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Trabalho e Energia Cinética

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A unidade de Trablaho no S.I. é o Joule. Sendo a unidade da força o Newton (N) e a unidade do deslocamento o metro (m), concluimos que:

1 joule = (1 newton) (1 metro) ou 1J = 1 N.m

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Quando a força aplicada está na direção do movimento temos o trabalho representado pela equação W = F.d, porém, se ao empurrar um carro por exemplo, a força aplicada formar um ângulo Ф com o seu deslocamento? Nesse caso F possui uma componente na direção do deslocamento FII = F.cosФ e uma componente na direção perpendicular ao movimento F _|_ = F. sen Ф. Neste caso somente a componente FII é importante pra nós, pois, é atuante no movimento, tornando a equação do trabalho:

W = F.d.cos Ф

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Trabalho: positivo, negativo ou nulo.

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Exemplo de trabalho nulo

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Exemplo de trabalho negativo

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Trabalho realizado por diversas forças

O fazendeiro engata o trenó carregado de madeira ao seu trator e o puxa até uma distância de 20m ao longo de um terreno horizontal. O peso total do trenó carregado é igual a 14700 N. O trator exerce uma força constante de 5000N, formando um ângulo de 36,9°, acima da horizontal, como visto na figura. Existe uma força de atrito de 3500N que se opõe ao movimento. Calculemos o trabalho que cada força realiza sobre o trenó e o trabalho total realizado por todas as forças.

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Solução1°) Passo: Identificar os ângulos entre cada força e o deslocamento.

Wp = 0 (direção perpendicular ao deslocamento), pela mesma razão:

Wn = 0, logo Wn = Wp = 0.

Falta considerar a força exercida pelo trator Ft e a força de atrito f. Pela equação, o trabalho realizado por Ft é:

Wt = Ft.d.cosФ => Wt = (5000N) . (20m) . 0,800 => Wt = 80000 N.m = 80Kj

A força de atrito possui sentido contrário ao deslocamento de modo que Ф = 180°.

Wf = f.d.cos180° = (3500N) . (20m) . (-1) => Wf = (-70Kj)

Wtot = Wp + Wn + Wt + Wf = 0 + 0 + 80Kj + (-70Kj) => Wtot = 10Kj

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Energia cinética e o teorema do trabalho-energia.O trabalho total realizado pelas forças externas sobre um corpo é relacionado com o

deslocamento do corpo. Contudo o trabalho total também é relacionado com a velocidade do corpo.

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Imaginem um objeto de massa m movimentando-se na horizontal da esquerda para direita. Imaginem também que em um determinado momento da sua trajetória uma força é aplicada na mesma direção do movimento, realizando um trabalho positivo sobre ele e assim aumentando a velocidade do objeto, que passa de vo para vf, indo do ponto xo ao ponto xf, realizando assim um deslocamento d = xf –xo. Podemos dizer então que:

Vf2 = Vo

2 + 2.a.d

Pela segunda lei de Newton: F = m . a

Isolando a aceleração na primeira fórmula, temos:

a = Vf2 – Vo

2

2.d

Substituindo na equação da segunda lei de Newton, temos:

F = m . Vf2 – Vo

2 F.d = m . Vf

2 - m . Vo

2

2.d 2 2

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O produto F.d é o trabalho W realizado pela força resultante F e, portanto é o trabalho total Wtot realizado por todas as forças que atuam sobre a partícula.

A grandeza m . V2 é denominada energia cinética EC do objeto:

2

EC = m . V2

2

A energia cinética é uma grandeza também escalar e só depende da massa e da velocidade do objeto, sendo indiferente o sentido e a direção do movimento.

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Voltando à equação: F.d = m . Vf2 - m . Vo

2 , podemos interpretá-la em termos

2 2

do trabalho e da energia cinética.

Se o primeiro menbro ECf = m . Vf2 e o segundo membro ECo = m . Vo

2 , a dife-

2 2

rença entre os dois termos é a variação da energia cinética. Logo, dizemos:

O trabalho realizado pela força resultante sobre a partícula fornece a variação da energia cinética da partícula:

Wtot = ECf – ECo = Δ EC

Este resultado é conhecido como o Teorema do Trabalho-energia.

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Quando o Wtot é positivo, a energia cinética aumenta (a energia final Ec2 é maior que a energia inicial Ec1) e a velocidade final da partícula é maior que a velocidade incial.

Quando Wtot é negativo, a energia cinética diminui (Ec2, é menor do que Ec1) e a velocidade final da partícula é menor do que a velocidade incial.

Quanto Wtot = 0, a energia cinética é constante (Ec1 = Ec2) e a velocidade não se altera.

A energia cinética e o trabalho possuem as mesmas unidades de medida, ou seja o Joule (J).

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Exercícios

1) Vamos utilizar como objeto o trenó carregado de madeira do exemplo anterior. Suponha que a velocidade inicial v1 é 2,0 m/s. Qual a velocidade escalar no trenó após um deslocamento de 20m ? Calcular utilizando o teorema do trabalho-energia. (Wtot = Ec2 – Ec1). Obs: m = p/g (Massa é o quociente entre peso e gravidade).

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Para acelerar uma partícula de massa m a partir do repouso (energia cinética zero) até uma velocidade v, o trabalho realizado sobre ela deve ser igual à variação da energia cinética desde zero até Ec = m. v

2

2

Wtot = Ecf – 0 = Ecf

Wtot = Ecf

Portanto, quando em repouso, a energia cinética de uma partícula é igual ao trabalho total realizado para acelerá-la a partir do repouso até sua

velocidade presente.

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Trabalho e energia com forças variáveis

Até o momento consideramos apenas forças constantes e movimentos retilíneos, porém podemos imaginar diversas situações em que as forças aplicadas variam em módulo, direção e sentido e o corpo se desloca em trajetória curva por exemplo.

Exemplo de força variável: Quando comprimimos uma mola. Quanto mais comprimimos a mola, maior é a força que temos que aplicar sobre ela, de modo que a força então não é constante.

O teorema do trabalho-energia também é verdadeiro para essas situações e com ele analisaremos os vários movimentos.

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Trabalho realizado por uma força variável em movimento retilíneo

Imaginem por exemplo dirigir um carro em estrada retilínea com sinais de parada onde o motorista precisa alternar entre pisar no freio e no acelerador.

Agora visualizem no primeiro gráfico uma partícula que possui uma determinada força na posíção x1 e outra força na posiçao x2. Abaixo verifiquem o gráfico da força em funçao da distância.

Wtot = Fax Δxa + Fbx Δxb + …

2

1

x

x

dxFx

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Aplicando o conhecimento em deformações de molas

Para esticarmos uma mola à uma distância x além de sua posição não deformada, devemos aplicar uma força de módulo F em cada uma de suas extremidades. O módulo da força F é diretamente proporcional ao módulo do deslocamento x:

Fx = K.x

Constante da mola.

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O trabalho realizado por F quando o alongamento varia de zero a um valor máximo X é dado por:

W = .dx = = 1 KX2

2

Quando temos uma mola sendo alongada x1 e depois de x1 sendo alongada x2, o trabalho realizado para esticá-la até um alongamento final x2 é dado por:

W = = = 1 Kx22 - 1 Kx1

2

2 2

x

Kx0x

Kx0x

Kx0

x

xF0

x

dxKx0

.x

dxKx0

.

x

dxKx0

.

2

1

.x

x

x dxF 2

1

.x

x

dxKx

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Exercício

Uma mulher pesando 60N está em pé sobre uma balança de mola contendo uma mola rígida como na figura abaixo. No equilíbrio, a mola está comprimida 1,0 cm sob a ação do seu peso. Calcule a constante da mola e o trabalho total realizado pela força de compressão sobre a mola.

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Potência

Muitas vezes precisamos saber quanto tempo demoramos para realizar um trabalho. Isso pode ser descrito pela potência. Na linguagem comum potência é confundido com energia ou força. Na física, temos uma definição muito mais precisa, onde potência é a taxa temporal da realização de um trabalho. Trata-se de uma grandeza escalar cuja unidade de medida é o Watt (W). 1W = 1J/s

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No sistema inglês a unidade de medida de potência é o horsepower (hp) que quer dizer potência de cavalo)

1 hp = 746 W

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Em mecânica podemos escrever a potência em função da força e da velocidade, sendo:

P = F.v

Exercício:

1) Cada um dos dois motores a jato de um avião Boeing 767 desenvolve uma propulsão (força que acelera o avião) iagual a 197000N. Quando o avião está voando a 250m/s (900 km/h), qual a potência instantânea que cada motor desenvolve? Em W e hp.

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2) Uma velocista de Chicago com massa de 50,0 Kg sobe correndo as escadas da Torre Sears em Chicago, o edifício mais alto dos Estados Unidos, altura de 443 m. Para que ela atinja o topo em 15,0 minutos, qual deve ser a sua potência média em watts? E em quilowatts? E em horsepower?