SUR LE ROLE DES CIRCUITS DANS LES RESEAUX DE GENES
Christophe Soulé
IHES, 18 Mars 2010
A B
BA
A
A inhibe B
A active B
Problème :
Quelles propriétés dynamiques d’un réseau
de gènes peut-on inférer de la topologie du graphe
d’interactions associé (en l’absence de données
quantitatives sur ces interactions)?
Un circuit positif
Modèle différentiel
Soit n un entier et = { suites de n nombres réels}.
Fixons une application différentiable ,
et considérons le système d’équations différentielles
[[ Pour tout est la concentration dela protéine au temps .]]
On s’intéresse aux états stationnaires
de ce système, c’est-à-dire aux zéros
de la fonction F. Un zéro x de F est
dit non-dégénéré si la matrice jacobienne
JF(x) est inversible.
Soit G(x) le graphe à n sommets possédant
une arête positive (resp. négative) de i vers k
si la dérivée partielle est positive
(resp. négative).
Théorème :
Supposons que F possède deux zéros
non dégénérés. Alors il existe un point x
tel que le graphe G(x) contienne un circuit
positif.
Conjecture (Thomas) :
La présence d’un circuit négatif de longueur au moins deux est une condition nécessaire à la stabilité périodique.
Théorème (Richard-Comet) :
Si le système dx/dt = F(x)possède une solution périodique stable,le graphe G contient un circuit négatif de longueur au moins deux.
Soit G la réunion des graphes G(x).
Modèle Booléen
Soit = {0,1}n et F :
une application quelconque.
Un état stationnaire est un point fixe de F.
[[ Un point de indique quels gènes
sont actifs au temps t, et son image par F
indique quels gènes sont actifs au temps t+1]]
Si x est un point de et i un entier entre1 et n, on note y le point de qui a les mêmescoordonnées que x sauf sa i-ème coordonnée.
Le graphe G(x) possède une arête positive(resp. négative) de i vers k si F(x)k est différent de F(y)k et xi égale (resp. diffère de) F(x)k.
Le graphe d’interaction G(x) est défini commesuit: il a n sommets.
Théorème (Rémy-Ruet-Thieffry) :
Si F possède plusieurs états stationnaires
il existe un point x dans tel que G(x)
contienne un circuit positif.
Théorème (Richard) :
Si F possède un attracteur cyclique,le graphe G contient un circuit négatif.