Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
1
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨC
I. Trước khi tìm hiểu về chuyên đề này chúng ta tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức
Có dạng ( )m n px a bx dx
với , , , , , , 0a b R m n p Q n p
Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại giữa lũy thừa của m, n, p mà ta có các cách đặt khác nhau.
Cụ thể xét bộ ba số 1 1; ;m mp pn n
TH 1: Nếu p Z thì ta đặt qx t với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n
TH 2: Nếu 1 , , , , , 1m sZ p r s Z r sn r
ta đặt pnt a bx hoặc nt a bx
Đặc biệt
- Nếu rp Zs
ta chỉ được đặt nt a bx
- Nếu rp Zs
và 2,3,...p ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi 2p TPTP một lần, khi 3p
TPTP hai lần, …
TH 3: Nếu 1 , , ,m sp Z p r s Zn r
thì ta đặt
nr
n
a bx tx
Bài tập giải mẫu: TH 1: Nếu p Z thì ta đặt qx t với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n
Bài 1: Tính tích phân sau
4
1 1dxI
x x
Giải:
Ta có
114 41 2
1 1
11
dxI x x dxx x
Nhận xét: 11, , 1 22
m n p Z q
Cách 1:
Đặt 2
2x t
x tdx tdt
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
2
Đổi cận 4 21 1
x tx t
Khi đó
2 2 2
21 1 1
21 1 42 2 2 2 ln ln 1 2 ln11 1 31
t dtI dt t tt t t tt t
Cách 2:
Đặt
211
2 1
x tx t
dx t dt
Đổi cận 4 31 2
x tx t
Khi đó
2 3 3
22 2 2
1 31 1 42 2 2 2 ln 1 ln 2ln21 1 31
t dt dtI dt t tt t t tt t
TH 2: Nếu 1 , , , , , 1m sZ p r s Z r sn r
ta đặt pnt a bx hoặc nt a bx
Đặc biệt
- Nếu rp Zs
ta chỉ được đặt nt a bx
- Nếu rp Zs
và 2,3,...p ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi 2p TPTP một lần, khi 3p
TPTP hai lần, …
Bài 2: (ĐHDB – A 2003 – ĐHNT – 1996) Tính tích phân sau 1
3 2
0
1I x x dx
Giải:
Phân tích 1 1
3 2 2 2
0 0
1 1 .I x x dx x x xdx
Nhận xét: 1 13, 2, 22
mm n pn
Cách 1:
Đặt 2 2
2 11
x tt x
xdx tdt
Đổi cận 1 00 1
x tx t
Khi đó 10 1 1
2 2 2 2 2 4 3 5
1 0 0 0
1 1 21 13 5 15
I t t dt t t dt t t dt t t
Cách 2:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
3
Đặt
2
21
1
2
x tt x dtxdx
Đổi cận 1 00 1
x tx t
Khi đó 11 1 1 3 3 30 1 1
2 2 2 2 2 2
1 0 0 0
1 1 1 1 2 2 21 12 2 2 2 3 3 15
I t t dt t t dt t t dt t t
Cách 4: Đặt cos sinx t dx tdt
Khi đó 2 2
2 3 2 2
0 0
sin cos sin 1 sin cosI t tdt t t tdt
Cách 4.1. Đặt sin cost u tdt du Khi đó
1 1 3 5
2 2 2 4
0 0
1 2(1 )03 5 15
u uI u u du u u du
Cách 4.2.
3 52 2
2 2 2 4
0 0
sin sin 2sin 1 sin sin sin sin sin 23 5 150
t tI t t d t t t d t
.
Cách 4.3.
2 2 2 22
0 0 0 0
1 1 1 cos 4 1 1sin 2 cos cos cos cos 4 cos4 4 2 8 8
tI t tdt tdt tdt t tdt
Cách 5:
1 12 2 2 2 2 2
0 01 13 1
2 2 2 22 2
0 0
1 11 1 1 1 1 12 2
1 11 1 1 12 2
I x x d x x x d x
x d x x d x
Cách 3: Đặt 2
2dtt x xdx
Bài 3: Tính tích phân 7 3
3 20 1
x dxIx
Giải :
Cách 1: Đặt
2 3
3 22
11 3
2
x tt x
xdx t dt
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
4
Đổi cận 2710
txtx
Khi đó
3 27 2 22 5 24
3 20 1 1
1 . 2. 3 3 3 9312 2 2 5 2 101
t t dtx xdx t tI t t dttx
Cách 2:
Đặt
2
21
1
2
x tt x dtxdx
Đổi cận 8710
txtx
Khi đó 2 1 5 28 8
3 3 3 31
1 13
1 81 1 1 3 312 2 2 5 2
t dtI t t dt t t
t
Cách 3: Phân tích 23
3 2 2 33 32 2
1 11 1
x xx x x x x xx x
Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần
Đặt
2
2 32 2
3 32 2
21 31 1
421 1
u x du xdxd xx v xdv dx
x x
Bài 4: (ĐHAN – 1999) Tính tích phân 4
27 9
dxIx x
Giải: Phân tích
4
27 7
4 11 2 29
9x x dxdxI
x x
Nhận xét: 1 11, 2, 02
mm n pn
Đặt 2 2
2 99
x tt x
xdx tdt
Đổi cận 4 5
47
x ttx
Khi đó 4 5 5
2 22 24 47
51 3 1 7ln ln46 3 6 4( 9) 99
xdx tdt dt tItt t tx x
Cách 2:
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
5
Đặt
2
29
9
2
x tt x dtxdx
Khi đó
25
116 2
1 ...2
9
dtIt t
đến đây liệu ta có thể làm được không, có thể đó bằng cách đặt
1 22
2u t
u tudu dt
… bạn đọc giải tiếp nhé
Bài 5: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: 1
65 3
0
1I x x dx
Giải:
1 1
6 65 3 3 3 2
0 0
1 1I x x dx x x x dx
Nhận xét: 15, 3, 6 0mm n p Zn
Cách 1:
Đặt 2
3
3
1 31
dt x dxt x
x t
Đổi cận 1 00 1
x tx t
Khi đó 0 1 1 7 8
6 6 6 7
1 0 0
1 1 1 1 11 13 3 3 3 7 8 168
t tI t t dt t t dt t t dt
Cách 2:
1 1 1 16 6 6 75 3 2 3 3 2 3 2 3
0 0 0 0
7 83 31 16 73 3 3 3
0 0
1 1 1 1 1 1
1 11 11 1 1 11 1 1 1 . .0 03 3 7 3 8 168
I x x dx x x x dx x x dx x x dx
x xx d x x d x
Bài 6: (SGK – T 112) Tính tích phân sau 2
2
0
1I x x dx
Giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt 2
2
2 11
2
du x dxu x
xdv xdx v
Khi đó 2 22 4 3
2 2 3
0 0
2 2 341 1 6 60 02 4 3 3
x x xI x x x dx x x dx
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
6
Cách 2:
Đặt 1
1x t
t xdx dt
Đổi cận 2 30 1
x tx t
Khi đó
3 3 4 3
2 3 2
1 1
3 34114 3 3
t tI t t dt t t dt
Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích Ta có 2 2 3 21 2 1 2x x x x x x x x
Khi đó 2 4 3 2
3 2
0
22 34204 3 2 3
x x xI x x x dx
Cách 4: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Ta có 2 2 3 21 1 1 1 1 1x x x x x x
Khi đó 4 32 2 2 23 2 3 2
0 0 0 0
1 1 341 1 1 1 1 14 3 3
x xI x dx x dx x d x x d x
TH 3: Nếu 1 , , ,m sp Z p r s Zn r
thì ta đặt
nr
n
a bx tx
Bài 7: Tính tích phân sau 2
4 21 1
dxIx x
Giải:
Nhận xét: 1 12; 2; 22
mm n p p Zn
nên đặt 2
22
1x tx
Đặt
222
22
22
111
1
xtx t tdtx xdx
t
Đổi cận 52
21
2
x tx
t
Ta có
5 322 2 2 32
224 2 2
61 1 2 52 2
21 7 5 8 2. 1 53 2411 11 2
tdx dx tdt tI t dt ttx x tx
x
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
7
Bài 8: Tính tích phân sau:
1
31
4
31
3
dxxxxI .
HD:
Ta có
1
31
3
31
2
1.11 dxxx
I 1 1
3 2 3
13
1x x dx
Nhận xét: 1 13, 2, 13
mm n p Zn
Đặt 2 3
1 12dt dxt
x x …. 6I bạn đọc tự giải
Bài 9: Tính tích phân sau 3
2 33
2(1 )
dxIx
Giải :
Ta có 3 10; 2; 12
mm n p p Zn
Đặt
22 2
22
2 2
11 1
( 1)
xx tt tdtx xdx
t
Đổi cận 2 33
3332
x t
x t
Khi đó 3 3 3
22 2 2 2 23 2 3 2 342 222 3 3
31 1
2 31 2 3(1 ) 1 ( 1) . . .. . 3( 1)
xdx tdt dtIt tx x t t tx tx x
Bài tập tự giải:
Bài 1: (ĐHSP II HN – A 2000) Tính tích phân 2
31 1
dxIx x
HD:
Đặt 2
323 3
3112 1 1
x dx dtt x dt dxtx x x
Bài 2: (ĐHAN – A 1999) Tính tích phân 4
27
1 7ln6 41
dxIx x
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
8
Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân 2
223
121dxI
x x
Cách 1:
Đặt 222 2 2 2
111 1 1
x dx xdx dtt x dt dxtx x x x x
và t tanu ,2 2
u , 2 1
dt dut
.
Cách 2: Đặt 2
1 , 0;cos 2 1
dxt t dtt x x
C1: Đặt 1 cos
xt
với
2π0;t hoặc
tx
sin1
C2: Đặt 2 1x t C3: Đặt 2 1x t
C4: Đặt 1xt
C5: Phân tích 2 21 1x x
Bài 4: Tính tích phân 1 3
21
01
xI dxx
C1: Đặt tanx t C2: Phân tích 3 2 1x x x x
C3: Đặt
2
2 1
u xxdv dx
x
C4: Đặt x t C5: Phân tích 3 2 2 21 1 1x dx x xdx x d x
Bài 5: (ĐHTM – 1997) Tính tích phân 7 3
3 20
141201
xI dxx
Bài 6: (CĐKT KT I – 2004) Tính tích phân 2 4
50 1
xI dxx
Bài 7: (CĐ Hàng hải – 2007) Tính tích phân 3
3 2
1
14 315
I x x dx
Bài 8: (CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006) Tính tích phân 9
3
1
468. 17
I x x dx
Bài 9: (CĐ Nông Lâm – 2006) Tính tích phân 1
2
0
2 2 113
I x x dx
Bài 10: (CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005) Tính tích phân 3
3 5
0
8481.105
I x x dx
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
9
Bài 11: (CĐ Khối A, B – 2005) Tính tích phân 1
3 2
0
6 3 8. 35
I x x dx
Bài 12: (CĐ GTVT – 2005) Tính tích phân 1
5 2
0
81105
I x x dx
Bài 13: (ĐH Hải Phòng – 2006) Tính tích phân 1
20
1 ln 221
xI dxx
Bài 14: Tính tích phân 1
2 3
0
22 3 3 2 29
I x x dx
Bài 15: (CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007) Tính tích phân
3
2 21
313 121
dxIx x
Bài 16: Tính tích phân 2 3
2 23
2 33 2 21
dxIx x
b. Tích phân hàm phân thức, lượng giác, mũ – loga dưới “con mắt” của tích phân hàm nhị phân thức
Mở rộng pm nI u x a bu x d u x
với với , , , , , , 0a b R m n p Q n p
Và cụ thể hóa trường hợp 2 như sau
Nếu 1 , , , , , 1m sZ p r s Z r sn r
ta đặt pnt a bu x hoặc nt a bu x
Đặc biệt : Nếu rp Zs
ta chỉ được đặt nt a bu x
Ta xét các thí dụ sau đây
Thí dụ 1. (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau ln 5 2
ln 2 1
x
x
eI dxe
Lời giải.
Ta có ln 5 ln 5 12
2
ln 2 ln 2
11
xx x x
x
eI dx e e dee
thì đây chính là tích phân nhị thức với
1 11, 22
mm n p Zn
và xu x e
Đặt 2
2 11
2
xx
x
e te t
e dx tdt
Đổi cận ln 5 2ln 2 1
x tx t
Khi đó
22 22 3
1 1
1 2 22 202 2 1 21 13 3
t tdtI t dt t t
t
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
10
Cách khác: Đặt 1xe t
Thí dụ 2. (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau 1
1 3ln .lne x xI dxx
Lời giải.
Ta có 13
1 1
1 3ln .ln ln 1 3ln lne ex xI dx x x d x
x
thì đây chính là tích phân nhị thức với
1 11, 22
mm n p Zn
và lnu x x
Đặt
2
2
1ln31 3ln
23
txx t
dx tdtx
Đổi cận 2
1 1x e tx t
Khi đó 2 22 5 3
2 4 2
1 1
22 1 2 2 116( )13 3 9 9 5 3 135
t t tI t dt t t dt
Cách khác: 1 3lnt x
Thí dụ 3. (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau 3 2
1
ln . 2 lne x xI dxx
Lời giải.
Ta có 13 2
2 3
1 1
ln . 2 ln ln 1 ln lne ex xI dx x x d x
x
thì đây chính là tích phân nhị thức với
1 11, 2, 13
mm n p Zn
và lnu x x
Đặt 3 2 23 ln2 ln2
xt x t dt dxx
Đổi cận 3
3
31 2
x e tx t
Khi đó 3 3
3 3
3 3 33
42 3
32 2
33 3 3 233 3 3. .
2 2 2 42
82tI t t dt t dt
Cách khác: Đặt 22 ln x t
Thí dụ 4. (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau 2
1
ln2 ln
e xI dxx x
Lời giải.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
11
Ta có
2
22
1 1
ln ln 2 ln ln2 ln
e xI dx x x d xx x
thì đây chính là tích phân nhị thức với
11, 1, 2 , 2mm n Z p Zn
và lnu x x
Đặt ln 2
2 lnx t
t x dx dtx
Khi đó 3 3
2 22 2
2 31 2 2ln2
3 1ln2 3
tI dt dt t
t tt t
Thí dụ 5. (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau
ln 3
30 1
x
x
e dxIe
Lời giải.
Ta có
ln 3 ln 3 1
33
0 0
11
xx x
x
e dxI e dee
thì đây chính là tích phân nhị thức với
1 10, 1, 12
mm n p Zn
và xu x e
Đặt 2 1 2 2x xt e tdt e dx dx tdt
Khi đó 2
32
212 2. 2 12
tdtItt
Thí dụ 6. Tính tích phân sau 2
5 31
dxIx x
Lời giải.
Ta có 2 2
13 25 3
1 1
1dxI x x dxx x
đây là tích phân nhị thức với 3, 2, 1m n p Z
Đặt
2
21
1
2
x tt x dt xdx
Đổi cận 2 51 2
x tx t
Ta có
2 2
3 2 4 21 1
11 1
xI dx dxx x x x
Khi đó
5 5
2 22 2
51 1 1 1 1 1 3 1 5ln ln 2 ln22 1 2 1 1 8 2 21 1
dt tI dtt t t tt t t
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
12
Thí dụ 7. Tìm nguyên hàm:
2
391x dxI
x
Lời giải.
Ta có
2
39239 1
1x dxI x x dx
x
đây là tích phân nhị thức với 12, 1, 39 3mm n p Z Z
n
Đặt 1 1t x x t dx dt Khi đó
2
39 39 38 37 38 37 36
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1238 37 36
t dtI dt dt dt C
t t t t t t t
với 1t x
Thí dụ 8. (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau 2
0
sin 2 .cos1 cos
x xI dxx
Lời giải. Phân tích
22 2 2
12
0 0 0
sin 2 .cos sin .cos2 2 cos 1 cos cos1 cos 1 cos
x x x xI dx dx x x d xx x
thì đây chính là tích phân nhị thức
với 2, 1, 1m n p Z và cosu x x
Đặt sin
1 coscos 1dt xdx
t xx t
Đổi cận 1
220
txtx
Khi đó 21 2 2
2 1
1 212 2 2 2 2 ln 2 ln 2 112
t tI dt t dt t tt t
Thí dụ 9. (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau 2
2
0
sin cos 1 cosI x x x dx
Lời giải.
Ta có 2 2
2 2
0 0
sin cos 1 cos cos 1 cos cosI x x x dx x x d x
thì đây chính là tích phân nhị thức với
1, 1, 2m n p Z và cosu x x
Đặt sin
1 coscos 1
xdx dtt x
x t
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
13
Đổi cận 1
220
txtx
Khi đó 1 2 4 3
2 3 2
2 1
2 17114 3 12
t tI t t dt t t dt
Nhận xét: Nếu gặp tích phân là tổng (hiệu) của hai tích phân nhị thức mà có cùng cách đặt thì ta vẫn tính như trong lý thuyết
Thí dụ 10. (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau 2
0
sin 2 sin1 3cos
x xI dxx
Lời giải.
Ta có
1 2
2 2 21 12 2
0 0 0
sin 2cos 12cos 1 3cos cos 1 3cos cos
1 3cosI I
x xI dx x x d x x d x
x
Nhận xét: Đây chính là tổng của hai nhị thức cosu x x với 1I ta có 11 2mm n Zn
và với 2I
ta có 10, 1 1mm n Zn
.
Vậy chung qui lại ta có thể
Đặt
2
2
1cos31 3cos
sin 231 3cos
txx t
x dtdxx
Đổi cận 1
220
txtx
Khi đó 2 2
3
1
24 2 4 2 3419 9 27 9 27
tI dt t t
Thí dụ 11. (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau 2
0
sin 31 cos
xI dxx
Lời giải.
Ta có 32 2 2
12
0 0 0
sin 3 3sin 4sin 4cos 1 1 cos cos1 cos 1 cos
x x xI dx dx x x d xx x
thì đây chính là tổng của
hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với 12, 1, 1 3mm n p Z Zn
và cosu x x nên ta
đặt cos 1
1 cossin
x tt x
dt xdx
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
14
Đổi cận 1
220
txtx
Khi đó
21 22
2 1
4 1 1 234 8 2 3ln 8 3ln 2 21
tI dt t dt t t t
t t
Để kết thúc bài viết này mời các bạn tự giải các tích phân sau
Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau 3 2
1
ln 7615ln 1
e xI dxx x
Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau ln 2 2
0
2 231
x
x
eI dxe
Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I = dxxx
xe
1 ln1.ln 4 2 2
3
Bài 4: (ĐHDB 2 – 2006) Tính tích phân sau 1
3 2 ln 10 2 1131 2ln
e xI dxx x
Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau 2
1
ln 1 (ln 2 1)2ln 1
e xI dxx x
Bài 7: Tính tích phân sau 32
321
log 427 ln 21 3ln
e xI dxx x
Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau ln 8 ln 8
2
ln 3 ln 3
1. 1. .x x x x xI e e dx e e e dx
Bài 9: Tính tích phân sau ln 5
ln 2
1
1
x x
x
e eI dx
e
Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau 2
20
sin 4 32 6 ln41 cos
xI dxx
Bài 11: Tính tích phân sau 2 32
0
15sin 2 1 sin4
I x x dx
Bài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau 32
20
sin cos1 cos
x xI dxx
Bài 13: Tính tích phân 36
0
sin 3 sin 3 1 1 ln 21 cos3 6 3
x xI dxx
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected] DĐ: 01694 013 498
15
Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau 3
30
6ln2
dxIx x
Bài 15: Tìm nguyên hàm 3
10 6 7 8 9
1 1 3 1 3 1 1 16 7 8 9( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x dxI Cx x x x x
Góp ý theo địa chỉ Email: [email protected] hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa
www.MATHVN.com
www.mathvn.com