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Hoja 1 de 5
Tema 1.- INTERACCIÓN ELÉCTRICA ( RESUMEN)
1.1 Cargas puntuales
Carga eléctricaLa carga eléctrica es una propiedad fundamental de lamateria, existiendo dos tipos de carga: positiva ynegativa. Dos cuerpos con el mismo tipo de carga serepelen, mientras que si tienen distinto tipo de carga, seatraen entre sí.
Cuantización de la carga eléctricaLa carga eléctrica aparece siempre como múltiplo deuna carga fundamental o cuanto eléctrico, cuyo valor ese = 1.602177 x 10
-19 C, que es la carga del electrón, en
módulo.
Principio de conservación de la carga eléctricaEn todos los procesos observados en la Naturaleza, lacarga neta o total de un sistema aislado permanececonstante.
• Ley de Coulomb
La ley de Coulomb expresa la fuerza eléctrica F
queejerce una carga puntual q sobre otra q’ :
r u
r
qq K F
2
´
donde r
es el vector de posición con origen en q yfinal en q’ . Esta fuerza es de tipo inverso delcuadrado de la distancia, siendo atractiva entrecargas de distinto signo y repulsiva entre cargas delmismo signo.
Para calcular la fuerza ejercida sobre una carga q0 por un conjunto de cargas puntuales qi se utiliza elprincipio de superposición: La fuerza resultantesobre un objeto es la suma vectorial de las fuerzasindividuales ejercidas sobre él.
Así: ir
n
ii
in
ii
ur
qq K F F
1
201
siendoi
r
los diferentes vectores posición con origen
en cada carga qi y final en q0.
• Campo eléctrico
Existe un campo eléctrico en cualquier región dondeuna carga eléctrica en reposo experimenta una
fuerza, la cual se debe a la presencia de otras cargasen esa región. El campo eléctrico E
producido poruna carga puntual o una distribución de cargas es la
fuerza F
ejercida por estas sobre una partícula deprueba, dividida por el valor de la carga q0 de lapartícula de prueba:
E q F q
F E
0
0
El campo eléctrico creado por una carga puntual q enun punto P es:
r u
r
q K E
2
donde r
es el vector posición con origen en q y final
en P.
Para calcular el campo creado por un conjunto decargas puntuales qi en un punto P, aplicamos de nuevoel principio de superposición:
ir
n
ii
in
ii
ur
q K E E
1
21
siendoi
r
los vectores con origen en qi y final en P.
Las características espaciales de un campo eléctricopueden ilustrarse con líneas de campo: Lugargeométrico de los puntos en los cuales la dirección del
campo eléctrico E
es tangente a los mismos. Laslíneas de campo eléctrico parten de las cargaspositivas y finalizan en las cargas negativas.
Un campo uniforme tiene la misma intensidad,dirección y sentido en todos los puntos del espacio yse representa por líneas de campo rectilíneas,paralelas y equidistantes.
Potencial y diferencia de potencial
La fuerza eléctrica es conservativa. La energíapotencial de una partícula de prueba q0 en el campocreado por varias cargas fijas qi se expresa como:
n
ii
ir
P
r
qq K l d F E
10
(tomando el origen de energía potencial, E P =0, en el infinito)
El potencial V producido por una carga puntual o una
distribución de cargas es la energía potencial eléctricade una partícula de prueba, dividida por el valor de lacarga q0 de la partícula de prueba:
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Hoja 2 de 5
V q E q
E V
P
P 0
0
El potencial eléctrico creado por una carga puntual q en un punto P es:
r
q K V (tomando: V=0 en el infinito)
donde r es la distancia entre la carga q y el punto P.
El potencial eléctrico creado por un conjunto decargas puntuales qi en un punto P es:
n
ii
i
r
q K V
1
(tomando: V=0 en el infinito)
donde r i son las distancias entre cada carga qi y el
punto P.
La diferencia de potencial V entre dos puntos 1 y 2está relacionada con el trabajo W realizado por elcampo eléctrico al desplazar una carga de prueba q0desde el punto 1 al 2:
V qV V q E E E W P P P
021021
)(
Relación entre el potencial y campo eléctrico
Se cumple que l d E dV
. Si se conoce laexpresión de E
, puede obtenerse el potencial V en
un punto P por medio de la integral de línea de E
:
P
l d E V
Si se conoce V, el campo E
se puede encontrar pormedio del gradiente de V :
V V E grad
Si el campo eléctrico es constante en dirección (porejemplo, la X):
idxdV E X
)/(
Si el potencial sólo depende del módulo de r
:
r udr dV E
)/(
Dipolo eléctrico
Un dipolo eléctrico está formado por dos cargasiguales y de signo opuesto +q y -q separadas por unadistancia d. El momento dipolar eléctrico se definecomo:
pud q p
donde p
u es el vector unitario en la
dirección de las cargas y sentido de la carga negativa ala positiva.
El potencial de un dipolo eléctrico varía con el inversodel cuadrado de la distancia:
22
cos
r
u p K
r
p K V
p
Cuando se sitúa un dipolo en un campo eléctrico, éstetiende a alinear al dipolo paralelamente al campo. El
dipolo está en equilibrio cuando los vectores E
y p
son paralelos. La energía de un dipolo de momento
dipolar p
situado en un campo eléctrico E
, es:
E p E P
Movimiento de cargas en campos eléctricos
Si la fuerza eléctrica es la única que afecta a unapartícula de masa m y carga q, la segunda ley deNewton nos proporciona una aceleración:
m E qa /
Cuando una partícula se mueve en un campo eléctricouniforme, su movimiento es descrito por la cinemáticadel movimiento bajo aceleración constante.
La energía total de una partícula de masa m y carga q
que se mueve en un campo eléctrico es:
V qvm E E E P C
22
1
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Hoja 3 de 5
1.2 Distribuciones continuas de carga
Densidades de carga
Cuando se desea calcular el campo eléctrico en un
punto P, producido por distribuciones de cargacontinuas, se toman elementos de carga diferencialdq como cargas puntuales, de forma que cada dq creará un campo:
r u
r
dq K E d
2
donde r
es el vector posición con origen en dq yfinal en P.
Utilizando el principio de superposición, el campo
total será la suma vectorial de los E d
creados porcada dq, es decir:
r ur
dq K E d E
2
Para resolver esta integral se ha de expresar dq enfunción de las características de la distribución decarga. Para ello se introducen las densidades decarga
Densidad lineal de carga : Carga por unidad delongitud
dl dqdl
dq
Densidad superficial de carga : Carga por unidadde superficie
dS dqdS
dq
Densidad volúmica de carga (o densidad decarga en volumen): Carga por unidad de volumen
dV dqdV
dq
Si las distribuciones de carga son uniformes,entonces:
V
Q
S
Q
L
Q ,,
Siendo Q la carga total de la distribución y L, S ó V lalongitud, superficie o volumen totales,
respectivamente.
Campo de un anillo cargado
El módulo del campo eléctrico creado por un anillo deradio R , cargado con carga total Q y densidad lineal de
carga uniforme, en un punto P del eje perpendicularque pasa por el centro del anillo (por ejemplo, el eje Y)es:
2/322 )( y R
yQ K E
y
siendo y la distancia entre el punto P y el centro delanillo. Su dirección es la del eje y sentido hacia elexterior del centro del anillo si Q > 0.
Ley de Gauss
Flujo del campo eléctrico: Se define el flujo delcampo eléctrico a través de una superficie S como laintegral de superficie del vector campo eléctricoextendida a toda la superficie:
S E S d E
Cuando se calcula el flujo a través de una superficiecerrada a ésta se la denomina superficie gaussiana.Las líneas de campo pueden ser utilizadas paravisualizar el flujo a través de la superficie. El flujo total
puede ser positivo, negativo o cero. Por convenio, elsentido del vector superficie de una superficie cerradase toma hacia fuera de esta, por lo tanto, cuando
S d E
es positivo el flujo es saliente y cuando esnegativo es entrante.
La Ley de Gauss para el campo eléctrico estableceque el flujo eléctrico a través de una superficie cerradaes igual a la carga eléctrica neta encerrada dentro de
la superficie, dividida por 0:
00
;
e
SC
e
E
qS d E
q
En electrostática la Ley de Gauss es equivalente a laLey de Coulomb. La Ley de Gauss puede ser utilizadapara encontrar el campo eléctrico producido pordistribuciones de carga que posean una alta simetría.El paso crucial de este proceso es la selección de lasuperficie gaussiana.
Carga esférica. Cuando la distribución de carga tienesimetría esférica y es uniforme si está distribuida ensuperficie, y uniforme o función del radio si estádistribuida en volumen, podemos aplicar la ley deGauss para calcular el campo eléctrico tanto en puntos
interiores como exteriores. En todos los casos se tomauna superficie gaussiana esférica que contenga al
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Hoja 4 de 5
punto donde se desea calcular el campo y centro enla distribución de carga. Por lo tanto, el radio de lasuperficie gaussiana r será la distancia del centro dela distribución al punto en cuestión.En todos los casos la primera parte de la ley deGauss nos conduce a:
24 r E S d E SC
y el problema se limita a calcular la carga encerradadentro de la superficie gaussiana elegida.
Ejemplos:
Carga Q, uniforme en superficie esférica de radio R :
r exe
ine
ur Q K E Qq Rr
E q Rr
2
00,
Carga Q, uniforme en esfera de radio R :
r exe
r ine
ur
Q K E Qq Rr
u R
r Q K E
R
r Qq Rr
2
33
3
,
Carga lineal. Si disponemos de una distribuciónlineal de carga infinita y densidad uniforme,podemos utilizar la ley de Gauss para calcular elcampo creado en un punto P que se encuentra a unadistancia r de la distribución. Elegimos una superficiegaussiana cilíndrica que contenga al punto en susuperficie lateral. El radio de la base del cilindro debeser por tanto r y su altura h arbitraria. Así:
hq yhr E S d E e
SC
;2
El módulo del campo eléctrico será:
r E
02
Plano. Si disponemos plano infinito con densidadsuperficial de carga uniforme, podemos utilizar la ley
de Gauss para calcular el campo creado en un punto Ppróximo a la distribución. Elegimos una superficiegaussiana cilíndrica que corte al plano de forma quelas bases del cilindro queden paralelas al plano y quecontenga al punto en una de sus bases. Así:
C eC SC
S q yS E S d E ;2
siendoC
S la superficie de la base del cilindro. Por
tanto, el módulo del campo eléctrico será:
02
E
Propiedades electrostáticas de los conductores
Un material conductor que se encuentra en equilibrioelectrostático presenta las siguientes propiedades:
- El campo eléctrico en el interior del conductor escero.
- La carga eléctrica neta del conductor se encuentradistribuida sobre su superficie
- El campo eléctrico en puntos próximos a lasuperficie del conductor es perpendicular a estasuperficie y su módulo es:
0
E
- Todos los puntos del conductor están al mismopotencial. Por lo tanto, un conductor en equilibrioelectrostático constituye una superficieequipotencial.
1.3 Condensadores. Campo eléctrico en la materia y energía del campo
Condensadores
Un condensador es un dispositivo eléctrico utilizadoen los circuitos para almacenar carga y energíaeléctrica. Está formado por dos placas conductorasseparadas por un dieléctrico. Un condensador secaracteriza por su capacidad C definida como la
relación entre la carga neta almacenada Q y ladiferencia de potencial entre sus placas V :
V
QC
En el S.I. la capacidad se mide en faradios (1 F = 1C/V). La capacidad depende del diseño geométrico delcondensador y de la naturaleza del dieléctrico que hay
entre sus placas o armaduras. Para un condensadorde láminas planoparalelas de superficie S separadasuna distancia d y vacío entre las placas:
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Hoja 5 de 5
d
S C
0
Un condensador cilíndrico, de radio interno R a,externo R b y longitud L, su capacidad es:
)/(ln
20
ab R R
LC
Asociación de condensadores:
Condensadores en serie: i
iT C C
11
Condensadores en paralelo: i
iT C C
Propiedades electrostáticas de losdieléctricos
Existen dieléctricos apolares y polares. En losprimeros, sus moléculas no tienen momento dipolareléctrico, mientras que en los segundos lasmoléculas tienen un momento dipolar eléctricopermanente.Cuando se coloca un dieléctrico apolar en un campo
eléctrico, como el que existe entre las armaduras deun condensador, aparece sobre sus átomos omoléculas un momento dipolar inducido,convirtiéndose éstos en dipolos eléctricos que seorientan en la dirección del campo. Esta orientaciónda lugar a que sobre cada una de las superficies delmaterial polarizado aparezca una densidadsuperficial de carga ligada o densidad de carga de
polarización d.
El campo eléctrico en el interior de un condensadorcon dieléctrico entre sus placas es:
0
0
d d
E E E
donde E 0 es el campo sin dieléctrico y E d es elcampo creado por la densidad superficial de cargaexistente en las superficies del dieléctrico.
Cuando se introduce un dieléctrico entre las armadurasde un condensador en el que había el vacío entre lasplacas, la capacidad aumenta de modo que:
0C k C
mientras que la diferencia de potencial y el campo
eléctrico disminuyen:
k
E E
k
V V 00
siendo k la constante dieléctrica del material.
La relación entre la constante dieléctrica de un material
y las densidades superficiales de carga y d es:
k
k d
)1(
Un medio dieléctrico posee una permitividad eléctrica ,siendo su permitividad relativa:
k r
0
Energía del campo eléctrico
La energía de un condensador es la energía potencial
de las cargas que hay en sus placas:
2
2
2
1
2
1
2
1V C
C
QV QU
Cuando se asocia esta energía con el campo eléctrico,la densidad de energía u E (energía por unidad devolumen) en el espacio ocupado por el campo (en elvacío) es:
2
0
2
1 E u
E
En un medio material basta sustituir 0 por . Laenergía eléctrica total U en un volumen V se calcularámediante la integral:
V
E dV uU
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Tema 1. Campo Eléctrico
RESOLUCIONES
1.1 Cargas Puntuales
1.1.1. Una carga puntual de 5 C está localizada en el punto x=1cm, y=3cm y otra de -4 C está situada en el punto x=2cm, y=-2cm. Determinar:a) El campo eléctrico en el punto x=-3cm e y=1cm
b) La fuerza que actúa sobre una carga de -6 C situada en el punto x=-3cm e y=1cm
RESOLUCIÓN:
cmC Q 3,151
1,3 P
cmC Q 2,242
a) El campo eléctrico en P es la suma de los campos eléctricos creados en P por Q1 yQ2:
P P E E E 21
P
P
P ud
Q K E 12
1
11
P P
P ud
Q K E 22
2
22
donde:
)2,4()3,1()1,3(1 P 242
12
122 1020102020416)2()4(1 md md cm P P P
20
2,
20
41 P u
C N E E P P
20
1045,20
1090
20
2,20
4
102
105109
66
13
6
91
E1
E2
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3,51,32,22 P 242
22
2 10341034349252 md md P P P
343,
3452 P u
C N E P
34
10813,
34
10925
34
3,
34
5
1034
104109
66
4
69
2
C N
E E E P P P
551,0511100862
644010,
0862
282810
3420
20813344510,
3420
20925349010
34
10813
20
1045,
34
10925
20
1090
666
66
6666
21
b) N E q F P 93,36610551,100511106 666
1.1.2. Dos cargas fijas q1 y q2 se encuentran separadas por una distancia d . Una terceracarga libre q3 se encuentra en equilibrio cuando está situada en la línea que une ambascargas, a una distancia d de q1 y 2d de q2.
a) ¿Qué relación existe entre las cargas q1 y q2? b) Si q3=-q1, determinar en función de q1 el valor del campo eléctrico creado por las
tres cargas en el punto medio del segmento que une q1 y q2
RESOLUCIÓN:
a) La carga Q3 está en equilibrio si el campo eléctrico es nulo en el punto donde seencuentra. Este campo está creado por las cargas Q1 y Q2, que inicialmente suponemosque son positivas:
122
221
22
21 4
20
2021 QQ
d
Q
d
Qi
d
Qk i
d
Qk E E P P
X
Q3 Q2
d d
P·
Q1
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b) Suponemos que Q1 es positiva:
C
N i
d
QiQ
d E
i
Q
QQd
k
id
Q
id
Q
id
Q
k E E E E
P
P P P P
219
12
9
1
1122
3
2
2
2
1
321
101769444109
94
4
23
22
Suponemos que Q1 es negativa:
C
N i
d
QiQ
d E
iQ
QQd
k i
d
Qi
d
Qi
d
Qk E E E E
P
P P P P
219
12
9
11122
32
22
1321
101769444109
94
4
23
22
En este último caso, el módulo y la dirección son iguales que en el primero, pero susentido es contrario.
1.1.3. Dos cargas positivas e iguales q están en el eje Y , una en la posición y=a y otra enla posición y=-a.
a) Calcular el campo eléctrico que crean estas cargas en el eje X , dando su valor en loscasos en los que se cumple que x a b) Demostrar que el campo eléctrico que crean estas cargas en el eje X tiene su máximo
valor en x=-a · (2)-1/2 y en x=a · (2)-1/2 c) Representar gráficamente E x en función de x
RESOLUCIÓN:
a y
a y
y
x P
x
P E
P E
q
q
y P E
y P E
x P E
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a) El campo eléctrico en el eje x es la suma de los campos eléctricos creados en este eje por las 2 cargas +q que están situadas en el eje y.
P P P E E E 21
Las componentes en el eje y de los campos que crean ambas cargas se anulan. Sinembargo, las componentes en el eje x se suman:
i xa
qk i
xa
qk x E p
coscos2222
donde:
22 xad y 22
cos xa
x
C
N i xa
xqk i
xa
x
xa
qk x E P
23222222
22
Para x > a C
N i x
qk i
x
xqk x E P
23
22
b) Para calcular el valor máximo del campo:
0202322 xa
xqk
dx
d
dx
dE x
(c.q.d)c)
220203
032
022
322
02
23
22
2222222
2222122
21222322
322
21222322
a x
a x xa x xa
x xa xaqk
x xa xqk xaqk
xa
x xa xqk xaqk
x
E ( x )
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1.1.4. Dos cargas puntuales q y q’ están separadas por una distancia a. En un punto a ladistancia a/3 de q y a lo largo de la línea que une las dos cargas, el potencial es cero.a) Determinar la relación q/q’
b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el campo eléctrico al desplazar una carga de 2 C
desde un punto situado a una distancia a/3 de q a otro punto que está a una distancia a/3de q’ ?
RESOLUCIÓN:
a)2
1
32
332
3
0
q
q
a
qk
a
qk
a
qk
a
qk V P
b) El trabajo viene dado por:
J a
q
a
qk W
V a
qk
a
qk q
q
a
k qq
a
k
a
qk
a
qk V
V
V V qW
final
inicial
inicial final
2
1081
4
9102
4
9
4
333
4
3
3132
2
332
0
36
1.1.5. Se disponen en forma alternada un número infinito de cargas positivas y
negativas q sobre una línea recta. La separación entre cargas adyacentes es d .Determinar la energía potencial eléctrica de una carga +q.
Dato: El desarrollo en serie de ln(1+x) es: 432
)1ln(432 x x x
x x
………. + q -q +q -q +q -q +q -q …………..
RESOLUCIÓN:
El potencial en un punto P creado por N =i cargas puntuales es:
32a
a
P
q q
3a
0 P V
d
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i i
i p
r
qk V
La energía potencial de una partícula cargada q que se encuentra en ese punto P es:
qV U P q
El potencial en el punto P donde se encuentra una carga positiva es la suma del potencial creado por las cargas positivas V P
+ y el potencial creado por las cargasnegativas V P
-:
P P P V V V
Siendo, respectivamente, el potencial creado por las cargas positivas situadas a la
derecha de esa carga y el creado por las cargas positivas situadas la izquierda de esacarga:
...6
1
4
1
2
12)()(
...6
1
4
1
2
1)(
...6
1
4
1
2
1)(
d
qk izquierdaV derechaV V
d d d qk izquierdaV
d d d qk derechaV
P P P
P
P
Igualmente, si consideramos el potencial creado por las cargas negativas situadas a laderecha e izquierda de la carga positiva:
...5
1
3
11
2)()(
...5
1
3
11)(
...5
1
3
11)(
d
qk izquierdaV derechaV V
d d d qk izquierdaV
d d d qk derechaV
P P P
P
P
La energía potencial de la carga positiva q situada en P es:
J d
qk
d
qk qV V qV qU P P P q
····51
41
31
21
12
····51
31
1····61
41
212
2
Sustituyendo x=1 para el desarrollo en serie:
·····
5
1
4
1
3
1
2
112ln11ln
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Sustituyendo esta expresión en el resultado U q:
J d
qk U q
2ln2 2
1.1.6. En dos vértices contiguos de un cuadrado de 1m de lado se tienen cargaseléctricas positivas de 2·10-6 C y en los otros dos de 5·10-6 C . Hallar el valor del campoeléctrico y el potencial en el centro del cuadrado
RESOLUCIÓN:
El campo eléctrico en el punto P es la suma de los campos eléctricos creados por cadauna de las cargas puntuales situadas en los vértices del cuadrado:
4
12
4
1 i
r
i
i
i
i P ur
qk E E
Siendo los vectores de posición, sus módulos y sus vectores unitarios:
21
21
21
21
,21
)21
,21
()0,0( 21
22
11
r r r
2
1
2
1
2
1
2
1,2
1)2
1,2
1()0,1( 22
22
22 r r r
2
1
2
1
2
1
2
1,
2
1)
2
1,
2
1()1,1( 23
22
33
r r r
2
1
2
1
2
1
2
1,
2
1)
2
1,
2
1()1,0( 24
22
44
r r r
2
1,
2
1
22
21
,21
;2
1,
2
1
22
21
,21
21 r r uu
2
1,
2
1
2
2
21
,21
;2
1,
2
1
2
2
21
,21
43 r r uu
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Los campos eléctricos creados por cada carga son:
C
N u
r
qk E
C
N u
r
qk E
C
N u
r
qk E
C
N u
r
qk E
r P
r P
r P
r P
2
1,
2
11036
2
1,
2
1
21102
109
2
1,
2
11036
2
1,
2
1
2
1102
109
2
1,
2
1109
2
1,
2
1
21105
109
2
1,
2
1109
2
1,
2
1
21105
109
36
92
4
1
36
92
3
3
46
92
2
2
46
92
1
1
44
33
22
11
El campo eléctrico total es:
C N j
E E E E E P P P P P
434
3
344
106.72
108000
,02
10362
2
1092
,02
1
,2
1
1036
2
1,
2
11036
2
1,
2
1109
2
1,
2
1109
4321
El potencial en el centro del cuadrado lo crean las cuatro cargas puntuales de losvértices:
V
r
qk V V
i i
i
i
i P
3
694
1
66669
4
1
102.178
10214109
2
1102
2
1102
2
1105
2
1105
109
X
Y
(0,1) Q4 Q3
Q1 Q2
P E3E4
E1 E2
(1/2,1/2)
(1,1)
(0,0) (1,0)
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1.1.7. Cargas iguales, cada una de ellas de 1 C , están situadas en los vértices de untriángulo equilátero de 0.1m de lado. Calcular:a) La fuerza que se ejerce sobre cada carga como resultado de la interacción con lasotras dos
b) La energía potencial de cada cargac) El campo eléctrico resultante y el potencial en el centro del triángulo
RESOLUCIÓN:
11322211
12
13212
22111
1121
269
32232
23122
12
122
11
31
2211
21
13121
22111
1121
269
31231
13212
21
121
231333212231211
107.8,105107.8,105º30cos10,2
10)0,1.0(32)0,1(
10
103.78,10135107.8,1015109
107.8,1050,110
10109
107.8,105107.8,105º30cos10,2
10
)0,0(31
)0,1(0,1.00,021
10
103.78,10135107.8,1015109
107.8,1050,110
10109
;;
uu
md d
N
ud
qqk u
d
qqk F
u
u
md d
N
ud
qqk ud
qqk F
F F F F F F F F F
3q
1q 2q
)0,0( )0,10(
)1078,050( 2
60
30
23d
12d
13d
30a
31 F
21 F
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11232211
1113
22
12313
11
111121
269
23223
23132
13
133
107.8,105107.8,105)0,1.0(º30cos10,2
1023
107.8,105)0,0(107.8,10513
10
6.1,0104.17,0109
107.8,105107.8,10510
10109
u
u
md d
N
ud
qqk u
d
qqk F
b) La energía potencial de cada carga es: 111 V qU
)(1018101810
)(101810 102109
2461
41
69
31
3
21
21
J U
V d
qk d
q K V
Todas las cargas tienen la misma energía potencial:)(1018 232 J U U
c) El campo en el centro del triángulo será:0321 E E E E
Las componentes en el eje x de 1 E
y 2 E
se anulan. Las componentes en el eje y de 1 E
y
2 E
son la mitad de la componente en el eje y de 3 E
, y como y
E 1 y y E 2 llevan sentido
contrario a y
E 3 , la suma de las dos primeras anula la tercera.
El potencial en dicho punto es:
)(10766410
232101093
41
69
321321 V
a
Qk
a
Qk
a
Qk V V V V
siendo ma 05770)30cos(2
10
1.1.8. El potencial eléctrico a una distancia d de una carga puntual q es V=600V y elcampo eléctrico es E=200N/C .a) Calcular el valor de la carga
b) Calcular la distancia a la carga puntual
RESOLUCIÓN:
a) El potencial V y el módulo de campo eléctrico E que crea una carga puntual es:
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d
qk V despejando la distancia
V
qk d d
2d
q
k E
Sustituyendo d en la expresión del módulo del campo eléctrico y despejando q, podemos obtener el valor de ésta:
C E k
V q
qk
V
V
qk
qk E 79
222
2 102200109600
b) Una vez que conocemos la carga q, podemos obtener el valor de la distancia d :
mV
qk d 3
600102
1097
9
1.1.9. Calcular el gradiente de la función escalar V=V(r), siendo r= r el módulo del
vector de posición k z j yi xr . Aplicar a los casos:
a) V=1/r
b) V=ln r
RESOLUCIÓN:
El vector operador gradiente se define como:
k z
V j
y
V i
x
V V grad
Como V depende de r y éste, a su vez, depende de las coordenadas x, y, z , entonces cada
uno de los sumandos que hay a la derecha de la ecuación se puede calcular de lasiguiente forma:
z
r
dr
dV
z
V
y
r
dr
dV
y
V
x
r
dr
dV
x
V
El módulo de r es: 222 z y xr
Por tanto:
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r
z
z y x
z
z
z y x
z
r
r
y
z y x
y
y
z y x
y
r
r
x
z y x
x
x
z y x
x
r
222
222
222
222
222
222
2
2
2
2
2
2
Sustituyendo estas expresiones en el gradiente:
r udr
dV
r
r
dr
dV k
r
z j
r
yi
r
x
dr
dV V grad
)(
Aplicando esta última expresión a los casos (a) y (b):
r r
r r
ur
udr
dV V grad r V b
ur
udr
dV V grad
r V a
1ln)(
11)( 2
1.1.10. El potencial eléctrico en una cierta región del espacio viene dado porV(x)=C 1+C 2·x
2, en donde V se expresa en voltios, x en metros y C 1 y C 2 son constantes positivas. Hallar el campo eléctrico E en esta región. ¿En qué dirección está E ?
RESOLUCIÓN:
221)( xC C xV
Utilizando la relación que existe entre campo eléctrico y potencial:
k
dz
dV j
dy
dV i
dx
dV E
Como el potencial depende sólo de x, el campo eléctrico únicamente tendrá componenteen esta dirección:
iC xidx
dV E
22
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1.1.11. Un campo eléctrico viene determinado por E x=2x3(kN/C). Determinar la
diferencia de potencial entre los puntos del eje x situados en x=1m y x=2m.
RESOLUCIÓN:
Utilizando la relación que existe entre campo eléctrico y potencial:
k
dz
dV j
dy
dV i
dx
dV E
Sólo existe componente en x:
V x
dx xV V
dx E dV
dx E dV idx
dV E
x
x
x
x
x
x
x
x x
3344
34
32
1
33
2
1
2
1
10574
15102
4
1
4
2102
4102102)1()2(
1.1.12. El potencial eléctrico en una región del espacio viene dado por V=2·x2 + y·z(V/m2 ). Determinar el campo eléctrico en el punto x=2m, y=1m y z=2m.
RESOLUCIÓN:Utilizando la relación entre campo eléctrico y potencial:
m
V k ji E
k y j z i xk dz
dV j
dy
dV i
dx
dV E
282,1,2
4
1.1.13. Dos cargas puntuales q1=2pC y q2=-2pC están separadas una distancia de 4 m.a) ¿Cuál es el momento dipolar de este par de cargas?
b) Hacer un dibujo del par e indicar la dirección y sentido del momento bipolar
RESOLUCIÓN:
a)
mC d q p
d q p
18612 108104102
b) mC i p
18108
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1.1.14. Un dipolo de momento 0.5e-·nm se coloca en el interior de un campo eléctricouniforme de valor 4·104 N/C . ¿Cuál es el valor del momento ejercido sobre el dipolocuando?:a) ¿El dipolo es paralelo al campo eléctrico?
b) ¿El dipolo es perpendicular al campo eléctrico?c) ¿El dipolo forma un ángulo de 30º con el campo eléctrico?d) Determinar la energía potencial del dipolo en el campo eléctrico en cada caso.
RESOLUCIÓN:
C
N E
mC p
4
28919
104
108010106150
El momento ejercido sobre le dipolo es: E p
La energía potencial del dipolo en el campo eléctrico es: E pU
a) Si el campo y el dipolo son paralelos, forman un ángulo de 0º : 00 sen E p
Y la energía potencial será:
J E pU 24428 1023110410800cos
b) Si el campo eléctrico y el dipolo forman un ángulo de 90º :
m N sen E p 24428 10231104108090
Y la energía potencial será:
090cos E pU
c) Si ambos forman un ángulo de 30º :
m N sen E p 24428 10612
1104108030
Y la energía potencial será:
J E pU 24428 107722
3104108030cos
p
md 6104 1q 2q
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1.1.15. Dos cargas de signos contrarios y de 10-8C están situadas a una distancia de10cm en el vacío formando un dipolo eléctrico. Determinar la intensidad del campoeléctrico que el dipolo produce en los siguientes puntos:a) A una distancia de 5cm de la carga positiva en la prolongación del segmento que
une las cargas b) En un punto de dicho segmento a 4cm de la carga positivac) En un punto que equidiste 10cm de ambas cargas
RESOLUCIÓN:
a) El campo eléctrico total en el punto A de coordenadas (-5,0)cm es la suma del
campo eléctrico creado en A por la carga 1 y el campo eléctrico creado en A por la carga2.
C
N ii
iiid
qk i
d
qk E E E A A A
44
22
89
22
89
22
22
1
121
102.39
8
2510
109
1015
10109
105
10109
b) El campo eléctrico total en el punto B de coordenadas (4,0)cm es la suma del campoeléctrico creado en B por la carga 1 y el campo eléctrico creado en B por la carga 2
C
N i
iiid
qk i
d
qk E E E
B B
B B B
4
22
89
22
89
22
221
121
101.8
106
10109
104
10109
c) El campo eléctrico total en el punto C de coordenadas (5,-10·cos30º)=(5,-8.7)cm esla suma del campo eléctrico creado en C por la carga 1 y el campo eléctrico creado en C
por la carga 2
C (5,-10·cos30º)
(-5,0) (4,0)
L=10cm
1C 2C
Q1=10-8 C Q2=-10
-8 CE2A
E1A
E2B
E1B
E1C
E2C
60º
·A ·BX
Y
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11222
111
22
21
3112
2
89
1122
89
222
212
1
121
107.8,105107.8527.8,57.8,50,102
107.8,105107.851)7.8,5()0,0()7.8,5(1
10
109107.8,105
1010
10109
107.8,1051010
10109
c
c
cc
c
C
c
C
C
uC C
uC C
cmd d C
N i
ud
qk u
d
qk E E E
C C
1.1.16. Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas opuestas de magnitud q=10-6 C separadas una distancia de 2cm. El dipolo está colocado en un campo eléctrico externode módulo 105 N/C .
a) ¿Cuál es el momento máximo que ejerce el campo en el dipolo? b) ¿Cuánto trabajo debe hacer un agente exterior para dar al dipolo media vuelta a partir de una posición paralela al campo?
RESOLUCIÓN:a) El momento o giro que produce sobre un dipolo eléctrico, un campo eléctricoexterno uniforme es:
sen E d q sen E p E p
El momento es máximo si el valor del seno del ángulo que forman los vectores es 1.Esto ocurre cuando los vectores p y E forman un ángulo de 90º .
m N sen E d q 3526 10211010210º90
b) La energía potencial que tiene un dipolo que está situado en un campo eléctricoexterno uniforme es:
cos E p E pU
En el estado inicial si el campo E y el momento dipolar p son paralelos:
E p E p E pU º0cos
En el estado final cuando ha girado 180º respecto a su posición inicial:
E p E p E pU º180cos
El trabajo que realiza un agente externo para dar la media vuelta al dipoloes:
J E p E p E pU U U U U W final inicial inicial final 31042
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1.1.17. Existe un campo eléctrico uniforme entre dos placas paralelas con cargasopuestas. Se libera un electrón desde el reposo sobre la superficie de la placa negativa yalcanza la superficie de la placa opuesta, colocada a una distancia d=2·10-2m de la otra,en un intervalo de tiempo t=1.5·10-8 s:
a) Calcular la intensidad del campo eléctrico b) Calcular la velocidad del electrón cuando llega a la segunda placac) ¿Cuál es la diferencia de potencial que hay entre las placas?
RESOLUCIÓN:
a)
22200
0
2
1
2
1
2
1t E
m
qt ad t at v xd x
t at avv
E m
qaam E q F
x
x
Despejando el campo de esta última:
mV
t q
d m E 1011
10511061
1021019222819
231
2
b) s
Kmt E m
qt av 2666266637410511011
10191061 8
31
19
c) V d E V 22221020221021011 22
1.1.18. Un electrón de masa m=9.1·10-31kg y carga eléctrica q=-1.6·10-19C se proyectaen el interior de un campo eléctrico uniforme E=2000N/C con una velocidad inicialv0=10
6 m/s perpendicular al campo.a) Hallar las ecuaciones del movimiento del electrón
b) ¿Cuánto se habrá desviado el electrón si ha recorrido 1cm sobre el eje OX ? (OX :dirección de entrada del electrón)
d
0 x x
E
E q F
q
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RESOLUCIÓN:
a) Como la E q F
:
E m
ea E qam F
siendo (-e), la carga del electrón.
Eje x: t v xvcteva x x 00;0
Eje y: 22000 2
1
2
1; t at av y yt at avv E
m
ea y y y y
b) Sustituimos la aceleración en y:2
2
1t E
m
e y
Como necesitamos el tiempo, lo hallamos con x:
sv xt t v x 8
6
2
00 1010
10
Y lo llevamos al desplazamiento en y:
cmm y 81017601020001019
1061
2
1 2831
19
El ángulo que se ha desviado será:
60 x
yarctg
1.2 Distribuciones continuas de carga
1.2.1. Consideremos un campo eléctrico uniformeC
kN i E 2 .
a) ¿Cuál es el flujo de este campo a través de un cuadrado de 10cm de lado cuyo planoes paralelo al plano YZ ?
b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano forma unángulo de 30º con el eje X ?
y
x
0v
E
a
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RESOLUCIÓN:y
i E
2
s
S cml
210
x
z
a) El flujo de campo eléctrico a través de la superficie abierta es:
C
m N s E s E sd E s s
223 2010102)º0cos(
Con 2222 1010101010 m s
b) En este caso el ángulo que forman el vector superficie y el vector campo eléctrico es30º . Por lo tanto:
C
m N s E s E sd E s s
223 371
2
310102)º30cos()º30cos(
1.2.2. Una carga puntual q=3 C está en el centro de una esfera de 0.6m de radio.a) Hallar el valor del campo eléctrico en los puntos situados en la superficie de la esfera
b) ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico debido a la carga puntual a través de lasuperficie de la esfera?c) ¿Variaría la respuesta dada a la parte b) si se moviese la carga puntual de modo queestuviese dentro de la esfera pero no en el centro?d) ¿Cuál es el flujo neto que atraviesa un cubo de 1m de arista que circunscribe laesfera?
RESOLUCIÓN:
E
sd
q=3 C r
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a) El campo eléctrico en un punto situado a una distancia R de una carga puntual es:
C N uuuu
r
Q K E
r r r r
5
2
3
21
69
2
104
3
1036
1027
106
103109
con mmr R 110660
b) El flujo de campo eléctrico a través de la superficie es:
0
)º0cos( enc
s s
q sd E sd E
C m N
23
9
6
103933
10941103
c) No cambia la respuesta porque el flujo depende sólo de la carga encerrada en dichasuperficie, siendo independiente de la posición que ocupe en el interior de la misma.
d) El flujo neto sería el mismo que el que atraviesa la esfera, ya que la carga encerradaes la misma en ambos casos.
1.2.3. Una carga puntual Q está situada en el centro de un cubo cuya arista tiene unalongitud L.a) ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico a través de una de las caras del cubo?
b) Si la carga Q se traslada a un vértice del cubo, ¿cuál es el flujo a través de cada unade las caras del cubo?
RESOLUCIÓN:
a) El flujo total del campo eléctrico a través del cubo es:
L
0
enc
s E
q sd E
Q
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Por simetría, el flujo que atraviesa cada una de las caras del cubo es 1/6 del flujo total:
066
Qtotal cara
b)1
Q2
3
Dibujamos una esfera alrededor de la carga puntual Q que está situada en el vértice delcubo. Si dividimos la esfera en 8 partes, vemos que el flujo que entra en el cubocorresponde a 1/8 del flujo total que sale de la esfera.
0
00
88
1
Q
total cubo
enctotal
Este flujo sólo atraviesa 3 caras del cubo porque el vector superficie de las caras 1, 2 y 3 forman un ángulo de 90º con el vector E
, por tanto:
00 24383 QQcubo
cara
1.2.4. Una corteza esférica de radio 6cm posee una densidad superficial uniforme decarga =9nC/m2:a) ¿Cuál es la carga total sobre la corteza?
b) Determinar el campo eléctrico en r 1=2cm, r 2=5.9cm, r 3=6.1cm y r 4=10cm
RESOLUCIÓN:
+ ++ + + +
+ + + R ++ + + + +
+ + + + ++ + +
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Página 22 de 50
a) Como la densidad superficial de carga es constante:
pC C RS QS
Q1740101740103641094 12492
Siendo m R 2106 y 29109 m
C
b) Aplicando el teorema de Gauss, se puede demostrar que le campo eléctrico en unacorteza esférica de densidad superficial uniforme es:
E
2r
Q K Rr E r
r E(r
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Como es una distribución simétrica de carga, utilizaremos el teorema de Gauss parahallar el campo eléctrico en r>R1:
0
200 4
º0cos r
q E
qS E sd E
q sd E
s
encenc
s E
El potencial eléctrico en r R1:
V r
q K r V
r
q K
r q K
r
q K dr
r
q K V r V
dr E dV dr E dV dr
dV E
r r
r r
r r r
112
Como por definición V( ) = 0 para una carga puntual:
r
q K r V
b)
sd
E
La carga total es q y está distribuida uniformemente en el volumen:
3231
32
31
4
334
R R
q
V
q R RV
siendo la densidad de carga.Aplicando de nuevo el teorema de Gauss, el campo eléctrico en R2
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Página 24 de 50
3231
32
3
024
1
R R
Rr q
r E
El potencial en R2 r R1:
r
R
R
Rr R
R R
q RV r V
r Rr
R Rq RV r V
dr r
Rrdr
R R
q RV r V
dr r
Rr
R R
q RV r V
dr E dV dr E dV
R
r
R
r
R
r
r
R
r
R r
r
Rr
32
1
32
221
32
310
1
322
32
310
1
2
32
32
310
1
2
32
32
310
1
221
4
241
41
41
11
1
1
11
Del apartado a) sabemos el potencial en R1 y despejando V(r):
21
32
2
32
310
1
32
31
32
1
32
221
32
310
1
32
1
32
221
32
310
11
23
24
224
224
Rr
Rr
R R
qr V
R
R R
r
R
R
Rr R
R R
qr V
R
q K
r
R
R
Rr R
R R
qr V
R
q K RV
d) El campo eléctrico en r
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1.2.6. Supongamos que una carga positiva está distribuida uniformemente en unvolumen esférico de radio R, siendo la densidad de carga por unidad de volumen.Calcúlese la fuerza de repulsión que sufriría una carga puntual q, situada a una distanciar del centro de la esfera, siendo r R.
RESOLUCIÓN:
E
V Q
La fuerza de repulsión que se ejerce sobre una carga puntual situada a una distancia r R es E q F
, donde E
se puede calcular usando el teorema de Gauss:
0
º0cos enc
s s E
qS E sd E sd E
Despejando el campo:
002
3
02
02 34
34
44
r
r
r
r
V
r
q E enc
El campo eléctrico resultante será:
r r r u R
r Qu
R
r Qu
r E
303
00 4
34
33
Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre la carga es:
r u R
r Qq E q F
304
sd
R
r
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1.2.7. Una esfera de radio R posee una densidad volumétrica de carga proporcional a ladistancia al centro =A·r para r R y =0 para r>R, siendo A una constante. Hallar:a) El valor de la constante A si la carga total de la esfera es Q
b) El campo eléctrico tanto en el interior como en el exterior de la distribución de carga
RESOLUCIÓN:
Ar si r R
=0 si r > Rr
a) Si la carga total de la esfera es Q, la densidad es constante en un elementoinfinitesimal de volumen dV , el cual tiene un carga dq:
dV dqdV
dq
En una determinada superficie cerrada la carga encerrada será la suma de las cargas dq de los infinitos elementos dV que forman esa región:
dV dqqenc
La carga total encerrada en la esfera de radio R es:
4
4
00
42
0 44
444
R
Q A
R A
r Adr r Ar dV RqQ
R R
R
enc
b) Para hallar el campo eléctrico en el interior y en el exterior de la esfera utilizaremosel teorema de Gauss:
0
enc
s E
q sd E
Para r R:
0
º0cos
enc
s
qS E sd E
rR
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b V1
necesitamos hallar la carga encerrada hasta r :
4
44
4
4
00 0
42
44
44
444
R
r Q
r
R
Qr A
r Adr r r AdV q
r r r
enc
sustituyendo:
04
2
4
4
02
02 444 R
r Q
R
r
r
Q
r
q E enc
Para r > R la carga encerrada es Q, por lo tanto:
024 r
Q E
1.2.8. Sean dos esferas conductoras concéntricas de radios a
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Restando los valores de V 1 y V 2
ba
Q K b
KQ
b
KQ
b
KQ
a
KQV V
111
212121
Si despejamos Q1
abab K
V V
ab
ab K
V V
ba K
V V Q
2121211 11
Para obtener Q2 hacemos:
ab
Q K a
Q K
b
Q K
b
Q K
b
Q K
a
b
b
Q K
a
Q K V
a
bV
112
22212121
Si despejamos Q2:
ab K
V a
bV
Q11
21
2
1.2.9. Considérese dos esferas concéntricas y aisladas de radios a y b (a < b), estando lade radio a descargada y la de radio b con una carga total Q sobre su superficie. Seconecta la esfera interior a tierra sin tocar la exterior para nada. ¿Cuál será la carga quese induce en la esfera de radio a? ¿Cuál será el potencial en los puntos comprendidosentre las dos esferas?
RESOLUCIÓN:Q
a) Cuando conectamos a tierra la esfera interior, se induce en ella una carga Q´ , siendosu potencial 0:
b
Q K
a
Q K
0
b
a
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de donde podemos despejar Q´ :
b
aQ
K
a
b
Q K Q
b) El potencial en un punto comprendido entre las dos esferas a una distancia r delcentro es:
b
Q K
r
Q K r V
que sustituyendo Q´ , será:
siendo a
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El potencial inicial en la esfera exterior es:
721219
23
2122
2
2
12
102109
10101018
QQQQ
QQ R
K
R
Q K
R
Q K V
Resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones, obtenemos Q1 y Q2:
721
21
6
102
23
10
C Q
C QQQQ
7772
611
76
17
1
6
10701031102
101301023
101022
310
Cuando conectamos la esfera interior a tierra cambia Q1, mientras Q2 se mantiene. El potencial ahora es:
C Q
R R
R
Q
R
Q
R
Q
R
Q K
R
Q K
R
Q K V
92
27
1
12
21
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
11
103510101051070
00
El potencial en la esfera exterior es:
V V
QQ R
K
R
Q K
R
Q K V
37102
772
9
2122
2
2
12
1015310350109
1070103501010109
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P
ac E arg
q
línea E
P
ac E arg
q
línea E
1.2.11. Una carga lineal infinita de densidad lineal uniforme =-1.5 C/m es paralela aleje y en x=-2m. Una carga puntual de 1.3 C está localizada en el punto (1,2).Determinar el campo eléctrico en el punto (2,1.5)
RESOLUCIÓN:
y
x=-2 x
El campo total es la suma del campo que crea la línea y el campo que crea la carga.El campo que crea la línea en P es:
C
N i E
C N
r E
línea
línea
3
396
0
10756
1075642
109410512
C
N E
u
r r
ur
Qk E
puntual ac
r
r puntual ac
336
9arg
22
2arg
10325,1057950,90111031
109
50,901150
,11
1
1150150,12,151,2
El campo total en P es:
C
N jii ji E E E líneaac P P P
33333 1032510822107561032510579arg
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1.2.12. En cada uno de los tres planos indefinidos x= 2, x=0, x=2, existe unadistribución de carga superficial 1 =2 C/m2, 2=4 C/m2, 3= 3 C/m2, respectivamente.Hallar el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio, tomando origen de
potenciales V=0 en x=0.
RESOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta el signo de la carga de cada plano, dibujamos el campo eléctricoque crea cada uno de ellos en cada región.
El campo eléctrico que crea un plano indefinido en sus proximidades es:
En una región el campo eléctrico total es la suma de los campos eléctricos que crea cada plano:
V
x
2 x 0 x 2 x
1 E
1 E
1 E
1 E
2 E
2 E
2 E
2 E
3 E
3 E
3 E
3 E
1 2 3
0V
E
E
E
E
x
0 0
i x E
020
i x E
02
0
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REGIÓN :
C N i E
iiiiii E E E E
0
0000
3
0
2
0
1
23
2
3
2
4
2
2
222321
REGIÓN II:
C
N i E
iiiiii E E E E
0
0000
3
0
2
0
1
2
1
2
3
2
4
2
2
222321
REGIÓN III:
C
N i E
iiiiii E E E E
0
0000
3
0
2
0
1
29
23
24
22
222321
REGIÓN IV:
C
N i E
iiiiii E E E E
V
V V V V
0
0000
3
0
2
0
1
2
3
23
24
22
222321
Para obtener los potenciales, consideramos V(x=0) = 0:
REGIÓN II (-2 x 0):
x x x
x xV x xdx E V xV dV 0
000
00 2
121
21
0
REGIÓN I (x -2):
23
2
322
2
3
223
23
2
000
02
022
V xV x xV
x xd E V xV dV x x x
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Utilizando el resultado de la región II:
00000
0
42313
23
12
x x xV
V
REGIÓN III (0 x 2):
x xV
x xdxdx E V xV dV x x x x
0
00
000
00
2
9
2
9
2
9
2
90
REGIÓN IV (x 2):
23
23
223
23
2
00
200
2 2
V x xV
xdxdx E V xV dV x x x
Utilizando el resultado de la región III:
00000
0
62393
23
92
x x xV
V
1.2.13. Una esfera conductora, de radio R1 y carga Q se une mediante un hilo conductor,de capacidad despreciable, a otra esfera de radio R2 ( R2
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El potencial de la primera, V’ 1, será:
1
1
0
1 41
R
QV
Y el de la segunda:
2
1
02 4
1 R
QQV
Como V=V’ 1=V’ 2:
21
2
21
112
21
11
2
1
01
1
0 41
41
R R
RQ
R R
RQQQQQ
R R
RQQ
R
R
Q
Si comparamos las cargas, vemos que Q1 es mayor que Q2.
b) El potencial al que quedan ambas esferas es:
2101211
0 41
41
R R
Q
R R R
RQV
c) Las densidades superficiales de carga en cada esfera son:
2112
1
11 4
14 R R R
Q
R
Q
y
21222
22 4
14 R R R
Q
R
Q
Siendo en este caso 1 menor que 2.
APÉNDICE
1.2.14. Un trozo de varilla delgada no conductora de longitud L tiene una carga total q,distribuida uniformemente a lo largo de ella. Hallar el campo eléctrico E
en:a) Un punto P de la mediatriz de la varilla
b) En el mismo punto cuando L tiende a infinito.
1 R
2 R
1Q2Q
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Siendo la densidad lineal de carga, escribimos el valor de la carga dq de un trozo
infinitesimal de barra:dxdq Lq Y el campo eléctrico correspondiente a dicho trozo será:
22 r
dx K
r
dq K E d
cuyas componentes son:
0 x x x x E d E E d E d
por simetría (para cada dq siempre hay un dq´
simétrico de forma que las componentes del campo eléctrico en el eje x se anulan).
cos
41
cos 20 r
dx E d E d y
(sólo existe componente en el eje y)
Tenemos que el campo depende de tres variables : ),,( r x f dE , pero debemos ponerlo en función de una sola variable, en este caso .
2cos
d ydxtg y x
y
xtg
2
22
coscoscos
yr
yr
r
y
Sustituimos en la componente y:
d y y
d y E d y cos4
1cos
cos
cos4
1
02
2
2
0
Integrando:
2
22
2
0
000
0000
22
24
2
4
2
4
12cos
4
12cos
4
10
0
0
0
y L y
qk
y L
L
y
sen y
sen y
d y
d y
E y
y E d
E d
x E d
r
x
y
P
dx
dq qd
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2/ L 2/ L
ya que:
220
2
2
y L
L sen
Valoración:
Si y
k E sen L y
21
22
1.2.15. Un anillo de radio a tiene una carga q distribuida uniformemente a lo largo desu circunferencia. Calcular el campo eléctrico y el potencial eléctrico en puntos a lolargo del eje perpendicular que pasa por el centro del anillo, en función de la distancia adicho centro.
El campo eléctrico que crea en el eje x un elemento de carga infinitesimal dq es:
20
2 41
r
dq
r
dq K E d
Sólo existe componente en x, ya que por simetría las componentes en y se anulan.
x
a x
q x
r
q x
r
dq E d E d E x x
23
220
30
30 4
14
14
1cos
siendor
x cos y 22 a xr
Por lo tanto, el campo en cualquier punto del eje x es:
i
a x
xq E
23
2204
1
Casos particulares:
a
0 x
22 a xr
E d
x E d
dq
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2
00
x
q K E a x
E x
Para x muy alejadas del origen se aproxima al campo de una carga puntual.Y el potencial será:
220 a x
KQ
r
dq K V
r
dq K dV
Q
1.2.16. Un cilindro hueco de radio R y longitud L se encuentra cargado uniformementecon una densidad superficial de carga . Calcular el campo eléctrico y el
potencial en los puntos que están sobre el eje del cilindro.
Considerando la expresión del campo eléctrico obtenida en el ejercicio anterior para unanillo de radio R y carga dq:
dq
x R
x K E d x2
322
donde dx Rdq 2 Sustituyendo el valor dq:
22222223
22
23
22
112
22
2
r Rr L R
KR
x R
R K dx
x R
x R K E
dx x R
x R K dE
r
r L
r
r L
x
x
h R
r
x
L
ydx
P
x E d
E d
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En cuanto al potencial creado en un punto P por anillo de radio R y carga dq:
dx
x R
R K
x R
dq K dV
2222
2
Que considerando el origen en P, e integrando a todo el cilindro:
2222
22
2222
lnln2
ln222
Rr Lr L Rr r R K
R x x R K x R
dx R K dx
x R
R K V
r
r L
r
r L
r
r L
1.3 Condensadores. Campo eléctrico en la materia y energía del campo
1.3.1. Un condensador de láminas plano paralelas tiene una capacidad C 0 y unaseparación entre las láminas d . Se insertan entre las placas dos láminas dieléctricas deconstantes 1 y 2, cada una de ellas de espesor d/2 y de la misma área que las placas.
Demostrar que la capacidad es: 021
212 C C
RESOLUCIÓN:
La capacidad de un condensador de láminas plano-paralelas es C 0:
d
S
V
QC
00
Si se insertan 2 dieléctricos entre las láminas que ocupan cada uno la mitad del espacioque existe entre ellas, tenemos 2 condensadores en serie (misma carga y distinta d.d.p.)cuyas capacidades son, respectivamente:
2
01 d
S C
2
02 d
S C
La capacidad equivalente es:
2d
2d
1
2
S
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22
2
22
22
21
21
21
2
21
21
21
21
21
d
S
S S d
d S S
d
S
d
S
d
S
d
S
C C
C C C eq
22121
d
S C eq
Teniendo en cuenta que:
01 1 r y 02 2 r
0
0
0
20
00
00
21
21
21
21
21
21
21
2122
22
C
d
S
d
S
d
S C
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
eq
Otra forma de resolver el problema es usar la definición de capacidad y calcular lanueva diferencia de potencial:
V
QC donde 221121 d E d E V V V siendo
11
E y
22
E
1.3.2. Una lámina de cobre de espesor b se introduce dentro de las láminas planas de uncondensador. La lámina de cobre se encuentra situada exactamente a la mitad de la
distancia d entre las placas. ¿Cuál es la capacidad del condensador antes y después deintroducir la lámina?
RESOLUCIÓN:
Antes de introducir la lámina conductora:
donded
S C 00
Q Q
d
0 E
S
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Al introducir la lámina conductora de cobre:
Utilizando la definición de capacidad:
V
S
V
QC
donde: 321 V V V V
En la lámina de cobre el campo es cero y el potencial constante, por lo que la d.d.p entresus extremos es 0.
2222 3131bd
E bd
E V V V
siendo0
1
E y
02
E
bd bd bd
V
000 2222
La capacidad, por lo tanto, es:
d b
C
d bd
S
bd
S
V
S C
1
1
10
0
0
1.3.3. Las láminas de un condensador plano están separadas 5mm y tienen 2m2 de área.Entre ellas se introducen dos dieléctricos, uno con espesor 2mm y permitividad relativa5, el otro de 3mm y permitividad relativa 2. El condensador se carga a C 510543 .Calcular:a) El campo eléctrico en cada dieléctrico
b) La diferencia de potencial entre las láminas del condensador
c) La capacidad del condensador
Q Q
b
1V 2V 3V
22
bd
22
bd
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RESOLUCIÓN:
a) El campo eléctrico entre láminas de un condensador plano-paralelo con undieléctrico de permitividad es:
S
Q E
con 0 r
de donde:
m
V S
Q
S
Q E
r
4003652
10945
10543
9
5
10111
1
m
V S
Q
S
Q E
r
10009112
10942
10543
9
5
20222
2
b) La d.d.p entre las placas del condensador es:
V d E d E V V V 38031031000911102400365 33221121
c) La capacidad es:
nF V
QC 391039
380310543 9
5
1.3.4. Una placa de dieléctrico de espesor b y constante dieléctrica relativa r , se colocaentre dos placas planas y paralelas de área A y separación d . La diferencia de potencialantes de introducir el dieléctrico es V . Supóngase que A=100cm2, d=1cm, r =7 , V=100V y b=0'5cm. Calcular:a) La capacidad del condensador antes de introducir el dieléctrico
b) La carga libre depositada en las placas del condensadorc) La intensidad del campo eléctrico en el hueco
Q Q
1d 2d
d
1 E
2 E
1V 2V
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Página 43 de 50
d) La intensidad del campo eléctrico en el dieléctricoe) La diferencia de potencial que existe entre las placasf) La capacidad del condensador después de introducir el dieléctrico
RESOLUCIÓN:
a) pF d
S C 84810848101084810
101001094
1 12932
4
900
b) C V C QV
QC 1012
00 1084810010848
c) m
V d
V E d E V 42
0000 1010
100
d) mV E
E r
681427104
0
e) V b E
bd E V r
1475105068142105010 22400
f) F V
QC 12
10
10551147510848
1.3.5. Las armaduras de un condensador plano tienen una superficie de 250 cm2. Eldieléctrico situado entre las armaduras es mica de 1.2mm de espesor y r =6. Determinar:a) La capacidad del condensador
b) La carga cuando la diferencia de potencial entre las armaduras es de 500V c) El campo eléctrico entre las armadurasd) La fuerza atractiva entre las mismase) La energía almacenada en el condensador
S
d
b
r
8/19/2019 Teoría y Problemas Resueltos de Electrostatica
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RESOLUCIÓN:
a) F d
S C r
93
4
901011
102110250
10941
6
b) C V C QV
QC 69 105505001011
c)
mV
d
V E d E V 416667
1021
500
3
d)
El trabajo está