TEORI PROBABILITAS
ISTILAH YANG SERING DIGUNAKAN
a. Ruang Contoh
Definisi : Ruang contoh adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatu
percobaan, dan dilambangkan dengan S.
Bayangkan percobaan melempar mata uang!! Kemungkinan hasil yang akan
keluar ada 2 sisi, yaitu sisi muka dan sisi belakang. Misal, simbol sisi muka
adalah M dan sisi belakang adalah B, maka ruang contoh untuk percobaan
tersebut dituliskan sebagai berikut :
S = {M, B}
Contoh lain :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu yang mempunyai sisi 6.
Jika kita ingin mengetahui sisi yang muncul, maka ruang contohnya adalah :
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jika kita ingin mengetahui jenis bilangan yang muncul, apakah ganjil atau
genap, maka ruang contohnya adalah :
S = {ganjil, genap}
b. Kejadian
Definisi : Kejadian adalah kumpulan beberapa atau semua titik dari suatu
ruang contoh S.
Contoh : Pada percobaan pelemparan dadu mempunyai 6 titik contoh.
Tujuan percobaan adalah untuk melihat sisi yang muncul. Munculnya
salahsatu sisi merupakan sebuah kejadian, apakah sisi 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Sebuah kejadian dapat mengandung sebagian atau seluruh titik contoh dari
suatu percobaan.
Jika suatu kejadian TIDAK mengandung SATUPUN titik contoh, maka kejadian
tersebut disebut KEJADIAN KOSONG.
Contoh : Jika A merupakan kejadian yang menunjukkan manusia yang pernah
menginjakkan kaki di matahari, maka A=0.
Jika suatu kejadian mengandung seluruh anggota suatu ruang contoh, maka
kejadian itu mempunyai titik contoh sama dengan S.
Hubungan antara kejadian dengan ruang contoh dapat digambarkan dengan
menggunakan DIAGRAM VENN.
Contoh : A = {2, 3, 5, 7, 8, 9}
B = {1, 2, 3, 8, 9}
C = {8, 9, 10, 11, 20, 21}
S = {x|x adalah himpunan semua bilangan cacah}
Solusi : Diagram Venn
Bila kejadian A adalah himpunan bagian dari S, maka ada kejadian di luar A
yang disebut dengan KEJADIAN BUKAN A, dan dilambangkan dengan Ac atau
A1 (dibaca : komplemen A). Untuk contoh di atas yang menjadi anggota
komplemen A adalah anggota ruang contoh dikurangi dengan anggota
himpunan A, atau :
Ac = {x|x adalah himpunan semua bilangan cacah kecuali 2, 3, 5, 7, 8, 9}
c. Probabilitas
Contoh : Seseorang ingin megambil satu kartu secara acak dari satu set kartu
bridge. Kemungkinan terambilnya kartu As Scope adalah 1/52.
Angka 1 menunjukkan jumlah As Scope dalam satu set kartu, dan 52
menunjukkan jumlah satu set kartu bridge.
Definisi : Jika suatu kejadian terjadi di dalam m dari n cara kemungkinan,
dimana n kemungkinan itu mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi,
maka :
P(A) = m/n
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) = 0 menunjukkan bahwa kejadian A tidak terjadi, dan P(A)=1 berarti
kejadian A pasti terjadi.
KONSEP DASAR PROBABILITAS
Ada 3 pendekatan untuk mendefinisikan konsep probabilitas dan menentukan nilai-nilai
probabilitas :
1. Pendekatan Klasik
Pendekatan klasik didasarkan pada banyaknya kemungkinan-kemungkinan yang dapat
terjadi pada suatu kejadian.
Secara simbolis, Jika a adalah banyaknya kemungkinan kejadian A dan b adalah banyaknya
kemungkinan kejadian yang bukan A, maka pobabilitas kejadian A dapat dinyatakan sebagai
berikut:
Dengan dasar anggapan bahwa masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang
sama, jika pendekatan klasik dalam penerapan penentuan nilai probabilitas dapat dilakukan
sebelum observasi, maka pendekatan ini sering disebut “ a priori approach”.
Contoh soal :
Suatu perusahaan memiliki 35 karyawan pria (B) dan 15 karyawan wanita (A). Masing-
masing karyawan memiliki kartu presensi. Berapa probabilitas kartu presensi yang diambil
secara acak milik karyawan wanita?
2. Pendekatan Frekuensi Relatif
Pada pendekatan ini, nilai probabilitas ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan
yang dapat terjadi dalam suatu observasi atau percobaan.
Tidak ada asumsi awal tentang kesamaan kesempatan, karena penentuan nilai-nilai
probabilitas didasarkan pada hasil observasi dan pengumpulan data. Pendekatan ini disebut
“emperical approach”.
Misalnya berdasarkan pengalaman pengambilan data sebanyak N terdapat a kejadian yang
bersifat A. Dengan demikian probabilitas akan terjadi A untuk N data adalah :
hasiln kemungkinaSeluruh
percobaansuatu hasil Banyaknya hasilsuatu Prob
ba
aP(A)
Contoh :
Sebelum diadakan training terhadap 100 karyawan perusahaan Sukses, diedarkan angket.
Dari angket tersebut didapatkan informasi bahwa 5 karyawan sakit gigi pada cuaca dingin.
Apabila training diadakan pada lokasi yang bercuaca dingin, berapa probabilitas akan terjadi
karyawan mengalami sakit gigi?
3. Pendekatan Subyektif
Pendekatan subyektif dalam penentuan nilai probabilitas adalah tepat atau cocok apabila
hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam satu kejadian.
Pada pendekatan ini, nilai probabilitas dari suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat
kepercayaan yang bersifat individual dengan berlandaskan pada semua petunjuk yang
dimilikinya.
Karena nilai probabilitas pada pendekatan ini merupakan keputusan pribadi atau individual,
pendekatan ini disebut jg “personalistic approach”.
Contoh :
Berdasarkan pengalaman harga mobil setelah berumur 5 tahun atau lebih, turun lebih dari
50%. Ada seseorang menwarkan mobil yang sudah berumur 5 tahun pada Abas. Harga beli
mobil pada saat baru adalah Rp 36.000.000,00. Berdasarkan informasi tentang pengalaman
tersebut, Abas memutuskan untuk menawar menjadi Rp 17.500.000,00.
PENYAJIAN PROBABILITAS
Simbol P digunakan untuk melambangkan nilai probabilitas dari suatu kejadian. Dengan
demikian P(A) menyatakan probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi dalam observasi atau
percobaan tunggal.
Nilai probabilitas terkecil adalah 0 menyatakan suatu kejadian tidak mungkin terjadi
Nilai probabilitas tertinggi adalah 1 menyatakan suatu kejadian pasti terjadi.
Secara matematis batasan nilai probabilitas dinyatakan :
0 ≤ P(A) ≤ 1
Dalam suatu percobaan, kemungkinan kejadian ada 2, yaitu : TERJADI dan TIDAK TERJADI.
Dengan demikian jumlah probabilitas terjadi dan tidak terjadi selalu = 1.
Pada gambar menunjukkan kondisi kejadian A dan A1 (bukan A). Maka jumlah
probabilitasnya adalah :
P(A)+P(A1) = 1
KEJADIAN-KEJADIAN SALING MENIADAKAN DAN TIDAK SALING
MENIADAKAN
Dua atau lebih kejadian dikatakan “saling meniadakan” atau “mutually exclusive” jika
kejadian-kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersama-sama.
Suatu kejadian tertentu akan menghalangi atau meniadakan satu atau lebih kejadian yang
lain.
Sedangkan dua atau lebih kejadian dikatakan “tidak saling meniadakan” atau “non-mutually
exclusive” apabila kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi bersamaan.
Contoh :
Dalam suatu studi tentang perilaku konsumen, seorang analis mengklasifikasikan
pengunjung sebuah toko radio dan tape berdasarkan jenis kelamin yaitu laki-laki (A) dan
perempuan (B), serta berdasar umur, dibawah 30 tahun (C), dan 30 tahun atau lebih (D).
Dua kejadian A dan B merupakan kejadian-kejadian yang saling meniadakan (mutually
exclusive), kejadian jenis kelamin laki-laki meniadakan kejadian jenis kelamin perempuan,
dan sebaliknya.
Kejadian C dan kejadian D juga merupakan kejadian-kejadian yang saling meniadakan.
Akan tetapi, kejadian A dan kejadian C merupakan kejadian-kejadian yang “TIDAK” saling
meniadakan, artinya kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi bersama-sama.
Misalnya ada seorang pengunjung berjenis kelamin laki-laki yang berumur 25 tahun.
HUKUM-HUKUM PENJUMLAHAN
Hukum-hukum penjumlahan digunakan jika kita akan menghitung probabilitas suatu
kejadian tertentu atau yang lain (atau keduanya) yang terjadi dalam suatu percobaan atau
kejadian tunggal.
Secara simbolis kita dapat menyatakan probabilitas kejadian A atau kejadian B yang muncul
atau terjadi dengan lambang : P(A atau B), yang dalam teori himpunan disebut “probabilitas
gabungan” A dan B dengan lambang :
Hukum penjumlahan tergantung dari apakah dua kejadian saling meniadakan atau tidak
saling meniadakan.
Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian saling meniadakan :
Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang TIDAK saling meniadakan :
1. Dua Kejadian
P( A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B), atau
2. Tiga Kejadian
P(A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A dan B) – P (A dan C) – P(B dan C) + P(A
dan B dan C)
Atau
Contoh :
Dengan melihat tabel di atas, berapakah probabilitas bahwa pengambilan data perusahaan
secara random akan terpilih perusahaan yang memiliki laba per tahun sebesar :
a. Di antara Rp 10 juta sampai Rp 19 juta
b. Kurang dari Rp 20 juta
c. Salah satu dari kelompok ekstrim (kurang dari Rp 10 juta atau Rp 40 juta atau lebih)?
Jawab :
a. P(perusahaan yang memiliki laba per tahun antara Rp 10 juta sampai Rp 19 juta)
adalah :
b. P(perusahaan yang memiliki laba per tahun kurang dari Rp 20 juta) adalah :