Download pdf - TEORI ANTRIAN _Matematika_

0

BAHAN AJAR

Mata Kuliah : TEORI ANTRIAN Kode MK : MAT 713 Jumlah SKS : 3 SKS Dosen Pengampu: PUTRIAJI H, S.Si., M.Pd., M.Sc.

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

TAHUN AKADEMIK 2011/2012

1

PENGANTAR PROSES STOKASTIK Proses stokastik adalah suatu proses yang dalam pengambilan keputusan mengaitkan

dengan peluang.

Berhingga { }10,,2,1 K

Tak berhingga dan terbilang { }K,, 21 nn

Tak berhingga dan tak terbilang { }Rxxx ∈<≤ ,10,

Proses Stokastik

adalah suatu kumpulan dari variabel random ( ) TttX ∈, yang didefinisikan dalam suatu ruang

probabilitas.

Indeks T sering kali direpresentasikan sebagai waktu dan sebagai hasil ( )tX dinyatakan

sebagai suatu keadaan (state) dari proses pada waktu t.

Contoh:

1. banyaknya konsumen yang telah memasuki suatu supermarket dalam waktu t

2. banyaknya penjualan yang tercatat di supermarket dalam waktu t

3. jumlah turis asing yang datang ke Semarang pada waktu t

4. harga saham PT. INDOSAT pada waktu t, dst.

2

Proses Markov adalah suatu himpunan-himpunan objek dan himpunan keadaan sedemikian

rupa sehingga:

1. pada sebarang waktu yang diketahui tiap-tiap objek harus berada dalam keadaan

tertentu.

2. peluang atau probabilitas berpindahnya keadaan satu ke keadaan lain dalam selang

waktu tertentu hanya tergantung pada dua keadaan itu.

Rantai Markov Bilangan-bilangan bulat positif dari selang waktu setelah proses perpindahan menyatakan

tahapan-tahapan proses yang jumlahnya hingga/tak hingga tetapi dapat dihitung (countable)

maka proses markov tersebut merupakan Rantai Markov (Markov Chain).

Rantai Markov Waktu Diskrit Konsep dasar: Sifat Markov

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( )ij

kk

kk

kkkk

PiXjXP

itXjtXP

ttXttXttXjtXP

=

===

===

====

+

+

−−+

1

1

00111 ,,, K

Nilai saat ini dari rantai Markov kX disebut sebagai suatu ’STATE’ .

Probabilitas bersyarat

i} X | j P{X k1k === +ijP

Catatan: k dan k+1 menunjukkan waktu.

j menunjukkan state yang baru.

i menunjukkan state yang baru

ijP disebut probabilitas transisi dengan ∑∞

=

=0

1j

ijP

Rantai Markov Waktu Kontinu Perhatikan proses stokastik waktu kontinu {X(t), t ≥ 0} dengan daerah space i = 0,1,2,….

Proses {X(t), t ≥ 0} adalah rantai markov waktu kontinu jika untuk semua s, t ≥ 0 dan

bilangan non negative i, j, x(u), 0 ≤ u ≤ s.

P{X(t+s) = j | X(s) = i , X(u) = x(u), 0 ≤ u < s} = P{X(t+s) = j | X(s) = i}

Dan jika probabilitas ini bebas dari s, maka RMWK ini mempunyai probabilitas transisi

stationary.

Pij(t)=P{X(t+s) = j | X(s) = i} untuk setiap s.

Selain itu, RMWK adalah suatu proses stokastik yang memiliki sifat markov dimana distribusi

bersyarat dari state di masa mendatang pada waktu t+s, diberikan oleh state saat ini yaitu s

3

dan semua state yang telah berlaku/state sebelumnya hanya bergantung pada state yang

sedang berlangsung saat ini dan itu independent dari masa lalu.

Andaikan suatu RMWK memasuki state i pada suatu waktu, katakan waktu 0 dan andaikan

bahwa proses tersebut tidak meninggalkan state i (yaitu tidak terjadi transisi) selama s unit

waktu berikutnya. Maka probabilitas bahwa proses tidak akan meninggalkan state i selama t

unit waktu yang terjadi adalah sama dengan probabilitas akan tetap berada dalam state

tersebut selama interval [s, s+t] adalah hanya probabilitas bahwa ia akan bertahan di state i

untuk setidaknya selama unit waktu t. Hal ini mengingat bahwa sebagai suatu proses dalam

state i pada waktu s yang mengikuti sifat Markovian property.

Berikut ini merupakan sifat proses markov waktu kontinu:

• Waktu yang dihabiskan proses pada sembarang state harus “memoryless”

• Exponentially distributed state times

• P(sistem dalam state i untuk waktu T | sistem pada state i saat ini) =

TtT

et µµ −∆ =∆− )1( dengan 0→∆t

4

PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN

Proses kelahiran adalah bertambahnya/bergabungnya obyek dalam suatu populasi.

Contoh: tumbuhnya tumbuhan, bakteri membelah diri

Proses kematian adalah berkurangnya obyek dalam suatu populasi apabila ada anggota

populasi yang meninggalkan populasi.

Contoh: proses peluluhan, proses migrasi

Proses kelahiran murni apabila hanya terjadi penambahan anggota atau hanya terjadi

proses kelahiran.

Proses kematian murni apabila hanya terjadi proses kematian saja.

Contoh:

- pendaftaran lomba dalam jangka waktu tertentu tanpa dilakukan seleksi terlebih

dahulu merupakan proses kelahiran murni.

- Proses seleksi setelah proses pendaftaran lomba ditutup merupakan proses kematian

murni.

- Bila proses seleksi berlangsung dalam jangka waktu pendaftaran lomba maka terjadi

proses kelahiran dan kematian bersamaan.

Dalam pendefinisian proses kelahiran dan kematian terdapat beberapa pendefinisian sebagai

berikut:

• Proses kelahiran dan kematian adalah suatu rantai markov waktu kontinu dengan state

{0,1,…} dimana untuk setiap transisi dari state n hanya dapat menuju ke state n+1

(kelahiran) atau state n-1 (kematian).

• Dengan kata lain dapat dikatakan bahwa proses kelahiran-kematian adalah kasus khusus

pada proses markov waktu kontinu di mana setiap state menggambarkan ukuran populasi

dan dimana transisinya dibatasi terhadap kelahiran-kematian.

• Proses kelahiran-kematian mempunyai banyak aplikasi diantaranya penerapan dalam

demography, teori antrian, atau biologi contohnya dalam mempelajari evolusi pada bakteri.

Proses Kelahiran Markov Adalah proses markov dimana peluang transisi/berpindah dari keadaan (state) satu ke

keadaan lain hanya bergantung pada keadaan sekarang tidak bergantung pada bagaimana

mencapai keadaan yang sekarang (prosesnya kelahiran).

5

Proses Kematian Markov Adalah proses markov dimana peluang transisi/berpindah dari keadaan satu ke keadaan lain

hanya bergantung pada keadaan sekarang tidak bergantung pada bagaimana mencapai

keadaan yang sekarang (prosesnya kematian).

• Suatu proses disebut proses kelahiran-kematian jika merupakan proses stokastik {X(t), t ≥

0} yang adalah suatu rantai markov yang mempunyai probabilitas transisi stationary dan

memenuhi:

(i) N(0) = n menyatakan banyaknya populasi pada waktu t = 0.

(ii) Distribusi-distribusi peluang yang menentukan jumlah kelahiran dan kematian

dalam selang waktu tertentu hanya bergantung pada panjang selangnya jadi tidak

ada titik awalnya.

(iii) Peluang untuk terjadinya satu kelahiran saja dalam selang waktu t∆ , bila pada titik

awal selang tersebut terdapat suatu populasi dengan n anggota, adalah:

P {X(t+ t∆ ) – X(t) = 1 | X(t) = n} = nλ t∆ + 0( t∆ ) Birth Rate

(iv) Peluang untuk terjadinya satu kematian saja dalam selang waktu t∆ , bila pada titik

awal selang tersebut terdapat suatu populasi dengan n anggota, adalah:

P {X(t+ t∆ ) – X(t) = -1 | X(t) = n} = nµ h + 0( t∆ ) Death Rate

(v) Peluang untuk terjadi lebih dari satu kelahiran atau kematian dalam selang waktu

t∆ , adalah:

P {dua atau lebih peristiwa terjadi (t, t+ t∆ ) | X(t) = n} = 0( t∆ )

dengan parameter { nλ , nµ , n = 0,1,2,…}

dimana nλ laju kelahiran dan nµ laju kematian.

Misalkan jumlah orang dalam suatu populasi atau suatu sistem adalah n, maka:

• Laju kelahiran/kedatangan dalam state n adalah nλ . Nilainya ditulis { nλ , n ≥ 0}.

• Laju kematian/kepergian dalam state n adalah nµ .Nilainya ditulis { nµ , n ≥ 1}.

6

Berikut diagram laju (rate diagram) untuk proses kelahiran dan kematian:

State dari suatu proses biasanya idenya sebagai representasi dari jumlah beberapa populasi

dan saat state meningkat 1 dikatakan bahwa terjadi kelahiran, dan saat state menurun 1

dikatakan terjadi kematian.

Karena itu dalam suatu proses kelahiran dan kematian dapat diterka bahwa sewaktu-waktu

terdapat n orang dalam sistem sampai waktu kelahiran berikutnya berdistribusi eksponensial

(proses poisson) dengan laju nλ dan independent dengan waktu hingga kematian berikutnya

yang berdistribusi eksponensial dengan laju nµ .

Kedatangan baru yang masuk dalam suatu sistem pada laju nλ dengan waktu sampai

dengan kedatangan berikutnya berdistribusi eksponensial (proses poisson) dengan mean

nλ1 .

Kepergian seseorang dari sistem dengan laju nµ dengan waktu sampai dengan kepergian

berikutnya berdistribusi eksponensial dengan mean nµ

1 dan independen dengan kedatangan

berikutnya.

Bentuk proses kelahiran-kematian secara umum yang merupakan proses stokastik yang

adalah suatu rantai Markov yang mempunyai karakteristik berikut:

• Jika dimisalkan populasi = n, kelahiran dan kematian adalah suatu proses poisson: laju

kelahiran nλ dan laju kematian nµ (µ0 = 0).

• B(t,∆t) adalah jumlah kelahiran dalam periode (t, t+∆t).

• D(t, ∆t) adalah jumlah kematian dalam periode (t, t+∆t).

• Dengan demikian:

)(01}|0),({ ttnpopulasittBP n ∆+∆−===∆ λ

)(0}|1),({ ttnpopulasittBP n ∆+∆===∆ λ

)(0}|0),({ tnpopulasittBP ∆==>∆

)(01}|0),({ ttnpopulasittDP n ∆+∆−===∆ µ

7

)(0}|1),({ ttnpopulasittDP n ∆+∆===∆ µ

)(0}|1),({ tnpopulasittDP ∆==>∆

Proses kelahiran-kematian secara umum sebagai rantai Markov dapat ditulis dalam bentuk

matriks transisi berikut:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−−

=

OMMMM

L

L

L

L

333

2222

1111

00

10010

01001

λµµλλµµ

λλµµλλ

P

Perlu diketahui bahwa jumlah state dari 0 sedemikian sehingga jumlah state adalah sama

sebagaimana jumlah populasi.

Contoh Rantai Markov Waktu Kontinu Proses Kelahiran Dan Kematian Contoh 1 Sebuah swalayan memiliki satu pelayan (kasir) dan pelanggan yang akan membayar

bergabung dalam suatu antrian saat mereka datang. Kedatangan pelanggan sesuai dengan

laju λ dengan waktu interval kedatangan berdistribusi eksponensial (proses poisson) dan

pelayan melayani pelanggan dengan laju µ dengan waktu pelayanan berdistribusi

eksponensial. Jika X(t) adalah jumlah pelanggan dalam antrian pada waktu t, maka {X(t), t >

0} adalah proses kelahiran-kematian dengan λλ =n untuk n ≥ 0 dan µµ =n untuk n ≥ 1.

Contoh 2 Suatu kasus antrian pada suatu bank dengan 5 orang teller yang melayani antrian di bank

dengan pelanggan yang akan menggunakan jasa teller bergabung bersama dalam antrian

tunggal dan pada gilirannya pelanggan akan pergi ke teller pertama yang tersedia (yang

sedang tidak melayani pelanggan lain). Ini merupakan proses kelahiran dan kematian

dengan λλ =n untuk n ≥ 0.

⎩⎨⎧

><≤

=snuntuks

snuntuknn ,

1,µµ

µ

PERSAMAAN KOLMOGOROV

Dari kriteria-kriterria proses kelahiran kematian markov secara umum jika 0→∆t maka akan

diperoleh persamaan Kolmogorov sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tPtPtPdt

tPdnnnnnnn

n1111 −−++ +++−= λµµλ

( ) ( ) ( )tPtPdt

tPd0011

0 λµ −=

8

( )tPn menyatakan peluang bahwa ( )tN adalah bilangan bulat tak negatif tertentu.

( )tN menyatakan banyaknya populasi dalam satuan waktu tertentu.

Proses Kelahiran Markov Linear Adalah proses kelahiran Markov dimana proses probabilitas/peluang kelahiran dalam waktu

yang kecil sebanding dengan banyaknya populasi sekarang dan panjang selang waktunya.

Solusi dari persamaan kolmogorov dimulai dari satu anggota populasi:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

==−=

−−−

0,0,2,1,1 1

nneetP

tnt

nKλλ

0=nµ dan λλ .nn = untuk suatu n.

Pada proses kelahiran Markov Linear

• Ukuran populasi yang diharapkan pada saat t adalah

( )[ ] tetNE λ=

• Ukuran populasi yang diharapkan pada saat t jika populasinya dimulai dari ( )0N

adalah ( )[ ] ( ) teNtNE λ.0=

Proses Kematian Markov Linear Adalah proses kematian Markov dimana proses probabilitas/peluang kematian dalam waktu

yang kecil sebanding dengan banyaknya populasi sekarang dan panjang selang waktunya.

Solusi dari persamaan kolmogorov dimulai dari ( )0N anggota populasi:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>≤−=

−−−

0,00,1.. 00

NnNneeCtP

nNttnNn

n

µµ

Pada proses kematian Markov Linear


adalah ( )[ ] ( ) teNtNE µ−= .0

Proses Kelahiran Kematian Markov Linear

Adalah proses kelahiran kematian dimana λλ .nn = dan µµ .nn = dengan λ adalah laju

kelahiran dan µ adalah laju kematian.

Solusi dari persamaan kolmogorov jika populasinya dimulai dari 1 anggota:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )⎩⎨⎧

==−−

=−

0,0,2,1,11 1

nntststrtP

n

nK

dengan

9

( )( )[ ]( ) µλ

µµλ

µλ

−−

= −

−

t

t

eetr 1

dan ( )( )[ ]( ) µλ

λµλ

µλ

−−

= −

−

t

t

eets 1

Pada proses kelahiran kematian Markov Linear

• Ukuran populasi yang diharapkan pada saat t adalah ( )[ ] ( )tetNE µλ−=


adalah ( )[ ] ( ) ( )teNtNE µλ−= .0

Proses Kelahiran Poisson Adalah proses kelahiran Markov murni dimana terjadinya kelahiran dalam selang waktu kecil

tidak tergantung pada ukuran populasi.

Keterangan

Bertambahnya anggota populasi tidak diciptakan oleh anggota populasinya sendiri tapi dari

luar populasi sehingga λλ =n dan 0=nµ . Contoh: lamaran ketua Hima.

Solusi dari persamaan kolmogorov jika populasinya dimulai dari 0

( ) ( )K,2,1,0,

!== − ne

nttP t

n

nλλ

Jika populasinya dimulai dari ( )0N anggota maka:

( )( ) ( )

( )[ ] ( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥−=

−−

0,0

0,!0

0

Nn

NneNn

ttP

tNn

n

λλ

Pada proses kelahiran Poisson

• Ukuran populasi yang diharapkan pada saat t adalah ( )[ ] ( ) tNtNE λ+= 0

Proses Kematian Poisson Adalah proses kematian Markov murni dimana probabilitas terjadinya kematian dalam selang

waktu yang kecil tidak tergantung pada ukuran populasinya, sehingga 0=nλ dan µµ =n .

Contoh: seleksi lamaran ketua Hima.

Solusi dari persamaan kolmogorov jika populasinya dimulai dari ( )0N

( )

( )( ) ( )

( )[ ]

( )( )

( )01,

0,1

!0

0,0

0

1

0

Nn

ntP

enN

t

Nn

tP

N

nn

tnN

n ≤≤

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−

−

>

=

∑=

−−

µµ

10

Pada proses kematian Poisson

• Ukuran populasi yang diharapkan pada saat t adalah ( )[ ] ( ) tNtNE µ−= 0

Proses Kelahiran Kematian Poisson Adalah proses kelahiran kematian Markov dimana probabilitas terjadinya kelahiran kematian

dalam selang waktu yang kecil keduanya tidak tergantung pada ukuran populasi, dengan

λλ =n dan µµ =n .

Contoh kasus Kelahiran dalam suatu keadaan tersebar sepanjang waktu sesuai distribusi eksponensial

(proses poisson) dengan satu kelahiran terjadi setiap 7 menit secara rata rata.

a. Hitung laju kelahiran per hari

b. Hitung jumlah kelahiran dalam keadaan ini per tahun

c. Hitung probabilitas tidak adanya kelahiran dalam satu hari tertentu

d. Hitung probabilitas pengeluaran 45 akte kelahiran di akhir periode yang terdiri dari 3 jam

dengan diketahui bahwa 35 akte dikeluarkan dalam 2 jam pertama.

Jawab

a. Karena waktu antara kedatangan (antar kelahiran) rata-rata adalah 7 menit, laju kelahiran

dalam keadaan ini adalah:

24 607 205,7λ ×= = kelahiran/hari

b. Jumlah kelahiran dalam keadaan ini pertahun adalah:

tλ = 205,7×365 = 75080,5 kelahiran

c. Probabilitas tidak adanya kelahiran dalam satu hari tertentu adalah:

0 (205,7 1)

1(205,7 1)(1) 0

0!eP− ××

= ≈

d. Karena kelahiran terjadi sesuai proses Poisson, maka probabilitas pengeluaran 45 akte

kelahiran di akhir periode yang terdiri dari 3 jam dengan diketahui bahwa 35 akte

dikeluarkan dalam 2 jam pertama adalah:

λ = 607 = 8,57 kelahiran/jam

ingat bahwa ( ) ( )K,2,1,0,

!== − ne

nttP t

n

nλλ

{ (3) 45 | (2) 35}P x x= = = 11(1)P

10 (8,57 1)(8,57 1) 0,1117

10!e− ××

= =

11

Aplikasi proses kelahiran-kematian pada model antrian

Sebagian besar model antrian mengasumsikan bahwa input (pelanggan yang datang) dan

output (pelanggan yang pergi) dari sistem antrian terjadi berdasarkan proses kelahiran-

kematian. Dalam konteks antrian, maka kelahiran merupakan pelanggan yang baru ke dalam

sistem dan kematian merupakan kepergian dari pelanggan yang dilayani. Status dari sistem

pada saat jumlahtNtt →≥ )(),0( (jumlah pelanggan dalam sistem antrian pada saat

t).

Proses kelahiran-kematian menggambarkan secara probabilitas bagaimana N(t) berubah

sesuai dengan bertambahnya t. Kelahiran dan kematian individual terjadi secara random, di

mana laju kejadiannya bergantung hanya pada status saat ini dari sistem.

Asumsi dari proses kelahiran-kematian:

• Asumsi 1: diberikan N(t) = n, distribusi probabilitas saat ini dari waktu tersisa hingga

kelahiran (kedatangan) berikutnya adalah berdistribusi eksponensial dengan parameter

{ nλ , n ≥ 0}

• Asumsi 2: diberikan N(t) = n, distribusi probabilitas saat ini dari waktu tersisa hingga

kematian (penyelesaian pelayanan) berikutnya adalah berdistribusi eksponensial dengan

parameter { nµ , n ≥ 1}.

• Asumsi 3: hanya terdapat 1 kelahiran /kematian yang dapat terjadi pada suatu saat

• Berdasarkan asumsi 1 dan 2, proses kelahiran-kematian merupakan jenis khusus dari R-

M waktu kontinu.

• Berdasarkan hubungan dengan distribusi poisson, dari distribusi eksponensial, nλ dan

nµ merupakan laju rataan.

SOAL 1. Sebuah proses kelahiran markov linear dengan satu anggota mengalami laju kelahiran

rata-rata setiap jam sebesar 2. Tentukan peluang, untuk mendapatkan populasi yang lebih

besar dari 3 setelah 1 jam dan tentukan ukuran populasi yang diharapkan pada saat itu.

2. Selesaikan soal 1 jika prosesnya adalah proses kelahiran poisson.

3. Sebuah proses kematian Markov linear dimulai dengan sepuluh anggota, mengalami

kematian rata rata perminggu sebesar 0,6. Tentukan peluang mendapatkan populasi

sekurang-kurangnya 8 setelah 3 hari dan tentukan ukuran populasi pada saat tersebut.

4. Selesaikan soal 3 jika prosesnya kematian poisson.

12

5. Seorang ahli biologi mengamati pertumbuhan serat-serat bakteria dalam suatu tanaman

peliharaan dan menemukan bahwa peluang pertumbuhan serat dan peluang kematian

bakteri keduanya sebanding dengan jumlah bakteri dalam tanaman dan waktu yang

berlaku. Secara rata-rata setiap bakteri menghasilkan 1 bakteri baru setiap 7 jam dan

kemudian ia mati setelah 30 jam. Berapa banyaknya bakteri yang diharapkan dalam

tanaman peliharaan setelah satu minggu apabila populasi bakteri dimulai dari 1 bakteri.

13

TEORI ANTRIAN

Definisi Teori Antrian Antrian terjadi pada kondisi apabila obyek-obyek menuju suatu area untuk dilayani, namun

kemudian menghadapi keterlambatan disebabkan oleh karena mekanisme pelayanan

mengalami kesibukan. Antrian timbul karena adanya ketidakseimbangan antara yang dilayani

dengan pelayanannya. Antrian timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi

kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga pengguna fasilitas

yang tiba tidak dapat segera memperoleh pelayanan

disebabkan kesibukan layanan.

Pada banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk

mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi biaya karena

memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan keuntungan mungkin

sampai di bawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya, sering timbulnya antrian yang

panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan/nasabah.

Contoh antrian :

• Antrian pada pelayanan kasir supermarket

• Antrian membeli bahan bakar

• Antrian pada lampu merah (orang menyebrang maupun kendaraan)

• Antrian pesawat akan mendarat di suatu bandara

• Antrian pelayanan dokter, dan lain-lain.

Sifat fundamental problema antrian mencakup suatu imbangan antara waktu menunggu dan

waktu pelayanan (service), terlihat pada grafik di bawah ini :

Sejarah Teori Antrian Berada pada antrian yang panjang dengan waktu terlalu lama untuk memperoleh giliran

pelayanan sangatlah menjengkelkan. Rata-rata lamanya waktu menunggu (waiting time)

sangat tergantung kepada rata-rata tingkat kecepatan pelayanan (rate of services).

14

Teori tentang antrian ditemukan dan dikembangkan oleh A. K. Erlang, seorang insinyur dari

Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen pada tahun 1910.

Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas telepon yang

berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan penyambungan telepon

secara otomatis. Dalam waktu-waktu yang sibuk operator sangat kewalahan

untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para penelepon harus antri menunggu

giliran mungkin cukup lama. Persoalan aslinya Erlang hanya memperlakukan perhitungan

keterlambatan (delay) dari seorang operator, kemudian pada tahun 1917 penelitian

dilanjutkan untuk menghitung kesibukan beberapa operator. Pada periode ini

Erlang menerbitkan bukunya

yang terkenal berjudul Solution Of Some Problems In The Theory Of Probabilities Of

Significance In Automatic Telephone Exhange. Baru setelah perang dunia kedua, hasil

penelitian Erlang diperluas penggunaannya antara lain dalam teori antrian

(Supranto, 1987).

Pengertian Antrian Menurut Siagian (1987), antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan)

yang memerlukan layanan dari satu atau lebih pelayan (fasilitas layanan). Umumnya,

sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi sistem yang berbeda-beda di mana teori

antrian dan simulasi sering diterapkan secara luas.

Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman adalah sebagai berikut:

1. Sistem pelayanan komersial

2. Sistem pelayanan bisnis – industri

3. Sistem pelayanan transportasi

4. Sistem pelayanan sosial

Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dari model antrian,

seperti restoran, kafetaria, toko-toko, salon, butik, supermarket, dsb.

Sistem pelayanan bisnis industri mencakup lini produksi, sistem material handling,

sistem pergudangan, dan sistem-sistem informasi komputer.

Sistem pelayanan sosial merupakan sistem-sistem pelayanan yang dikelola oleh kantor-

kantor dan jawatan-jawatan lokal aupun nasional, seperti kantor registrasi SIM dan STNK,

kantor pos, rumah sakit, puskesmas, dan lain-lain (Subagyo, 2000).

Proses pada Antrian

1. Proses Stochastic atau Proses Discrete-State atau Continuous State Proses discrete state memiliki bilangan nilai yang terbatas atau dapat dihitung.

Sebagai contoh jumlah job dalam sistem n(t) hanya dapat menggunakan nilai 0, 1,..n.

15

Waktu tunggu di lain pihak dapat mengambil semua nilai pada garis hitung nyata.

Maka proses ini merupakan proses yang berkelanjutan. Proses discrete-state

stochastic sering pula disebut rantai stochastic.

2. Proses Markov Jika state pada masa yang akan datang dari proses itu tidak tergantung pada masa

yang telah lalu dan hanya tergantung pada masa sekarang saja, proses ini disebut

Proses Markov. Pengetahuan state proses pada masa sekarang ini harus memadai.

Proses discrete state Markov disebut rantai Markov.

Untuk memprediksi proses Markov selanjutnya yang ada di masa datang diperlukan

pengetahuan state yang sedang berlangsung saat ini. Tidak dibutuhkan pengetahuan

berapa lama proses terjadi di masa sekarang ini. Hal ini memungkinkan jika waktu

state menggunakan distribusi eksponensial (memoryless). Ini akan membatasi

aplikabilitas proses Markov.

3. Proses Birth-Death Area diskrit proses Markov dimana transisi jadi terlarang bagi state lain di

sekelilingnya, disebut proses birth death. Untuk proses ini memungkinkan untuk

merepresentasikan state dengan suatu integer dimana proses pada state n dapat

berubah hanya ke state n+1 atau n-1.

Sebagai contoh adalah jumlah job dalam antrian. Kedatangan job dalam antrian (birth)

menyebabkan state berubah menjadi +1 (plus satu), dan keberangkatan dari antrian

karena telah sampai waktunya mendapatkan layanan (death) menyebabkan state

berubah menjadi -1 (minus satu).

4. Proses Poisson Jika waktu interarrival IID dan distribusi eksponensial tercapai, jumlah kedatangan dari

n berlangsung dalam interval (t, t+x) berarti memiliki distribusi Poisson, dan oleh

karena itu proses kedatangan diarahkan pada proses Poisson atau aliran Poisson.

Aliran Poisson sangat populer dalam teori antrian karena kedatangan biasanya

memoryless sebagai waktu interarrival terdistribusi secara eksponensial.

Peran Distribusi Poisson dan Eksponensial dalam Teori Antrian Situasi antrian dimana kedatangan dan keberangkatan (kejadian) yang timbul selama interval

waktu dikendalikan dengan kondisi berikut :

Kondisi 1 : Probabilitas dari sebuah kejadian (kedatangan atau keberangkatan) yang

timbul antara t dan t +s tergantung hanya pada panjang s, yang berarti

bahwa probabilitas tidak tergantung pada t atau jumlah kejadian yang timbul

selama periode waktu (0,t).

Kondisi 2 : Probabilitas kejadian yang timbul selama interval waktu yang sangat kecil h

adalah positif tapi kurang dari satu.

16

Kondisi 3 : Paling banyak satu kejadian dapat timbul selama interval waktu yang sangat

kecil h.

Ketika kondisi diatas menjabarkan sebuah proses dimana jumlah kejadian selama satu

interval waktu yang diberikan adalah poisson dan karena itu interval waktu antara beberapa

kejadian yang berturut-turut adalah eksponensial. Dengan kasus demikian, dikatakan bahwa

kondisi tersebut mewakili proses poisson.

Komponen Dasar Dalam sistem Antrian

Komponen dasar Antrian

Komponen dasar proses antrian

1. Kedatangan (sumber) Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil, panggilan

telepon untuk dilayani, dan lain-lain. Unsur ini sering dinamakan proses input.

Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan calling population

dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan variabel acak.

Yang termasuk input antara lain distribusi jumlah kedatangan per satuan waktu, jumlah

antrian yang dimungkinkan, maksimal panjang antrian, maksimal jumlah pelanggan.

Menurut Levin, dkk (2002), variabel acak adalah suatu variabel yang nilainya bisa

berapa saja sebagai hasil dari percobaan acak. Variabel acak dapat berupa diskrit

atau kontinu. Bila variabel acak hanya dimungkinkan memiliki beberapa nilai saja,

maka ia merupakan variabel acak diskrit. Sebaliknya bila nilainya dimungkinkan

bervariasi pada rentang tertentu, ia dikenal sebagai variabel acak kontinu.

Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat dilihat

menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani.

Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak

terbatas (infinite). Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di

sebuah perguruan tinggi sudah diketahui jumlahnya (finite), sedangkan jumlah

nasabah bank yang antri untuk setor, menarik tabungan, maupun membuka

rekening baru, bisa tak terbatas (infinte).

Pola kedatangan bisa teratur, bisa juga acak (random). Kedatangan yang teratur

17

sering dijumpai pada proses pembuatan/pengemasan produk yang sudah

distandardisasi. Pada proses semacam ini, kedatangan produk untuk diproses pada

bagian selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya, misalnya setiap 1 menit.

Sedangkan pola kedatangan yang sifatnya acak (random) banyak dijumpai misalnya

kedatangan nasabah di bank. Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat

digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat ditentukan dua cara yaitu

kedatangan per satuan waktu dan distribusi waktu antar kedatangan. Jika

kedatangan diasumsikan terjadi dengan kecepatan rata-rata yang konstan dan bebas

satu sama lain disebut distribusi probabilitas Poisson.

Ciri distribusi poisson:

1. rata-rata jumlah kedatangan setiap interval bisa diestimasi dari data sebelumnya

2. bila interval waktu diperkecil misalnya dari 10 menit menjadi 5 menit, maka

pernyataan berlaku

a. probabilitas bahwa seorang pasien datang merupakan angka yang sangat

kecil dan konstan untuk setiap interval

b. probabilitas bahwa 2 atau lebih pasien akan datang dalam waktu interval

sangat kecil sehingga probabilitas untuk 2 atau lebih dikatakan nol (0).

c. Jumlah pasien yang datang pada interval waktu bersifat independent

d. Jumlah pasien yang datang pada satu interval tidak tergantung pada

interval yang lain.

2. Pelayan (Pusat layanan (service center))

Pelayan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan atau

satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap-tiap fasilitas pelayanan kadang disebut

sebagai saluran (channel) (Schroeder, 1997).

Tata letak fisik dari sistem antrian yang barkan dengan jumlah saluran, juga disebut

sebagai jumlah pelayan. Sistem antrian jalur tunggal (single channel, single server)

berarti bahwa dalam sistem antrian tersebut hanya terdapat satu pemberi layanan serta

satu jenis layanan yang diberikan. Sementara sistem antrian jalur tunggal tahapan

berganda (single channel multi server) berarti dalam sistem antrian tersebut

terdapat lebih dari satu jenis layanan yang diberikan, tetapi dalam setiap jenis layanan

hanya terdapat satu pemberi layanan.

Sistem antrian jalur berganda satu tahap (multi channel single server) adalah

terdapat satu jenis layanan dalam sistem antrian tersebut , namun terdapat lebih dari

satu pemberi layanan. Sedangkan sistem antrian jalur berganda dengan tahapan

berganda (multi channel, multi server) adalah sistem antrian dimana terdapat lebih

dari satu jenis layanan dan terdapat lebih dari satu pemberi layanan dalam setiap jenis

layanan.

18

Yang merupakan bagian dari pelayanan antara lain waktu pelayanan pelanggan, jumlah

server, konstruksi (paralel/seri), contohnya, jalan tol dapat memiliki beberapa

pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat pula hanya terdiri dari satu pelayan dalam

satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket seperti pada penjualan tiket di

gedung bioskop.

3. Antrian

Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses pelayanan.

Jika tak ada antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau kelebihan

fasilitas pelayanan (Mulyono, 1991). Batasan panjang antrian bisa terbatas (limited)

bisa juga tidak terbatas (unlimited). Sebagai contoh antrian di jalan tol masuk dalam

kategori panjang antrian yang tidak terbatas. Sementara antrian di rumah makan,

masuk kategori panjang antrian yang terbatas karena keterbatasan tempat. Dalam

kasus batasan panjang antrian yang tertentu (definite line-length) dapat menyebabkan

penundaan kedatangan antrian bila batasan telah tercapai. Contoh : sejumlah tertentu

pesawat pada landasan telah melebihi suatu kapasitas bandara, kedatangan pesawat

yang baru dialihkan ke bandara yang lain.

4. Disiplin antrian Beberapa disiplin antrian diantaranya FIFO, LIFO, random, seleksi prioritas.

Karakteristik sumber:

1. Ini adalah tipe, terbatas atau tidak terbatas. Jika sumber terbatas, maksimum jumlah

job yang dibuat oleh sumber dalam suatu model mengandung batas atas tertentu.

2. Distribusi interval maing-masing job yang berturut-turut (waktu interarrival).

3. Permintaan setiap job untuk dilayani oleh setiap pusat layanan terdapat dalam model;

jika setiap tipe permintaan didistribusi secara bersamaan untuk semua job perlu

dipertimbangkan permintaan itu menjadi salah satu karakteristik hubungan antara

pusat layanan, bukan sekedar sumber saja.

Karakteristik Pusat Layanan:

1. Jumlah dan kapasitas dalam antrian: kapasitas antrian adalah jumlah maksimum job

yang dapat ditampung.

2. Jumlah server dan jumlah channel pada setiap server tersebut.

3. Kecepatan server: Jika permintaan suatu job d diberikan dalam unit layanan, dan v

adalah kecepatan server dalam memberikan layanan per waktu unit, maka waktu

layanan vdts = . Rata-rata layanan server pada periode waktu yang telah lewat

didefinisikan sebagai tsratarata −

1, dimana tsratarata − adalah rata-rata waktu

layanan yang telah lewat.

19

4. Tertib layanan yang akan terlihat dalam kondisi server memberi perlakuan terhadap

order job yang dilayani.

Karakteristik elemen dalam menganalisa sistem antrian:

1. Proses kedatangan (Arrival Process). Jika waktu kedatangan job t1, t2, ... tj, variabel

random dinyatakan sebagai waktu interarrival. Ini secara umum diasumsikan sebagai

waktu interval dari urutan yang tidak tergantung dan terdistribusi secara identik (IID)

oleh variabel random.

2. Distribusi waktu layanan (Service Time Distribution). Waktu layanan adalah waktu

yang dipakai pada server. Ini juga mengasumsikan suatu variabel random IID.

Distribusi yang banyak digunakan adalah eksponensial, Erlang, hipereksponensial dan

distribusi umum yang dapat diaplikasikan untuk semua layanan distribusi waktu.

3. Jumlah Server, adalah jumlah server yang melayani sistem antrian. Ini diasumsikan

identik ketika server itu menjadi bagian dari suatu sistem antrian. Jika server tersebut

tidak identik, biasanya dikelompokkan berdasarkan kesamaannya masing-masing.

Dalam kasus ini berarti setiap kelompok merupakan sistem antrian tersendiri.

4. Kapasitas Sistem. Menyatakan jumlah maksimum job yang dapat berada dalam

antrian, atau menunjukkan area yang tersedia dalam jaringan dan tentu akan

menghindari waktu tunggu yang lama. Dalam sebagian besar sistem, nilai ini terbatas.

Namun jika nilai ini sangat besar, maka ini dapat diasumsikan sebagi nilai yang tidak

terbatas.

5. Besar Populasi adalah total jumlah job yang dapat datang ke server. Pada kebanyakan

sistem nyata, nilai besar populasi ini terbatas, agar lebih mudah dianalisa

dibandingkan nilai yang tidak terbatas . 6. Tertib Layanan. Parameter ini menjelaskan bagaimana perlakuan terhadap order job

yang dilayani tersebut. Biasanya menggunakan metode First Come First Served

(FCFS), Last Come First Serverd (LCFS), Last Come First Served with Preempt and

Resume (LCFSPR), Round Robin (RR) dengan ukuran pasti waktu quantum,

Processor Sharing (PS). Sistem dengan delay yang tetap seperti sambungan satelit,

disebut server tidak terbatas (Infinite Server) atau pusat delay (delay center).

Kadangkala tertib layanan ini berdasarkan waktu layanan seperti : Shortest Processing

Time first (SPT), Shortest Remaining Processing Time first (SRPT), Shortest Expected

Processing Time first (SEPT), Shortest Expected Remaining Processing Time first

(SERPT). Disiplin Antrian Disiplin antri adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani pengantri.

Menurut Siagian (1987), ada 5 bentuk disiplin pelayanan yang biasa digunakan, yaitu:

1. First-Come First-Served (FCFS) atau First-In First-Out (FIFO)

artinya, lebih dulu datang (sampai), lebih dulu dilayani (keluar).

20

Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket bioskop.

2. Last-Come First-Served (LCFS) atau Last-In First-Out (LIFO)

Artinya yang tiba terakhir yang lebih dulu keluar.

Misalnya, sistem antrian dalam elevator untuk lantai yang sama.

3. Service In Random Order (SIRO)

Artinya panggilan didasarkan pada peluang secara random, tidak soal siapa yang

lebih dulu tiba.

4. Priority Service (PS)

Artinya prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas

lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai prioritas lebih rendah,

meskipun yang terakhir ini kemungkinan sudah lebih dahulu tiba dalam garis tunggu

Kejadian seperti ini kemungkinan disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seorang yang

dalam keadaan penyakit lebih berat dibanding dengan orang lain dalam suatu tempat pr

aktek dokter. Dalam hal di atas telah dinyatakan bahwa entitas yang

berada dalam garis tunggu tetap tinggal di sana sampai dilayani. Hal ini bisa saja

tidak terjadi. Misalnya, seorang pembeli bisa menjadi tak sabar menunggu

antrian dan meninggalkan antrian.

Untuk entitas yang meninggalkan antrian sebelum dilayani digunakan

istilah pengingkaran (reneging). Pengingkaran dapat bergantung pada panjang garis tun

ggu atau lama waktu tunggu. Istilah penolakan (balking) dipakai untuk

menjelaskan entitas yang menolak untuk bergabung dalam garis tunggu.

Macam Bentuk Antrian 1. Antrian tunggal, server tunggal (Single Channel Single Phase)

Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem pelayanan atau

ada satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu pelayanan.

2. Antrian tunggal, server banyak (Single Channel Multi Phase) Istilah Multi Phase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan

secara berurutan (dalam phase-phase). Sebagai contoh : pencucian mobil.

Server seri

21

server paralel

3. Antrian banyak, server tunggal (Multi Channel Single Phase) Sistem Multi Channel Single Phase terjadi kapan saja di mana ada dua atau lebih

fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal, sebagai contoh model ini adalah

antrian pada teller sebuah bank.

Antri

Fasilitas

pelayanan

4. Antrian banyak, server banyak (Multi Channel Multi Phase)

Sistem Multi Channel Multi Phase ditumjukkan dalam Gambar.

Sebagai contoh, registrasi para mahasiswa di universitas, pelayanan kepada pasien

di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran.

Setiap sistem-sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada tiap tahapnya.

server seri :

server paralel

Model-model Antrian Pada pengelompokkan model-model antrian yang berbeda akan digunakan suatu notasi

yang disebut dengan Notasi Kendal. Notasi ini sering digunakan karena beberapa alasan.

Diantaranya, karena notasi tersebut merupakan alat yang efisien untuk mengidentifikasi

tidak hanya model-model antrian, tetapi juga asumsi-asumsi yang harus dipenuhi.

Format umum model (a/b/c):(d/e/f) di mana :

a = distribusi pertibaan/pola kedatangan (arrival distribution), yaitu jumlah pertibaan

pertambahan waktu.

b = distribusi waktu pelayanan/pola pelayanan, yaitu selang waktu antara satuan-

satuan yang dilayani (atau keberangkatan).

c = jumlah saluran pelayanan paralel (jumlah pelayan) dalam sistem.

d = disiplin pelayanan.

e = jumlah maksimum yang diperkenankan berada dalam sistem (kapasitas fasilitas

pelayanan ditambah penampungan).

Teori Antrian – Putriaji Hendikawati

Prodi Staterkom Jurusan Matematika FMIPA Unnes 2011

1

f = besarnya populasi masukan.

Keterangan:

1. Untuk huruf a dan b, dapat digunakan kode-kode berikut sebagai pengganti:

M = Distribusi pertibaan Poisson atau distribusi pelayanan eksponensial; juga sama

dengan distribusi waktu antara pertibaan eksponensial atau distribusi satuan

yang dilayani Poisson, atau waktu antar kedatangannya berdistribusi eksponensial

D = berdistribusi deterministik

G = waktu antar kedatangan berdistribusi yang lain (pola secara umum)

2. Untuk huruf c, digunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah pelayanan

paralel.

3. Untuk huruf d, dipakai kode-kode pengganti :

FIFO atau FCFS : First In First Out atau First Come First Served.

LIFO atau LCFS : Last In First Out atau Last Come First Served.

SIRO : Service In Random Order.

G D : General Service Disciplint.

4. Untuk huruf e dan f, dipergunakan kode N (untuk menyatakan jumlah terbatas) atau ∞

(tak berhingga satuan – satuan dalam sistem antrian dan populasi masukan).

Sebagai ilustrasi pertimbangkan model (M/M/1):(FIFO/∞ /∞ )

model ini menyatakan pola kedatangan berdistribusi secara Poisson, waktu

pelayanan berdistribusi secara eksponensial, jumlah pelayanan adalah satu,

disiplin antrian adalah FIFO, tidak berhingga jumlah langganan boleh masuk dalam

sistem antrian, dan ukuran (besarnya) populasi masukan adalah tak berhingga.

Untuk selanjutnya model (M/M/1):(FIFO/∞ /∞ ) seringkali hanya dituliskan dalam

bentuk (M/M/1).

SOAL 1. Sebuah pesawat televisi baru tiba/datang setiap 3 menit untuk diperiksa oleh bagian

quality control dengan dasar yang pertama datang yang akan pertama dilayani. Pada

bagian quality control hanya terdapat seorang ahli dan dibutuhkan waktu 4 menit

untuk memeriksa tiap pesawat televisi yang baru. Tentukan jumlah rata-rata pesawat

televisi yang menunggu untuk diperiksa setelah 21

jam pertama dari suatu jam kerja

jika pada awal jam kerja tidak ada pesawat televisi yang menunggu!

2. Bis-bis mendatangi suatu tempat pusat untuk pencucian dalam kelompok-kelompok

yang terdiri dari dari 5 bis setiap jam. Bis-bis dilayani dalam urutan yang acak 1 bis



2

dalam 1 saat. Tiap-tiap bis membutuhkan waktu pelayanan 11 menit dan segera

meninggalkan tempat tersebut setelah bersih. Tentukan:

a. Jumlah rata-rata dari bis yang berada di tempat pencucian.

b. Jumlah rata-rata bis yang menunggu untuk dibersihkan.

c. Berapa waktu rata-rata yang dihabiskan bis dalam suatu tempat pencucian.

3. Para pasien didaftarkan untuk suatu tes kesehatan di sebuah klinik setiap 5 menit

dimulai pukul 9 pagi. Tes ini membutuhkan waktu 8 menit dan biasanya dilakukan

oleh seorang dokter yang digaji khusus untuk tugas ini. Jika terdapat 3 atau lebih

pasien dalam ruang tunggu maka seorang dokter lainnya juga melakukan tes ini

hingga ruang tunggu menjadi kosong. Pada saat itu dokter kedua kembali

menjalankan tugasnya semula hingga ia dibutuhkan kembali.

a. Pada jam berapa dokter kedua untuk pertama kalinya melakukan tes ini dan

pada jam berapa ia berhenti juga untuk pertama kalinya.

b. Berapa jumlah rata-rata pasien dalam ruang tunggu antara pukul 9 pagi dan

pukul 10 pagi.

c. Berapa jumlah rata-rata pasien dalam klinik dari pukul 9 pagi sampai pukul 10

pagi.



3

Peran distribusi Poisson dan Eksponensial pada Antrian Suatu proses kelahiran-kematian adalah suatu proses markov yang transisi dari state k

hanya dapat terjadi dari state k-1 dan k+1. Dapat digambarkan bahwa transisi dari k ke

k+1 adalah kelahiran, sedangkan arah berlawanannya yaitu dari k ke k-1 adalah

kematian. Hal ini dapat dianggap sebagai kedatangan dan kepergian dari suatu antrian

dengan queue kedatangan dan kepergian masing-masing adalah proses poisson.

Pola kedatangan poisson :

• Dalam sistem antrian, customers datang untuk memperoleh layanan

• Customers datang secara acak

Asumsi-asumsi dalam kedatangan poisson :

• Peluang sebuah customer (disebut job) datang dalam selang waktu yang sangat

singkat ∆t dapat dinyatakan dengan P = λ∆t, dimana λ adalah konstan.

• Hanya ada dua kemungkinan yang terjadi di dalam selang ∆t yaitu datang satu job

atau tidak ada kedatangan.

• Di dalam selang ∆t, baik ada atau tidak ada kedatangan, tidak tergantung pada

kedatangan dalam selang waktu lainnya.

Contoh proses poisson:

Jika rata-rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan

dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson.!

Jawab :

Diketahui λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72/jam maka 1 jam atau 60 menit adalah

unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 201

603= unit waktu maka t =

201

dan x = 4

72(1/20) 4

( )( )!

(72*(1/ 20))( )4!

t xe tP xx

eP x

λ λ−

−

=

=

= 0.191 atau 19.1 %



4

SISTEM ANTRIAN M/M/1

Adalah suatu sistem antrian yang pola kedatangannya dan pola pelayanannya

berdistribusi eksponensial dengan jumlah pelayan satu, kapasitas fasilitasnya tak hingga

dan disiplin pelayanannya FIFO. M/M/1 adalah model antrian dengan satu server, yang

dapat digunakan sebagai pendekatan untuk berbagai system yang sederhana.

Ilustrasi :

Model antrian ini dalam notasi Kendal secara lengkap adalah (M/M/1):(GD/~/~)

dimana:

Notasi M (Markov) : Distribusi Poisson (interarrival)

M : Distribusi Poisson/ Eksponensial

1 : Single Server

GD (General Disciplin) : FCFS (First Come First Service) / FIFO

~ : Antrian tak terhingga

Dalam topik ini akan dibahas permasalahan antrian yang didasarkan pada asumsi berikut:

1) Satu pelayanan dan satu tahap.

2) jumlah kedatangan per unit waktu digambarkan oleh proses Poisson dengan λ =

rata-rata kecepatan kedatangan

3) waktu pelayanan eksponensial dengan µ = rata-rata kecepatan pelayanan

4) disiplin antrian adalah First Come First Served (aturan antrian pertama datang-

pertama dilayani) seluruh kedatangan dalam barisan hingga dilayani.

5) dimungkinkan panjang barisan yang tak terhingga.

6) populasi yang dilayani tidak terbatas

7) rata-rata kedatangan lebih kecil dari rata-rata waktu pelayanan

Kasus contoh sederhana yang seringkali dapat kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari:

1. Sebuah kantor pos dengan seorang petugas saja.

2. Sebuah pom bensin dengan satu pelayan.

3. Sebuah supermarket dengan seorang kasir.

Parameter model antrian ditentukan dengan notasi berikut:

λ = rata-rata laju/kecepatan kedatangan (jumlah kedatangan persatuan waktu) = rata-rata waktu antar kedatangan (waktu antar kedatangan yang diharapkan)



5

µ = rata-rata laju/kecepatan pelayanan (jumlah satuan yang dilayani persatuan waktu bila pelayan sibuk).

µ1

= rata-rata waktu yang dibutuhkan pelayan (waktu yang diharapkan untuk melayani 1

pelanggan)

λ dan µ satuannya dalam waktusatuan

pelangganjumlah

Sistem antrian M/M/1 merupakan proses kelahiran kematian Poisson, maka λλ =n dan µµ =n untuk semua n.

Steady State (Keadaan Tunak) Peluang terjadinyakeadaan tunak untuk sistem antrian, jika:

( ) K,2,1,0,lim ==

→ntPP nntn (jika limitnya ada)

Untuk sistem M/M/1 didefinisikan faktor kegunaan:

pelayananwakturataratadiharapkanyanggankedajumlah

−==

tanµλρ

ρ akan bernilai 1 apabila µλ =

Keadaan tunak akan tercapai bila 1<ρ sehingga tidak terdapat antrian.

Jika 1<ρ peluang-peluang keadaan tunak ada.

Peluang keadaan tunak ( )ρρ −= 1nnP .

Bukti: Dari persamaan Kolmogorov:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tPtPtPdt

tPdnnnnnnn

n1111 −−++ +++−= λµµλ

( ) ( ) ( )tPtPdt

tPd0011

0 λµ −=

Keadaan tunak dicapai jika ( ) 0=

dttPd n dengan λλ =n dan µµ =n

( ) ( ) ( ) ( ) 011 =+++−⇔ −+ tPtPtP nnn λµµλ

( ) ( ) ( ) ( ) 011 =++−−⇔ −+ tPtPtPtP nnnn λµµλ

( ) ( ) ( ) ( )tPtPtPtP nnnn 11 −+ −+=⇔ λµλµ

( ) ( ) ( ) ( )tPtPtPtP nnnn 11 −+ −+=⇔ ρρ

( ) ( ) ( ) ( )tPtPtP nnn 11 1 −+ −+=⇔ ρρ



6

Jadi, ( ) 11 1 −+ −+= nnn PPP ρρ …………………………………….. (1)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

01

01

001

101 10

PPtPtP

tPtPtPtPtPtPn

ρρρ

ρρ

==⇔

+=⇔−+=⇒= −

( )( )

02

2

00

012

111

PP

PPPPPn

ρ

ρρρρρ

=

−+=−+=⇒=

( )( )

03

3

02

02

123

1

12

PP

PP

PPPn

ρ

ρρρ

ρρ

=

−+=

−+=⇒=

( )( )

04

4

02

03

234

1

13

PP

PP

PPPn

ρ

ρρρρ

ρρ

=

−+=

−+=⇒=

Secara umum 0PP nn ρ=

Jumlah peluang-peluang di atas harus sama dengan 1 dan 10 <<ρ , maka

∑∞

=

=0

1n

nP

ρρ

ρ

ρ

−=⇔

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⇔

=⇔

=⇔

∑

∑∞

=

∞

=

1

11

1

1

1

0

0

00

00

P

P

P

P

n

n

n

n

Dengan demikian 0PP nn ρ= ⇔ ( )ρρ −= 1n

nP TERBUKTI

Jika 1>ρ maka kedatangan pelanggan terjadi dengan kelajuan yang cepat dari pada

yang dapat ditampung oleh pelayan akibatnya panjang antrian yang diharapkan

bertambah tanpa batas sehingga tidak terjadi keadaan tunak.

Demikian pula jika 1=ρ akibatnya kedatangan pelanggan terjadi dengan kelajuan yang

sama dengan rata-rata waktu pelayanan akhirnya tidak akan terjadi keadaan tunak

karena tidak terjadi antrian.



7

Ukuran keefektifan Dalam keadaan tunak (steady state) terdapat ukuran-ukuran keefektifan.

n = jumlah pelanggan dalam sistem

λ1

= waktu rata-rata kedatangan

µ1

= waktu rata-rata pelayanan

L = jumlah pelanggan rata-rata yang diharapkan dalam sistem

qL = panjang antrian yang diperkirakan/ jumlah pelanggan yang menunggu dalam

antrian

sL = rata-rata jumlah satuan dalam sistem

W = waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem

qW = waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam antrian

sW = rata-rata waktu tunggu dalam sistem

( )tW = peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t unit

waktu di dalam sistem

( )tWq = peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t unit

waktu di dalam antrian

nP = peluang bahwa di dalam sistem terdapat n pelanggan.

0P = peluang bahwa tidak terdapat pelanggan di dalam sistem.

Ukuran keefektifan yang digunakan pada saat steady state

Jumlah pelanggan rata-rata yang diharapkan dalam sistem ∑=

=n

inPnL

0.

Tingkat intensitas (factor kegunaan) pelayanan µλρ =

Probabilitas kepastian n pelanggan terdapat dalam sistem ( )ρρ −= 1nnP

Jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dlm sistem λµ

λρ

ρ−

=−

=1sL

Jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian

( )λµµλ

ρρ

−=

−=

22

1qL

Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem λµ −

=1

sW



8

Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam antrian

( )λµµλ

λµρ

−=

−=qW

Peluang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t waktu dalam sistem

( ) 0, ≥=− tetW W

t

( ) [ ] [ ]tTPtTPtW ≤−=>= 1

Peluang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t waktu dalam antrian (untuk

dilayani)

( ) 0, ≥=− tetW W

t

q ρ

( ) [ ] [ ]tTPtTPtW qqq ≤−=>= 1

Hubungan antara qsq WWLL ,,, adalah:

WLs .λ=

qq WL .λ= untuk model M/M/1 maka λλ = .

µ1

+= qs WW

Contoh (Aminudin, 2005: 178)

Sebuah minimarket mempunyai satu cash register dan satu orang petugas kasir untuk

mengoperasikannya dalam transaksi pembayaran terhadap konsumen. Konsumen harus

antri dalam satu jalur di depan kasir untuk membayar belanjaannya. Tingkat rata-rata

kedatangan konsumen λ = 24 per jam dan sesuai dengan distribusi Poisson. Waktu

pelayanan berdistribusi eksponensial dengan tingkat rata-ratanya adalah µ = 30

konsumen per jam. Manajer minimarket ingin mengevaluasi karakteristik operasional dari

sistem antrian tersebut. Tentukan:

a. probabilitas tidak ada konsumen dalam sistem ( )0P

b. rata-rata jumlah konsumen dalam antrian ( )qL



9

c. rata-rata jumlah konsumen dalam sistem ( )sL

d. rata-rata waktu dalam antrian ( )qW

e. rata-rata waktu dalam sistem ( )sW

f. tingkat kegunaan fasilitas cash register ( )ρ

Penyelesaian

a. 0,2

b. 3,2 konsumen

c. 4 konsumen

d. 0,133 jam (8 menit)

e. 0,167 jam (10 menit)

f. 0,8 (80 %)

Soal 1. Bagian Pelayanan khusus untuk pria disebuah toko memperkerjakan seorang penjahit

baju.jumlah pelanggan yang hendak mengukur baju mengikuti distribusi poisson

dengan laju kedatangan rata rata 24 orang per jam. Para pelanggan dilayani berdasar

aturan FIFO dan mereka rela menunggu pelayanan penjahit karena pengubahan

ukuran bajunya gratis. Waktu yang dibutuhkan penjahit untuk mengambil baju

pelanggan terdistribusi secara eksponensial dengan rata ratanya 2 menit.

a. Berapa jumlah pelanggan rata-rata dalam ruang pas.

b. Berapa lama waktu yang diharapkan seorang pelanggan akan dihabiskannya

dalam ruang pas.

c. Berapa presentase waktu penjahit tersebut mengangur.

d. Berapa peluang bahwa seorang pelanggang akan menunggu pelayanan pejahit

lebih dari 10 menit.

2. Seorang ahli cicip makanan dari sebuah toko makanan adalah pemilik toko itu

sendiri. Pola kedatangan pelanggan pada hari sabtu kelihatanya mengikuti pola

distribusi poisson dengan rata-rata laju kedatangan 10 orang per jam. Para pelanggan

dilayani dengan aturan FIFO. Karena reputasi toko yang baik, para pelanggan rela

menunggu begitu meraka tiba. Waktu yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan

ditaksir berdistribusi eksponensial dengan waktu pelayanan rata-rata 4 menit.

a. Peluang bahwa terdapat sebuah antrian.

b. ukuran rata-rata dari antrian tersebut.



10

c. Waktu yang diharapkan seorang pelanggan harus menunggu didalam antrian.

d. Peluang bahwa seorang pelanggan akan menghabiskan waktu kurang 12 menit.

3. Tempat pembayaran pada sebuah penjualan eskrim dilayani oleh seorang pelayan.

Para pelanggan berdatangan mengikuti proses Poisson dengan laju kedatangan rata-

rata 30 orang perjam. Meraka dilayani berdasarkan aturan FIFO dan karena kualitas

eskrim yang memuaskan mereka rela menunggu bila perlu. Waktu pelayanan per

pelanggan kelihatan berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 1,5 menit. Tentukan :

a. Jumlah pelanggan rata-rata yang menunggu untuk dilayani

b. Jumlah waktu yang diharapkan seorang pelanggan menunggu dilayani.

c. Peluang bahwa seorang akan menghabiskan waktu lebih dari 15 menit dalam

antrian.

d. Peluang bahwa pelayannya menganggur.

4. Kedatangan bis pada sebuah fasilitas pelayanan mengikuti proses Poisson dengan

laju rata-rata 10 buah bis tiap jam. Tempat pelayanan hanya dapat melayani satu bis

pada saat tertentu dan pelayanannya terdistribusi secara Eksponensial dengan rata-

rata 121

hari. Biaya operasi yang ditanggung perusahaan bis pemilik fasilitas

pelayanan adalah Rp 200.000,-/hari ditambah Rp 50.000,-/hari jika sedang melayani

sebuah bis. Apabila perusahaan membeli peralatan yang akan meningkatkan biaya

operasional harian menjadi Rp 245.000,-/hari maka perusahaan dapat mengurangi

waktu pelayanan rata-rata menjadi 151

hari. Apakah kebijakan membeli peralatan

baru ini menarik secara ekonomis bagi perusahaan? Jelaskan!



11

BUKTI BEBERAPA UKURAN KEEFEKTIFAN

ρρ−

=1SL

( )

( )

( )

( )

( )( )

ρρ

ρρρ

ρρρ

ρρρ

ρρρ

ρρ

−=

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−=

−=

−=

=

∑

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

1

111

111

1

1

1

2

0

0

0

0

S

n

n

n

n

n

n

nn

L

dpd

dpd

dpd

n

PnL

λµ

µλ

µ

λµλ

µλλρ

ρλ

λλλ

λ

−=

−=

−=

−=

=

==

=

1

1

1

1.1

1

1//

W

LW

berlakuMMdalamWLWL

S

S

( )

ρρ

ρρρρ

ρρ

ρ

ρ

ρµλλλ

λµ

−=

−−−

=

−−

=

−=

+=⇔

+=⇔

+=

1

11

1

1

2

q

sq

qs

qs

qs

L

LL

LL

WW

dikalikanruasKedua

WW

λµρλµ

µλµλ

µλ

λµλ

µλλρ

ρλ

−=

−=

−=

−=

−=

=

q

qq

W

LW

1

1.1

1

2

2

2

2



2

SISTEM ANTRIAN YANG LAIN DENGAN TIPE KEDATANGAN SEMACAM POISSON DAN TIPE PELAYANAN SEMACAM EKSPONENSIAL

Dalam praktek/kenyataan sering kali dijumpai suatu antrian yang tidak mengikuti pola

kedatangan berdistribusi poisson dengan parameter λ yang tetap, tetapi sering kali

berubah menurut jumlah pelanggan di dalam sistem. Dapat pula terjadi para pelanggan

yang meninggalkan sistem tidak berlangsung dengan rata-rata µ yang tetap, tetapi

berlangsung seperti halnya terdapat seorang pelayan yang waktu pelayanannya

mengikuti semacam distribusi eksponensial dengan µ berubah menurut keadaan sistem.

Proses-proses antrian semacam ini dapat dimodelkan sebagai semacam proses

kelahiran-kematian Markov secara umum.

Jumlah kedatangan yang diharapkan dalam waktu t∆ kecil adalah: t.∆nλ dan

Jumlah kepergian yang diharapkan dalam waktu t∆ kecil adalah: tn ∆.µ

Sehingga peluang-peluang dalam keadaan tunak (steady state):

11 . −−= nn

nn PP

µλ

atau 2,1,...

...0

11

021 ==−

−− nPPnn

nnn µµµ

λλλK

K

0P dapat ditentukan dengan ∑∞

=

=0

1n

nP

Jumlah tersebut konvergen asal pernbandingan λ dan µ tidak besar.

Jadi keadaan tunak dijamin jika:

11 <≤− θµλ

n

n untuk semua n yang besar

Rumus Litle:

Laju kedatangan rata-rata pelanggan memasuki suatu fasilitas pelayanan.

∑∞

=

=0n

nn Pλλ

Jumlah pelanggan rata-rata yang diharapkan dalam sistem

∑∞

=

=0n

ns nPL

Jumlah pelanggan rata-rata yang diharapkan dalam antrian

{ }∑∞

=

−=0

0,n

nnq PSnmaksL

nS = banyaknya pelayan dalam keadaan n.



3

PENOLAKAN DAN PEMBATALAN

Populasi yang dalam dan akan dilayani dalam suatu sistem antrian mempunyai perilaku

yang berbeda-beda dalam membentuk antrian. Ada tiga jenis perilaku, yaitu reneging,

balking, dan jockeying.

PENOLAKAN (BALKING) Terjadi apabila seorang pelanggan menolak masuk kedalam fasilitas pelayanan karena

antrian yang terlalu panjang. Balking menggambarkan orang yang tidak masuk dalam

antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian.

Jika pola kedatangan pelanggan tidak tergantung pada keadaan dengan laju rata-rata

λ maka laju rata–rata kedatangan pelanggan masuk dalam fasilitas pelayanan adalah

( )[ ]λλ nbn −= 1

Dengan ( )nb = fungsi penolakan, bila tidak terjadi penolakan ( )nb = 0.

PEMBATALAN (RENEGING) Terjadi apabila pelanggan meninggalkan antrian sebelum dilayani karena waktu

menunggu untuk dilayani terlalu lama. Reneging menggambarkan situasi dimana

seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan, kemudian

meninggalkan antrian tersebut.

Efek keseluruhan akan memperbesar laju pelayanan.

Untuk sistem antrian M/M/1, laju pelayanan:

( )nrn +=µµ

dengan ( )nr adalah fungsi pembatalan yang didefinisikan.

( ) [ ]t

sistemdalampelangganntwaktudalambatalpelangganPnr

t ∆

∆=

→∆

1lim

0

JOCKEYING Jockeying menggambarkan orang yang pindah-pindah antrian.

Soal 1. Pemilik sebuah toko kecil tetapi cukup sibuk menjual surat kabar dan rokok. Melayani

pelanggannya dengan rata-rta pelayanan 1 pelanggan tiap 30 detik dan distribusi

sebenarnya berbentuk eksponensial. Kedatangan pelangganya mengikuti proses

poisson dengan laju rata-rata 3 0rang per menit dan mereka rela menunggu untuk

dilayani. Beberapa pelanggan tidak ingin menunggu dan mereka mencari toko yang



4

lain. Peluang bahwa seorang pelanggan yang datang menolak masuk adalah 3n

dengan n banyaknya pelanggan yang telah ada di dalam toko. Berapa keuntungan

yang hilang menurut perkiraan pemilik toko karena berpindahnya pelanggan ke toko

lain, jika keuntungan rata-rata tiap pelanggan $ 30.

2. Stasiun pompa bensin pada suatu jalan pedesaan mempunyai sebuah pompa untuk

menyalurkan bensin ke mobil. Kedatangan mobil ke statiun ini untuk mengisi bensin

mengikuti proses poisson, dengan laju rata-rata 10 mobil perjam. Waktu yang

dibutuhkan untuk melayani sebuah mobil kelihatannya berdistribusi eksponensial

dengan rata-rata 2 menit. Stasiun ini dapat menampung paling banyak 4 mobil.

Sedangkan peraturan lalu lintas lokal melarang mobil-mobil menunggu dijalanan.

Stasiun pompa ini cukup populer karena menjual bensin dengan harga yang lebih

rendah dari pesaingnya. Tetapi harga ini tidak cukup menggantikan kerugian karena

beberapa pelanggan cenderung membatalkan niat untuk mengisi bensin karena

antrian yang panjang. Fungsi pembatalannya adalah

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

K,3,2,

1,0,02 njampere

njamperr nn

Tentukan :

a. Jumlah rata-rata mobil dalam stasiun pada setiap saat

b. Jumlah mobil yang membatalkan niatnya tiap jam



5

SISTEM ANTRIAN M/M/S

Model antrian ini dalam notasi Kendal ditulis (M/M/s) : (GD/∞/∞)

Asumsi:

-) waktu antar kedatangan = distribusi eksponensial

-) waktu pelayanan = distribusi eksponensial

-) jumlah pelayanan paralel = s

-) disiplin antrian = general discipline

-) jumlah maksimum antrian = tak terhingga

-) jumlah populasi = tak terhingga

Pola kedatangan eksponensial, ada s pelayan masing-masing independen laju

kedatangan tidak tergantung pada keadaan ( λλ =n )

Pola pelayanan berdistribusi eksponensial.

Waktu pelayanan tidak tergantung pada keadaan tetapi tergantung pada banyaknya

pelanggan.

λλ =n

⎩⎨⎧

++==

=K

K

,2,1,,,1,0,

ssnssnn

n µµ

µ

Keadaan tunak (steady state) tercapai jika:

1.<=

µλρ

s

Peluang pada keadaan Tunak:

( )( ) 1

0

1

0 !1!

−

=

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−= ∑

s

n

nss

ns

ssP ρ

ρρ

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++=

==

K

K

,2,1,,!

,,2,1,! 0

ssns

s

snPn

s

Pns

n

nρ

ρ

( ) 02

1

1!P

pssL

ss

q−

=+ρ

dengan λλ = berdasar rumus Little dapat dihitung qW , sL , dan W.

qq WL .λ=



6

µ1

+= qWW

WLs .λ=

( ) ( ) ( )( )( )( ) 0,

11!1

11

0 ≥⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−−−

+=−−−

− tsss

ePsetW

sstst

ρρρ

ρµ

µ

( ) ( )( )

( ) 0,1!

10 ≥−

= −− tes

PstW ts

s

qρµ

ρρ

Soal 1. Pada sebuah bank kecil terdapat 2 teller yang sama–sama efisien , dan mereka

sanggup melayani transaksi masing-masing 60 pelanggar/jam, dengan waktu

pelayanan terdistribusi secara eksponensial. Kedatangan pelanggan mengikuti proses

poisson dengan laju rata-rata kedatangan 100 pelanggan/jam.Tentukan:

a. peluang terdatat lebih dari 3 pelanggan pada waktu yang sama.

b. peluang bahwa salah satu teller mengangur.

c. peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan lebih dari 3 menit dalam bank.

2. Sebuah departemen transportasi negara mempunyai 3 tim penyelidik keselamatan

yang secara terus menerus melakukan penyelidikan begitu ada kecelakaan yang fatal

di jalan raya, menganalisis dan kemudian melaporkannya. Ke-3 tahun tersebut sama-

sama efisien, masing-masing membutuhkan rata-rata 2 hari untuk menyelidiki dan

melaporkan kecelakaan lalu lintas dengan waktu penyelidikan kelihatanny

berdistribusi eksponensial. Jumlah kecelakaan lalu lintas fatal di jalan raya

kelihatannya mengikuti proses poisson dengan lahu rata-rata 300

kecelakaan/tahun.Tentukan L, Lq, W dan Wq untuk proses ini dan berikan arti

masing-masing tersebut?

3. Sebuah tempat penjualan roti bakar dilayani oleh 2 orang, masing-masing sanggup

melayani rata-rata 30 pelanggan/jam, dengan waktu pelayanan berdistribusi secara

eksponensial. Para pelanggan mendatangi tempat tsb mengikuti proses poisson

dengan poisson dengan laju rata-rata 40 orang/jam. Tentukan :

a. Presentasi waktu seorang pelayan menganggur

b. Peluang bahwa tidak terdapat lebih dari 2 pelanggan menunggu pelayanan pada

sembarang waktu.

4. Sebuah stasiun KA bagian luar memiliki 5 buah telpon umum. Selama jam-jam sibuk

pada siang hari orang-orang yang ingin melakukan pembicaraan telpon mendatangi



7

ke lima tempat ini, menurut proses poisson, dengan laju rata-rata 100 orang per

jam.Lama waktu melakukan satu pembicaraan telepon 2 menit mengikuti distribusi

eksponensial. Tentukan :

a. Lama waktu yang diharapkan seseorang harus menunggu untuk melakukan

pembicaraan telpon begitu ia tiba si tempat pesawat telepon tersebut

b. Peluang bahwa lama waktu menunggu tidak lebih dari 1 menit.

c. Jumlah orang yang diharapkan sedang menunggu/melakukan pembicaraan telp.



8

SISTEM ANTRIAN M/M/1/K

Sistem Antrian M/M/1/K

Pola kedatangan : berdistribusi poisson

Pola pelayanan : berdistribusi eksponensial

Jumlah pelayan : 1

Kapasitas pelayanan : k

λ = Laju kedatangan rata-rata para pelanggan waktu kedatangan rata-rata ke fasilitas

jika dalam keadaan n adalah

⎩⎨⎧

+=−=

=1,,0

1,,1,0,kkn

knn

Kλλ

Keadaan tunak selalu dipertahankan, berapapun nilai dari µλρ = dengan peluang-

peluang 0=nP untuk n > k, dan untuk n = 0, 1, ...... k maka:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

≠−

−

=+

1,1

1

1,1

11

ρ

ρρ

ρρ

k

Pk

n

n

Ukuran keefektifan :

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

≠−+

−−=

+

+

1,2

1,1

11 1

1

ρ

ρρρ

ρρ

k

k

Lk

k

dengan ( )kP−= 1λλ .

SOAL 1. Sebuah stasiun pompa bensin terletak disebuah pedesaan mempunyai sebuah

pompa untuk menyalurkan bensin ke mobil. Kedatangan mobil–mobil pada stasiun ini

untuk mengisi bensin mengikuti proses poisson dengan laju rata-rata 10 buah mobil

per jam. Waktu yang dibutuhkan untuk melayani sebuah mobil kelihatannya

berdistribusi eksponensial dengan nilai rata-rata 2 menit. Stasiun ini dapat

menampung paling banyak 4 mobil, sedangakan peraturan lalu lintas di desa tsb

melarang mobil-mobil menunggu di jalanan.

Tentukan:



9

a. Jumlah mobil rata-rata yang secara serempak berada di stasiun pompa bensin.

b. Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang menunggu dilayani begitu terjadi

kelebihan daya tampung di stasiun ini.

c. Laju rata-rata stasiun ini kehilangan pendapatannya karena beberapa pelanggan

mencari stasiun yang lain bila stasiun ini penuh jika harga penjualan rata-rata Rp

1.500.000 per jam.

2. Di luar sebuah restoran terdapat ruang yang dapat menampung paling banyak 5

pelanggan. Selama musim dingin bila pelanggan. Selama musim dingin bila

pelanggan datang dan menemukan restoran penuh maka tidak ada yang mau

menunggu di luar dalam suaca yang sangat dingin tetapi mencari restoran lainnya.

Para pelanggan mendatangi restoran ini menurut proses poisson dengan rata-rata 15

orang perjam. Restoran ini melayani para pelanggannya berdasar disiplin sntrian

FIFO.Restoran ini dilayani hanya oleh seseorang pemiliknya dengan waktu pelayanan

terdistribusi secara eksponensial dengan rata-rata 15 orang per jam.Tentukan :

a. Jumlah rata-rata pelanggan dalam restoran pada sebarang waktu.

b. Waktu yang diharapkan seseorang pelanggan menunggu untuk dilayani.

c. Laju rata-rata pendapatan restoran yang hilang akibat terbatasnya fasilitas jika

bayaran rata-rata 1 juta rupiah perjam.

3. Sebuah Perusahaan bus memerintahkan armada bisnya ketempat servis mobil untuk

memelihara rutin setiap menempuh 25.000 km.Tempat servis buka 24 jam tiap hari

dan dilayani seorang ahli service yang sanggup menservis 1 bis pada satu saat.

Waktu yang dibutuhkan untuk menservis 1 bis terdistribusi secara eksponensial

dengan rata-rata 4 jam. Bis bis mendatangi tempat servis menurut proses poisson

dengan laju rata-rata 12 bis perhari. Para sopir diperintahkan tidak memasuki tempat

servis jika telah terdapat 4 buah bis di dalamnya dan kembali ke pusat untuk

ditugaskan kembali.

a. Jumlah waktu yang dihabiskan sebuah bis ditempat servis tersebut bila bis tetap

berada di sana.

b. Kerugian yang dialami perusahaan bis karena terbatasnya fasilitas servis jika

biaya yang dikirim untuk sebuah bis ke tempat servis dan ternyata kembali tanpa

diservis adalah Rp.800.000.

4. Sebuah rumah sakit untuk pasien hamil mempunyai 5 buah ruang bersalin pasien

hamil mendatangi RS ini menurut proses poisson dengan rata-rata 12 pasien tiap hari

dan dikirim ke ruang bersalin jika ada yang kosong. Jika tidak ada yang kosong maka

pasien dikirim ke RS lain. Seorang pasien rata-rata menempati ruang bersalin selama



10

6 hari. Sedangkan waktu untuk menempati ruang tersebut terdistribusi secara

eksponensial sekitar waktu rata-rata tersebut.Tentukan :

a. Laju rata-rata untuk menempati ruang bersalin tersebut yaitu persentase

penggunaan ruang bersalin untuk jangka waktu yang lama.

b. Laju rata-rata saat pasien hamil dikirim ke RS yang lain.



11

SISTEM ANTRIAN M/M/S/K (dengan K ≥ S)

Model antrian ini dalam notasi Kendal (M/M/s) : (GD/K/∞), s ≤ K

Asumsi:

-) Waktu antar kedatangan = distribusi eksponensial

-) Waktu pelayanan = distribusi eksponensial

-) Jumlah pelayan paralel = s

-) Disiplin antrian = general discipline

-) Jumlah maksimum pelanggan dalam sistem/kapasitas pelayanan = K

-) Jumlah populasi = tak terhingga

⎩⎨⎧

+=−=

=K

K

,1,,01,,2,1,0,

kknkn

n

λλ

⎩⎨⎧

++==

=K

K

,2,1,,,2,1,0,

ssnssnn

n µµ

µ

Keadaan tunak terjadi untuk ρ berapapun dengan µλρs

= dengan peluang-peluang

keadaan tunak:

( )( )

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−

≠⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−

=−

=

−

=

−+

∑

∑

1,!!

.

1,!1!

1.

1

0

1

0

1

0

ρ

ρρρρρ

s

n

ns

s

n

nskss

ns

ssks

ns

ss

P

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

=

=

K

K

K

,1,0

,,1,!

.

,,2,1,0,!

0

0

kn

ksnPs

s

snPn

s

Pns

n

nρ

ρ


Ukuran-ukuran keefektifan:

( )( )( ){ } 02

1

.111!. Psk

ssL sksk

ss

q−−

+

−−−−−

= ρρρρ

ρ

λq

q

LW =



12

µ1

+= qWW

WL .λ=


Soal 1. Sebuah tempat pencucian mobil swalayan. Mempunyai 4 buah petak dimana para

pelanggan dapat mencuci dan mengkilapkan mobil secara swalayan. Juga terdapat

ruang dimana para pelanggan dapat memarkir mobilnya jika keempat petak tadi

penuh. Ruangan ini hanya dapat menampung 3 buah mobil. Kedatangan mobil-mobil

mengikuti proses poisson dengan laju rata-rata 15 pelanggan perjam.Jika tidak ada

ruang untuk memarkir mobil maka pelanggan harus pergi ketempat lain. Waktu ysng

dibutuhkan untuk melayani sebuah mobil kelihatannya terdistribusi secara

eksponensial dengan rata-rata 12 menit. Tentukan :

a. Jumlah rata-rata mobil ditempat pencucian pada sebarang saat

b. Laju yang diharapkan mobil menolak masuk ke tempat pencucian tsb.



13

MODEL SWALAYAN

Pada model swalayan, pelanggan yang akan membeli barang-barang keperluannya

melayani sendiri sehingga pelanggan sekaligus sebagai pelayan.

Contohnya pada ujian tertulis untuk mendapatkan SIM.

Catatan :

1. Hal yang dimaksudkan diatas bukan pada pembayaran, tetapi pada pelayanan

pembelian.

2. Pompa pengisian bahan bakar dan Bank yang bekerja 24 jam (ATM) tidak termasuk

pada model ini. Meskipun pelanggan melayani diri sendiri tetapi yang dimaksud

pelayan pada kasus tersebut adalah mesin ATM dan komputer bukan

pelanggannya.

Dengan demikian model antrian pada swalayan dapat dicirikan: M/M/∞

Untuk model yang digeneralisasi:

0, ≥= nn λλ

0, ≥= nnn µµ

Peluang-peluang dalam keadan tunak:

00 .!

.!

Pn

Pn

Pn

n

n

nρ

µλ

==

∑∞

=

=0

1n

nP

1!3!2!1 0

3

0

2

00 =++++⇔ KPPPP ρρρ

1!3!2

132

0 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++⇔ K

ρρρP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⇔

K!3!2

1

1320

ρρρP

ρeP 1

0 =⇔

ρ−=⇔ eP0



14

Dengan demikian:

⇒==−

K,2,1,0,!. n

neP

n

nρρ

n ~ POI ( )ρ

Ingat kembali distribusi poisson :

x ~ POI ( )λ ⇒ ( )!.

xexf

xλλ−

=

Karena persyaratan dari swalayan maka, akibatnya:

i) 00.. === λλ qq WL

ii) µµµ1101

=+=+= qWW

iii) [ ]nEWL ===== ρµλ

µλλ 1..



15

MODEL PERBAIKAN MESIN

Misal terdapat k mesin yang harus diperbaiki dan tersedia s ahli mesin.

Model yang digeneralisasi untuk perbaikan mesin:

( )⎩⎨⎧

>≤≤−

=kn

knnkn ,0

0,λλ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤≤≤

=kn

knsssnn

n

,0,0,

µµ

µ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<

≤≤=

−knsP

ssn

C

snPCP

sn

nkn

nkn

n ,!!

0,..

0

0

ρ

ρ

1

0 10 !

!−

= +=−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+= ∑ ∑s

n

k

snsn

nkn

nkn ss

nCCP

ρρ

Ukuran-ukuran keefektifan:

( ) 1,1

>−= ∑+=

sPsnLk

snnq

( )ssLL q −+=

( ) n

s

nPnss ∑

=

−=0

.

dengan s = banyaknya ahli mesin yang sedang menganggur yang diperkirakan.

L dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain, sebagai berikut:

( )

µλ

+=

−+=

q

q

L

ssLL

dengan ( )[ ]nkE −= λλ .

Jika s =1 maka ( )0111 PkLq −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

ρ01 P

kL



16

Soal 1. Sebuah bengkel secara keseluruhan memiliki 5 mesin. Rata-rata sebuah mesin rusak

setiap 2 jam. Diperlukan waktu 12 menit untuk melakukan perbaikan. Pemilik bengkel

berminat untuk menentukan jumlah petugas perbaikan yang diperlukan agar bengkel

tersebut berjalan cukup lancar.

2. Dua petugas reparasi merawat 5 buah mesin disebuah bengkel. Setiap mesin rusak

sesuai dengan distribusi poisson dengan rata-rata 3 mesin per jam. Waktu reparasi

per mesin terdistribusi secara eksponensial dengan rata-rata 15 menit. Tentukan :

a. Peluang bahwa kedua petugas reparasi tidak bekerja ( 0P )

b. Peluang bahwa seorang petugas reparasi tidak bekerja ( 1P )

c. Jumlah yang diperkirakan dari mesin-mesin yang tidak beroperasi yang tidak

diperbaiki.( qL )



17

DAFTAR PUSTAKA

Bronson, R. 1982. Theory and Problems of Operations Research. New York: McGraw-Hill, Inc.

Hillier, Frederick. S dan Lieberman, Gerald. I. 1980. Introduction to Operations Research.

San Francisco Holden Day, Inc. . Mulyono, S. 1991. Operations Research. FE-UI. Jakarta. Schroeder, Roger G. 1997. Operations Management. New Jersey. McGraw-Hill, Inc. Siagian, P. 1987. Penelitian Operasional: Teori dan Praktek. Jakarta.

Universitas Indonesia Press. Subagyo, Pangestu, dkk. 2000. Dasar-Dasar Operations Research. Yogyakarta.

BPFE. Supranto, Johannes. 1987. Riset Operasi: Untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta.

Universitas Indonesia Press. Taha, HA. 1993. Operation Research Jilid 2. Fayetteville. Department of Industrial

Engineering University of Arkansas.