INSTITUCION EDUCATIVA MARCO FIDEL SUREZ

FECHA: MAYO 20 DE 2013NOMBRE DE LOS ESTUDAINTES: _____________________________________ _____________________________________ _____________________________________

GUA DE TRABAJO Repasemos pre-saberes

Siguiendo las instrucciones del docente realizamos las siguientes actividades. 1. Determinas por extensin el conjunto de los meses del ao. 2. analizamos la siguiente situacin: Diego, muy contento, le comenta a sus compaeros de curso sobre el empleo que consigui su papa en la fbrica. Diego cuenta los pormenores del empleo as: mi pap ganar un salario mensual, mientras dura el periodo de prueba, de $450.000 mensuales; si mi pap demuestra buenas capacidades para asumir el cargo durante el primero y los aos siguientes, recibir un aumento de $150.000 cada ao. Los compaeros comparten la alegra de Diego y juntos se ponen a realizar las cuentas sobre los sueldos que recibir el pap de Diego durante los tres primero s aos:

AO SALARIO MENSUAL CADA AO 1 S1 = 450.000 + 150.000 = 450 + (150.000*1) = 600.0002 S2 = 450.000 + 150.000 + 150.000 = 450 + (150.000*2) = 750.0003 S3 = 450.000 +150.000 + 150.000 + 150.000 = 450 + (150.000*3) =900.0004 ? =??5 ? =??Analizada la situacin, respondemos: a. Qu observas en las cuentas realizadas por Diego y sus compaeros? b. Cul ser el sueldo que devengar el pap de Diego durante el 4 y 5 ao? c. Cmo obtienes el trmino siguiente en el anterior ejercicio? d. mediante que funcin se puede representar el salario mensual durante cada ao? e. Define con tus propias palabras los trminos sucesin y serie.

3. Realizamos lectura grupal de la siguiente informacin. Las partes que estn en negrita y cursiva las consignamos en el cuaderno. Aprendamos algo ms

En muchas situaciones diarias como las que acabamos de analizar, se emplea el termino sucesin por presentarse un orden definido en los elementos. Cuando nombremos conjuntos por extensin y determinemos cada uno de los elementos en un orden estricto, estamos formando una sucesin. Ejemplo: los meses del ao, los das de la semana, los nmeros dgitos, etc. En matemticas se presentan situaciones en las cuales entre los conjuntos de figuras o de nmeros existe alguna relacin que permite verlos como secuencias. Estas secuencias se forman a partir de ciertos patrones o de ciertas reglas lgicas.

Una sucesin es una funcin definida del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los nmeros reales. f: Z+ RPara designar una sucesin se usa la expresin {an} de este modo {an}= {a1, a2, a3, a4, a5an} donde a1 es el primer trmino, a2 es el segundo trmino, a3 es el tercer trmino, an es el ensimo, y as sucesivamente. El trmino an, que ocupa el ensimo lugar de la sucesin, es llamado trmino general.

Si el trmino general esta expresado en una frmula, se puede hallar el nmero de trminos que se quiera en la sucesin. Por ejemplo: Dada la sucesin 2, 5, 10, 17, 26, 37, analicemos el comportamiento de sus trminos y definamos el trmino general o trmino ensimo que permitan identificar la frmula o regla que cumplen: Tenemos la sucesin propuesta 2, 5, 10, 17, 26, 37,Cada trmino puede escribirse de la siguiente forma: 2 = 1 + 15 = 4 + 110 = 9 + 117= 16 + 126= 25 + 137= 36 + 1Observamos que el trmino 1 es constante y los otros sumandos son los cuadrados de los naturales: 1, 2, 3, 4, Luego: 2=(12) + 15=(22) + 110=(32) + 117=(42) + 126=(52) + 137=(62) + 1Como nos hemos podido das cuenta el trmino general es an = n2 + 1, donde n NAnalicemos el desarrollo de los siguientes ejemplos: EJEMPLO 1 La sucesin {an}= {3, 5, 7, 9, 11,} tiene como trmino general la expresin an = n2 + 1Para n = 1, a1 = 2(1) + 1 = 3Para n = 2, a2 = 2(2) + 1 = 5Para n = 3, a3 = 2(3) + 1 = 7

EJEMPLO 2 Escribir los cinco primero trminos de cada sucesin:

a) {an}= 3nb) {an}= 2n 1Solucionemos: Para encontrar los cinco primeros trminos se reemplazan los nmeros 1, 2, 3, 4, 5 en cada frmula del trmino general. a) an = 3na1 = 3(1) = 3a2 = 3(2) = 6a3 = 3(3) = 9a4 = 3(4) = 12a5 = 3(5) = 15Luego an = {3, 6, 9, 12, 15,}

b) an = 2n 1 a1 = 2(1) 1 = 1a2 = 2(2) 1 = 3a3 = 2(3) 1 = 5a4 = 2(4) 1 = 7a5 = 2(5) 1 = 9Luego an = {1, 3, 5, 7, 9,}

EJEMPLO 3 Deducir la frmula del trmino general en la siguiente sucesin: a) {an}= {4, 7, 10, 13,} Los nmeros dados en esta sucesin corresponden a: 4 = 3(1) + 1 7 = 3(2) + 1 10 = 3(3) + 1 13 = 3(4) + 1 Luego, an = 3*n + 1

Una sucesin es un arreglo de n elementos, en un orden definido que cumple las siguientes condiciones: a. Debe tener un primer trmino. b. Cada elemento debe tener un sucesor inmediato, establecido mediante cierta regla. Los elementos del conjunto obtenido se llaman trminos de la sucesin, y en frmula general se pueden expresar o denotar as: a1, a2, a3,an. En una sucesin se cumple que: a. A partir de n- trminos de la sucesin y analizando el comportamiento de ellos se puede hallar el trmino general o trmino ensimo. b. Dado el trmino ensimo de la sucesin se puede calcular un nmero determinado de ellos. Una sucesin infinita es una funcin cuyo dominio (conjunto de partida) es el conjunto de los nmeros naturales (enteros positivos) y el rango, recorrido o conjunto de llegada, es el conjunto de los nmeros reales.

AFB. 1 * 20. 2 * 21. 3 * 22. 4 * 23. 5*24

1.2.3.4.5.

Apliquemos

1. Escribe los seis primeros trminos de cada sucesin:

a) an = 2 + 2n b) an = nc) an = n + 2n2d) an = e) an = (n + 1)2 f) an = (n + 3)2

2. encontrar la frmula que corresponde al termino general de cada una de las siguientes sucesiones:

a) {an} = {4, 7, 10, 13, }b) {an} = {7, 14, 21, 28, }c) {an} = {3, 6, 11, 18, 27, }d) {an} = {2, 3, 10, 15, 26, 35, }e) {an} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, }Continuemos aprendiendo

La suma de los trminos de una sucesin recibe el nombre de serie. Analicemos este trmino (serie) en el siguiente ejemplo: Dada la sucesin {an} = {1, 3, 5, 7, 9,} se puede encontrar la suma de sus cinco primeros trminos as: a1+ a2+a3+a4+a5

13579 = Lo anterior se puede representar utilizando la letra griega sigma: . As la expresin:

Que se lee: sumatoria desde uno hasta cinco de an representa la suma de los 5 primeros trmimnos de una sucesion cuyo trmino general es an. Ejemplo: 1. Encontrar la suma de los 5 primeros trminos de cada sucesion: {an} = {4, 8, 12, 16, 20,}Solucin La suma de los trminos 4 + 8 + 12 + 16 + 20 = 60 2. Caacular el valor de cada sumatoria:

CONSIGNAR PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS La sumatoria de una adicion de sucesiones es igual a la adicion de las sumatorias de cada sucesion:

La sumatoria de una diferen cia es igual a la diferencia de las sumatorias de cada sucesin.

La sumatoria de una constante por una sucesion es igual a la constante por la sumatoria de la sucesion.

Ejemplo: Si an = 2n y bn = n2, hallar el valor de cada sumatoria. a) + )

b) Solucion: Alicando las propiedades enunciadas se tiene: a) .

= (2 + 4 + 6) + (1 + 4 + 9) = 12 + 14 = 26

b) .

1. Hallar la frmula que corresponde al trmino general de cada sucesion y encontrar la suma de los primeros trminos en cada sucesion: a. {an} = {3, 6, 9, 12, 15, 18, }

b. {an} = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, }

2. Gcalcular el valor de cada sumatoria.

3. Utilizar las propiedades que correspondan:

Ampliando un poco

Analizamos la lectura sigueinte En qu se aplican las sucesiones y progresiones? Muchos fenmenos de la naturaleza se presentan en forma secuencial, por ejemplo, la multiplicacin de poblaciones de animales se realiza en esa forma, cada especie tienen un tiempo promedio de procreacin y como el nmero de individuos depende de las veces que se da ese periodo, resulta una sucesin. En las transacciones financieras como imposiciones, anualidades, ajustes por correccin, et., se usa el inters compuesto, en el cual las cantidades resultantes al final de cada perodo siguen una regla anloga a la dada en la multiplicacin de poblaciones. En msica cada nota de una escala musical tiene una frecuencia, por ejemplo, la nota do5 que corresponde al do central de un piano, tiene una frecuencia de 256 ciclos/segundo o hertzios. La nota do4 corresponde a la escala inferior o inmediatamente supperior, tiene 512 ciclos/segundo. De esta manera la frecuencia de una nota y la de sus octavas ms bajas y ms altas conforman una secuencia de nmeros. Resolvemos en el cuaderno de manera individual 1. Observamos la siguiente secuencia de cubos.

a. Dibujamos los dos trminos siguientes en esta secuencia. b. Qu regularidad observamos en la secuencia de cubos?c. Qu regularidad se observa en la secuencia de las caras ocultas?2. Completamos la sigueinte tabla: Cubos12345678

Nmero de caras

3. Escribimos la expresion que indique el nmero de caras ocultas de acuerdo con el numero de cubos. 4. Resolvemos el siguiente problema: El salario mensual de un operario en una empresa manufacturera es $400.000. este sueldo suele incrementarse de acuerdo con el nmero de das extras que el operario trabaja. Si por un da extra pagan $15.000 y el operario trabaja 7 das extras o adicionales en el mes. a. Cul es el incremento en el salario si se trabaja 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 das extras? b. Si Fabin Ospina trabajo 5 das extra durante el mes pasado, Cunto recibi de sueldo? c. Si Andrs Pulido recibi al final del mes pasado $520.000, Cuntos das extra trabaj? d. Cul es el modelo o la frmula que representa el sueldo con das extras de un operario?

NGELA CRISTINA FRANCO MARTNEZ DOCENTE