Teorija komunikacijskih tokova

Uvod u teoriju prometaPromet (traffic) možemo jednostavno definirati kao kretanje informacije određenimkomunikacijskim kanalima. Prometom se naziva i kvantitativna mjera kretanjainformacije. Ta je mjera često izražena prosječnom količinom informacije koja prostrujiodređenim prenosnim kanalom u jedinici vremena ili prosječnim zauzećemkomunikacijskog kanala.

Teoriju prometa u literaturi se definiše kao primjena teorije vjerovatnoće na rješavajaproblema planiranja, procjene performansi, i održavanja telekomunikacionih sistema.Discipline koje igraju važnu ulogu u teoriji prometa su stohastički procesi, teorija redovačekanja i numeričke simulacije.

Sa aspekta teorije prometa, cijeli telekomunikacioni sistem se može posmatrati kao naslici 1:

Slika 1: Teorija prometa i telekomunikacioni sistem

Korisnici na slici 1 generišu promet koji treba da bude poslužen. Ovaj sistem se možeposlužiti sa manjim ili većim kvalitetom usluge (QoS).U našoj analizi, pod sistemom možemo podrazumijevati jedan uređaj (npr. link između dvije komutacije), dio mreže ili cijelu mrežu.

Kvalitativna veza između ponuđenog prometa, kvaliteta usluge i kapaciteta sistemailustrovana je na slici 2:

Slika 2. Odnos kapaciteta sistema, QoS-a i ponuđenog prometa

Modeliranje TK sistemaDa bi se realan sistem sveo na matematske veličine potrebno je izgraditi model.Modeliranje sistema je korak koji zahtijeva dobro poznavanje sistema, jer ovdjenapravljene greške utiču (u najvećem broj slučajeva destruktivno) na krajnje zaključke.

Osnovi zahtjevi koje jedan model mora da ispunjava su:- mora biti moguće bez naročitih teškoća verificirati, te uspostaviti vezu

između parametara modela i rezultata mjerenja,- mora biti primjenjiv na realne sisteme.

Procesi koji opisuju ponašanje prometa u telekomunikacionim sistemima su kombinacijadeterminističkih i stohastičkih procesa.

U principu se cjelokupno proučavanje telekomunikacijskih sistema svodi na jedan odsljedeća tri pristupa:

- matematsko modeliranje,- mjerenje na realnim implementacijama,- simulacija i emulacija.

Uloga matematskog modeliranja i analize je fundamentalna u bilo kojem istraživanju jer rezultuje dubljim razumijevanjem osnovnih pravila fenomena koji se proučava. Stoga se matematsko modeliranje koristi za procjene, izvođenje generalnih zaključaka i proračune za mreže sa relativno malim brojem tretiranih parametara.Opasnost koju ovaj metod nosi je rizik od presimplifikacije modela do tačke kada surezultati analize praktično beskorisni iako se na prvi pogled možda i ne čini tako, stoga jeverifikacija pomoću mjerenja neophodna. Prednost matematskog modeliranja je potpuna kontrola nad predmetom istraživanja i potpuna sloboda u stepenu aproksimacije i filtriranju željenih rezultata.

Mjerenje realnih parametara u telekomunikacijskim sistemima omogućava detaljnuanalizu rada, kao i razumijevanje šta propisno radi ili ne radi. Korištenjem

specijaliziranog hardware-a ili software-a, inženjer sakuplja relevantne podatke o stanjuna nekom dijelu mreže.

Simulacija i emulacija telekomunikacionih mreža je danas jako raširen metodispitivanja, ali sama metodologija i postupci ispitivanja nisu još u potpunosti definisani.. Slabost metoda simuliranja i emuliranja je zanemarivanje pojedinih realnihpojava, ali njena velika prednost leži u obradi velike količine podataka, te mogućnošćuispitivanja reakcije mreže na različite ulazne parametre. Prilikom simulacije protokola,primjerice, često se zanemaruju detalji implementacije protokola na operativnom sistemuili informacioni sadržaj paketa, a detaljna pažnja se predaje algoritmima i parametrimakvaliteta prometa.

Statističke osobine prometaKorisnički zahtjevi za resursima u teoriji prometa se modeliraju pomoću statističkihosobina prometa. Jedina validacija naših statističkih modela je poređenje rezultata tihmodela sa ponašanjem u realnim sistemima. Ovaj proces ima iterativnu prirodu.Matematski modeli se grade kroz poznavanje stanja u sistemu, rezultati modeliranja seupoređuju sa rezultatima mjerenim na realnim sistemima, te ako nisu u skladu samjerenim rezultatma, prave se korekcije na modelu i proces se iteratirno ponavlja. Ovo jeilustrirano na Slici 1.1.

Teorija redova čekanja, ili teorija masovnog posluživanja predstavlja značajan dio i osnovu teorije prometa. Obzirom da se u telekomunikacijskom sistemu radi o zahtjevima korisnika za uslugom, te uzevši u obzir da se sistem po pravilu dimenzionira sa kapacitetom ispod vršnog opterećenja zahtjeva za uslugom, od ključne je važnosti poznavanje dva međusobno nezavisna statistička procesa u svakom sistemu posluživanja:

- statistički proces koji opisuje dolaske na sistem- statistički procesi koji opisuju posluživanje (uslugu)

Konvencionalni telefonski sistemiKonvecionalni telefonski sistemi zasnivaju se na hijerarhijskoj strukturi koju i sadakoristi većina velikih operatera. U ovakvoj strukturi pretplatnici se spajaju napretplatničke stepene (Remote Subscriber Unit – RSU) koji u principu predstavljaju

koncentratore kojim se upravlja sa narednog stepena hijerarhije - glavne centrale ili hosta.RSU se obično na fizičkom nivou povezuje sa hostom optičkim kablovima (ili radiorelejnim linkovima u nedostupnim i udaljenim područjima), a ima sposobnostfunkcionisanja i po prekidu kičmene mreže, na lokalnom nivou. Svi hostovi su dalje povezani na tranzitne centrale, koje leže na vrhu hijerarhije i komutiraju međunarodni ili međuoperatorski promet.Konekcija između dva pretplatnika u različitim tranzitnim područjima obično seuspostavlja kroz dole ilustrovani put:

korisnik → RSU → host → TC → TC → host → RSU → korisnik

Kod konvencionalnih telefonskih mreža, usluga je konekciono orjentirana. To znači dase prilikom uspostavljanja konekcije utvrdi fizička veza i fiksna širina propusnog opsegakoja se ne raskida do prekida veze. Predosti ovakvog načina rezervacije resursa su mogućnost garantovanja određenog kvaliteta usluge korisniku i jednostavniji statistički model sistema. Glavni nedostatak leži u nepotrebnom rasipanju resursa, jer su i opseg i kapaciteti na komutaciji zauzeti tokom poziva bez obzira da li se komunikacija obavlja ili ne.

Slika 1.2: Mreže sa komutacijom krugova

Svi servisi zasnovani na mrežama sa komutacijom krugova (PSTN, ISDN, xDSL) rade na

principu komutacije krugova, odnosno, za modeliranje sistema pri ovim mrežama vrijedeiste zakonitosti.

Mreže za prenos podatakaPaketske mreže ili mreže za prenos podataka se u principu projektuju na istoj infrastrukturi kao i konvencionalne telefonske mreže, sa izuzetkom dijela koji se odnosina komutaciju i multipleksiranje.Razbijanje poruka na pakete kojima se po želji može manipulirati umnogome jerevolucioniralo telekomunikacijski promet, i nametnulo neke sasvim nove modele uodnosu na standardne telefonske sisteme. Prije svega, možemo birati između konekcionoi nekonekciono orjentirane usluge. Konekciono orjentirane paketske mreže (kakva je na primjer ATM ili MPLS; nazivaju se još i mreže sa komutacijom virtuelnih krugova), slično kao i telefonske mreže, slično kao i mreže sa komutacijom krugova, zahtijevaju uspostavljanje veze prije početka konekcije, te slanje paketa određenim redoslijedom nakon uspostavljanja veze. Razlika je u brzini prenosa preko uspostavljene konekcije koja može varijabilna, a isto tako i kašnjenje. Kod ovakvog tipa mreža moguća je diferencijacija između raznih vrsta usluge. Tako korisnici koji su spremni da plate, mogu imati zagarantovani određeni opseg duž cijelog trajanja konekcije, dok drugi dobijaju (jeftiniju) uslugu bez garancija u pogledu opsega, itd. Primjer konekciono orjentirane paketske mreže (ATM) ilustrovan je na slici 1.5. Virtuelene konekcije (VC) uspostavljaju se prije početka slanja paketa-ćelija, a konekcije za zajedničkim dionicama i zahjtevima za QoS-om se grupišu u virtuelne puteve (VP).

Slika 1.4: Datagram komutacija Slika 1.5: Konekciono orjentirana paketska mreža

Nekonekciono orjentirane pakatske mreže nazivaju se još i datagram mreže i rade natakozvanom „store and forvard“ principu ilustrovanom na slici 1.4.Paketi u datagram mreži se prenose u koracima od komutacije do komutacije. Ovo naravno, rezultuje većim i varijabilnim kašnjenjem, obzirom da računari u funkciji komutacionih stepena predstavljaju sisteme sa kašnjenjem. Kod ovog tipa paketskih mreža se paketi ne prenose kroz mrežu obavezno istim putem. U zaglavlju svakog paketa, između ostalih, upisani su podaci kao što su redni broj paketa na prijemu, korekciona redundansa, te maksimalan vremenski period u okviru kojeg treba prema izvoru paketa stići potvrda o prijemu paketa. Ukoliko paket ne stigne u dogovorenom vremenskom roku, isti se smatra izgubljenim i proces slanja se ponavlja, ovisno o implementiranom protokolu. Obzirom da su komutacije na ovoj mreži ustvari računari, moguće je implementirati razne algoritme za poboljšanje kvaliteta usluge: upravljanje redovima čekanja, kontrola pristupa, klasifikacija prometa, izbjegavanje zagušenja, itd.GoSGoS (stepen usluge, eng. Grade of Service) je definisan ITU prepopukama kao „skupparametara prometa koji osiguravaju nivo opravdanosti rada sistema pod određenim

uslovima“. Ovi GoS parametri mogu se izraziti preko vjerovatnoća blokiranja, vjerovatnoće kašnjenja, itd.GoS je dio performanse mreže vezan za karakteristike prometa, koji u biti predstavljasposobnost mreže ili dijela mreže da omogući dogovorene funkcije vezane zakomunikaciju između korisnika.

QoS (kvalitet usluge, eng „Quality of Service“)je prema ITU-T preporukama „združeniefekat performansi servisa koje određuju stepen zadovoljstva korisnika te usluge“.

NP (performanse mreže, eng. „Network Performance“) parametri, s druge strane, iako suizvedeni iz QoS parametara su mrežno orjentirani, tj. mogu se koristiti samo zaodređivanje stepena performansi unutar neke specifične arhitekture.

Koncept prometa i prometne jediniceDef. 1: Trenutni intenzitet prometa u posmatranom okruženju resursa (grupa servera, prenosni kanali…) je broj zauzetih resursa u posmatranom trenutku vremena.Srednja vrijednost prometa kao slučajne promjenjive se može odrediti iz relacije:

gdje je n(t) broj zauzetih uređaja u trenutku t.

Za dimenzioniranje sistema često se koristi srednja vrijednost u nekom vremenskom intervalu T.

Def. 2: Posluženi promet Y = Ac naziva se promet kojeg poslužuje grupa resursa u nekom vremenskom intervalu T.Prema ITU-T preporukama, uobičajena jedinica za intenzitet prometa je erlang [E].Cjelokupan promet prenešen u vremenskom periodu T nazivamo obimom pometa. Obimprometa mjeri se u erlang-satima [Eh].

Def. 3: Ponuđeni promet A je promet koji dolazi u sistem i treba da bude poslužen. U slučaju da sistem nema gubitaka, pouđeni promet je jednak ukupnom prenesenomprometu.

Ponuđeni promet je veličina koju je mjerenjem u sistemu moguće samoprocijeniti na osnovu posluženog prometa.

Def. 4: Izgubljeni ili odbačeni promet Al je razlika između ponuđenog i posluženog prometa, tj:

Varijacije prometa i ČGOMjerenja poziva u klasičnom telefonskom prometu pokazuju djelimično stohastičku,djelimično determinističku prirodu.

Def. 1: Čas konzistentnog glavnog opterećenja - ČGO (Time Consistent BusyHour - TCBH) definiše se kao sat vremena (sa tačnošću od 15 minuta), koji u odnosu naduži vremenski period ima najveći srednji intenzitet prometa.

Determinističke varijacije u teoriji prometa mogu se podijeliti na:- varijacije u toku 24 sata- sedmične varijacije- varijacije u toku godine- porast prometa na višegodišnjem nivou, zbog razvoja tehnologija, rasta

broja korisnika, itd.

Ovisno od toga kako je sistem projektovan, razlikujemo sisteme sa:- gubicima, - čekanjem, - kombinacije ova dva sistema.

Kvalitet usluge QoSKvalitet je zbir karakteristika entiteta koji opisuju njegovu sposobnost da zadovoljiizrečene ili implicirane potrebe. Kvalitet usluge je združeni efekat performansi servisa koje određuju stepen zadovoljstva korisnika te usluge.QoS zahtjevi korisnika predstavljaju izjavu o kvalitetu usluge koji korisnička aplikacijazahtijeva od servisa, a koja se može izraziti netehničkim riječnikom.QoS koji nudi provajder je izjava o očekivanom nivou kvaliteta koji je ponuđenkorisniku od strane provajdera.QoS koji omogućava provajder je izjava o nivou stvarnog kvaliteta koji provajdernudi korisniku.Qos koji korisnik primi je izjava koja opisuje nivo kvaliteta za koji korisnik vjerujeda je iskusio.

Korisnik usluge pristupa servisu za određenim zahtjevima, koji se odnose na kvalitetusluge s kraja na kraj mreže i izražavaju se laičkim, netehničkim riječnikom („brzpristup internetu“, „mutna slika“, „eho“ i sl.). Sa aspekta korisnika, važan je samo ovaj,zbirni kvalitet usluge. Kvalitet usluge na korisničkom nivou je perceptualan i subjektivan parametar. Na sprezi aplikacije i mreže razmatra se kvalitet usluge na aplikativnom nivou. Na ovomnivou se mogu postaviti više tehnički opisi kvaliteta usluge s kraja na kraj (npr. rezolucijai frekvencija slike, granice kašnjenja i varijacije kašnjenja).Parametri mreže, kao sistema koji daje uslugu prenosa podataka, prema ovom modelukvaliteta usluge, spadaju u sistemski nivo. To su parametri kvaliteta uslugetelekomunikacione mreže u pravom smislu riječi, i kao takvi su nama najzanimljiviji.

Parametri QoS-aOsnovni parametri kvaliteta usluge su:

- kašnjenje (delay)- varijacija kašnjenja (jitter)- gubici (loss)- opseg (throughput)

KašnjenjeKašnjenje u jednom pravcu (u IP mreži koristi se termin: IP Transfer Delay – IPTD) je vrijeme koje protekne od slanja prvog bita paketa u mrežu do trenutka kada posljednji bit paketa dospije na odredište.

Matematski, IPTD se određuje oduzimanjem vremenske oznake slanja paketa (u samom zaglavlju paketa) od vremena prijema, gdje je N broj paketa:

Granice kašnjenja prema ITU preporukama variraju od 100 ms za visokoosjetljivi prenosu realnom vremenu, do 1 s za prenos streaminga sa malim gubicima.Pored kašnjenja u jednom pravcu, često se mjeri i kašnjenje u oba pravca (Round TripDelay - RTD) kao vrijeme koje protekne od slanja prvog paketa od strane izvora kaprijemniku, do trenutka kada na izvor stigne potvrda o prijemu.

Kašnjenje paketa se može podijeliti na četiri komponente:

1. Kašnjenje procesiranja je vrijeme potrebno da mrežni elementi (ruteri ili terminali) procesiraju paket. Ovisi od brzine procesiranja mrežnog elementa i kompleksnosti funkcije procesiranja.

2. Mrežne komponente imaju ulazne i/ili izlazne redove čekanja. Vrijeme koje paket provede u ovim redovima čekanja je kašnjenje u redovima čekanja. Redovi čekanja rastu u slučajevima zagušenja, što rezultuje i većim kašnjenjem u redovima čekanja.

3. Kašnjenje serijalizacije (transmisije) je direktno proporcionalno veličini paketa i obrnuto proporcionalno brzini linka:

4. Kašnjenje propagacije opisuje vrijeme potrebno da se signal prenese kroz medij:

Varijacija kašnjenjaU realnim mrežama, kašnjenje koje paket doživi na putu od izvora do prijemnika nije istoza sve pakete, već se u toku vremena mijenja. Kašnjenje mjereno u nekom vremenskomperiodu je ograničeno svojom minimalnom i maksimalnom vrijednošću. Razlika izmeđuovih granica naziva se varijacijom kašnjenja.

Varijacija kašnjenja se može kompenzirati tzv. baferovanjem (privremenim skladištenjem) paketa bilo na mrežnim elementima (ruterima) ili na prijemniku.

ITU definiše IPDV (IP Delay Variation) za pojedini paket kao razliku kašnjenja u jednomsmjeru para paketa iz toka paketa:

Streaming aplikacije npr. koriste informaciju o ukupnom rasponu IPTD varijacije kako biizbjegli prekoračenje kapaciteta bafera. Pored sukcesivnog poređenja vremana kašnjenja, može se usvojiti referentno kašnjenje, te kašnjenje svakog paketa porediti sa ovim referentnim kašnjenjem:

Propusni opsegPropusni opseg je kapacitet linka ili kapacitet s kraja na kraj konekcije i mjeri se u bps.

GubiciProcenat izgubljenih paketa (PLR) predstavlja broj paketa koji ne stigne na odredište uodnosu na broj svih poslanih paketa. Gubitak paketa je posljedica uglavnom dva uzroka:greške na paketima zbog lošeg kvaliteta linka (pogotovo izraženo na bežičnim linkovima)i odbacivanja paketa zbog zagušenja.

Zahtjevi aplikacija za QoS-omSvaka aplikacija ima svoj stepen QoS zahtjeva, ali se može napraviti nekoliko osnovnih podjela.Elastične aplikacije imaju mogućnost da se prilagode različitom stepenu QoS-a i nepadaju u slučaju degradacije QoS parametara. Nazivaju se i best effort aplikacije. Transfer datoteka i e-mail su primjeri elastičnih aplikacija, jer nemaju zahtjeva za garancijom opsega ili kašnjenja. Nasuprot elastičnim aplikacijama, neelastične aplikacije imaju striktne zahtjeve za QoS.Aplikacije u realnom vremenu su u većini slučajeva po definiciji neelastične, ali imajudonekle mogućnost da se prilagode promjenama QoS-a. Tako se smanjenje opsega možedonekle prevazići upotrebom efikasnijeg kodeka, ali su zahtjevi za kašnjenje u obaslučaja jako strogi.

Interaktivne aplikacije uključuju ljudsku interakciju. Obično u ovim slučajevimakorisnik udaljeno djeluje na neki sistem i očekuje brzu reakciju. Reakcija treba biti što jemoguće brža sa jakim ograničenjama za nivo kašnjenja. U većini slučajeva su neelastične. Primjeri interaktivnih aplikacija su VoIP, audio/video konferencije, online igre. Primjeri neinteraktivnih aplikacija su pretraživanje web sadržaja, prenos datoteka, chat servisi i multimedija streaming.

Definicija i karakterizacija stohastičkih procesaSvakom događaju ω iz skupa događaja Ω je pridružen jedinstven broj u skupu realnihbrojeva R. Funkciju koja vrši pridruživanje zovemo slučajna varijabla. Svaki put kadase dogodi neki elementarni događaj, slučajna varijabla poprimi vrijednost u R.

Def. 1: Stohastički proces je familija slučajnih varijabli X(t, ω), t ∈ T, definisana na nekom prostoru vjerovatnosti i indeksirana parametrom t, gdje t pripada indeksnom skupu T.Za fiksirani parametar t (t = tk), X(tk,ω) = Xk(ω) je slučajna varijabla s oznakom X(tk),gdje ω poprima vrijednosti iz Ω. Ukoliko fiksiramo neki realizovani slučajni događajωi iz skupa Ω za svaki indeks t, onda X(t, ωi) predstavlja vremensku funkciju kojuzovemo uzorkom slučajnog procesa ili trajektorijom. Skup svih mogućih realizacija slučajnog procesa se zovemo ansambl. Ukoliko fiksiramo i tk

i pripadni ωi, dobivamo konkretan realan broj.U terminologiji stohastičkih procesa indeksni skup T zovemo još i parametarski skupstohastičkog procesa. Vrijednosti od X(t) se zovu stanja stohastičkog procesa, a skup svihmogućih stanja se zove prostor stanja stohastičkog procesa.

Opis stohastičkog elementa s obzirom na parametarski skup T:1. Ako je indeksni skup T stohastičkog procesa diskretan, onda se

proces zove stohastički proces s diskretnim parametrom ili diskretan u vremenu. Takav proces se također naziva slučajna (sekvenca) s oznakom { Xn, n = 1, 2, . . . }.

2. Ako je indeksni skup T stohastičkog procesa kontinualan, onda se proces zove

stohastički proces s kontinualanim parametrom ili kontinualan u vremenu.Opis stohastičkog elementa s obzirom na prostor stanja:

1. Ako je prostor stanja stohastičkog procesa diskretan, onda se proces naziva

stohastički proces s diskretnim stanjima ili lanac .2. Ako je prostor stanja stohastičkog procesa kontinualan, onda se

proces naziva stohastički proces s kontinualanim stanjima.

Srednja vrijednost stohastičkog procesa X(t) data je izrazom:

gdje se X(t) tretira kao slučajna varijabla za fiksnu vrijednost od t. Općenito, očekivanje μX(t) je funkcija vremena i često se naziva srednjom vrijednošću ansambla.

Klasifikacija stohastičkih procesaDef. 1: Stohastički proces {X(t), t ∈ T} je Markovljev proces ako je za sve t1 < t2 < . . . < tn < tn+1 ispunjeno:

Markovljev proces s diskretnim stanjima se zove Markovljev lanac (Markov chain). UMarkovljevu lancu {Xn, n ≥ 0} za svaki n vrijedi:

Posljednje dvije jednakosti su poznate pod nazivom Markovljevo svojstvo ili još svojstvoodsustva pamćenja.

Markovljevi procesi su oni procesi koji nemaju pamćenje. Vjerovatnost događaja koji seima zbiti u budućnosti ne ovisi o događajima koji su se dogodili u prošlosti, nego samo osadašnjosti.

Def. 2: Neka je zadan stacionaran slučajni proces {X(t), - ∞ < t < + ∞ }. Neka je x(t) jedna trajektorija slučajnog procesa (sample function). Neka je srednja vrijednost u vremenu uzorka x(t) data izrazom:

Stacionarni slučajni proces {X(t), - ∞ < t < + ∞ } je ergodičan ako ima svojstvo da suvremenski prosjeci uzoraka procesa jednaki odgovarajućim statističkim prosjecimatrajektorija ili prosjecima ansambla trajektorija, npr. x(t) = μX, (τ ) XR = RX(τ ), itd.

Stacionarni procesi su dakle oni procesi kod kojih na osnovu jedne ili ansamblatrajektorija slučajnog procesa možemo izračunati statističke vrijednosti procesa(očekivanje, autokorelaciju i dr.).

Proces brojanjaNeka su t i s vremenske varijable iz kontinualnog indeksnog skupa T. Posmatrajmoodređeni događaj A. Neka proces u kojem se realizuje taj događaj počne u vremenu t = 0.Događaj A se slučajno realizuje u trenucima ti, i = 1, 2, . . .. Te trenutke zovemo tačkerealizacije događaja.

Neka je svakoj realizaciji događaja A pridružena slučajna varijabla Ti

koja mjeri vrijemeod početka izvođenja eksperimenta do trenutka kada se i-ti put realizovao događaj A.Kada se događaj A realizuje i-ti put od početka izvođenja eksperimenta, onda varijabla Ti

poprimi vrijednosti ti. Neka je varijabla Zn definisana kao vrijeme koje protekne izmeđudvije uzastopne realizacije događaja A u trenucima tn i tn-1:

Slijed ovako definisanih slučajnih varijabli {Zn, n ≥ 1} čini proces kojeg zovemomeđudolazni proces.Slučajan proces sastavljen od slučajnih varijabli Ti, {Ti, i ≥ 0} zovemo dolazni proces.

Def. 1: Slučajni proces {X(t), t ≥ 0} je proces brojanja ako X(t) predstavlja ukupni brojrealizacija posmatranog događaja u intervalu [0, t]. Da bi neki proces bio procesbrojanja, on mora zadovoljiti sljedeće uvjete:

1. X(t) ≥ 0 i X(0) = 02. X(t) prima vrijednosti iz skupa prirodnih brojeva N

3. X(s) ≤ X(t) za s < t4. X(t) - X(s) je jednak broju realizacija događaja u intervalu (t, s)

Poissonov procesJedan od tipičnih procesa brojanja je Poissonov proces.Posmatrajmo ponovno događaj A koji se može jednom ili više puta realizovati unutar bilokojeg vremenskog intervala. Neka je X(s, t), s < t slučajna varijabla koja mjeri brojrealizacija događaja A unutar vremenskog perioda [s, t]. Dakle, razmatramo jednuslučajnu varijablu koja je funkcija dva parametra - s i t. Neka slučajna varijabla X(s, t)ima sljedeća svojstva:

1. Odsustvo pamćenja: X(s, t) ne ovisi o broju i načinu događanja događaja A prije vremena s

2. Homogenost u vremenu: Slučajne varijable X(s, t) su za nepreklapajuće vremenske intervale [si, ti] međusobno nezavisne i ovise samo o dužini intervala ti – si

3. Regularnost: Posmatrajmo beskonačno kratak vremenski interval h. Neka je vjerovatnost pojave tačno jednog događaja unutar intervala h jednaka

Vjerovatnost pojave više od jednog događaja unutar intervala h je jednaka:

Događaji su regularni, tj. ne mogu se dogoditi dva događaja A u istomtrenutku. Parametar λ opisuje srednju učestalost pojavljivanja događaja A.o(h) je beskonačno mala sa osobinom:

Svaka slučajna varijabla Poissonovog procesa X(ti) mjeri broj realizacija događaja A u intervalu dužine ti.

Def. 1: Proces brojanja X(t) se zove Poissonov proces s intenzitetom λ > 0, ako za njega vrijede svojstva odsustva pamćenja, homogenosti u vremenu i regularnosti.

Funkcija vjerovatnosti slučajne varijable X(t) Poissonovog procesa data je sa:

Osobine Poissonovog procesaSvojstvo 1: Neka je T slučajna varijabla koja prima vrijednosti vremena između dvadogađaja Poissonovog procesa. Tada je:

P(T > t) = P {0 dogadjaja u vremenu t}=

Funkcija raspodjele slučajne varijable T je data sa:

a odgovarajuća gustina raspodjele:

Svojstvo 2: Zbir dvaju nezavisnih Poissonovih procesa s intenzitetima λ1, λ2 je Poissonov proces s intenzitetom λ1+ λ2.

Svojstvo 3: Sistemi sa Poissonovim procesom dolazaka imaju osobinu da, u prosjeku, jedinice koje dolaze u sistem „doživljavaju” stanje u sistemu na isti način kao i vanjski posmatrači koji posmatraju sistem u proizvoljnim vremenskim trenucima. Drugim riječima, udio vremena koji jedinice koji pristižu u sistem nalaze sistem u stanju α je tačno jednako udjelu vremena u kojem je sistem zaista u stanju α .Ova osobina naziva se PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages), i karakteristična je za Poissonov dolazni proces.

Svojstvo 4: Eksponencijalna raspodjela koja opisuje međudolazna vremena Poissonovog dolaznog procesa ima tzv osobinu odsustva memorije koja se formalno izražava na sljedeći način:

Za svako x, y ∈(0,∞) vrijedi P(X > x + y| X > x) = P(X > y) .

Markovljevi lanciMarkovljevi procesi su oni stohastički procesi čije buduće stanje ovisi samo o trenutnomstanju. Ova osobina naziva se svojstvo odsustva pamćenja. Isto svojstvo ima i Poissonovproces, pa je Poissonov proces posebna vrsta Markovljevog procesa. Markovljevi procesimogu imati diskretan ili kontinualan skup stanja, pa razlikujemo DTMC (Discreet TimeMarkov Chain) – Diskretne Markovljeve lance, te CTMC (Continious Time MarkovChain) – kontinualne Markovljece lance.

Markovljevi lanci sa diskretnim parametrom (Homogeni Markovljevi lanci)Neka Markovljev lanac {Xn, n ≥ 0} ima skup diskretnih stanja E = {0, 1, 2, . . .}. Oznaka Xn = i neka znači da se Markovljev lanac u n-tom koraku nalazi u stanju i.Za opći Markovljev lanac vrijedi sljedeće:

Vjerovatnost P(Xn+1 = j | Xn = i) zovemo prelaznom vjerovatnošću iz stanja in u stanje jn+1.

Def. 1: Prelaz iz stanja i u koraku n - 1 u stanje j u koraku n opisan je prelaznom vjerovatnošću:

Prelazna vjerovatnosti je član matrice prelaznih vjerovatnosti na mjestu (i, j).Matrica prelaznih vjerovatnosti u n-tom koraku je:

Markovljevi lanci sa kontinualnim parametromAko dopustimo da proces promijeni svoje stanje u bilo kojem trenutku u vremenu i akobuduće stanje procesa ovisi samo o sadašnjem, takav proces zovemo Markovljev lanackontinualan u vremenu (CTMC).

Def. 1: Slučajni proces s diskretnim stanjima X(t) je Markovljev lanac kontinualan u vremenu ako za sve brojeve n ∈ N, i svaku sekvencu t1, t2, . . . , tn, tn+1 takvu da je t1 < t2 < . . . < tn < tn+1 vrijedi:

Def. 2: Neka su s i t vremena iz parametarskog skupa Markovljevog lanca kontinualnog u vremenu. Uslovna vjerovatnost:

zove se prelazna vjerovatnost Markovljevog lanca iz stanja i u stanje j .

Matrica sastavljena od elemenata se zove matrica prelaznih vjerovatnosti Markovljevoglanca kontinualnog u vremenu.

Proces se u nekom vremenskom trenutku t može nalaziti samo u jednom stanju. Zbir vjerovatnosti prelaza iz jednog stanja u sva sljedeća moguća stanja jednak je 1, tj.:

Dijagram stanja CTMCCTMC se grafički opisuju pomoću dijagrama stanja. Na dijagramu stanja, krugovima suprikazana stanja –vrijednosti koje uzima Markovljev proces, a strelicama između krugovasa dodijeljenim vrijednostima označava se gustoća prelaza. Sa dijagrama stanja se odmahmože očitati matrica Q i riješiti stacionarne vjerovatnosti sistema. Primjer dijagramastanja za CTMC je dat na slici:

Proces rađanja i umiranjaProces rađanja i umiranja je poseban je slučaj Markovljevog lanca. U takvomMarkovljevom lancu dopušteni su prelazi samo u prva susjedna stanja, viša ili niža.Prelaz u prvo više stanje zovemo rađanje, a prelaz u prvo niže stanje zovemo umiranje.Intenzitete prelaza λn i μn nazivamo intenzitetima rađanja i umiranja, respektivno.

Osnovni sistemi posluživanjaSistem posluživanja je sistem u koji pristižu određeni entiteti-klijenti i traže uslugu.Klijenti stižu ograničenom brzinom, a sistem ima neki kapacitet davanja usluga.U početku posmatramo jednostavan sistem posluživanja. U njemu vrijedi jednostavnopravilo da prva jedinica koja pristigne u sistem biva poslužena prva. To je princip

posluživanja FIFO (First In FirstOut). Sistem posluživanja se sastoji od memorije iposlužiteljskog dijela, kako je prikazano na slici:

Jedinice koje dolaze u sistem posluživanja ne moraju odmah po dolasku biti posluženezbog toga što poslužiteljski dio može biti zauzet posluživanjem drugih jedinica. Nekejedinice moraju čekati dok ne dođu na red za obradu.Poslužiteljski dio se sastoji od jednog ili više poslužitelja. Poslužitelji mogu raditi uparaleli, seriji ili kombinovano.

Littleova formulaNeka je α (t) neki stohastički proces koji opisuje broj jedinica koje dolaze na sistem, aβ (t) neka je proces koji opisuje broj posluženih jedinica u poslužitelju. U nekomtrenutku t nas zanima ukupan broj jedinica u sistemu posluživanja N(t). Ovaj broj jejednak:

Ukupno vrijeme koje su jedinice provele u sistemu posluživanja do trenutka t podijeljenos ukupnim brojem jedinica koje su došle u sistem posluživanja do trenutka t je jednakoprosječnom vremenu koje su jedinice provodile u sistemu. U stacionarnom stanjudobivamo:

Ovaj rezultat se zove Littleova formula. Ona se može napisati u sljedećim oblicima:

Nq označava prosječan (očekivani) broj jedinica u memoriji, a Ns prosječan broj jedinicau poslužiteljskom dijelu. Pri tome vrijedi:

Sistem posluživanja M|M|1U sistemu posluživanja M/M/1, poslužiteljski dio se sastoji od jednog poslužitelja.Memorija je beskonačnog kapaciteta. Jedinice dolaze u sistem s međudolaznim vremenima raspodijeljenim po eksponencijalnoj raspodjeli s parametrom λ. Vrijeme obrade jedinice je eksponencijalno raspodijeljeno s parametrom μ.

Dijagram stanja sistem posluživanja M|M|1

Vjerovatnost da se u sistemu nalazi n jedinica:

Stacionarne vjerovatnosti su opisane geometrijskom raspodjelom.Srednji broj jedinica u sistemu posluživanja naći ćemo formulom:

Srednje vrijeme koje jedinice provode u sistemu posluživanja

računamo pomoću Littleove formule: .

Srednje vrijeme posluživanja jedinice je određeno parametrom eksponencijalne

raspodjele μ i jednako je: .

Srednje vrijeme čekanja u memoriji: .

Srednji broj jedinica u memoriji: .

Sistem posluživanja M|M|m – Erlangova C formulaPosmatrajmo sada sistem s beskonačno velikom memorijom i m poslužitelja koji rade uparaleli. Dijagram stanja je prikazana na slici:

Razlog što je intenzitet posluživanja proporcionalan broju jedinica u sistemu za N(t) ≤ mje taj što je u tim stanjima aktivno tačno onoliko poslužitelja koliko je jedinica u sistemu.

Sistem posluživanja M|M|m|m – Erlangova B formulaSistem posluživanja M/M/m/m ima tačno m poslužitelja i nema sposobnost stavljanjajedinica u čekanje. Ovo je tipičan primjer sistema s gubicima kojim opisujemo mreže sa komutacijom krugova. Primjer ovakvog sistema posluživanja je prenosni vod kapaciteta m govornih kanala. Dijagram stanja ovog sistema posluživanja prikazan je na slici

Vjerovatnost gubitaka jednaka je vjerovatnosti da su svi poslužitelji zauzeti, tj. da je brojjedinica u sistemu posluživanja m.

Posljednji izraz se zove Erlangova B formula. Ona vraća vjerovatnost odbijanja jedinicekoja je došla na posluživanje. Ovu formulu označavamo E1,m(λ/μ).

Napravio: Tarik Jažić