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TopografiaExercícios de Trigonometria

Agronomia / Arquitetura e Urbanismo / Engenharia Civil

Prof. Luiz Miguel de Barros

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1) Some os ângulos.

A) 19°23’15” + 72°21’12” (graus centesimais)

R: 91°44’27”

B) 37°54’56” + 41°14’28” (graus sexagesimais)

R: 79°09’24”

Exercícios

2) Subtraia os ângulos

A) 255°23’15” – 183°68’44” (graus centesimais)

R: 71°54’71”

B) 315°00’08” – 30°51’19” (graus sexagemais)

R: 284°08’49”

Exercícios

3) Solucione a equação e transforme o resultado de forma longa para a forma decimal.

A) 35°12’43” + 50°29’20” (graus sexagesimais)

R: 85°42’03” = 85,750833°

B) 35°12’55” + 50°29’45” (graus centesimais)

R: 85°42’00” = 85,4200°

C) 56°49’55” – 30°56’45” (graus sexagesimais)

R: 25°53’10” = 25,886111°

D) 56°49’55” – 30°56’45”(graus centesimais)

R: 25°93’10” = 25,9310°

Exercícios

4) No triângulo abaixo determine as relações solicitadas.

Exercícios

1/2

√3/2

1/√3

1/2

√3/2

√3

5) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem, segundo um ângulo de 56°00’00”. Afastando-se 20,00 m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35°00’00”. Calcule a largura do rio.

Exercícios

Tg 35° = CO/CATg 35° = h/(d+20)0,700 = h/(d+20)0,700 (d+20) = h0,700d +14 = h

Tg 56° = h/d1,48 = (0,7d +14)/d1,48d = 0,7d +141,48d – 0,7d = 140,78d = 14d = 14/0,78 = 17,948m

h = 0,700d +14h = 0,700(17,948) +14h = 26,563 m

6) Determine a distâncias entre os extremos da lago (lado AC), conforme os dados da figura abaixo.

Exercícios

a/senA = b/senB254,09/sen52°42’51” = b/sen88°56’44”254,09/0,795623 = b/0,999830(319,359) . 0,999830 = bb = 319,304 m

7) Calcular todos os ângulos internos dos triângulos.

Exercícios

cosA = (b2 + c2 –a2)/2bccosA = (52 + 52 – 5,402)/2.5.5cosA = (25 + 25 – 29,16)/50cosA = 20.84/50cosA = 0,4168 A= 65,3672777 = 65°22’02”

a/senA = b/senB5,40/sen65°22’02” = 5/senB5,40/0,908998 = 5/senBsenB = 5/(5,40/0,908998)senB = 0,841648B = 57,314583 = 57°18’52”

A + B + C = 180°C = 180° - A – BC = 180° - 65,367277 – 57,314583C = 57.31814 = 57°19’05”

7) Calcular todos os ângulos internos dos triângulos.

Exercícios

cosA = (b2 + c2 –a2)/2bccosA = (52 + 42 – 5,202)/2.5.4cosA = (25 + 16 – 27,04)/40cosA = 16,96/40cosA = 0,349 A= 69,573837 = 69°34’26”

A + B + C = 180°C = 180° - A – BC = 180° - 69,573837 – 64,300323C = 46.12584 = 46°07’33”

cosB = (a2 + c2 –b2)/2accosB = (5,22 + 42 – 52)/2.(5,2).(4)cosB = (27,04 + 16 – 25)/41,6cosB = 18,04/41,6cosB = 0,433654 B= 64,300323 = 64°18’01”

7) Calcular todos os ângulos internos dos triângulos.

Exercícios

cosA = (b2 + c2 –a2)/2bccosA = (42 + 6,12 – 5.62)/2.6,1.4cosA = (16 + 37,21 – 31,36)/48,8cosA = 21,85/48,8cosA = 0,447746 A= 63,400838 = 63°24’03”

a/senA = b/senB5,6/sen63°24’03” = 4/senB5,6/0,894161 = 4/senBsenB = 4/(5,6/0,894161)senB = 0,635641B = 39,467589 = 39°28’03”

A + B + C = 180°C = 180° - A – BC = 180° - 63,400838 – 39,467589C = 77,132028= 77°07’55”

8) Determine as dimensões da base e da altura de um triângulo retângulo, que possui como valor para a tangente 2 m e área 25 m2.

Exercícios

α

Tg a = a/b2 = a/ba = 2b

A = (a . b)/225 = (2b . b)/225 = b2

b = √25b = 5 m

a = 2ba = 2 . 5 = 10m

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo ABD

A + B + D = 180°B = 180° - A – DB = 180° - 94°19’40” – 33°59’08”B = 51°41’12” = 51,686666

b/senB = d/senD322,54/sen51°41’12” = d/sen33°59’08”322,54/0,784632 = d/0,558984d = (322,54/0,784632).0,558984d = 229,782 m

Usar Lei do seno para determinar distancia AB

Portanto distância entre AB é de 229,782m

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo ACD

A + C + D = 180°C = 180° - A – DC = 180° - 46°29’00” – 92°45’25”C = 40°45’35” = 40,759722

a/senA = c/senCa/sen46°29’00” = 322,54/sen92°45’25”a/0,725174 = 322,54/0,998842d = (322,54/0,998842).0,725174d = 234,168 m

Usar Lei do seno para determinar distancia CD

Portanto distância entre CD é de 234,168 m

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo ADE

A + D + E = 180°E = 180° - A – DE = 180° - 46°29’00” – 33°59’08”E = 99°31’52” = 99,531111°

Portanto o ângulo oposto possui o mesmo valor para o Triângulo BCE, por ser uma projeção dos lados do triângulo ADE.

E

E

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo ABE, lembrando que o ângulo B já foi calculado, obtendo o valor de 51°41’12”

A + B + E = 180°E = 180° - A – BE = 180° - 47°50’40” – 51°41’12”E = 80°28’08” = 80,468888°

Portanto o ângulo oposto possui o mesmo valor para o Triângulo CDE, por ser uma projeção dos lados do triângulo ADE.

E

E

O ângulo A para o triângulo ABE é (94°19’40” –46°29’00”) portanto A = 47°50’40”

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo ABE, lembrando que o ângulo B já foi calculado, obtendo o valor de 51°41’12” e o lado AB com distância de 229,782 m.

a/senA = e/senEa/sen47°50’40” = 229,782/sen80°28’08”a/0,741325 = 229,782/0,986196a = (229,782/0,986196).0,741325a = 172,727 m

E O ângulo A para o triângulo ABE é (94°19’40” –46°29’00”) portanto A = 47°50’40”

Usar lei do seno para determinar o lado BE

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo CDE, lembrando que o ângulo C já foi calculado, obtendo o valor de 40°45’35” e o lado CD com distância de 234,168 m.

d/senD = e/senEd/sen58°46’17” = 234,168/sen80°28’08”d/0,855105 = 234,168/0,986196d = (234,168/0,986196).0,855105a = 203,041 m

E

O ângulo D para o triângulo CDE é (92°45’25” –33°59’08”) portanto D = 58°46’17”

Usar lei do seno para determinar o lado CE

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

Exercícios

Isolar o triângulo BCE, lembrando que o ângulo E já foi calculado, obtendo o valor de 99°31’52” e o lado BE com distância de 172,727 m e o lado CE com distância de 203,041m.

cosE = (b2 + c2 – e2)/2bcCos99°31’52” = (172,727 2 + 203,041 2 – e2)/2 x 172.727 x 203,041-0,165583 = (29834,616 + 41225,648 – e2)/70141,325(-0,165583)x70141,325 = 71060,264 – e2

-11641,211 – 71060,264 = – e2

-82674,475 = – e2 x(-1)e2 = 82674,475e = √82674,475e = 287,532 m

EUsar lei do cosseno para determinar o lado BC

Portanto distância entre BC é de 287,532 m

9) Determine os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo.

Exercícios

Portanto os lados do terreno possuem:AB = 229,782 mBC = 287,532 mCD = 234,168 mDA = 322,54 m

Fórmulas

Teorema de Pitágoras

Hip2 = Cat. Adj2 + Cat. Opo.2

Seno senα = CO/H

Cosseno cosα = CA/H

Tangente tgα = CO/CA

a/sen A = b/sen B = c/sen C

cos A = (b2 + c2 – a2)/2bc

cos B = (a2 + c2 – b2)/2ac

cos C = (a2 + b2 – c2)/2ab

P = a + b + c

p = (a + b + c)/2

A = √p.(p-a).(p-b).(p-c)


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