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010GMATEMTICA APLICADA II

5E

Matemtica

Aplicada II

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Cpia no autorizada. Reservados todos os direitos autorais.


EditoraAline Palhares

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ndice

010G/

Apresentao............................................................................................................. 7

Lio.1.-.LogaritmosIntroduo................................................................................................................. 9

1..Definio.......................................................................................................... 92..Propriedades.do.Logaritmo.......................................................................... 11

Exerccios.Propostos............................................................................................... 13

Lio.2.-..Noes.de.TrigonometriaIntroduo............................................................................................................... 15

1..Razes.Trigonomtricas.no.Tringulo.Retngulo....................................... 151.1.Teorema.de.Pitgoras.............................................................................. 161.2.Relaes.Trigonomtricas....................................................................... 171.3.Uso.da.Calculadora.Cientfica................................................................ 18

2..Converso.de.Unidades................................................................................. 192.1.Converso.de.Graus.em.Radianos.......................................................... 192.2.Converso.de.Radianos.em.Graus.......................................................... 20


Lio.3.-.Nmeros.ComplexosIntroduo............................................................................................................... 27

1..Definio........................................................................................................ 272..Operaes.com.Nmeros.Complexos........................................................... 28

2.1.Adio.e.Subtrao.................................................................................. 283..Mdulo.e.Argumento..................................................................................... 28

3.1.Mdulo...................................................................................................... 283.2.Argumento................................................................................................ 28

4..Forma.Trigonomtrica.ou.Polar.do.Nmero.Complexo............................. 295..Multiplicao.e.Diviso.de.Nmeros.Complexos.

na.Forma.Trigonomtrica.ou.Polar............................................................. 305.1.Multiplicao........................................................................................... 305.2.Diviso...................................................................................................... 30


Resoluo.dos.Exerccios.Propostos...................................................................... 35

Bibliografia.............................................................................................................. 40

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Apresentao

010G/

Todo.conhecimento.cientfico.acumulado.no.decorrer.de.nossa.his-tria..permeado.pela.matemtica,.e.as.respostas.para.muitas.perguntas.so.dadas.por.ela..Mas.no.estamos.diante.de.uma.cincia.exclusiva.para.cientistas;.a.matemtica.faz.parte.de.nosso.dia-a-dia,.porque.a.usamos.de.forma.intuitiva,.j.que,.mesmo.sem.perceber,.fazemos.clculos.com-plexos..Esse.uso.da.matemtica.pode.ser.definido.como.intuitivo..Mas,.para.nossa.vida.profissional,..preciso.sistematizar.esse.conhecimento;.e..a.que.entra.a.matemtica.como.disciplina.terica..

Para.quem.j.domina.as.operaes.bsicas.de.adio,.subtrao,.multiplicao.e.diviso;.que.j.conhece.fraes,.potenciao,.equaes.do.primeiro.e.do.segundo.grau;.enfim,.para.quem.j.possui.um.conhe-cimento.elementar.da.matemtica,.os. temas.deste. fascculo.podero.parecer.um.pouco.complexos,.mas.nada.que.voc.no.possa.vencer,.com.um.pouco.de.esforo.e.dedicao..

Ainda.que,.em.alguns.momentos,.tenhamos.a.impresso.de.estar.tratando.de.algo.muito.diferente.do.que.j.aprendemos,..preciso.ter.conscincia.de.que.o.que.est.na.base.das.operaes.de.logaritmos,.tri-gonometria.e.nmeros.complexos.so.os.tais.conhecimentos.elementares.da.matemtica..Quer.dizer,.para.um.bom.desempenho.nessa.matria,.no.podemos.perder.de.vista.tudo.aquilo.que.aprendemos.antes...

.importante.lembrar.que,.mesmo.diante.de.estudos.mais.complexos,.existe.o.fascnio.do.desafio..E.a.matemtica..uma.disciplina.fascinante,.que.envolve.raciocnio.e.criatividade..Caso.voc.tenha.ainda.alguma.dvida.sobre.como.a.matemtica.pode.ser.encantadora,.recomendamos.o.excelente.livro.O Homem que Calculava,.de.Malba Tahan.C

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1lio

lio

010G/9

Introduo

A idia de logaritmo transformar opera-es complexas, como potenciao e radi-ciao, em operaes mais simples. Por isso aimportncia de seu estudo, j que constitui umaferramenta para diversas disciplinas, como,por exemplo, as telecomunicaes. Veremos,nesta lio, o que so logaritmos e as suas pro-priedades operatrias.

1. Definio

Logaritmo de um nmero positivo numabase real positiva e diferente de 1 o expoen-te a que tem de se elevar esta base para a ob-teno do nmero.

Sua notao :

logb a = c

Leitura: logaritmo de a na base b igual a c.

Significado: estamos procurando um nmeroc de tal forma que bc = a.

Ento, temos por definio:

logb a = c bc = a

Onde: a o logaritmando, sendo um nmero maior

que zero; b a base do logaritmo, tambm um nmero

maior que zero e diferente de 1; c o logaritmo.

Obs.: quando a base 10, ela pode ser omiti-da. Por exemplo: log2, l-se logaritmo de 2na base 10.

Exemplos:

log2 4

Leitura: logaritmo de 4 na base 2.

Para calcular este logaritmo, faremos:

log2 4 = c 2c = 4

Isto , seguimos a definio de logaritmo.2c = 4 uma equao denominada exponencial.Para resolv-la, temos que deixar as bases iguais.Para tanto, fatoramos o nmero 4, assim:

22412224

=

Na equao exponencial, substitumos o 4por 22.

2c = 42c = 22

Nessa igualdade, observamos que as ba-ses so iguais e, portanto, os expoentes soiguais:

c = 2

Ento, log2 4 2, ou seja, log2 4 = 2

Logaritmos

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010G/10

Leitura: o logaritmo de 4 na base 2 igual a 2.

log3 81

Faremos log3 81 = c 3c = 81

Trabalhando com a equao exponencial

3c = 81, temos:

3c = 3

4

c = 4

Portanto, log3 81 = 4

Leitura: o logaritmo de 81 na base 3 igual a 4.

log3 181

3c

= 1 81

3c

= 1 3

4

Sabemos que 1 = 3-4

, portanto:3

4

3c = 3

-4

c = - 4

Logo, log3 1 = - 481

Leitura: o logaritmo de 1 na base 3 igual a - 4.81

Vejamos outras situaes para o clculo de logaritmo:

log4 32

Para efetuarmos este clculo, continua-mos aplicando a definio de logaritmo, ou seja, log4 32 = c 4

c = 32.

Neste caso, temos que fatorar os nmeros 4 e 32.

4 = 22 e 32 = 2

5

Fazendo a substituio na equao ex-ponencial encontrada, temos:

4c = 32

(22)

c = 2

5

Eliminamos os parnteses fazendo a multiplicao dos expoentes 2 e c, que re-sulta 2c:

22c

= 25

E continuamos normalmente, conside-rando apenas a igualdade entre os expoen-tes:

2c = 5

c = 5 2

Portanto, log4 32 = 52

log9 27

log9 27 = c 9c = 27

(32)

c = 3

3

32c

= 33

2c = 3

c = 32

Antes de continuar seu estudo, faa o

exerccio 1 desta lio.

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010G/11

log9 127

log9 1 = c 9c = 127 27

(32)c = 133

32c = 3-3

|2c = -3

c = - 3 2

Em Telecomunicaes ao estudar, porexemplo, as relaes de potncia de sinais,usamos os logaritmos na base 10.

Vamos escrever logaritmo de 100 na base 10:log 100, ou seja, quando a base do logaritmofor 10, no precisamos escrev-la.

O clculo efetua-se normalmente:

log 100 = c 10c = 100

10c = 102

c = 2

Usando a calculadora cientfica para adeterminao dos logaritmos decimais:

1) No clculo de log 100, digitamos o nmero100, em seguida apertamos a tecla log eaparecer no visor o nmero 2.

Ento log 100 = 2

Isto , 102 = 100

2) Usando a calculadora, vamos determinarlog 12:

Registramos o nmero 12, em seguidaapertamos a tecla log e aparecer no visor onmero: 1,079181.

Ento log 12 = 1,079181

Ou seja, 101,079181 12

2. Propriedades do Logaritmo

Logaritmo de 1 em qualquer base ser sem-pre igual a 0.

logb 1 = 0

Exemplos:

log5 1 = 0

log3 1 = 0

Logaritmo de um nmero qualquer, cuja base o mesmo nmero, ser sempre igual a 1.

loga a = 1

Exemplos:

log5 5 = 1

log6 6 = 1

Logaritmo de uma potncia qualquer, emque a base corresponde base da potncia,ser sempre igual ao expoente da potncia.

loga am = m

Exemplos:

log5 53 = 3

log7 74 = 4

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Exerccios Propostos

010G/13

1 - Calcule:a) log2 32 =

b) log7 49 =

c) log7 1 =

49

d) log 100 =

e) log5 125 =

f) log2 1 =

16

g) log3 243 =

h) log3 1 =

243

i) log2 1.024 =

j) log7 343 =

2 - Calcule:a) log8 32 =

b) log27 243 =

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010G/14

c) log4 1 =

8

d) log25 1 =

125

e) log49 343 =

f) log4 8 =

3 - Calcule:a) log 10 =

b) log 100 =

c) log 1000 =

d) log 10.000=

e) log 0,1 =

f) log 0,01 =

g) log 0,001 =

h) log 0,0001 =Cpia

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2lio

lio

010G/15

Introduo

A trigonometria est relacionada com o es-tudo da medio de tringulos. Problemas re-lacionados topografia, navegao, indstria demoldes, entre muitos, exigem a resoluo detringulos. A trigonometria uma ferramentaimportante para a eletrnica, pois permite, en-tre outras operaes, estabelecer relaes en-tre tenso, corrente e resistncia eltrica.

1. Razes Trigonomtricasno Tringulo Retngulo

O tringulo retngulo caracterizado porter um ngulo interno reto, ou seja, um ngulode 90 graus.

No encontro dos lados AB com BC, temoso ngulo de 90o.Uma vez localizado o ngulode 90o, o lado oposto a ele denominadohipotenusa, e os outros dois lados so os catetos:

No tringulo retngulo, fixando um ngu-lo agudo, por exemplo , podemos estabeleceras relaes trigonomtricas seno (sen), cosseno(cos) e tangente (tg) do ngulo agudo , assimdefinidas:

sen = cateto oposto ao ngulo hipotenusa

cos = cateto adjacente ao ngulo hipotenusa

tg = cateto oposto ao ngulo cateto adjacente ao ngulo

Exemplo:

Considerando o tringulo retngulo:

Determinaremos o seno, o cosseno e a tan-gente do ngulo .

O lado AC, por ser oposto ao ngulo de 90graus, a hipotenusa e sua medida 5 cm. Osoutros dois lados, AB e BC, so os catetos. Comoestamos fixando o ngulo agudo , o lado opos-

Noes deTrigonometria

A

B C

A

B C

Hipotenusa

Cateto

Cateto

A

B C

5 cm

3 cm

4 cm

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010G/16

to a este ngulo denominado cateto oposto, no caso o lado BC, que mede 3 cm. O lado que est formando o ngulo junto com a hipotenusa o cateto adjacente, no exemplo, o lado AB, que mede 4 cm.

Calculando:

sen = cateto oposto ao ngulo

hipotenusa

sen = 35

cos = cateto adjacente ao ngulo

hipotenusa

cos = 45

tg = cateto oposto ao ngulo

cateto adjacente ao ngulo

tg = 34

Observamos ainda que possvel fixar o ngulo C. Dessa forma, o cateto oposto ao n-gulo C mede 4 cm, o cateto adjacente mede 3 cm e a hipotenusa, como vimos, mede 5 cm.

Calculando seno, cosseno e tangente do ngulo agudo C, temos:

senC = cateto oposto ao ngulo C hipotenusa

senC = 45

cosC = cateto adjacente ao ngulo C hipotenusa

cosC = 35

tgC = cateto oposto ao ngulo C

cateto adjacente ao ngulo C

tgC = 43

1.1 Teorema de Pitgoras

Dado o tringulo retngulo:

Vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente do ngulo agudo . Verificamos, porm, que no fornecida a medida da hipotenusa. Para determin-la, utilizamos o Teorema de Pitgoras, que diz o seguinte: o quadrado da medida de hipotenusa igual soma dos quadrados das medidas dos ca-tetos. Ou seja,

(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2

Designando por x a medida da hipo-tenusa, obtemos:

x2 = 122 + 162

x2 = 144 + 256x2 = 400x = 400x = 20

Portanto, a medida da hipotenusa 20.

A

B C16

12

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010G/17

Com essa informao, podemos normal-mente calcular seno, cosseno e tangente dongulo .

sen = cateto oposto ao ngulo

hipotenusa

sen = 16 = 420 5

cos = cateto adjacente ao ngulo

hipotenusa

cos = 12 = 320 5

tg = cateto oposto ao ngulo cateto adjacente ao ngulo

tg = 16 = 412 3

Em circuitos de corrente alternada em srie,fazemos uso do tringulo retngulo, por exemplo:

Podemos atravs do Teorema de Pitgorasencontrar o valor da hipotenusa, representadapela impedncia, esta caracteriza um impor-tante fator eltrico, que estudaremos no curso.

1.2 Relaes Trigonomtricas

A tabela abaixo apresenta as relaestrigonomtricas com os ngulos de 30o, 45o e60o. A partir dos valores de seno, cosseno etangente, possvel calcular as medidas doscatetos e hipotenusa.

Vejamos, de forma prtica, como aplicaresse conhecimento.

Uma escada est apoiada num muro, for-mando com o solo um ngulo de 30o. Qual aaltura do muro, se a escada tem 10 metros decomprimento?

Considerando o muro, a escada e o solo,temos um tringulo retngulo, com hipotenusamedindo 10m e um ngulo de 30o. Queremosdeterminar o valor do cateto oposto a esse n-gulo. Para isso, vamos utilizar a frmula doseno:

sen 30o = cateto oposto ao ngulo de 30o

hipotenusa

Relao trigonomtrica

Seno

Cosseno

Tangente

o o o30 45 60

1 2 32 2 2

3 2 12 2 2

31 3

2

30o

10 m

Murox

X(Reatncias)

Z (impedncia)

R (Resistncia)

Antes de continuaros estudos, faa oexerccio 3 desta

lio.

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010G/18

60o

x

cos60o = cateto adjacente

hipotenusa

1 = x2 252x = 25

x = 25 = 12,52

Portanto, o valor de x 12,5 cm.

1.3 Uso da Calculadora Cientfica

Em Eletrnica, iremos estudar a potnciareal em qualquer circuito de corrente alter-nada e, tambm a fora sobre cargas eltricasem movimento, entre outros conceitos, onde necessria a determinao do seno, cossenoe tangente de um determinado ngulo, sendoa calculadora cientfica, um excelente instru-mento na agilizao dos clculos.

Ao se determinar o seno do ngulo de 65o,faremos:

Digitamos 65 e apertamos a tecla sin e lemosno visor 0,9063

Ento, sen 65o = 0,9063.

Ao se determinar o cosseno do ngulo de 65o,faremos:

Digitamos 65 e apertamos a tecla cos e lemosno visor 0,4226

Ento, cos 65o = 0,4226.

Ao se determinar a tangente do ngulo de 65o,faremos:

Digitamos 65 e apertamos a tecla tan e lemosno visor 2,1445

Ento, tg 65o = 2,1445.

Ao se determinar o seno do ngulo de 82o,faremos:

Digitamos 82 e apertamos a tecla sin e lemosno visor 0,9902

Ento, sen 82o = 0,9902.

12

Consultando a tabela, vemos que o senode 30o igual a . A altura do muro ser x.Assim:

seno 30o = cateto oposto ao ngulo de 30o

hipotenusa

1 = x2 = 10

Resolvendo a igualdade, temos:

2. x = 1 . 102x = 10

x = 102

x = 5

Portanto, o muro tem 5 metros.

Vamos, agora, pensar numa pilha de li-vros apoiada numa estante, com o livro maisprximo da lateral da estante formando umngulo de 60o com a mesma, assim:

A altura do tringulo formado pelo livro,se considerarmos este ngulo, estar corres-pondendo ao cateto adjacente, e temos a hipo-tenusa que vale 25 cm. Assim, a frmula a serutilizada :

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010G/19

Ao se determinar o cosseno do ngulo de 82o, faremos:

Digitamos 82 e apertamos a tecla cos e lemos no visor 0,1392

Ento, cos 82o = 0,1392.

Ao se determinar a tangente do ngulo de 82o, faremos:

Digitamos 82 e apertamos a tecla tan e lemos no visor 7,1154

Ento, tg 82o = 7,1154.

A calculadora pode facilmente dar a medida do ngulo, tendo o valor do seno, cosseno ou tangente.

Assim, se tivermos sen = 0,9063, com o uso da funo arco seno ou sin-1, teremos a indicao no visor 64,9989.

Dessa forma o ngulo 65o

Outros exemplos:

1) Sabendo que cos = 0,4226, determine a medida do ngulo .

Na calculadora, usaremos arco cosseno, basta digitar 0,4226 e apertar a tecla cos-1 e aparecer no visor 65,0011.

Ento, o ngulo 65o

2) Sabendo que tg = 2,1445. determine a medida do ngulo .

Na calculadora, usaremos arco tangente. Digitamos 2,1445 e apertamos a tecla tan-1 e aparecer no visor 64,9999.

Ento, o ngulo 65o

2. Converso de Unidades

Vejamos a medida de um arco usando o radiano (rad) como unidade. Observe as figuras:

2.1 Converso de Graus em Radianos

Para converter graus em radianos, utili-zamos a regra de trs simples, considerando a equivalncia:

360o equivale a 2 radianos

270o equivale a radianos



Por exemplo, para converter 60o em ra-dianos, procedemos assim:

Graus Radianos180 .................................................... 60 ................................ x

Antes de continuar seus estudos,

faa o exerccio 4 desta lio.

2 rad

360o

3 rad2

270o

180o

rad

90o

rad2

32

2

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010G/20

Por se tratar de grandezas diretamenteproporcionais, basta multiplic-las em cruz:

180x = 60

x = 60 , simplificando temos: 180

x = rad 3

Portanto, 60o = rad3

Faamos mais um exerccio: o de conver-ter 70o em radianos.

Graus Radianos180 .............................. 70 ................................ x

180 . x = 70 . 180x = 70

x = 70180

x = 718

Portanto, 70o = 7 rad18

2.2 Converso de Radianos em Graus

Para transformar radianos em graus, fa-zemos o processo inverso.Exemplos:

1) Converta rad em graus: 5

Graus Radianos180 ..............................

x .................................

Multiplicando em cruz temos:

x = 180 . 5

x = 36x = 36o

2) Converta 3 rad em graus:

Graus Radianos180 .............................. x ................................. 3

x = 180 . 3

x = 180 . 3

x = 540o

5

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3lio

lio

010G/27

Antes de continuar seus estudos, faa o

exerccio 1 desta lio.

Introduo

Os nmeros complexos constituem uma extenso dos nmeros reais; eles surgiram a partir da necessidade de se realizar operaes que no campo real no tinham soluo, como a extrao da raiz quadrada de nmeros ne-gativos. Esse conhecimento importante, por exemplo, em eletrnica.

1. Definio

Chamamos de complexo todo nmero composto de duas partes: uma parte real e outra imaginria.

A forma algbrica de um nmero comple-xo dada por:

z = a + bi

Onde: a e b so nmeros reais.

i a unidade imaginria, e igual raiz qua-drada de (- 1), ou seja, i = - 1. Ao elevarmos i ao quadrado, teremos: i2 = (- 1 )2 = - 1.

O nmero real a a parte real do nmero complexo z e o nmero real b a parte ima-ginria do nmero complexo z.

Exemplos:

z = 3 + 5i

z = 3 + 6i

z = 8i

z = 5 7i

Vamos, agora, identificar as partes real e imaginria de alguns nmeros complexos:

8 + 5iParte real: 8Parte imaginria: 5

5 4iParte real: 5Parte imaginria: 4

6 iParte real: 6Parte imaginria: 1

6Parte real: 6Parte imaginria: 0

Nmeros Complexos

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010G/28

2. Operaes comNmeros Complexos

2.1 Adio e Subtrao

Para efetuarmos a adio de nmeros complexos, somamos: parte real com parte real e parte imaginria com parte imagi-nria. Para subtrairmos, fazemos o mesmo: subtramos parte real de parte real e parte imaginria de parte imaginria.

Exemplos:

a) Dados os nmeros complexos: z1 = 3 + 4i e z2 = 5 + 7i. Efetue a soma:

z1 + z2 =

(3 + 4i) + ( 5 + 7i) =3 + 4i 5 + 7i = 2 + 11i

Fizemos a adio algbrica da parte real com a parte real (3 e 5), o mesmo ocorrendo com a parte imaginria (4i e 7i).

z1 z2 =

(3 + 4i) (5 + 7i) =3 + 4i + 5 7i =8 3i

Obs.: lembre-se da regra de sinais na hora de eliminar os parnteses, () com () = (+).

3. Mdulo e Argumento

3.1 Mdulo

O mdulo de um nmero complexo z = a + bi, representado por lzl, est associado a um ponto P representado num plano. Assim:

Destacamos o mdulo de z e indicamos por |z|, que corresponde distncia da ori-gem at P.

Assim,

Exemplos:

O mdulo do nmero complexo z = 4 3i :

O mdulo do nmero complexo z = 4 + i :

3.2 Argumento

O argumento de um nmero complexo z a medida do ngulo . Em Eletrnica, este ngulo poder ser negativo, indicando desta forma a reatncia capacitiva, diferenciando da reatncia indutiva que tem ngulo positivo.

y

b

a0x

P (a, b)

lzl

Antes de continuar seus estudos, faa os

exerccios 1,2 e 3desta lio.

2516

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010G/29

4. Forma Trigonomtrica ouPolar do nmero complexo

Em Circuitos Eltricos, o nmero com-plexo na sua forma trigonomtrica assume aseguinte representao |z|

Por exemplo, considere o nmero com-plexo z = 4 + 3i, vimos que ele se encontra naforma algbrica.

Querendo escrev-lo na forma |z| , te-remos que determinar inicialmente, o mdulo|z| e o ngulo .

Clculo do mdulo de 4 + 3i |z| = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5

Para a determinao da medida do ngulo (argumento), podemos tambm recorrer aarco tangente, representada por arc tg (con-siderando condies bem determinadas, in-versa tangente).

Clculo de arc tg =

arc tg =

arc tg 0,75 = 37o

Ao fazer arc tg 0,75, usando a calculadoracientfica, seguimos o processo:

Digite 0,75 e pressione a tecla tan-1, apare-cer no visor 36,8698976o 37o

Assim, o nmero complexo z = 4 + 3i podeser expresso na forma |z| ficando, ento,5 37o

Outro exemplo:

Escrever o nmero complexo z = 1 + i, naforma |z|

Clculo do mdulo de 1 + i |z| = 12 + 12 = 1 + 1 = 2

Determinao da medida do ngulo (argumento), por arco tangente, representadapor arc tg.

Clculo de arc tg =

arc tg =

arc tg 1 = 45

O nmero complexo z = 1 + i, expresso naforma |z| 2 45o

Para efeito de operaes de adio esubtrao, conveniente fazer a conversopara a forma algbrica z = a + bi, e efetuar aoperao.

Onde a = |z| . cos e

b = |z| . sen

Exemplo:

Escrever o nmero complexo 4 60o naforma algbrica a + bi.

Vamos determinar os valores de a e b,sabendo que:

a = |z| . cos

a = 4 . cos 60o

a = 4 . 1 2a = 2

b = |z| . sen

b = 4 . 3 2

b= 2 3

Ento, a forma algbrica de 4 60o 2 + 2 3 i

ba

34

11

ba

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010G/30

5. Multiplicao e Diviso deNmeros Complexos na FormaTrigonomtrica ou Polar

Utilizando a representao |z| ,vamosefetuar a multiplicao e a diviso dos nme-ros complexos.

5.1 Multiplicao

Neste caso, multiplicamos os mdulos eadicionamos os argumentos:

Sejam z1 = 120 60o e z2 = 150 43

Determine z1 . z2.

Vamos inicialmente multiplicar os mdu-los 120 . 150 = 18.000

Agora vamos adicionar os argumentos60o + 43o = 103o

O resultado : z1 . z2 = 18.000 103o

5.2 Diviso

Neste caso, dividimos os mdulos e sub-tramos os argumentos:

Sejam z1 = 6 45o e z2 = 2 36

o

Determine z1 : z2.

Vamos inicialmente dividir os mdulos6 : 2 = 3

Agora vamos subtrair os argumentos45o - 36o = 9o

O resultado z1 : z2 = 3 9o

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Exerccios Propostos

010G/31

1 - Identifique a parte real e a parte imagi-nria dos nmeros complexos:

a) 8 + 4i

b) 6 10i

c) 7 4i

d) 10 + 15i

e) 8 + 4i

f) 4 + 10i

2 - Efetue as operaes indicadas:

a) (4 + i) (7 + 3i)

b) (3 + 8i) + (10 + 14i)

c) ( 2 + 7i) (7 + 4i)

d) (6 8i) + (4 7i)

e) ( 8 10i) (14 8i)Cpia

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010G/32

b) 6 8i

c) 3 + 4i

d) 3 + 2i

4 - Dados os nmeros complexos a seguir,efetue as operaes indicadas:

a) Sejam z1 = 8 30o e z2 = 4 300

o

Determine z1 . z2.

f) (8 + 5i) (7 + 3i)

g) (1 + i) + (5 + 2i)

h) (3i) + (8 + 6i)

i) (24 + i) (14 2i)

j) (-3 + 7i) + (-2 + 10i)

3 - Determine o mdulo dos nmeros com-plexos:

a) 2 + 3i

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010G/33

b) Sejam z1 = 2 45o e z2 = 3 60

o

Determine z1 . z2.

c) Sejam z1 = 15 45o e z2 = 5 20

o

Determine z1 : z2.

d) Sejam z1 = 90 65o e z2 = 15 35

o

Determine z1 : z2.

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Resoluo dos Exerccios Propostos

010G/35

Lio 1

1 - Calcule:a) log232 =

2c = 322c= 25

c = 5

b) log749 =7c = 497c = 72

c = 2

c) log7 1 =49

7c = 149

7c = 172

7c = 7-2

c = -2

d) log 100 =10c = 10010c = 102

c = 2

e) log5125 =5c = 1255c = 53

c = 3

f) log2 1 =16

2c = 116

2c = 124

2c = 2-4

c = -4

g) log3243 =3c = 2433c = 35

c = 5

h) log3 1 =243

3c = 1243

3c = 135

3c = 3-5

c = -5

i) log21.024 =2c = 1.0242c = 210

c = 10

j) log7343 =7c = 3437c = 73

c = 3

2 - Calcule:

a) log832 =8c = 32(23)c = 25

23c = 25

3c = 5

c = 53

b) log27243 =27c = 243(33)c = 35

33c = 35

3c = 5

c = 53

c) log4 1 = 8

4c = 18

(22)c = 1 23

22c = 2-3

2c = -3

c = -32

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010G/36

d) log25 1 = 125

25c = 1 125

(52)c = 1 53

52c = 5-3

2c = -3

c = - 32

e) log49343 =49c = 343(72)c = 73

72c = 73

2c = 3

c = 32

f) log48 =4c = 8(22)c = 23

22c = 23

2c = 3

c = 32

3 - Calcule:

a) log 10 =10c = 1010c = 101

c = 1

b) log 100 =10c = 100102 = 100c = 2

c) log 1000 =10c = 100010c = 103

c = 3

d) log 10.000 =10c = 10.00010c = 104

c = 4

e) log 0,1 =10c = 0,110c = 10-1

c = -1

f) log 0,01 =10c = 0,0110c = 10-2

c = -2

g) log 0,001 =10c = 0,00110c = 10-3

c = -3

h) log 0,0001 =10c = 0,000110c = 10-4

c = -4

Lio 21 -a)

sen = cateto oposto

hipotenusa

sen = 1213

cos = cateto adjacente

hipotenusa

cos = 513

tg = cateto opostocateto adjacente

tg = 12

5

b)

senC = cateto oposto

hipotenusa

senC = 513

cosC = cateto adjacente

hipotenusa

cosC = 1213

tgC = cateto opostocateto adjacente

tgC = 512

2 -a)

sen = cateto oposto

hipotenusa

sen = 6 = 310 5


hipotenusa

cos = 8 = 410 5


tg = 6 = 38 4

b)

senC = cateto oposto

hipotenusa

senC = 8 = 410 5

cosC = cateto adjacente

hipotenusa

cosC = 6 = 310 5

tgC = cateto opostocateto adjacente

tgC = 8 = 46 3

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010G/37

3 -(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2

x2 = 62 + 82

x2 = 36 + 64

x2 = 100

x = 10

sen = cateto oposto

hipotenusa

sen = 8 = 410 5


hipotenusa

cos = 6 = 310 5


tg = 8 = 46 3

4 -

x8 m

60o

y

cos60o = cateto adjacente

hipotenusa

cos60o = x8

1 = x2 8

x = 4 metros

sen60o = cateto oposto

hipotenusa

sen60o = y8

3 = y

2 8

2y = 83

y = 43 metros

Resposta: a altura do muro de 4 metros e adistncia do muro base da escada de 43metros.

5 - Converter:

a) 40o em rad

b) 50o em rad

c) 100o em rad

=

= =

180

40

180 40

40 2

180 9

x

x

x rad

=

= =

180

50

180 50

50 5

180 9

x

x

x rad

=

= =

180

100

180 100

100 5

180 9

x

x

x rad

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010G/38

d) 120o em rad

e) 310o em rad

f) 200o em rad

6 - Converter:

a) 4 rad em graus6

b) 3 rad em graus4

c) 6 rad em graus5

d) 7 rad em graus3

e) 3 rad em graus5

f) 4 rad em graus3

7 - Usando a calculadora cien-tfica, d o valor:

a) 0,9848

b) 0,2756

c) 8,1443

d) 0,6018

e) 0,8829

f) 0,9657

8 - Usando a calculadora cien-tfica, d o valor:

a) 80o

b) 74o

c) 83o

d) 37o

e) 28o

f) 44o

Lio 3

1 - Identifique:a) 8 + 4iParte real = 8Parte imaginria = 4

b) 6 - 10iParte real = 6Parte imaginria = - 10

=

= =

180

200

180 200

200 10

180 9

x

x

x rad

=

=

=

180

4

6

4180.

6

120

120o

x

x

x

x

=

=

=

180

3

4

3180.

4

135

135o

x

x

x

x

=

= =

180

120

180 120

120 2

180 3

x

x

x rad

=

= =

180

310

180 310

310 31

180 18

x

x

x rad

=

=

=

180

6

5

6180.

5

216

216o

x

x

x

x

=

=

=

180

7

3

7180.

3

420

420o

x

x

x

x

=

=

=

180

3

5

3180.

5

108

108o

x

x

x

x

=

=

=

180

4

3

4180.

3

240

240o

x

x

x

x

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Instituto Monitor

010G/39

c) 7 - 4iParte real = 7Parte imaginria = 4

d) 10 + 15iParte real = 10Parte imaginria = 15

e) - 8 + 4iParte real = - 8Parte imaginria = 4

f) - 4 + 10iParte real = - 4Parte imaginria = 10

2 - Efetue as operaes:

3 - Determine o mdulo:

a) z = 2 + 3i|z| = 22 + 32|z| = 4 + 9|z| = 13

b) z = 6 + 8i|z| = 62 + (- 8)2|z| = 36 + 64|z| = 100|z| = 10

c) 3 + 4i|z| = 32 + 42|z| = 9 + 16|z| = 25|z| = 5

d) 3 + 2i|z| = (-3)2 + 22|z| = 9 + 4|z| = 13

4 - Dados os nmeros comple-xos a seguir, efetue as ope-raes indicadas:

a) z1 . z2 = 32 330o

b) z1 . z2 = 6 105o

c) z1 : z2 = 3 25o

d) z1 : z2 = 6 30o

( ) ( )d ) 6 8i 4 7i6 8i 4 7i 10 15i

+ =

+ =

( ) ( )c) 2 7i 7 4i2 7i 7 4i 9 3i

+ + =

+ = +

( ) ( )a ) 4 i 7 3i4 i 7 3i 3 2i

+ + =

+ =

( ) ( )b) 3 8i 10 14i3 8i 10 14i 13 22i

+ + + =

+ + + = +

( ) ( )e) 8 10i 14 8i8 10i 14 8i 22 2i

=

+ =

( ) ( )g) 1 i 5 2i1 i 5 2i 6 3i

+ + + =

+ + + = +

( ) ( )f) 8 5i 7 3i8 5i 7 3i 15 2i

+ + =

+ + = +

( ) ( )h ) 3i 8 6i3i 8 6i 8 9i

+ + =

+ + = +

( ) ( )j) 3 7i 2 10i3 7i 2 10i 5 17i

+ + + =

+ + = +

( ) ( )i) 24 i 14 2i24 i 14 2i 10 3i

+ =

+ + = +

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Bibliografia

010G/40

IEZZI, GelsonFundamentos da Matemtica ElementarAtual Editora, So Paulo, s/d.

GIOVANNI, Jos RuyBONJORN, Jos RobertoMatemticaEditora FTD, So Paulo, s/d.

DANTE, Luiz RobertoMatemtica - Contexto & Aplicaestica, So Paulo, s/d.

BIANCHINI, EdwaldoPACCOLA, HerbalMatemticaEditora Moderna, So Paulo, s/d.

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Pesquisa de Avaliao

010G - Matemtica Aplicada II

Nome (campo no obrigatrio): _______________________________________________________________

No de matrcula (campo no obrigatrio): _____________________

Curso Tcnico em:Eletrnica Secretariado Gesto de NegciosTransaes Imobilirias Informtica TelecomunicaesContabilidade

QUANTO AO CONTEDO

1) A linguagem dos textos :a) sempre clara e precisa, facilitando muito a compreenso da matria estudada.b) na maioria das vezes clara e precisa, ajudando na compreenso da matria estudada.c) um pouco difcil, dificultando a compreenso da matria estudada.d) muito difcil, dificultando muito a compreenso da matria estudada.e) outros: ______________________________________________________

2) Os temas abordados nas lies so:a) atuais e importantes para a formao do profissional.b) atuais, mas sua importncia nem sempre fica clara para o profissional.c) atuais, mas sem importncia para o profissional.d) ultrapassados e sem nenhuma importncia para o profissional.e) outros: ______________________________________________________

3) As lies so:a) muito extensas, dificultando a compreenso do contedo.b) bem divididas, permitindo que o contedo seja assimilado pouco a pouco.c) a diviso das lies no influencia Na compreenso do contedo.d) muito curtas e pouco aprofundadas.e) outros: ______________________________________________________

Caro Aluno:

Queremos saber a sua opinio a respeito deste fascculo que voc acaba de estudar.

Para que possamos aprimorar cada vez mais os nossos servios, oferecendo um

material didtico de qualidade e eficiente, muito importante a sua avaliao.

Sua identificao no obrigatria. Responda as perguntas a seguir assinalando

a alternativa que melhor corresponda sua opinio (assinale apenas UMA

alternativa). Voc tambm pode fazer sugestes e comentrios por escrito no

verso desta folha.

Na prxima correspondncia que enviar Escola, lembre-se de juntar sua(s)

pesquisa(s) respondida(s).

O Instituto Monitor agradece a sua colaborao.

A Editora.

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QUANTO AOS EXERCCIOS PROPOSTOS

4) Os exerccios propostos so:a) muito simples, exigindo apenas que se decore o contedo. b) bem elaborados, misturando assuntos simples e complexos.c) um pouco difceis, mas abordando o que se viu na lio.d) muito difceis, uma vez que no abordam o que foi visto na lio.e) outros: ______________________________________________________

5) A linguagem dos exerccios propostos :a) bastante clara e precisa.b) algumas vezes um pouco complexa, dificultando a resoluo do problema proposto.c) difcil, tornando mais difcil compreender a pergunta do que respond-la.d) muito complexa, nunca consigo resolver os exerccios.e) outros: ______________________________________________________

QUANTO APRESENTAO GRFICA

6) O material :a) bem cuidado, o texto e as imagens so de fcil leitura e visualizao, tornando o estudo bastante agradvel.b) a letra muito pequena, dificultando a visualizao.c) bem cuidado, mas a disposio das imagens e do texto dificulta a compreenso do mesmo.d) confuso e mal distribudo, as informaes no seguem uma seqncia lgica.e) outros: ______________________________________________________

7) As ilustraes so:a) bonitas e bem feitas, auxiliando na compreenso e fixao do texto.b) bonitas, mas sem nenhuma utilidade para a compreenso do texto.c) malfeitas, mas necessrias para a compreenso e fixao do texto.d) malfeitas e totalmente inteis.e) outros: ______________________________________________________

Lembre-se: voc pode fazer seus comentrios e sugestes, bem como apontaralgum problema especfico encontrado no fascculo. Sinta-se vontade!

PAMD1

Sugestes e comentrios

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