Teoria degli insiemi
Cos’e la teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi e il fondamento della matematica.
Questa affermazione e singolare: la teoria degli insiemi ha cominciato aessere svilupata a partire dalla fine del XIX secolo; la matematica esistevagia da qualche millenio.
Il significato e:
Tutti i concetti matematici possono essere definiti in termini delle nozioniprimitive di insieme e appartenenza da cui tutti i risultati matematici
possono essere dedotti.
Da questa osservazione nasce la teoria degli insiemi.
Cos’e la teoria degli insiemi
La teoria degli insiemi e il fondamento della matematica.Questa affermazione e singolare: la teoria degli insiemi ha cominciato aessere svilupata a partire dalla fine del XIX secolo; la matematica esistevagia da qualche millenio.
Il significato e:
Tutti i concetti matematici possono essere definiti in termini delle nozioniprimitive di insieme e appartenenza da cui tutti i risultati matematici
possono essere dedotti.
Da questa osservazione nasce la teoria degli insiemi.
Cos’e la teoria degli insiemi
Si potrebbe quindi anche dare la definizione
matematica = teoria degli insiemi
L’identificaziona appare sensata, ma non si puo escludere che in futurodebba essere soggetta a revisione.
Cos’e la teoria degli insiemi
Si potrebbe quindi anche dare la definizione
matematica = teoria degli insiemi
L’identificaziona appare sensata, ma non si puo escludere che in futurodebba essere soggetta a revisione.
Quale teoria degli insiemi?
Ci sono varie teorie degli insiemi, non tutte equivalenti fra loro —sebbene con larghe sovrapposizioni: hanno tutte l’ambizione di contenerela matematica ordinaria!
La teoria chiamata usualmente teoria degli insiemi e la teoria ZFC:Zermelo-Fraenkel con assioma della scelta.
Quale teoria degli insiemi?
Ci sono varie teorie degli insiemi, non tutte equivalenti fra loro —sebbene con larghe sovrapposizioni: hanno tutte l’ambizione di contenerela matematica ordinaria!
La teoria chiamata usualmente teoria degli insiemi e la teoria ZFC:Zermelo-Fraenkel con assioma della scelta.
Il linguaggio della teoria degli insiemi
Una teoria matematica e espressa attraverso formule in un linguaggio.
Illinguaggio della teoria degli insiemi consiste di
1. Simboli logici:I Simbolo di uguaglianza =I Connettivi ¬ (negazione), ∨ (disgiunzione), ∧ (congiunzione), ⇒
(implicazione), ⇔ (biimplicazione)I Quantificatori ∃ (quantificatore esistenziale), ∀ (quantificatore
universale)I Variabili v0, v1, v2, . . .
2. Simbolo non logico:I Relazione binaria di appartenenza ∈
Il linguaggio della teoria degli insiemi
Una teoria matematica e espressa attraverso formule in un linguaggio. Illinguaggio della teoria degli insiemi consiste di
1. Simboli logici:I Simbolo di uguaglianza =I Connettivi ¬ (negazione), ∨ (disgiunzione), ∧ (congiunzione), ⇒
(implicazione), ⇔ (biimplicazione)I Quantificatori ∃ (quantificatore esistenziale), ∀ (quantificatore
universale)I Variabili v0, v1, v2, . . .
2. Simbolo non logico:I Relazione binaria di appartenenza ∈
Il linguaggio della teoria degli insiemi
Una teoria matematica e espressa attraverso formule in un linguaggio. Illinguaggio della teoria degli insiemi consiste di
1. Simboli logici:I Simbolo di uguaglianza =I Connettivi ¬ (negazione), ∨ (disgiunzione), ∧ (congiunzione), ⇒
(implicazione), ⇔ (biimplicazione)I Quantificatori ∃ (quantificatore esistenziale), ∀ (quantificatore
universale)I Variabili v0, v1, v2, . . .
2. Simbolo non logico:I Relazione binaria di appartenenza ∈
Il linguaggio della teoria degli insiemi
Dato il linguaggio, si possono definire le formule:
Definizione. Siano x , y delle variabili.
I x = y , x ∈ y sono formule
I Se ϕ,ψ sono formule, anche ¬ϕ,ϕ ∨ ψ,ϕ ∧ ψ,ϕ⇒ ψ,ϕ⇔ ψ sonoformule
I Se ϕ e una formula, anche ∃xϕ,∀xϕ sono formule
Gli assiomi di ZFC (primo blocco)
1. Estensionalita: ∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y)⇒ x = y
2. Fondazione: ∃x y ∈ x ⇒ ∃y(y ∈ x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y))
3. Schema di separazione: Per ogni formula ϕ:∃y∀x(x ∈ y ⇔ x ∈ z ∧ ϕ)
4. Coppia: ∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z)
5. Unione: ∃A∀Y ∀x(x ∈ Y ∧ Y ∈ F ⇒ x ∈ A)
6. Schema di rimpiazzamento: Per ogni formula ϕ:∀x ∈ A ∃!yϕ⇒ ∃Y ∀x ∈ A ∃y ∈ Y ϕ
Gli assiomi 1–6 permettono di sviluppare le proprieta elementari dellateoria degli insiemi. Questo facilita anche l’enunciazione degli assiomirestanti.
Gli assiomi di ZFC (primo blocco)
1. Estensionalita: ∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y)⇒ x = y
2. Fondazione: ∃x y ∈ x ⇒ ∃y(y ∈ x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y))
3. Schema di separazione: Per ogni formula ϕ:∃y∀x(x ∈ y ⇔ x ∈ z ∧ ϕ)
4. Coppia: ∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z)
5. Unione: ∃A∀Y ∀x(x ∈ Y ∧ Y ∈ F ⇒ x ∈ A)
6. Schema di rimpiazzamento: Per ogni formula ϕ:∀x ∈ A ∃!yϕ⇒ ∃Y ∀x ∈ A ∃y ∈ Y ϕ
Gli assiomi 1–6 permettono di sviluppare le proprieta elementari dellateoria degli insiemi. Questo facilita anche l’enunciazione degli assiomirestanti.
Gli assiomi di ZFC (primo blocco)
1. Estensionalita: ∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y)⇒ x = y
2. Fondazione: ∃x y ∈ x ⇒ ∃y(y ∈ x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y))
3. Schema di separazione: Per ogni formula ϕ:∃y∀x(x ∈ y ⇔ x ∈ z ∧ ϕ)
4. Coppia: ∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z)
5. Unione: ∃A∀Y ∀x(x ∈ Y ∧ Y ∈ F ⇒ x ∈ A)
6. Schema di rimpiazzamento: Per ogni formula ϕ:∀x ∈ A ∃!yϕ⇒ ∃Y ∀x ∈ A ∃y ∈ Y ϕ
Gli assiomi 1–6 permettono di sviluppare le proprieta elementari dellateoria degli insiemi. Questo facilita anche l’enunciazione degli assiomirestanti.
Gli assiomi di ZFC (primo blocco)
1. Estensionalita: ∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y)⇒ x = y
2. Fondazione: ∃x y ∈ x ⇒ ∃y(y ∈ x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y))
3. Schema di separazione: Per ogni formula ϕ:∃y∀x(x ∈ y ⇔ x ∈ z ∧ ϕ)
4. Coppia: ∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z)
5. Unione: ∃A∀Y ∀x(x ∈ Y ∧ Y ∈ F ⇒ x ∈ A)
6. Schema di rimpiazzamento: Per ogni formula ϕ:∀x ∈ A ∃!yϕ⇒ ∃Y ∀x ∈ A ∃y ∈ Y ϕ
Gli assiomi 1–6 permettono di sviluppare le proprieta elementari dellateoria degli insiemi. Questo facilita anche l’enunciazione degli assiomirestanti.
Gli assiomi di ZFC (primo blocco)
1. Estensionalita: ∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y)⇒ x = y
2. Fondazione: ∃x y ∈ x ⇒ ∃y(y ∈ x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y))
3. Schema di separazione: Per ogni formula ϕ:∃y∀x(x ∈ y ⇔ x ∈ z ∧ ϕ)
4. Coppia: ∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z)
5. Unione: ∃A∀Y ∀x(x ∈ Y ∧ Y ∈ F ⇒ x ∈ A)
6. Schema di rimpiazzamento: Per ogni formula ϕ:∀x ∈ A ∃!yϕ⇒ ∃Y ∀x ∈ A ∃y ∈ Y ϕ
Gli assiomi 1–6 permettono di sviluppare le proprieta elementari dellateoria degli insiemi. Questo facilita anche l’enunciazione degli assiomirestanti.
Gli assiomi di ZFC (primo blocco)
1. Estensionalita: ∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y)⇒ x = y
2. Fondazione: ∃x y ∈ x ⇒ ∃y(y ∈ x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y))
3. Schema di separazione: Per ogni formula ϕ:∃y∀x(x ∈ y ⇔ x ∈ z ∧ ϕ)
4. Coppia: ∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z)
5. Unione: ∃A∀Y ∀x(x ∈ Y ∧ Y ∈ F ⇒ x ∈ A)
6. Schema di rimpiazzamento: Per ogni formula ϕ:∀x ∈ A ∃!yϕ⇒ ∃Y ∀x ∈ A ∃y ∈ Y ϕ
Gli assiomi 1–6 permettono di sviluppare le proprieta elementari dellateoria degli insiemi. Questo facilita anche l’enunciazione degli assiomirestanti.
Gli assiomi di ZFC (primo blocco)
1. Estensionalita: ∀z(z ∈ x ⇔ z ∈ y)⇒ x = y
2. Fondazione: ∃x y ∈ x ⇒ ∃y(y ∈ x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y))
3. Schema di separazione: Per ogni formula ϕ:∃y∀x(x ∈ y ⇔ x ∈ z ∧ ϕ)
4. Coppia: ∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z)
5. Unione: ∃A∀Y ∀x(x ∈ Y ∧ Y ∈ F ⇒ x ∈ A)
6. Schema di rimpiazzamento: Per ogni formula ϕ:∀x ∈ A ∃!yϕ⇒ ∃Y ∀x ∈ A ∃y ∈ Y ϕ
Gli assiomi 1–6 permettono di sviluppare le proprieta elementari dellateoria degli insiemi. Questo facilita anche l’enunciazione degli assiomirestanti.
Primi sviluppi della teoria
Definizione.
I Insieme vuoto: y = ∅ ⇔ ∀x x /∈ y
I Inclusione: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ y)
I Coppia ordinata: (x , y) = {{x}, {x , y}I Comprensione: y = {z ∈ x | ϕ(z)} ⇔ ∀z(z ∈ y ⇔ z ∈ x ∧ ϕ(z))
I Unione:⋃F =
⋃Y∈F Y = {x | ∃Y ∈ F x ∈ Y }
I Prodotto cartesiano: A× B = {(x , y) | x ∈ A, y ∈ B}
Primi sviluppi della teoria
Definizione.
I Insieme vuoto: y = ∅ ⇔ ∀x x /∈ y
I Inclusione: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ y)
I Coppia ordinata: (x , y) = {{x}, {x , y}I Comprensione: y = {z ∈ x | ϕ(z)} ⇔ ∀z(z ∈ y ⇔ z ∈ x ∧ ϕ(z))
I Unione:⋃F =
⋃Y∈F Y = {x | ∃Y ∈ F x ∈ Y }
I Prodotto cartesiano: A× B = {(x , y) | x ∈ A, y ∈ B}
Primi sviluppi della teoria
Definizione.
I Insieme vuoto: y = ∅ ⇔ ∀x x /∈ y
I Inclusione: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ y)
I Coppia ordinata: (x , y) = {{x}, {x , y}
I Comprensione: y = {z ∈ x | ϕ(z)} ⇔ ∀z(z ∈ y ⇔ z ∈ x ∧ ϕ(z))
I Unione:⋃F =
⋃Y∈F Y = {x | ∃Y ∈ F x ∈ Y }
I Prodotto cartesiano: A× B = {(x , y) | x ∈ A, y ∈ B}
Primi sviluppi della teoria
Definizione.
I Insieme vuoto: y = ∅ ⇔ ∀x x /∈ y
I Inclusione: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ y)
I Coppia ordinata: (x , y) = {{x}, {x , y}I Comprensione: y = {z ∈ x | ϕ(z)} ⇔ ∀z(z ∈ y ⇔ z ∈ x ∧ ϕ(z))
I Unione:⋃F =
⋃Y∈F Y = {x | ∃Y ∈ F x ∈ Y }
I Prodotto cartesiano: A× B = {(x , y) | x ∈ A, y ∈ B}
Primi sviluppi della teoria
Definizione.
I Insieme vuoto: y = ∅ ⇔ ∀x x /∈ y
I Inclusione: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ y)
I Coppia ordinata: (x , y) = {{x}, {x , y}I Comprensione: y = {z ∈ x | ϕ(z)} ⇔ ∀z(z ∈ y ⇔ z ∈ x ∧ ϕ(z))
I Unione:⋃F =
⋃Y∈F Y = {x | ∃Y ∈ F x ∈ Y }
I Prodotto cartesiano: A× B = {(x , y) | x ∈ A, y ∈ B}
Primi sviluppi della teoria
Definizione.
I Insieme vuoto: y = ∅ ⇔ ∀x x /∈ y
I Inclusione: x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ y)
I Coppia ordinata: (x , y) = {{x}, {x , y}I Comprensione: y = {z ∈ x | ϕ(z)} ⇔ ∀z(z ∈ y ⇔ z ∈ x ∧ ϕ(z))
I Unione:⋃F =
⋃Y∈F Y = {x | ∃Y ∈ F x ∈ Y }
I Prodotto cartesiano: A× B = {(x , y) | x ∈ A, y ∈ B}
Relazioni e funzioni
Definizione.
I R e una relazione se e un insieme di coppie ordinate
I domR = {x | ∃y(x , y) ∈ R}I f e una funzione se e una relazione e ∀x ∈ domf ∃!y(x , y) ∈ f . Tale
y e denotato f (x). Se domf = A e f ⊆ A× B, si scrive f : A→ B.Una tale f e biiettiva se ∀x , y ∈ A (x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)) e∀z ∈ B ∃x ∈ A f (x) = z .
I Se R,S sono relazioni, A,B sono insiemi ed f : A→ B, allora f e unisomorfismo tra (A,R) e (B,S) se f e biiettiva e∀x , y ∈ A (xRy ⇔ f (x)Sf (y))
I R e un ordine totale (stretto) su A se e irriflessiva (∀x ∈ A¬xRx),transitiva (∀x , y , z ∈ A (xRy ∧ yRz → xRz)) e totale(∀x , y ∈ A (x = y ∨ xRy ∨ yRx))
I . . .
Si puo dunque in questo frammento di ZFC cominciare a sviluppare lamatematica ordinaria (per garantire l’esistenza di altri enti importanti inmatematica c’e bisogno degli altri assiomi). Ma la teoria risultaabbastanza interessante da studiare per interesse indipendente.
Relazioni e funzioni
Definizione.
I R e una relazione se e un insieme di coppie ordinate
I domR = {x | ∃y(x , y) ∈ R}
I f e una funzione se e una relazione e ∀x ∈ domf ∃!y(x , y) ∈ f . Taley e denotato f (x). Se domf = A e f ⊆ A× B, si scrive f : A→ B.Una tale f e biiettiva se ∀x , y ∈ A (x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)) e∀z ∈ B ∃x ∈ A f (x) = z .
I Se R,S sono relazioni, A,B sono insiemi ed f : A→ B, allora f e unisomorfismo tra (A,R) e (B,S) se f e biiettiva e∀x , y ∈ A (xRy ⇔ f (x)Sf (y))
I R e un ordine totale (stretto) su A se e irriflessiva (∀x ∈ A¬xRx),transitiva (∀x , y , z ∈ A (xRy ∧ yRz → xRz)) e totale(∀x , y ∈ A (x = y ∨ xRy ∨ yRx))
I . . .
Si puo dunque in questo frammento di ZFC cominciare a sviluppare lamatematica ordinaria (per garantire l’esistenza di altri enti importanti inmatematica c’e bisogno degli altri assiomi). Ma la teoria risultaabbastanza interessante da studiare per interesse indipendente.
Relazioni e funzioni
Definizione.
I R e una relazione se e un insieme di coppie ordinate
I domR = {x | ∃y(x , y) ∈ R}I f e una funzione se e una relazione e ∀x ∈ domf ∃!y(x , y) ∈ f . Tale
y e denotato f (x). Se domf = A e f ⊆ A× B, si scrive f : A→ B.Una tale f e biiettiva se ∀x , y ∈ A (x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)) e∀z ∈ B ∃x ∈ A f (x) = z .
I Se R,S sono relazioni, A,B sono insiemi ed f : A→ B, allora f e unisomorfismo tra (A,R) e (B,S) se f e biiettiva e∀x , y ∈ A (xRy ⇔ f (x)Sf (y))
I R e un ordine totale (stretto) su A se e irriflessiva (∀x ∈ A¬xRx),transitiva (∀x , y , z ∈ A (xRy ∧ yRz → xRz)) e totale(∀x , y ∈ A (x = y ∨ xRy ∨ yRx))
I . . .
Si puo dunque in questo frammento di ZFC cominciare a sviluppare lamatematica ordinaria (per garantire l’esistenza di altri enti importanti inmatematica c’e bisogno degli altri assiomi). Ma la teoria risultaabbastanza interessante da studiare per interesse indipendente.
Relazioni e funzioni
Definizione.
I R e una relazione se e un insieme di coppie ordinate
I domR = {x | ∃y(x , y) ∈ R}I f e una funzione se e una relazione e ∀x ∈ domf ∃!y(x , y) ∈ f . Tale
y e denotato f (x). Se domf = A e f ⊆ A× B, si scrive f : A→ B.Una tale f e biiettiva se ∀x , y ∈ A (x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)) e∀z ∈ B ∃x ∈ A f (x) = z .
I Se R,S sono relazioni, A,B sono insiemi ed f : A→ B, allora f e unisomorfismo tra (A,R) e (B,S) se f e biiettiva e∀x , y ∈ A (xRy ⇔ f (x)Sf (y))
I R e un ordine totale (stretto) su A se e irriflessiva (∀x ∈ A¬xRx),transitiva (∀x , y , z ∈ A (xRy ∧ yRz → xRz)) e totale(∀x , y ∈ A (x = y ∨ xRy ∨ yRx))
I . . .
Si puo dunque in questo frammento di ZFC cominciare a sviluppare lamatematica ordinaria (per garantire l’esistenza di altri enti importanti inmatematica c’e bisogno degli altri assiomi). Ma la teoria risultaabbastanza interessante da studiare per interesse indipendente.
Relazioni e funzioni
Definizione.
I R e una relazione se e un insieme di coppie ordinate
I domR = {x | ∃y(x , y) ∈ R}I f e una funzione se e una relazione e ∀x ∈ domf ∃!y(x , y) ∈ f . Tale
y e denotato f (x). Se domf = A e f ⊆ A× B, si scrive f : A→ B.Una tale f e biiettiva se ∀x , y ∈ A (x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)) e∀z ∈ B ∃x ∈ A f (x) = z .
I Se R,S sono relazioni, A,B sono insiemi ed f : A→ B, allora f e unisomorfismo tra (A,R) e (B,S) se f e biiettiva e∀x , y ∈ A (xRy ⇔ f (x)Sf (y))
I R e un ordine totale (stretto) su A se e irriflessiva (∀x ∈ A¬xRx),transitiva (∀x , y , z ∈ A (xRy ∧ yRz → xRz)) e totale(∀x , y ∈ A (x = y ∨ xRy ∨ yRx))
I . . .
Si puo dunque in questo frammento di ZFC cominciare a sviluppare lamatematica ordinaria (per garantire l’esistenza di altri enti importanti inmatematica c’e bisogno degli altri assiomi). Ma la teoria risultaabbastanza interessante da studiare per interesse indipendente.
Relazioni e funzioni
Definizione.
I R e una relazione se e un insieme di coppie ordinate
I domR = {x | ∃y(x , y) ∈ R}I f e una funzione se e una relazione e ∀x ∈ domf ∃!y(x , y) ∈ f . Tale
y e denotato f (x). Se domf = A e f ⊆ A× B, si scrive f : A→ B.Una tale f e biiettiva se ∀x , y ∈ A (x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)) e∀z ∈ B ∃x ∈ A f (x) = z .
I Se R,S sono relazioni, A,B sono insiemi ed f : A→ B, allora f e unisomorfismo tra (A,R) e (B,S) se f e biiettiva e∀x , y ∈ A (xRy ⇔ f (x)Sf (y))
I R e un ordine totale (stretto) su A se e irriflessiva (∀x ∈ A¬xRx),transitiva (∀x , y , z ∈ A (xRy ∧ yRz → xRz)) e totale(∀x , y ∈ A (x = y ∨ xRy ∨ yRx))
I . . .
Si puo dunque in questo frammento di ZFC cominciare a sviluppare lamatematica ordinaria (per garantire l’esistenza di altri enti importanti inmatematica c’e bisogno degli altri assiomi). Ma la teoria risultaabbastanza interessante da studiare per interesse indipendente.
Relazioni e funzioni
Definizione.
I R e una relazione se e un insieme di coppie ordinate
I domR = {x | ∃y(x , y) ∈ R}I f e una funzione se e una relazione e ∀x ∈ domf ∃!y(x , y) ∈ f . Tale
y e denotato f (x). Se domf = A e f ⊆ A× B, si scrive f : A→ B.Una tale f e biiettiva se ∀x , y ∈ A (x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)) e∀z ∈ B ∃x ∈ A f (x) = z .
I Se R,S sono relazioni, A,B sono insiemi ed f : A→ B, allora f e unisomorfismo tra (A,R) e (B,S) se f e biiettiva e∀x , y ∈ A (xRy ⇔ f (x)Sf (y))
I R e un ordine totale (stretto) su A se e irriflessiva (∀x ∈ A¬xRx),transitiva (∀x , y , z ∈ A (xRy ∧ yRz → xRz)) e totale(∀x , y ∈ A (x = y ∨ xRy ∨ yRx))
I . . .
Si puo dunque in questo frammento di ZFC cominciare a sviluppare lamatematica ordinaria (per garantire l’esistenza di altri enti importanti inmatematica c’e bisogno degli altri assiomi). Ma la teoria risultaabbastanza interessante da studiare per interesse indipendente.
Buoni ordini
Un concetto importante in molte aree della matematica e fondamentalein teoria degli insiemi e quello di buon ordine.
Definizione. Una relazione d’ordine (A,R) e un buon ordine se ognisottoinsieme non vuoto B ⊆ A ha un elemento minimo rispetto a R.
Lemma. Se (A,R) e un buon ordine e a ∈ A, allora (A,R) non eisomorfo al suo segmento iniziale ({x ∈ A | xRa},R).
Dimostrazione. Se f : A→ {x ∈ A | xRa} e un isomorfismo, l’elementomin{y ∈ A | f (y) 6= y} produce una contraddizione.
Lemma. Se (A,R), (B,S) sono buoni ordini isomorfi, l’isomorfismo traloro e unico.
Dimostrazione. Se f , g : A→ B sono isomorfismi, l’esistenza dimin{y ∈ A | f (y) 6= g(y)} fornisce una contraddizione.
Buoni ordini
Un concetto importante in molte aree della matematica e fondamentalein teoria degli insiemi e quello di buon ordine.
Definizione. Una relazione d’ordine (A,R) e un buon ordine se ognisottoinsieme non vuoto B ⊆ A ha un elemento minimo rispetto a R.
Lemma. Se (A,R) e un buon ordine e a ∈ A, allora (A,R) non eisomorfo al suo segmento iniziale ({x ∈ A | xRa},R).
Dimostrazione. Se f : A→ {x ∈ A | xRa} e un isomorfismo, l’elementomin{y ∈ A | f (y) 6= y} produce una contraddizione.
Lemma. Se (A,R), (B,S) sono buoni ordini isomorfi, l’isomorfismo traloro e unico.
Dimostrazione. Se f , g : A→ B sono isomorfismi, l’esistenza dimin{y ∈ A | f (y) 6= g(y)} fornisce una contraddizione.
Buoni ordini
Un concetto importante in molte aree della matematica e fondamentalein teoria degli insiemi e quello di buon ordine.
Definizione. Una relazione d’ordine (A,R) e un buon ordine se ognisottoinsieme non vuoto B ⊆ A ha un elemento minimo rispetto a R.
Lemma. Se (A,R) e un buon ordine e a ∈ A, allora (A,R) non eisomorfo al suo segmento iniziale ({x ∈ A | xRa},R).
Dimostrazione. Se f : A→ {x ∈ A | xRa} e un isomorfismo, l’elementomin{y ∈ A | f (y) 6= y} produce una contraddizione.
Lemma. Se (A,R), (B,S) sono buoni ordini isomorfi, l’isomorfismo traloro e unico.
Dimostrazione. Se f , g : A→ B sono isomorfismi, l’esistenza dimin{y ∈ A | f (y) 6= g(y)} fornisce una contraddizione.
Buoni ordini
Un concetto importante in molte aree della matematica e fondamentalein teoria degli insiemi e quello di buon ordine.
Definizione. Una relazione d’ordine (A,R) e un buon ordine se ognisottoinsieme non vuoto B ⊆ A ha un elemento minimo rispetto a R.
Lemma. Se (A,R) e un buon ordine e a ∈ A, allora (A,R) non eisomorfo al suo segmento iniziale ({x ∈ A | xRa},R).
Dimostrazione. Se f : A→ {x ∈ A | xRa} e un isomorfismo, l’elementomin{y ∈ A | f (y) 6= y} produce una contraddizione.
Lemma. Se (A,R), (B,S) sono buoni ordini isomorfi, l’isomorfismo traloro e unico.
Dimostrazione. Se f , g : A→ B sono isomorfismi, l’esistenza dimin{y ∈ A | f (y) 6= g(y)} fornisce una contraddizione.
Buoni ordini
Teorema. Se (A,R), (B,S) sono buoni ordini, vale esattamente unadelle alternative seguenti:
1. (A,R), (B,S) sono isomorfi
2. (A,R), ({y ∈ B | ySb},S) sono isomorfi, per qualche b ∈ B
3. ({x ∈ A | xRa},R), (B,S) sono isomorfi, per qualche a ∈ A
Dimostrazione. Sia
f = {(a, b) ∈ A× B | {x ∈ A | xRa} ' {y ∈ B | ySb}}.
Allora f e un isomorfismo tra un segmento iniziale di A e un segmentoiniziale di B, e non possono essere entrambi propri.
Buoni ordini
Teorema. Se (A,R), (B,S) sono buoni ordini, vale esattamente unadelle alternative seguenti:
1. (A,R), (B,S) sono isomorfi
2. (A,R), ({y ∈ B | ySb},S) sono isomorfi, per qualche b ∈ B
3. ({x ∈ A | xRa},R), (B,S) sono isomorfi, per qualche a ∈ A
Dimostrazione. Sia
f = {(a, b) ∈ A× B | {x ∈ A | xRa} ' {y ∈ B | ySb}}.
Allora f e un isomorfismo tra un segmento iniziale di A e un segmentoiniziale di B, e non possono essere entrambi propri.
Ordinali
Definizione.
I Un insieme x e transitivo se ogni elemento di x e sottoinsieme di x :∀y ∈ x y ⊆ x
I x e un numero ordinale se e transitivo e la relazione ∈ e un buonordine su x
Esempi d’ordinali (i numeri naturali)
I 0 = ∅I 1 = {0}I 2 = {0, 1} = {∅, {∅}}I 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}I . . .
Con gli assiomi introdotti finora non si puo dimostrare l’esistenza di altriordinali.
Ordinali
Definizione.
I Un insieme x e transitivo se ogni elemento di x e sottoinsieme di x :∀y ∈ x y ⊆ x
I x e un numero ordinale se e transitivo e la relazione ∈ e un buonordine su x
Esempi d’ordinali (i numeri naturali)
I 0 = ∅I 1 = {0}I 2 = {0, 1} = {∅, {∅}}I 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}I . . .
Con gli assiomi introdotti finora non si puo dimostrare l’esistenza di altriordinali.
Ordinali
Definizione.
I Un insieme x e transitivo se ogni elemento di x e sottoinsieme di x :∀y ∈ x y ⊆ x
I x e un numero ordinale se e transitivo e la relazione ∈ e un buonordine su x
Esempi d’ordinali (i numeri naturali)
I 0 = ∅
I 1 = {0}I 2 = {0, 1} = {∅, {∅}}I 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}I . . .
Con gli assiomi introdotti finora non si puo dimostrare l’esistenza di altriordinali.
Ordinali
Definizione.
I Un insieme x e transitivo se ogni elemento di x e sottoinsieme di x :∀y ∈ x y ⊆ x
I x e un numero ordinale se e transitivo e la relazione ∈ e un buonordine su x
Esempi d’ordinali (i numeri naturali)
I 0 = ∅I 1 = {0}
I 2 = {0, 1} = {∅, {∅}}I 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}I . . .
Con gli assiomi introdotti finora non si puo dimostrare l’esistenza di altriordinali.
Ordinali
Definizione.
I Un insieme x e transitivo se ogni elemento di x e sottoinsieme di x :∀y ∈ x y ⊆ x
I x e un numero ordinale se e transitivo e la relazione ∈ e un buonordine su x
Esempi d’ordinali (i numeri naturali)
I 0 = ∅I 1 = {0}I 2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
I 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}I . . .
Con gli assiomi introdotti finora non si puo dimostrare l’esistenza di altriordinali.
Ordinali
Definizione.
I Un insieme x e transitivo se ogni elemento di x e sottoinsieme di x :∀y ∈ x y ⊆ x
I x e un numero ordinale se e transitivo e la relazione ∈ e un buonordine su x
Esempi d’ordinali (i numeri naturali)
I 0 = ∅I 1 = {0}I 2 = {0, 1} = {∅, {∅}}I 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
I . . .
Con gli assiomi introdotti finora non si puo dimostrare l’esistenza di altriordinali.
Ordinali
Definizione.
I Un insieme x e transitivo se ogni elemento di x e sottoinsieme di x :∀y ∈ x y ⊆ x
I x e un numero ordinale se e transitivo e la relazione ∈ e un buonordine su x
Esempi d’ordinali (i numeri naturali)
I 0 = ∅I 1 = {0}I 2 = {0, 1} = {∅, {∅}}I 3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}I . . .
Con gli assiomi introdotti finora non si puo dimostrare l’esistenza di altriordinali.
Ordinali
Teorema.
1. Se x e un ordinale e y ∈ x , allora y e un ordinale e y e l’insieme dei∈-predecessori di se stesso in x
2. Se x , y sono ordinali e x ' y , allora x = y
3. Se x , y sono ordinali, esattamente una delle seguenti alternativevale: x ∈ y , x = y , y ∈ x
4. Se x , y , z sono ordinali e x ∈ y , y ∈ z , allora x ∈ z
5. Se C e un insieme non vuoto di ordinali, allora∃x ∈ C ∀y ∈ C (x = y ∨ x ∈ y)
6. Se ϕ e una formula soddisfatta da almeno un ordinale, allora c’e unminimo ordinale che la soddisfa
Dimostrazione. (5) Sia x ∈ C . Se x ∩ C = ∅, allora x e ∈-minimo in C .Altrimenti min(x ∩ C ) = min C .(6) Simile a (5). Si esprime anche dicendo che ogni classe non vuota diordinali ha un minimo.
Ordinali
Teorema.
1. Se x e un ordinale e y ∈ x , allora y e un ordinale e y e l’insieme dei∈-predecessori di se stesso in x
2. Se x , y sono ordinali e x ' y , allora x = y
3. Se x , y sono ordinali, esattamente una delle seguenti alternativevale: x ∈ y , x = y , y ∈ x
4. Se x , y , z sono ordinali e x ∈ y , y ∈ z , allora x ∈ z
5. Se C e un insieme non vuoto di ordinali, allora∃x ∈ C ∀y ∈ C (x = y ∨ x ∈ y)
6. Se ϕ e una formula soddisfatta da almeno un ordinale, allora c’e unminimo ordinale che la soddisfa
Dimostrazione. (5) Sia x ∈ C . Se x ∩ C = ∅, allora x e ∈-minimo in C .Altrimenti min(x ∩ C ) = min C .(6) Simile a (5). Si esprime anche dicendo che ogni classe non vuota diordinali ha un minimo.
Ordinali
Teorema.
1. Se x e un ordinale e y ∈ x , allora y e un ordinale e y e l’insieme dei∈-predecessori di se stesso in x
2. Se x , y sono ordinali e x ' y , allora x = y
3. Se x , y sono ordinali, esattamente una delle seguenti alternativevale: x ∈ y , x = y , y ∈ x
4. Se x , y , z sono ordinali e x ∈ y , y ∈ z , allora x ∈ z
5. Se C e un insieme non vuoto di ordinali, allora∃x ∈ C ∀y ∈ C (x = y ∨ x ∈ y)
6. Se ϕ e una formula soddisfatta da almeno un ordinale, allora c’e unminimo ordinale che la soddisfa
Dimostrazione. (5) Sia x ∈ C . Se x ∩ C = ∅, allora x e ∈-minimo in C .Altrimenti min(x ∩ C ) = min C .(6) Simile a (5). Si esprime anche dicendo che ogni classe non vuota diordinali ha un minimo.
Ordinali
Teorema.
1. Se x e un ordinale e y ∈ x , allora y e un ordinale e y e l’insieme dei∈-predecessori di se stesso in x
2. Se x , y sono ordinali e x ' y , allora x = y
3. Se x , y sono ordinali, esattamente una delle seguenti alternativevale: x ∈ y , x = y , y ∈ x
4. Se x , y , z sono ordinali e x ∈ y , y ∈ z , allora x ∈ z
5. Se C e un insieme non vuoto di ordinali, allora∃x ∈ C ∀y ∈ C (x = y ∨ x ∈ y)
6. Se ϕ e una formula soddisfatta da almeno un ordinale, allora c’e unminimo ordinale che la soddisfa
Dimostrazione. (5) Sia x ∈ C . Se x ∩ C = ∅, allora x e ∈-minimo in C .Altrimenti min(x ∩ C ) = min C .(6) Simile a (5). Si esprime anche dicendo che ogni classe non vuota diordinali ha un minimo.
Ordinali
Teorema.
1. Se x e un ordinale e y ∈ x , allora y e un ordinale e y e l’insieme dei∈-predecessori di se stesso in x
2. Se x , y sono ordinali e x ' y , allora x = y
3. Se x , y sono ordinali, esattamente una delle seguenti alternativevale: x ∈ y , x = y , y ∈ x
4. Se x , y , z sono ordinali e x ∈ y , y ∈ z , allora x ∈ z
5. Se C e un insieme non vuoto di ordinali, allora∃x ∈ C ∀y ∈ C (x = y ∨ x ∈ y)
6. Se ϕ e una formula soddisfatta da almeno un ordinale, allora c’e unminimo ordinale che la soddisfa
Dimostrazione. (5) Sia x ∈ C . Se x ∩ C = ∅, allora x e ∈-minimo in C .Altrimenti min(x ∩ C ) = min C .(6) Simile a (5). Si esprime anche dicendo che ogni classe non vuota diordinali ha un minimo.
Ordinali
Lemma. Se A e un insieme transitivo di ordinali, allora A e un ordinale.
Teorema. Se (A,R) e un buon ordine, allora c’e un unico ordinale Cisomorfo a (A,R).
Dimostrazione. (Esistenza) Siano
B = {a ∈ A | ∃x (x e un ordinale e {b ∈ A | bRa} ' x)}f (a) = l’unico x tale che {b ∈ A | bRa} ' x .
Se C = imf e l’immagine di f , per il lemma precedente C e un ordinale ef : B → C e un isomorfismo. Se fosse B 6= A, sia m = min(A \ B).Allora B = {a ∈ A | aRm}, da cui m ∈ B, contraddizione.
Gli ordinali sono dunque rappresentanti dei tipi d’ordine dei buoni ordini.
Ordinali
Lemma. Se A e un insieme transitivo di ordinali, allora A e un ordinale.
Teorema. Se (A,R) e un buon ordine, allora c’e un unico ordinale Cisomorfo a (A,R).
Dimostrazione. (Esistenza) Siano
B = {a ∈ A | ∃x (x e un ordinale e {b ∈ A | bRa} ' x)}f (a) = l’unico x tale che {b ∈ A | bRa} ' x .
Se C = imf e l’immagine di f , per il lemma precedente C e un ordinale ef : B → C e un isomorfismo. Se fosse B 6= A, sia m = min(A \ B).Allora B = {a ∈ A | aRm}, da cui m ∈ B, contraddizione.
Gli ordinali sono dunque rappresentanti dei tipi d’ordine dei buoni ordini.
Ordinali
Lemma. Se A e un insieme transitivo di ordinali, allora A e un ordinale.
Teorema. Se (A,R) e un buon ordine, allora c’e un unico ordinale Cisomorfo a (A,R).
Dimostrazione. (Esistenza) Siano
B = {a ∈ A | ∃x (x e un ordinale e {b ∈ A | bRa} ' x)}f (a) = l’unico x tale che {b ∈ A | bRa} ' x .
Se C = imf e l’immagine di f , per il lemma precedente C e un ordinale ef : B → C e un isomorfismo. Se fosse B 6= A, sia m = min(A \ B).Allora B = {a ∈ A | aRm}, da cui m ∈ B, contraddizione.
Gli ordinali sono dunque rappresentanti dei tipi d’ordine dei buoni ordini.
Ordinali
Lemma. Se A e un insieme transitivo di ordinali, allora A e un ordinale.
Teorema. Se (A,R) e un buon ordine, allora c’e un unico ordinale Cisomorfo a (A,R).
Dimostrazione. (Esistenza) Siano
B = {a ∈ A | ∃x (x e un ordinale e {b ∈ A | bRa} ' x)}f (a) = l’unico x tale che {b ∈ A | bRa} ' x .
Se C = imf e l’immagine di f , per il lemma precedente C e un ordinale ef : B → C e un isomorfismo. Se fosse B 6= A, sia m = min(A \ B).Allora B = {a ∈ A | aRm}, da cui m ∈ B, contraddizione.
Gli ordinali sono dunque rappresentanti dei tipi d’ordine dei buoni ordini.
Ordinali
La relazione α ∈ β tra ordinali si scrive di solito α < β.α ≤ β significa α = β ∨ α < β.
Lemma. Per ogni α, β ordinali, α ≤ β ⇔ α ⊆ β.
Definizione. Il successore di un ordinale α e Sα = α ∪ {α}.
Lemma. Per ogni ordinale α:
I S(α) e un ordinale
I α < Sα
I ∀β(β < Sα⇔ β ≤ α)
Inoltre, se X e un insieme non vuoto di ordinali, sup X =⋃
X .
Ordinali
La relazione α ∈ β tra ordinali si scrive di solito α < β.α ≤ β significa α = β ∨ α < β.
Lemma. Per ogni α, β ordinali, α ≤ β ⇔ α ⊆ β.
Definizione. Il successore di un ordinale α e Sα = α ∪ {α}.
Lemma. Per ogni ordinale α:
I S(α) e un ordinale
I α < Sα
I ∀β(β < Sα⇔ β ≤ α)
Inoltre, se X e un insieme non vuoto di ordinali, sup X =⋃
X .
Ordinali
La relazione α ∈ β tra ordinali si scrive di solito α < β.α ≤ β significa α = β ∨ α < β.
Lemma. Per ogni α, β ordinali, α ≤ β ⇔ α ⊆ β.
Definizione. Il successore di un ordinale α e Sα = α ∪ {α}.
Lemma. Per ogni ordinale α:
I S(α) e un ordinale
I α < Sα
I ∀β(β < Sα⇔ β ≤ α)
Inoltre, se X e un insieme non vuoto di ordinali, sup X =⋃
X .
Ordinali
La relazione α ∈ β tra ordinali si scrive di solito α < β.α ≤ β significa α = β ∨ α < β.
Lemma. Per ogni α, β ordinali, α ≤ β ⇔ α ⊆ β.
Definizione. Il successore di un ordinale α e Sα = α ∪ {α}.
Lemma. Per ogni ordinale α:
I S(α) e un ordinale
I α < Sα
I ∀β(β < Sα⇔ β ≤ α)
Inoltre, se X e un insieme non vuoto di ordinali, sup X =⋃
X .
Ordinali
La relazione α ∈ β tra ordinali si scrive di solito α < β.α ≤ β significa α = β ∨ α < β.
Lemma. Per ogni α, β ordinali, α ≤ β ⇔ α ⊆ β.
Definizione. Il successore di un ordinale α e Sα = α ∪ {α}.
Lemma. Per ogni ordinale α:
I S(α) e un ordinale
I α < Sα
I ∀β(β < Sα⇔ β ≤ α)
Inoltre, se X e un insieme non vuoto di ordinali, sup X =⋃
X .
Ordinali
La relazione α ∈ β tra ordinali si scrive di solito α < β.α ≤ β significa α = β ∨ α < β.
Lemma. Per ogni α, β ordinali, α ≤ β ⇔ α ⊆ β.
Definizione. Il successore di un ordinale α e Sα = α ∪ {α}.
Lemma. Per ogni ordinale α:
I S(α) e un ordinale
I α < Sα
I ∀β(β < Sα⇔ β ≤ α)
Inoltre, se X e un insieme non vuoto di ordinali, sup X =⋃
X .
Ordinali
La relazione α ∈ β tra ordinali si scrive di solito α < β.α ≤ β significa α = β ∨ α < β.
Lemma. Per ogni α, β ordinali, α ≤ β ⇔ α ⊆ β.
Definizione. Il successore di un ordinale α e Sα = α ∪ {α}.
Lemma. Per ogni ordinale α:
I S(α) e un ordinale
I α < Sα
I ∀β(β < Sα⇔ β ≤ α)
Inoltre, se X e un insieme non vuoto di ordinali, sup X =⋃
X .
Ordinali
Definizione. Un ordinale α e
I un ordinale successore se α = Sβ per qualche β
I un ordinale limite se non e 0 ne un ordinale sucessore
Definizione. α e un numero naturale se∀β ≤ α (β = 0 ∨ β e successore).
I naturali formano quindi un segmento iniziale degli ordinali.
Ordinali
Definizione. Un ordinale α e
I un ordinale successore se α = Sβ per qualche β
I un ordinale limite se non e 0 ne un ordinale sucessore
Definizione. α e un numero naturale se∀β ≤ α (β = 0 ∨ β e successore).
I naturali formano quindi un segmento iniziale degli ordinali.
Ordinali
Definizione. Un ordinale α e
I un ordinale successore se α = Sβ per qualche β
I un ordinale limite se non e 0 ne un ordinale sucessore
Definizione. α e un numero naturale se∀β ≤ α (β = 0 ∨ β e successore).
I naturali formano quindi un segmento iniziale degli ordinali.
Operazioni sugli ordinali
Si definiscono, per induzione transfinita, alcune operazioni sugli ordinali(che coincidono sui naturali con le corrispondenti operazioni aritmetiche):
Addizione.
I α + 0 = α
I α + Sβ = S(α + β)
I Se λ e un ordinale limite, α + λ = sup{α + β | β < λ}α + β e il tipo d’ordine di un’unione disgiunta di un tipo d’ordine α conin coda un tipo d’ordine β.
Per esempio, α + 1 = Sα.
Operazioni sugli ordinali
Si definiscono, per induzione transfinita, alcune operazioni sugli ordinali(che coincidono sui naturali con le corrispondenti operazioni aritmetiche):
Addizione.
I α + 0 = α
I α + Sβ = S(α + β)
I Se λ e un ordinale limite, α + λ = sup{α + β | β < λ}
α + β e il tipo d’ordine di un’unione disgiunta di un tipo d’ordine α conin coda un tipo d’ordine β.
Per esempio, α + 1 = Sα.
Operazioni sugli ordinali
Si definiscono, per induzione transfinita, alcune operazioni sugli ordinali(che coincidono sui naturali con le corrispondenti operazioni aritmetiche):
Addizione.
I α + 0 = α
I α + Sβ = S(α + β)
I Se λ e un ordinale limite, α + λ = sup{α + β | β < λ}α + β e il tipo d’ordine di un’unione disgiunta di un tipo d’ordine α conin coda un tipo d’ordine β.
Per esempio, α + 1 = Sα.
Operazioni sugli ordinali
Moltiplicazione
I α0 = 0
I αSβ = αβ + α
I Se λ e un ordinale limite, αλ = sup{αβ | β < λ}
αβ e il tipo d’ordine di α× β ordinato antilessicograficamente.
Esponenziazione.
I α0 = 1
I αβ+1 = αβα
I Se λ e un ordinale limite, αλ = sup{αβ | β < λ}
Operazioni sugli ordinali
Moltiplicazione
I α0 = 0
I αSβ = αβ + α
I Se λ e un ordinale limite, αλ = sup{αβ | β < λ}αβ e il tipo d’ordine di α× β ordinato antilessicograficamente.
Esponenziazione.
I α0 = 1
I αβ+1 = αβα
I Se λ e un ordinale limite, αλ = sup{αβ | β < λ}
Operazioni sugli ordinali
Moltiplicazione
I α0 = 0
I αSβ = αβ + α
I Se λ e un ordinale limite, αλ = sup{αβ | β < λ}αβ e il tipo d’ordine di α× β ordinato antilessicograficamente.
Esponenziazione.
I α0 = 1
I αβ+1 = αβα
I Se λ e un ordinale limite, αλ = sup{αβ | β < λ}
Gli assiomi di ZFC (secondo blocco)
7. Infinito: ∃x(0 ∈ x | ∀y ∈ x Sy ∈ x)
8. Potenza: ∃y∀z(z ⊆ x ⇒ z ∈ y)
9. Scelta: ∃f : F →⋃F ∀X ∈ F (X 6= ∅ ⇒ f (X ) ∈ X )
L’assioma della scelta e equivalente alPrincipio del buon ordinamento. Ogni insieme e bene ordinabile.Lemma di Zorn. Se A e un insieme (parzialmente) ordinato tale cheogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora Aha un elemento massimale.
(Un ordine parziale ≤ e una relazione riflessiva: ∀x x ≤ x ; transitiva:∀x , y , z (x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z); antisimmetrica:∀x , y (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y). E totale se ∀x , y (x ≤ y ∨ y ≤ x).)
Definizione. L’insieme dei numeri naturali, che esiste per gli assiomadell’infinito e di separazione, e indicato con ω.
Teorema. ω e un ordinale. E il minimo degli ordinali infiniti (cioe non inbiiezione con un numero naturale).
Definizione. P(x) = {z | x ⊆ x} e l’insieme potenza di x .
Gli assiomi di ZFC (secondo blocco)
7. Infinito: ∃x(0 ∈ x | ∀y ∈ x Sy ∈ x)
8. Potenza: ∃y∀z(z ⊆ x ⇒ z ∈ y)
9. Scelta: ∃f : F →⋃F ∀X ∈ F (X 6= ∅ ⇒ f (X ) ∈ X )
L’assioma della scelta e equivalente alPrincipio del buon ordinamento. Ogni insieme e bene ordinabile.Lemma di Zorn. Se A e un insieme (parzialmente) ordinato tale cheogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora Aha un elemento massimale.
(Un ordine parziale ≤ e una relazione riflessiva: ∀x x ≤ x ; transitiva:∀x , y , z (x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z); antisimmetrica:∀x , y (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y). E totale se ∀x , y (x ≤ y ∨ y ≤ x).)
Definizione. L’insieme dei numeri naturali, che esiste per gli assiomadell’infinito e di separazione, e indicato con ω.
Teorema. ω e un ordinale. E il minimo degli ordinali infiniti (cioe non inbiiezione con un numero naturale).
Definizione. P(x) = {z | x ⊆ x} e l’insieme potenza di x .
Gli assiomi di ZFC (secondo blocco)
7. Infinito: ∃x(0 ∈ x | ∀y ∈ x Sy ∈ x)
8. Potenza: ∃y∀z(z ⊆ x ⇒ z ∈ y)
9. Scelta: ∃f : F →⋃F ∀X ∈ F (X 6= ∅ ⇒ f (X ) ∈ X )
L’assioma della scelta e equivalente alPrincipio del buon ordinamento. Ogni insieme e bene ordinabile.Lemma di Zorn. Se A e un insieme (parzialmente) ordinato tale cheogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora Aha un elemento massimale.
(Un ordine parziale ≤ e una relazione riflessiva: ∀x x ≤ x ; transitiva:∀x , y , z (x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z); antisimmetrica:∀x , y (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y). E totale se ∀x , y (x ≤ y ∨ y ≤ x).)
Definizione. L’insieme dei numeri naturali, che esiste per gli assiomadell’infinito e di separazione, e indicato con ω.
Teorema. ω e un ordinale. E il minimo degli ordinali infiniti (cioe non inbiiezione con un numero naturale).
Definizione. P(x) = {z | x ⊆ x} e l’insieme potenza di x .
Gli assiomi di ZFC (secondo blocco)
7. Infinito: ∃x(0 ∈ x | ∀y ∈ x Sy ∈ x)
8. Potenza: ∃y∀z(z ⊆ x ⇒ z ∈ y)
9. Scelta: ∃f : F →⋃F ∀X ∈ F (X 6= ∅ ⇒ f (X ) ∈ X )
L’assioma della scelta e equivalente alPrincipio del buon ordinamento. Ogni insieme e bene ordinabile.
Lemma di Zorn. Se A e un insieme (parzialmente) ordinato tale cheogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora Aha un elemento massimale.
(Un ordine parziale ≤ e una relazione riflessiva: ∀x x ≤ x ; transitiva:∀x , y , z (x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z); antisimmetrica:∀x , y (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y). E totale se ∀x , y (x ≤ y ∨ y ≤ x).)
Definizione. L’insieme dei numeri naturali, che esiste per gli assiomadell’infinito e di separazione, e indicato con ω.
Teorema. ω e un ordinale. E il minimo degli ordinali infiniti (cioe non inbiiezione con un numero naturale).
Definizione. P(x) = {z | x ⊆ x} e l’insieme potenza di x .
Gli assiomi di ZFC (secondo blocco)
7. Infinito: ∃x(0 ∈ x | ∀y ∈ x Sy ∈ x)
8. Potenza: ∃y∀z(z ⊆ x ⇒ z ∈ y)
9. Scelta: ∃f : F →⋃F ∀X ∈ F (X 6= ∅ ⇒ f (X ) ∈ X )
L’assioma della scelta e equivalente alPrincipio del buon ordinamento. Ogni insieme e bene ordinabile.Lemma di Zorn. Se A e un insieme (parzialmente) ordinato tale cheogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora Aha un elemento massimale.
(Un ordine parziale ≤ e una relazione riflessiva: ∀x x ≤ x ; transitiva:∀x , y , z (x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z); antisimmetrica:∀x , y (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y). E totale se ∀x , y (x ≤ y ∨ y ≤ x).)
Definizione. L’insieme dei numeri naturali, che esiste per gli assiomadell’infinito e di separazione, e indicato con ω.
Teorema. ω e un ordinale. E il minimo degli ordinali infiniti (cioe non inbiiezione con un numero naturale).
Definizione. P(x) = {z | x ⊆ x} e l’insieme potenza di x .
Gli assiomi di ZFC (secondo blocco)
7. Infinito: ∃x(0 ∈ x | ∀y ∈ x Sy ∈ x)
8. Potenza: ∃y∀z(z ⊆ x ⇒ z ∈ y)
9. Scelta: ∃f : F →⋃F ∀X ∈ F (X 6= ∅ ⇒ f (X ) ∈ X )
L’assioma della scelta e equivalente alPrincipio del buon ordinamento. Ogni insieme e bene ordinabile.Lemma di Zorn. Se A e un insieme (parzialmente) ordinato tale cheogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora Aha un elemento massimale.
(Un ordine parziale ≤ e una relazione riflessiva: ∀x x ≤ x ; transitiva:∀x , y , z (x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z); antisimmetrica:∀x , y (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y). E totale se ∀x , y (x ≤ y ∨ y ≤ x).)
Definizione. L’insieme dei numeri naturali, che esiste per gli assiomadell’infinito e di separazione, e indicato con ω.
Teorema. ω e un ordinale. E il minimo degli ordinali infiniti (cioe non inbiiezione con un numero naturale).
Definizione. P(x) = {z | x ⊆ x} e l’insieme potenza di x .
Gli assiomi di ZFC (secondo blocco)
7. Infinito: ∃x(0 ∈ x | ∀y ∈ x Sy ∈ x)
8. Potenza: ∃y∀z(z ⊆ x ⇒ z ∈ y)
9. Scelta: ∃f : F →⋃F ∀X ∈ F (X 6= ∅ ⇒ f (X ) ∈ X )
L’assioma della scelta e equivalente alPrincipio del buon ordinamento. Ogni insieme e bene ordinabile.Lemma di Zorn. Se A e un insieme (parzialmente) ordinato tale cheogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora Aha un elemento massimale.
(Un ordine parziale ≤ e una relazione riflessiva: ∀x x ≤ x ; transitiva:∀x , y , z (x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z); antisimmetrica:∀x , y (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y). E totale se ∀x , y (x ≤ y ∨ y ≤ x).)
Definizione. L’insieme dei numeri naturali, che esiste per gli assiomadell’infinito e di separazione, e indicato con ω.
Teorema. ω e un ordinale. E il minimo degli ordinali infiniti (cioe non inbiiezione con un numero naturale).
Definizione. P(x) = {z | x ⊆ x} e l’insieme potenza di x .
Gli assiomi di ZFC (secondo blocco)
7. Infinito: ∃x(0 ∈ x | ∀y ∈ x Sy ∈ x)
8. Potenza: ∃y∀z(z ⊆ x ⇒ z ∈ y)
9. Scelta: ∃f : F →⋃F ∀X ∈ F (X 6= ∅ ⇒ f (X ) ∈ X )
L’assioma della scelta e equivalente alPrincipio del buon ordinamento. Ogni insieme e bene ordinabile.Lemma di Zorn. Se A e un insieme (parzialmente) ordinato tale cheogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora Aha un elemento massimale.
(Un ordine parziale ≤ e una relazione riflessiva: ∀x x ≤ x ; transitiva:∀x , y , z (x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z); antisimmetrica:∀x , y (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y). E totale se ∀x , y (x ≤ y ∨ y ≤ x).)
Definizione. L’insieme dei numeri naturali, che esiste per gli assiomadell’infinito e di separazione, e indicato con ω.
Teorema. ω e un ordinale. E il minimo degli ordinali infiniti (cioe non inbiiezione con un numero naturale).
Definizione. P(x) = {z | x ⊆ x} e l’insieme potenza di x .
Gli assiomi di ZFC (secondo blocco)
7. Infinito: ∃x(0 ∈ x | ∀y ∈ x Sy ∈ x)
8. Potenza: ∃y∀z(z ⊆ x ⇒ z ∈ y)
9. Scelta: ∃f : F →⋃F ∀X ∈ F (X 6= ∅ ⇒ f (X ) ∈ X )
L’assioma della scelta e equivalente alPrincipio del buon ordinamento. Ogni insieme e bene ordinabile.Lemma di Zorn. Se A e un insieme (parzialmente) ordinato tale cheogni suo sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante, allora Aha un elemento massimale.
(Un ordine parziale ≤ e una relazione riflessiva: ∀x x ≤ x ; transitiva:∀x , y , z (x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z); antisimmetrica:∀x , y (x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y). E totale se ∀x , y (x ≤ y ∨ y ≤ x).)
Definizione. L’insieme dei numeri naturali, che esiste per gli assiomadell’infinito e di separazione, e indicato con ω.
Teorema. ω e un ordinale. E il minimo degli ordinali infiniti (cioe non inbiiezione con un numero naturale).
Definizione. P(x) = {z | x ⊆ x} e l’insieme potenza di x .
Numeri cardinali
Definizione. Dato un insieme A, la cardinalita di A, denotata |A|, e ilminimo ordinale α in biiezione con A (l’esistenza di α e l’enunciatodell’assioma della scelta).Se α e tale che |A| = α per qualche α (equivalentemente, α = |α|),allora α e un numero cardinale.L’insieme A e finito se |A| e un numero naturale.L’insieme A e numerabile se |A| ≤ ω.
Teorema. Se κ, λ sono cardinali
I κ = λ sseesiste una bijezione κ→ λ sseesistono iniezioni κ→ λ, λ→ κ
I κ ≤ λ sseesiste una iniezione κ→ λ sseesiste una suriezione λ→ κ
Numeri cardinali
Definizione. Dato un insieme A, la cardinalita di A, denotata |A|, e ilminimo ordinale α in biiezione con A (l’esistenza di α e l’enunciatodell’assioma della scelta).Se α e tale che |A| = α per qualche α (equivalentemente, α = |α|),allora α e un numero cardinale.L’insieme A e finito se |A| e un numero naturale.L’insieme A e numerabile se |A| ≤ ω.
Teorema. Se κ, λ sono cardinali
I κ = λ sseesiste una bijezione κ→ λ sseesistono iniezioni κ→ λ, λ→ κ
I κ ≤ λ sseesiste una iniezione κ→ λ sseesiste una suriezione λ→ κ
Il teorema di Cantor
Esistono cardinali arbitrariamente grandi:
Teorema. |A| < |P(A)|.
Dimostrazione. a 7→ {a} testimonia |A| ≤ |P(A)|.Viceversa, si mostra che non c’e alcuna suriezione A→ P(A). Siag : A→ P(A) una funzione. Allora I = {x ∈ A | x /∈ g(x)} /∈ img .
Definizione.
I α+ e il minimo cardinale piu grande di α.
I κ e un cardinale successore se κ = α+ per qualche α.
I Un cardinale κ e un cardinale limite se κ > ω e κ non e un cardinalesuccessore.
Il teorema di Cantor
Esistono cardinali arbitrariamente grandi:
Teorema. |A| < |P(A)|.Dimostrazione. a 7→ {a} testimonia |A| ≤ |P(A)|.
Viceversa, si mostra che non c’e alcuna suriezione A→ P(A). Siag : A→ P(A) una funzione. Allora I = {x ∈ A | x /∈ g(x)} /∈ img .
Definizione.
I α+ e il minimo cardinale piu grande di α.
I κ e un cardinale successore se κ = α+ per qualche α.
I Un cardinale κ e un cardinale limite se κ > ω e κ non e un cardinalesuccessore.
Il teorema di Cantor
Esistono cardinali arbitrariamente grandi:
Teorema. |A| < |P(A)|.Dimostrazione. a 7→ {a} testimonia |A| ≤ |P(A)|.Viceversa, si mostra che non c’e alcuna suriezione A→ P(A). Siag : A→ P(A) una funzione. Allora I = {x ∈ A | x /∈ g(x)} /∈ img .
Definizione.
I α+ e il minimo cardinale piu grande di α.
I κ e un cardinale successore se κ = α+ per qualche α.
I Un cardinale κ e un cardinale limite se κ > ω e κ non e un cardinalesuccessore.
Il teorema di Cantor
Esistono cardinali arbitrariamente grandi:
Teorema. |A| < |P(A)|.Dimostrazione. a 7→ {a} testimonia |A| ≤ |P(A)|.Viceversa, si mostra che non c’e alcuna suriezione A→ P(A). Siag : A→ P(A) una funzione. Allora I = {x ∈ A | x /∈ g(x)} /∈ img .
Definizione.
I α+ e il minimo cardinale piu grande di α.
I κ e un cardinale successore se κ = α+ per qualche α.
I Un cardinale κ e un cardinale limite se κ > ω e κ non e un cardinalesuccessore.
Il teorema di Cantor
Esistono cardinali arbitrariamente grandi:
Teorema. |A| < |P(A)|.Dimostrazione. a 7→ {a} testimonia |A| ≤ |P(A)|.Viceversa, si mostra che non c’e alcuna suriezione A→ P(A). Siag : A→ P(A) una funzione. Allora I = {x ∈ A | x /∈ g(x)} /∈ img .
Definizione.
I α+ e il minimo cardinale piu grande di α.
I κ e un cardinale successore se κ = α+ per qualche α.
I Un cardinale κ e un cardinale limite se κ > ω e κ non e un cardinalesuccessore.
Il teorema di Cantor
Esistono cardinali arbitrariamente grandi:
Teorema. |A| < |P(A)|.Dimostrazione. a 7→ {a} testimonia |A| ≤ |P(A)|.Viceversa, si mostra che non c’e alcuna suriezione A→ P(A). Siag : A→ P(A) una funzione. Allora I = {x ∈ A | x /∈ g(x)} /∈ img .
Definizione.
I α+ e il minimo cardinale piu grande di α.
I κ e un cardinale successore se κ = α+ per qualche α.
I Un cardinale κ e un cardinale limite se κ > ω e κ non e un cardinalesuccessore.
La sequenza degli ℵ
Si definisce la sequenza dei cardinali ℵα = ωα:
Definizione.
I ω0 = ω
I ωα+1 = ω+α
I Se λ e un ordinale limite, ωλ = sup{ωα | α < λ}
Teorema.
1. La sequenza degli ℵα contiene tutti e soli i numeri cardinali
2. α < β ⇒ ℵα < ℵβ3. ℵα e un cardinale successore sse α e un ordinale successore; ℵα e un
cardinale limite sse α e un ordinale limite
La sequenza degli ℵ
Si definisce la sequenza dei cardinali ℵα = ωα:
Definizione.
I ω0 = ω
I ωα+1 = ω+α
I Se λ e un ordinale limite, ωλ = sup{ωα | α < λ}
Teorema.
1. La sequenza degli ℵα contiene tutti e soli i numeri cardinali
2. α < β ⇒ ℵα < ℵβ3. ℵα e un cardinale successore sse α e un ordinale successore; ℵα e un
cardinale limite sse α e un ordinale limite
La sequenza degli ℵ
Si definisce la sequenza dei cardinali ℵα = ωα:
Definizione.
I ω0 = ω
I ωα+1 = ω+α
I Se λ e un ordinale limite, ωλ = sup{ωα | α < λ}
Teorema.
1. La sequenza degli ℵα contiene tutti e soli i numeri cardinali
2. α < β ⇒ ℵα < ℵβ3. ℵα e un cardinale successore sse α e un ordinale successore; ℵα e un
cardinale limite sse α e un ordinale limite
La sequenza degli ℵ
Si definisce la sequenza dei cardinali ℵα = ωα:
Definizione.
I ω0 = ω
I ωα+1 = ω+α
I Se λ e un ordinale limite, ωλ = sup{ωα | α < λ}
Teorema.
1. La sequenza degli ℵα contiene tutti e soli i numeri cardinali
2. α < β ⇒ ℵα < ℵβ3. ℵα e un cardinale successore sse α e un ordinale successore; ℵα e un
cardinale limite sse α e un ordinale limite
La sequenza degli ℵ
Si definisce la sequenza dei cardinali ℵα = ωα:
Definizione.
I ω0 = ω
I ωα+1 = ω+α
I Se λ e un ordinale limite, ωλ = sup{ωα | α < λ}
Teorema.
1. La sequenza degli ℵα contiene tutti e soli i numeri cardinali
2. α < β ⇒ ℵα < ℵβ3. ℵα e un cardinale successore sse α e un ordinale successore; ℵα e un
cardinale limite sse α e un ordinale limite
Operazioni sui cardinali
Si possono definire operazioni di somma, prodotto e esponenziazionecardinale. Estendono le corrispondenti operazioni sui naturali, ma noncoincidono con le operazioni definite sugli ordinali infiniti.
Addizione. κ+ λ e la cardinalita di un’unione disgiunta di un insieme dicardinalita κ e uno di cardinalita λ:κ+ λ = |(κ× {0}) ∪ (λ× {1})|.
Moltiplicazione. κ+ λ e la cardinalita di un prodotto cartesiano di uninsieme di cardinalita κ e uno di cardinalita λ:κλ = |κ× λ|.
Tuttavia queste operazioni non sono interessanti: se almeno uno tra κ eλ e infinito,κ+ λ = κλ = max(κ, λ).
Operazioni sui cardinali
Si possono definire operazioni di somma, prodotto e esponenziazionecardinale. Estendono le corrispondenti operazioni sui naturali, ma noncoincidono con le operazioni definite sugli ordinali infiniti.
Addizione. κ+ λ e la cardinalita di un’unione disgiunta di un insieme dicardinalita κ e uno di cardinalita λ:κ+ λ = |(κ× {0}) ∪ (λ× {1})|.
Moltiplicazione. κ+ λ e la cardinalita di un prodotto cartesiano di uninsieme di cardinalita κ e uno di cardinalita λ:κλ = |κ× λ|.
Tuttavia queste operazioni non sono interessanti: se almeno uno tra κ eλ e infinito,κ+ λ = κλ = max(κ, λ).
Operazioni sui cardinali
Definizione. Per A,B insiemi, AB = BA = {f : B → A}.
Se κ, λ sono ordinali, e di solito preferibile usare la notazione λκ perquesto insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinaleκλ.
Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κλ = |λκ|.
Esempi.2λ = |P(λ)|2ℵ0 = |R| e la cardinalita del continuo
Teorema. Se 2 ≤ κ ≤ λ e λ e infinito, λ < 2λ = κλ.
Dimostrazione. 2λ ≤ κλ ≤ λλ ≤ |P(λ× λ)| = |P(λ)| = 2λ.
Operazioni sui cardinali
Definizione. Per A,B insiemi, AB = BA = {f : B → A}.Se κ, λ sono ordinali, e di solito preferibile usare la notazione λκ perquesto insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinaleκλ.
Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κλ = |λκ|.
Esempi.2λ = |P(λ)|2ℵ0 = |R| e la cardinalita del continuo
Teorema. Se 2 ≤ κ ≤ λ e λ e infinito, λ < 2λ = κλ.
Dimostrazione. 2λ ≤ κλ ≤ λλ ≤ |P(λ× λ)| = |P(λ)| = 2λ.
Operazioni sui cardinali
Definizione. Per A,B insiemi, AB = BA = {f : B → A}.Se κ, λ sono ordinali, e di solito preferibile usare la notazione λκ perquesto insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinaleκλ.
Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κλ = |λκ|.
Esempi.2λ = |P(λ)|2ℵ0 = |R| e la cardinalita del continuo
Teorema. Se 2 ≤ κ ≤ λ e λ e infinito, λ < 2λ = κλ.
Dimostrazione. 2λ ≤ κλ ≤ λλ ≤ |P(λ× λ)| = |P(λ)| = 2λ.
Operazioni sui cardinali
Definizione. Per A,B insiemi, AB = BA = {f : B → A}.Se κ, λ sono ordinali, e di solito preferibile usare la notazione λκ perquesto insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinaleκλ.
Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κλ = |λκ|.
Esempi.2λ = |P(λ)|
2ℵ0 = |R| e la cardinalita del continuo
Teorema. Se 2 ≤ κ ≤ λ e λ e infinito, λ < 2λ = κλ.
Dimostrazione. 2λ ≤ κλ ≤ λλ ≤ |P(λ× λ)| = |P(λ)| = 2λ.
Operazioni sui cardinali
Definizione. Per A,B insiemi, AB = BA = {f : B → A}.Se κ, λ sono ordinali, e di solito preferibile usare la notazione λκ perquesto insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinaleκλ.
Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κλ = |λκ|.
Esempi.2λ = |P(λ)|2ℵ0 = |R| e la cardinalita del continuo
Teorema. Se 2 ≤ κ ≤ λ e λ e infinito, λ < 2λ = κλ.
Dimostrazione. 2λ ≤ κλ ≤ λλ ≤ |P(λ× λ)| = |P(λ)| = 2λ.
Operazioni sui cardinali
Definizione. Per A,B insiemi, AB = BA = {f : B → A}.Se κ, λ sono ordinali, e di solito preferibile usare la notazione λκ perquesto insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinaleκλ.
Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κλ = |λκ|.
Esempi.2λ = |P(λ)|2ℵ0 = |R| e la cardinalita del continuo
Teorema. Se 2 ≤ κ ≤ λ e λ e infinito, λ < 2λ = κλ.
Dimostrazione. 2λ ≤ κλ ≤ λλ ≤ |P(λ× λ)| = |P(λ)| = 2λ.
Operazioni sui cardinali
Definizione. Per A,B insiemi, AB = BA = {f : B → A}.Se κ, λ sono ordinali, e di solito preferibile usare la notazione λκ perquesto insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinaleκλ.
Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κλ = |λκ|.
Esempi.2λ = |P(λ)|2ℵ0 = |R| e la cardinalita del continuo
Teorema. Se 2 ≤ κ ≤ λ e λ e infinito, λ < 2λ = κλ.
Dimostrazione. 2λ ≤ κλ
≤ λλ ≤ |P(λ× λ)| = |P(λ)| = 2λ.
Operazioni sui cardinali
Definizione. Per A,B insiemi, AB = BA = {f : B → A}.Se κ, λ sono ordinali, e di solito preferibile usare la notazione λκ perquesto insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinaleκλ.
Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κλ = |λκ|.
Esempi.2λ = |P(λ)|2ℵ0 = |R| e la cardinalita del continuo
Teorema. Se 2 ≤ κ ≤ λ e λ e infinito, λ < 2λ = κλ.
Dimostrazione. 2λ ≤ κλ ≤ λλ
≤ |P(λ× λ)| = |P(λ)| = 2λ.
Operazioni sui cardinali
Definizione. Per A,B insiemi, AB = BA = {f : B → A}.Se κ, λ sono ordinali, e di solito preferibile usare la notazione λκ perquesto insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinaleκλ.
Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κλ = |λκ|.
Esempi.2λ = |P(λ)|2ℵ0 = |R| e la cardinalita del continuo
Teorema. Se 2 ≤ κ ≤ λ e λ e infinito, λ < 2λ = κλ.
Dimostrazione. 2λ ≤ κλ ≤ λλ ≤ |P(λ× λ)|
= |P(λ)| = 2λ.
Operazioni sui cardinali
Definizione. Per A,B insiemi, AB = BA = {f : B → A}.Se κ, λ sono ordinali, e di solito preferibile usare la notazione λκ perquesto insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinaleκλ.
Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κλ = |λκ|.
Esempi.2λ = |P(λ)|2ℵ0 = |R| e la cardinalita del continuo
Teorema. Se 2 ≤ κ ≤ λ e λ e infinito, λ < 2λ = κλ.
Dimostrazione. 2λ ≤ κλ ≤ λλ ≤ |P(λ× λ)| = |P(λ)|
= 2λ.
Operazioni sui cardinali
Definizione. Per A,B insiemi, AB = BA = {f : B → A}.Se κ, λ sono ordinali, e di solito preferibile usare la notazione λκ perquesto insieme di funzioni, per evitare confusione col numero cardinaleκλ.
Esponenziazione. Se κ, λ sono cardinali, κλ = |λκ|.
Esempi.2λ = |P(λ)|2ℵ0 = |R| e la cardinalita del continuo
Teorema. Se 2 ≤ κ ≤ λ e λ e infinito, λ < 2λ = κλ.
Dimostrazione. 2λ ≤ κλ ≤ λλ ≤ |P(λ× λ)| = |P(λ)| = 2λ.
L’ipotesi del continuo
Il teorema di Cantor asserisce che ∀α 2ℵα ≥ ℵα+1.
Definizione.
I CH e l’enunciato: 2ℵ0 = ℵ1I GCH e l’enunciato ∀α 2ℵα = ℵα+1
Si tratta dei piu famosi enunciati indipendenti in ZFC , cioe tali che (seZFC e consistente) ne essi ne le loro negazioni sono dimostrabili.
L’ipotesi del continuo
Il teorema di Cantor asserisce che ∀α 2ℵα ≥ ℵα+1.
Definizione.
I CH e l’enunciato: 2ℵ0 = ℵ1I GCH e l’enunciato ∀α 2ℵα = ℵα+1
Si tratta dei piu famosi enunciati indipendenti in ZFC , cioe tali che (seZFC e consistente) ne essi ne le loro negazioni sono dimostrabili.
L’ipotesi del continuo
Il teorema di Cantor asserisce che ∀α 2ℵα ≥ ℵα+1.
Definizione.
I CH e l’enunciato: 2ℵ0 = ℵ1I GCH e l’enunciato ∀α 2ℵα = ℵα+1
Si tratta dei piu famosi enunciati indipendenti in ZFC , cioe tali che (seZFC e consistente) ne essi ne le loro negazioni sono dimostrabili.
La cofinalita
Definizione. Sia L = (L,≤) un ordine totale senza massimo elemento.La cofinalita cof (L) di L e il minimo ordinale α tale che esiste unafunzione illimitata (cofinale) f : α→ L.
La funzione f puo essere presastrettamente crescente.In particolare, cof (L) ≤ |L|.
Lemma.
1. cof (L) e un cardinale
2. Se α, β sono ordinali limiti e f : α→ β e strettamente crescente ecofinale, allora cof (α) = cof (β)
3. cof (cof (β)) = cof (β)
Dimostrazione (2) cof (β) ≤ cof (α) per l’esistenza della funzione cofinalecof (α)→ α→ β. Viceversa, sia g : cof (β)→ β cofinale eh : cof (β)→ α definita da h(ξ) = min{η | f (η) > g(ξ)}.
La cofinalita
Definizione. Sia L = (L,≤) un ordine totale senza massimo elemento.La cofinalita cof (L) di L e il minimo ordinale α tale che esiste unafunzione illimitata (cofinale) f : α→ L. La funzione f puo essere presastrettamente crescente.
In particolare, cof (L) ≤ |L|.
Lemma.
1. cof (L) e un cardinale
2. Se α, β sono ordinali limiti e f : α→ β e strettamente crescente ecofinale, allora cof (α) = cof (β)
3. cof (cof (β)) = cof (β)
Dimostrazione (2) cof (β) ≤ cof (α) per l’esistenza della funzione cofinalecof (α)→ α→ β. Viceversa, sia g : cof (β)→ β cofinale eh : cof (β)→ α definita da h(ξ) = min{η | f (η) > g(ξ)}.
La cofinalita
Definizione. Sia L = (L,≤) un ordine totale senza massimo elemento.La cofinalita cof (L) di L e il minimo ordinale α tale che esiste unafunzione illimitata (cofinale) f : α→ L. La funzione f puo essere presastrettamente crescente.In particolare, cof (L) ≤ |L|.
Lemma.
1. cof (L) e un cardinale
2. Se α, β sono ordinali limiti e f : α→ β e strettamente crescente ecofinale, allora cof (α) = cof (β)
3. cof (cof (β)) = cof (β)
Dimostrazione (2) cof (β) ≤ cof (α) per l’esistenza della funzione cofinalecof (α)→ α→ β. Viceversa, sia g : cof (β)→ β cofinale eh : cof (β)→ α definita da h(ξ) = min{η | f (η) > g(ξ)}.
La cofinalita
Definizione. Sia L = (L,≤) un ordine totale senza massimo elemento.La cofinalita cof (L) di L e il minimo ordinale α tale che esiste unafunzione illimitata (cofinale) f : α→ L. La funzione f puo essere presastrettamente crescente.In particolare, cof (L) ≤ |L|.
Lemma.
1. cof (L) e un cardinale
2. Se α, β sono ordinali limiti e f : α→ β e strettamente crescente ecofinale, allora cof (α) = cof (β)
3. cof (cof (β)) = cof (β)
Dimostrazione (2) cof (β) ≤ cof (α) per l’esistenza della funzione cofinalecof (α)→ α→ β. Viceversa, sia g : cof (β)→ β cofinale eh : cof (β)→ α definita da h(ξ) = min{η | f (η) > g(ξ)}.
La cofinalita
Definizione. Sia L = (L,≤) un ordine totale senza massimo elemento.La cofinalita cof (L) di L e il minimo ordinale α tale che esiste unafunzione illimitata (cofinale) f : α→ L. La funzione f puo essere presastrettamente crescente.In particolare, cof (L) ≤ |L|.
Lemma.
1. cof (L) e un cardinale
2. Se α, β sono ordinali limiti e f : α→ β e strettamente crescente ecofinale, allora cof (α) = cof (β)
3. cof (cof (β)) = cof (β)
Dimostrazione (2) cof (β) ≤ cof (α) per l’esistenza della funzione cofinalecof (α)→ α→ β. Viceversa, sia g : cof (β)→ β cofinale eh : cof (β)→ α definita da h(ξ) = min{η | f (η) > g(ξ)}.
La cofinalita
Esempi. cof (ω) = ω.
cof (ℵ1) = ℵ1; piu in generale, ogni cardinale successore e regolare.cof (ℵω) = ω, infatti f : ω → ℵω, n 7→ ℵn e illimitata
In generale, se α e un ordinale limite, allora cof (ℵα) = cof (α). Dunquese ℵα e un cardinale limite regolare, ℵα = α. Questa condizione non epero sufficiente: sia
I α0 = ℵ0I αn+1 = ℵαn
I α = sup{αn | n ∈ ω}Allora ℵα = α, ma cof (ℵα) = cof (α) = ω.
cof (κ) = λ significa che κ e unione di λ insiemi di cardinalita minore diκ.
La cofinalita
Esempi. cof (ω) = ω.cof (ℵ1) = ℵ1; piu in generale, ogni cardinale successore e regolare.
cof (ℵω) = ω, infatti f : ω → ℵω, n 7→ ℵn e illimitata
In generale, se α e un ordinale limite, allora cof (ℵα) = cof (α). Dunquese ℵα e un cardinale limite regolare, ℵα = α. Questa condizione non epero sufficiente: sia
I α0 = ℵ0I αn+1 = ℵαn
I α = sup{αn | n ∈ ω}Allora ℵα = α, ma cof (ℵα) = cof (α) = ω.
cof (κ) = λ significa che κ e unione di λ insiemi di cardinalita minore diκ.
La cofinalita
Esempi. cof (ω) = ω.cof (ℵ1) = ℵ1; piu in generale, ogni cardinale successore e regolare.cof (ℵω) = ω, infatti f : ω → ℵω, n 7→ ℵn e illimitata
In generale, se α e un ordinale limite, allora cof (ℵα) = cof (α). Dunquese ℵα e un cardinale limite regolare, ℵα = α. Questa condizione non epero sufficiente: sia
I α0 = ℵ0I αn+1 = ℵαn
I α = sup{αn | n ∈ ω}Allora ℵα = α, ma cof (ℵα) = cof (α) = ω.
cof (κ) = λ significa che κ e unione di λ insiemi di cardinalita minore diκ.
La cofinalita
Esempi. cof (ω) = ω.cof (ℵ1) = ℵ1; piu in generale, ogni cardinale successore e regolare.cof (ℵω) = ω, infatti f : ω → ℵω, n 7→ ℵn e illimitata
In generale, se α e un ordinale limite, allora cof (ℵα) = cof (α).
Dunquese ℵα e un cardinale limite regolare, ℵα = α. Questa condizione non epero sufficiente: sia
I α0 = ℵ0I αn+1 = ℵαn
I α = sup{αn | n ∈ ω}Allora ℵα = α, ma cof (ℵα) = cof (α) = ω.
cof (κ) = λ significa che κ e unione di λ insiemi di cardinalita minore diκ.
La cofinalita
Esempi. cof (ω) = ω.cof (ℵ1) = ℵ1; piu in generale, ogni cardinale successore e regolare.cof (ℵω) = ω, infatti f : ω → ℵω, n 7→ ℵn e illimitata
In generale, se α e un ordinale limite, allora cof (ℵα) = cof (α). Dunquese ℵα e un cardinale limite regolare, ℵα = α.
Questa condizione non epero sufficiente: sia
I α0 = ℵ0I αn+1 = ℵαn
I α = sup{αn | n ∈ ω}Allora ℵα = α, ma cof (ℵα) = cof (α) = ω.
cof (κ) = λ significa che κ e unione di λ insiemi di cardinalita minore diκ.
La cofinalita
Esempi. cof (ω) = ω.cof (ℵ1) = ℵ1; piu in generale, ogni cardinale successore e regolare.cof (ℵω) = ω, infatti f : ω → ℵω, n 7→ ℵn e illimitata
In generale, se α e un ordinale limite, allora cof (ℵα) = cof (α). Dunquese ℵα e un cardinale limite regolare, ℵα = α. Questa condizione non epero sufficiente: sia
I α0 = ℵ0I αn+1 = ℵαn
I α = sup{αn | n ∈ ω}Allora ℵα = α,
ma cof (ℵα) = cof (α) = ω.
cof (κ) = λ significa che κ e unione di λ insiemi di cardinalita minore diκ.
La cofinalita
Esempi. cof (ω) = ω.cof (ℵ1) = ℵ1; piu in generale, ogni cardinale successore e regolare.cof (ℵω) = ω, infatti f : ω → ℵω, n 7→ ℵn e illimitata
In generale, se α e un ordinale limite, allora cof (ℵα) = cof (α). Dunquese ℵα e un cardinale limite regolare, ℵα = α. Questa condizione non epero sufficiente: sia
I α0 = ℵ0I αn+1 = ℵαn
I α = sup{αn | n ∈ ω}Allora ℵα = α, ma cof (ℵα) = cof (α) = ω.
cof (κ) = λ significa che κ e unione di λ insiemi di cardinalita minore diκ.
La cofinalita
Esempi. cof (ω) = ω.cof (ℵ1) = ℵ1; piu in generale, ogni cardinale successore e regolare.cof (ℵω) = ω, infatti f : ω → ℵω, n 7→ ℵn e illimitata
In generale, se α e un ordinale limite, allora cof (ℵα) = cof (α). Dunquese ℵα e un cardinale limite regolare, ℵα = α. Questa condizione non epero sufficiente: sia
I α0 = ℵ0I αn+1 = ℵαn
I α = sup{αn | n ∈ ω}Allora ℵα = α, ma cof (ℵα) = cof (α) = ω.
cof (κ) = λ significa che κ e unione di λ insiemi di cardinalita minore diκ.
Cardinali inaccessibili
Un modo di costruire in ZFC dei cardinali via via piu grandi e di iterare leoperazioni di potenza κ 7→ 2κ e estremo superiore{κα | α < λ} 7→ sup{κα | α < λ}:
quest’ultimo ha cofinalita ≤ λ.
Definizione. Un cardinale infinito κ e regolare se cof (κ) = κ. Altrimentie singolare.
Per esempio: ℵ0 e i cardinali successori sono regolari; ℵω e singolare.
Cardinali inaccessibili
Un modo di costruire in ZFC dei cardinali via via piu grandi e di iterare leoperazioni di potenza κ 7→ 2κ e estremo superiore{κα | α < λ} 7→ sup{κα | α < λ}: quest’ultimo ha cofinalita ≤ λ.
Definizione. Un cardinale infinito κ e regolare se cof (κ) = κ. Altrimentie singolare.
Per esempio: ℵ0 e i cardinali successori sono regolari; ℵω e singolare.
Cardinali inaccessibili
Un modo di costruire in ZFC dei cardinali via via piu grandi e di iterare leoperazioni di potenza κ 7→ 2κ e estremo superiore{κα | α < λ} 7→ sup{κα | α < λ}: quest’ultimo ha cofinalita ≤ λ.
Definizione. Un cardinale infinito κ e regolare se cof (κ) = κ. Altrimentie singolare.
Per esempio: ℵ0 e i cardinali successori sono regolari; ℵω e singolare.
Cardinali inaccessibili
Un modo di costruire in ZFC dei cardinali via via piu grandi e di iterare leoperazioni di potenza κ 7→ 2κ e estremo superiore{κα | α < λ} 7→ sup{κα | α < λ}: quest’ultimo ha cofinalita ≤ λ.
Definizione. Un cardinale infinito κ e regolare se cof (κ) = κ. Altrimentie singolare.
Per esempio: ℵ0 e i cardinali successori sono regolari; ℵω e singolare.
Cardinali inaccessibili
Definizione.
I κ e debolmente inaccessibile se κ e un cardinale limite regolare
I κ e fortemente inaccessibile se κ > ℵ0, κ e regolare e ∀λ < κ 2λ < κ
Quindi: κ fortemente inaccessibile ⇒ κ debolmente inaccessibile(GCH) κ fortemente inaccessibile ⇔ κ debolmente inaccessibile
L’esistenza di cardinali debolmente inaccessibili non e dimostrabile inZFC.
E equiconsistente con l’esistenza di un debolmente inaccessibile che 2ℵ0
sia debolmente inaccessibile, o che sia piu grande che un debolmenteinaccessibile.
Cardinali inaccessibili
Definizione.
I κ e debolmente inaccessibile se κ e un cardinale limite regolare
I κ e fortemente inaccessibile se κ > ℵ0, κ e regolare e ∀λ < κ 2λ < κ
Quindi: κ fortemente inaccessibile ⇒ κ debolmente inaccessibile(GCH) κ fortemente inaccessibile ⇔ κ debolmente inaccessibile
L’esistenza di cardinali debolmente inaccessibili non e dimostrabile inZFC.
E equiconsistente con l’esistenza di un debolmente inaccessibile che 2ℵ0
sia debolmente inaccessibile, o che sia piu grande che un debolmenteinaccessibile.
Cardinali inaccessibili
Definizione.
I κ e debolmente inaccessibile se κ e un cardinale limite regolare
I κ e fortemente inaccessibile se κ > ℵ0, κ e regolare e ∀λ < κ 2λ < κ
Quindi: κ fortemente inaccessibile ⇒ κ debolmente inaccessibile
(GCH) κ fortemente inaccessibile ⇔ κ debolmente inaccessibile
L’esistenza di cardinali debolmente inaccessibili non e dimostrabile inZFC.
E equiconsistente con l’esistenza di un debolmente inaccessibile che 2ℵ0
sia debolmente inaccessibile, o che sia piu grande che un debolmenteinaccessibile.
Cardinali inaccessibili
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I κ e debolmente inaccessibile se κ e un cardinale limite regolare
I κ e fortemente inaccessibile se κ > ℵ0, κ e regolare e ∀λ < κ 2λ < κ
Quindi: κ fortemente inaccessibile ⇒ κ debolmente inaccessibile(GCH) κ fortemente inaccessibile ⇔ κ debolmente inaccessibile
L’esistenza di cardinali debolmente inaccessibili non e dimostrabile inZFC.
E equiconsistente con l’esistenza di un debolmente inaccessibile che 2ℵ0
sia debolmente inaccessibile, o che sia piu grande che un debolmenteinaccessibile.
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Quindi: κ fortemente inaccessibile ⇒ κ debolmente inaccessibile(GCH) κ fortemente inaccessibile ⇔ κ debolmente inaccessibile
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E equiconsistente con l’esistenza di un debolmente inaccessibile che 2ℵ0
sia debolmente inaccessibile, o che sia piu grande che un debolmenteinaccessibile.
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I κ e fortemente inaccessibile se κ > ℵ0, κ e regolare e ∀λ < κ 2λ < κ
Quindi: κ fortemente inaccessibile ⇒ κ debolmente inaccessibile(GCH) κ fortemente inaccessibile ⇔ κ debolmente inaccessibile
L’esistenza di cardinali debolmente inaccessibili non e dimostrabile inZFC.
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sia debolmente inaccessibile, o che sia piu grande che un debolmenteinaccessibile.
La teoria degli insiemi
I Combinatorica infinita
I Grandi cardinali
I Dimostrazioni di consistenza e indipendenza
I Modelli interni
I Forcing
I Teoria descrittiva degli insiemi
I Determinatezza
I Set theoretic topology
I Fuzzy set theory
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I Combinatorica infinita (l’assioma di Martin, l’ipotesi di Suslin)
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I Teoria descrittiva degli insiemi (teorema di Cantor-Bendixson)
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