Download ppt - TEORI PROBABILITAS - DISKRET

TEORI PROBABILITAS

No Nama NIM

1 Nursolih 08.11.0494

2 Kasirun 08.11.0502

3 Iwan Sutanto 08.11.0621

4 Prih Diantono Abda’u 08.11.0737

5 Fitriana Saputra 08.11.0493

6

7

8

9

• Proses Bernoulli

• Distribusi Binomial

• Distribusi Geometrik

• Distribusi Hipergeometrik

• Proses & Distribusi Poisson

• Pendekatan untuk Distribusi Binomial

Distribusi Variabel Random Diskrit

Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:

1. Satu percobaan dengan percobaan yang lain independen. Artinya, sebuah hasil tidak mempengaruhi muncul atau tidak munculnya hasil yang lain.

2. Setiap percobaan memberikan dua hasil yang mungkin, yaitu sukses* dan gagal. Kedua hasil tersbut bersifat mutually exclusive dan exhaustive.

3. Probabilitas sukses, disimbolkan dengan p, adalah tetap atau konstan. Probabilitas gagal, dinyatakan dengan q, adalah q = 1-p.

1. Proses Bernoulli (1)

* Istilah sukses dan gagal adalah istilah statistik yang tidak memiliki implikasi positif atau negatif.

• Beberapa distribusi yang dilandasi oleh proses Bernoulli adalah :

• Distribusi binomial,

• Distribusi geometrik, dan

• Distribusi hipergeometrik.

• (termasuk kategori tersebut adalah distribusi multinomial dan negatif binomial).

Proses Bernoulli (2)

Distribusi Binomial (1)

• Sebuah variabel random, X, menyatakan jumlah sukses dari n percobaan Bernoulli dengan p adalah probabilitas sukses untuk setiap percobaan, dikatakan mengikuti distribusi (diskrit) probabilitas binomial dengan parameter n (jumlah sukses) dan p (probabilitas sukses).

• Selanjutnya, variabel random X disebut variabel random binomial.

Sebuah sistem produksi menghasilkan produk dari dua mesin A dan B dengan kecepatan yang sama. Diambil 5 produk dari lantai produksi dan nyatakan X sebagai jumlah produk yang dihasilkan dari mesin A.

Ada 25 = 32 urutan yang mungkin sebagai output dari mesin A dan B (sukses dan gagal) yang membentuk ruang sample percobaan. Diantara hasil tersebut, ada 10 hasil yang memuat tepat 2 produk dari mesin A (X=2):

AABBB ABABB ABBAB ABBBA BAABB BABAB BABBA BBAAB BBABA BBBAA

Probabilitas 2 produk dari mesin A dari 5 produk yang diambil adalah p2q3 = (1/2)2(1/2)3=(1/32), probabilitas dari 10 hasil tersebut adalah :

P(X = 2) = 10 * (1/32) = (10/32) = 0.312510 (1/32)

Jumlah hasil dimana 2dihasilkan dari mesin A

Probabilitas bahwa sebuah hasilmemiliki 2 produk dari mesin A


P(X=2) = 10 * (1/32) = (10/32) = .3125Perhatikan bahwa probabilitas tersebut dihasilkan dari:

Secara umum:

1. Probabilitas dari x sukses dari n percobaan dengan probabilitas sukses p dan probabili-tas gagal q adalah:

pxq(n-x)

2. Jumlah urutan dari n percobaan yang menghasilkan tepat x sukses adalah jumlah pilihan x elemen dari total n elemen:


10 (1/32)Jumlah hasil dimana 2dihasilkan dari mesin A

Probabilitas bahwa sebuah hasilmemiliki 2 produk dari mesin A

1.00

)!(!

! n

)!3(!3

! 3

)!2(!2

! 2

)!1(!1

! 1

)!0(!0

! 0

)(

)3(3

)2(2

)1(1

)0(0

nnn

n

n

n

n

qpnnn

n

qpn

n

qpn

n

qpn

n

qpn

n

Distribusi probabilitas binomial :

dimana :p probabilitas sukses sebuah percobaan,q = 1-p,n jumlah percobaan, danx jumlah sukses.


Jumlah Probabilitas P(x)sukses x

n=5

p

x 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99

0 .951 .774 .590 .328 .168 .078 .031 .010 .002 .000 .000 .000 .000

1 .999 .977 .919 .737 .528 .337 .187 .087 .031 .007 .000 .000 .000

2 1.000 .999 .991 .942 .837 .683 .500 .317 .163 .058 .009 .001 .000

3 1.000 1.000 1.000 .993 .969 .913 .813 .663 .472 .263 .081 .023 .001

4 1.000 1.000 1.000 1.000 .998 .990 .969 .922 .832 .672 .410 .226 .049

a F(h) P(h)

0 0.031 0.031

1 0.187 0.156

2 0.500 0.313

3 0.813 0.313

4 0.969 0.156

5 1.000 0.0311.000

Distribusi probabilitas kumulatif binomial dan distribusi probabilitas

variabel random binomial A, jumlah produk yang

dihasilkan oleh mesin A (p=0.5) dalam 5 produk

yang diambil.

313.

500.813.

)2()3()3(

:Contoh

1)-F(x - F(x) = P(X)

)()()(

FFP

iPxXPxFxiall

Penentuan nilai probabilitas dari probabilitas kumulatif


F x P X x P i

F P X

all i x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) .

3 3 002

n=15p

.50 .60 .700 .000 .000 .0001 .000 .000 .0002 .004 .000 .0003 .018 .002 .0004 .059 .009 .001

... ... ... ...

60% dari produk yang dihasilkan adalah sempurna. Sebuah sample random sebanyak 15 diambil. Berapa probabilitas bahwa paling banyak ada tiga produk yang sempurna?


Distribusi Binomial (7) - Excel

X = jumlah produk sempurna dari sebuah sample random berjumlah 15 produk

Distribusi Binomial n = 15, p = 0.6

X P(X = x) P(X <= x)

0 0.000001 0.0000011 0.000024 0.0000252 0.000254 0.0002793 0.001649 0.0019284 0.00742 0.0093485 0.024486 0.0338336 0.061214 0.0950477 0.118056 0.2131038 0.177084 0.3901879 0.206598 0.596784

10 0.185938 0.78272211 0.126776 0.90949812 0.063388 0.97288613 0.021942 0.99482814 0.004702 0.9995315 0.00047 1

Produk sempurna

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 3 5 7 9

11 13 15

# Produk sempurna

Pro

bab

ility

Distribusi Binomial (8) - Excel

npq=SD(X)=

: binomial distribusi daristandar Deviasi

)(

: binomial distribusi dari Variansi

)(

: binomial distribusi dariMean

2

npqXV

npXE

npq=SD(X)=

: binomial distribusi daristandar Deviasi

)(

: binomial distribusi dari Variansi

)(

: binomial distribusi dariMean

2

npqXV

npXE

7071.5.0)(

5.0)5)(.5)(.5()(

5.2)5)(.5()(2

:produk 5 dalamA mesin dariproduk jumlah adalah A

HSD

HV

HE

H

H

H


43210

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)

Binomial Probability: n=4 p=0.5

43210

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)


43210

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)


109876543210

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)


109876543210

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)


109876543210

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)

B ino m ial P ro b ab ility: n=1 0 p=0 .5

20191817161514131211109876543210

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)


20191817161514131211109876543210

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)


20191817161514131211109876543210

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)


Distribusi binomial cenderung menjadi simetris dengan meningkatnya n dan p .5.

p = 0.1 p = 0.3 p = 0.5

n = 4

n = 10

n = 20


Distribusi Hipergeometrik (1)

• Distribusi binomial digunakan pada populasi yang tidak terbatas, sehingga proporsi sukses diasumsikan diketahui.

• Distribusi probabilitas hipergeometrik digunakan untuk menentukan probabilitas kemunculan sukses jika sampling dilakukan tanpa pengembalian.

• Variabel random hipergeometrik adalah jumlah sukses (x) dalam n pilihan, tanpa pengembalian, dari sebuah populasi terbatas N , dimana D diantaranya adalah sukses dan (N-D) adalah gagal.


• Penurunan fungsi distribusi hipergeometrik diturunkan dengan menghitung kombinasi-kombinasi yang terjadi.

• Kombinasi yang dapat dibentuk dari populasi berukuran N untuk sampel berukuran n adalah kombinasi C(N,n).

• Jika sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah sukses, selanjutnya dapat dihitung kombinasi diperoleh x sukses dari sejumlah D sukses dalam populasi yang diketahui yaitu C(D,x), dan demikian pula halnya dapat dicari (n-x) kombinasi gagal dari sisanya (N-D), yaitu kombinasi C((N-D),(n-x)).


• Dengan demikian:• sukses C(D,x). C((N-D),(n-x)) atau

• yang diperoleh dari total kombinasi yang mungkin C(N,n) atau

xn

DN

x

D

n

N


• Sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah sukses dalam percobaan bernoulli dan total jumlah sukses D diketahui dari sebuah populasi berukuran N, maka dikatakan x mengikuti distribusi hipergeometrik dengan fungsi kemungkinan :

• Distribusi kemungkinan hipergeometrik sering pula disimbolkan dengan h(x;N;n;D).

otherwise 0

),min(,,2,1 ,)(

Dnx

n

Nxn

DN

x

D

xp


Parameter pemusatan dan penyebaran adalahsebagai berikut :

n

N

xn

DN

x

DxXE

Dn

x

),min(

0

/)( NDn / (jika N besar maka D/N=p)

Untuk kasus dimana n<D, maka ekspektasi tersebut adalah

n

x

n

N

xn

DN

x

D

xXE0

)( . Karena )!()!1(

)!1(

xDxx

DD

x

D

, maka diperoleh

n

x

n

Nxn

DN

x

D

DXE0

1

1

)( .


Transformasikan y=x-1, maka bentuk di atas berubah

menjadi

n

y

n

Nyn

DN

y

D

DXE0

1

1

)( , karena

yn

DN

yn

DN

1

)1()1(

1 dan

1

1

)!(!

!

n

N

n

N

nNn

N

n

N maka diperoleh

n

y

n

Nyn

DN

y

D

N

nDXE

0

1

11

)1()1(1

)(

Karena penjumlahan tersebut menghasilkan nilai satu (sifat

distribusi kemungkinan), maka N

nDXE )( .


D a p a t d i b u k t i k a n b a h w a 1

)1)(1()1(

N

DnXE . E k s p e k t a s i p e r k a l i a n

X d a n ( X - 1 ) a d a l a h )()()]1([ 2 XEXEXXE . K a r e n a N

nDXE )(

d a n 1

)1)(1()1(

N

DnXE , m a k a

)1(

)1()1()]1([

NN

nnDDXXE .

V a r i a n s i 222 )( XE , h a l i n i b e r a r t i 22 )]1([ XXE a t a u

r u a s k a n a n m e n j a d i 2

22

)1(

)1()1(

N

Dn

N

nD

NN

nnDD

. D e n g a n p e n g a t u r a n

k e m b a l i d i p e r o l e h v a r i a n s i d i s t r i b u s i k e m u n g k i n a n

h i p e r g e o m e t r i k a d a l a h

11)( 2

N

nN

N

D

N

DnXV

( u n t u k N y a n g b e s a r h a s i l i n i m e n d e k a t i n p q ) .

Contoh:Sebuah dealer otomotif menerima lot berukuran 10 dimana hanya 5 diantaranya yang mendapat pemeriksaan kelengkapan. 5 kendaraan diambil secara random. Diketahui ada 2 kendaraan dari lot berukuran 10 yang tidak lengkap. Berapa kemungkinan sekurangnya ada 1 kendaraan dari 5 kendaraan yang diperiksa ternyata tidak lengkap?

P

P

( )

!

! !

!

! !

!

! !

.

( )

!

! !

!

! !

!

! !

.

1

2

1

10 2

5 1

10

5

2

1

8

4

10

5

2

1 1

8

4 4

10

5 5

5

90 556

2

2

1

10 2

5 2

10

5

2

1

8

3

10

5

2

1 1

8

3 5

10

5 5

2

90 222

Sehingga, P(1) + P(2) =

0.556 + 0.222 = 0.778.


X = jumlah kendaraan dalam sample berukuran 5 yang ternyata tidak lengkap

Distribusi Hipergeometrik N = 10, D = 2, n = 5

X P(X = x) P(X <= x)

0 0.222222 0.2222221 0.555556 0.7777782 0.222222 13 0 14 0 15 0 1

Pemeriksaan kendaraan

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1 2 3 4 5 6

# kendaraan tidak lengkap

Pro

ba

bil

ity


Distribusi probabilitas binomial digunakan untuk sejumlah sukses dari n percobaan yang independen, dimana seluruh hasil (outcomes) dikategorikan ke dalam dua kelompok (sukses dan gagal). Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam lebih dari dua kelompok.

kxk

xx

kk ppp

xxx

nxxxP ...

!!...!

!),..,,( 2

21

121

21

Distribusi Multinomial (1)

Fungsi distribusi probabilitas multinomial:

Berdasarkan laporan sebuah penelitian tahun 1995, diantara produk mikroprosesor pentium generasi pertama diketahui terdapat cacat yang mengakibatkan kesalahan dalam operasi aritmatika. Setiap mikroprosesor dapat dikategorikan sebagai baik, rusak dan cacat (dapat digunakan dengan kemungkinan muncul kesalahan operasi aritmatika). Diketahui bahwa 70% mirkoprosesor dikategorikan baik, 25% cacat dan 5% rusak. Jika sebuah sample random berukuran 20 diambil, berapa probabilitas ditemukan 15 mikroprosesor baik, 3 cacat dan 2 rusak?

P( , , )! ! !

. . .

.

15 3 220!

15 3 27 25 05

0288

15 3 2

Distribusi Multinomial (2)

22 1

1)(

:adalahgeometrik asprobabilit distribudi sidan varian rata-Rata gagal).dan sukses tas(probabiliparameter adalah dan , 1,2,3,... = dimana

pq

p

xpqxPqpx

Berkaitan dengan percobaan Bernoulli, dimana terdapat n percobaan independen yang memberikan hasil dalam dua kelompok (sukses dan gagal), variabel random geometric mengukur jumlah percobaan sampai diperoleh sukses yang pertama kali.

Distribusi Geometrik (1)

Fungsi distribusi probabilitas geometrik:

Pada suatu daerah, P-Cola menguasai pangsa pasar sebesar 33.2% (bandingkan dengan pangsa pasar sebesar 40.9% oleh C-Cola). Seorang mahasiswa melakukan penelitian tentang produk cola baru dan memerlukan seseorang yang terbiasa meminum P-Cola. Responden diambil secara random dari peminum cola. Berapa probabilitas responden pertama adalah peminum P-cola, berapa probabilitas pada responden kedua, ketiga atau keempat?

PPPP

( ) (. )(. ) .( ) (. )(. ) .( ) (. )(. ) .( ) (. )(. ) .

( )

( )

( )

( )

1 332 668 0 3322 332 668 0 2223 332 668 01484 332 668 0 099

1 1

2 1

3 1

4 1

Distribusi Geometrik (2)

Probabilitas lulus mata kuliah teori probabilitas adalah 95%, berapa probabilitas anda lulus tahun ini, tahun depan dan seterusnya?

Distribusi Binomial Negatif (1)

• Variabel random binomial X, menyatakan:• Jumlah sukses dari n percobaan independen Bernoulli.• p adalah probabilitas sukses (tetap untuk setiap percobaan• Jika ingin diketahui:• Pada percobaan keberapa (n) sejumlah sukses (c) dapat

dicapai dalam percobaan Bernoulli.


• Pertimbangkan sebuah proses inspeksi untuk menemukan produk cacat (kategori sukses dengan probabilitas 0.1). Batas sebuah penolakan sebuah lot adalah jika ditemukan 4 buah cacat (D). Ditemukan bahwa sebuah lot ditolak setelah dilakukan inspeksi pada 10 produk.

• Sebuah kemungkinan adalah DDDGGGGGGD. Dengan teori multiplikasi, probabilitas urutan tersebut adalah (0.1)4 (0.9)6.

• Karena 10 percobaan tersebut independen, tanpa memper-hatikan urutan, probabilitas diperoleh 4 cacat dari 10 percobaan adalah (0.1)4 (0.9)6.


• Karena kriteria penolakan adalah ditemukannya 4 produk cacat, maka posisi ke-n adalah pasti produk cacat. Sehingga jumlah urutan yang

mungkin adalah kombinasi 3 dari 9, .• Probabilitas diperlukan 10 percobaan untuk menghasilkan 4 sukses

adalah:

• Distribusi probabilitas negatif binomial:

3

9

64 9.01.0!6!3

!9

... ,2,1, dimana , )1(1

1

cccnppc

n cnc


• Perhatikan distribusi kumulatif:

• dimana ruas kanan adalah:

• yang dapat diperoleh dari distribusi kumulatif binomial

r

cx

r

cn

)1( )1(1

1 xrxcnc ppx

rpp

c

n

);;1(1)1(11-c

0x

prcBppx

r xrx

Proses & Distribusi Poisson

• Percobaan bernoulli menghasilkan variabel random X yang bernilai numerik, yaitu jumlah sukses yang terjadi.

• Jika pengamatan dilakukan pada pada suatu rentang interval waktu, maka dapat diamati bahwa variabel random X adalah terjadinya sukses selama waktu tertentu.

• Jika perhatian ditujukan pada kejadian sukses yang muncul (lahir) pada suatu rentang yang kecil, maka terjadi sebuah proses kelahiran (birth atau arrival process) atau dikenal sebagai proses Poisson (Poisson process).

Proses & Distribusi Poisson

– Sifat-sifat Proses Poisson:

• Jumlah sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu (atau daerah tertentu) tidak dipengaruhi (independent) terhadap kejadian pada selang waktu atau daerah yang lain.

• Kemungkinan terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam interval waktu yang pendek (t mendekati nol) sebanding dengan panjang interval dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar interval tersebut.

• Kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses dalam interval waktu yang pendek dapat diabaikan.

Distribusi probabilitas Poisson bermanfaat dalam penentuan probabilitas dari sejumlah kemunculan pada rentang waktu atau luas/volume tertentu. Variabel random Poisson menghitung kemunculan pada interval waktu yang kontinyu.

1,2,3,... =untuk x !

)(x

exP

x

dimana adalah rata-rata distribusi (yang juga merupakan variansi) dan e adalah bilangan logaritmik natural (e=2.71828...).

Distribusi Probabilitas Poisson (1)

Fungsi distribusi probabilitas Poisson :


F u n g s i d is t r ib u s i p o is s o n d a p a t d itu r u n k a n d e n g a nm e m p e r h a t ik a n a s u m s i- a s u m s i b e r ik u t : J u m la h k e d a ta n g a n p a d a in te r v a l y a n g t id a k s a lin g tu m p a n g

t in d ih ( n o n o v e r la p p in g in te r v a l) a d a la h v a r ia b e l r a n d o min d e p e n d e n .

A d a n ila i p a r a m e te r p o s it if s e h in g g a d a la m s e b u a h in te r v a lw a k tu y a n g k e c il t a k a n d ip e r o le h :i) K e m u n g k in a n b a h w a te r j a d i te p a t s a tu k e d a ta n g a n p a d a

in te r v a l w a k tu t a d a la h ( t ) .ii) K e m u n g k in a n b a h w a te r j a d i te p a t n o l k e d a ta n g a n p a d a

in te r v a l w a k tu t a d a la h ( t 1 ) .


P e r h a t i k a n p o s i s i d a n r e n t a n g w a k t u b e r i k u t :

0 t tt

U n t u k s u a t u t i t i k w a k t u t y a n g t e t a p ( fi x e d ) , k e m u n g k i n a nt e r j a d i n o l k e d a t a n g a n d i f o r m u l a s i k a n s e b a g a i b e r i k u t :

)(1)( 00 tptttp . D e n g a n m e l a k u k a n p e n y u s u n a n

k e m b a l i a k a n d i p e r o l e h )()()(

000 tp

t

tpttp

. J i k a i n t e r v a l

w a k t u s a n g a t k e c i l ( t m e n d e k a t i n o l ) , m a k a d a p a t d i g u n a k a n

d i f e r e n s i a l b e r i k u t : )()()()(

lim 0'

000

0tptp

t

tpttpt

.


H a l y a n g s a m a d a p a t d i l a k u k a n j i k a t e r d a p a t k e d a t a n g a n0x , s e h i n g g a d a p a t d i f o r m u l a s i k a n k e m u n g k i n a n b e r i k u t

)(1)( )( 1 tpttptttp xxx .D e n g a n m e l a k u k a n p e n y u s u n a n k e m b a l i a k a n d i p e r o l e h

).()( )()(

1 tptpt

tpttpxx

xx

J i k a i n t e r v a l w a k t u s a n g a t k e c i l ( t m e n d e k a t i n o l ) , m a k ad a p a t d i g u n a k a n d i f e r e n s i a l b e r i k u t :

)()()()()(

lim 1'

0tptptp

t

tpttpxxx

xx

t

.


Dari dua persamaan diferensial yang diperoleh (untuk nolkedatangan dan ada kedatangan 0x ), diperoleh solusiberikut !/)()( )( xettp tx

x . Karena titik waktu t adalah tetap

(fixed), maka dapat digunakan notasi t , sehinggadistribusi probabilitas poisson yang diperoleh adalah:

lainnya x 0

,2,1,0 ,!/)()(

xxexp x

Parameter pemusatan dan penyebaran adalah:

0 !)(

x

x

x

exXE

dan 21

2

!)(

x

exXV

x

x .

Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat telepon (sebagai kombinasi warna, type, fungsi, dll). Sebuah perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200 sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000 pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua orang atau tiga orang karyawan? n = 200 ; p = 1/1000 = 0.001 ;= np = (200)(0.001) = 0.2

Pe

Pe

Pe

Pe

( ).

!

( ).

!

( ).

!

( ).

!

.

.

.

.

02

0

12

1

22

2

32

3

0 2

1 2

2 2

3 2

= 0.8187

= 0.1637

= 0.0164

= 0.0011



R a t a - r a t a p e n g i r i m a n b a h a n b a k u k e s u a t u p a b r i k a d a l a h 1 0 t r u kd a n f a s i l i t a s b o n g k a r h a n y a m a m p u m e n e r i m a p a l i n g b a n y a k 1 5t r u k p e r h a r i . P e m a s o k m e n g i n k a n a g a r t r u k p a s o k a n n y a d a p a td i b o n g k a r p a d a h a r i y a n g s a m a . S u a t u h a r i , p e m a s o k m e n g i r i m k a ns e b u a h t r u k k e p a b r i k t e r s e b u t , b e r a p a k e m u n g k i n a n t r u k t e r s e b u th a r u s b e r m a l a m k a r e n a t i d a k d a p a t d i b o n g k a r ?X a d a l a h v a r i a b e l r a n d o m b a n y a k n y a t r u k b a h a n b a k u y a n g t i b as e t i a p h a r i . D e n g a n d i s t r i b u s i P o i s s o n , k e m u n g k i n a n s e b u a h t r u k

h a r u s b e r m a l a m a d a l a h

15

0

)10;(1)15(1)15(x

xpXPXP = 0 . 9 5 1 3

( d a r i t a b e l ) , m a k a k e m u n g k i n a n s e b u a h t r u k h a r u s b e r m a l a mk a r e n a t i d a k d a p a t d i b o n g k a r a d a l a h 1 - 0 . 9 5 1 3 = 0 . 0 4 8 7 .

X = jumlah karyawan yang memilih pesawat telepon tertentuPoisson Distribution mean = 0.2

X P(X = x) P(X <= x)0 0.818731 0.8187311 0.163746 0.9824772 0.016375 0.9988523 0.001092 0.9999434 0.000055 0.9999985 0.000002 16 0 1

Pesawat Telepon

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1 2 3 4 5 6 7

# jumlah karyawan yang memilih pesawat telpon tertentu

Pro

ba

bil

ity


20191817161514131211109876543210

0.15

0.10

0.05

0.00

X

P(x

)

= 10

109876543210

0.2

0.1

0.0

X

P( x

)

= 4

76543210

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

P( x

)

= 1.5

43210

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

P( x

)

= 1.0


Pendekatan Binomial - Poisson (1)

P a d a d i s t r i b u s i p r o b a b i l i t a s b i n o m i a l , j i k a n s a n g a t b e s a r d a np k e c i l , m a k a p e r h i t u n g a n k e m u n g k i n a n n y a s u l i t d i l a k u k a n .

P a d a k o n d i s i t e r s e b u t , p e r h i t u n g a n n i l a i k e m u n g k i n a n u n t u kv a r i a b e l r a n d o m b i n o m i a l d a p a t d i d e k a t i d e n g a n p e r h i t u n g a n( a t a u t a b u l a s i ) p a d a d i s t r i b u s i p o i s s o n .

T e o r e m a :J i k a X a d a l a h v a r i a b e l r a n d o m b i n o m i a l d e n g a n d i s t r i b u s ik e m u n g k i n a n b ( x ; n , p ) , d a n j i k a b i l a u k u r a n s a m p e l n ,n i l a i p r o p o r s i s u k s e s 0p , d a n d i g u n a k a n p e n d e k a t a n

np , m a k a n i l a i );(),;( xppnxb .

Pendekatan Binomial - Poisson (2)Bu kti :F u n g si d istrib u si kem u n g k in an b in o m ia l d ap at d itu lis seb ag a i b eriku t

xnx qpx

npnxb

),;( = xnx pp

xnx

n

)1()!(!

! = xnx ppx

xnnn

)1(!

)1)...(1( .

J ika d ilaku kan tran sfo rm asi np / m aka d ip ero lehxx

nnx

xnnnpnxb

1!

)1)...(1(),;( = ,1

11...

111

n

x

n

d an d ari d efin is i b ilan g an n atu ra l e , d ip ero leh h u b u n g an b eriku t

e

nn

n

nn

/

/)(

11

11 limlim .

D en g an m em p erh atikan syarat lim it d i a tas dap at d ip ero leh

,!

),;(x

epnxb

x d im an a x= 0, 1 , 2…, ya itu seb u ah d istrib u si po isso n

u n tu k ( ra ta - rata ju m lah su kses= rata- rata ked atan g an ) .


C o n t o hB e s a r n y a k e m u n g k i n a n d i t e m u k a n c a c a t p a d a h a s i l p e n g e l a s a n t i t i k a d a l a h0 . 0 0 1 . P a d a s e b u a h p r o d u k h a s i l r a k i t a n t e r d a p a t 4 0 0 0 t i t i k p e n g e l a s a n ,b e r a p a k e m u n g k i n a n d i t e m u k a n l e b i h d a r i 6 c a c a t p a d a s e b u a h p r o d u kh a s i l r a k i t a n ?V a r i a b e l r a n d o m X ( b i n o m i a l ) m e n y a t a k a n j u m l a h c a c a t p a d a h a s i l r a k i t a n ,m a k a k e m u n g k i n a n d i t e m u k a n l e b i h d a r i 6 c a c a t t e r s e b u t a d a l a h

6

0

4000999.0001.0

4000)6(

x

xx

xXP .

P e r h i t u n g a n i n i s u l i t d i l a k u k a n s e h i n g g a d i d e k a t i d e n g a n p e r h i t u n g a n u n t u kf u n g s i d i s t r i b u s i k e m u n g k i n a n P o i s s o n ( d i m a n a p a r a m e t e r a d a l a h

4001.04000 ) s e b a g a i b e r i k u t 889.0!/4)6(6

0

4

x

x xeXP , m a k a

k e m u n g k i n a n d i t e m u k a n l e b i h d a r i 6 c a c a t a d a l a h 1 - 0 . 8 8 9 = 0 . 1 1 1 .


ContohSebuah proses menghasilkan barang-barang dari plastik yang sering kalimemiliki gelembung atau cacat. Diketahui bahwa rata-rata terdapat 1 dari1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih cacat.Berapa kemungkinan bahwa dari sampel acak berjumlah 8000 produk plastikakan terdapat 7 produk yang memiliki cacat gelembung?

Pada dasarnya, kasus produk plastik cacat ini mengikuti distribusi binomialdengan n=8000 dan p=0,001. Karena p sangat kecil dan mendekati nol sertan sangat besar, maka perhitungan nilai kemungkinan dapat didekati dengandistribusi Poisson dengan dimana =(8000)(0,001)=8, sehinggakemungkinan bahwa dari sampel acak berjumlah 8000 produk plastik akanterdapat 7 produk yang memiliki cacat dapat dihitung sebagai berikut

6

0

)001,0,8000;()7(x

xbXP

6

0

)8;(x

xp = 0,3134.

Distribusi Probabilitas Uniform

D i s t r i b u s i p r o b a b i l i t a s d i s k r i t u n i f o r m b e r k a i t a n d e n g a n v a r i a b e lr a n d o m d i m a n a s e m u a n i l a i n y a m e m i l i k i k e m u n g k i n a n y a n gs a m a .D e fi n i s i

J i k a v a r i a b e l r a n d o m X m e m i l i k i n i l a i x 1 , x 2 , … , x k , d e n g a nk e m u n g k i n a n t e r j a d i y a n g s a m a m a k a d i k a t a k a n b a h w av a r i a b e l r a n d o m X m e n g i k u t i d i s t r i b u s i u n i f o r m d i s k r i td e n g a n f u n g s i d i s t r i b u s i k e m u n g k i n a n s e b a g a i b e r i k u t

kkxf

1);( , d i m a n a x = x 1 , x 2 , … , x k

P a r a m e t e r p e m u s a t a n d a n p e n y e b a r a n a d a l a h s e b a g a i b e r i k u t :

kxXE

k

ii

1)(

1

d a n k

x

kx

kxXV

k

iik

ii

k

ii

1

22

11

22

)(11

)(

.