕ= + +2 2 2

cos sin sin sin cos sina

sau

( ) ( )4 4 4 2 2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 a b b c a x a c b yd dxdy

ab a b b x a yσ

+ − + −=

− − sau

( ) ( )4 4 4 2 2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 a c c b a x a b c zd dxdz

ac a c c x a zσ

+ − + −=

− − sau

( ) ( )4 4 4 2 2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 b c c a b y b a c zd dydz

bc b c c y b zσ

+ − + −=

− −

d) Fie suprafaţa 2 2

2 2: x yS za b

= + care este un paraboloid eliptic. Atunci

2 24 4

4 41d x y dxdya b

σ = + + .

e) Fie ( )2 2 2 2z k x y= + o suprafaţă conică. Atunci 21d k dxdyσ = + .

f) Fie suprafaţa 2 2:S x y az+ ≤ care este un paraboloid. Atunci 4 2 2

2

1 4 4d a x y dxdya

σ = + + .

5. Exerciţii rezolvate 1. Să se calculeze integralele de suprafaţă.

a) S

I xyzdσ= ∫ ∫ , 2 2 2 2:S x y z a+ + = , 0x ≥ , 0y ≥ .

b) 2 2 2S

zdIa x y

σ=

+ +∫ ∫ , 2 22az x y= + , 0 z h≤ ≤ .

c) 2 2 2

4 4 4S

x y zI da b c

σ= + +∫ ∫ , 2 2 2

2 2 2: 1 0x y zSa b c

+ + − = , a b c> > .

d)

( )3 2 2 2

2 2 2 24 4 4

S

dIx y zx y za b c

σ=

+ + ⋅ + +∫ ∫ ,

2 2 2

2 2 2: 1 0x y zSa b c

a b c

⎧+ + − =⎪

⎨⎪ > >⎩

,

a b c> > . e) ( )2 2 2 2 2 2

SI y z z x x y dσ= + +∫ ∫ .

S este suprafaţa decupată din conul ( )2 2 2 2z k x y= + de

cilindru 2 2 2 0x y ax+ − = .

f) ( )2 2

SI xy z x y dσ= + +∫ ∫ , S este aceiaşi ca la punctul e).

Rezolvare: Se ştie că:

( ) ( ) ( ) ( ) 2, , , v , , v , , v vS

F x y z d F u u h u EG F dudσ ϕ ψΩ

⎡ ⎤= ⋅ −⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

unde ( )( )( )

( ), v

, v ; , v

, v

x u

y u u

z h u

ϕ

ψ

⎧ =⎪

= ∈Ω⎨⎪ =⎩

sau

( ) ( ) 2 2, , , , , 1S D

F x y z d F x y f x y p q dxdyσ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ unde ( ),z f x y=

este ecuaţia carteziană explicită a suprafeţei S pe planul Oxy .

a) 2 2 2

2 2 2S D

aI xyzd xy a x y dxdya x y

σ= = − − ⋅ =− −

∫ ∫ ∫ ∫

D

xy dxdy= ∫ ∫ .

Scriind ecuaţiile parametrice ale domeniului D se obţine: xy

ρ θρ θ

=⎧⎨ =⎩

cossin

,

J ρ= , a aρ≤ ≤ , 02πθ≤ ≤ .

Deci 4 5

3 320 0 0

02 2 4 8

a a

D

aa a axy dxdy a d d dπ ρρ ρ θ θ θ ρ ρ

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫sin cos .

b) ( )2 222 2 2

12S D

zdI x y dxdyaa x y

σ= = +

+ +∫ ∫ ∫ ∫ unde 2 2Pr : 2

OxyD S x y ah= + =

ecuaţiile parametrice ale acestui cerc sunt xy

ρ θρ θ

=⎧⎨ =⎩

cossin

, 0 2ahρ≤ ≤ ,

02πθ≤ ≤ . Deci

42 23 22 0 0

1 22 42 0

ah ahI d d ha

π π ρρ ρ θ π⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ .

c) Ecuaţiile parametrice ale suprafeţei elipsoidale 2 2 2

2 2 2 1 0x y za b c

+ + − = sunt

x ay bz c

ϕ θϕ θϕ

=⎧⎪⎨⎪⎩

sin cos= sin sin= cos

, 0 ϕ π≤ ≤ , 0 2θ π≤ ≤ .

Se ştie că elementul de arie dσ pentru suprafaţa elipsoidală este:

2 2d abc d db c

ϕ θ ϕ θ ϕσ ϕ ϕ θ⋅ ⋅= + +

2 2 2 2 2

2

sin cos sin sin cos sina

.

Folosind ecuaţiile parametrice se obţine: 2 2 2

4 4 4 2 2

x y za b c b c

ϕ θ ϕ θ ϕ⋅ ⋅+ + = + +

2 2 2 2 2

2

sin cos sin cos cosa

.

Atunci 2 2 2

2 24 4 4 2 20 0

2 2 2

8

4 1 1 1 .3

S

x y zI d abc d da b c b c

bca b c

π π ϕ θ ϕ θ ϕσ θ ϕ ϕ

π

⎡ ⎤⋅ ⋅= + + = + + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

= + +

∫ ∫ ∫ ∫2 2 2 2 2

2

sin cos sin sin cos sina

Din motive de simetrie după cum se observă am redus la primul octant. d) Procedând ca la punctul c) se obţine:

( )2 2

309 02 2 2 2

8 dI abc da b c

π π ϕ ϕθϕ θ ϕ θ ϕ

=⋅ + ⋅ +

∫ ∫2 2 2 2 2

sin

sin cos sin sin cos.

Folosind substituţia zϕ =cos , integrala interioară devine: ( )

1

302 2

dz

zα β−∫

unde 2 2 2 2a bα θ θ= +cos sin şi 2 2 2 2 2a b cβ θ θ= + −cos sin .

Folosind substituţiile lui Cebîşev ( )

1

3 2 2 2 202 2

1 1dzc a bz θ θ

α β= ⋅

+−

∫ cos sin.

Deci 2

2 2 2 208 4dI ab

a bπ θ π

θ θ= =

+∫ cos sin.

e) Deoarece ecuaţia suprafeţei conice S este ( )2 2 2 2z k x y= + ,

2 2

z kxpx x y

∂= =∂ +

, 2 2

z kyqy x y

∂= =∂ +

.

Elementul de arie al suprafeţei conice este: 2 2 2 2

2 2 22 2 2 21 1 1k x k yd p q dxdy dxdy k dxdy

x y x yσ = + + = + + = +

+ +.

Atunci ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21S D

I y z z x x y d k k x y x y dxdyσ ⎡ ⎤= + + = + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

unde D este discul 2 2 2 0x y ax+ − ≤ . Folosind coordonatele polare x a ρ θ= + cos , y ρ θ= sin , J ρ= , a aρ≤ ≤ , 0 2θ π≤ ≤ se obţine:

( )( )

( ) ( )

22 2 2 2 21

2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2

2 2 3 2 2 4

4 4 2

4 2

DI k x y x y dxdy

k a k a a k a k a

ak a k d d

ρ θρ θ θ ρ

θ θ θ ρ θ θ ρ ρ θΩ

⎡ ⎤= + + =⎢ ⎥⎣ ⎦⎡= + ⋅ + + + +⎣

⎤+ + + + ⎦

∫ ∫∫ ∫ 2

2

cos cos sin

cos sin cos sin cos

unde [ ] [ ]0, 0, 2a πΩ = × . Atunci:

2 22 4 2 2 3 21 0 0 0 0

2 2 22 2 3 2 3 2 2 5

0 0 0 0 0 0

4

2

a a

a a a

I k a d d a k d d

k a d d a d d k d d

π π

π π π

ρ ρ θ ρ ρ θ θ

ρ ρ θ ρ ρ θ θ ρ ρ θ

= + +

+ + + +

∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

cos

sin

( ) ( )

( )

2 6 6 625 2 2 6

0 0

2 6

1 + 2 2 34 3 4 241 = 80 7 .24

a k a a ad d k a

k a

π π π πρ ρ θ θ π

π

= + + +

+ ⋅

∫ ∫ sin

Deci ( )6

2 2 21 1 8 7 1

24aI I k k kπ

= + = + + .

f) Ţinând cont de punctul e) se obţine: 2 2 2 21 1

D DI k xy dxdy k k x y dxdy= + + + +∫ ∫ ∫ ∫

(*) unde D este acelaşi disc 2 2 2 0x y ax+ − ≤ . Se calculează 1

DI xy dxdy= ∫ ∫ .

Ţinând cont de coordonatele polare se obţine:

( )22

1 0 00

aI d a

πρ ρ θ ρ θ θ= + =∫ ∫ sin sin cos

(**)

( ) ( )22 2 2 2 32 0 0

424

0

2

3 2 3 = .4 3 2

a

DI x y dxdy d a a d

aa d

π

π

θ ρ θρ ρ ρ

πθ θ

= + = + + =

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

∫

cos

cos

(***) Ţinând cont de faptul că 2

1 2 21 1I k I k k I= + ⋅ + + ⋅ , se obţine: 2 43 1

2k k aI π+

= .

2. Să se calculeze integralele de suprafaţă: a)

SI xdydz ydxdz zdxdy= + +∫ ∫ , 2 2 2 2:S x y z a+ + = , 0x ≥ , 0y ≥ , 0.z ≥

b) 2 2

SI x y z dxdy= ⋅∫ ∫ , 2 2 2 2:S x y z R+ + = , 0z ≤ .

c) 2 2 2

SI x dydz y dxdz z dxdy= + +∫ ∫ ,

( ) ( ) ( )2 2 2 2:S x a y b z c R− + − + − = .

d) S

I zdxdy= ∫ ∫ , S este faţa exterioară a elipsoidului 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = .

e) 2

SI x dxdz= ∫ ∫ , S este faţa superioară a jumătăţii superioare a

elipsoidului 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = .

f) S

I yzdxdz= ∫ ∫ , S este aceiaşi suprafaţă ca la punctul e).

g) S

dydz dxdz dxdyIx y z

= + +∫ ∫ , S este faţa exterioară a

elipsoidului2 2 2

2 2 2 1 0x y za b c

+ + − =

Rezolvare:

Dacă ( )( )( )

( ), v

: , v , v

, v

x u

S y u u

z h u

ϕ

ψ

⎧ =⎪

= ∈Ω⎨⎪ =⎩

, atunci

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , , , , ,

, , , , , ,S

S

P x y z dydz Q x y z dxdz R x y z dxdy

P x y z Q x y z R x y z dα β γ σ

+ + =

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

∫ ∫∫ ∫ cos cos cos

În cazul în care din ecuaţia suprafeţei S se pot obţine explicitările ( ),z f x y= , ( ),y g x z= , ( ),x h y z= , atunci

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )Pr Pr Pr

, , , , , ,

, , , , , , , , ,Oyz Oxz Oxy

S

S S S

P x y z dydz Q x y z dxdz R x y z dxdy

P h y z y z dydz Q x q x z z dxdz R x y f x y dxdy

+ + =

= + +

∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

a) Ecuaţiile parametrice ale sferei din primul octant sunt:

vv

v

x a uy uz

=⎧⎪⎨⎪⎩

cos sin= asin sin= acos

, 0

2:0 v

2

u π

π

⎧ ≤ ≤⎪⎪Ω ⎨⎪ ≤ ≤⎪⎩

.

2 2vA a u= − cos sin , vB u= − 2 2a sin sin , 2 sin v vC a= − cos . Atunci 2 2 2 2 4 2 vA B C EG F a+ + = − = sin , 2 2 2 2 vA B C a+ + = ± sin .

vuα =cos cos sin , vuβcos = sin sin , vγcos = cos , 2 vd a vdudσ = sin . Cu aceste relaţii se obţine:

( ) 2

33 3 2 2

0 0

v v+ v v v

v v v v .2

Sxdydz ydxdz zdxdy a u a u a a dud

aa d a du dπ π π

Ω

Ω

+ + = + =

= = =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 2 2cos sin sin sin cos sin

sin sin

b) 2 2 2z R x y= − − − ,

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

S x y Rx y z dxdy x y R x y dxdy

+ ≤⋅ = − − −∫ ∫ ∫ ∫ .

Pentru a calcula integrala dublă se folosesc coordonatele polare x ρ θ= cos , y ρ θ= sin , 0 Rρ≤ ≤ , 0 2θ π≤ ≤ , J ρ= .

2 2 2

22 2 2 2 2 5 2 2

0 0

2

0

1 2 .4 4

R

x y Rx y R x y dxdy R d d

d

π

π

ρ ρ ρ θ θ θ

πθ θ

+ ≤− − = − =

= =

∫ ∫ ∫ ∫

∫

2 2

2

cos sin

sin

( )2 2 7

5 2 2 6 5 4 2 6

0

835 7 4 80105 105

R R RR d R R Rπρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ−

− = − + + − =∫ .

Deci 2 2 2

72 2 2 2 2 2

105x y R

Rx y R x y dxdy π+ ≤

−− − − =∫ ∫ .

c) 2 2 2 2 2 2

S S S SI x dydz y dxdz z dxdy x dydz y dxdz z dxdy= + + = + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 2 3I I I= + + . Se calculează în continuare 3I .

( ) ( )2 22z c R x a y b− = ± − − − − .

( ) ( )22 2 2 .z z c c c z c= − + + − Suma primilor doi termeni fiind integrată pe faţa superioară a emisferei superioare şi inferioare dau rezultate de semne contrare care se

anulează. Aşadar ( ) ( )( ) ( )2 2 2

2 223 4

x a y b RI c R x a y b dxdy

− + − ≤= − − − −∫ ∫ .

Făcând substituţiile x ay b

ρ θρ θ

− =⎧⎨ − =⎩

cossin

, 0 Rρ≤ ≤ , 0 2θ π≤ ≤ , J ρ= ,

322 23 0 0

843

R RI c R d d cπ πρ ρ ρ θ= − =∫ ∫ .

Analog se găseşte 3

28

3RI bπ

= , 3

18

3RI aπ

= .

Deci ( )3

2 2 2 83S

Rx dydz y dxdz z dxdy a b cπ+ + = + +∫ .

d) 2 2

2 21 x yz ca b

= ± − − , 2 2

2 22 1S

x yI c dxdya b

= − −∫ ∫ .

Folosind coordonatele polare generalizate se obţine: x aρ θ= cos , y bρ θ= sin , 0 1ρ≤ ≤ , 0 2θ π≤ ≤ , J ρ= .

Atunci 1 22

0 0

42 13abcI c d d

π πρ ρ ρ θ= − =∫ ∫ .

e) 2 2

2 21 y zx ab c

= ± − + , 2 2

2 2

32 2 2

32 21

4 1 .y zb c

y zI a dydzb c+ ≤

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

Folosind coordonatele generalizate se obţine: y bρ θ= sin , z cρ θ= sin , 0 1ρ≤ ≤ , 0 2θ π≤ ≤ , J bcρ= .

Atunci ( )1 233 2 3

0 0

24 1 .5

I a bc d d a bcπ

ρ ρ ρ θ π= − =∫ ∫

Acelaşi rezultat se obţine dacă se folosesc ecuaţiile parametrice ale suprafeţei elipsoidale.

f) Pentru a calcula integrala se folosesc ecuaţiile parametrice ale suprafeţei elipsoidale:

vx u⋅= asin cos , vuy = bsin sin , vz c= cos , 0 v2π

≤ ≤ , 0 2u π≤ ≤ .

vB ac= 2sin sinu atunci

222 220 0

v v v .24 40

u abcI abc d udu abcπ

ππ

ππ= ⋅ = ⋅ =∫ ∫4

3 2 sinsin cos sin

g) Se folosesc ecuaţiile parametrice ale suprafeţelor elipsoidale ca la punctul f).

2vA bc u= − cos sin , vac u 2B = - sin sin , vC ab u= − sin cos . Se ştie că

2v vdydz bc u dud= cos sin v vdxdz ac u dud2= sin sin

sin vcos v vdxdy ab dud=

Deci 2

0 0v v

S

dydz dxdz dxdy bc ac abdu dx y z a b c

π π ⎛ ⎞+ + = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ sin

2

2 2 2 2 2 20 0

1 1 1 1 1 1v v 4abc du d abca b c a b c

π ππ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ sin .

3. Să se calculeze folosind formula lui Stokes respectiv Gauss-Ostrogradski integralele:

a) ( ) ( ) ( )ABC

I z y dx x z dy y x dz= − + − + −∫ luată de-a lungul laturilor

triunghiului ABC unde ( ),0,0A a , ( )0, ,0B b , ( )0,0,C c .

b) C

ydx zdy xdz+ +∫ unde C este cercul 2 2 2 2x y z a

x y z a⎧ + + =⎨

+ + =⎩ parcurs

în sens trigonometric privit din partea pozitivă a axei Ox . c)

Sxdydz ydxdz zdxdy+ +∫ ∫ unde S este faţa exterioară a sferei

2 2 2 2x y z a+ + = . d) 3 3 3

Sx dydz y dxdz z dxdy+ +∫ ∫ unde S este faţa exterioară a sferei

2 2 2 2x y z a+ + = . e) 2 2 2

Sx yzdydz xy zdxdz xyz dxdy+ +∫ ∫ unde S este suprafaţa sferică

2 2 2 2x y z a+ + = , 0x ≥ , 0y ≥ , 0z ≥ .

f) 3 2 2

Sx dydz x ydxdz x zdxdy+ +∫ ∫ unde S este suprafaţa cilindrică

2 2 2x y r+ = cuprinsă între planele 0z = şi z a= . Rezolvare: În condiţiile propoziţiei 8.4.1 are loc egalitatea

( ) ( ) ( ), , , , , ,C

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz+ + =∫

S

R Q P R Q Pdydz dxdz dxdyy z z x x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

(*) numită formula lui Stokes. În condiţiile propoziţiei 8.4.2 are loc egalitatea

( ) ( ) ( ), , , , , ,C V

P Q RP x y z dx Q x y z dy R x y z dz dxdydzx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ (**) numită formula lui Gauss-Ostrogradski.

a) Conform cu (*) se obţine: ( ) ( ) ( ) 2

ABCA ABCI z y dx x z dy y x dz dydz dxdz dxdy

Δ= − + − + − = + +∫ ∫ ∫ .

O reprezentare parametrică a suprafeţei triunghiului ABC este:

x u= , vy = , v1 uz ca b

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

, 0u ≥ , v 0≥ .

Atunci cAa

= , cBb

= , 1C = .

( )

Pr2 2 1

2 .2

OxyABC ABC

c cdydz dxdz dxdy dxdya b

abab ac bc ab ac bcab

Δ Δ

⎛ ⎞+ + = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + = + +

∫ ∫ ∫ ∫

b) Conform cu (*) se obţine:

.C S

ydx zdy xdz dydz dxdz dxdy+ + = − + +∫ ∫ ∫

Discul S face parte din planele x y z a+ + = , atunci z a x y= − − . Ecuaţiile parametrice ale lui S sunt: x u= , vy = , vz a u= − − ,

2 2

3 2

v 1

3

ua a

+ ≤ . Elipsa ce rezultă prin proiecţia discului S pe planul

( )vOu Oxy . Atunci 1A = , 1B = , 1C = . Atunci

2 2

3 2

2v 1

3

3 3 3.3

uSa a

adydz dxdz dxdy dxdy a aπ π+ ≤

− + + = − = − = −∫ ∫ ∫ ∫

Deci 2 3.C

ydx zdy xdz aπ+ + = −∫

c) Conform cu formula (**) se obţine: 33 4 .

S Vxdydz ydxdz zdxdy dxdydz aπ+ + = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

d) Conform cu formula (**) se obţine: ( )3 3 3 2 2 23 .

S Vx dydz y dxdz z dxdy x y z dxdydz+ + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Pentru a calcula integrala triplă se trece la coordonatele sferice x ρ θ ϕ= sin cos , y ρ θ ϕ= sin sin , z ρ θ= cos , 2J ρ θ= sin . Deci

( )2 2 2 4

Vx y z dxdydz d d dρ θ ρ ϕ θ

Ω+ + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ sin .

0: 0

0 2

aρθ πϕ π

≤ ≤⎧⎪Ω ≤ ≤⎨⎪ ≤ ≤⎩

24 4 4

0 0 0 0 0

5 54

0

2

44 4 .05 5

a a

a

d d d d d d d d

a ad

π π πρ θ ρ θ ϕ ρ ρ θ θ ϕ π ρ ρ θ θ

ρ ππ ρ ρ π

Ω= = =

= = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

sin sin sin

e) Conform cu formula (**) se obţine: 2 2 2 6

S Vx yzdydz xy zdxdz xyz dxdy xyzdxdydz+ + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Pentru a calcula integrala triplă se trece la coordonate sferice ca la punctul d) şi se obţine:

65 2 2

0 0 06 6 .

8a

V

axyzdxdydz d d dπ π

ρ ρ ϕ ϕ ϕ θ θ θ= =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3sin cos sin cos

Deci 6

2 2 2

8S

ax yzdydz xy zdxdz xyz dxdy+ + =∫ ∫ .

f) Conform cu formula (**) se obţine: 3 2 2 25

S Vx dydz x ydxdz x zdxdy x dxdydz+ + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Pentru calculul integralei triple se folosesc coordonatele cilindrice x ρ θ= cos , y ρ θ= sin , z z= , { }: 0 ,0 2 ,0r z aρ θ πΩ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ , J ρ= .

422 3 2 3 2

0 0 0

55 5 .4

r a

V

arx dxdydz d d dz d d dzπ

ρ θ ρ θ ρ ρ θ θΩ

= = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫cos cos

Deci 4

3 2 2 54S

arx dydz x ydxdz x zdxdy+ + =∫ ∫ .

CAPITOLUL 9 EXERCIŢII PROPUSE1

Exerciţiul 9.1.1. Pornind de la definiţia integralei Riemann să se calculeze: a) ;

b p

ax dx p∈∫ N

b)* ; \b

ax dxμ μ ∈∫ R N

c)* b

axdx∫ sin

d) b

axdx∫ cos

e)* ( )2

01 2

Tr x r dx− +∫ ln cos

Exerciţiul 9.1.2. Să se calculeze:

a) 2 1

21

n

n k

kn

−

→∞=∑lim h)

21

1n

n k n kn→∞= +∑lim

b) 34 1

41

n

n k

kn

−

→∞=∑lim i)

2

3 31

n

n k

kn k→∞

= +∑lim

c) 1

1n

n k n k→∞= +∑lim j)

1

1sin

n

n k

k an nπ π−

→∞=∑lim

d)* 2 21

n

n k

nn k→∞

= +∑lim k)

41

, 0, 1knn

n k

k a a an→∞

=

> ≠∑lim

e) 11

n

n k

kn

α

α+→∞=∑lim l)*

( )1

nn

k

n

n k

n=

→∞

+∏lim

f) 1

1 1n

n kn k→∞=∑lim m)

1

! n

nn

nn→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

lim

g)* 2 2

1

2

4

n

n k n k→∞= −∑lim

Exerciţiul 9.1.3. Fără a calcula integralele să se arate care din următoarele integrale au valoare mai mare?

1 Exerciţiile notate cu * sunt rezolvate în cadrul capitolului respectiv

a) ( )2

11 x dx+∫ ln sau

2

1 1x dx

x+∫

b) 10

2 x dx∫ arctg sau ( )10 2

21 x dx+∫ ln

c) 20

n xdxπ

∫ sin sau 120

n xdxπ

+∫ sin

Exerciţiul 9.1.4. Fără a calcula efectiv integralele să se arate că:

( )

2

7

4

1

0

0 2

1

3 2

426

4

191

0 63

5200

0

1 3) 13 5

) 1

1 4) 0 ln 1 ln4 3

) 10 1 17

16) 93 2

1) 0201

) 0 0,0120

x

x

xa dxx

b e dx e

c x x dx

d x dx

xe dxxxf dx

xeg dx

x

∗

∗

−

−

−

−≤ ≤

+

< <

≤ − ≤

≤ + ≤

≤ ≤+

< <+

< <+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Exerciţiul 9.1.5. Să se stabilească formulele:

( ) ( )

( ) ( ) ( )2

0 0

)

) 2

b b

a a

a a

a f x dx f a b x dx

b f x dx f x f a x dx

= + −

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

∫ ∫∫ ∫

Exerciţiul 9.1.6. Să se calculeze:

( )

( )

20

0

* 40

2 2

0

32

3 30

)

) 1

) ln 1

) 2 1

)

a

a I xdx

x xb I dxx

c I tgx dx

xd I ax x dxa

xe I dxx x

π

π

π

π

=

=+

= +

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

=+

∫

∫

∫

∫

∫

2

ln tg

sincos

arc cos

coscos sin

Exerciţiul 9.1.7. Să se arate că:

a) 1 1 11, , ,..., ,...2 3

An

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

este de măsură Jordan nulă

b) , , N Z Q sunt de măsură Lebesque nulă; c) Funcţia lui Dirichlet este egală cu 1 aproape peste tot.

Exerciţiul 9.2.1. Să se calculeze:

( )

( ) ( )2 3

1)

) 1

a I x x dxx

b I x x x dx

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= −

∫

∫

( )( )

( )

3

3

23

13

1)

1)

xc I x dx

x

xd I x dxx

−=

+=

∫

∫

Exerciţiul 9.2.2. Să se calculeze:

a) ( )2 1

dxI xx x

=−

∫ arc sin b) ( )

2

1

xI x dxx

=−

∫2arc sin

c) ( ) 5

dxI xx x

=+∫ 2 2arc sin cos

d) ( )sinn

x xI x dxx x+

= ∫cos sin

- cos

e) ( ) 2

dxI xx x

=⋅∫ cos

f) ( ) x x

dxI xe e−=

+∫

Exerciţiul 9.2.3. Să se calculeze:

a) ( )( )2 2 2 2

dxI xa x a x

=+ ⋅ +

∫ b) ( )( )2 21 1

dxI xx x

=− ⋅ −

∫

c) ( )1

x dxI xxx

=+∫

arctg d) ( )1x dxI x

x x⋅

=+∫

lnln

e) ( ) ( )2 2, , 0

x x

x x

a bI x dx a bb a

−= >

−∫ f) ( ) ( )3 21 5I x x x dx= −∫

Exerciţiul 9.2.4. Să se calculeze:

a) ( )1

axI x e bxdx= ∫ cos b) ( )2axI x e bxdx= ∫ sin

c) ( ) ( )3I x q x dx= ∫sin ln d) ( ) ( )4I x q x dx= ∫cos ln

e) ( ) 25

xI x e xdxα β= ∫ sin f) ( ) 26

xI x e xdxα β= ∫ cos Exerciţiul 9.2.5. Să se calculeze:

a) ( ) { }, \ 1I x x xdxα α= ∈ −∫ Rln

b) ( )I x xdx= ∫arctg

c) ( )I x xdx= ∫ ln

d) ( ) ( )21I x x x dx= + +∫ ln

e) ( ) ( )I x x dx= ∫sinln tg

f) ( ) 11

xI x x dxx

+=

−∫ ln

g) ( )2 31 1

x xI x dxx x

=− −

∫ ln

h) ( ) ( )2

2 21

1

xI x x dxx x

= +−

∫arcsin

i) ( )( )( )

2

2

1 1

1

x xI x dx

x

+ +=

−∫ln

Exerciţiul 9.2.6. Să se deducă o relaţie de recurenţă pentru calculul integralelor:

a) ( ) nnI x xdx= ∫sin

b) ( ) nnI x xdx= ∫cos

c) ( ) nnI x xdx= ∫ tg

d) ( ) nnI x xdx= ∫ctg

e) ( ),m n

m nI x x xdx= ⋅∫sin cos Exerciţiul 9.2.7. Să se calculeze:

a) ( ) ( )( )( )2

1 2 3x dxI x

x x x=

− − −∫ b) ( ) ( )( )( )24 4 1

2 1 2 3 2 5x xI x

x x x+ −

=− − −∫

c) ( ) ( )( )( )1 2 3dxI x

x x x x=

− − −∫ d) ( ) ( )( )

2

2 1 2x dxI x

x x=

− +∫

e) ( ) ( )( )2 21 2dxI x

x x x=

− −∫ f) ( )2

3 26 11 6x dxI x

x x x=

− + −∫

g) ( ) 3

2 17 6

xI x dxx x

+=

− +∫ h) ( )3 2

4 2

10 3 19 65 4

x x xI xx x− − +

=− +∫

Ind: Se descompune în fracţii simple. Exerciţiul 9.2.8. Să se calculeze:

a) ( )( )

4

3

11

xI x dxx+

=−∫ b) ( )

( )

6

3

2 61

x xI x dxx+ +

=−∫

c) ( )( ) ( )3

21 2xI x dx

x x+

=− −∫ d) ( ) ( )( )3 1 1

dxI xx x x

=− +∫

e) ( )3

3 2

2xI x dxx x

−=

−∫

Ind: Pentru a), b), e) se efectuează împărţirea şi apoi se descompune în fracţii simple.

Exerciţiul 9.2.9. Să se calculeze:

a) ( ) ( )( )2

2 2

3 14 1

x xI x dxx x

− +=

+ +∫ b) ( )( )( )2

21 1xI x dx

x x+

=+ +∫

c) ( )2

3 2

21

xI x dxx x x

+=

− + −∫ d) ( )2

4 2 1xI x dx

x x=

+ +∫

e) ( )2

4 2

24

xI x dxx x

+=

+ +∫ f) ( ) 4 2 1dxI x

x x=

+ +∫

g) ( )( )( )2

21 1xI x dx

x x+

=+ +∫

Exerciţiul 9.2.10. Să se calculeze:

a)* ( )2

1 4

11

xI x dxx

−=

+∫

b)* ( )2

2 4

11

xI x dxx

+=

+∫

c)* ( )3 4 1dxI x

x=

+∫

d) ( )2

4 4 1x dxI xx

=+∫

e) ( )2

5 4 3 2

13 5 3 1

xI x dxx x x x

−=

+ + + +∫

f) ( )2

5 2 2

11 1

x dxI xx x x

−= ⋅

+ + +∫

g) ( )2

1 4 2

11

xI x dxx x

+=

+ +∫

h) ( )2

5 4 3 2

12 3 2 1

xI x dxx x x x

+=

+ + − +∫

Ind: Se foloseşte substituţia 1 x tx

± =

Exerciţiul 9.2.11. Să se calculeze:

a) ( )2

4 1x dxI xx

=+∫ b) ( )

3

8 1x dxI xx

=+∫ c) ( )

( )2

22 1

x dxI xx

=+

∫

d) ( )5

12 1x dxI x

x=

−∫ e) ( )( )

3

24 3

x dxI xx

=+

∫

Ind: În 4

mx dxx a±∫ dacă m este impar şi n este par se face substituţia

dx t= unde d este c.m.m.d.c. între 1 m + şi n .

Exerciţiul 9.2.12. Să se calculeze:

a) ( ) x xI x dxx x∫

sin + cos - 3=sin - 2cos + 3

b)

( ) ( )2 2dxI x dx

x x x=

+ −∫ sin cos sin

c) ( ) ( )( )2dxI x

x x= ∫ - sin 3 - sin

Ind: Pentru a) şi c) se face substituţia 2x t=tg , iar pentru b) substituţia

x t=tg . Exerciţiul 9.2.13. Să se calculeze:

a) ( ) sinx xI x dxx∫

3sin + 2=1+ cos

Ind: Se face substituţia x t=cos .

b) ( ) xI x dxx∫

sin2=cos3

Ind: Se trece la arcul simplu x şi se face substituţia x t=cos .

c) ( )2

dxI xx x+∫=

sin sin

Exerciţiul 9.2.14. Să se calculeze:

a) ( )2

dxI xx x+∫=

cos cos

b) ( ) xI x dxx∫

cos=cos2

Ind: Se utilizează substituţia x t=sin .

c) ( ) 2

xI xx x+∫ 2

cos=tg sin

Ind: Se utilizează substituţia x t=sin . Exerciţiul 9.2.15. Să se calculeze:

a) ( ) dxI xx x x x+ + ⋅∫ 4 4 2 2=

cos sin sin cos

Ind: Se utilizează substituţia .x t=tg

b) ( ) 4

xI x dxx x+∫ 4

sin2=cos sin

Ind: Se utilizează substituţia .x t=tg

c) ( ) 4

dxI x dxx x⋅∫ 4=

cos sin

Ind: Se utilizează substituţia .x t=tg Exerciţiul 9.2.16. Să se calculeze:

a) ( )34

1xI x dx

x=

+∫ b) ( )3

6 3

31

xI x dxx x x

+=

+ + +∫

c) ( )( )3 1 3 1

xI x dxx x

=− −∫ d) ( )

3

6 3

21

xI x dxx x x

+=

+ + +∫

Ind: Se utilizează substituţia ;n x t= n = c.m.m.m.c. al indicilor radicalilor. Exerciţiul 9.2.17. Să se calculeze:

a) ( )3

1 11 1

xI x dxx

− +=

+ +∫ b) ( )32 1 2 1

dxI xx x

=− + −∫

c) ( )( )3 1 3 1

xI x dxx x

=− −∫ d) ( )

( ) ( )2 43 1 1

dxI xx x

=+ −

∫

e) ( )( ) ( )34 1 1

dxI xx x

=+ −

∫ f) ( )( ) ( )2 43 1 1

dxI xx x

=+ −

∫

g) ( )( ) ( )31 2

dxI xx x

=+ −

∫ h) ( )( ) ( )23 1 1

dxI xx x

=+ +

∫

Ind: Pentru a), b), c) se utilizează substituţia n ax b t+ = unde n este c.m.m.m.c. al indicilor. Pentru d), e), f), g), h) se utilizează substituţia

m

nax b tcx d

+⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠.

Exerciţiul 9.2.18. Să se calculeze:

a) ( )2 1

dxI xx x x

=+ +

∫ b) ( )2 1

dxI xx x x

=+ + +

∫

c) ( )2

2

3 2

3 2

x x xI x dxx x x

− + +=

+ + +∫ d) ( )

21 2

dxI xx x x

=+ − −

∫

e) ( )2 5 7

dxI xx x

=+ +

∫ f) ( )22 3

dxI xx x

=+ −

∫

g) ( )23

dxI xx x

=+ −

∫ h) ( )21 2 3

dxI xx x

=+ −

∫

i) ( )2

5 7

5 4

xI xx x

−=

+ −∫ j) ( )

2 1

x dxI xx x

⋅=

+ +∫

k) ( )2 3 2

x dxI xx x

⋅=

− + −∫ l) ( )

2 1

dxI xx x

=− + +

∫

Ind: Se utilizează substituţiile lui Euler. Exerciţiul 9.2.19. Folosind P3.4. să se calculeze:

a) ( )3 2

2

2 1

2 1

x x xI xx x

+ + +=

+ −∫ b) ( )

3

2

1

2 2

x xI xx x

− +=

+ −∫

c) ( )2

2

2 1

4

x xI xx x

+ +=

− + +∫ d) ( )

4

41

xI xx

=−

∫

Exerciţiul 9.2.20. Folosind P3.5. să se calculeze:

a) ( )3 41 xI x dx

x+

= ∫ b) ( ) ( )3

3 2 23 1I x x x dx= +∫

c) ( )53 1

dxI xx x

=⋅ +

∫ d) ( )3

3 1

xI x dxx

=+

e) ( )66 1

dxI xx x

=⋅ +

∫

Exerciţiul 9.2.21. Să se calculeze:

a) ( )( )

32 2

4

1 xI x dx

x

+= ∫ b) ( )

4 2 1

dxI xx x

=⋅ +

∫

c) ( ) ( )23 3I x x x dx= −∫ d) ( )44 1

dxI xx

=+

∫

e) ( )6 2 1

dxI xx x

=⋅ −

∫ f) ( )2

6 1

xI x dxx

=−

∫

g) ( ) 451

xI x dxx

=+∫ h) ( )

( )34 1dxI x

x x=

−∫

i) ( )5 33

dxI xx x

=−

∫ j) ( )34

1xI x dx

x=

+∫

Exerciţiul 9.2.22. Folosind:

a) ( ) ( ) ( )11, 1,1 1

pm n nm p m pa m np u x a x b b m n u

+− +−+ + = ⋅ + − − +

b) ( ) ( )1, , 11

pm nm p m pm np u x a x b b n p u+

−+ + = ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅

unde ( ), , ,pm n

m pu x a x b dx m n p= ⋅ + ∈∫ Q Să se calculeze:

a) ( )6

2 1

xI x dxx

=+

∫ b) ( )8

2 1

x dxI xx

=−

∫

c) ( )7 4 1

dxI xx x

=⋅ +

∫ d) ( )9

33 1

xI x dxx

=+

∫

Exerciţiul 9.2.23.

a) Fie funcţia : f R R→ o funcţie definită astfel: ( ) ;

1 ;

xe x Rf x

x x R+

+

⎧ ∈⎪= ⎨+ ∈⎪⎩

Să se cerceteze dacă admite primitive şi să se calculeze o primitivă a lui f.

b) Să se cerceteze dacă [ ]: 0, 2f Rπ → ( ) 12

f x x= − sin admite primitive

şi să se calculeze o primitivă. c) Să se cerceteze dacă : f R R→ ; ( ) 21f x x= − admite primitive şi să

se găsească o primitivă a lui f .

d) Fie : f R R→ o funcţie definită astfel: ( )1 ; 0

; 0

xf x x

xα

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

sin

Atunci: 1) f are primitive ⇔ 0α = . 2) f are proprietatea lui Darboux ⇔ 1α ≤ . Exerciţiul 9.3.1 Să se studieze convergenţa şi să se calculeze integralele:

a)* 40;

1dx

x∞

+∫ :2 2

R π

b) 2 2

1 1;xxπ

∞

∫ sin :1R

c)* ( )30 2

;1

x x

x

∞

+∫

ln 1:8

R −

d) ( )

2

22;

1

x dx

x

∞

−∞ +∫ :

2R π

e) 2

4 ;1

x dxx

∞

−∞ +∫ :2

R π−

f) 2

4 2 ;1

x dxx x

∞

−∞ − +∫ :11

R π−

g) 2

4 2 ;1

x dxx x

∞

−∞ + +∫ :3

R π−

Ind: Pentru exerciţiile d)÷g) se poate pleca de la 2

4 22 1 22

x dxx x

παα

∞

−∞=

− +∫ cos cos

Exerciţiul 9.3.2. Să se studieze convergenţa integralelor:

a)

32

20 1x dx

x∞

+∫ :R divergentă.

b) 1 21

dx

x x

∞

+∫ :R convergentă.

c) ( )( )a

P xdx

Q x∞

∫

P polinom cu grad P m n≤ < = grad Q ; Q polinom ce nu are zerouri în [ ),a ∞ .

d)* 0

xdxx

∞

∫arctg :R divergentă.

e) ( )( )0x

dxx x a x b

∞

− −∫ 0 0x a b> > > :R convergentă.

f) 0

xdx

x∞

∫sin

:R divergentă.

g)* 2 20

x axk x

∞

+∫sin , 0a k > :R convergentă.

h)* sin

0

2x xe dxxλ

∞⋅∫sin 0λ > :R convergentă.

i)* 0

l xx dxx

λ∞

∫sinn 0λ > :R convergentă.

j)* ( )2

0

x xdx

xλ

∞ +∫

sin 0λ > :R convergentă.

Ind: Pentru rezolvarea exerciţiilor g şi j se aplică criteriul Abel-Dirichlet.

k) 1

x dxxα

∞

∫sin 0α > :R convergentă.

l) x dxx xμπ

∞

+∫sin

sin

12:

12

Rμ

μ

⎧ ≤⎪⎪⎨⎪ >⎪⎩

divergentă pentru

convergentă pentru

Ind: Se utilizează inegalitatea ( ) ( )

2 11

xx x x x xμ μ μ μ

<+ −

sinsin

şi faptul că

x dxxμπ

∞

∫sin convergentă.

m) 20 1x dx

x x

α

β

∞

+∫ sin , 0α β >

( )( )

2 1:

2 1R

β α

β α

⎧ ≤ +⎪⎨

> +⎪⎩

divergentă pentru

convergentă pentru

Ind: Se porneşte de la inegalitatea

( )

( )( )( )2 22

11 11 1

nn xx x n xn x

αα α

β β β

ππ

ππ

⎡ ⎤+ ⋅⎣ ⎦≤ ≤+ ⋅ + ⋅⎡ ⎤+ + ⋅ ⋅⎣ ⎦ sin sinsin

( ) ( ), 1x n nπ π⎡ ⎤∀ ∈ + ⋅⎣ ⎦ care se integrează şi apoi se însumează.

n) 0 1

x dxx x

α

β

∞

+∫ sin , 0α β >

1:

1R

β αβ α≤ +⎧

⎨ > +⎩

divergentă pentru convergentă pentru

Ind: Se foloseşte inegalitatea de la punctul m) înlocuind pe 2 xsin cu xsin . Exerciţiul 9.3.3.

a) Să se studieze convergenţa şi să se calculeze:

( )0 2 1n n

dxIx

∞=

+∫ n N∈ ;

( )( )2 3 !!

:2 2 !! 2n

nR I

nπ−

= ⋅−

Ind: Fie ( ) 112

1 2 32 2 2 21

n nn

x nF Fn nx

−−

−= ⋅ +

− −+

b) Să se studieze convergenţa şi să se calculeze:

( )0 2 1n n

dxIx x

∞=

+ +∫ ; n∈ N

c) Să se studieze convergenţa şi să se calculeze:

1

0

1I x dxx

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 2

:12

R π

d) Să se studieze convergenţa şi apoi să se calculeze valoarea sa:

[ ]1

0lnI x dx= ∫ :

1eR

e−

e) Să se calculeze integrala:

( )( ) ( )1 1 2 ...

dxIx x x x n

∞=

+ + +∫ ( ) ( )0

: 1 1n

n kn

kR I C k

=

= − +∑ ln

f) Să se calculeze integrala:

( ) ( )2 21

1 ... n

dxIx x a x a

∞=

+ +∫ 0ia ≥ şi ( )i ja a i j≠ ∀ ≠ 1

:2

ni

i j

cR I

aπ

=

= ∑

( )2 2

1

1

k t

i n

k ji

ca a

∈=

=−∏

g) Să se studieze convergenţa şi să se calculeze: 2 2

2 2

0, ,

a bx x

nI e e dx a b− −∞ ∗

⎛ ⎞⎜ ⎟= − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ R ( ):R b a π−

Exerciţiul 9.3.4. Să se studieze convergenţa şi să se calculeze:

0, n x

nI x e dx n∞ −= ⋅ ∈∫ N

Ind: Se foloseşte recurenţa 1n nI n I −= ⋅ . Aplicând în mod repetat relaţia de recurenţă se obţine !nI n= .

Exerciţiul 9.3.5.

a) Să se studieze convergenţa integralei Fresnel: 2 2

0 0:xdx xdx

∞ ∞

∫ ∫sin cos :R convergentă

b) Fie f continuă pe ( )0,∞ pentru care există (0, 0) f + şi f∞ . Să se arate că:

( ) ( ) ( )0, 0 a

f ax f bx bdx f fx a

∞ −⎡ ⎤= + − ∞⎣ ⎦∫ ln ;

[ ], , , 0a b c d c∈ > (Froullani). Exerciţiul 9.3.6.

a) Fie [ ] ( ): 0,1 0,f R× ∞ → , ( )2

22

2,xy xf x y e

y

−

= ⋅

Direct şi prin calculul integralelor să se arate că:

( ) ( )1 1

0 00 0, ,

y yf x y dx f x y dx

→ →≠∫ ∫lim lim

b) Fără a calcula să se arate că: ( )1

0

xI y dxy

= ∫ arctg şi

( ) ( )1 2 2

0 J x x y dx= +∫ ln sunt continue, ( ) ( )0,y∀ ∈ ∞ .

c) Să se arate că: ( ) ( )

1

2 20 00 01 1

dx dx

x x x xα αα α

∞

→ →=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫lim lim

Exerciţiul 9.3.7.

a) Fie funcţia ( )1 3 3

0 ; 0, 0

1 ; 0

x y dx y yF y

y

⎧ + ≠ >⎪= ⎨⎪− =⎩

∫ ln

Să se arate direct şi prin calcul că:

( )1 2 2

00

0 lny

F x y dxy =

⎛ ⎞∂′ ≠ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫

b) Fiind dată funcţia ( )) ( )

)

1 ; 0, , 0,,

; 0, , 0

xt t xxx t

t t xϕ

+⎧ ⎡∈ ∞ ∈ ∞⎪ ⎣= ⎨⎪ ⎡∈ ∞ =⎣⎩

ln

Să se calculeze derivata funcţiei ( ) ( )0

,t

t x t dxϕΦ = ∫ pentru [ )0,t ∈ ∞

c) Să se calculeze derivata funcţiei ( ) ( )( )12 2 2

0

t x t

x tF t x y t dy dx

+

−= + −∫ ∫ sin

d) Să se calculeze derivata a treia funcţiei ( ) ( )b

aF t f x x t dx= −∫ unde f

este derivabilă pe intervalul [ ],a b e) Să se calculeze derivata a doua a funcţiei unde f este o funcţie continuă pe R .

Exerciţiul 9.3.8.

a) Pornind de la integrala ( ) 22 2 2 20

, dxIx x

π

λ μλ μ

=+∫ cos sin

, 0; 0λ μ> >

Să se calculeze: ( )

220 2 2 2 2

dxIx x

π

λ μ=

+∫

cos sin.

2 2

1 1:4

R πλμ λ μ

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

b)* Pornind de la integrala ( )0

,cos

dxFx

πλ μ

λ μ=

+∫ să se calculeze:

( ) ( )1 22 20 0 , dx xdxI I

x x

π π

λ μ λ μ= =

+ +∫ ∫cos

cos cos

( ) ( )1 22 2 2 2 2 2 2 2: ;R I Iπλ πμ

λ μ λ μ λ μ λ μ

−= =

− − − −

c) Pornind de la ( )0

1 1 , , 0 1

b dx ab a bax a

= + >+∫ ln ,

să se calculeze: ( )20 1

b x dxax+∫

( )1 1: 11

bR aba a ab⎡ ⎤+ −⎢ ⎥+⎣ ⎦

ln

d) Pornind de la 2 20

1b dx ba ax a

=+∫ arctg , să se calculeze: 2 2 20

1( )

b

x a+∫ .

2 2 2

1 1:2

b bRa a a a b

⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠arctg

Exerciţiul 9.3.9. Să se calculeze:

a) ( )2

2 220

1( ) ( 1) : ( )2

a aI a a d a R I aπ

θ θ π + −= − > =∫ ln sin ln

b) ( ) 2

0(1 2 ) ( 1) : ( ) 0I r r x r dx r R I r

π= − + < =∫ ln cos

c) ( )1 2

0 2

( 0) : ( ) 1-21-

xyI y dx y R I y y yx x

π= ≥ =∫ lnarctg

d) ( ) 20

1 1ln : ( )1

a xI a dx R I a aa x

π

π+= ⋅ =

−∫cos arcsincos cosx

e) ( )20

, ;f x t dxπ

∫ unde ( )( )1

, ,2,

, , 12

t xx

xf x tt x t

π

π

⎧ +≠⎪⎪= ⎨

⎪− = <⎪⎩

In coscos :R tπarcsin

f) ( )( )2 2

1

0 2

1, 1;

1

In a xI a dx a

x

−

+

−= <

−∫

21 1-:2

aR π +ln

g) ( ) ( )0

,I a f x t dx∞

= ∫ unde

( ) ( )2, 0

1 , ;

, 0

tx xx xf x t

t x

⎧ ≠⎪ += ⎨⎪ =⎩

arctg

( )

( )

1 , 02:

1 , 02

t tR

t t

π

π

⎧ + ≥⎪⎪⎨⎪− − <⎪⎩

In

In

h) ( )0

1 . , , 0;kxxF e dx a kxαα

∞ −−= >∫

cos

( )2

2

1: 12

R Fkαα

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠In

i) ( )0

kxxG e dxx xα βα

∞ −= ⋅ ⋅∫sin sin

( ) ( )( )

22

22:

2 2 2 4kkR G

k k

α βα β α β β α α βαα β

+ −+ + − −= + + +

+ +arctg arctg In

j) 0

1 teI tdtt

∞ −= ∫ cos : 2R In

k) J=1

10; , 0;

a tate bt e dt a at

− ⋅−∞ −>∫

cos 2 212 2

1:2

a bR

a b++

In

Exerciţiul 9.3.10. Folosind posibilitatea permutării integralelor depinzând de un

parametru să se calculeze:

a) ( )1

0 f x∫ unde ( ) ; 0, , 0;

0 ; 0

b ax x x a bf x xx

⎧ −≠ >⎪= ⎨

⎪ =⎩In 1:

1bRa++

In

b) ( )1

0 f x dx∫ unde ( ) ( ) , 0, 1, , 0

0 , 0, 1

b ax xx x x a bf x xx x

⎧ −≠ ≠ >⎪= ⎨

⎪ = =⎩

sin InIn

( )( )

- :1 1 1

a bRa b+ + +

arctg

c) ( )1

0, , f x a b∫ unde ( )

1 , 0, 1

, . 0 , 0 , 1

b ax x x xx x

f x a b xb a x

⎧ −⎛ ⎞ ≠ ≠⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎪⎪= =⎨

⎪ − =⎪⎪⎩

cos InIn

1 :1

bRa++

In

d) Să se calculeze:

( )0

I f x dx∞

= ∫ unde ( ); 0

0 ; 0tx x

f xx≠⎧

= ⎨ =⎩

arctg

( )2: t+ 1+t2

R I π= In

Exerciţiul 9.3.11. Să se găsească valoarea următoarelor integrale:

a)* 2

0

xe dx∞ −∫ :

2R π

b)2 1

20; 0 1

1

nx dx xx

−∞< <

+∫ :2

R π

c) 1

0

1 nn

dx

x−∫ :

R

nn

ππsin

d) ( )1

0ln x dxΓ∫ :ln 2R π

e) ( )

11

2 0 2 1

aa

a

x dx ax

−+< <

+∫ : aRa

ππsin

f) 20 , 1

1

ax x dx ax

∞<

+∫ln

2

2

2:4

2

a

Ra

ππ

π

sin

cos

g) 1

0 0, 0

1

m

n

x dx m nx

−∞> >

+∫ :2

Rn

ππsin

h) Să se demonstreze că:

10 4 42

0 0 8 2x xe dx x e dx π∞ ∞− −⋅ ⋅ =∫ ∫

20* 21 1

0 04 4 41 1

dx x dxx x

π⋅ =

− −∫ ∫

30 41 1

0 02 2

121 1n n

xdx dxnx x

π⋅ =

− −∫ ∫

Exerciţiul 9.4.1.

a) ( ) ( )2 2 220

, I a x a x dx aπ

= + ∈∫ Rln cos sin 1:2

aR π +⋅ ln

b) ( ) [ ]20

1 11

a x dxI a aa x x

π += ⋅ <

−∫sinlnsin sin

:R aπ ⋅arcsin

c) ( ) ( )2

0

1 1

a xI a dx a

x

π += <∫

ln coscos

( )22

:8 2

aR π

−arccos

d) ( ) ( )2

0

a xI a dx

x

π ⋅= ∫

arctg tgtg

( ): 12

R aπ⋅ +ln

e) ( ) ( )2

0

a xI a dx

x

π

= ∫arctg sin

sin

( )2: 12

R a aπ⋅ + +ln

Exerciţiul 9.4.2. Să se calculeze integralele: a)

1 2

0x x dx−∫ :R π

b)* ( )

4

20 1x dxx

∞

+∫ 2:4

R π

c) 2

40 1x dx

x∞

+∫ 2:4

R π

d) ( )230 1dx

x x

∞

+∫ :3

R π

e) 6 420

x xdxπ

⋅∫ sin cos 3:512

R π

f) 120

n dπ

ϕ ϕ−∫ sin 1 1: ,2 2 2

nR B ⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

g) ( )20

1p d pπ

ϕ ϕ <∫ tg :

2

Rp

ππcos

h) 1

0 0

1

m

n

x dx n mx

−∞> >

+∫ 1:

4

Rmnππ

⋅sin

i) 2 2 2

0

ax a x dx−∫

4

:16aR π

j) 40 1dx

x∞

+∫ 2:4

R π

k) 30 1dx

x∞

+∫ 2 3:9

R π

l) 4 220

x xdxπ

⋅∫ sin cos :32

R π

m) 1 120

n nx xdxπ

+ +⋅∫ sin cos 1: ,2 2 2

m nR B ⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

n) 220

n dπ

ϕ ϕ∫ sin ( )( )2 1 !!

:2 2 !!

nR

nπ −⋅

p) 22

0

n nx e dx∞ −⋅∫

( )1

2 1 !!:

2n

nR π+

+⋅

q) ( ) ( )-b m n

ax a b x dx−∫

( ) ( )1: 1, 1m nR b a B m n+ −− ⋅ + + Exerciţiul 9.5.1. Să se calculeze următoarele integrale curbilinii în raport cu

coordonatele:

a) ( ) ( )( )

22 2 ; :

0 2C

y xx y dx C

x⎧ =

− ⎨≤ ≤⎩

∫

56: -15

R

b) ( ) ( )( )

22 2 ; :

0 2C

y xx y dy C

x⎧ =

− ⎨≤ ≤⎩

∫

40: -3

R

c) ( )

2 ; C

xydx x dx+∫

( )2

2

:1

2

3

C OA

OA y x

OA x y

=

=

segmentul

segmentul al parabolei

segmentul al parabolei

( ) ( )

3 4 0,0 ; 1,1

OA y xO A

=segmentul al paraboleiunde

:1 ) 1; 2 ) 1; 3 ) 1; 4 ) 1.R d) ( )( )

2 2 ;C

x y dx xydy− +∫

( )

( ) ( ) ( ) ( )

:1

2

3 0,0 ; 1,1 ; 1,0 ; 0,1

C OA

OPA

OQAO A P Q

segmentul

linia frântã

linia frântãunde

5 3 1:1 ) ; 2 ) ; 3 ) 6 2 2

R − .

e) ( )( )2 2 ;

Cx y dx xydy− +∫ ( )

2 2

2 2: 1 0x yCa b

⎧+ − =⎨

⎩ parcursă în sens invers

acelor de ceasornic

24:3

R ab

f) ( )

2

Cy dx dy−∫ ; ( )C : 1° cerc de rază 1si în centru ( )0,0

2° cerc de rază 1 si centru în (1,1). R: 1°- 0; 2° -4π

g) ( ) 2 2 ;

2C

xdy ydxAx Bxy Cy

−+ +∫ 20, 0, - 0A C AC B> > > 2 2 2:C x y r+ =

2

2:RAC B

π

−

h) ( )( )2 2 ;

Cx y dx+∫

( )( )( )

( ): , 6 31

x a t tC t

y a tπ π⎧ = −⎪ ⎡ ⎤∈⎨ ⎢ ⎥= − ⎣ ⎦⎪⎩

sincicloidã

cos

31 3 1:2 2 2

R a mπ⎛ ⎞−+ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

i) ( )

2 2

5 / 3 5 / 3 ;C

x dy y dxx y

−+∫ ( ) ( )

3

3 : ,0

x a tC A a B a

y a t

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

coscuprins între şi 0,

sin

4 / 33 : 16

R aπ⋅

j) ( ) ( ) ( )( )

( ) [ ]; : 0, 2C

x a ty z dx z x dy x y dz C y a t t

z btπ

=⎧⎪− + − + − = ∈⎨⎪ =⎩

∫cossin

( ): - 2R a a bπ +

k) ( )

( ) [ ]; : 0, 2C

x a b tydx zdy xdz C y a b t t

z a bπ

=⎧⎪+ + = ∈⎨⎪ =⎩

∫cos coscos sinsin

2 2 : - cosR a bπ

l) ( )

( ); : 02C

x a txdx ydy zdz C y b t t

z ct

π=⎧

⎪+ + = ≤ ≤⎨⎪ =⎩

∫cossin

2 2 2 24 4:

8a c bR π+ −

m) ( )( )( ) [ ]2 2 2 : 0,

1C

x t t tydx xdy x y z dz C y t t t t

z tπ

= − +⎧⎪− + + + = + ∈⎨⎪ = +⎩

∫cos sin

sin cos

3 2 : 2R π π π+ +

Exerciţiul 9.5.2. Să se calculeze integralele curbilinii în raport cu elementul de arc:

a)( )

( )2 2

2 2 1 0; : , 0

C

x yxyds C a b

x o y

⎧+ − =⎪

⎨⎪ ≥ ≥⎩

∫

2 2

: 3

ab a ab bRa b+ +

×+

b) ( ) ( ) ( )2 2 ; : , ; , ; AB

x y ds AB A a a B b b b a+ >∫ segmentul de dreaptã

( )3 32 2 : 3

R b a−

c) ( )

( )( )2 1

; : 2 - 3; 0 1x

C

x m t

ye ds C y t t t−

⎧ = +⎪⎪ = + ≤ ≤⎨⎪⎪⎩

∫ arctg

2

21 3 : .16 2 4

R mπ π− +

d) ( )

( ) 3

2

1 ; : 8 0 1312

C

x t

xyz ds C y t t

z t

⎧⎪ =⎪⎪ = ≤ ≤⎨⎪⎪ =⎪⎩

∫

16 2 : 143

R

e) ( )( )( )2 2 ; : 0 1

t

t

Ct

x e tx y m z ds C y e t t

z e

⎧ =⎪

+ = ≤ ≤⎨⎪ =⎩

∫cossin

( )33 : 2 1 .9

R e +

f) ( )

( )2 2 2

2 2 2 1; :

0C

x y zx y z ds C

x y⎧ + + =⎨

+ =⎩∫

: . 32

R π

g) ( )

( )2 2 2 2

2 22 ; :C

x y z ay z ds C

x y⎧ + + =

+ ⎨=⎩

∫

2 : 2R aπ

h) ( )( )

( )3 / 22 2; : 1; 3 2 2

C

ds C rx y

∅ = ≤ ∅ ≤+

∫

19 : .3

R

Exerciţiul 9.5.3. Verificând că sunt independente fată de drum să se calculeze :

a) ( ) ( )2 2 ; 0, 2 ; 2,0x x

ABy e dx ye dy A B+∫

: - 4R

b) ( ) ( )

( ) ( )2 2

2 2 - ; 1, 2 ; -3, -2 ;AB

y xdx dy A Bx y x y− −∫

AB nu intersecteazã prima bisectoare. : 4R

c) ( ) ( )2 - ; -1,3,1 ; 2,6,3 ;AB

y x xydx dy dz A Bz z z

+∫

l 0.AB z =nu intersecteazã planu : 7R

d)( )

( ) ( )2 2 2

; 1, -2, 2 ; 0,3, 4 ;3

2AB

xdx ydy zdz A Bx y z

+ +

+ +∫

.AB nu trece prin origine

2 :15

R

e) ( ) 1; 1,1,1 ; , ,AB

yzdx zxdy xydz A M x yxyz xy

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

AM este situatã în primul octant : 0R

Exerciţiul 9.5.4. Să se stabilească existenta funcţiei primitive si să se găsească aceasta pentru următoarele expresii diferenţiale: a) ( ) ( )3 2 4 24 3 3 6 4 x y c dx x y xy dy− + + − −

( ) 4 3 2: , - 3 5 - 4 . R V x y x y xy x y C= + +

b) ( ) ( )210 8 5 8 3 xy y dx x x dy− + − +

( ) ( )2: , 5 8 3 .R V x y x x y C= − + ⋅ +

c) ( ) ( )3 3 2 4 24 2 3 2 x y y dx x y xy dy− + −

( ): , R V x y nu existã.

d) ( ) ( )1 1 x y x yx y e e dx e x y e⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( ) : .x yR x y e e C+ − +

e) 2 2 2 2 2 2

1 1 1 z xz dx dy dzxyx y x z xy x z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) : , , .z zR V x y z Cx xy

= − +arctg

Exerciţiul 9.5.5. Să se calculeze ariile mărginite de următoarele curbe: a)* elipsa cu semiaxele a şi b

2

: 210aR

b) 3

3 0 2

x a tt

y tπ

⎧ =⎪ ≤ ≤⎨=⎪⎩

cosastroida

sin

23:

8aR π

c) Bucla foliului lui Descares 3 3 3x y axy+ =

23: 2aR

d) ( )4 2x y ax y+ = :R bπ e) ( )2 1 n n nx y a x y n++ = ⋅ ∈ N

( )2

2

0

1: 1 .2 4 1

knk n

k

CR

n k=

− ⋅− +∑

Exerciţiul 9.6.1.

a)( )

[ ] [ ]2

3, 4 1,2 ;D

dx dy Dx y

= ×+∫ ∫

25 : 24

R In

b) ( ) [ ] [ ]2 35 2 2;5 1;3D

x y y dxdy D− = ×∫ ∫

: 660. R

c) [ ] [ ]2

2 0;1 0;11D

x dxdy Dy

= ×+∫ ∫

: .2

R π

d) ( )

[ ] [ ]32 2 2

0;1 0;11

D

ydxdy Dx y

= ×+ +

∫ ∫

2 2: .1 3

R ++

In

Exerciţiul 9.6.2.

( )( )

şi : ,

,D

D Oxy f D R f x y dxdy

D z f x y

+⊂ →

=

∫ ∫Dacã atunci reprezintã volumul

cilindrului cu baza inferioarã şi baza superioarã suprafaţa .

( ) ( ) ( ) , 1 , .D

f x y x y D dxdy D= ∀ ∈ ∫ ∫Dacã atunci reprezintã aria domeniului

( ): ,

D

D

Deci V f x y dxdy

A dxdy

=

=

∫ ∫∫ ∫

a) Să se găsească volumul corpului:

2 2

00

0

2 2

zxx a

k yy b

x yzp q

=⎧⎪ =⎪⎪ =⎪= =⎨⎪ =⎪⎪

= +⎪⎩

2 2

: .6ab a bR V

p q⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 2 2 2

0 0

0

zz R x z

kyy H

=⎧⎪ = − >⎪= ⎨

=⎪⎪ =⎩

2

: .2

R HR V π=

c)

0

0

zx ax b

k y cy d

xyz mm

=⎧⎪ =⎪⎪ =⎪= =⎨⎪ =⎪⎪

= >⎪⎩

( ) ( )2 2 2 2

: . 4

d c b aR V

m

− −=

Exerciţiul 9.6.3

a) Să se demonstreze inegalitatea:

( ) ( ) ( )2

b b

a a

dxI f x dx b af x

= ⋅ ≥ −∫ ∫

( ) f x continuă şi pozitivă

( )( )

( )( ) [ ] [ ]1 : , ,

2 D

f x f yI dxdy D a b a b

f y f x⎡ ⎤

= + ×⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫Ind :

b) să se demonstreze inegalitatea:

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2, b b b

a a af x g x dx f x dx g x dx⎡ ⎤ ≤ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫

inegalitatea Buniakovski

( ) ( ) ( ) ( ) 2

Df x g y f y g x dxdy⎡ ⎤⋅ −⎣ ⎦∫ ∫Ind : Se porneşte de la

[ ] [ ] , ,D a b a b= × .

Fie ( ) ( ) ( ) ( ) 20

DB f x g y f y g n dxdy B⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ ⇒ ≥⎣ ⎦∫ ∫

[ ] [ ], , .D a b a b= ×

Dar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 b b b b

a a a aB f x dx g y dy f n g n dx f y g y dy= − ⋅ ⋅ +∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2 b b

a af y dy g x dx+∫ ∫

Deci: ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 b b b

a a af x dx g x dx f x g x dx⎡ ⎤≥ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫

c) Să se arate că:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b b

a a a ap x f x dx p x g x dx p x dx p x f x g x dx⋅ ⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫

[inegalitatea lui Cebâşev] unde ( ) ( ) [ ]0 ; ,p x x a b≥ ∀ ∈ iar ( ) , ( )f x g x monoton crescătoare.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b b

a a a ap x g x dx p x dx p x f x dx p x g x dxΔ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫Ind :

x y→ în al doilea factor :

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b

a ap x f x p y g x g y dxdyΔ = ⋅ ⋅ −∫ ∫

(1) x yinversãm rolurile lui şi .

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) - ( ) b b

a ap y f y p x g y g x dxdyΔ = ⋅ ⋅∫ ∫

(2) ⇒Din (1) şi (2)

[ ] [ ]1 ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) - ( )2

b b

a ap x p x f x f y g x g yΔ = ⋅∫ ∫

0Δ ≥Deci şi inegalitatea este demonstratã.

Exerciţiul 9.6.4. Să se calculeze următoarele integrale duble:

a)

1

: 2

D

xy

y x dxdy D y xx

=⎧⎪

⋅ =⎨⎪ =⎩

∫ ∫ In ( )5: 2 2 18

R −In

b) ( )0

2 : 0 4 4 - 5 0

D

xx y dxdy D y

x y

=⎧⎪+ =⎨⎪ + =⎩

∫ ∫ cos sin ( )1: 1 2 24

R π + −

c) ( )2 2 9

3 : 2 33

D

x yx y dxdy D

y x

⎧ + ≤⎪+ ⎨

≥ +⎪⎩∫ ∫ 94: - 2

169R

d) ( )

0

: 2D

x

x y dxdy D x

y x

π=⎧

⎪⎪+ =⎨⎪

=⎪⎩

∫ ∫ sin :1 R

e) D

xdxdy∫ ∫ dacã Δ este triunghiul de vârfuri (2;3); (7;2); (4;5). A B C : 26R

f) 22 -

( ) : 2 1D

y xx y dxdy D

y x⎧ =

− ⎨= −⎩

∫ ∫ 4: 415

R

g) 0

: 0

1D

xxy dxdy D y

x y

⎧ =⎪

=⎨⎪ + =⎩

∫ ∫ 1: 280

R

h) 2

2

2 :

1D

xx dxdy D y xy

xy

=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

∫ ∫ 9: 4

R

i) 0

( ) : 0 D

xx y dxdy D y

y π

=⎧⎪+ =⎨⎪ =⎩

∫ ∫ cos : - 2R

j) 0

(2 ) : 0 3

D

xx y dxdy D y

x y

=⎧⎪+ =⎨⎪ + =⎩

∫ ∫ 27: 2

R

k) Să se arate că: ( , ) ( , ) b x b b

a a a adx f x y dy dy f x y dx= ⋅∫ ∫ ∫ ∫

: . : y a

f R x by x

=⎧⎪Δ → Δ =⎨⎪ =⎩

Această egalitate se numeşte formula lui Dirichlet.

Exerciţiul 9.6.5.

a) 22 2 2

2 2 3 : D

x y x yxydxdy Da b c

⎧⎛ ⎞⎪ + =⎨⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎩

∫ ∫ , 0; 0 x y≥ ≥

10 6

1 2

1: 840

a bRc

b) 0

: 0

1D

xx y dxdy D y

x y

⎧ =⎪

+ =⎨⎪ + =⎩

∫ ∫

2: 15

R

4 4 ; 0 .2

x y t t π= = ≤ ≤Ind : cos sin

c) 0

: 0

1

n n

D

xx y dxdy D y

x y

⎧ =⎪

=⎨⎪ + =⎩

∫ ∫

( )( )

24 1 !!2:

1 8 6 !!n

Rn n

⎡ ⎤+⎣ ⎦+ +

d) 3 0

: 0

1

D

xx y dxdy D ya b

x ya b

⎧⎪ =⎪⎛ ⎞ ⎪+ =⎜ ⎟ ⎨⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪⎪ + =⎪⎩

∫ ∫

4

4

0 ; 0 1 2

x a t

y b t t

δπδ δ

=

= ≤ ≤ ≤ ≤

Ind : cos

sin

2:21

R ab⋅

e)

2

22

2

2

0sin : 0D

x ayx by a bx xy dxdy D

p qy y pxy qx

⎧ =⎪

= < <⎪⎨ < <=⎪⎪ =⎩

∫ ∫

2 2 ; .x y y xη ξ= =Ind :

: pb pa qb qaRp q− −

−sin sin sin sin

f) D

xydxdy∫ ∫

3

33 2

2

2

) : : ;

y axy bx

a D Ind y x y ny pxy qx

ξ η

⎧ =⎪

=⎪ = =⎨=⎪

⎪ =⎩

3 2

3 23 2) : . .

y axy bxb D Ind y x y ny ny x

ξ ηαβ

⎧ =⎪

=⎪ = =⎨=⎪

⎪ =⎩

Ind: a) 3 2;y x y xξ η= ⋅ =

b) 3 2 ;y x y xξ η= ⋅ =

( )( )

6 6 8 85 5 5 5

4 4 10 10

5: ) 48

1 ) 40

R a I a b q p

b I b a α β

− −

− −

⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

= − −

g) Sã se calculeze aria unui patrulater mărginit de :

2

2

1 ) )

xy p x pyxy q x qycy an y axy bx y bx

⎧= =⎧⎪⎪ = =⎪ ⎪

⎨ ⎨= =⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎩ ⎩

2

2

2 ) )

xy p x y pxy q x y q

dy ax y ax

y bxy bx

=⎧ + =⎧⎪ ⎪= + =⎪ ⎪⎨ ⎨= =⎪ ⎪⎪ ⎪ == ⎩⎩

xy p qy n a b

ξ ξη η= ≤ ≤= ≤ ≤

Ind :

Exerciţiul 9.6.6.

a) Să se calculeze 2 2

14 9D

x y dxdy− −∫ ∫

unde 2 2

: 1 04 9x yD + − ≤

b) Să se calculeze D

xydxdy∫ ∫

unde 1

: 52

xyD

x y

=⎧⎪⎨

+ =⎪⎩

c) Să se calculeze 2

Dy x dxdy−∫ ∫

unde [ ] [ ]: 1,1 0,1 .D − ×

d) Să se calculeze D

y xdxdy∫ ∫ In

unde

1

:2

xy

D y xx

=⎧⎪

=⎨⎪ =⎩

e) Să se calculeze 4 4

Dx y dxdy∫ ∫

unde 0

: 0

1

xD y

x y

⎧ =⎪

=⎨⎪ + =⎩

f) Să se calculeze D

xydxdy∫ ∫

unde

3

3

2

2

:

y axy bx

Dy pxy qn

⎧ =⎪

=⎪⎨

=⎪⎪ =⎩

Fie: 1) ( , ); ( , )P x y Q x y continue pe 2D ⊆ R .

2) ; P Qy x

∂ ∂∂ ∂

continue pe 2D ⊆ R .

atunci ( )( )

( ) , ,D

C

Q PP x y dx Q x y dy dxdyX y

⎛ ⎞∂ ∂+ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

Exerciţiul 9.6.7. Să se calculeze folosind formula lui Green şi în mod direct următoarele integrale curbilinii pe conturul închis ( )C .

a) ( )( )

( )22 22C

x y dx x y dy+ + +∫ ; unde ( )C sânt laturile

( ) ( ) ( ) 1;1 ; 2;2 ; 1;3 .ABC A B C⎡ ⎤Δ ⎣ ⎦

b) ( )

- 2 2 ; C

x ydx xy dy+∫ unde ( )C este circumferinţa cercului

2 2 2 .x y R+ =

c) ( )( )

2 2 2 2

C

x y dx y xy In x x y dy⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ; unde ( )C este conturul ce

închide patrulaterul 1) ( )1 4

:0 2

xC

y≤ ≤⎧

⎨ ≤ ≤⎩;

2) ( ) 2 2: 4 6 12 0C x y x y+ − − + = .

d) ( )

2 2 - C

xy dy x ydx∫ ; unde curba ( )C este:

Exerciţiul 9.7.1. a) ( ) [ ] [ ] [ ] . 0; 0; 0;

Vx y z dxdydz V a b c+ + = × ×∫ ∫ ∫

( )2 2 21: 2

R a bc ab c abc+ +

V

) d d db δ θ ϕ δ θ∫ ∫ ∫ sin [ ]0, 0,2 0, .2 2

V π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

:R π

c) V

xyz dxdyxyz∫ ∫ ∫

In [ ] [ ] [ ]0;1 0;1 0,1V = × ×

d) ( )3

00

01

1

V

xydxdydz Vzx y zx y z

=⎧⎪ =⎪= ⎨ =+ + + ⎪⎪ + + =⎩

∫ ∫ ∫

1 5 : 2 . 2 8

R ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠In

e)

2 2 2

2 2 2 1 0

V

x y zzdxdydz V a b c

x

⎧+ + ≤⎪= ⎨

⎪ ≥⎩∫ ∫ ∫

2 :

4abcR π

f)

2 2 22 2 2

2 2 22 2 2

0 0

V

x y zx y z dxdydz V a b ca b c z

⎧⎛ ⎞ + + ≤⎪+ + = ⎨⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪ ≥⎩

∫ ∫ ∫

4: 5

R abcπ

g) ( )2

2 2 22 :

V

hz x yzdxdydz V Rz h

⎧= +⎪

⎨⎪ =⎩

∫ ∫ ∫

2 2 :

4R hR π

h)

00

: V

xy

xdxdydz Vy hx z a

=⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ + =⎩

∫ ∫ ∫

2

:6

a hR

i) 2 2 2 2 2

2 2 2

: 2

V

z

z dxdydz V x y z Rx y z R

⎧⎪ + + ≤⎨⎪ + + ≤⎩

∫ ∫ ∫partea comunã a abciselor :

j) ( )2 2

2

2 2 2 2

2 :

3V

x y azx y z dxdydz V

x y z a

⎧ + ≤⎪+ + ⎨+ + ≤⎪⎩

∫ ∫ ∫

k) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 : 0

V

y z xx y z dxdydz V x y z R

x

⎧ + ≤⎪

+ + + + ≤⎨⎪ ≥⎩

∫ ∫ ∫

l)

2 2 2

0 : 0

000

V

z y xc b a

z cx

xy dxdydz V yz x

yz

⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪ =⎪

=⎪⎪ =⎨⎪ ≥⎪

≥⎪⎪ ≥⎪⎪⎩

∫ ∫ ∫

Exerciţiul 9.7.2.

a) ( )

[ ] [ ] [ ]42 2 2

; 0,1 0,1 0.1V

xyz dxdydz Vx y z

= × ×+ +

∫ ∫ ∫

1: 192

R

b) [ ] [ ] [ ]; 0, 0, 0,V

xyz dxdydz V a b c= × ×∫ ∫ ∫

2 2 2

: 8

a b cR

c) [ ] [ ] [ ]; 0,1 0,1 0,11V

dxdydz Vx y z

= × ×+ + +∫ ∫ ∫

( )8: 31 12 2 27 315

R + +

Exerciţiul 9.7.3. Să se transforme în integrale iterate pentru următoarele domenii:

( ), , V

I f x y z dxdydz= ∫ ∫ ∫

a) V este suprafaţa conică 2 2 2

2 2 2 ;x y za b c

+ = cuprinsă între planele 0z =

. z c=şi b) V este limitat de suprafeţele: 2 21 ; 0.z x y z= − − =

Exerciţiul 9.7.4. Să se calculeze integrala:

a) ( )3

00

; 01

1

V

xydxdydz Vzx y zx y z

=⎧⎪ =⎪= ⎨ =+ + + ⎪⎪ + + =⎩

∫ ∫ ∫

1 5: 22 8

R ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ln

b) 2 2 2

2 2 2 ; 1V

x y zz dxdydz Va b c

= + + ≤∫ ∫ ∫

2 :

4abcR π

c) 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2; 1V

x y z x y zdxdydz Va b c a b c

⎛ ⎞+ + = + + ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫

4 : 5abcR π

d) ( )2

2 2 22

4 ; :

V

z x yz dxdydz V Rz h

⎧= +⎪

⎨⎪ =⎩

∫ ∫ ∫

2 2 :

4R hR π

e)

00

; : 0V

xy

x dxdydz V zy hx z a

=⎧⎪ =⎪⎪ =⎨⎪ =⎪

+ =⎪⎩

∫ ∫ ∫

3

: 6

a hR

f) 2 2 2 2

22 2 2

; : 2V

x y z Rz dxdydz V

x y z Rz

⎧ + + ≤⎪⎨

+ + ≤⎪⎩∫ ∫ ∫

559: 480

R Rπ

g) ( )2 2

2

2 2 2 2

2; :

3V

x y azx y z dxdydz V

x y z a

⎧ + ≤⎪+ + ⎨+ + ≤⎪⎩

∫ ∫ ∫

5 97: 18 3

5 6aR π ⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

h) ( )2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 ; : 0

V

x z xx y z dxdydz V x y z R

x

⎧ + ≤⎪

+ + + + ≤⎨⎪ ≥⎩

∫ ∫ ∫

( )5

: 2 25RR π

−

i) 2 2 2 2 2 2 : :

Vx y z dxdydz V x y z z+ + + + ≤∫ ∫ ∫

: 10

R π

j) 2 2

2 22 2 2

2 ; ( ) :

8V

x y zx y dxdydz V

x y z

⎧ + ≤⎪+ ⎨+ + ≤⎪⎩

∫ ∫ ∫

( )4 5 8

: 5

Rπ π −

Exerciţiul 9.8.1. Să se calculeze:

a) ( )

Sx y z dσ+ +∫ ∫ unde S este suprafaţa 2 2 2 2 ; 0x y z a z+ + = ≥ .

b) ( )S

xy yz z x dσ+ + ⋅∫ ∫ unde S este porţiunea suprafeţei conice 2 2z x y= + decupată de suprafaţa 2 2 2 .x y ax+ =

c) ( )1

Sx y z dσ

−+ +∫ ∫ unde S este porţiunea din planul x y z a+ + =

decupată de planele de coordonate.

d) S

zdσ∫ ∫ unde S este porţiunea din paraboloidul 2 2

2x yz +

= decupată

de cilindrul 2 2 8x y+ = .

e) 2 2

Sx y dσ+∫ ∫ S fiind suprafaţa laterală a conului

2 2 2

2 2 2

x y za a b

+ =

cuprinsă între planele 0z = şi z b= .

f) 2 2 2

4 4 4S

x y z da b c

σ+ +∫ ∫ 2 2 2

2 2 2: 1x y zSa a b

+ + = .

g) 2S

zdσ∫ ∫ 2 2:S z x y= + 1 .z a< <

h) ( )S

xy z dσ+∫ ∫ S fiind porţiunea suprafeţei conice 2 2z x y= +

decupată de planul 1z = . Exerciţiul 9.8.2

Să se calculeze următoarele integrale:

a) 2 2 2 ;S

x dydz y dzdx z dxdy+ +∫ ∫ S fiind suprafaţa interioară a sferei 2 2 2 2x y z a+ + = .

b) ;S

xdydz ydzdx zdxdy+ +∫ ∫ S fiind suprafaţa exterioară sferei 2 2 2 2x y z a+ + = .

c) ;S

dydz dzdx dxdyx y z

+ +∫ ∫ S fiind faţa exterioară elipsoidului:

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = .

d) 2 2 2z z ;S

x y dydz xy dzdx xyz dxdy+ +∫ ∫ S fiind faţa exterioară a

tetraedrului limitat de planele: 0; 0; 0; .x y z x y z a= = = + + =

e) ;S

zdxdy∫ ∫ S fiind faţa exterioară a elipsoidului: 2 2 2

2 2 2 1 0x y za b c

+ + − = .

f) ;S

x dydz y dzdx z dxdy+ +∫ ∫ S fiind faţa exterioară închisă a cilindrului: 2 2 2x y a+ = .h z h− ≤ ≤

g) ( ) ( ) ( )- ;

Sy z dydz z x dzdx x y dxdy+ − + −∫ ∫ unde S este faţa exterioară

închisă a conului: 2 2z x y= + ; 0 z h≤ ≤ . Ind: Acolo unde este posibil să se calculeze şi folosind formula Gauss-

Ostrogradski. Exerciţiul 9.8.3. Folosind formula lui Stokes să se calculeze: a) ( )

( )( ) ( )

C

y z dx x z dy x y dz+ + + + +∫

( )2 2 2 2

0x y z a

Cx y z

⎧ + + == ⎨

+ + =⎩

b) ( )( )

( ) ( )C

y z dx x z dy x y dz− + − + −∫

( )2 2 1

1x y

Cx y

⎧ + == ⎨

+ =⎩

c) ( )

( ) ( )C

xdx x y dy x y z dz+ + + + +∫

( )( ) [ ] 0, 2

x a tC y a t

z a t t t π

⎧ =⎪

= =⎨⎪ = + ∈⎩

sincossin cos

d) ( )

2 2 2

C

y dx z dy x dz+ +∫ ( )C fiind perimetrul AB DA al triunghiului ABD

unde ( ,0,0); (0, ,0); (0,0, ).A a B a C a e)

( )

2 3

C

x y dx dy zdz+ +∫

( )2 2 2

0x y a

Cz

⎧ + == ⎨

=⎩

f) ( )( )

( ) ( )2 2 2 2 2 2

C

y z dx x z dy x y dz− + − + −∫ ( )C fiind conturul obţinut prin

intersecţia cubului [ ] [ ] [ ] 30, 0, 0, .2aa a a x y z× × + + =cu planul

ANEXĂ Această anexă cuprinde unele integrale importante ale analizei matematice.

A1. a) 2 ;nxdxx∫

sinsin

b) ( )2 1

n x

dx nx

∗+∈∫

sinsin

N

a) Deoarece ( ) ( )1 1

2 2 2 2 2 2 1n n

k knx kx k x x k x

= =

⎡ ⎤= − − = −⎣ ⎦∑ ∑sin sin sin sin cos

Se obţine:

( )

( ) ( )1

1 1

2 2 2 1

2 12 cos 2 1 2

2 -1

n

k

n n

k k

nxdx k x dxx

k xk xdx

k

=

= =

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠−

= − =

∑∫ ∫

∑ ∑∫

sin cossin

sin

Aşadar ( )

1

2 12 22 -1

n

k

k xnxdx Cx k=

−= +∑∫

sinsinsin

b) În mod analog se obţine: ( )

1

2 1 222

n

k

n x kxdx x Cx k=

+= + +∑∫

sin sinsin

A2. În calculul integral sunt foarte utile următoarele recurenţe:

a) ( )

1 11 2 22 2

1 2 1 122n nn

x nJ Jnna ax a

+−

= ⋅ + ⋅ ⋅+

unde

( )

1

2 2; 1, 2,...n n

dxJ nx a

= =−

∫

b) ( ) ( )

2 212 1 22 2

1 1 2 32 22 1n nn

x nJ Jna n ax a

−−

−= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

−− +

( )

2

2 2; 2n n

dxJ nx a

= ≥−

∫

c) ( ) 21 2 2

3 32

1n

n n

n ax a xJ Jn n

−

−

−+= − ⋅

3

2 2 2

n

nx dxJ n

a x= ≥

+∫

d) ( ) 21 2 2

4 42

1n

n n

n ax x aJ Jn n

−

−

−⋅ −= + ⋅

4

4

2 2, 2n

x dxJ nx a

= ≥−

∫

e) ( ) ( )

2 25

22 1 2

21 1n nn

a x nJ Jn a x n a −−

+ −= − − ⋅

− ⋅ ⋅ −

5

2 2, 2n n

dxJ nx x a

= ≥−

f) ( ) ( )

2 26 6

22 1 2

21 1n nn

x a nJ Jn a x n a −−

− −= − − ⋅

− ⋅ ⋅ −

6

2 2, 2n n

dxJ nx x a

= ≥−

∫

g) ( ) 21 2 2

7 72

1, 2

n

n n

n ax x aJ J nn n

−

−

−−= − − ⋅ ≥

7

2 2

n

nxJ dx

a x=

−∫

h) ( ) ( )

2 28 8

22 1 2

21 1n nn

a x nJ Ja n x a n −−

− − −= + ⋅

− ⋅ −

8

2 2, 2n n

dxJ nx a x

= ≥−

∫

i) ( )91

nn nJ x x n J −= − ⋅ln

( )9 , 1nnJ x dx n= ≥∫ ln

j) 1

10 102

1n

n nx x nJ Jn n

−

−

⋅ −= − + ⋅

sin cos

10 , 2nnJ xdx n= ≥∫sin

k) 1

11 112

1n

n nx x nJ Jn n

−

−

⋅ −= + ⋅

cos sin

11 , 2nnJ xdx n= ≥∫cos

l) 1

12 1221

n

n nxJ J

n

−

−= −−

tg

12 , 2nnJ xdx n= ≥∫ tg

m) 1

13 1321

n

n nxJ J

n

−

−= −−

ctg

13 , 2nnJ xdx n= ≥∫ctg

n) ( )

14 1421

211n nn

x nJ Jnn x −−

−= − + ⋅

−− ⋅cos

sin

14 , 2n n

dxJ nx

= ≥∫ sin

o) ( )

15 1521

211n nn

x nJ Jnn x −−

−= + ⋅

−− ⋅sin

cos

15 , 2n n

dxJ nx

= ≥∫ cos

Ind: Relaţiile de recurenţă a)÷o) se obţin utilizând integrarea prin părţi. A3. Recurenţe des utilizate în analiza matematică pentru integrala definită.

a) 1 12

1n n

nI In −

−=

1 20

, 2nnI xdx n

π

= ≥∫ sin

b) 2 22

1n n

nI In −−

=

2 20

, 2nnI xdx n

π

= ≥∫ cos

c) 3 31

1 12n nI I

n −⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

3 20

, 2nnI x nxdx n

π

= ≥∫ cos sin

d) 1 1., , 11n m n m

mI In −= −+

1 2, 0

nn mI x nxdx

π

= ∫ cos cos

A4. a) Fie : [0, ) f R∞ → astfel încât Dacă:

1. f integrabilă pe 0,2π⎛ ⎤

⎜ ⎥⎦⎝;

2. ( ) ( )f x f xπ+ = 3. ( - ) ( )f x f xπ =

Atunci: ( )0

xf x dxx

∞

∫sin convergentă şi ( ) ( )2

0 0

xf x dx f x dxx

π∞

=∫ ∫sin .

b) Fie , : [ , )f a Rϕ ∞ → Dacă:

1. ( ) 0 ( ) ;f x x a> ∀ ≥ 2. ( )xϕ derivabilă, crescătoare şi ( )x xϕ ≥ 3. f şi ϕ integrabile pe orice interval compact din [ )0,∞

4. ( )( ) ( )( )

1f x x

qf x

ϕ ϕ′⋅≤ < ( )1≥respectiv

Atunci: ( )0

f x dx∞

∫ convergentă (respectiv divergentă).

c) Fie : [ , ) f a R∞ → Dacă:

1. ( ) 0 ( ) ;f x x a> ∀ ≥ ; 2. f integrabilă pe orice compact inclus în [ )0,∞

3. există r R∈ astfel încât ( ) x r∀ > atunci

( ) ( )( ) ( ) 0

x

f xq x q x

f xα

α→∞

⎡ ⎤− + >⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦lim inf

unde 0α > Atunci: ( )

af x dx

∞

∫ convergentă (respectiv divergentă).

d) Fie , : [ , ) f g a R∞ → Dacă:

1. ( )( ) 0, >0, ( ) 0;f x g x x> ∀ ≥ 2. f şi q integrabile pe orice compact din [ )0,∞

3. există 0α > astfel încât ( )

( )1

x

f xp

f xα

α→∞

⎛ ⎞− = >⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

lim inf

Atunci: ( )a

f x dx∞

∫ convergentă (Criteriul Kumer).

e) Fie : [ , ) f a R∞ → Dacă:

1. ( ) 0 ( ) ;f x x a> ∀ ≥ 2. f integrabilă pe orice compact din [ )0,∞

3. există 0α > astfel încât ( )

( )1

x

f xp

f xα

α→∞

⎛ ⎞− = >⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

lim inf

Atunci: ( )a

f x dx∞

∫ convergentă (Criteriul Raabe).

f) Fie : [ , ) f a R∞ → Dacă:

1. ( ) 0 ( ) ;f x x a> ∀ ≥

2. f integrabilă pe orice compact din [ )0,∞

3. ( ) x∀ suficient de mare ( )

( )( )1 n

f x xf x x x

ϕμλα += + +

+ unde , Rλ μ ∈ ;

, 0α μ > şi : [ , ) a Rϕ ∞ → mărginită

Atunci: ( )a

f x dx∞

∫ convergentă ( )( ) ( ) ( ) { } ( ), 1, , 1 ,λ μ α∀ ∈ ∞ × −∞ ∞ ∪ × ∞

(Criteriul Gauss). g) Fie : [ , ) f a R∞ → . Dacă:

1. f integrabilă pe orice compact din [ )0,∞

2. ( )1

1x

f x π→∞

<lim

Atunci: ( )a

f x dx∞

∫ convergentă (Criteriul rădăcinii).

h) Fie : [ , ) f a R∗∞ → . Dacă: 1. f integrabilă pe orice compact din [ )0,∞

2. ( )1

x

f xx→∞

ln

limln

Atunci: ( )a

f x dx∞

∫ este convergentă (Criteriul logaritmic).

A5. [ ] [ ] [ ]2 31 2 3

dxx x x

∞

+ +∫ x +∈ R [ ]x =partea întreagă a lui X .

Dacă [ ]1n x n x n< < + ⇒ = n∈ N

Atunci [ ] [ ] [ ] ( )( )

1 1

2 3 2 3

11 22 32 3

n n

n n

dx dxn n nn n nx x x

+ += =

+ ++ ++ +∫ ∫ .

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

( )( )

11 1

2 3 2 3 2 31 11

1

1

2 3 2 3 2 3

1 1 1 2 4

nn n k

kn n k

n

n k

dx dx dxx x x x x x x x x

k k k

−+ +

→∞ →∞=

−

→∞=

= = =+ + + + + +

= =+ +

∑∫ ∫ ∫

∑

lim lim

lim

Deci [ ] [ ] [ ]2 31

142 3

dxx x x

∞=

+ +∫

A6. 0

xI dxx

∞= ∫

sin

( )12

0 2

;n

nn

xI dxx

π

π

∞ +

⋅=

= ∑∫sin Se consideră că 2n m= şi se obţine integrala

( )2 12

22

m

m

x dxx

π

π

+

⋅∫sin

(*) Dacă se foloseşte substituţia x m tπ= + integrala (*) devine

( ) ( )2 1

2 202

2

1m m

m

x tdx dtx m t

π π

π π+

⋅= − ⋅

+∫ ∫sin sin

(**) De asemenea se consideră 2 1n m= − şi se obţine integrala:

( )

22

2 12

m

m

x dxx

π

π

⋅

−∫sin

(***) Dacă se foloseşte substituţia x m tπ= − integrala (***) devine:

( ) 1 20

1 m t dtm t

π

π−− ⋅

−∫sin

(****) Prin însumarea relaţiilor (**), (****) se obţine:

( )20

1

1 11 m

m

tdt tdtt t m t m

π

π π

∞

=

⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟+ −⎝ ⎠∑∫

sin sin

Pentru 0,2

t π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ seria ( )

1

1 11 m

mt

t m t mπ π

∞

=

⎛ ⎞− +⎜ ⎟+ −⎝ ⎠∑ sin este uniform

convergentă, deoarece este majorată de seria 21

1 114

m mπ

∞

= −∑ . Fiind uniform

convergentă se poate integra termen cu termen. Aşadar se obţine:

( )20

1

1 1 11 m

m

I t dtt t m t m

π

π π

∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎢ ⎥+ −⎝ ⎠⎣ ⎦∑∫ sin

2 20 0 2

tI dt dt It

π π π= + ⇒ =∫ ∫

sin

Deci 0 2

xdxx

π∞=∫

sin

Ţinând cont de acest rezultat se poate afirma că funcţia sinus integral

0x dt

t∞

= ∫sintsi este bine definită. Acest mod de a arăta că

0 2xdx

xπ∞

=∫sin

aparţine lui Lobacevski.

A7. a) ( )20 2ax bx dx b a

xπ∞ −

= −∫cos cos

b) ( )2 2 2 2

20

a x b xe e dx b ax

π− ⋅ − ⋅∞ −

= −∫

c) ( ) ( )

( )2 2 2 2

20

1 1a x b xdx b a

xπ

∞ + ⋅ − + ⋅= −∫

ln ln

Ind: Aceste rezultate se obţin integrând prin părţi.

A8. 0

, 02

0

, 02

xdxx

π αα α

π α

∞

⎧ >⎪⎪

= =⎨⎪⎪− <⎩

∫

pentrusin 0, pentru

pentru

Ind: Acest rezultat este evident dacă se ţine cont că 0 2

xdxx

π∞=∫

sin .

A9. 0

, 2

0,

x xdxx

π α β

α πβ α β

α β

∞

⎧ >⎪⎪⎪⋅ = =⎨⎪

<⎪⎪⎩

∫

pentru

sin cos , pentru4

pentru

Ind: Rezultatul este evident dacă se ţine cont de A.8 şi de egalitatea: ( ) ( )

0 0 0

1 .2

x xx xdx dxx x x

α β α βα β∞ ∞ ∞⎡ ⎤+ −

⋅ = +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫sin sinsin cos

Integrala 0

x xdxxα β

∞⋅∫

sin cos poartă denumirea de “factorul discontinuu al

lui Dirichlet”.

A10. Dacă ( )f x este integrabilă impropriu pe 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦ atunci:

a) ( ) ( )20 0

xf x dx f x dxx

π∞

⋅ =∫ ∫sin

b) ( ) ( )220 0

xf x dx f x dxx

π∞

⋅ =∫ ∫2sin

Ind: Folosind A4 a) şi metoda lui Lobacevski utilizată în A6 se obţin din A10.

A11. (Integrala lui Laplace)

a) 2 20 2x dx e

xαββ π

αα∞ −= ⋅

+∫cos

b) 2 20 2x xdx e

xαββ π

α∞ −= ⋅

+∫sin , 0α β >

a) Punând ( )2 2

2 2 0

1 t xe dtx

α

α∞ − +

=+ ∫ atunci

( )2 2

2 20 0 0

t xx dx xdx e dtx

αβ βα

∞ ∞ ∞ − +=

+∫ ∫ ∫cos cos . Ţinând cont de propoziţia 4.1.4 şi

de faptul că 2

24

0

12 4

tx te xdx eβπβ

−∞ − = ⋅∫ cos se obţin 2 20 2x dx e

xαββ π

αα∞ −= ⋅

+∫cos .

b) Se derivează în raport cu β egalitatea de la punctul a). A12. (Integralele Fresnel)

2 2

0 0

12 2

x dx x dx π∞ ∞= =∫ ∫sin cos

Se face schimbarea de variabilă 2x t= şi se obţine: 2

0 0

12

tx dx dtt

∞ ∞=∫ ∫

sinsin

respectiv 2

0 0

12

tx dx dtt

∞ ∞=∫ ∫

coscos .

Se observă că:

2

0

1 2 t ue dtt π

∞ − ⋅= ∫

(*) Ţinând cont de (*) se obţine:

2

0 0 0

1 t ut dx tdt et π

∞ ∞ ∞ − ⋅=∫ ∫ ∫sin sin

(**) Folosind permutarea integralelor din (**) se obţine:

0 2t dx

tπ∞

=∫sin

În mod asemănător se procedează pentru 0

tdtt

∞

∫cos şi se obţine

2 2

0 0

12 2

x dx x dx π∞ ∞= =∫ ∫sin cos .

Observaţie: Pentru a putea fundamenta mai uşor permutarea integralelor conform cu propoziţia 4.1.4 se utilizează factorul ( ) 0kte k− > şi se utilizează

integrala 0

ktt e dtt

∞ −∫sin .

A13. Fie ( ){ }2, 0; 0; 1D x y x y x y= ∈ ≥ ≥ + ≤R , , 1p q ≥ şi [ ]: 0,1ϕ → R funcţie

continuă atunci ( ) ( ) ( )11 1 1

0.p q p q

Dx y x y dxdy B p q u u duϕ ϕ− − + −+ ⋅ =∫ ∫ ∫ .

Această egalitate poartă denumirea de formula lui Liouville. Se consideră schimbarea de variabilă dată de transformarea:

( )1 v

:v

x uT

y u⎧ = −⎪⎨

= ⋅⎪⎩

Aceasta transformare admite inversă şi aceasta este:

1 :v

u x yT y

x y

−

= +⎧⎪⎨ =⎪ +⎩

Aceaste transformări stabilesc o corespondenţă biunivocă între triunghiul D şi pătratul [ ] [ ]0,1 0,1 .Δ = × Jacobianul transformării este

( )( )

,, v

D x yJ u

D u= = .

Cu această schimbare de variabilă se obţine: ( ) ( ) ( )

1 111 1 1 1

0 0v 1 v vpp q q p q

Dx y x y dxdy d u u duϕ ϕ−− − − + −+ ⋅ = − ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ .

Deci ( ) ( ) ( )11 1 1

0,p q p q

Dx y x y dxdy B p q u u duϕ ϕ− − + −+ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ .

Observaţie: Dacă se consideră ( ) 1uϕ ≡ se obţine

( )11 1 1

0,p q p q

Dx y dxdy B p q u du− − + −⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ .

Adică ( )1 1 ,p q

D

B p qx y dxdy

p q− −⋅ =

+∫ ∫ numită formula lui Dirichlet.

A14. Fie S o suprafaţă închisă cu două feţe şi n normala de suprafaţă în

punctul ( ), ,M x y z al suprafeţei corespunzătoare uneia din feţe. Dacă

( ), ,A a b c este un punct fix şi r distanţa de la A la M atunci:

( )( ) 2

,4

S

r nd

rσ π=∫ ∫

cos sau

( )2

,0

S

r nd

rσ =∫ ∫

cos ( ),r n este unghiul dintre

AM r= şi normala n . Integrala ( )2

,S

r nd

rσ∫ ∫

cos poartă denumirea de

integrala lui Gauss, ( ) ( ) ( )2 2 2r x a y b z c= + + − + − . Dacă

,α β γcos cos ,cos sunt cosinuşii directori ai normalei n , atunci:

( )2 3 3 3

3 3 3

, - -

- -

S S

S

r n x a y b z cd dr r r r

x a y b z cdxdy dxdz dxdyr r r

σ α β γ σ−⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

−=

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

coscos + cos + cos

+ +

Dacă suprafaţa S este închisă şi nu înconjoară pe ( ), ,A a b c , atunci

( )2

,0

S

r nd

rσ =∫ ∫

cos(este îndeplinită condiţia 0P Q R

x y z∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

).

Dacă suprafaţa S este închisă dar înconjoară pe ( ), ,A a b c , atunci integrala are aceiaşi valoare.

De aceea, pentru calculul ei se consideră sfera cu centrul în ( ), ,A a b c şi

rază .R În acest caz, ( ), 1r n =cos şi atunci:

( ) 2

2 2 2

, 1 1 4 4 .S S

r nd d R

R R Rσ σ π π= = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

cos

BIBLIOGRAFIE

1. Fihteholt G.M. – Curs de calcul diferenţial şi integral, vol. 1, 2, 3. Editura Tehnică, Bucureşti 1963, 1964, 1965

2. Nicolescu M., Dinculeanu N., Marcus S. – Analiză matematică, vol. I-II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1971

3. Roşculeţ M. – Analiză matematică, Bucureşti 1966

4. Olaru V., Halanay A., Turbatu S. – Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1983

5. Olaru V. – Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1981

6. Gheorghiu N., Precupanu T. – Analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1979

7. Aramă L., Morozan C. – Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral, vol. 1, Editura Tehnică, Bucureşti 1978

8. Găină Şt., Cîmpu E., Bucur Gh. – Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral, vol. II-III, Editura Tehnică, Bucureşti 1966, 1967

9. Demidovitch B. – Requeil d’exercises et de problemes d’analyse matematique, Edition mir. Moscou

10. Gunter N.E., Kuzmin K. – Culegere de probleme de matematici superioare, vol. I-II, Editura Tehnică, Bucureşti 1950

11. Sireţchi Gh. – Calcul diferenţial şi integral, vol. I-II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1985

12. Flondor D., Donciu N. – Culegere de probleme de algebră şi analiză matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1979

13. Dogaru Gh., Colţescu I. – Culegere de probleme de analiză matematică. Calcul integral, vol. II, Editura Academiei Navale “Mircea cel Bâtrân”, Constanţa 1990

14. Dogaru Gh., Colţescu I. – Analiză matematică. Calcul integral. Ecuaţii diferenţiale. Funcţii complexe, Editura Academiei Navale “Mircea cel Bâtrân”, Constanţa 2000