Profesor: Carlos PrietoAyudante: Ricardo Mansilla Topolgıa 1: Tarea 1 Entrega(opcional):06.09.2012

1. Sea X un espacio vectorial normado. Definimos la funcion

d(x, y) = ‖y − x‖

(a) Demostrar (usando las propiedades de la norma) que d es una metrica.

(b) Si definimos

d′(x, y) =‖y − x‖

1 + ‖y − x‖Probar que esto define una metrica d′ equivalente a d en X.

(c) Usar el ejercicio anterior para demostrar que todo espacio metrico (X, d) tiene una metrica d′ equiv-alente a d y acotada en X.

Hint: Definir d′ en terminos de d.

2. Sea X un espacio seudometrico y definamos una relacion ∼ de la siguiente forma:

x ∼ y ⇔ d(x, y) = 0

(a) Probar que ∼ es una relacion de equivalencia.

(b) Definamos en el conjunto de las clases de equivalencia X = X/ ∼, una funcion:

d : X × X −→ R+

de manera que d([x], [y]) = d(x, y), donde [x],[y] son las clases de equivalencia de x e y. Probar qued es una metrica bien definida en X.

(c) Escribir, explicar y convencerse de lo siguiente:Si en el inciso anterior tomamos X = D2 ⊂ C (disco cerrado de dimension 2) y

d(z0, z1) =

{0 si z0, z1 ∈ ∂D2, |Arg(z0)−Arg(z1)| ∈ {0, π}

‖z0 − z1‖ en caso contrario

Tenemos una seudometrica que asigna distancia nula entre los puntos eiθ0 , eiθ1 ∈ ∂D2 = S1 quecumplen que |θ1 − θ0| es 0 o π. Lo que quiere decir que son el mismo punto o se encuentran enlados opuestos de S1.Haciendo el espacio X definido anteriormente sobre esta seudometrica, tenemos un espacio metrico(D2, d). Describir la topologıa inducida en D2 por d.

Extra: Se cumple que D2 ∼= RP2, donde RP2 es el plano proyectivo real de dimension 2.

3. Sea (X, T ) un espacio topologico y sea X ′ ⊂ X un subconjunto. Demostrar que

T ′ = {U ∪ (V ∩X ′)|U, V ∈ T }

es una topologıa en X.

4. Sea (X, T ) un espacio topologico y x ∈ X un punto. Se dice que un conjunto Vx ⊆ X es vecindad de xsi cumple que ∃A ∈ T , con x ∈ A ⊆ Vx.

(a) Demostrar que A es abierto sii es vecindad de todos sus puntos.

(b) Demostrar que si V0 es vecindad de x ∈ X. Entonces existe V1 vecindad de x tambien, que cumpleque ∀y ∈ V1, V0 es vecindad de y.

5. Sea (X, T ) un espacio topologico y P(X) el conjunto potencia de este. Supongamos que tenemos unoperador A 7−→ A◦ para cada conjunto A ∈ X, donde A◦ es el abierto mas grande contenido en A. O loque es lo mismo

A◦ = ∪{B ⊆ A|B ∈ T }Esta asignacion es conocida como operador interior.

Profesor: Carlos PrietoAyudante: Ricardo Mansilla Topolgıa 1: Tarea 1 Entrega(opcional):06.09.2012

(a) Con esta asignacion podemos definir la regla de correspondencia

◦ : P(X) −→ T

Ver que esta es una funcion sobreyectiva.

(b) Ver que un operador interior cumple:

(A ∪B)◦ ⊇ A◦ ∪B◦

Encontrar una situacion que muestre por que no se tiene la igualdad.

6. Sea X un conjunto y B ⊂ X. Si tenemos un operador en P(X) tal que ˜: A 7−→ A, con

A =

{A ∪B si A 6= ∅

∅ si A = ∅

probar que es un operador cerradura (que cumple los axiomas de Kuratowski).

(a) ¿Que sucede cuando B = ∅?(b) ¿Y cuando B = X?

7. Sea X un espacio topologico. Una base de vecindades es una familia Bx que cumple que para todavecindad U ⊂ X de x, ∃V ∈ Bx de manera que V ⊂ U . Si un espacio topologico cumple que ∀x ∈ X,∃Bx numerable, entonces se dice que X cumple el primer axioma de numerabilidad o que es 1-numerable.

(a) Probar que todo espacio metrico es 1-numerable.

(b) Definir una topologıa en S1 con alguna de las metricas vistas en clase y describir las bases devecindades obtenidas.

8. Probar que las siguientes afirmaciones son ciertas.

(a) Si X tiene la topologıa discreta, entonces para todo espacio topologico Y toda funcion f : X −→ Y ,f es continua.

(b) Si (Y, T ) es un espacio de Sierpinski con Y = {0, 1}, T = {∅, X, {1}} y (X, T ′) es un espacio con latopologıa discreta. Entoces al tomar una funcion f : X −→ Y tal que f(x) = 1,∀x ∈ X, tenemosque f es continua.

(c) Sea z ∈ C, f(z) = z + α, con α ∈ R, definimos el conjunto

Sz = {fk(z)|k ∈ Z}

y la relacion x ∼ y sii y ∈ Sx, donde fk(z) representa la iteracion k−esima de f . Se puede ver quela aplicacion ϕ : C −→ C/ ∼ es continua.

Extra: Describir los conjuntos ϕ−1(Bε([x])), los cuales son abiertos en C.