Thème : Résolution de problème (évaluation, coup de pouce)
* Les Tâches à prise d’initiative : Tâche permettant de développer les compétences des élèves.
On peut distinguer les trois types suivants :
* Problème ouvert : C’est un problème qui possède les caractéristiques suivantes (Arsac, Germain, Mante.
1991. « Problème ouvert et situation problème » Irem de Lyon) :
• L’énoncé est court, facilement compréhensible, l’élève peut se lancer facilement.
• Plusieurs procédures de résolution sont possibles et l’énoncé n’induit ni la méthode ni
la solution.
• L’élève doit être en mesure de pouvoir valider ou réfuter une proposition de solution
Fonction : Mettre en œuvre une démarche scientifique. L’élève doit élaborer des
stratégies, prendre des initiatives et mobiliser des connaissances et des capacités qu’il
possède déjà.
* Situation problème : C’est un problème ouvert ayant pour objectif la construction de connaissances nouvelles.
Le savoir visé doit être l’outil le plus efficace pour résoudre le problème parce qu’il est un
outil indispensable ou vraiment plus rapide. (Douady Régine. 1986. Jeux de cadres et
dialectique outil-objet, RDM vol. 7, no. 2)
Fonction : Introduire une nouvelle notion, qui sera institutionnalisée, apprise, entrainée.
* Tâche complexe : C’est un problème proche de la vie courante qui nécessite l’utilisation et l’analyse de données
multiples (qui peuvent être fournis par l’énoncé ou à rechercher). Les questions peuvent être
ouvertes ou fermées mais aucune méthode de résolution n’est fournie par l’énoncé.
Fonction : Faire le lien entre les connaissances mathématiques et les problèmes du quotidien
qu’elles permettent de résoudre. Développer les compétences des élèves dans le traitement de
l’information.
Résolution
de
problèmes
• Coups de pouce
• Modalités de travail
(groupe, individuel)
• Questions de
prolongement
• Choix des variables
didactiques (nombres
etc)
…
Tâche à prise d’initiative* :
• Problème ouvert*
• Situation problème*
• Tâche complexe*
• CHERCHER
• MODELISER
• REPRESENTER
• RAISONNER
• CALCULER
• COMUNIQUER
Prévoir les
indicateurs
de réussite
• Dans les contrôles comme en
formation
• A l’écrit comme à l’oral
• En individuel comme en
groupes
• Avec ou sans différenciation
1er exemple : Tâche complexe 6ème – Travail de groupes
Un couple et leurs deux enfants Thomas et Anaïs préparent leur séjour au ski du 20 au 27 février.
Ils réservent un studio pour 4 personnes pour la semaine.
Pendant 6 jours, Anaïs et ses parents font du ski et Thomas du snowboard. Ils doivent tous louer leur matériel.
Voici les informations qu’ils ont à leur disposition concernant la location de l’appartement et les tarifs liés au ski :
06/02 – 13/02 13/02 – 20/02 20/02 – 27/02 27/02 – 05/03
Studio 4 personnes
29 m² 870 € 950 € 1 020 € 1 000 €
T2 6 personnes
36 m² 1 050 € 1 150 € 1 250 € 1 200 €
T3 8 personnes
58 m² 1 300 € 1 450 € 1 550 € 1 500 €
Ils prévoient aussi une dépense de 500€ pour la nourriture et les autres sorties de la semaine.
Combien coûteront ces vacances au minimum ?
Rédiger un compte-rendu qui sera présenté à la classe. Inspiré du brevet Amérique du Nord - 9 juin 2016
Fonction du problème : Problème pour réinvestir les connaissances et savoir-faire déjà étudiés et travailler et/ou évaluer
les compétences.
Location de matériel de ski :
Adulte : skis, casque, chaussures 17 € par jour
Enfant : skis, casque, chaussures 10 € par jour
Enfant : snowboard, casque, chaussures 19 € par jour
Forfaits de ski : Formule 1
1 adulte 187,50 € pour 6 jours
1 enfant 162,50 € pour 6 jours
Forfaits de ski : Formule 2
Achat d’une Carte Famille 120 € (pour la semaine)
Puis :
1 forfait adulte 25 € par jour
1 forfait enfant 20 € par jour
Compétences : Dans le cadre de ce problème, voici les critères de réussite de chaque compétence pour le cycle 3 :
Compétence Critères Indicateurs de réussite pour atteindre le niveau
4 :
CHERCHER • Prélever et organiser les
informations nécessaires à la
résolution de problèmes à partir
de supports variés
Trouver le prix de la location (1020€)
Trouver le nombre d’adultes, enfants
Repérer le matériel nécessaire
Repérer les différentes durées selon la formule de forfaits Niveau 3 atteint si 3 informations repérées
MODELISER • Utiliser les mathématiques
pour résoudre quelques
problèmes issus de la vie
quotidienne
• Reconnaître et distinguer des
problèmes relevant de situations
additives, multiplicatives ou de
proportionnalité
Choisir les bonnes opérations à effectuer : addition,
multiplication utilisées à bon escient (même en cas
d’erreur d’extraction de données)
Niveau 3 atteint si les opérations sont bien choisies sans
incohérence même si le travail n’est pas fini.
REPRESENTER Non évaluée dans ce problème
RAISONNER • Résoudre des problèmes
nécessitant l’organisation de
données multiples ou la
construction d’une démarche
qui combine des étapes de
raisonnement.
• Progresser collectivement dans
une investigation en sachant
prendre en compte le point de
vue d’autrui.
Prendre l’initiative de comparer les prix des forfaits, de
calculer le prix de la location du matériel puis de calculer
le budget total. Niveau 3 atteint si une seule étape a été oubliée
S’investir dans la recherche.
Ecouter et s’enrichir des remarques des autres.
CALCULER • Calculer avec des nombres
décimaux, de manière exacte ou
approchée, en utilisant des
stratégies ou des techniques
appropriées.
• Contrôler la vraisemblance des
résultats.
• Utiliser une calculatrice pour
trouver ou vérifier un résultat.
Trouver des résultats correspondants aux opérations
écrites. Niveau 3 atteint si une seule erreur de calcul
Eliminer les résultats absurdes.
Savoir utiliser les touches EXE et S↔D
COMMUNIQUER • Expliquer sa démarche ou son
raisonnement, comprendre les
explications d’un autre et
argumenter dans l’échange.
Réguler le volume sonore du groupe.
Respecter le point de vue de chacun.
Rédiger un compte-rendu clair et détaillé (opérations
indiquées et accompagnées d’une phrase réponse)
Exposer clairement la démarche à l’oral.
On évaluera en observant les élèves au travail. La liste des indicateurs ci-dessus étant longue, on s’autorisera à n’évaluer
que certaines compétences et/ou que certains élèves lors de cette séance.
Le fait de proposer cette activité en groupes hétérogènes constitue en soi une aide et ne devrait pas nécessiter de coup de
pouce supplémentaire.
2ème exemple : Problème ouvert cycle 4 (faisable en cycle 3)
Combien peut-on faire de points d’intersection au maximum
entre un rectangle et deux cercles distincts ?
Compétences : Dans le cadre de ce problème, voici les critères de réussite de chaque compétence pour le cycle 4 :
Compétence Critères Indicateurs de réussite
CHERCHER • S’engager dans une
démarche scientifique,
observer, manipuler,
émettre des hypothèses
(CH2)
• Tester, essayer de
plusieurs pistes de
résolution. (CH 3)
Un ou plusieurs schémas corrects sont réalisés, toujours la
même configuration Niv 2
Plusieurs schémas sont produits avec un nombre de points
d’intersection croissants Niv 3
Une réflexion est engagée sur le choix à faire dans les
proportions du rectangle et la disposition du cercle pour
atteindre le maximum Niv 4
MODELISER Non évaluée dans ce
problème
REPRESENTER • Utiliser, produire et
mettre en relation des
représentations de
situations spatiales
(schémas, croquis, figures
géométriques). (RE 4)
Au moins un schéma complet est réalisé avec un rectangle
et deux cercles Niv 2
Les points d’intersection sont repérés sur au moins un
schéma complet Niv 4
RAISONNER • Fonder et défendre ses
jugements en s’appuyant
sur des résultats établis et
sur sa maîtrise de
l’argumentation. (RA 4)
Une réflexion est engagée sur le choix à faire dans les
proportions du rectangle et la disposition du cercle pour
atteindre le maximum mais conclusion inaboutie Niv 3
La réflexion est menée jusqu’au bout Niv 4
CALCULER Non évaluée dans ce
problème
COMMUNIQUER • Expliquer à l’oral et à
l’écrit. (CO 2)
Points d’intersection clairement repérés et comptés Niv 2
Présentation d’une démarche cohérente et correctement
justifiée Niv 3
Présentation d’une démarche cohérente et correctement
justifiée en argumentant sur le maximum Niv 4
Coups de possible à choisir en fonction du niveau de blocage des élèves :
CP1 : On cherche le nombre maximum de points d’intersection. Je crois que d’autres en ont trouvé plus que toi.
CP2 : Comment choisir un rectangle pour qu’il coupe un maximum de fois un cercle ?
CP2bis : Commence par tracer un cercle puis un rectangle pour trouver le maximum de points d’intersection. (si CP2
insuffisant)
CP3 : Trace tes figures avec les instruments de géométrie (ne te contente pas de schémas).
3ème exemple : Situation problème cycle 4
Programme 1 : ▪ Choisir un nombre
▪ Multiplier le nombre choisi par 7
▪ Ajouter 9 au produit obtenu
Programme 2 : ▪ Choisir un nombre
▪ Ajouter 24 au nombre choisi
▪ Multiplier la somme obtenue par 5
Programme 3 : ▪ Choisir un nombre
▪ Ajouter 1 au nombre choisi
▪ Multiplier la somme obtenue par 8
▪ Soustraire 1 au produit obtenu
Programme 4 : ▪ Choisir un nombre
▪ Ajouter 9
▪ Multiplier la somme obtenue par 10
▪ Soustraire au produit obtenu le triple du nombre choisi
Pour chacun de ces programmes, il est possible de trouver un nombre pour lequel le résultat final est 100.
Retrouver ces nombres.
Fonction du problème : Problème pour introduire la notion d’équation en 4ème.
Compétences : Dans le cadre de ce problème, voici les critères et indicateurs de réussite de chaque compétence pour le
cycle 4 :
Compétence Critères Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Niveau 4
Chercher Extraire d’un
document les
informations utiles
J’ai besoin
d’aide pour
comprendre la
consigne.
Je fais des essais
corrects mais
j’oublie que je
dois trouver 100
pour chaque
programme.
Je commence à
travailler sans avoir
besoin d’aide.
Représenter Choisir et mettre en relation des cadres adaptés pour traiter un
problème
J’écris des
calculs qui
correspondent
au prog. A.
J’écris une
expression
numérique de
type « chaine
remontée » pour
les prog B et C. Je
réalise des
schémas bulles.
J’écris une
expression
algébrique pour le
prog. D.
Communiquer Faire le lien entre
deux langages
Je fais des
calculs à la
calculatrice
et je n’écris
que mes
réponses.
Je laisse des
traces de mes
essais. Mes
calculs sont
séparés
(expressions
avec une seule
opération).
J’écris des
expressions
numériques sans
égalités fausses.
J’écris des
expressions
numériques et
algébriques sans
égalités fausses.
Raisonner Mettre à l’essai
plusieurs solutions
Je cherche des
solutions en
testant des
nombres pris au
hasard.
Je tente de
remonter les
chaines. J’utilise
les processus de
dichotomie.
J’ai perçu la
différence du prog
D, j’écris une
expression
algébrique pour D,
je résous.
Calculer Combiner le calcul
mental et
instrumenté
Mes résultats
correspondent
aux calculs écrits
pour les prog. A
et B.
Mes résultats correspondent aux calculs écrits, des erreurs
peuvent
subsister.
Mes résultats
correspondent aux
calculs écrits pour
tous les
programmes.
Modéliser Utiliser une
simulation
numérique /
traduire en langage
mathématique
J’ai besoin
d’un coup
de pouce
pour
démarrer.
Je teste avec des
valeurs entières
et positives.
Je teste avec des
valeurs qui
peuvent ne pas
être entières ou
j’écris des
expressions
algébriques.
J’écris des
expressions
algébriques sans
erreur.
Coups de pouce :
Exemples de grilles d’auto-évaluation :
_ pour le travail de groupes :
Lien avec les compétences du programme et les domaines du socle :
_ pour le travail individuel ou en groupe :
Chercher
Raisonner
Représenter
Calculer
Communiquer
Modéliser
_ pour les devoirs maison :
ANNEXE 1 : Exemples de productions d’élèves associées à leur grille d’auto-évaluation pour le 1er problème.
• Production 1 :
• Production 2 :
• Production 3 :
• Production 4 :
• Production 5 :
• Production 6 :