2
Ciri-ciri Taburan Normal
Ia adalah taburan selanjar
Ia adalah taburan simetri
Ia adalah asimtot kepada paksi
Ia adalah uni-modal
Ia adalah keluarga kepada keluk
Keluasan di bawah keluk ialah 1.
Keluasan disebelah kanan min ialah 1/2.
Keluasan disebelah kiri min ialah 1/2.
5
Taburan Normal Piawai
Taburan normal dengan
– Min sifar, dan
– Sisihan piawai 1
xZ
Formula Z
– mempiawaikan sebarang taburan normal
Skor Z
– dikira dengan formula Z
– nombor sisihan piawai dimana nilainya adalah menyisih dari min
-
6
Taburan Normal Piawai
xZ
Formula Z
– mempiawaikan sebarang taburan normal
Z = jarak antara x dan µ dalam unit σ
x = nilai min sampel
µ = nilai min populasi
σ = sisihan piawai populasi
x
7
Jadual Z
Second Decimal Place in Z
Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.00 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.10 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.20 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.30 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.90 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389
1.00 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.10 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830
1.20 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
2.00 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
3.00 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
3.40 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998
3.50 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998
Note: terdapat beberapa bentuk Jadual Z, pengguna perlu tahu bentuk jadual yang digunakan dan cara untuk membacanya.
10
Jadual Kebarangkalian Normal Piawai
P Z( ) .0 1 0 3413
Z 0.00 0.01 0.02
0.00 0.0000 0.0040 0.0080
0.10 0.0398 0.0438 0.0478
0.20 0.0793 0.0832 0.0871
1.00 0.3413 0.3438 0.3461
1.10 0.3643 0.3665 0.3686
1.20 0.3849 0.3869 0.3888
11
Contoh 1
Graduate Management Aptitude Test (GMAT) banyak
digunakan untuk keperluan memasuki sekolah siswazah
pengurusan di USA. Andaikan skor GMAT adalah
bertaburan normal, kebarangkalian mencapai skor
melebihi berbagai jeda GMAT boleh ditentukan. Di dalam
beberapa tahun kebelakangan, min skor GMAT ialah 494
dan sisihan piawai lebih kurang 100. Apakah
kebarangkalian skor yang dipilih secara rawak daripada
ujian GMAT ini di antara 600 dan nilai min? Iaitu,
13
1.06 100
106
100
494 - 600
- X Z
Z 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
0.4 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808
0.5 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157
0.6 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486
0.7 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794
0.8 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078
0.9 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340
1.0 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577
1.1 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790
1.2 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980
1.3 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147
P(485 X 600) = P(0 Z 1.06) = 0.3554
Z=0 Z=1.06
0.3554
14
Contoh 2Apakah kebarangkalian memperolehi skor lebih besar daripada 700
pada ujian GMAT jika min ialah 494 dan sisihan piawai 100?
P(X > 700)| = 494 dan = 100) = ?
X = 700 = 494
= 100
X > 700
2.06 100
206
100
494 - 700
- X Z
Z=2.06Z=0
Dari jadual Z:
Z=2.06 -> 0.4803
0.500
0.4803
P(Z>2.06) = 0.5000 - 0.4803
= 0.01970.0197
15
Contoh 3Bagi ujian GMAT yang sama, apakah
kebarangkalian skor kurang daripada 550?
P(X <550)| = 494 dan = 100) = ?
= 494
= 100X=550
0.56 100
56
100
494 - 550
- X Z
Z=0.56Z=0
Keluasan di bawah keluk bagi
Z = 0.56 ialah 0.2123
0.500 0.2123 P(X <550) = P(Z < 0.2123)
= 0.5000 + 0.2123
= 0.7123
16
Contoh 4
Apakah kebarangkalian memperolehi skor
kurang daripada 400 di dalam ujian GMAT?
P(X <400)| = 494 dan = 100) = ?
X=400 = 494
= 100
0.94- 100
94-
100
494 - 400
- X Z
Z=-0.94 Z=-0.94
P(Z<-0.94)=P(Z>0.94)
= 0.5000 – 0.3264
= 0.1735
0.5000 0.5000
0.3264 0.32640.1735 0.1735
17
Contoh 5
Apakah kebarangkalian memperolehi skor
di antara 300 dan 600 untuk ujian GMAT
yang sama?
P(300 X < 600| = 494 dan 100) = ?
X = 300 = 494 X = 600
= 100
1.06 100
106
100
494 - 600
- X Z
94.1 100
194-
100
494 - 300
- X Z
Z=-1.94 Z=0 Z=1.06
0.35540.4738
P(-1.94 < Z < 1.06) = 0.3554 + 0.4738
= 0.8289
18
Contoh 6Apakah kebarangkalian untuk mem-perolehi
skor di antara 350 dan 450 bagi ujian GMAT
yang sama?
X = 350 X=430 = 494
= 100
1.44- 100
144-
100
494 - 350
- X Z
0.44- 100
44-
100
494 - 450
- X Z
P(-1.44 < Z < -0.44) = 0.4251 - 0.1700
= 0.2551Z=-1.44 Z= -0.44
0.1700
0.4251
0.2551
P(X 350 < X < 450| = 494 dan = 100) = ?
19
Contoh 7
Kementerian Kebudayaan dan Pelancongan menerbitkan kos
perjalanan untuk beberapa bandar di Malaysia. Khususnya, mereka
menerbitkan kos perbelanjaan hotel. Jika 86.65% daripada kos hotel
di Johor Baharu adalah kurang daripada RM449 dan jika sisihan
piawan kos hotel ialah RM36, apakah purata kos hotel di Johor
Baharu? Andaikan kos hotel adalah bertaburan normal.
= ? X = RM449
= RM36
86.65%
0.3665
P(Z < z) = 0.3665
z = ???????
20
RM36
- RM449 1.11
- X Z
Z 0.00 0.01 0.02 0.03
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907
P(Z < z) = 0.3665
z = 1.11 = RM449 – (RM36)(1.11)
= RM449 – RM39.96
= RM409.04
21
Pengujian Hipotesis dalam Taburan Normal z
Contoh 1:
Ho: µ = 72 da Ha: : µ > 72 pada aras α = 0.05 dengan nilai x = 73 dan
sisihan piawai = 2.373
Untuk menentukan samada nilai x (73) adalah besar dari 72 adalah
mengguna skor z.
Langkah 1: Cari kawasan tolak Ho, iaitu α = 0.05.
Rujuk Jadual Taburan Normal Z , 0.05 = 1.645 (nilai z sifir)
Langkah 2 : Dapatkan z kiraan
Keputusan: z kiraan<z sifir, maka gagal tolak Ho
Kawan tolak Ho:
Z = 1.645 atau α = 0.05
0.4214 2.373
1
2.373
72 - 73
- X Z
22
Pengujian Hipotesis dalam Taburan Normal z
Contoh 2:
Ho: µ = 0.5 da Ha: : µ < 0.5 pada aras α = 0.01 dengan nilai x = 0.46
dan sisihan piawai = 0.011
Untuk menentukan samada nilai x (0.46) adalah kecil dari 0.5 adalah
mengguna skor z.
Langkah 1: Cari kawasan tolak Ho, iaitu α = 0.01.
Rujuk Jadual Taburan Normal Z , 0.01 = -2.33 (nilai z sifir)
Langkah 2 : Dapatkan z kiraan
Keputusan: z kiraan>z sifir, maka tolak Ho
3.636- 0.011
0.04-
0.011
0.5 - 0.46
- X Z
Kawan tolak Ho:
Z = -2.33 atau α = 0.01
23
Pengujian Hipotesis dalam Taburan Normal z
Kawan tolak Ho:
Z = ± 1.96 atau α = 0.05/2Contoh 3:
Ho: µ = 72 da Ha: : µ ≠ 72 pada aras α = 0.05 dengan nilai x = 73 dan
sisihan piawai = 2.373
Untuk menentukan samada nilai x (73) adalah besar dari 72 adalah
mengguna skor z.
Langkah 1: Cari kawasan tolak Ho, iaitu α = 0.05.
Rujuk Jadual Taburan Normal Z , 0.05/2 = ± 1.96 (nilai z sifir)
Langkah 2 : Dapatkan z kiraan
Keputusan: z sifir -ve <z kiraan<z sifir +ve, maka gagal tolak Ho
0.4214 2.373
1
2.373
72 - 73
- X Z