MTODOS NUMRICOS
ACT.6 TRABAJO COLABORATIVO CONSOLIDADO
MAPAS CONCEPTUALES Y EJERCICIOS
GRUPO: 100401_12
PRESENTADO POR
LADY UNIGARRO ARTEAGA
CDIGO 69055650
NALIA DELGADO ARTEAGA
CDIGO 69055658
GABRIEL JAIME GMEZ ESCOBAR
CDIGO 71.263.563
DIEGO DE JESS CASTRILLN CRUZ
CDIGO 70784725
TUTOR
CARLOS EDMUNDO LPEZ SARASTY
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGAS E INGENIERAS
CEAD PASTO, NARIO
2013
TABLA DE CONTENIDO
Pagina
INTRODUCCIN 3
1. Objetivos del trabajo colaborativo 4
2. Actividades a resolver 5
2.1 Primera parte: Mapas Conceptuales Consolidados 5
2.2 Segunda parte: Ejercicios 8
3. Conclusiones 14
4. Bibliografa y Cibergrafia 15
INTRODUCCIN
Con la realizacin del presente trabajo se tiene como intencin que conozcamos y manejemos los
conceptos bsicos de Mtodos Numricos, como lo son el concepto de error (error relativo y Absoluto)
y aprendamos sobre los errores de redondeo y truncamiento. Al Igual que la bsqueda de races por
medio de mtodos iterativos, como lo realiza un computador (como lo son el mtodo de Biseccin,
Newton Raphson y otros).
As como la interaccin entre el grupo de trabajo para la realizacin y consolidacin de un Trabajo
Colaborativo Final Consolidado que abarque lo exigido por el Tutor y que nos permita reconocer con
facilidad la temtica propuesta en la Unidad 1.
1. OBJETIVOS DEL TRABAJO COLABORATIVO
1. Estudiar y comprender muy bien los conceptos de cada captulo de la unidad.
2. Evaluar e implementar los procesos de aplicacin de los diversos casos de errores y races de ecuaciones.
3. Desarrollar competencias comunicativas con sus compaeros de grupo al realizar un procedimiento matemtico.
4. Desarrollar la competencia argumentativa al exponer la resolucin de un problema utilizando los conceptos del modulo
Nmeros diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a derecha; empiezan con el primer dgito diferente de cero y terminan con el tamao que permitan las celdas que guardan la mantisa.
Se debe a la interrupcin de un proceso matemtico antes de su terminacin. Sucede cuando se toman slo algunos trminos de una serie infinita o cuando se toma slo un nmero finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada slo toma en cuenta los dgitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dgito perdido.
MTODOS NUMRICOS
CAPITULO 1: CONCEPTOS BSICOS
Errores: se generan con el uso de aproximaciones para representar
cantidades y/o operaciones
Truncamiento: resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemtico exacto Redondeo: resultan de representar aproximadamente nmeros que son exactos.
En ambos casos tenemos que: Valor verdadero = valor aproximado + error Definimos el error absoluto como: Ev= valor verdadero - valor aproximado
DGITOS
SIGNIFICATIVOS
Nmero de cifras significativas que representan una cantidad, doble precisin, dependiendo de la mquina que estemos utilizando PRECISIN
Cercana de un nmero o de una medida al valor verdadero que se supone representa. EXACTITUD
ERRORES
INHERENTES O
HEREDADOS Errores Accidentales: Debidos a la apreciacin del observador y otras causas.
Errores Sistemticos: Debidos a la imprecisin de los aparatos de medicin.
Se ocasiona debido a las limitaciones propias de la mquina para representar cantidades que requieren un gran nmero de dgitos. Dependiendo de cmo se redondea puede ser de dos formas.
2. ERROR DE
REDONDEO
ERRORES DE TRUNCAMIENTO
Son errores en los valores numricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas: sistemticos o accidentales
1. EXACTITUD Y PRECISIN
-Error de Redondeo Superior: segn el signo del nmero en particular. a) Para nmeros positivos, b) Para nmeros negativos
Error de Redondeo Inferior: Se desprecian los dgitos que no pueden conservarse dentro de la localizacin de memoria correspondiente
ERROR DE
DESBORDAMIENTO
DE INFORMACIN
Ovarlo: sobre flujo. Existe cuando dentro de una localizacin de almacenamiento no cabe un nmero, debido a que es mayor que la capacidad de la mencionada localizacin de almacenamiento.
Underflow: subflujo. Existe cuando dentro de una localizacin de almacenamiento no se puede representar un nmero positivo muy pequeo, debido a que ste es menor que la capacidad de la mencionada localizacin de
almacenamiento.
ERROR ABSOLUTO Si p* es una aproximacin de p, y si p es el valor real, entonces: Error Absoluto = Ip-p*I O sea el valor absoluto de p menos p*.
Si p* es una aproximacin de p, y si p es el valor real, entonces, el Error relativo se define como: Error relativo = Ip-p*I con la condicin de p= 0. IpI
ERROR RELATIVO
UNIDAD I
CONCEPTOS BSICOS, EXACTITUD Y RACES DE ECUACIONES
ERROR RELATIVO
APROXIMADO
1) Error relativo aproximado = ERA ERA = (Valor actual - Valor anterior) * 100%
Valor actual 2) Tolerancia = (0.5x10
2-n) %. Donde n = nmero de cifras significativas
3) Trmino de convergencia permite finalizar los clculos. Es la desigualdad: ERA < Tolerancia
CAPITULO 2: RAICES DE ECUACIN
MTODOS PRELIMINARES
Sirven para obtener aproximaciones a las soluciones de ecuaciones de las cuales no es posible obtener respuesta exacta con mtodos algebraicos (Solo respuestas aproximadas).
RAICES DE ECUACIONES NO LINEALES
Una raz de una funcin f (x) es un nmero X0 tal que f(X0) = 0. Tambin se dice que X0 es una raz de la ecuacin f(X0) = 0. En este curso, consideraremos solamente races reales.
El mtodo de biseccin es un algoritmo de bsqueda de races que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raz. El mtodo de biseccin es menos eficiente que el mtodo de Newton, pero es mucho ms seguro para
garantizar la convergencia. Si f es una funcin continua en el intervalo [a, b] y f(a) f (b) < 0, entonces este mtodo converge a la raz de f. De hecho, una cota del error absoluto es: en la n-sima iteracin. La biseccin converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo. Si existieran ms de una raz en el intervalo entonces el mtodo sigue siendo convergente pero no resulta tan fcil caracterizar hacia qu raz converge el mtodo.
3. MTODO DE NEWTON- RAPHSON
4. MTODO ITERATIVO DE PUNTO FIJO
2. MTODO DE LA REGLA FALSA
Como en el mtodo de biseccin, se parte de un intervalo inicial [a0,b0] con f(a0) y f(b0) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raz. El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo ms pequeo [ak, bk] que
sigue incluyendo una raz de la funcin f. A partir de un intervalo [ak, bk] se calcula un punto interior ck: Dicho punto es la interseccin de la recta que pasa por (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el
mtodo de la secante). Se evala entonces f(ck). Si es suficientemente pequeo, ck es la raz buscada. Si no, el prximo intervalo [ak+1, bk+1] ser: [ak, ck] si f(ak) y f(ck) tienen signos opuestos y [ck, bk] en caso contrario.
Es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o races de una funcin real. Tambin puede ser usado para encontrar el mximo o mnimo de una funcin, encontrando los ceros de su primera derivada. El mtodo de Newton-Raphson es un mtodo abierto, en el sentido de que su convergencia global no est garantizada. La nica manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raz buscada. As, se ha de comenzar la iteracin con un valor
razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercana del punto inicial a la raz depende mucho de la naturaleza de la propia funcin; si sta presenta mltiples puntos de inflexin o pendientes grandes en el entorno de la raz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raz. Una vez que se ha hecho esto, el mtodo linealiza la funcin por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el
origen de dicha recta ser, segn el mtodo, una mejor aproximacin de la raz que el valor anterior. Se realizarn sucesivas iteraciones hasta que el mtodo haya convergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f : [a, b] -> R funcin derivable definida en el intervalo real [a, b].
Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada nmero natural n. . Donde f ' denota la derivada de f.
El mtodo del punto fijo es un mtodo iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar races de una funcin de la forma , siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
DESCRIPCIN DEL MTODO El mtodo de iteracin de punto fijo, tambin denominado mtodo de
aproximacin sucesiva, requiere volver a escribir la ecuacin en la
forma . Llamemos a la raz de . Supongamos que existe y es
conocida la funcin tal que: del dominio. Entonces:
Tenemos, pues, a como punto fijo de
PROCEDIMIENTO El procedimiento empieza con una estimacin o conjetura inicial de , que
es mejorada por iteracin hasta alcanzar la convergencia. Para que
converja, la derivada debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia ser establecida mediante el requisito de que el cambio
en de una iteracin a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequea cantidad .
ALGORITMO PARA ITERACIN DE PUNTO FIJO
1. Se ubica la raz de analizando la grfica
2. Se obtiene un despeje de la funcin.
3. Obtenemos de su derivada .
4. Resolviendo la desigualdad -1 1 obtenemos el rango de valores en los cuales est el punto fijo llamado R.
5. Con R buscamos la raz en , es decir haciendo iteracin de las operaciones.
1. MTODO DE BISECCIN
MTODOS NUMRICOS
ERROR DE
REDONDEO
USO DEL
EXCEL
ESTUDIA
PROGRAMACIN
DE MACROS
SOLUCIN DE
ECUACIONES DE
UNA VARIABLE
CONCEPTOS
FUNDAMENTALES DE
PROGRAMACIN
SE BASA EN LA FORMULA PARA
CALCULAR EL REA DE UN
TRAPECIO
Cuando un proceso que requiere un nmero infinito de pasos se detiene en un numero finito de pasos.
Para resolver ecuaciones de la forma: X=g(x):
1. Conocer f(x)=0 2. Conocer el valor inicial x 3. Despejar f(x) y encontrar
nueva funcin g(x) 4. Derivad de g(x) 5. Se evala g(x), utilizando
primero x, el resultado es el nuevo valor de x y continuar hasta encontrar la raz.
INTRODUCCIN A LOS MTODOS NUMRICOS
RAICES DE ECUACIONES
CONOCER
REGLA DEL
TRAPECIO
GRAFICACION DE FUNCIONES
EVALUACIN DE FUNCIONES
REGLA DE
SIMPSON
SOLUCIN DE
ECUACIONES DE UNA
VARIABLE
INTEGRACIN
APROXIMADA
Es el que resulta de remplazar un nmero por su forma de punto flotante
ERROR DE
REDONDEO
DGITOS
SIGNIFICATIVOS
ERROR DE REDONDEO
EXACTITUD Y PRECISIN
OVARLO: SOBRE
FLUJO
Cuando dentro de una localizacin de
almacenamiento no se puede representar
un nmero positivo muy pequeo
Error de Redondeo superior: para positivos, el ltimo que puede conservarse se incrementa en una unidad si
el primer digito despreciado es menor de 5. Para negativos el ultimo digito puede conservarse si el
primer digito despreciado es 5
Debido a las limitaciones propias de la mquina para representar cantidades con gran nmero de dgitos
Error de Redondeo inferior: se desprecian los dgitos que no puedan conservarse dentro de la localizacin
de memoria correspondiente.
Cuando dentro de una localizacin de
almacenamiento no cabe un nmero.
Nmeros diferente de cero en una cifra o guarismo , empiezan
con el primer digito diferente de cero y terminan con el
tamao que permitan las celdas que guardan la mantisa
Interrupcin de un proceso matemtico antes de su terminacin, cuando se toma solo algunos trminos de una serie infinita o
cuando se toma un nmero finito de intervalos
ERRORES INHERENTES
PRECISIN Se refiere al nmero de cifras significativas que representan una cantidad (doble precisin)
Son errores en los valores numricos con que se va a operar (sistemticos o accidentales)
Se refiere a la cercana de un numero o de una medida al valor verdadero que se supone representa
EXACTITUD
ERROR DE
TRUNCAMIENTO
UNDERFLOW:
SUBFLUJO
Cuando una maquina
involucra nmeros con
solo un nmero finito
de dgitos, los clculos
se realizan con
representaciones
aproximadas de los
verdaderos.
ERROR DE
TRUNCAMIENTO
CONOCER
MTODO DE NEWTON
RAPHSON
MTODO DE LA REGLA FALSA
Se trata de encontrar la raz de una ecuacin, la ecuacin tener la forma f(x) , es una funcin de x y est definida por el intervalo (a,f). condiciones:
1. F(a)*f(b)
2.2 SEGUNDA PARTE: EJERCICIOS
Se resolvern una lista de 5 (CINCO) ejercicios enfocados a poner en prctica los procesos
desarrollados en la Unidad. Los ejercicios son los siguientes:
1. Considere los siguientes valores de p y p* y calcule i) el error relativo y ii) el error absoluto:
a) p = 1/3 p* = 0.333 b) p = pi p* = 3.14
SOLUCIN
a) p = 1/3 p** = 0.333
i). El error relativo ii). El error absoluto
p-p*p
ER=0,00113
ER=0,003=3x10-3
p-p*
13- 0.333
0,001=1x10-3
b) p = pi p* = 3.14
i). El error relativo ii). El error absoluto
ER=p-p*p
ER=0,00159273,1415927
ER=5,06972 x10-4
EA=p-p*
EA=3,1415927-3,14
EA=0,0015927
EA=1,597x10-3
2. Determine las races reales de f(x)= -0,3x2+ 3,2x - 5,7
SOLUCIN
a) Usando la formula cuadrtica
x=-b b2-4ac/2a x=-3.2 (3,2)2-4 (-0,3)(-5,7)/2(-0,3) x=-3,210,24-4(1,71)/-0,6
x=-3,210,24-6,84/-0,6
x=-3,210,24-6.84/-0,6
x=-3,23,4/-0,6
x=-3,21,843/-0,6
x1=-3,2-1,843/-0,6= x1 =8,405
x2=-3,2+1,843/-0,6= x2 = 2,26
b) Usando el mtodo de biseccin hasta tres iteraciones para determinar la raz ms grande. Emplee
como valores inciales x=5 y x=10.
fx= -0,3x2+ 3,2x-5,7
x1=5 xu=10
Verificar que f(5) y f(10) tengan signos opuestos:
f5=-03(5)2+3.2 5-5,7
f5=2,8>0
f10=-0,3 (10)2+3,210-5,7
f10=-3,7& t;0
entonces calculamos el punto medio:
xr=a+b2
xr=5+102
xr =7,5
f7,5=-0,3(7,5)2+3.2 7,5-5,7
f5=1,425>0 La raz se encuentra en el intervalo 7.5 , 10
5 | 7,5 | 10 |
+ | + | - |
2. Aproximacin
Xr2= 7.5+102=8.75
Podemos calcular el primer error aproximado
EA=xr2 -xr1xr2 X 100%
EA=8,75-7,58,75
EA=14,28%
Evaluamos:
f8,75=-0,3(8,75)2+3.2 8,75-5,7
f8,75=-0,66
7,5 | 8,75 | 10 |
+ | - | - |
La raz se encuentra en el intervalo 7.5 , 8,75
Calculamos el punto medio
Xr3= 8,75+7,52=8,125
3.Aproximacin
Nuevo error aproximado:
EA=xr3 -xr2xr3 X 100%
EA=8,125-8.758,125
EA=7,69%
Evaluamos
f8,125=-0,3(8,125)2+3.2 8,125-5,7
f8,125=-0,417
Tabla:
7 | 8 | 9 |
- | | + |
La raz se encuentra en el intervalo [8,9]
2. Aproximacin:
calcular el punto medio:
xr2=8+92=8,5
calcular el primer error aproximado:
ea=xr2 -xr1xr2 X 100%
ea=8,5-88,5
ea=5,88%
evalar:
f8,5=28,53-218,52+378.5+24
f8,5=1228,25-1517,25+314,5+24=49,5>0
Tabla:
8 | 8,5 | 9 |
| + | + |
La raz se encuentra en el intervalo [8 , 8.5]
3. Aproximacin:
calcular el punto medio:
xr3=8+8,52=8,25
calcular el segundo error aproximado:
ea=xr3 -xr2xr3 X 100%
ea=8,25-8,58,25
ea=3,03%
Evalar:
f8,25=28,253-218,252+378.25+24
f8,5=1123,03-1429,31+305,35+24=23,07>0
Tabla:
8 | 8,25 | 8,5 |
| + | + |
La raz se encuentra en el intervalo [8 , 8.25]
Conclusin: para la primer evaluacin el resultado es cero, es decir que 8 es la raz, al continuar con el
procedimiento y el ltimo resultado en el intervalo [8,8.25] da un error aproximado de 3,03%.
4. Determine la raz real de f(x)= -0.2 + 6x - 4x2 + 0.5x
3. Usando el mtodo de Newton Raphson (tres
iteraciones usando x = 4.2).
SOLUCIN
Se ordena la ecuacin y se tiene: fx=0,5x3-4x2+6x-0,2
fx=0,5x3-4x2+6x-0,2
f'x=1,5x2-8x+6
Para la 1. Iteracin:
fx0=4.2=0,54.23-44.22+64.2-0,2=-8,516
f'x0=4.2=1,54.22-84,2+6=-1,14
x1=x0-fx0f'x0=4,2-8,516-1,14 x1=4,2-7,47
x1=-3,27
EAx1, x0=-3,27-4.2-3,27=2,2844
2. iteracin :
fx1=-3,27=0,5-3,273-4-3,272+6-3,27-0,2=-80,0744
f'x1=-3,27=1,5-3,272-8-3,27+6=48,1993
x2=x1-fx1f'x1=-3,27-80,074448,1993 x2=-3,27+1,6613
x2=-1,6087
EAx2, x1=-1,6087--3,27-3,27=0,5080
3. Iteracin:
fx1=-4,9313=0,5-4,93133-4-4,93132+6-4,9313-0,2=-187,0247
f'x1=-4,9313=1,5-4,93132-8-4,9313+6=81,9269
x2=x1-fx1f'x1=-4,9313 -187, 024781,9269
x2=-4,9313-1,6613
x2=-4,9313
EAx2, x1=-4,9313--3,27-3,27=0,5080
La raz es 0,5080 porque se repite en las dos ltimas iteraciones.
5. Determine un cero aproximado de la funcin f(x) = (0.9 0.4x)/x usando el mtodo de la regla falsa o falsa posicin en el intervalo [1,3] (realice 4 o 5 iteraciones)
SOLUCIN
1) =0,9-0,42,52,5
fxb=-0,04
2) Tercera aproximacin a la raz:
xr=xb-fxbxa-xbf(xa)-f(xb)
xr=2,5-0,04(2,166-2,5)0,0155-(-0,04)
xr=2,2592
3) Evaluar f(xr):
fxr2=0,9-0, 42,25922,2592
fxr1=-0,001628
3. CONCLUSIONES
Con el desarrollo de la temtica propuesta en la gua de trabajo para la Unidad 1 de Mtodos
Numricos se comprendi y entendi los conceptos y aplicaciones de dicha temtica; se evalu e
implemento los procesos para dichas aplicaciones en los diversos casos de errores y races de
ecuaciones.
Desarrollamos competencias de comunicacin entre todos los compaeros para el desarrollo de este
trabajo colaborativo, cumpliendo con lo exigido por el Tutor, adems desarrollamos una competencia
argumentativa al exponer la resolucin de los problemas expuestos por el Tutor aplicando lo aprendido
en el mdulo.
4. BIBLIOGRAFA Y CIBERGRAFIA
Buchelly Chaves, Carlos Ivn. MTODOS NUMRICOS. UNAD,
Corregido por Ricardo Gmez Narvez
Revisado por Carlos Edmundo Lpez Sarasty
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_la_regla_falsa
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_del_punto_fijo
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