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Mecânica dos Fluidos Validade do Teorema de Bernoulli

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Objectivo:

O objectivo desta actividade experimental consiste na verificação da validade do Teorema de Bernoulli. Verificação da relação entre energia piezométrica e energia cinética de um escoamento em pressão, numa conduta com secção transversal variável.

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Introdução: O teorema de Bernoulli representa o Princípio da Conservação da Energia e

relaciona as diferentes formas de energia mecânica ao longo de um escoamento: a energia de posição, a energia de pressão e a energia cinética. Permite, ainda, calcular o caudal de um escoamento ou a variação de pressão ao longo do escoamento. O caudal escoado através do dispositivo será medido utilizando o método volumétrico, isto é, contabilizando o tempo (t) necessário para recolher um dado volume (V) num balde graduado e calculando o respectivo cociente:

A velocidade média do escoamento numa secção de escoamento com área A é dada por:

O teorema de Bernoulli pode ser aplicado em várias situações, mas nesta

actividade experimental aplica-se no tubo de Venturi. O tubo de Venturi é constituído

por uma porção de tubagem convergente, seguida de uma secção curta de diâmetro

constante, a “garganta”, que por sua vez é seguida de uma porção de tubagem

divergente.

Admita-se que o fluido é ideal (de modo a não haver dissipação de energia por

atrito) e que as velocidades U1, á entrada, e U2, na garganta, são uniformes e paralelas,

sobre as secções rectas correspondentes (com áreas A1 e A2, respectivamente). Com

escoamento permanente de fluido de massa volúmica constante, pode aplicar-se a

equação de Bernoulli a uma linha de corrente ao longo do eixo, entre as secções 1 e 2.

Nessa equação podem substituir-se os valores de U1 e U2, a partir da relação da

continuidade Q= A1U1=A2U2, obtendo-se:

[3]

Como o escoamento é horizontal, Z1 = Z2, e sendo valida nos piezometros, a lei

da hidrostática, vem que a pressão (p) é dada por p = , então a equação traduz-se da seguinte forma:

[4]

A primeira parcela da equação [4], p/ , é a chamada altura piezométrica e

representa a energia de pressão por unidade de peso de fluido. A segunda parcela,

,

é chamada altura cinética e representa a energia cinética por unidade de peso de fluido. E H é constante em todas as secções da conduta e representa a energia total por unidade de peso do líquido. Na equação [3], Z, representa a cota ou altura geométrica em relação a um determinado plano de referência e representa a energia potencial gravítica por unidade de peso de fluido.

Sendo h altura piezometrica numa secção qualquer vem que:

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Assim se pode concluir que h varia com o quadrado da velocidade. A função da parte divergente do medidor é reduzir de novo a velocidade,

gradualmente, de modo a devolver a pressão ao seu valor original (idealmente). Infelizmente, num tubo divergente, o escoamento tende a separar-se da parede, com formação de turbilhões, havendo com consequência dissipação de energia mecânica em calor. Quanto maior é o ângulo de divergência, maior é a dissipação de energia. Deste modo verifica-se a existência de perdas de energia ( ao longo do escoamento, e como já se referiu anteriormente, devido ao atrito do fluido com as paredes das tubagens e ao atrito no interior do próprio fluido. Assim temos que para o escoamento de um fluido real, entre duas secções 1 e 2, e considerando as perdas de carga ( , a equação de Bernoulli traduz-se da seguinte forma:

+ [6]

representa a perda de energia por unidade de peso de liquido ou carga,

entre as secções 1 e 2. Se se comparar as alturas piezométricas em secções com a mesma área, isto é,

com Z1=Z2 e U1=U2, obtém-se a perda de carga verificada entre essas secções:

Sendo =

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Descrição do procedimento experimental: Material:

Banco hidráulico;

Cronometro;

Bomba. Procedimento:

Verificou-se se o dispositivo de demonstração do Teorema de Bernoulli estava correctamente ligado ao banco hidráulico;

Ligou-se a bomba e regulou-se o caudal;

Registaram-se as alturas da água nos vários tubos piezométricos;

Determinou-se o valor do caudal escoado, pelo método volumétrico;

Mediu-se um determinado volume e o respectivo tempo;

Aumentou-se o caudal regulando a válvula do dispositivo;

Repetiram-se os passos anteriores para três caudais diferentes.

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0

50

100

150

200

250

300

0 20 33 46 61 76 91 106 121 136 156

Δx (10-3 m)

h (

10

-3 m

)

Q= 0,00024 (m3/s)

Q=0,00020 (m3/s)

Q= 0,00014 (m3/s)

Resultados obtidos:

Volume de água = 5L Peso especifico da água = 9810 kg/ m2s2

Tabela 1-Áreas e distâncias horizontais dos piezómetros:

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11

Área (10-6 m2)

530,9 422,7 265,9 201,1 221,7 268 318,8 375 435 500,8 530,9

Δx (10-3m)

0 20 32 46 61 76 91 106 121 136 156

Tabela 2- Alturas (10

-3 m) piezométricas obtidas dos ensaios:

Ensaios H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 H9 H10 H11

1 75 71 45 11 10 30 45 55 60 61 65

2 160 158 139 110 113 124 137 144 149 151 153

3 246 244 233 220 219 225 233 236 239 240 241

Foram realizados três ensaios onde foram registadas as alturas piezométricas,

como evidencia a tabela 2. Verifica-se que em todos os ensaios a altura da água do piezometro um é maior que a altura da água do piezometro onze embora a área de ambos seja a mesma. Este facto deve-se as perdas de carga que ocorreram ao longo tubo de Venturi.

Gráfico 1- Alturas piezométricas em função da distância:

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5

7

10

0

2

4

6

8

10

12

0,00014 0,00002 0,00024

Caudal (m3/s)

Perd

as d

e c

arg

a (

mm

)

Tabela 3- Caudais e tempo determinado experimentalmente para os vários ensaios:

Ensaios Volume (m3) Tempo (s) Tempo médio (s) Q (m3/s) Q médio (m3/s)

1

0,005 20,77

21,27

0,00024

0,00024 0,005 21,20 0,00024

0,005 21,80 0,00023

2

0,005 24,72

24,56

0,00020

0,00020 0,005 24,47 0,00020

0,005 24,50 0,00020

3

0,005 33,75

34,49

0,00015

0,00014 0,005 34,87 0,00014

0,005 34,87 0,00014

Na tabela 3 pode-se verificar que o ensaio que apresenta maior tempo é o ensaio

três que por sua vez é o ensaio que possui menor caudal. Já o ensaio 1 apresenta menor tempo e maior caudal.

Tabela 4- Perdas de carga:

Ensaios 1 0,010

2 0,007

3 0,005

Uma vez que, o ensaio um tem maior caudal, por sua vez tem maior perda de carga. Ao contrario do ensaio três que tem menor caudal, logo menor perda de carga. Apresentando um valor intermédio o ensaio dois, perante o ensaio um e o ensaio três como se pode evidenciar pela tabela 4.

Gráfico 2- Perdas de carga em função do caudal:

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Tabela 5- Taxa de recuperação da pressão (%):

Ensaios Taxa de recuperação da pressão (%)

1 86,67

2 95,63

3 97,98

Na tabela 5 está registada a taxa de recuperação de pressão, de cada ensaio, em percentagem. Como o ensaio um tem maior caudal e apresenta maior perda de carga, por conseguinte apresenta menor taxa de recuperação de pressão. Os ensaios dois e três apresentam maiores taxas de recuperação de pressão uma vez que também têm menores perdas de carga e menores caudais, no entanto é o ensaio três que possui maior taxa de recuperação da pressão.

Gráfico 3- taxa de recuperação de pressão em função do caudal:

Tabela 6- Pressões (Pa) dos piezómetros:

Pressão (kg/ms2=Pa) Ensaio 1 Ensaio 2 Ensaio 3

P1 735,75 1569,60 2413,29

P2 696,51 1549,98 2393,64

P3 441,45 1363,59 2285,73

P4 107,91 1079,10 2158,20

P5 98,10 1108,53 2148,39

P6 294,30 1216,44 2207,25

P7 441,45 1343,97 2285,73

P8 539,55 1412,64 2315,16

P9 588,60 1461,69 2344,59

P10 598,41 1481,31 2354,40

P11 637,65 1500,93 2364,21

Ao longo da secção convergente do tubo os valores das pressões dos

piezometros diminuem até á garganta do tubo, voltando a aumentar ao longo da secção divergente do tubo, no entanto note-se que as pressões dos piezómetros na

86,67

95,63

97,98

80

82

84

86

88

90

92

94

96

98

100

0,00024 0,00014 0,00002

Caudal (m3/s)

Taxa d

e r

ecu

pera

ção

da p

ressão

(%

)

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secção convergente admitem valores superiores às pressões na secção divergente em cada um dos ensaios, como se pode verificar pela tabela 6, devido as perdas de carga.

Gráfico 4- Pressões dos piezometros em função da distância:

Tabela 7 – Velocidades médias:

Área (10-6 m2)

U(m/s) 530,9 422,7 265,9 201,1 221,7 268 318,8 375 435 500,8 530,9 Qm=0,00024 0,45 0,57 0,90 1,19 1,08 0,89 0,75 0,64 0,55 0,47 0,45

Qm=0,00020 0,38 0,47 0,75 0,99 0,90 0,75 0,63 0,53 0,46 0,40 0,38

Qm=0,00014 0,26 0,33 0,53 0,70 0,63 0,52 0,44 0,73 0,32 0,28 0,26

Observando a tabela 7 pode-se concluir que ao longo da secção convergente a

velocidade aumenta atingindo o valor máximo na garganta do tubo, já na secção divergente a velocidade toma valores cada vez mais baixos, ou seja, diminui.

A velocidade no primeiro piezometro é igual á velocidade no último piezometro, pois têm a mesma área. Á que ter em conta que quanto maior for a área do piezometro, menor é a velocidade.

A velocidade aumenta com o caudal, pois toma valores maiores quando o caudal é maior, e toma valores mais baixos quando o caudal é menor. Gráfico 5 - Velocidades média em função da área:

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 20 33 46 61 76 91 106 121 136 156

Δx (10-3 m)

P (

Pa) Q=0,00024 (m3/s)

Q=0,00020 (m3/s)

Q=0,00014 (m3/s)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

530,9 422,7 265,9 201,1 221,7 268 318,8 375 435 500,8 530,9

Área (10-6 m2)

Um

éd

ia (

m/s

)

Qm=0,00014

Qm=0,00020

Qm=0,00024

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Conclusão:

Na leitura das alturas da água nos vários piezometros quando não é possível a leitura dentro da escala, deve-se introduzir ar com uma bomba de mão no tubo de venturi, ao qual não se procedeu, este facto pode interferir com os resultados.

Foram realizados três ensaios nos quais se fez a medição do caudal escoado através do método volumétrico, onde o volume considerado foi de 5L, devido á demora da água até atingir 1L, para melhor contabilização dos tempos cronometrados. No entanto este facto pode ter interferido nos resultados obtidos, assim como o erro dos tempos cronometrados.

Os gráficos construídos h=f(x) com base nos valores obtidos experimentalmente são duas parábolas. Uma decrescente, para valores crescentes das velocidades de escoamento e que corresponde a secção convergente do tubo. A outra, é crescente, para valores decrescentes da velocidade de escoamento na secção divergente. Os gráficos dos valores das pressões obtidos experimentalmente também são duas parábolas. Uma decrescente, para valores decrescentes da pressão e que corresponde a secção convergente do tubo. A outra é crescente para valores crescentes da pressão na secção divergente.

No troço convergente a velocidade do escoamento vai aumentar, porque diminui a área da secção recta do escoamento, até atingir o seu valor máximo no ponto de secção mínima (garganta). A partir deste ponto tem inicio um troço divergente, no qual a velocidade do escoamento vai decrescendo progressivamente como se pode verificar pelo gráfico 5.

Já a pressão progride inversamente á velocidade, pois quanto maior for a velocidade menor é a pressão e menor é a altura da água nos piezómetros.

Uma vez que se aumenta o caudal verificam-se maiores valores de perda de carga e velocidade pois verificam-se menores valores de pressão e de taxa de recuperação de pressão.

Como Z1 Z11 e U1=U11 pode-se assim concluir que ocorreram perdas de carga e por isso valida-se o teorema de Bernoulli.

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Bibliografia:

Tufi Mamed Assy; “Mecânica dos Fluidos”; LTC; 2º edição; Rio de Janeiro 2004.

Ranald. V. Griles; Jack B. Evett; Cheng Liu.; “Mecânica dos Fluidos e Hidráulica”; McGraw-Hill; 2º edição; São Paulo.

B. S. Massy; “Mecânica dos Fluidos”; Fundação Calouste Gulbenkian; Lisboa 2002. Garcia, V.; “ Sebenta de Mecânica dos fluidos/ Hidráulica geral I ”; Ano lectivo 2007/08 –

IPB/Escola Superior de Tecnologia e Gestão;

J. Novais-Barbosa; “Mecânica dos Fluidos e Hidráulica Geral”; volume 1; Porto Editora; Porto Julho 1985.

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Anexos:

Cálculo do caudal:

Onde: V- volume (m3) t- tempo (s) Q- caudal (m3/s) Exemplo:

Calculo das perdas de carga (m):

Onde: Δh- perdas de carga (m) H1- altura do piezometro um (10-3m) H11- altura do piezometro onze (10-3m) Exemplo:

Cálculo da taxa de recuperação da pressão (R):

Onde: R- taxa de recuperação da pressão (%) H11- altura do piezometro onze (10-3m) H1- altura do piezometro um (10-3m) Exemplo:

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Cálculo da pressão (Pa):

Onde: P- pressão (Pa) H- altura piezometrica (10-3 m) λ- Peso específico da água (kg/m2s2) Exemplo:

Cálculo da velocidade (U):

Onde: U- velocidade média (m/s) Q- caudal (m3/s) A- Área (10-6 m2) Exemplo: