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TÉCNICAS DE CONTEO
Integrantes:• Daniel Alvarado• Andrés Alvarado• Elmer Romero
Nivel:
7mo Nivel
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Técnicas de conteo.
El principio fundamental del conteo:
Si un evento pude suceder o realizarse de n1 maneras diferentes, y si continuando el procedimiento un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes y así sucesivamente entonces el numero de maneras en que los eventos puede realizarse en el orden indicado es el producto: n1.n2.n3.n4….
Ejemplo:6.2.6 = 72 (numero de maneras)26.26.26.10.10.10.10 = 175’ 760.000 (numero de placas)24.26.26.10.10.10.10 = 162’ 240.000
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Notación factorial:El producto de números enteros positivos desde 1 hasta n inclusive se emplea con mucha frecuencia en matemática y lo demostraremos por el símbolo especial n! (se lee n factorial).
Ejemplo:5! = 1.2.3.4.5 = 1208! = 1.2.3.4.5.6.7.8 = 40 320n! = 1.2.3.4…..n0! = 1
Permutaciones:Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama permutación de los objetos (tomados todos la vez). Una ordenación de un numero r de dichos objetos (r<=n), en un orden dado se llama una permutación r ó permutación de los n objetos tomados r a la vez P (n, r).
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Ejemplo:S = {a, b, c}
P(n,r) = n (n-1) (n-2)….(n-r+1)=
P (4,1)= 4 P (4,2)=12 P (4,3) = 24 P (4,4) = 24
a ab ba abc abd acd bcd abcd b c d
b ac ca acb ___ ___ ___ abdc ___ ___ ___
c ad da bac ___ ___ ___ acbd ___ ___ ___
d bc cb bca ___ ___ ___ acdb ___ ___ ___
bd db cab ___ ___ ___ adbc ___ ___ ___
cd dc cba ___ ___ ___ adcb ___ ___ ___
r)!-(n
r)!-(n 1)r-.(n2)-(n 1)-(nn
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Fórmula:
r = n
ESTADISTICAS
!),( nnnP )!(
!),(
rn
nrnP
!1
!
!0
!),( n
nnnnP
!2!.2!.2!.3
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Combinación
Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos tomados r a la vez, es un subconjunto de r elementos. En otras palabras una combinación es una colección de r o n objetos donde el orden no se tiene en cuenta.
Notación
C(n,r) , nCr
Fórmula
C(n,r) =n!
(n - r)! r !
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Ejercicios
Un restaurante tiene 6 postres diferentes. Encuentre el número de formas en las que un cliente puede escoger 2 de los postres.
n 6postres
r 2formas
C (6,2)=6!
(6 - 2)! 2 !
=
C(n,r) =n!
(n - r)! r !
4! 2!
6!
=720
24 x 2= 15 //
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Ejercicios
Un estudiante debe responder 10 de 13 preguntas.
a)Cuántas elecciones hay C (13,10)=13!
3! 10 != 286 //
b)Cuántas habrá si el estudiante debe responder las 2 primeras preguntas
C (11,8)=11!
3! 8 != 165 //
c)Cuántas si el estudiante debe responder la primero o la segunda ¿Pero no ambas?
C (11,9)=11!
2! 9 != 55 P1
P2 C (11,9)=11!
2! 9 != 55
P1+P2=110//
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EjerciciosEl alfabeto inglés tiene 26 letras de los cuales 5 son vocales.
1. Cuántas palabras de 5 letras formadas por 3 consonantes diferentes y 2 vocales diferentes se pueden formar.
26 letras 21 consonantes
5 vocales5 letras
3 consonantes
2 vocales
C (21,3) C(5,2). 5!= 1330x10x120=1'596.000//
2. Cuántas de estas contienen la letra b.
C (20,2) C(5,2). 5!= 190x10x120=228.000//
3. Cuántas contienen la b y la c.
C (19,1) C(5,2). 5!= 19x10x120=22.800//
4. Cuántas empiezan con b y terminan en c
C (19,1) C(5,2). 3!= 19x10x6=1140//
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Ejercicios
5. Cuántas empiezan en b y contienen c.
C (19,1) C(5,2). 4!= 19x10x24=4.560//
6. Cuántas contienen las letras a y b.
C (20,2) C(4,1). 5!= 190x4x120=91.200//
7. Cuántas empiezan en a y contienen b.
C (20,2) C(4,1). 4!= 190x4x24=18.240//
8. Cuántas contienen las letras a,b y c.
C (19,1) C(4,1). 5!= 19x4x120=9120//
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Ejercicios
Adriana tiene tiempo para jugar a la ruleta como máximos 5 veces. En cada juego ella gana o pierde 1 dólar. Ella empieza con 1 dólar y dejará de jugar antes de 5 juegos si pierde todo el dinero.
a) Encuentre el # de formas como puede ocurrir las apuestas.
b) En cuantas de ellas se detendrá entes de jugar 5 veces.
c) Cuántas de ellas le dejará sin dinero.
1
2
3
4 2
2
0
5 3
6 4 4 2
3 1
4 2 2 0
1
02
3 1
4 2 2 0
a) 14 formasb) 2 vecesc) 4 veces
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Introducción a la Probabilidad
Espacio muestral y eventos El Conjunto “S” de todos los resultados posibles de un experimento se llama espaciomuestral “e.m.”. Un resultado particular, es un elemento del espacio muestral sellama puerto muestral. Un evento A es un subconjunto el espacio muestral S, elconjunto vacío y el espacio muestral S de por si, son eventos.Podemos combinar eventos para formar nuevos eventos, utilizando las diferentesoperaciones entre conjuntos.
Es el conjunto que sucede si y solo si A o B o ambos suceden. Es el conjunto que sucede si y solo si A o B suceden simultáneamente. Complemento de A.- Es el evento que sucede si y solo si A no sucede.
2 eventos se llaman mutuamente exclusivos si son disjuntos, es decir, enotras palabras 2 eventos son mutuamente exclusivos si no pueden sucedersimultáneamente.
BA
BACA
...________#
________#)(
Smeeventoelsucederpuedequemanerasde
AeventoelsucederpuedequemanerasdeAP
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Axiomas de Probabilidad
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