Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
TEMA 2Dinámica de fluidos perfectos
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
2.1. Introducción
TÉCNICAS DE ANÁLISIS::
1) VOLUMEN DE CONTROL O ANÁLISIS INTEGRAL
2) PARTÍCULA FLUIDA O ANÁLISIS INTEGRAL
3) ESTUDIO EXPERIMENTAL O ANÁLISIS DIMENSIONAL
2.1. Introducción
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
1) VOLUMEN DE CONTROL O ANÁLISIS INTEGRAL:
- región finita escogida cuidadosamente
- propiedad (masa, energía...): balance a través de la frontera
- método global: no considera detalles del flujo
2.1. Introducción
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2) PARTÍCULA FLUIDA O ANÁLISIS DIFERENCIAL:
- ecuaciones diferenciales básicas del fluido
- soluciones analíticas exactas: solo para geometrías o condiciones de contorno simples
2.1. Introducción
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FLUJOS SIMPLIFICADOS: RESULTADOS DE VALOR PRÁCTICO
TUBERÍAS DE SECCIÓN TRANSVERSAL PEQUEÑA:
- FLUJO UNIDIMENSIONAL: Propiedad (X, t)
2.1. Introducción
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2.2. Ecuación de Reynolds
VOLÚMENES DE CONTROL: FIJOS, MÓVILES, DEFORMABLES....
VOLUMEN DE CONTROL FIJO Y FLUJO UNIDIMENSIONAL
- volumen de control: porción del conducto
- B: propiedad del flujo (masa, cantidad de movimiento o energía)
- : cantidad de B por unidad de masa pequeñadmdB
2.2. Ecuación de Reynolds
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Cantidad B en el volumen de control:
)( dVdmdBB
VCVC ρ∫=
¿POR QUÉ CAMBIA LA PROPIEDAD “B” EN EL FLUIDO CONTENIDO
DENTRO DEL VOLUMEN DE CONTROL EN CADA INSTANTE?
2.2. Ecuación de Reynolds
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Cantidad B en el volumen de control:
)( dVdmdBB
VCVC ρ∫=
Variación de B entre (t, t + dt):
1) Variación de B dentro del VC (fuentes, sumideros): )( dVdmdB
tVC
ρ∫∂∂
2.2. Ecuación de Reynolds
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2) Flujos de B a través del VC:
AVdmdB
dt
dVdmdB
AVdtdmdBdV
dmdB ρ
ρρρ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
2.2. Ecuación de Reynolds
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)( dVdmdB
tVC
ρ∫∂∂
AVdmdB ρ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Variación de B en el fluido que ocupa el volumen de control entre (t, t + dt):
entententsalsalsalVC
VAdmdBVA
dmdBdV
dmdB
tdtdB ρρρ −+
∂∂
= ∫ )(
2.2. Ecuación de Reynolds
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Con más de una entrada y salida en el volumen de control:
∑∑∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
∂∂
=i i
entententi i
salsalsalVC
VAdmdBVA
dmdBdV
dmdB
tdtdB ρρρ )(
2.2. Ecuación de Reynolds
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Flujo no unidimensional o volumen de control arbitrario:
)()( SdVdmdBdV
dmdB
tdtdB
SVC
rr•+
∂∂
= ∫∫ ρρ
ECUACIÓN DE TRANSPORTE DE REYNOLDS
B- masa
- cantidad de movimiento
- energía
2.2. Ecuación de Reynolds
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2.3. Ecuación de conservación de masa o ecuación de continuidad
VOLUMEN DE CONTROL:
mB =
1=dmdm
∫∫∫∫ •+∂∂
==⇒•+∂∂
=SVCSVC
SdVdVtdt
dmSdVdmdBdV
dmdB
tdtdB )(0)()(
rrrrρρρρ
∫ •=S
SdVQ )(rr
ρ FLUJO O CAUDAL MÁSICO
2.3. Ecuación de conservación de la masa o …
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∫∫ •−=∂∂
SVC
SdVdVt
)(rr
ρρ
entententsalsalsalVC
VAVAdVt
ρρρ +−=∂∂∫ )(
ESTACIONARIO:
entententsalsalsalentententsalsalsal VAVAVAVA ρρρρ =⇒−=0
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD:
Flujo unidimensional
2.3. Ecuación de conservación de la masa o …
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ESTACIONARIO E INCOMPRESIBLE:
entsal
entsalententsalsal V
AA
VVAVA =⇒=
cteAvcteAvQ =⇒== ρ
Fluidos incompresibles: mayoría de líquidos, gases si su velocidad es menor que 30% la del sonido
2.3. Ecuación de conservación de la masa o …
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2.4. Ecuación de la cantidad de movimiento
amFrr
=
Vmprr
= dtpd
dtVdmF
rrr
==⇒
⇒= VmBr
VdmdB r
=
)()( SdVdmdBdV
dmdB
tdtdB
SVC
rr•+
∂∂
= ∫∫ ρρ
)()()( SdVVdVVtdt
Vmd
SVC
rrrrr
•+∂∂
= ∫∫ ρρ
2.4. Ecuación de la cantidad de movimiento
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)()()( SdVVdVVtdt
Vmd
SVC
rrrrr
•+∂∂
= ∫∫ ρρ
∑=i
iFdt
Vmd rr)(
1) FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE EL VOLUMEN DE CONTROL:
- Fuerzas de volumen (gravitatorias):
- Fuerzas de superficie (fluidos frontera): Sfr
)( kgfVrr
−=
dVfdSfFV
VS
Si
i ∫∫∑ +=rrr
)()( SdVVdVVt
FSVCi
i
rrrrr•+
∂∂
= ∫∫∑ ρρ
2.4. Ecuación de la cantidad de movimiento
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)()( SdVVdVVt
FSVCi
i
rrrrr•+
∂∂
= ∫∫∑ ρρ
2) ECUACIONES ESCALARES:
)()( SdVVdVVt
FS
XVC
Xi
iX
rr•+
∂∂
= ∫∫∑ ρρ
)()( SdVVdVVt
FS
YVC
Yi
iY
rr•+
∂∂
= ∫∫∑ ρρ
)()( SdVVdVVt
FS
ZVC
Zi
iZ
rr•+
∂∂
= ∫∫∑ ρρ
2.4. Ecuación de la cantidad de movimiento
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)()( SdVVdVVt
FSVCi
i
rrrrr•+
∂∂
= ∫∫∑ ρρ
Ecuación de la cantidad de movimiento
APLICACIÓN: - cálculo de fuerzas ejercidas por el fluido sobre superficies - ecuación: reacción de la fuerza problema
2.4. Ecuación de la cantidad de movimiento
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EJEMPLO: Fuerza causada por el flujo permanente sobre el codo reductor
Volumen de control y distribución de fuerzas
Suposiciones para el flujo en el volumen de control: - permanente - incompresible- unidimensional
)()( SdVVdVVt
dVfdSfSVCV
VS
Srrrrrr
•+∂∂
=+ ∫∫∫∫ ρρ
2.4. Ecuación de la cantidad de movimiento
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)()( SdVVdVVt
dVfdSfSVCV
VS
S
rrrrrr•+
∂∂
=+ ∫∫∫∫ ρρ
1) Permanente y incompresible:
0)( =∂∂
⇒∂∂
∫∫ dVVt
dVVt
VCVC
rrρρ
2.4. Ecuación de la cantidad de movimiento
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)()( SdVVdVVt
dVfdSfSVCV
VS
S
rrrrrr•+
∂∂
=+ ∫∫∫∫ ρρ
2) Unidimensional, componentes horizontal y vertical de la fuerza:
XV
VXS
SX RApApdVfdSf +−=+ ∫∫ ϕcos2211
YV
VYS
SY RWsenApdVfdSf +−−=+ ∫∫ ϕ22
2.4. Ecuación de la cantidad de movimiento
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)()( SdVVdVVt
dVfdSfSVCV
VS
S
rrrrrr•+
∂∂
=+ ∫∫∫∫ ρρ
3) Término de flujo, flujo unidimensional a la entrada y salida:
)(),()( SdVVSdVVSdVVS
YS
XS
rrrrrrr••⇒• ∫∫∫ ρρρ
1111222221111 )cos())(cos()()( AVVVAVVAVVSdVVS
X ρϕρϕρρ −=+−=•∫rr
222111 AVAV ρρ =
2.4. Ecuación de la cantidad de movimiento
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)()( SdVVdVVt
dVfdSfSVCV
VS
S
rrrrrr•+
∂∂
=+ ∫∫∫∫ ρρ
3) Término de flujo, flujo unidimensional a la entrada y salida:
)(),()( SdVVSdVVSdVVS
YS
XS
rrrrrrr••⇒• ∫∫∫ ρρρ
))(())(()( 11122222 AVsenVAVsenVSdVVS
Y ρϕρϕρ ==•∫rr
222111 AVAV ρρ =
2.4. Ecuación de la cantidad de movimiento
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EJEMPLO: Fuerza causada por el flujo permanente sobre el codo reductor
XX RApApF +−= ϕcos2211
YY RWsenApF +−−= ϕ22
11112 )cos()( AVVVSdVVS
X ρϕρ −=•∫rr
))(()( 1112 AVsenVSdVVS
Y ρϕρ =•∫rr
)()( SdVVdVVt
dVfdSfSVCV
VS
Srrrrrr
•+∂∂
=+ ∫∫∫∫ ρρ
111122211 )cos(cos AVVVRApAp X ρϕϕ −=+−
111222 )( AVsenVRWsenAp Y ρϕϕ =+−−
2.4. Ecuación de la cantidad de movimiento
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EJEMPLO: Fuerza causada por el flujo permanente sobre el codo reductor
111122211 )cos(cos AVVVApApRX ρϕϕ −++−=
111222 )( AVsenVWsenApRY ρϕϕ ++=
111122211 )cos(cos AVVVApApK X ρϕϕ −−−=
111222 )( AVsenVWsenApKY ρϕϕ −−−=
2.4. Ecuación de la cantidad de movimiento
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2.5. Ecuación de conservación de la energía ode Bernoulli
edmdE
dmdB
==EB =
)()()()( SdVedVetdt
dESdVdmdBdV
dmdB
tdtdB
SVCSVC
rrrr•+
∂∂
=⇒•+∂∂
= ∫∫∫∫ ρρρρ
dtdW
dtdQ
dtdE
−=Primera ley de la Termodinámica:
- Energía cinética :
- Energía potencial :
- Energía interna :
Ce22
22 VVdm ⇒
Pe gz
u
Energías específicas:
2.5. Ecuación de conservación de la energía o….
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)()2
()()2
(22
SdVugzVdVugzVtdt
dWdtdQ
SVC
rr•+++++
∂∂
=− ∫∫ ρρ
otrosF WWW +=
)()2
()()2
()(22
SdVugzVdVugzVt
SdVPdt
dWdtdQ
SVCSC
otrosrrrr
•+++++∂∂
=•−− ∫∫∫ ρρρρ
2.5. Ecuación de conservación de la energía o….
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
)()2
()()2
()(22
SdVugzVdVugzVt
SdVPdt
dWdtdQ
SVCSC
otrosrrrr
•+++++∂∂
=•−− ∫∫∫ ρρρρ
)()2
()()2
(22
SdVPugzVdVugzVtdt
dWdtdQ
SVC
otrosrr
•++++++∂∂
=− ∫∫ ρρ
ρ
Integrando la expresión a casos de flujos particulares.......
2.5. Ecuación de conservación de la energía o….
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Flujo permanente, incompresible, PERFECTO:
)()2
()()2
(22
SdVPugzVdVugzVtdt
dWdtdQ
SVC
otrosrr
•++++++∂∂
=− ∫∫ ρρ
ρ
dtdW
AVPugzVAVPugzV otros++++=+++ 111
11
21
222
22
22 )
2()
2( ρ
ρρ
ρ
2.5. Ecuación de conservación de la energía o….
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Flujo permanente, incompresible, PERFECTO:
111
1
21
222
2
22 )
2()
2( AVPgzVAVPgzV ρ
ρρ
ρ++=++
1122 AVAV =
ρρ1
1
212
2
22
22PgzVPgzV
++=++
ctePgzV
=++ρ2
2
cteg
Pzg
V=++
ρ2
2
ECUACIÓN DE BERNOULLI
2.5. Ecuación de conservación de la energía o….
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Aplicaciones del teorema de Bernoulli: Teorema de Torricelli
ρρ1
1
212
2
22
22PgzVPgzV
++=++
atmPPP == 21
:0SS ff 01021 ≈⇒= VSVSV
ghVghVVPPgh 222
0022
221 =⇒=⇒++=++ρρ
2.5. Ecuación de conservación de la energía o….
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Aplicaciones del teorema de Bernoulli: Teorema de Torricelli
dtVSQdt )( 0ρ=
Sdhdmdhdt ρ=⇒),(
∫ •=S
SdVQ )(rr
ρ
Tiempo total de vaciado h:gh
SSt 0
0
2=
2.5. Ecuación de conservación de la energía o….