Download pdf - Tfc Cassio Cristiano Giordano Diadema Sp 2010

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

INSTITUTO DE MATEMÁTICA

LANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino

"A GEOMETRIA NA PRÁTICA ESPORTIVA: EXPLORAÇÕES A

PARTIR DE MÚLTIPLAS TECNOLOGIAS”

CÁSSIO CRISTIANO GIORDANO

DIADEMA/SP

2010

CÁSSIO CRISTIANO GIORDANO

GEOMETRIA NA PRÁTICA ESPORTIVA: EXPLORAÇÕES A PARTIR DE MÚLTIPLAS TECNOLOGIAS"

Trabalho Final de Curso apresentado à Coordenação do Curso de Pós-Graduação da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do título de Especialista Lato Sensu em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática.

Aprovada em ___(mês)_______de ___(ano)___

BANCA EXAMINADORA

_______________________________________________________________ Prof. MSc. Camilla Neres Peixoto - Orientador

UAB/Fundação CECIERJ

_______________________________________________________________ Prof. Nome

Sigla da Instituição

_______________________________________________________________ Prof. Nome

Sigla da Instituição

DEDICATÓRIA

Dedico esse trabalho aos meus pais, Sebastião Giordano e Aurora Alves Giordano, a quem devo tudo que sou, à minha esposa Valmiria Marli Luiz, pelo seu carinho e compreensão, e aos meus filhos, Vitor Luiz Giordano e Flavia Luiz Giordano, por tantas alegrias compartilhadas.

AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus alunos e aos professores da Escola Estadual Professor José Calvitti Filho, que contribuíram direta ou indiretamente para a conclusão deste trabalho.

RESUMO

Este trabalho tem como objetivo apresentar uma abordagem das Geometrias Espacial, Plana e Analítica através da utilização de novas tecnologias, com a elaboração de uma webquest e o desenvolvimento de atividades com softwares de Geometria Dinâmica, abordando o tema: práticas esportivas. Usamos o recurso da webquest, os softwares Régua e Compasso e GeoGebra, além de ferramentas disponíveis na Internet. Através do desenvolvimento do presente estudo, foi possível observar que contextualização do estudo da Geometria pode ser promovida com o emprego de recursos da informática, com o objetivo de tornar a aprendizagem mais dinâmica e atrativa aos alunos, resgatando o valor lúdico e utilitário da Geometria, campo da Matemática tão desprestigiado no ensino brasileiro nas últimas décadas, com o efeito ainda sentido do MMM (Movimento Matemática Moderna). Palavras–chave: Ensino de Geometria, Geometria Dinâmica, Webquest Educacional.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Posição relativa entre circunferências, em GeoGebra..............15 Figura 2: Parábolas e o drop kick do rúgbi...............................................18 Figura 3: Quadra de basquete..................................................................30 Figura 4 : A tabela de basquete.................................................................31 Figura 5 : O drop kick do rúgbi...................................................................32 Figura 6 : A disposição dos jogadores no campo de rúgbi........................33

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 06 1.1 Justificativa ...................................................................................................... 06

1.2 Objetivos ......................................................................................................... 06

1.3 Metodologia ..................................................................................................... 07

1.4 Organização do Trabalho ................................................................................ 07

2 PRESSUPOSTOS TEÓRICOS ............................................................................ 08 2.1 O ensino de Matemática e Geometria ............................................................. 08

2.2 As novas tecnologias e o ensino de Matemática e Geometria ........................ 09

2.2.1 Sobre as aplicações das novas tecnologias ............................................. 10

2.2.2 As novas tecnologias no Ensino de Geometria ........................................ 11

3 PROPOSTAS DE ATIVIDADES PARA O ENSINO DE GEOMETRIA .................. 13

3.1 Atividade I: Softwares de GD e análise esportiva ............................................... 13

3.2 Atividade II:Softwares de GD na abordagem interdisciplinar de um filme ....... 16

3.3 Atividade III: A triangulação no futebol .............................................................. 20

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 24

5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 26

APÊNDICE A ............................................................................................................. 30

APÊNDICE B ............................................................................................................. 32

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1 INTRODUÇÃO

1.1 Justificativa

Percebemos, através de nossa experiência docente em sala de aula, que a maioria dos alunos no Ensino Médio apresenta grande defasagem na aprendizagem de Geometria, e que, embora existam muitos recursos didáticos para explorar a Geometria, a maioria dos professores alega desconhecê-los, ou não se sentem seguros para tentar aplicá-los.

Esse tema pode ser trabalhado de forma contextualizada com o aluno, em nosso caso focalizando os esportes, pois está presente de forma significativa em seu cotidiano, podendo motivá-los a uma nova e mais profunda leitura da realidade, tendo a Matemática como instrumento de análise e interpretação de suas vivências.

Diariamente, observamos que os assuntos mais abordados no ensino de Matemática nas escolas são aqueles relacionados ao Cálculo e Álgebra, sendo a Geometria, em geral, relegada a um segundo plano, trabalhada de modo superficial, não sendo explorada em todas as suas possibilidades.

Esta pesquisa busca, através de justificativas teóricas e sugestões de atividades, orientar o trabalho do professor, propondo um ensino de Geometria sob uma nova perspectiva, rompendo com a abordagem tradicional, que geralmente é baseada no exemplo, na repetição de exercícios, na memorização fórmulas e na ausência de vínculos com o dia a dia do aluno.

Para tanto buscamos preparar e apresentar propostas de ensino inovadoras, contextualizadas com o tema esportes, e que possam propiciar o uso de tecnologias nas aulas de Geometria do Ensino Médio.

1.2 Objetivos

Nossos principais objetivos com esta pesquisa são: analisar estratégias de ensino diversificadas e propor situações de ensino de conteúdos de Geometria para o Ensino Médio, com emprego de múltiplos recursos didático-tecnológicos, aplicados ao estudo deste campo da Matemática no contexto das práticas esportivas. Especificamente gostaríamos de conscientizar os professores sobre a necessidade de adotar práticas de ensino diversificadas em Geometria, e ao mesmo tempo, instrumentalizá-los nesse estudo, propondo atividades norteadas pelo emprego de variados recursos didático- tecnológicos.

Através deste trabalho, pretendemos, ainda, abordar quais caminhos auxiliariam o professor em sua prática ao trabalhar este tema. Queremos então:

• Subsidiar o professor em sua prática pedagógica;

• Apontar vantagens ao trabalhar conceitos matemáticos, utilizando novas tecnologias;

• Mostrar algumas possibilidades de exploração geométrica nas práticas esportivas;

• Apresentar recursos (tecnológicos ou materiais) que podem ser utilizados na abordagem do tema proposto;

• Encorajar o professor a capacitar-se na utilização de softwares de Geometria Dinâmica (GD) e assim utilizá-los em suas aulas.

1.3 Metodologia

Nosso trabalho não envolve pesquisa de campo ou aplicação prática de alguma atividade, pretendemos desenvolver algumas propostas de atividades para apoiar o professor que

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deseja usar as novas tecnologias em sala de aula para ensinar Geometria. Nosso foco será o ensino de Geometria no Ensino Médio, mas nada impede o professor de adaptar nossas sugestões para o Ensino Fundamental. Além do que queremos descobrir novas atividades, situações de aprendizagem, situações problemas, envolvendo as novas tecnologias para assim melhorar a interação aluno – professor e aluno – conhecimento, pois quando tornamos o estudo mais interessante podemos também tornar a aprendizagem mais fácil.

Para a elaboração das atividades procuramos usar diversas tecnologias, tais como: softwares de GD, applets, webquest e vídeos disponíveis na Internet. Todas as ferramentas tecnológicas que utilizamos em nosso trabalho são as originárias dos recursos computacionais.

Nossas propostas de atividades trazem sugestões de trabalho variadas, envolvendo os conteúdos de Geometria, as novas tecnologias e o tema práticas esportivas.

1.4 Organização do Trabalho Este trabalho está subdividido em quatro capítulos.

O primeiro capítulo apresenta a introdução, com justificativa, objetivos, metodologia e organização do trabalho.

No capítulo dois temos uma breve revisão de literatura a respeito do ensino de Matemática e Geometria, onde pesquisamos a importância e as dificuldades encontradas no ensino de ambas, bem como outra breve revisão da literatura referente ao uso das novas tecnologias no ensino de Matemática.

No capítulo três temos as propostas de atividades, organizadas de acordo com a seguinte estrutura: autor, tema, conteúdo, tecnologia, pré-requisito, objetivos, metodologia, atividade e dicas para o professor. Nestas atividades o professor terá uma visão geral da proposta, por isso criamos algumas atividades, sugestões e dicas e colocamos no apêndice desta pesquisa. Assim podemos delinear melhor cada proposta, para que não restem dúvidas a respeito de seu desenvolvimento em sala de aula. Desta forma, oportunamente podemos mostrar todas as resoluções das atividades, as construções em softwares de GD detalhadamente (quando for o caso), as sugestões semelhantes à apresentada, que podem ser adaptadas pelo professor em sua aula. No item DICAS PARA O PROFESSOR, apresentamos também uma breve descrição sobre a tecnologia empregada para melhor auxiliá-lo na maneira como pode obter e usar a tecnologia aplicada à atividade proposta.

O quarto capítulo traz nossas considerações finais.

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2 PRESSUPOSTOS TEÓRICOS

2.1 O ensino de Matemática e Geometria

Compreendida por muitos como uma linguagem, a Matemática fica, sob essa ótica, reduzida a um instrumento a serviço de outras ciências, refletindo uma visão positivista de produção do conhecimento. A Geometria, por sua vez, sob os efeitos do Movimento de Matemática Moderna, reduzida a um instrumento de mera visualização de informações matemáticas, submetida à Álgebra, foi perdendo espaço na produção didática. Pavanello (1989, p.15) afirma que:

Em suma, o tratamento não rigoroso dado à Geometria Euclidiana, o apelo que esta faz à visualização – atrelando seu estudo a duas ou três dimensões e induzindo oticamente certos resultados – e sua “submissão” à Álgebra, têm sido os motivos matemáticos invocados para a diminuição do espaço reservado à Geometria nos currículos escolares dos vários níveis e sua substituição pela Álgebra e pelo Cálculo.

Contudo, essa concepção tem mudado nos últimos anos, através de um claro retorno ao concreto e aplicável. Sobre o reflexo dessa mudança na produção de livros didáticos, tem crescido a preocupação dos autores com a construção de conceitos e participação ativa dos alunos na produção do conhecimento, valorizando a visualização, em detrimento do processo demonstrativo altamente formal e de difícil assimilação para os estudantes. Sobre esse aspecto, Pereira (2001, p.65) afirma:

Por outro lado, em se considerando o levantamento a partir dos diagnósticos, nesta pesquisa, que confirmam um insatisfatório desempenho dos alunos, e retomando algumas considerações sobre o livro didático, em relação à prioridade que lhe é atribuída no desenvolvimento dos conteúdos, nota-se que o processo – demonstrativo – muito marcante no MMM não é um elemento de preocupação didática nos livros escolares. Quando não são demonstrados em alguns Teoremas Elementares, os conteúdos geométricos são acondicionados em finais dos específicos da Matemática.

Como professores, notamos que a abordagem da Matemática, como estrutura cognitiva formal, limita seu ensino a um grupo de alunos muito reduzido, que apresentam afinidade e motivação intrínseca por ciências exatas, ao passo que emprego de recursos didáticos que favorecem a visualização em situações contextualizadas contempla uma parcela mais ampla do corpo discente

Segundo Pavanello (1989, p.5), o ensino da Geometria lenta e gradualmente foi desaparecendo do currículo real de Matemática nas escolas, o que tornou os entes matemáticos desprovidos de realidade e, portanto, sem significado nos contextos de situações problema. Isso acarretou na impossibilidade de aplicá-los conscientemente, de concretizá-los numa simulação da vida real. Ela acrescenta (p.7) que o distanciamento da Geometria do currículo praticado nas escolas públicas foi tamanho a ponto de muitos professores proporem a separação formal da mesma das aulas de Matemática, constituindo disciplina independente.

Seu trabalho, publicado há duas décadas, indica uma fragmentação entre o ensino dos diversos campos de estudo matemático que ainda é percebida na sala de aula em nossos dias. Tal resistência ao ensino da Geometria é reforçada, em parte, por dificuldades específicas dos alunos do Ensino Médio.

Pereira (2001, p.63) afirma que após o Movimento de Matemática Moderna perder sua influência na produção didática a Geometria assumiu o papel de subsidiar a construção conceitual a partir da visualização de propriedades tanto geométricas quanto algébricas

Sobre esse aspecto, Alves (2004) destaca que o processo ensino-aprendizagem esbarra na natural deficiência dos mesmos em visualizar características e propriedades

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geométricas. Para ele, além de sanar, parcialmente, essas dificuldades, os softwares de GD facilitam a interdisciplinaridade e contextualização das estratégias didáticas da Educação Matemática.

2.2 As novas tecnologias no ensino de Matemática e Geometria

Quando falamos de tecnologia, a maioria de nós acaba imaginando primeiramente o computador, com seus softwares, sites, planilhas eletrônicas, e tudo mais que dele provem. Entretanto, devemos lembrar que também existem outras tecnologias que podem nos auxiliar em sala de aula; tais como: vídeos, as calculadoras, jogos eletrônicos, áudios, lousas digitais, e até mesmo os materiais manipuláveis já prontos ou confeccionados pelos alunos ou professores.

Podemos dizer então que, sobre as tecnologias na Educação Matemática, temos muitas opções, o que torna muito importante a escolha correta de cada tecnologia que pretendemos utilizar, de acordo com o que queremos ensinar, quais são os nossos objetivos e qual a disponibilidade da tecnologia a ser empregada. Estas escolhas, bem feitas, tornarão as aulas de Matemática um sucesso ou não, pois as tecnologias serão realmente úteis se, através delas, conseguirmos alcançar os nossos objetivos de ensino, como por exemplo, o objetivo mais importante: o desejo de que nossos alunos aprendam o conteúdo que estamos explicando.

Outro ponto importante a ressaltar é que muito se fala em tecnologias para o ensino de Matemática atualmente, entretanto nem sempre é fácil dispor destas tecnologias, entender a melhor forma de aplicá-las em sala de aula e saber como elas funcionam.

No início do curso de Pós–Graduação em Novas Tecnologias Para o Ensino de Matemática, ao participar dos fóruns das disciplinas, conseguimos observar nos relatos das experiências de nossos colegas as dificuldades e os benefícios que encontravam usando as tecnologias em suas aulas. As dificuldades que mais chamaram nossa atenção foram: a falta de conhecimento sobre as tecnologias e a de que muitas escolas ainda não tinham um bom laboratório de informática, salas de vídeo ou recursos tecnológicos disponíveis. Muitos se queixavam também que quando tinham algum material disponível, ou havia para todos os alunos, ou então seu uso era limitado, o que, às vezes, impossibilitava a sua utilização.

Nos laboratórios de informática, os professores enfrentavam problemas semelhantes: quando havia os computadores, não dava para todos os alunos ou as máquinas não tinham configuração suficiente para desenvolver as atividades pretendidas por eles. Então, muitos assumiram que preferiam não trabalhar com as tecnologias por ter que enfrentar tantas dificuldades.

Entretanto, devemos também mostrar o outro lado da situação. Quando os professores começaram a perceber o quanto as tecnologias trariam de benefícios para suas aulas, procuraram seus diretores, ou coordenadores pedagógicos, em busca de uma solução para que seus alunos também tivessem a oportunidade de aprender Matemática por meio de novas tecnologias.

Os principais benefícios que relatavam, quando em suas aulas usavam algum tipo de tecnologia, era a maior participação dos alunos durante a aula. A experiência de aprender de forma mais dinâmica e interessante também ajudava os alunos resolver problemas de outras formas, propiciando muitas vezes a melhor compreensão de um conteúdo mais abstrato, a interação entre a realidade e a Matemática. Vivendo estas experiências é que podemos confirmar que Gravina (1996, p. 2) tem razão ao afirmar que:

Vemos emergir uma nova forma de ensinar e aprender Geometria: a partir da exploração experimental viável somente em ambientes informatizados, os alunos conjecturam e, com o feedback constante oferecido pela máquina, refinam ou corrigem suas conjecturas, chegando a resultados que

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resistem ao “desenho em movimento”, passando então para a fase abstrata de argumentação e demonstração matemática.

Sobre estes importantes benefícios dos ambientes informatizados podemos lembrar que os softwares de GD, por exemplo, possuem um importante princípio o Princípio da Propriedade Mantida (PPM), este permite que os alunos percebam as propriedades dos desenhos geométricos.

Gravina (1996, p.6-7), sobre o PPM, cita um exemplo, falando sobre a estabilidade de um quadrado feito ao acaso juntando – se segmentos, e outro quadrado feito a partir das propriedades que o definem, com este simples exercício os alunos tem a chance de perceber a diferença entre as duas construções ao movimentar os desenhos pela área de trabalho dos softwares de GD. Assim, eles podem ver que as propriedades só são mantidas quando são respeitadas as propriedades que definem o polígono, conseqüentemente percebem que existe um quadrado apenas quando ele é construído levando-se em conta as propriedades que o definem.

Por estes e outros motivos que ainda serão vistos em nossa pesquisa, é que percebemos a importância de aprender como usar cada para ensinar Geometria.

A educação de nível médio deve ser contextualizada e procurar a interdisciplinaridade sempre que possível. Os trabalhos de campo aqui apresentados buscaram compreender de que forma o uso do computador pode colaborar para esta contextualização e como um software de geometria dinâmica pode auxiliar na melhoria da habilidade de visualização no processo de ensino-aprendizagem da geometria (ALVES, 2004, p.188)

Isotani (2006, p.122) destaca a importância em imprimir dinamismo no estudo a Geometria, materializando a valorização desse aspecto através da introdução de softwares de GD. Essa proposta se contrapõe a uma abordagem mecânica praticada em salas de aulas, que não destaca os conceitos envolvidos nas construções. Ele afirma que na aula tradicional de Geometria o professor geralmente enuncia conceitos, definições e propriedades, que o aluno procura reproduzir, ao passo que através de softwares de GD o aluno faz descobertas, formula e testa hipóteses, revelando relações geométricas intrínsecas que poderiam passar despercebidas na abordagem estática.

2.2.1 Sobre a aplicação das novas tecnologias

Para usar as tecnologias, sejam elas quais forem, é necessário que o professor preste atenção a alguns detalhes importantes para um bom aproveitamento da tecnologia no ensino de Matemática.

Primeiramente devemos considerar que é preciso ter domínio sobre as formas de aplicação, modo de uso e propriedades da tecnologia escolhida. Para isso podemos analisar os seguintes elementos:

• Disponibilidade e características técnicas;

• Modo de instalação (no caso de jogos, softwares, televisores, ou outros aplicativos para computadores)

• E avaliar se há necessidade de alguma disposição especial para seu funcionamento.

Além deste detalhes mais técnicos, precisamos levar em consideração outros elementos, por exemplo:

• Garantir que todos os alunos possam visualizar ou manipular a tecnologia que se está usando, e tê-la disponível durante todo o tempo em que a atividade for realizada;

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• Orientar seus alunos a respeito de sua funcionalidade, para que ocorra o melhor aproveitamento da atividade proposta, pois em algumas tecnologias, como softwares e jogos, se não forem bem apresentados, os alunos podem ficar com dúvidas sobre o funcionamento e conseqüentemente essas dúvidas atrapalharão o andamento da aula, já que o foco deve ser a aprendizagem, e não a tecnologia.

• E principalmente, tomar o cuidado de observar se a atividade, mais a tecnologia escolhida, bem como a abordagem pedagógica empregada durante a aula estão atingindo os objetivos esperados, ou seja, não adianta ser interessante, diferente e chamar a atenção dos alunos, se a experiência que aquela tecnologia usada para realizar a atividade apresentada em nada acrescentar para a aprendizagem dos alunos.

2.2.2 As novas tecnologias no ensino de Geometria

Nas atividades, I e III, será estudada uma proposta de abordagem de Geometria Analítica, instrumentalizada por software de GD Régua e Compasso e GeoGebra, contextualizada na prática esportiva.

Muito se fala hoje em dia, na Educação, em se colocar o aluno na condição de protagonista do processo ensino-aprendizagem. Para tanto, é necessário que ele participe da construção do conhecimento, se apropriando dele de forma pessoal, estruturando-o a partir de suas vivências.

A exploração dos softwares educacionais de Matemática, enquanto ferramentas de aprendizagem, tem se mostrado poderosa nas abordagens cognitiva, comportamental e atitudinal.

Sobre a construção do conhecimento numa concepção piagetiana, utilizando o software livre GeoGebra, por exemplo, Brandt (2007, p.02) afirma que seu uso adequado promove, mediante observações e atuações pessoais, fundamentadas em percepção, lógica e vivências singulares do aluno, uma sólida aprendizagem.

Aqui, o professor sai da condição de transmissor de um conhecimento estático e cristalizado para o papel de mediador, aberto a inovações, incluindo, obviamente, novas tecnologias.

A referida autora provoca profundas reflexões sobre nossas práticas em sala de aula, despertando o desejo de mudança, quer seja no uso de softwares complexos ou no simples emprego da calculadora. Todos nós estamos cansados das tradicionais aulas expositivas, seguidas de extensas listas de exercícios, ainda mais quando se trata de Matemática. O que será que nossos alunos pensam delas? O que será que eles realmente estão apreendendo? Qual a utilidade disso tudo em suas vidas? Como poderíamos motivá-los?

Ao mesmo tempo em que fazemos essas indagações, nos lembramos das experiências malogradas, das tentativas de criar algo novo para o aluno, e de como foram recebidas pelos alunos, muitas vezes com frieza, muitas vezes com indiferença e algumas até com risos.

No entanto, faz parte do ofício do professor insistir, continuar tentando, não se abater diante de alguns comentários infelizes ou até mesmo maldosos, afinal de contas, nossos alunos são crianças ou adolescentes e isso é natural em seu processo de desenvolvimento. Então, continuamos buscando alternativas, uma abordagem mais agradável e objetiva, que desperte o interesse dos alunos e lhes seja útil.

Sobre os desafios do professor no uso da informática educativa, Almeida (2000) destaca a necessidade de programas de formação continuada. É importante que o professor, ao lecionar Geometria, se sinta seguro quando ao domínio conceitual da

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disciplina, bem como confiante quanto ao uso do software. Mesmo assim, professor nunca estará plenamente pronto, pois segundo ele:

Mesmo o professor preparado para utilizar o computador para a construção do conhecimento é obrigado a questionar-se constantemente, pois com freqüência se vê diante de um equipamento cujos recursos não conseguem dominar em sua totalidade. Além disso, precisa compreender e investigar os temas ou questões que surgem no contexto e que se transformam em desafios para sua prática – uma vez que nem sempre são de seu pleno domínio, tanto no que diz respeito ao conteúdo quanto à sua estrutura (ALMEIDA, 2000, p.46)

Nesse sentido, o GeoGebra se mostra eficaz. De fácil manipulação, estimula o aluno a explorar, testar suas hipóteses sem medo do erro, visualizando resultados.

Brandt (2007, p. 6) afirma que, com o suporte do software GeoGebra, a linguagem científica da Matemática, muitas vezes árida para o aluno, pode fazer maior sentido, uma vez que ele vê surgir no monitor do computador aquilo que idealiza de forma imediata. Através do GeoGebra, o professor com uma postura crítico reflexiva na prática docente desenvolve seu trabalho de forma cooperativa, tendo no aluno um parceiro na construção do conhecimento.

Hohenwarter (2007, p. 1) destaca que a característica mais relevante do GeoGebra é a percepção dupla dos objetos: cada expressão na janela de Álgebra corresponde a um objeto na zona de gráficos e vice-versa. Isso estabelece uma ponte entre duas áreas que, sob o efeito do Movimento de Matemática Moderna, se distanciaram tanto.

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3 ELABORAÇÃO DE ATIVIDADES PARA O ENSINO DE GEOMETRIA

3.1 ATIVIDADE I: Softwares de GD e análise esportiva

Introdução

Será estudada, nesta atividade, uma proposta de abordagem de Geometria Analítica, instrumentalizada por software de GD Régua e Compasso (ReC) e pelo GeoGebra, contextualizada na prática esportiva. Nela, o aluno abordará situações críticas de um jogo de um esporte escolhido por ele, apontando erro e propondo alternativa para os atletas envolvidos baseado numa representação desenvolvida nos softwares supracitados.

O público alvo dessa atividade, assim como das próximas, é o aluno do 3º ano do Ensino Médio de uma escola da rede estadual paulista. Ela consiste de uma sugestão de tarefas fundamentadas em nossa experiência docente, tanto em nível das dificuldades dos alunos desta série, quanto de seu interesse, manifesto em inúmeras ocasiões, pelos esportes (visto pela TV ou por eles mesmos praticados), bem como na bibliografia pesquisada

AUTOR: Cássio Cristiano Giordano

TEMA: Trajetória da bola e posicionamento do atleta para recebê-la ou interceptá-la, representados através de softwares de GD.

CONTEÚDO: Geometria Plana e Analítica.

TECNOLOGIA(S) ENVOLVIDA(S): softwares de Geometria Dinâmica Régua e Compasso (ReC) e GeoGebra.

PRÉ – REQUISITOS:

Conhecimento do sistema de coordenadas cartesianas, de posição relativa ponto/reta, ponto/circunferência, circunferência/circunferência, reta/circunferência, elipse e parábola, conhecimento técnico sobre o esporte escolhido, conhecimento técnico sobre o software escolhido.

OBJETIVOS:

Possibilitar análise e correção de posicionamento do atleta a partir do reconhecimento da trajetória, através da comparação da posição real e da ideal do(s) jogador(es) envolvido(s).

METODOLOGIA:

Apresentamos uma sugestão para o professor usar a prática esportiva preferida de seus alunos para ensinar Geometria Analítica. De forma interdisciplinar e por intermédio do uso de softwares de GD (ReC e GeoGebra) o aluno poderá transformar todas as informações pesquisadas por ele em experiências matemáticas no software, perceber a Geometria contida em cada situação, e assim aprender sobre conteúdos de Geometria Analítica. O aluno abordará situações críticas de um jogo de um esporte escolhido por ele, apontando erros e propondo alternativas para os atletas envolvidos, baseado numa representação desenvolvida nos softwares já mencionados.

ATIVIDADES:

O aluno, que estuda Geometria Analítica, deve ser orientado, na sala de informática da escola, através de softwares educativos livres (instalados e testados previamente pelo professor), a reconhecer e utilizar as ferramentas básicas do software escolhido. Essa

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orientação acontecerá na sala de informática da escola, através de softwares educativos instalados e testados previamente pelo professor de Matemática.

Paralelamente, deverá pesquisar sobre um esporte, obtendo informações sobre as medidas oficiais do espaço destinado à prática esportiva escolhida (campo, quadra, mesa, etc.), bem como regulamento específico do esporte. Nesse momento, contará com o apoio do seu professor de Educação Física e de Língua Portuguesa (eventualmente, de Língua Estrangeira, se obtiver textos em Inglês e Espanhol).

Nas escolas são comuns enquetes para subsidiar atividades de Estatística. Com elas, poderíamos apurar, por exemplo, que os quatro esportes que os alunos mais assistem são futebol, fórmula um, basquetebol e voleibol, enquanto os mais praticados são futebol, basquetebol, tênis de mesa e handebol.

O aluno deverá ver uma partida desses esportes, registrando lances ou jogadas que contribuíram para definição da mesma. A seguir, representará com escala definida, o espaço destinado a prática esportiva (campo/quadra/mesa). Registrará os lances capitais do jogo, determinará as coordenadas das posições ocupadas pelos jogadores, transportando coordenadas para um arquivo de ReC.

A turma será organizada em pequenos grupos (quatro alunos) estudará a partida, apontando erros, indicando alternativas disponíveis aos atletas nos momentos chave do jogo e justificará matematicamente suas opiniões.

Finalmente, os grupos apresentarão uma exposição de sua análise para a turma, na forma de seminário, utilizando o recurso do datashow, tendo como apoio do software ReC ou GeoGebra.

Uma atividade preliminar, a título de treino, pode ser elaborada envolvendo posição relativa entre duas circunferências, sendo uma delas a da cesta (cujo aro mede 45 cm de diâmetro, logo, 22,5 cm de raio) e outra, da bola de basquete (diâmetro 26 com, logo raio de 13 cm). Perguntas orientadoras de estudos podem se formuladas:

- Qual a distância entre os centros das duas circunferências, aro (c1) e bola (c2) para que a bota toque o aro por fora, resvalando levemente, mas não entrando na cesta? O aluno precisaria considerar que se dc1c2 = r1 + r2, temos caso de circunferência tangente externa.

- Qual a distância entre os centros das duas circunferências, aro (c1) e bola (c2) para que a bota toque o aro por dentro, resvalando levemente e entrando na cesta? O aluno precisaria considerar que se dc1c2 = │r1 – r2 │, temos caso de circunferência tangente interna.

- Qual a distância entre os centros das duas circunferências, aro (c1) e bola (c2) para que o atleta erre totalmente o arremesso, não “dando aro”? O aluno precisaria considerar que se dc1c2 ≥ r1 + r2, a bola passa por fora, sem tocar o aro.

O professor pode também optar pelo software GeoGebra, que mescla recursos geométricos e algébricos. Nesse software, ele pode utilizar, tanto para representar o aro quanto a bola, o recurso “círculo dado centro e raio” utilizando as medidas 22,5cm para o aro e 13 cm para a bola:

Na figura anterior, temos um caso de circunferência concêntrica, de centro A(0,0), uma interna não concêntrica, de centro C(2,3; 2,5), uma externa, detangente externa, de centro F(0; 35,5).

Uma das vantagens dessecoordenadas do ponto (num simples passar do mouse sobre ele) ou mesmo da circunferência.

Informações sobre as medidas da tobtidas através dos links: <<http://www.cbb.com.br/conheca_basquete/conheca_basquete_regras.asp

DICAS PARA O PROFESSOR:

Acesse o site: <http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/softwares/soft_geometria.php

Aproveite a oportunidade para baixar outros programas educativos de MateAcesse, através dele, o link

Nele, baixe o arquivo executável zirkel.jar. Sua máquina deve ter a linguagem Java habilitada. Caso não consiga executar o programa após instalá-lo, é bem provável que este seja o motivo. Neste caso, baixe e instale o “Java Runtime Envorinment<http://www.java.com/pt_BR/

Sobre software <http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/geogebra.install.html

Faça o download e instalação do arquivo executável disponível no endereço <http://www.geogebra.org/download/install.htm

O GeoGebra, como o Régua e Compasso, necessita da máquina Java instalada previamente.

Leia sobre os quatro esportes escolhidos por seus alunos. Consulte seus colegas de Educação Física.

Teste o software instalado. Sugira aos alunos a gravação em DVD de alguns lances do jogo. Isso pode ser feito em

Figura 1 Na figura anterior, temos um caso de circunferência concêntrica, de centro A(0,0),

uma interna não concêntrica, de centro C(2,3; 2,5), uma externa, de centro B(40,30) e uma tangente externa, de centro F(0; 35,5).

Uma das vantagens desse software consiste na facilidade em se obter as coordenadas do ponto (num simples passar do mouse sobre ele) ou mesmo da

Informações sobre as medidas da tabela e aro, assim como a quadra podem ser obtidas através dos links: <http://mundodobasquete.br.tripod.com/Quadra.htm

http://www.cbb.com.br/conheca_basquete/conheca_basquete_regras.asp

DICAS PARA O PROFESSOR:

http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/softwares/soft_geometria.php

Aproveite a oportunidade para baixar outros programas educativos de Matelink: <http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/

Nele, baixe o arquivo executável car.exe e, para rodá-lo em português, o arquivo . Sua máquina deve ter a linguagem Java habilitada. Caso não consiga executar o

lo, é bem provável que este seja o motivo. Neste caso, baixe e instale Java Runtime Envorinment” (JRE) disponível no seguinte endereço (em inglês):

http://www.java.com/pt_BR/>

software GeoGebra, acesse o site: fessores.uff.br/hjbortol/geogebra/geogebra.install.html>

Faça o download e instalação do arquivo executável disponível no endereço http://www.geogebra.org/download/install.htm>.

O GeoGebra, como o Régua e Compasso, necessita da máquina Java instalada

Leia sobre os quatro esportes escolhidos por seus alunos. Consulte seus colegas de

instalado. Sugira aos alunos a gravação em DVD de alguns lances do jogo. Isso pode ser feito em sites esportivos, como <http://espnbrasil.terra.com.br/agora

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Na figura anterior, temos um caso de circunferência concêntrica, de centro A(0,0), centro B(40,30) e uma

consiste na facilidade em se obter as coordenadas do ponto (num simples passar do mouse sobre ele) ou mesmo da

abela e aro, assim como a quadra podem ser http://mundodobasquete.br.tripod.com/Quadra.htm> e

http://www.cbb.com.br/conheca_basquete/conheca_basquete_regras.asp>.

http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/softwares/soft_geometria.php>.

Aproveite a oportunidade para baixar outros programas educativos de Matemática. http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/>

lo em português, o arquivo . Sua máquina deve ter a linguagem Java habilitada. Caso não consiga executar o

lo, é bem provável que este seja o motivo. Neste caso, baixe e instale ” (JRE) disponível no seguinte endereço (em inglês):

GeoGebra, acesse o site: >.

Faça o download e instalação do arquivo executável disponível no endereço

O GeoGebra, como o Régua e Compasso, necessita da máquina Java instalada

Leia sobre os quatro esportes escolhidos por seus alunos. Consulte seus colegas de

instalado. Sugira aos alunos a gravação em DVD de alguns lances espnbrasil.terra.com.br/agora>,

16

<http://globoesporte.globo.com/>, <http://esporte.uol.com.br/futebol/> ou mesmo em sites de vídeo não específicos como o <http://www.youtube.com/>.

Muitos alunos não têm intimidade com o computador, mas jogam simuladores de esportes em vídeo games, como PS3, Wii ou Xbox 360. Estimule sua participação durante os seminários.

3.2 ATIVIDADE II: Softwares de GD na abordagem interdisciplinar de um filme Introdução

A motivação inicial, pano de fundo para a atividade, é a Copa do Mundo de Futebol de 2010, na África do Sul. Entretanto, muitos trabalhos são tradicionalmente desenvolvidos envolvendo futebol em tempos de copa.

Assim, fugindo do lugar comum, envolvendo na discussão um tema mais profundo, como a política do Apartheid e a discriminação racial, que oferece sub-temas paralelos para um trabalho mais abrangente, partimos do Mundial de Rúgbi de 1995, também realizado na África do Sul.

Em se tratando de um filme motivador tão denso e complexo, cabe aqui uma abordagem multi e transdisciplinar. No entanto, a exploração em outras áreas é apenas sugerida, cabendo aqui somente o estudo referente à Geometria.


TEMA: Mundial de Rúgbi de 1995 na África do Sul e o Apartheid – uma abordagem interdisciplinar.

CONTEÚDO: Em Matemática: Geometria Plana e Analítica.

TECNOLOGIA(S) ENVOLVIDA(S): software de GD GeoGebra.

PRÉ–REQUISITOS:

Em Matemática: Conhecimento do sistema de coordenadas cartesianas, de posição relativa ponto/reta, reta/circunferência, reta/parábola, conhecimento técnico sobre o esporte escolhido, conhecimento técnico sobre o software escolhido.

OBJETIVOS:

Em Matemática: Possibilitar análise de lances capitais para a definição de uma partida de Rúgbi, instrumentalizada por software de GD.

METODOLOGIA:

Lembrando que nosso trabalho não envolve pesquisa de campo, desenvolvemos uma atividade para apoiar o professor que deseja usar as novas tecnologias em sala de aulas para ensinar Geometria.

Nosso foco será o ensino de geometria no Ensino Médio, mais especificamente o 3º ano do Ensino Médio, embora essa atividade deva ser desenvolvida em conjunto com professores de outras disciplinas.

É fundamental que o professor discuta o filme com seus alunos e que professores de outras disciplinas participem dessa discussão, senão juntos, ao menos em outras situações de aprendizagem paralelamente.

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ATIVIDADES:

Solicitar aos alunos pesquisa sobre as regras do rúgbi, incluindo medidas da bola, do equipamento necessário, do campo, bem como sobre campeonato mundial desse esporte, em 1995.

Exibir para os alunos o filme “Invictus”, baseado no livro “Playing the enemy”, de John Carlin, dirigido por Clint Eastwood, em 2009, com duas indicações ao Oscar e três ao Globo de Ouro, em 2010.

O filme relata a história real da primeira conquista sul-africana de um Mundial de Rúgbi (fato que se repetiria em 2007), sediado na própria África do Sul, em 1995, um ano após a eleição de Nelson Mandela para presidência, que vivera anos encarcerado sob o regime do Apartheid. A seleção da África do Sul era vista como um azarão, sem chances de conquista. Pior que isso, era vista pela maioria negra da população como um ícone do regime de segregação racial, com um time de brancos, num esporte das elites. Mandela apoiou o time, foi ao estádio, incentivou os jogadores indo aos treinos, conversando com François Pienaar, capitão da equipe, enfim, conseguiu mobilizar a nação, unindo negros e brancos na torcida pelo sucesso de seu país.

Cada disciplina realizará atividades específicas de sua área após exibição e discussão sobre o filme:

Sociologia: Esporte: alienação X conscientização.

Filosofia: Ética, cidadania, direitos civis, preconceito, discriminação, segregação e coerção.

História: Análise dos aspectos sócio-culturais, históricos e político-econômicos que envolvem os conflitos inter-raciais no continente africano, sobretudo o Apartheid.

Educação Física: Regras básicas do Rúgbi e prática esportiva.

Biologia: O mito das diferenças raciais: só existe uma raça dentre o Homo sapiens: a raça humana. Genética e evolução (ênfase no projeto Genoma Humano).

Física: Gravitação universal, cinemática enfocando lançamento vertical e oblíquo da bola.

Português: Redação – análise crítica do filme “Invictus”.

Geografia: Mapeando os conflitos inter-raciais africanos.

Matemática: Geometria Analítica – retas, circunferências e parábolas no rúgbi, com o suporte de software de GD.

Desenvolvendo Atividades de Geometria:

O professor deverá apresentar ao aluno, em datashow ou em folhas xerocadas, as dimensões do campo para prática do rúgbi (ver apêndice 3).

Os alunos deverão apresentar os resultados de suas pesquisas sobre as regras do esporte.

A seguir, o professor define um lance em especial para ser analisado: o pênalti ou drop kick. Ele vale 3 pontos e deve ser cobrado. A bola utilizada no jogo é oval (um pouco maior que a de futebol americano) pesando entre 400 e 440g, com tem 63 cm de circunferência no eixo maior, de no máximo 30 cm de comprimento e deve ser chutada sobre um travessão a 3 m do chão, situado entre duas traves distantes entre si em 5,65 m, do local onde foi cometida a infração. Se o local onde a penalidade for marcada estiver ao alcance dos postes, a equipe geralmente escolhe chutar e o chutador tentará chutar a bola

de modo que ela passe sobre omarcará três pontos. A equipe pode optar por não chutar ao gol.

Podemos, tanto em Física quanto em Matemática, considerar condições idéias na modelagem de problemas, com intuito de adequáalunos, desprezando, por exemplo, a resistência do ar, o vento, o efeito na bola, etc.

De maneira simplista, considerando o travessão paralelo ao gramado, podemos definir como equação da reta que contém o travessão: y = 3.

O professor pode apresentar ao aluno equações de 2º grau que caracterizem o lançamento da bola, nas quais o ponto mais elevado, ponto de máximo da função será

determinado em sua componente vertical pela expressão

horizontal pela expressão x

Pode, ainda, apresentar as equações de parábolas e, indicando uma das coordenadas do ponto máximo atingido pela bola, solicitar a outra. Ex:

x2 – 12x + 2y = 25

x2 – 8x + 2y = – 7

x2 – 4x + 2y = 3

x2 – 6x + 2y = – 4

x2 – 8x + 2y = – 13

Uma vez que a tarefa foi realizada em sala de aula, bem como na sala de informática, instrumentalizado pelo GeoGebra, o aluno deverá simular os lançamentos (tiros a gol) e confrontar com os resultados obtidoAnalítica. As parábolas acima citadas estão representadas na figura abaixo:

Exemplo de uma atividade envolvendo História, Filosofia e Matemática, realizada numa escola estadual paulista nesse ano:

sobre o travessão e entre os postes. Em caso de sucesso a equipe marcará três pontos. A equipe pode optar por não chutar ao gol.

Podemos, tanto em Física quanto em Matemática, considerar condições idéias na modelagem de problemas, com intuito de adequá-los ao nível de aprendizagem de nossos alunos, desprezando, por exemplo, a resistência do ar, o vento, o efeito na bola, etc.

De maneira simplista, considerando o travessão paralelo ao gramado, podemos definir como equação da reta que contém o travessão: y = 3.

fessor pode apresentar ao aluno equações de 2º grau que caracterizem o lançamento da bola, nas quais o ponto mais elevado, ponto de máximo da função será

determinado em sua componente vertical pela expressão yv = −

xv = a

b

2− .

Pode, ainda, apresentar as equações de parábolas e, indicando uma das oordenadas do ponto máximo atingido pela bola, solicitar a outra. Ex:

Uma vez que a tarefa foi realizada em sala de aula, bem como na sala de informática, instrumentalizado pelo GeoGebra, o aluno deverá simular os lançamentos (tiros a gol) e confrontar com os resultados obtidos em sala, através dos cálculos da Geometria Analítica. As parábolas acima citadas estão representadas na figura abaixo:

Figura 2

Exemplo de uma atividade envolvendo História, Filosofia e Matemática, realizada numa escola estadual paulista nesse ano:

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vessão e entre os postes. Em caso de sucesso a equipe

Podemos, tanto em Física quanto em Matemática, considerar condições idéias na de aprendizagem de nossos

alunos, desprezando, por exemplo, a resistência do ar, o vento, o efeito na bola, etc.

De maneira simplista, considerando o travessão paralelo ao gramado, podemos

fessor pode apresentar ao aluno equações de 2º grau que caracterizem o lançamento da bola, nas quais o ponto mais elevado, ponto de máximo da função será

a4

∆− sua componente

Pode, ainda, apresentar as equações de parábolas e, indicando uma das oordenadas do ponto máximo atingido pela bola, solicitar a outra. Ex:

Uma vez que a tarefa foi realizada em sala de aula, bem como na sala de informática, instrumentalizado pelo GeoGebra, o aluno deverá simular os lançamentos (tiros

s em sala, através dos cálculos da Geometria Analítica. As parábolas acima citadas estão representadas na figura abaixo:

Exemplo de uma atividade envolvendo História, Filosofia e Matemática, realizada

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Nome: _______________________________ Nº: __ 3ª Série __. Data: ___/___/___.

Avaliação de rendimento escolar interdisciplinar - Filme “Invictus”

1 - A história do filme “Invictus” ocorre em que local? a) E.U.A. b) Inglaterra c) África do Sul d) Sudão e) Cuba 2 - A história do filme ocorre em torno de um importante líder político: a) Fidel Castro b) Lênin c) Mandela d) Lula e) Evo Morales 3 - A equipe springboks tinha sua imagem associada a uma prática social negativa: a) Nazismo b) Apartheid c) Comunismo d) Capitalismo e) Pedofilia 4 - O líder político retratado no filme pretendia "unificar" o país que ele governava através de qual recurso: a) Educação b) Artes c) Ciência d) Esporte e) Política 5 - O filme “Invictus” é baseado num poema homônimo e pode ser usado tanto pelo político como pelo capitão do time, conforme trecho abaixo. O poema transmite a idéia de:

Por ser estreita a senda - eu não declino, Nem por pesada a mão que o mundo espalma;

Eu sou dono e senhor de meu destino; Eu sou o comandante de minha alma.

a) Luta política b) Luta social c) Superação econômica d) Superação pessoal e) Luta religiosa 6 - No filme, em dado momento, o presidente dá um excelente exemplo de político honesto quando: a) Estuda os nomes dos atletas. b) Acha seu salário elevado para realidade do país. c) Viaja para o exterior. d) Levanta cedo para fazer caminhada. e) Vai ao estádio assistir aos jogos da Copa do Mundo de Rúgbi 7 - Que interpretação você faz deste fragmento: "Estava pensando como alguém que fica 30 anos em um cubículo e quando sai, está pronto para perdoar”? 8 – Quando o time springboks recebe a taça no final da copa, ela é segurada por uma mão negra e outra branca. Qual é a mensagem transmitida? 9 - No jogo de rúgbi a penalidade ou drop kick vale 3 pontos e deve ser chutada sobre um travessão a 3 m do chão, situado entre duas traves distantes entre si em 5,65 m, do local onde foi cometida a infração. Cinco chutes numa partida lançam a bola em trajetória parabólica representada pelas equações. Em qual deles a bola atingiu a posição P (5,4)? a) x2 – 12x +2y = 25 b) x2 – 4x +2y = 3 c) x2 – 6x +2y = -4 d) x2 – 8x +2y = -13 e) x2 – 8x +2y = -7 10 - Considerando a altura do travessão igual a 3 m, e considerando ainda que ele é paralelo ao gramado, escreva a equação reduzida da reta que o contém. 11 - Um lançamento é efetuado e a bola descreve trajetória conforme a equação y = - 2x2 + 2x + 3. Qual a altura máxima atingida pela bola? 12 - A bola de rúgbi tem comprimento máximo de 30,0 cm no eixo maior, com uma circunferência total máxima de 77,0 cm. Adote π = 3,14. Considerando as dimensões máximas da bola, qual a excentricidade da elipse que representa sua forma?

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DICAS PARA O PROFESSOR

Acesse os sites abaixo para conhecer as regras do esporte: http://www.alunos.ipb.pt/~ee8470/index_2_regras.html e http://www.brasilrugby.com.br/.

Visite também o blog Rugby Brasil: http://rugbybr.wordpress.com/regras/.

Leia críticas sobre o filme, como a do site Cine Pop: http://www.cinepop.com.br/criticas/invictus_101.htm.

Sobre software GeoGebra, acesse o site: http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/geogebra.install.html.

Faça o download e instalação do arquivo executável disponível no endereço http://www.geogebra.org/download/install.htm.

Se não tiver a linguagem Java em seu computador, baixe e instale o “Java Runtime Envorinment” (JRE) disponível em http://www.java.com/pt_BR/ ou em http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/programs/jre-6u5-windows-i586-p-s.exe.

Teste o software instalado.

Não se esqueça de assistir o filme antes dos alunos, para não ser surpreendido por perguntas que denunciem seu desconhecimento sobre a História desse esporte.

3.3 ATIVIDADE III: A triangulação no futebol: um estudo com softwares de GD Introdução

Em tempo de Copa do Mundo o futebol acaba sendo tema de discussões, até mesmo para quem não se interessa muito pelo esporte.

No jogo da seleção brasileira do dia 20 de junho de 2010, contra a Costa do Marfim, o belo gol de Luis Fabiano, em triangulação com Kaká e Robinho foi centro das atenções. Veja uma matéria sobre o gol no link: <http://www.jornalnh.com.br/site/esportes/internacional,canal-14,ed-101,ct-1121,cd-266313,LUIS+FABIANO+VOLTA+A+MARCAR:+ACOMPANHE+E+COMENTE.htm> ou <http://espbr.com/noticias/luis-fabiano-desencanta-selecao-brasileira-ganha>.

Mas, o que é uma triangulação?

Esse será o tema desenvolvido nessa atividade, instrumentalizado pelo software Régua e Compasso (ReC).

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TEMA: Triangulação no Futebol, em tempos de Copa do Mundo, com o software Régua e Compasso.

CONTEÚDO: Geometria Plana e Analítica.

TECNOLOGIA(S) ENVOLVIDA(S): softwares de Geometria Dinâmica ReC e DVD, com datashow.

PRÉ – REQUISITOS:

Conhecimento do sistema de coordenadas cartesianas, de posição relativa ponto/reta, condições de alinhamento de três pontos, centros do triângulo, a saber, baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro, cálculo de determinante através da Regra de Sarrus, conhecimento técnico sobre o futebol, conhecimento técnico sobre o software escolhido.

OBJETIVOS:

Possibilitar análise de posicionamento de atletas a partir do reconhecimento das trajetórias dos atacantes, defensores e da bola, através da comparação da posição real e da ideal do(s) jogador(es) envolvido(s).

METODOLOGIA:

Apresentamos uma sugestão para o professor usar a prática esportiva preferida de seus alunos para ensinar Geometria Analítica. De forma interdisciplinar e por intermédio do uso de um software de geometria dinâmica (ReC) o aluno poderá transformar todas as informações pesquisadas por ele em experiências matemáticas no software, perceber a geometria contida em cada situação, e assim aprender sobre conteúdos de Geometria Analítica.

O aluno abordará situações críticas de um jogo de Futebol, apontando erro e propondo alternativa para os atletas envolvidos baseado numa representação desenvolvida no software já citado. ATIVIDADES:

Esse trabalho será realizado por alunos do 3º ano do Ensino Médio, que no primeiro bimestre estudam condição de alinhamento de três pontos, coordenadas do ponto médio de um segmento de reta e do ponto G (baricentro do triângulo) como média das coordenadas dos três vértices do triângulo.

O aluno deve ser orientado a reconhecer e utilizar as ferramentas básicas do software escolhido. Essa orientação acontecerá na sala de informática da escola, através de softwares educativos livres, instalados e testados previamente pelo professor de Matemática.

Como motivação, podemos exibir melhores momentos do jogo Brasil X Costa do Marfim, com destaque para os gols de Luis Fabiano. Utilizaremos o DVD conectado ao datashow.

Para recordar a geometria plana elementar estudada no Ensino Fundamental, desenvolveremos na sala de informática a atividade a seguir.

Ela foi elaborada sob a perspectiva do modelo de van Hiele. Deve ser realizada em duplas (no computador), com discussão em pequenos grupos, de quatro alunos, de faixa etária 16 e17 anos.

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Seu objetivo é promover reflexão e discussão sobre as propriedades dos pontos notáveis do triângulo: baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro, comparando-os e reconhecendo suas propriedades geométricas.

Para tanto, requer conhecimento de conceitos de Geometria: ponto médio, mediana, mediatriz, bissetriz de um ângulo interno do triângulo, perpendicularismo, altura relativa a cada lado do triângulo, classificação do triângulo quanto aos lados e ângulos.

Como recursos materiais, requer, além do computador, software ReC, cartolina, plástico adesivo transparente, cola, tesoura, régua, barbante.

Descrição das etapas

1. Os alunos constroem no ReC um triângulo qualquer.

2. Determinam o ponto médio de cada lado.

3. Unem, com segmento de reta, cada ponto médio ao vértice oposto ao referido lado (medianas).

4. Encontram o baricentro na intersecção das medianas.

5. Constroem novo triângulo.

6. Determinam o ponto médio de cada lado.

7. Traçam reta perpendicular a cada lado, passando por seu ponto médio (mediatrizes).

8. Encontram o circuncentro na intersecção das mediatrizes.


10. Determinam a bissetriz de cada ângulo interno do triângulo.

11. Encontram o incentro na intersecção das bissetrizes.


13. Determinam a altura de cada lado do triângulo, traçando retas perpendiculares aos lados ou, dependendo do triângulo, aos prolongamentos dos lados, passando pelos vértices opostos.

14. Encontram o ortocentro na intersecção das alturas.

15. Imprimem os triângulos.

16. Recortam os triângulos.

17. Colam as figuras em cartolina.

18. Revestem as figuras com revestimento adesivo plástico transparente.

19. Comparam com os triângulos do colega de dupla e com os da dupla ao lado (são grupos de quatro alunos).

20. Repetem o traçado do incentro, baricentro, circuncentro e ortocentro.

21. Comparam os quatro pontos notáveis.

22. Perfuram, quando possível (quando for interno ao triângulo), os pontos notáveis das figuras.

23. Passam barbante por esses centros e penduram, observado como se distribuem a massa das figuras recortadas (quais delas permanecem totalmente na horizontal, em equilíbrio estático).

24. Respondem as questões:

23

a) Quais pontos notáveis podem ser externos ao triângulo?

b) Qual dos pontos notáveis é o centro de massa do triângulo?

25. Comparam as respostas com as dos colegas no grupo.

26. Elaboram um texto com resumo das descobertas de suas investigações.

Num segundo momento, convidamos os alunos a observar, em algum outro jogo da Copa do Mundo da África do Sul, jogadas bem sucedidas como essa, bem como lances malogrados, comentando-as. Elas podem ser registradas na forma de texto ou áudio-visualmente.

Finalmente, os alunos retornarão à sala de informática para representá-las no software ReC. DICAS PARA O PROFESSOR:

Acesse o site: http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/softwares/soft_geometria.php.

Acesse, através dele, o link: http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/.

Nele, baixe o arquivo executável car.exe e, para rodá-lo em português, o arquivo zirkel.jar. Sua máquina deve ter a linguagem Java habilitada. Caso não consiga executar o programa após instalá-lo, é bem provável que este seja o motivo. Neste caso, baixe e instale o “Java Runtime Envorinment” (JRE) disponível no seguinte endereço (em inglês): <http://www.java.com/pt_BR/> ou em <http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/programs/jre-6u5-windows-i586-p-s.exe.>.

Leia sobre jogo Brasil X Costa do Marfim através do link: <http://www.jornalnh.com.br/site/esportes/internacional,canal-14,ed-101,ct-1121,cd-266313,LUIS+FABIANO+VOLTA+A+MARCAR:+ACOMPANHE+E+COMENTE.htm>.

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4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Procuramos, nesse trabalho, desenvolver atividades diversificadas de Geometria, utilizando alguns dos muitos recursos oferecidos pelo computador, mais especificamente softwares de Geometria Dinâmica: Régua e Compasso e GeoGebra, dentre outras ferramentas educacionais, tendo como tema central a prática esportiva.

O recurso do computador oferece inúmeras possibilidades de exploração que valorizam a interatividade, bem como o protagonismo discente, deslocando o foco do ensino da Geometria para sua aprendizagem, colocando o aluno como ator do processo ensino-aprendizagem, e não mero receptor e, ao mesmo tempo, mudando papel do docente, de transmissor de conhecimentos prévios acumulados ao longo da História da Matemática, para facilitador num processo de construção do conhecimento.

A percepção espacial das propriedades geométricas, tão discutida nos trabalhos do casal van Hiele, é beneficiada com a implantação de novas tecnologias no ensino, em especial, aquelas que aproveitam os recursos computacionais.

Tentamos propor atividades abertas, por permitir ajustes a adequações à realidade particular de cada escola. Não tivemos a pretensão de propor “receitas”, pois estas são geralmente rejeitadas pelo corpo docente.

Recentemente, em São Paulo, o governo estadual, através de sua Secretaria da Educação, implantou os “cadernos do aluno”, que seguem, paralelamente ao livro didático adotado na escola, custeados pelo próprio governo, um currículo imposto verticalmente.

O fracasso desse modelo deverá ser objeto de discussões nos próximos anos, mas já sentimos aqui seus reflexos. Professores que os aplicam mecanicamente, ou os rejeitam totalmente, alunos que buscam suas respostas na internet (há pessoas que disponibilizaram na rede todas as atividades de Matemática dos quatro bimestres, já resolvidas). Mas o maior erro parece ser a pretensão de implantar, para mais de cinco mil escolas, cerca de duzentos mil professores e seis milhões de alunos as mesmas atividades, como se tratasse de uma realidade homogênea.

Assim, desenvolvemos atividades nas quais professor e aluno, na condição de parceiros, criam situações de aprendizagem a partir de sua realidade imediata, de acordo com seu universo de interesses, mediando sua interação com o mundo cotidiano com o estudo da Geometria, e constroem o conhecimento à altura de seus saberes e de suas necessidades.

As atividades, aqui apresentas, constituem um bom exemplo da versatilidade do emprego do computador na educação. Podem ser aplicadas em sala de aula da forma que sugerimos, mas também permitem adaptações à realidade de cada professor, bem como da turma com a qual se pretende desenvolvê-las.

Através de nossa experiência como professores, ousamos afirmar que não existem duas turmas iguais numa escola. Em cada sala, notamos diferentes níveis de interesse, de motivação, de participação, de conhecimentos prévios, enfim, planejando ou não, cada professor, ao seu modo, adapta suas aulas e seus instrumentos de avaliação.

Acreditamos que as orientações dadas permitam tal flexibilização, assim como a consulta às referências sugeridas possibilitam desdobramentos das atividades, com maior aprofundamento dos assuntos, havendo interesse, tempo e disponibilidade de recursos.

A atividade I, Softwares de GD e análise esportiva, possibilita múltiplas explorações em Geometria Analítica, envolvendo ponto, reta, circunferência e, ocasionalmente, cônicas, instrumentalizadas pelos softwares GeoGebra e Régua e Compasso. Ela permite diversos ajustes. Se o professor, ao buscar adaptá-la, não se sentir seguro para abrir um grande leque de opções em termos de práticas esportivas, por desconhecimento das mesmas, pode abordar jogos mais simples, muitos dos quais possam, inclusive, ser demonstrados em sala,

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como o jogo de dardos, o futebol de mesa (popularmente conhecido como jogo de botão), o squash, ou até mesmo jogos de tabuleiro, como o xadrez. O professor pode, inclusive, extrapolar a limitação física da sala de aula, levando os alunos para a quadra da escola, ou a um parque. A simples mudança de cenário para sua aula pode ser positiva para romper com um modelo tradicional de ensino, que nada agrada à maioria das crianças e adolescentes.

As cônicas reaparecem na atividade II, Softwares de GD na abordagem interdisciplinar de um filme, com a elipse e a parábola, numa abordagem mais algébrica, com softwares de Geometria Dinâmica. Ela também serve de exemplo da viabilidade de tratar, de forma multidisciplinar, assuntos da atualidade, envolvendo áreas como a História, a Geografia, a Filosofia, dentre outras. Nela, o aluno aborda o árido estudo das cônicas em Geometria Analítica através da releitura de uma obra cinematográfica. Essa, talvez, seja a mais ampla delas, aquela que cria maiores condições de interação com outros professores da unidade escolar. Além, disso, por mais carente que seja a escola, o recurso do DVD é sempre viável, ainda que o próprio professor precise disponibilizá-lo.

Já tivemos, nesse sentido, sucesso em trabalhar com outros filmes baseados em histórias reais, como “Uma mente brilhante” (explorado, inclusive, sob o olhar da História da Matemática), ou mesmo documentários, como “Uma verdade Inconveniente”, “Fahrenheit 11 de setembro”, “A carne é fraca”, “Quem somos nós?”.

Na atividade sobre o filme “Invictus” há uma proposta interdisciplinar que foi colocada em prática nesse ano, envolvendo História, Filosofia e Matemática. Conciliar o estudo da elipse e parábola com o apoio do software de Geometria Dinâmica é uma ótima oportunidade de aproximar a Álgebra e a Geometria com o dia a dia do aluno.

Finalmente, na atividade III, A triangulação no futebol: um estudo com softwares de GD, além dos já citados softwares, utilizamos um recurso audiovisual mais popular, o DVD, num assunto de amplo conhecimento público, o futebol, abordando pela Geometria Plana e Analítica a triangulação. Ali, uma estratégia específica de ataque do futebol, que esteve em evidência na mídia por circunstâncias do evento Copa do Mundo da África do Sul, viabiliza revisão de propriedades do triângulo. Ela pode ser compreendida, também, como uma extensão da atividade I

Nenhuma das atividades por nós sugeridas requer conhecimento profundo de informática, e todas podem ser perfeitamente adaptadas para o Ensino Fundamental, apesar de terem sido elaboradas para o Ensino Médio.

Em todas elas ficou evidenciado o ganho em termos de qualidade de ensino decorrente da incorporação de novas tecnologias nas aulas de Matemática, tanto nos aspectos cognitivos quanto motivacionais.

Tentamos, dessa forma, criar perspectivas para aplicação de novas tecnologias na Educação Matemática, valorizando a Geometria bem como a contextualização.

Esperamos que os professores que tenham contato com esse trabalho se sintam motivados a criar mais e melhores atividades diversificadas, que contribuam para a melhoria do ensino da Matemática.

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5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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APÊNDICE A : COMPLEMENTO DA ATIVIDADE I

A quadra de basquete deve ser retangular, planaacordo com as novas regras da FIBA, seu comprimento deve ser de 28m e a largura de 15, sendo que as linhas limítrofes não fazem parte da quadra de jogo. Estas dimensões são obrigatórias para campeonatos internacionais, para as outrresponsável poderá autorizar jogos em quadras com a medida antiga, de 26m por 14.

Todas as linhas da quadra deverão possuir 5 cm de largura e todas de uma mesma cor, preferencialmente branca. Paralelo às linhas de fundo, exatamendeverá ser traçada a linha central. A partir de seu centro deverá ser desenhado um círculo de 1,80m de raio. O círculo pode ser de cor diferente da quadra, porém, se pintado, deve ser da mesma cor dos “garrafões”.

Para e delimitar a zona de cesta de três pontos develinha imaginária, partindo do ponto central do aro e paralela a linha de fundo, de 6,25m para cada lado. Perpendicularmente a linha de fundo, devedistância desta linha imaginária. A partir daí a linha de três pontos deve ser centro do aro, a uma distância de 6,25m.

Para desenhar o “garrafão”, devefinal, marcar 3m para cada lado. Traçar uma linhuma distância de 5,8m, este será o ponto central da linha de lancede comprimento, deve-se ligar as bordas da linha de lancecentro da linha final com uma linhalivre tem 1,8m de raio, e a parte no interior do garrafão deve ser pontilhada.

COMPLEMENTO DA ATIVIDADE I

Figura 3

A quadra de basquete deve ser retangular, plana, sólida e livre de obstáculos. acordo com as novas regras da FIBA, seu comprimento deve ser de 28m e a largura de 15, sendo que as linhas limítrofes não fazem parte da quadra de jogo. Estas dimensões são obrigatórias para campeonatos internacionais, para as outras competições, a entidade responsável poderá autorizar jogos em quadras com a medida antiga, de 26m por 14.

Todas as linhas da quadra deverão possuir 5 cm de largura e todas de uma mesma cor, preferencialmente branca. Paralelo às linhas de fundo, exatamente no centro da quadra, deverá ser traçada a linha central. A partir de seu centro deverá ser desenhado um círculo de 1,80m de raio. O círculo pode ser de cor diferente da quadra, porém, se pintado, deve ser da mesma cor dos “garrafões”.

zona de cesta de três pontos deve-se fazer o seguinte: Traçar uma linha imaginária, partindo do ponto central do aro e paralela a linha de fundo, de 6,25m para cada lado. Perpendicularmente a linha de fundo, deve-se traçar uma linha reta até a

esta linha imaginária. A partir daí a linha de três pontos deve ser centro do aro, a uma distância de 6,25m.

Para desenhar o “garrafão”, deve-se fazer o seguinte: Achar o ponto médio da linha final, marcar 3m para cada lado. Traçar uma linha imaginária, a partir do ponto médio, até uma distância de 5,8m, este será o ponto central da linha de lance-livre, que deve ter 3,6m

se ligar as bordas da linha de lance-livre até os pontos a 3m do centro da linha final com uma linha diagonal. A circunferência ao redor da linha de lancelivre tem 1,8m de raio, e a parte no interior do garrafão deve ser pontilhada.

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livre de obstáculos. De acordo com as novas regras da FIBA, seu comprimento deve ser de 28m e a largura de 15, sendo que as linhas limítrofes não fazem parte da quadra de jogo. Estas dimensões são

as competições, a entidade responsável poderá autorizar jogos em quadras com a medida antiga, de 26m por 14.

Todas as linhas da quadra deverão possuir 5 cm de largura e todas de uma mesma te no centro da quadra,

deverá ser traçada a linha central. A partir de seu centro deverá ser desenhado um círculo de 1,80m de raio. O círculo pode ser de cor diferente da quadra, porém, se pintado, deve ser

se fazer o seguinte: Traçar uma linha imaginária, partindo do ponto central do aro e paralela a linha de fundo, de 6,25m para

se traçar uma linha reta até a esta linha imaginária. A partir daí a linha de três pontos deve ser eqüidistante ao

se fazer o seguinte: Achar o ponto médio da linha a imaginária, a partir do ponto médio, até

livre, que deve ter 3,6m livre até os pontos a 3m do

diagonal. A circunferência ao redor da linha de lance-livre tem 1,8m de raio, e a parte no interior do garrafão deve ser pontilhada.

A tabela deve ser construída em peça única e ser, preferencialmente, transparente, feita de vidro temperado. Cdeverão ter 5 cm e devem ser pintadas de branco, caso a tabela seja transparente; ou de preto, nos outros casos; e devem ter as medidas indicadas acima. Elas devem estar colocadas a 1,20m de distância da linha final e a 2,9m de altura. O aro. Os aros deverão ser constituídos de ferro sólido, com diâmetro interior de 45 cm, pintados na cor laranja. O metal dos aros será de 20 mm de diâmetro, com a adição de pequenos ganchos, na parte inferior, ou outro dispositivo semelhante, para fixar a rede. As redes deverão ficar solidamente fixadas às tabelas, num plano horizontal, na altura de 3, 05 do pisobordas verticais da tabela. O ponto mais próximo da borda interior dos aros deverá estar a 15 cm da superfície da tabela.

Figura 4

A tabela deve ser construída em peça única e ser, preferencialmente, transparente, feita de vidro temperado. Caso não seja transparente, deve ser pintada de branco. As linhas deverão ter 5 cm e devem ser pintadas de branco, caso a tabela seja transparente; ou de preto, nos outros casos; e devem ter as medidas indicadas acima. Elas devem estar

distância da linha final e a 2,9m de altura. O aro. Os aros deverão ser constituídos de ferro sólido, com diâmetro interior de 45 cm, pintados na cor laranja. O metal dos aros será de 20 mm de diâmetro, com a adição de pequenos ganchos, na parte inferior, ou outro dispositivo semelhante, para fixar a rede. As redes deverão ficar solidamente fixadas às tabelas, num plano horizontal, na altura de 3, 05 do pisobordas verticais da tabela. O ponto mais próximo da borda interior dos aros deverá estar a 15 cm da superfície da tabela.

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A tabela deve ser construída em peça única e ser, preferencialmente, transparente, aso não seja transparente, deve ser pintada de branco. As linhas

deverão ter 5 cm e devem ser pintadas de branco, caso a tabela seja transparente; ou de preto, nos outros casos; e devem ter as medidas indicadas acima. Elas devem estar

distância da linha final e a 2,9m de altura. O aro. Os aros deverão ser constituídos de ferro sólido, com diâmetro interior de 45 cm, pintados na cor laranja. O metal dos aros será de 20 mm de diâmetro, com a adição de pequenos ganchos, na parte inferior, ou outro dispositivo semelhante, para fixar a rede. As redes deverão ficar solidamente fixadas às tabelas, num plano horizontal, na altura de 3, 05 do piso e eqüidistante das bordas verticais da tabela. O ponto mais próximo da borda interior dos aros deverá estar a

APÊNDICE B: Complemento da Atividade

Dimensões do campo de R

Complemento da Atividade II

Dimensões do campo de Rúgbi

Figura 5

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Posições no Rúgbi

As posiçõ es são distribuídas assim:

1 Prop (Pilar esquerdo )/ 2 Hooker/ 3 Prop (Pilar direito linha) /4 Lock (Avante de segunda linha)/ 5 Lock (Avante de segunda linha/ 6 Flanker (asas)/ 7 Flanker ( asas)/ 8 8th Man(são todos 3 aformação Atacantes: 10 Flyesquerda)12 Inside Center (trêsStrong Side Wing (três-quartos , ala direita)/ 15 Fullback (Zagueiro)

es são distribuídas assim:

1 Prop (Pilar esquerdo )/ 2 Hooker/ 3 Prop (Pilar direito - são todos 3 avantes de primeira linha) /4 Lock (Avante de segunda linha)/ 5 Lock (Avante de segunda linha/ 6 Flanker (asas)/ 7 Flanker ( asas)/ 8 8th Man(são todos 3 avantes de terceira linha) /9 Half

Atacantes: 10 Fly-Half (médio de abertura)/11 Weak Side Wing (trêsesquerda)12 Inside Center (três-quartos, centro) 13 Outside Center (três

quartos , ala direita)/ 15 Fullback (Zagueiro)

Figura 6

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são todos 3 avantes de primeira linha) /4 Lock (Avante de segunda linha)/ 5 Lock (Avante de segunda linha/ 6 Flanker (asas)/

vantes de terceira linha) /9 Half-Scrum (médio de Half (médio de abertura)/11 Weak Side Wing (três-quartos, ala

quartos, centro) 13 Outside Center (três-quartos, centro)/14