Tema 3: Análisis de sistemas realimentados
Control Automático
3º Curso. Ing. IndustrialEscuela Técnica Superior de Ingenieros
Universidad de Sevilla
Curso 2008-09
Índice
Función de transferencia del sistema en bucle cerrado
Sintonización de un controlador
Análisis de la estabilidad de un sistema
Respuesta en régimen permanente del sistema en bucle
cerrado.
Respuesta en régimen transitorio de un sistema estable.
Dependencia de los polos y ceros de la función de
transferencia del sistema realimentado con los parámetros
del controlador.
Control de sistemas SISO
Control en torno a un punto de trabajo (u0,y0)
Planta
+u0
u(t)
-y(t)
Δu(t)Controlador
r(t) e(t)
(Referencia en valor global)
Control automático
Controladore(t)Δu(t)
Controlador
¿Qué valor darle a los parámetros del controlador (Kp y Ti) para que el sistema en bucle cerrado tenga un comportamiento adecuado?
PI
Control de sistemas SISO
Diseño basado en heurísticaSintonización del controlador por experimentación
Sistema realSistema simulado
Diseño por tablaSintonización del controlador basado en un ensayo experimental
Ziegler-Nichols (Tema 6)Astrom-Hägglund, Ho-Hang-Cao….
Diseño matemáticoAnalizar el sistema dinámico en bucle cerrado y diseñar el controlador para que cumpla una serie de propiedades
Tiempo de subidaError en régimen permanenteRobustez frente a perturbaciones
Diseño analíticoDiseño basado en el lugar de las raícesMoldeo de lazo (diseño en frecuencia)
Control de sistemas SISO
Planta
+u0
u(t)
-y(t)
Δu(t)Controladorr(t)
e(t)
Sistema en bucle cerrado
Si el sistema es no lineal , es muy difícil analizar las propiedades del sistema en bucle cerrado.
Simplificación: Análisis de la respuesta del modelo en variables de error. (Linealizado).
Modelo en variables de error
Para poder definir una serie de propiedades de un sistema dinámico, se define el modelo en variables de error en torno a un punto de trabajo estable (u0,y0) de la siguiente forma:
Sistema+ -
Modelo en variables de error en (u0,y0)
Nota: El modelo depende del punto de trabajo.
Suposición: Condiciones iniciales en el punto de punto de trabajo.
Modelo en variables de error
Modelo en variables de error en (u0,y0)
Modelo lineal
-
Δu(t)Controlador
e(t)
Análisis de la respuesta del sistema linealizado en bucle cerrado. Tanto el sistema linealizado y controlador son sistemas lineales.
Suposición: Condiciones iniciales en el punto de punto de trabajo.
Teoría de sistemas
Hipótesis de diseño: Las propiedades de este modelo nos indican:- Velocidad de respuesta- Capacidad de seguir una señal de referencia que cambia con el tiempo- Robustez frente a perturbaciones- …
Teoría de sistemasTEMA 1. Introducción y fundamentos.
Sistemas dinámicos. Conceptos básicos. Ecuaciones y evolución temporal. Linealidad en los sistemas dinámicos.
TEMA 2. Representación de sistemas.Clasificación de los sistemas. Clasificación de comportamientos. Señales de prueba. Descripción externa e interna. Ecuaciones diferenciales y en diferencias. Simulación.
TEMA 3. Modelado y simulación. Modelado de sistemas. Modelado de sistemas mecánicos. Modelado de sistemas hidráulicos. Modelado de sistemas eléctricos. Modelado de sistemas térmicos. Linealización de modelos no lineales. Modelos lineales. Álgebra de bloques. Simulación.
TEMA 4. Sistemas dinámicos lineales en tiempo continuo. Transformación de Laplace. Descripción externa de los sistemas dinámicos. Función de transferencia. Respuesta impulsional. Descripción interna de los sistemas dinámicos.
TEMA 5. Respuesta temporal de sistemas lineales. Sistemas dinámicos lineales de primer orden. Ejemplos. Sistemas dinámicos lineales de segundo orden. Respuesta ante escalón. Sistemas de orden n.
TEMA 6. Respuesta frecuencial de sistemas lineales.Función de transferencia en el dominio de la frecuencia. Transformación de Fourier. Representación gráfica de la función de transferencia. Diagramas más comunes. Diagrama de Bode.
TEMA 7. Estabilidad.Estabilidad de sistemas lineales. Criterios relativos a la descripción externa de los sistemas dinámicos. Criterio de Routh-Hurwitz. Criterio de Nyquist. Criterios relativos a la descripción interna.
Análisis de sistemas lineales invariantes en el tiempo
Función de transferencia Gbc(s)
Transformada de Laplace (suponiendo estado inicial nulo)
Nota: Para el resto del tema, las variables “y” y “u” son las variables de error, es decir la desviación de la entrada y la salida del punto de equilibrio
Modelo lineal invariante en el tiempo (LTI)
Propiedades utilizadas: Linealidad, transformada de la derivada
Función de transferencia
Acción proporcional
Controladore(t)Δu(t)
Incremento de la acción de control proporcional al error
Función de transferencia
C(s)E(s)U(s)
Dominio temporal
Dominio frecuencial
Parámetro de diseño: Kp
Acción integral
Controladore(t)Δu(t)
Incremento de la acción de control proporcional al error
Función de transferencia
C(s)E(s)U(s)
Dominio temporal
Dominio frecuencialParámetro de diseño: Kp, Ti Propiedad de linealidad y transformada
de la integral
Red de retraso
Controlador con propiedades similares al PI
Acción derivativa
Controladore(t)Δu(t)
Incremento de la acción de control proporcional al error
Función de transferencia
C(s)E(s)U(s)
Dominio temporal
Dominio frecuencialParámetro de diseño: Kp, Td Propiedad de linealidad y transformada
de la derivada
Red de avance
Controlador con propiedades similares al PD
Controlador PID
Controladore(t) Δu(t)
Tiene las tres acciones básicas de controlAmplia aplicación en la industria
Incremento de la acción de control proporcional al error a su integral y a su derivada
Controlador PID
Controladore(t)Δu(t)
Incremento de la acción de control proporcional al error
Función de transferencia
C(s)E(s)U(s)
Dominio temporal
Dominio frecuencialParámetro de diseño: Kp, Td, Ti Propiedad de linealidad y transformada
de la derivada e intregral
Red mixta Controlador con propiedades similares al PID
Función de transferencia Gbc(s)
Álgebra de bloques (Ogata 3.3, Tema 3 de Teoría de sistemas)
+
-S1(s)
S2(s)
S3(s) = S1(s)-S2(s) S1(s) S2(s) = S1(s)
S3(s) = S1(s)
Punto de suma Punto de ramificación
G(s)S1(s) S2(s)=G(s)S1(s) Propiedad de la convolución
Sistema LTI
Función de transferencia Gbc(s)
G(s)
-Y(s)C(s)
E(s) U(s)R(s)
R(s) Y(s)Gbc(s) Gbc(s) modela la respuesta de la salida del sistema en función de cambios en la referencia
Propiedades del controlador las definiremos a través de la respuesta del sistema en bucle cerrado
Sistema en bucle cerrado
Otras funciones de transferencia
C(s) G(s)
H(s)
R(s)
Ym(s)
U(s)
Y(s)
Dinámica de los sensores (error de medida)
C(s) G(s)
H(s)
R(s)
Ym(s)
U(s)
Y(s)
Gd(s)
D(s)Perturbación a la salida
-
+
+
++
-
Índice
Función de transferencia del sistema en bucle cerrado
Sintonización de un controlador
Análisis de la estabilidad de un sistema
Respuesta en régimen permanente del sistema en bucle
cerrado.
Respuesta en régimen transitorio de un sistema estable.
Dependencia de los polos y ceros de la función de
transferencia del sistema realimentado con los parámetros
del controlador.
Sintonización de un controlador
Diseño de los parámetros de el controlador (C(s)) para que el sistema en bucle cerrado tenga unas determinadas propiedades (especificaciones)
EspecificacionesTiempo de subida frente a un escalón en el incremento de referencia Error en régimen permanenteEstabilidad… ESPECIFICACIONES SOBRE EL
MODELO EN VARIABLES DE ERRORTIENEN EFECTO SOBRE EL SISTEMA
EN BUCLE CERRADO REAL
Diseño matemáticoAnalizar el sistema dinámico en bucle cerrado y diseñar el controlador para que cumpla una serie de propiedades
Gbc(s) no está definida si no definimos los parámetros de C(s)
Ejemplo
Sistema en bucle cerrado
¿Comportamiento del sistema? Depende de Kp
Sistema de 3 polos que dependen de KpGanancia estática del sistema depende de Kp
Señal de referencia: Escalón de amplitud 1 en la referencia- Simulamos el comportamiento en Simulink/Matlab
Ejemplo
Kp=0.1
Kp=1
Kp=10
Kp=15
Ejemplo
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1Kp = 0.1, Td = 0, 1/Ti = 0
y(t)
0 10 20 30 40 50 600
0.05
0.1
u(t)
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1
e(t)
0 10 20 30 40 50 600
20
40
∫ 0t e(τ
)dτ
Respuesta del sistema en BC
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1
1.5Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0
y(t)
0 10 20 30 40 50 60−0.5
0
0.5
1
u(t)
0 10 20 30 40 50 60−0.5
0
0.5
1
e(t)
0 10 20 30 40 50 600
5
10
∫ 0t e(τ
)dτ
Respuesta del sistema en BC
0 10 20 30 40 50 600
1
2Kp = 10, Td = 0, 1/Ti = 0
y(t)
0 10 20 30 40 50 60−10
0
10
u(t)
0 10 20 30 40 50 60−1
0
1
e(t)
0 10 20 30 40 50 60−0.5
0
0.5
1
∫ 0t e(τ
)dτ
Respuesta del sistema en BC
0 10 20 30 40 50 60−10
0
10
20Kp = 15, Td = 0, 1/Ti = 0
y(t)
0 10 20 30 40 50 60−200
0
200
u(t)
0 10 20 30 40 50 60−20
−10
0
10
e(t)
0 10 20 30 40 50 60−5
0
5
10
∫ 0t e(τ
)dτ
Respuesta del sistema en BC
Ejemplo
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1Kp = 0.1, Td = 0, 1/Ti = 0
y(t)
0 10 20 30 40 50 600
0.05
0.1
u(t)
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1
e(t)
0 10 20 30 40 50 600
20
40
∫ 0t e(τ
)dτ
Respuesta del sistema en BC
Ejemplo
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1
1.5Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0
y(t)
0 10 20 30 40 50 60−0.5
0
0.5
1
u(t)
0 10 20 30 40 50 60−0.5
0
0.5
1
e(t)
0 10 20 30 40 50 600
5
10∫ 0t e
(τ)d
τ
Respuesta del sistema en BC
Ejemplo
0 10 20 30 40 50 600
1
2Kp = 10, Td = 0, 1/Ti = 0
y(t)
0 10 20 30 40 50 60−10
0
10
u(t)
0 10 20 30 40 50 60−1
0
1
e(t)
0 10 20 30 40 50 60−0.5
0
0.5
1
∫ 0t e(τ
)dτ
Respuesta del sistema en BC
Ejemplo
0 10 20 30 40 50 60−10
0
10
20Kp = 15, Td = 0, 1/Ti = 0
y(t)
0 10 20 30 40 50 60−200
0
200
u(t)
0 10 20 30 40 50 60−20
−10
0
10
e(t)
0 10 20 30 40 50 60−5
0
5
10
∫ 0t e(τ
)dτ
Respuesta del sistema en BC
Índice
Función de transferencia del sistema en bucle cerrado
Sintonización de un controlador
Análisis de la estabilidad de un sistema
Respuesta en régimen permanente del sistema en bucle
cerrado.
Respuesta en régimen transitorio de un sistema estable.
Dependencia de los polos y ceros de la función de
transferencia del sistema realimentado con los parámetros
del controlador.
Sintonización de un controlador
Diseño de los parámetros de el controlador (C(s)) para que el sistema en bucle cerrado tenga unas determinadas propiedades (especificaciones)
Especificaciones (Teoría de sistemas)EstabilidadTEMA 7. EstabilidadRespuesta transitoriaTEMA 5. Respuesta temporal de sistemas linealesRespuesta en régimen permanente TEMA 5. Respuesta temporal de sistemas lineales
Diseño matemáticoAnalizar el sistema dinámico en bucle cerrado y diseñar el controlador para que cumpla una serie de propiedades
Gbc(s) no está definida si no definimos los parámetros de C(s)
Tipos de comportamiento
Respuesta al escalón unitarioClasificación de la señal de salida Δy(t) frente a una determinada señal de entrada.
Escalón unitario (la más utilizada).Rampa.Senoide.
Da información sobre las propiedades dinámicas del sistema
Modelo en variables de error en (u0,y0)
Suposición: Condiciones iniciales en el punto de punto de trabajo.
Escalón unitario: Comportamiento:• Sobreamortiguado• Subamortiguado• Inestable• Oscilatorio
Tipos de comportamiento
Sobreamortiguado
0 5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Retraso LGanancia KTiempo de subida ts
Lts
KTiempo de subida: Tiempo en alcanzar el 63% del valor de régimen permanente.
Retraso: Tiempo que tarda en reaccionar la salida después de el cambio en la entrada.
Ganancia: Relación entre el valor de entrada y el valor de salida en el permanente.
Tipos de comportamiento
Subamortiguado
K
tetpts
Retraso LGanancia KTiempo de subida tsTiempo de pico tpTiempo de establecimiento teSobrepaso MpTiempo de levantamiento: Tiempo en alcanzar el valor de régimen permanente por primera vez.Tiempo de pico: Tiempo en alcanzar el máximo.Tiempo de establecimiento: Tiempo en alcanzar una bande del 5% del valor de régimen permanente.Sobrepaso: Valor del incremento del pico de sobreoscilación en porcentaje del valor de régimen permanente.
Mp
Tipos de comportamiento
Inestable
Estabilidad (TEMA 7. Estabilidad)
Criterio de estabilidad:Gbc(s) es estable si tiene todos los polos en el semiplano izquierdo
Los polos del sistema son las raíces del denominador (dependen de C(s))
Un sistema en bucle cerrado puede convertirse en inestable si el controlador está mal diseñado
El diseño del controlador tiene que garantizar la estabilidad del bucle cerrado
Ejemplo: Kp=15
Polos: -5.65, 0.0500 + 1.8272i, 0.0500 - 1.8272i
Estabilidad
Método analítico (ensayo y error)• Evaluar los polos del sistema en bucle cerrado para cada combinación de parámetros del controlador (Kp, Td, Ti) usando el modelo del sistema
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz• Permite evaluar si un polinomio tiene raíces en el semiplano derecho• Surge para evitar calcular las raíces de un polinomio de orden superior• Puede usarse para evaluar condiciones que garantizan estabilidad
Criterio de estabilidad de Nyquist (lo veremos en el tema 5)
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
Determinar si existe alguna raíz del siguiente polinomio en el semiplano derecho
Nota: Importante la notación
1 - Si existe algún parámetro negativo o cero, entonces el polinomino tiene al menos una raíz en el semiplano derecho2 - Construir la tabla de Routh-Hurwitz. Si existe algún componente negativo o cero en la primera columna de la tabla, entonces el polinomino tiene al menos una raíz en el semiplano derecho
Nota: Hay reglas para gestionar casos degenerados (ver Tema 7)
Ejemplo
Sistema en bucle cerrado
Los polos son las soluciones de la siguiente ecuación (depende de Kp)
Rango de ganancias
Ejemplo
Sistema en bucle cerrado
Los polos son las soluciones de la siguiente ecuación (dependen de Kp y Ti)
Técnica poco útil con múltiplesparámetros
Índice
Función de transferencia del sistema en bucle cerrado
Sintonización de un controlador
Análisis de la estabilidad de un sistema
Respuesta en régimen permanente del sistema en bucle cerrado.
Respuesta en régimen transitorio de un sistema estable.
Dependencia de los polos y ceros de la función de
transferencia del sistema realimentado con los parámetros
del controlador.
Respuesta en régimen permanente
Respuesta del sistema cuando el tiempo tiende a infinito (suponemos que el sistema en bucle cerrado es estable)
Error en régimen permanente
Teorema del valor final (propiedad de la transformada de Laplace)
Importante: Depende de R(s)Diferentes referencias definen diferentes parámetros de error en régimen permanente
Error frente a un escalón
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Error ante una entrada constante (en rég. perm.)
Constante de error en posición
Todo sistema estable tiene error en posición acotadoPara que el error sea nulo (el sistema alcance la referencia)
Error frente a una rampa
Error ante una entrada en rampa (en rég. perm.)
Constante de error en velocidad
Error en velocidad acotado ⇔ Error en posición nulo (C(s)G(s) tiene al menos un integrador)
Para que el error sea nulo (el sistema alcance la referencia)
0 1 2 3 4 5 6 70
1
2
3
4
5
6
7
Error frente a una parábola
Error ante una entrada en parábola (en rég. perm.)
Constante de error en aceleración
Error en aceleración acotado ⇔ Error en posición nulo ⇔ Error en velocidad nulo (C(s)G(s) tiene al menos dos integradores)
Para que el error sea nulo (el sistema alcance la referencia)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Tabla de errores
Tipo de un sistema = nº de integradores
Parábola
0Rampa
00Escalón
210Error
Tipo
Ejemplo
Sistema de tipo I
Controlador P
El controlador P afecta la ganancia deBode del sistema pero no puedecambiar el tipo del mismo
Mejora (cuantitativamente) el comportamiento en régimen permanente
Dependencia con Kc
Ejemplo
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1
1.5Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0
y(t)
0 10 20 30 40 50 60−0.5
0
0.5
1
u(t)
0 10 20 30 40 50 60−0.5
0
0.5
1
e(t)
0 10 20 30 40 50 600
5
10
∫ 0t e(τ
)dτ
Respuesta del sistema en BC
Error en posición. Referencia constante (escalón)
Ejemplo
Error en velocidad. Referencia creciente (rampa)
0 10 20 30 40 50 600
20
40
60Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0
y(t)
0 10 20 30 40 50 600
5
10
u(t)
0 10 20 30 40 50 600
5
10
e(t)
0 10 20 30 40 50 600
100
200
300
∫ 0t e(τ
)dτ
Respuesta del sistema en BC
Ejemplo
Sistema de tipo I
Controlador PI
El controlador PI afecta la ganancia deBode del sistema y aumenta el tipo del mismo
Mejora (cualitativamente) el comportamiento en régimen permanente
Dependencia con Kc y Ti
(La red de retraso permite aumentar la ganancia de Bode de forma arbitraria)
Ejemplo
Error en posición. Referencia constante (escalón)
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1
1.5Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0.1
y(t)
0 10 20 30 40 50 60−1
0
1
2
u(t)
0 10 20 30 40 50 60−0.5
0
0.5
1
e(t)
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
∫ 0t e(τ
)dτ
Respuesta del sistema en BC
Ejemplo
Error en velocidad. Referencia creciente (rampa)
0 10 20 30 40 50 600
20
40
60Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0.1
y(t)
0 10 20 30 40 50 600
5
10
u(t)
0 10 20 30 40 50 600
1
2
3
e(t)
0 10 20 30 40 50 600
50
100
∫ 0t e(τ
)dτ
Respuesta del sistema en BC
El término integral seintroduce para mejorarla respuesta en régimen permanente
(Puede inestabilizar el sistema, probar simulación con Kc=1Ti=1)
Índice
Función de transferencia del sistema en bucle cerradoSintonización de un controladorAnálisis de la estabilidad de un sistemaRespuesta en régimen permanente del sistema en bucle cerrado.
Respuesta en régimen transitorio de un sistema estable.
Dependencia de los polos y ceros de la función de
transferencia del sistema realimentado con los parámetros
del controlador.
Respuesta en régimen transitorio
Respuesta al escalón unitarioClasificación de la señal de salida Δy(t) frente a una determinada señal de entrada.
Escalón unitario (la más utilizada).Rampa.Senoide.
Da información sobre las propiedades dinámicas del sistema
Y(s)G(s)
-C(s)
E(s) U(s)R(s)
Respuesta de y(t) al aplicar un cambio en la referencia r(t)
Señal de referencia: Señal escalón. Indica la velocidad de respuesta del sistema
(la señal de referencia real en general será diferente de un escalón)
Respuesta en régimen transitorio
TEMA 5. Respuesta temporal de sistemas lineales. Sistemas dinámicos lineales de primer orden. Ejemplos. Sistemas dinámicos lineales de segundo orden. Respuesta ante escalón. Sistemas de orden n.
Nos interesa la respuesta de y(t) al cambiar r(t) (comportamiento en bucle cerrado)
La respuesta transitoria de un sistema LTI frente a un escalón depende de su función de transferencia (Gbc(s))
Opción ensayo y error Dado un sistema realizar una simulación o antitransformarEs difícil caracterizar el tiempo de subida o la sobreoscilaciónIdentificar el efecto de los parámetros del controlador sobre esta respuesta
Sistemas de primer orden
sK
yuKydtdy
τ
τ
+==
==+
1U(s)Y(s)G(s)
0)0( ,
tiempo)de unidadesen (medida Tiempo de Constante :
salida)y entrada de las a conformes (unidades uy estática Ganancia :K
τ∞
∞
ΔΔ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
1
2
3
4
5
tiempo
2=Δu
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300
0.51
1.5
22.5
33.5
44.5
5
5.56
6.57
7.58
8.59
9.510
tiempo
y
6=Δy
τ
78.363.0 =Δ⋅ y
Sistemas de segundo orden
rad/s) ( natural frecuencianal)(adimensio iónamortiguac de eCoeficient :
U) Y/dim (dim estática ganancia :K
n :
2 222
2
1212
2
ωδ
ωωωδ uKydtdy
dtyd
ubyadtdya
dtyd
nnn =++
=++
22
2
2U(s)Y(s)G(s)
nn
n
ssK
ωωδω
++==
Sistemas de segundo orden
1:Polos 2 −±− δωωδ nn
Im
Re ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<=>
:1:1 :1
δδδ Sobreamortiguado
Críticamente amort.Subamortiguado.
Im
Re
Sistemas de segundo orden
..=OS(∞yttt
21 δωαπ−
−=
n
st
21 δωπ−
=n
pt
21100.(%). δ
πδ
−−
⋅= eOS
δωnet
3=
Sistema subamortiguado
00
Tiemp
y(t))(
)()(..
∞∞−
=y
ytyOS p
)(∞y
etptst
)(lim
)]1cos()1([)(
)2()(
)('1)(
0
22
11
22
11
1
sGKestáticaganancialaKsiendo
tctsenbeeaKty
ssps
csk
ssY
s
kkkk
r
k
tt
j
tpj
kkk
r
kj
t
j
i
m
i
kkj
→
=
−
=
−
==
=
=
⋅−+⋅−++=
++∏+∏
+∏⋅=
∑∑ δωδω
ωωδ
ωδ
Sistemas de orden superior
nnnn
mmm
mmm
m
m
m
nnn
n
n
n
asasasbsbsbsG
tubdt
tdubdt
tudbdt
tudbyadt
tdyadt
tydadt
tyd
+++++++
=
++++=++++
−−
−
−−
−
−−
−
11
1
110
11
1
1011
1
1
......)(
)()(...)()()(...)()(
En la práctica, se dan situaciones en que algunos polos tienen una influencia en la respuesta del sistema es muy superior a la del resto de polos, a estos polos se les denomina polos dominantes.
Los polos dominantes son los polos que dan la respuesta más lenta.
La rapidez de respuesta viene dada por el exponente de la exponencial (la parte real del polo), recuerde:
Polos dominantes
Dinámicas dominantes: polos cuya respuesta es más lenta
En la práctica, polos dominantes se determinan por la distancia relativa de los mismos al eje imaginario
Re
Imp1
p’1
p2
p’2
d2
d1
Re
Im
p1
p2
p’2
d2
d1
p1 es dominante si d2/d1>5
La ganancia estática debe ser igual
Polos dominantes
12
)17)(16)(1(544
)17)(16)(1(544)(
+=
+≈
+++=
ssssssG
-1 es el dominante el resto se desprecian
Re
Im
-1-16
-17
Tiempo(s)0 1 2 3 4 5 6
0
0.5
1
1.5
2
2.5y(t)
Efecto de los ceros en la respuesta
0 0.5 1 1.50
1
2
3
4
5
6 Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
1
1.5
2
2.5Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Los ceros afectan a la respuesta
Efecto de los ceros en la respuesta
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
1
2
3
4
5
6
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
y(t)dy(t)/dtyc(t)
De forma cualitativa
Efecto de la adición de un cero
Efecto de los ceros en la respuesta
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
1
1.5
2
2.5Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
1
2
3
4
5
6Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
-20 -15 -10 -5 0 5-1
0
1
x xo o o o
Ceros de fase mínima
Efecto de los ceros en la respuesta
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
-20 -15 -10 -5 0 5-1
0
1
x x o o
Ceros de fase no mínima
Efecto de los ceros en la respuesta
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-1
0
1
x xo
Cuanto más se acerca el cero al polo, menor será su contribución a la respuesta del sistema
Afecta a la dinámica dominante (en el transitorio)El tiempo de establecimiento varía poco
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Step Response
Time (sec)
Ampl
itude
Cancelación de dinámicas
Hipótesis de diseño
Teoría estudiadaRespuesta de sistemas de primer ordenRespuesta de sistemas de segundo ordenRespuesta de sistemas de orden superiorEfecto de los ceros
En general es muy difícil obtener resultados explícitos
Hipótesis de diseñoEn las técnicas de diseño de controladores estudiadas, se desea
obtener una relación explícita de los parámetros de los controladores sobre la respuesta transitoria frente a una referencia escalón
La hipótesis más utilizada es que la dinámica del sistema en bucle cerrado se encuentra dominada por un par de polos complejos conjugados
Los ceros en general son difíciles de tener en cuenta
Esta hipótesis se haceDiseño de controladores utilizando el lugar de las raícesDiseño de controladores en frecuencia
Índice
Función de transferencia del sistema en bucle cerradoSintonización de un controladorAnálisis de la estabilidad de un sistemaRespuesta en régimen permanente del sistema en bucle cerrado.Respuesta en régimen transitorio de un sistema estable.
Dependencia de los polos y ceros de la función de
transferencia del sistema realimentado con los
parámetros del controlador.
Polos y ceros de Gbc(s)
Sistema en bucle cerrado
Ceros del sistema en bucle cerrado Mismos ceros que el sistema en bucle abierto más los ceros añadidos por el controlador
Polos del sistema en bucle cerrado Dependen de los parámetros de diseño
En algunos casos es posible obtener los polos de forma explícitaControl de sistemas de segundo orden con P y PD
En general no es posibleTécnicas aproximadas
EjemploControlador P
Los polos dependen de Kp
Representación en el plano complejo
Lugar de las raíces
Ejemplo
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Kp=0.1
Kp=1
Kp=10Kp=15
Ejemplo ilustrativo: Sistema de levitación magnética
Descripción ValorNúcleo AceroDiámetro del núcleo 25 mmDiámetro de la bobina 80 mmNúmero de espiras 2850Resistencia 22 ΩInductancia 277 mH a 1 kHz
442 mH a 120 kHz
Ejemplo ilustrativo: Sistema de levitación magnética
Modelo no lineal del sistema
2
2
XIkmgXm −=&&
m : Masa de la bolag : cte de gravedadX : Distancia de la bola al electroimán
(variable a controlar)I : Corriente en la bobina (acción de control)K : coeficiente constante
X Fm
Fg
Linealización del sistemaSuponemos un punto de trabajo X0 para el que la acción de control vale I0 y trabajamos en variables de error
XXXIIIΔ+=
Δ+=
0
0