Systemy liczbowe
opracowanie: Agata Idczak
System liczbowy
to inaczej zbiór reguł do jednolitego zapisywania i nazywania liczb.
dla każdego systemu liczbowego istnieje zbiór znaków, za pomocą których tworzy się liczby. Znaki te zwane cyframi można zestawiać ze sobą na różne sposoby otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.
Dziesiętny system liczbowy
zwany też systemem decymalnym lub
arabskim to pozycyjny system liczbowy,
w którym podstawą pozycji są kolejne
potęgi liczby 10. Do zapisu liczb
potrzebne jest więc 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9.
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. Część całkowitą i ułamkową oddziela separator dziesiętny
Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach.
Dziesiętny system liczbowy
Dwójkowy system liczbowy
(inaczej binarny) to pozycyjny system
liczbowy, w którym podstawą pozycji
są kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu
liczb potrzebne są więc tylko dwa
znaki: 0 i 1.
powszechnie używany w informatyce.
System binarny to system, dzięki któremu powstały maszyny cyfrowe w tym i komputery. Komputer składa się z części elektronicznych, gdzie wymiana informacji polega na odpowiednim przesyłaniu sygnałów. Podstawą elektroniki jest prąd elektryczny, który w układach elektronicznych albo płynie albo nie. Komputer rozpoznaje sygnały i interpretuje płynący prąd jako "1", a jego brak jako "0". Operując odpowiednim ustawieniem, kiedy ma płynąc prąd, a kiedy nie ustawia różne wartości zer i jedynek. Procesor konwertuje je na liczby i w ten sposób powstają czytelne dla nas obrazy, teksty, dźwięk itp
Dwójkowy system liczbowy
liczba zapisana w dziesiętnym systemie
liczbowym jako 10, w systemie
dwójkowym przybiera postać 1010,
gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10
Dwójkowy system liczbowy
Obliczanie wartości binarnej liczby zapisanej w systemie dziesiętnym
zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:30 ÷ 2 = 15 reszty 015 ÷ 2 = 7 reszty 17 ÷ 2 = 3 reszty 13 ÷ 2 = 1 reszty 11 ÷ 2 = 0 reszty 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca reszty, które nam wyszły.
Tak więc 3010 = 111102
Dwójkowy system liczbowy
Konwersji (zamiany) liczby w systemie dziesiętnym na system dwójkowy można dokonać poprzez wielokrotne dzielenie przez 2 i spisywanie reszt z dzielenia. Podczas dzielenia można otrzymać reszty 0 albo 1. Przy ilorazie równym zero należy spisać ostatnią resztę i odczytać ciąg utworzony z reszt zaczynając od ostatniej, kończąc na pierwszej. Utworzony w ten sposób ciąg jest reprezentacją binarną liczby dziesiętnej
Dwójkowy system liczbowy
Obliczanie wartości dziesiętnej
liczby zapisanej w systemie
dwójkowym
111102 =11110=
1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 =
1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1
= 16 + 8 + 4 + 2 = 30
Dwójkowy system liczbowy
127 ÷ 2 = 63 reszty 1 19 ÷ 2 = 9 reszty 163 ÷ 2 = 31 reszty 1 9 ÷ 2 = 4 reszty 131 ÷ 2 = 15 reszty 1 4 ÷ 2 = 2 reszty 015 ÷ 2 = 7 reszty 1 2 ÷ 2 = 1 reszty 07 ÷ 2 = 3 reszty 1 1 ÷ 2 = 0 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1 1910 =
(10011)2 1 ÷ 2 = 0 reszty 1
12710 = (1111111)2
Dwójkowy system liczbowy
Dodawanie liczbDo wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji:
0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10
Dwójkowy system liczbowy
Mnożenie liczbMnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:
0 ∙ 0 = 00 ∙ 1 = 01 ∙ 0 = 01 ∙ 1 = 1
Dwójkowy system liczbowy
Odejmowanie można zastąpić
dodawaniem, jeżeli utworzy się
dopełnienie odejmowanej liczby.
Dzielenie w układzie dwójkowym to
wielokrotne odejmowanie
Dwójkowy system liczbowy
System ósemkowy, zwany też oktogonalnym. Podstawą tego systemu jest liczba 8 i posiada on osiem cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Liczba 8 to trzecia potęga dwójki. Każdym trzem cyfrom systemu binarnego (dwójkowego) odpowiada jedna cyfra systemu ósemkowego.
System ten więc jest również wykorzystywany w informatyce.
Ósemkowy system liczbowy
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż:
• 1×82 + 4×81 + 4×80 = 64 + 32 + 4 = 100.
Ósemkowy system liczbowy
Przykład zamiany liczby z systemu dziesiętnego na system ósemkowy100:8 = 12 reszty = 4 12:8 =1 reszty = 4 1:8= 0 reszty = 1 Teraz czytamy od dołu: 144 w systemie oktalnym to 100 w systemie dziesiętnym.
Ósemkowy system liczbowy
Szesnastkowy system liczbowy
system różny od tego, którego używamy na co dzień. Różni się o tyle, że bazuje na liczbie 16, a więc potrzebuje 16 znaków za pomocą, których można zapisać dowolną liczbę. Szesnastkowy system liczbowy jest właściwy komputerom, ponieważ pozwala na zapis większych liczb w mniejszych przestrzeniach pamięci.
Szesnastkowy system liczbowy
W systemie szesnastkowym wyróżniamy 16 cyfr:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Często system szesnastkowy jest
określany nazwą Hex od słowa stworzonego przez firmę IBM hexadecimal.
Szesnastkowy system liczbowy
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi znaków, z których każdy jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w hex przybiera postać 3E8, gdyż:
3×162 + 14×161 + 8×160 =
= 768 + 224 + 8 = 1000.
Szesnastkowy system liczbowy
Hex jest powszechnie używany w informatyce, ponieważ wartość pojedynczego bajtu można opisać używając tylko dwóch cyfr szesnastkowych. W ten sposób można kolejne bajty łatwo przedstawić w postaci ciągu liczb hex. Jednocześnie zapis 4 bitów można łatwo przełożyć na jedną cyfrę hex.
Szesnastkowy system liczbowy
Dla przykładu: 216 = 65.536dec = 1.0000hex
224 = 16.777.216dec = 100.0000hex
232 = 4.294.967.296dec = 1.0000.0000hex
216-1 = 65.535dec = FFFFhex
224-1 = 16.777.215dec = FF.FFFFhex
232-1 = 4.294.967.295dec = FFFF.FFFFhex
FFFFhex, FF.FFFFhex i FFFF.FFFFhex są krótsze i
łatwiejsze do zapamiętania.
Konwersji (zamiany) liczby w systemie dziesiętnym na system heksadecymalny można dokonać poprzez wielokrotne dzielenie przez 16 i spisywanie reszt z dzielenia. Przy ilorazie równym zero należy spisać ostatnią resztę i odczytać ciąg utworzony z reszt zaczynając od ostatniej, kończąc na pierwszej. Utworzony w ten sposób ciąg jest reprezentacją szesnastkową liczby dziesiętnej.
Dziesiętny system liczbowy