THEORETISCHE PHYSIK III
Quantenmechanik I
Mini-Repetitorium zur Vorlesung im Sommer-Semester 2007
Wolfram Weise
Hinweis zum Gebrauch:
Dies ist kein ausgearbeitetes Skript, sondern lediglich eine kurzgefasste Sammlungvon Stichworten, Notizen und Materialien zur Vorlesung.
Literatur• S. Gasiorowicz
Quantenphysik
(deutsch: Oldenbourg Verlag, München)
• F. SchwablQuantenmechanik (5. Auflage (1998), Springer Verlag, Berlin)
• C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. LaloeQuantum Mechanics (1977, Wiley & Sons, New York)
“Klassiker”:
• “Quantum Mechanics” - Bände von:L. Schiff, A. Davidov, E. Merzbacher, K. Gottfried
• L.D. Landau, E.M. LifschitzTheoretische Physik Bd. III: Quantenmechanik
(8. Auflage (1988), H. DeutschVerlag, Frankfurt/M)
• R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. SandsThe Feynman Lectures on Physics Vol. 3: Quantum Mechanics(1965, Addison-Wesley, Reading, Mass.)
(9. Auflage (2005), Oldenbourg Verlag, München)
0. Einleitung: Historische Entwicklung und empirische Grundlagen
Quantenmechanik:
Grundlage für alle modernen Disziplinen der Physik
• Atom- und Molekülphysik
• Physik der kondensierten Materie
• Kern- und Elementarteilchenphysik
und benachbarte Wissenschaften:
-> auch: Chemie, Molekularbiologie, ...
-> Festkörperphysik und verwandte Gebiete
-> Physik der Atomkerne, -> Physik der fundamentalen Teilchen und ihrer Wechselwirkungen
0-1
ftnonnnscff Pnrsm III - QurrnmrncllAmK
0. Vortenerkuns und Historisches
x Atom- und Molektilphysik (Chemie)
x Physik der kondensierten Materie (Festkorperphysik)
x Kernphysik
x Physik der Elementarteilchen (Hochenergiephysik)
+ bis ca. 1900: a) NEWTON'sche (klassische) Mechanik (TEILCHEN)
b) MAXWELL'sche Elektrodynamik (WELLE)
1897: Entdeckung des Elektrons (THOMSON)
Entdeckung der RONTGEN - Strahlung
1900: PLANCK'sches Strahlungsgesetz:
Spektrum einer (schwarzen) Hohlraum - Strahlungsquelle im thermischen Gleichge-
wicht;
Hvpothese: a) Licht wird in Quanten (Photoned absorbiert oder emitiert
b) Energie dieser Quanten steht in fester Beziehung zur Frequenz:
co = 2nv
1905' A.EINSTEIN:
E n e r s i e : I E = h o IL I
t ' l = 2nv
1927: DAVISSON, GNNUSR'
-+ "Elektronen haben
Plancksches Wirkungsquantumr
h =# = 6,582 ' 10-16 eV'sec = 1,055 ' 10-sa ; 'sec
Photoelektrischer Effekt
1913:
1924t
e -
Licht
o = Zrrv
-+ "Licht hat sowohl WELLEN, als
N.BonR' Atommodell
L. a* BnoGLIE: MATERIEwELLEN
Energie des Elektrons:
E. =+ *.vlr.* = ho - W (W-+ Ausldsearbeit)
T927 /28: E.SCHN6OINGER _
M.Boru,r l _W.HETsENBERG f
-
.)-lT - l _ z tTl ^
_ X
Elektronenbeugung
sowohl TEILCHEN,
WELLE _ TEILCHEN _ DUALITAT
Impuls: F = hFl
Wellenmechanik
Matrizenmechanik
auch TEILCHEN - Charakter"
( k'+ Wellenvektor)
an ZnO - Pulver
als auch WELLEN - Charakter"
\ orunt.ntheorieJ -
0-2
(-> TEILCHEN)(-> WELLEN)
u(!,T) =d"
d!=
8#h
c3
!2
exp!
h!
kBT
"
! 1
E = h! = h" (! = 2"#)
• PLANCKsches WIRKUNGSQUANTUM:
h = 6.626 ! 10!34
J sec
h !
h
2!
= 1.055 · 10!34
J sec
Spektrale Strahlungsdichte (Energiedichte pro Frequenzintervall):
ftnonnnscff Pnrsm III - QurrnmrncllAmK
0. Vortenerkuns und Historisches
x Atom- und Molektilphysik (Chemie)
x Physik der kondensierten Materie (Festkorperphysik)
x Kernphysik
x Physik der Elementarteilchen (Hochenergiephysik)
+ bis ca. 1900: a) NEWTON'sche (klassische) Mechanik (TEILCHEN)
b) MAXWELL'sche Elektrodynamik (WELLE)
1897: Entdeckung des Elektrons (THOMSON)
Entdeckung der RONTGEN - Strahlung
1900: PLANCK'sches Strahlungsgesetz:
Spektrum einer (schwarzen) Hohlraum - Strahlungsquelle im thermischen Gleichge-
wicht;
Hvpothese: a) Licht wird in Quanten (Photoned absorbiert oder emitiert
b) Energie dieser Quanten steht in fester Beziehung zur Frequenz:
co = 2nv
1905' A.EINSTEIN:
E n e r s i e : I E = h o IL I
t ' l = 2nv
1927: DAVISSON, GNNUSR'
-+ "Elektronen haben
Plancksches Wirkungsquantumr
h =# = 6,582 ' 10-16 eV'sec = 1,055 ' 10-sa ; 'sec
Photoelektrischer Effekt
1913:
1924t
e -
Licht
o = Zrrv
-+ "Licht hat sowohl WELLEN, als
N.BonR' Atommodell
L. a* BnoGLIE: MATERIEwELLEN
Energie des Elektrons:
E. =+ *.vlr.* = ho - W (W-+ Ausldsearbeit)
T927 /28: E.SCHN6OINGER _
M.Boru,r l _W.HETsENBERG f
-
.)-lT - l _ z tTl ^
_ X
Elektronenbeugung
sowohl TEILCHEN,
WELLE _ TEILCHEN _ DUALITAT
Impuls: F = hFl
Wellenmechanik
Matrizenmechanik
auch TEILCHEN - Charakter"
( k'+ Wellenvektor)
an ZnO - Pulver
als auch WELLEN - Charakter"
\ orunt.ntheorieJ -
0-3
*itii$;:tif
Wellen - Eigenschaften oes E,lektrons
al
Figure I.3 (a) Interference
pattern caused by the scattering
of red light on a sharp edge. The
edge is the border line of an
absorbing half -plane, the position
of which is indicated at the top
of the 6gure. (b) Interference
pattern caused by the scattering
of electrons on a sharp edge.
b
Sources: (a) From R. W. Pohl,
Opttk arul Atomphgsik, nnrh
edition, copyright o 1954 by
Springer-Verlag Berlin, Gottingen,Heidelberg, reprinted by
permission. (b) From H. Boersch,
Ph7sikalische Zeitschrift, 44(1943) 202, copyright o 1943 by
S. -Hirzel-Verl ag, Leipzig,
reprinted by permission.
^J
, )
I uonao.*ruI K^ LINEl*a
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PRIMARY
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I
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L
-- ).
Teilchen - Eigenschaften von Lichtwellen
o
hIJ
Figure 1.2 The Compton effect.
(a) Kinematics of the process. A
photon of momentum p., is
scattered by a free elechon at
rest, one with momentum p. = 0,
After t}te scattering process t}le
two particles have t}le momenta
pi and p!, respectively. The
direction of the scattered photon
forms an angle 0 with its original
direction. From energv and
momentum conservation in the
collision, the absolute value pl
of the momentum of the scattered
photon and the corresponding
wavelength X =h / p', can be
computed.
(b) Compton's results.
Compton used monochromatic
X-rays from the K"-line of
molvbdenum to bombard a
graphite target. The wavelength
spectrum of tle incident photons
shows the rather sharp K"-line
at the top. Observations of the
photons scattered at three
different angles 0 (45", 90",
135') yielded spectra showing
that most of them had drifted to
the longer wavelength N. There
are also many photons at the
original wavelength \, photons
which were not scattered by
single electrons in the graphite.
From A. H. Compton, The
Phgsical Reaieu 22 (1923) 409,
copyright O 1923 by the American
Physical Society, reprinted by
Dermission.
Beugung von Elektronen Compton-Streuung0-4
l. WEU-ENMECIIANIK des frrlen fgll.'hF''*
U._freie_leweggg_d Kraftefreie Bewegung in einer Dimension
Enereie, E=# ; Igp-u- !g- i p=mv , v=x
Y ( x , t ) = c e i k x - i " r t
E = n ( l ) . p = n K
vtx,t) = C exp[* tpx - Et)]
C: komplexe Konstante
b) Freie dreidimensionale Bewegune
i= l y l = ( x , y , z )
Y(r-,t) = c eiFi - i-t
Welleneisenschaft:
-------+ Forderunqr
WELLENFUNKTIONdes freien Teilchens mit
Energie E und Impuls p'
-2 -\2r: ts : : - _ ILY___!
2rn Jxz
_ /d,/dx \v = l d , / d y I
\ d /dz J
F - (k*,k'k") Wellenvektor ;
rmpuls P = nK
Y(F, t )=C"rpf t tpr- r t r ]
Finder lineare partielle Differentialgleichung, zu der YF,t) Ldsung ist mit der Bedingung= _ t = r : I p p r )t s = n o u n o p = n K I E - t n )
Ansatz: a) zunlichst in einer r?iumlichen Dimension: Y(x,t) = C eilh(P* - Et)
d9 (x , t ) - ^ . d ' 9 ( x , t )
c ) t -
I dx?
r-f El cexp[fr (px -Et)] =y (-#) c exp[f (px - Et)]
*u= - t# ; m i t de r Fo rde rung E=* .
b) Dreidimensionale Schrijdinger - Gleichung eines freien Teilchens (Masse m)
ih* Y(r-,r) = -r,- ts V'YtF,t)
Y(F,t) = C exp[iEr-- iot]
Schriidinger - Gleichung fiir die freie, eindimensionale
Bewegung eines Teilchens mit der Masse m
E = n t ' P = n K E=* -
- 2 d 2 a 2 a 2 ^; v - d x r r d l r d z r = a
1. Quantenmechanik eines Teilchens1.1 Wellenmechanik des freien Teilchens
Wellenfunktion eines freien Teilchens mit Energie E und Impuls !p
1-1
l. WEU-ENMECIIANIK des frrlen fgll.'hF''*
U._freie_leweggg_d Kraftefreie Bewegung in einer Dimension
Enereie, E=# ; Igp-u- !g- i p=mv , v=x
Y ( x , t ) = c e i k x - i " r t
E = n ( l ) . p = n K
vtx,t) = C exp[* tpx - Et)]
C: komplexe Konstante
b) Freie dreidimensionale Bewegune
i= l y l = ( x , y , z )
Y(r-,t) = c eiFi - i-t
Welleneisenschaft:
-------+ Forderunqr
WELLENFUNKTIONdes freien Teilchens mit
Energie E und Impuls p'
-2 -\2r: ts : : - _ ILY___!
2rn Jxz
_ /d,/dx \v = l d , / d y I
\ d /dz J
F - (k*,k'k") Wellenvektor ;
rmpuls P = nK
Y(F, t )=C"rpf t tpr- r t r ]
Finder lineare partielle Differentialgleichung, zu der YF,t) Ldsung ist mit der Bedingung= _ t = r : I p p r )t s = n o u n o p = n K I E - t n )
Ansatz: a) zunlichst in einer r?iumlichen Dimension: Y(x,t) = C eilh(P* - Et)
d9 (x , t ) - ^ . d ' 9 ( x , t )
c ) t -
I dx?
r-f El cexp[fr (px -Et)] =y (-#) c exp[f (px - Et)]
*u= - t# ; m i t de r Fo rde rung E=* .
b) Dreidimensionale Schrijdinger - Gleichung eines freien Teilchens (Masse m)
ih* Y(r-,r) = -r,- ts V'YtF,t)
Y(F,t) = C exp[iEr-- iot]
Schriidinger - Gleichung fiir die freie, eindimensionale
Bewegung eines Teilchens mit der Masse m
E = n t ' P = n K E=* -
- 2 d 2 a 2 a 2 ^; v - d x r r d l r d z r = a
1.2 Schrödinger-Gleichung des freien Teilchens1-2
_ . - dL , - ' . )
t
. - > , i h v
Energie
Impuls
-2
H= ; ; stellt Energie dar ( freies Teilchen J pot' i rnergre = v t r , =u . /
---'----+ Hamilton - operator: ff = - 5*3 eines freien Teilchens
--j Schrddinger - Gleichung: ff vrl,tr = ih* YF,r)
f iY t t - , t l=EY( i , t )
Zusammenfassung:
1) euantenmechanisch werden TEILCHEN durch eine WEI-LENFUNKTION Y(i,t) beschrieben;
2) die Wellenfunktion ist LOSUNG der Schrddinger - Gleichung
ff vr.-,tt = i h+ Y(r,t) - E v(i,t) E: Eigenwert des
Hamilton - Operators ff
A: Hamilton - Operator ; E: Energre
ff entsteht aus der klassischen Hamilton Funktion H(p=,F)
Freies Tei lchen: n=Ttu=t ; f t=-51v'
-ffvr"-,tt = ih* yc,t) = E y(f,t) i
durch die Ersetzung F= - iRV
E _ _ L- - 2 r n
L6sune: Y(i , t) = c."p[f tp' . r t l ]
x Die zeitliche Anderung der Wellenfunktion Y(i,t) wird durch den
stimmt;
x Falls V(i,t) einen Zustand mil wohldefinierter Energie beschreibt,
Y(f,t) = f(i) e-iEtlh
gegeben.
Hamilton Operator be-
dann ist sie in der Form
1.4. rler Heurrrox-o (des frcier Teifchens)
klassische (NEwToN -) Mechanik
_ . - dL , - ' . )
t
. - > , i h v
Energie
Impuls
-2
H= ; ; stellt Energie dar ( freies Teilchen J pot' i rnergre = v t r , =u . /
---'----+ Hamilton - operator: ff = - 5*3 eines freien Teilchens
--j Schrddinger - Gleichung: ff vrl,tr = ih* YF,r)
f iY t t - , t l=EY( i , t )
Zusammenfassung:
1) euantenmechanisch werden TEILCHEN durch eine WEI-LENFUNKTION Y(i,t) beschrieben;
2) die Wellenfunktion ist LOSUNG der Schrddinger - Gleichung
ff vr.-,tt = i h+ Y(r,t) - E v(i,t) E: Eigenwert des
Hamilton - Operators ff
A: Hamilton - Operator ; E: Energre
ff entsteht aus der klassischen Hamilton Funktion H(p=,F)
Freies Tei lchen: n=Ttu=t ; f t=-51v'
-ffvr"-,tt = ih* yc,t) = E y(f,t) i
durch die Ersetzung F= - iRV
E _ _ L- - 2 r n
L6sune: Y(i , t) = c."p[f tp' . r t l ]
x Die zeitliche Anderung der Wellenfunktion Y(i,t) wird durch den
stimmt;
x Falls V(i,t) einen Zustand mil wohldefinierter Energie beschreibt,
Y(f,t) = f(i) e-iEtlh
gegeben.
Hamilton Operator be-
dann ist sie in der Form
1.4. rler Heurrrox-o (des frcier Teifchens)
klassische (NEwToN -) Mechanik
1.3 Energie und Impuls als Differentialoperatoren
1.4 HAMILTON - Operator
Klassische Mechanik: Hamilton-Funktion
Energie:
Impuls:
E ! ih!
!t
!p ! "ih!#
1-3
_ . - dL , - ' . )
t
. - > , i h v
Energie
Impuls
-2
H= ; ; stellt Energie dar ( freies Teilchen J pot' i rnergre = v t r , =u . /
---'----+ Hamilton - operator: ff = - 5*3 eines freien Teilchens
--j Schrddinger - Gleichung: ff vrl,tr = ih* YF,r)
f iY t t - , t l=EY( i , t )
Zusammenfassung:
1) euantenmechanisch werden TEILCHEN durch eine WEI-LENFUNKTION Y(i,t) beschrieben;
2) die Wellenfunktion ist LOSUNG der Schrddinger - Gleichung
ff vr.-,tt = i h+ Y(r,t) - E v(i,t) E: Eigenwert des
Hamilton - Operators ff
A: Hamilton - Operator ; E: Energre
ff entsteht aus der klassischen Hamilton Funktion H(p=,F)
Freies Tei lchen: n=Ttu=t ; f t=-51v'
-ffvr"-,tt = ih* yc,t) = E y(f,t) i
durch die Ersetzung F= - iRV
E _ _ L- - 2 r n
L6sune: Y(i , t) = c."p[f tp' . r t l ]
x Die zeitliche Anderung der Wellenfunktion Y(i,t) wird durch den
stimmt;
x Falls V(i,t) einen Zustand mil wohldefinierter Energie beschreibt,
Y(f,t) = f(i) e-iEtlh
gegeben.
Hamilton Operator be-
dann ist sie in der Form
1.4. rler Heurrrox-o (des frcier Teifchens)
klassische (NEwToN -) Mechanik
• Teilchen mit Wechselwirkung: Hamilton-Funktion H =p2
2m+ V
• Schrödinger - Gleichung: H!(!r, t) =
!
−h2!∇2
2m+ V
"
!(!r, t) = ih"!(!r, t)
"t
1-4
-7- 6 -
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(71 rt[], e-u /<2.-/.^t-.-"-- ;n-a^^drr.bit^^ Ro,'-* *^ /'aa-".^ )t, /^
2<< f-4"* :' .' -ffi /t,
1.5 Interpretation der Wellenfunktion
1.6 Wahrscheinlichkeits-Stromdichte und Kontinuitätsgleichung
1-5
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1.7 Wellenpakete1.8 GAUSSsche Wellenpakete
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1.9 Mathematischer Anhang: kurzer Exkursüber Delta-Distribution und
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1.10 Wellenfunktion im Impulsraum(Impulsverteilung)
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1.11 Kommutatoren
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1.12 Drehimpuls