Teoremas importantes del Calculo Diferencial
Teorema del Valor Intermedio
Teorema del Valor Intermedio: Si la funcion f(x) es continua en
el in-tervalo [a, b], y K es algun numero entre f(a) y f(b),
entonces existe al menosun numero c en el intervalo [a, b] tal que
f(c) = K.
Ejemplo 1: Consideremos la funcion f(x) = x2. Consideremos el
intervalo[0, 4]. Tenemos que f(0) = 0 y f(4) = 16. El numero K = 9
esta entre 0 y 16.Por el teorema del valor intermedio, existe al
menos un valor c en el intervalo[0, 4] tal que f(c) = 9. En este
caso podemos determinar c, pues se tiene quec = 3.
Ejemplo 2: Consideremos la funcion f(x) = sen (x). Consideremos
el in-
tervalo[pi
2,
3pi
2
]. Tenemos que f
(pi2
)= 1 y f
(3pi2
)= 1. El numero K = 0 esta
entre 1 y 1. Por el teorema del valor intermedio, existe al
menos un valor cen el intervalo
[pi2,
3pi
2
]tal que f(c) = 0.
Con la misma funcion y en el mismo intervalo, para el numero K
=17
22, el
teorema del valor intermedio afirma que existe un valor c en el
intervalo [pi
2,
3pi
2]
tal que f(c) =17
22. Cual es ese numero?.
Una raz de una funcion es un valor r para el cual f(r) = 0. En
muchasocasiones es de gran interes determinar las races de una
funcion, problema quepuede llegar a ser muy complicado. Metodos
numericos (como el metodo deNewton-Raphson) se han desarrollado
para dar solucion a este problema, bajociertas hipotesis. En
particular, el teorema del valor intermedio se puede usarpara
demostrar la existencia y el calculo de races de las funciones
continuas enalgunos intervalos.
El calculo de las races de una funcion tomara importancia en el
estudio demaximos y mnimos.
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Teorema de Rolle
Teorema de Rolle: Sea f(x) una funcion continua en el intervalo
[a, b] yderivable en el intervalo (a, b). Si f(a) y f(b) valen
ambos cero, existe al menosun numero c en el intervalo (a, b) para
el cual
f (c) = 0.
Ejemplo 1: Consideremos la funcion f(x) = x2 1 y el intervalo
[1, 1].Se tiene que f(1) = 0 y que f(1) = 0, por lo que existe
algun numero c en elintervalo (1, 1) tal que f (c) = 0.
Ejemplo 2: Consideremos la funcion f(x) = sen (x) y el intervalo
[0, 2pi].Se tiene que f(0) = 0 y que f(2pi) = 0, por lo que existe
al menos un numero cen el intervalo (0, 2pi) tal que f (c) = 0.
Los valores en los que la derivada se anula (o no existe) son
llamados puntoscrticos de la funcion. El teorema de Rolle establece
condiciones para las cualesse puede determinar la existencia de un
punto crtico en un intervalo.
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