Preparado por: Gustavo J. Ruberté Maldonado
Curso: Algebra Lineal AvanzadaDr. Orlando Planchart
Transformaciones lineales
Conceptos que debemos conocer• Se denota con R2 el conjunto de pares ordenados de números
reales.
• Los arreglos de tres números reales se pueden interpretar de dos formas: como la localización de un punto en el espacio de tres dimensiones con respecto a un sistema de coordenadas xyz, o como un vector de posición.
• Se denotará con R3 al conjunto de triples ordenados de números reales.
• Sin embargo, los elementos de Rn se interpretan como puntos en el espacio n o como vectores de posición en el espacio n. Las matemáticas que se formulen en Rn serán la generalización de la geometría en R2 y R3, espacios con los que se encontrará familiarizado.
• Rn junto con las operaciones de adición y multiplicación por un escalar de las componentes constituye un ejemplo de espacio vectorial, cuyos elementos reciben el nombre de vectores.
Introducción• Una función es una regla que asigna
a cada elemento de un conjunto exactamente un elemento de otro conjunto.
• Las transformaciones lineales son una clase importante de funciones entre espacios vectoriales.
Un espacio vectorial Rn posee dos operaciones definidas sobre él: la adición y la multiplicación por un escalar.
• La primera condición implica que T transforma la suma de dos vectores en la suma de las imágenes de dichos vectores, “la transformación de una suma es igual a la suma de las transformaciones”.
• La segunda condición implica que T transforma la multiplicación de un vector por un escalar en la misma multiplicación del escalar por la imagen, “la transformación de un escalar por un vector es igual que el escalar por la transformación del vector”.
Por lo tanto, las operaciones de adición y multiplicación por un escalar se conservan bajo la transformación.
Rn Rm
u T(u)
v T(v)
T(u + v)
T(cu)
u + v
cu
T
T es lineal si T(u + v) = T(u) + T(v)
T(cu) = cT(u)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Transformaciones matriciales
Usando la multiplicación entre matrices de la siguiente manera
Teorema
la transformación es lineal
Ejemplo 3
R2R3
Esta parte del diagrama representa al conjunto de elementos que conforman R2
Ejemplo 4
Composición de las transformaciones lineales
Rn Rm Rs
x
T
Teorema
Ejemplo 5
Por lo tanto,
Transformaciones 2D• El corazón de todo paquete gráfico es el
kernel de transformaciones geométricas– Traslación– Escalado– Cizallamiento– Reflexión– Rotación– y la concatenación de cualquiera de ellas.
Transformaciones 2D• Traslación
– Transformación que sitúa un punto (x,y) del plano en una nueva posición (x',y').
– Se consigue añadiendo unas ciertas cantidades dx y dy
• dx representa cuántas unidades hemos trasladado el punto sobre el eje x
• dy representa lo mismo sobre el eje y
y
x
dyydxx
''
Transformaciones 2D• En notación matricial
y
x
dyydxx
''
y
x
dd
Tyx
Pyx
P ,,''
'
y
x
dd
yx
yx''
TPP '
Transformaciones 2D
• Escalado– Consiste en multiplicar por un factor
(agrandar o disminuir) las coordenadas del punto.
– El factor puede ser diferente para cada una de ellas.
ysyxsx
y
x
''
Escalado
• En forma matricial
ysyxsx
y
x
''
yx
ss
yx
y
x
00
''
PSP '
y
x
ss
Syx
Pyx
P0
0,,
''
'
Cizallamiento– Desplaza un punto en la dirección de uno de
los ejes un espacio proporcional a la distancia del punto al origen según otro de los ejes.
– Los puntos con una coordenada mayor resultan más desplazados que aquellos que la tienen menor.
– El cizallamiento de x respecto de y es
yyycxx x
''
Rotación)(')cos('
sinryrx
)()cos(
sinryrx
)cos()()()cos()()()()cos()cos()cos(
sinsinsinsinsin
)cos()()()cos(')()()cos()cos('
sinrsinrysinsinrrx
)cos()(')()cos('
ysinxysinyxx
Coordenadas Homogéneas• En forma abreviada las principales transformaciones son
TPP 'PSP 'PRP '
• conviene que todas sean de la misma forma para poder operar de una forma homogénea
Coordenadas homogéneas• El concepto de coordenadas homogéneas busca una notación matricial que
integre todas las transformaciones en una sola matriz.
• Ello permite realizar las rotaciones, escalado, etc. respecto a otros puntos
que no sean el origen mediante operaciones matriciales simples.
• En una matriz de 2x2 esto no es posible.
Coordenadas homogéneas• Las coordenadas homogéneas de (x, y) son • (x', y', h), donde
– x = x'/h – y = y'/h – h no puede ser 0.
• Para un punto concreto del plano existen infinitas representaciones en coordenadas homogéneas
• (4, 5) se puede representar como – (8, 10, 2)– (4, 5, 1)– (12, 15, 3)
Coordenadas homogéneas• Un conjunto preferido para representar en coordenadas
homogéneas es el conjunto • (x, y, 1) o, como vector
1yx
1yx
• Las matrices de transformación son ahora de 3x3Las matrices de transformación son ahora de 3x3
Traslación en coordenadas homogéneas
• Las traslaciones quedan
• y en forma abreviada
• El escalado es
• y en forma abreviada
11001001
1''
yx
dd
yx
y
x
PddTP yx ),('
11000000
1''
yx
ss
yx
y
x
PssSP yx ),('
Transformaciones en coordenadas homogéneas
• El cizallamiento respecto a x
• y en forma abreviada
• La rotación
• y en forma abreviada
PcCP x )('
11000)cos()(0)()cos(
1''
yx
sinsin
yx
PRP )('
110001001
1''
yxc
yx x
Concatenación de transformaciones
• La aplicación consecutiva de transformaciones
geométricas se denomina concatenación
• El resultado es otra transformación geométrica
equivalente.
• En notación matricial equivale al producto de matrices
Concatenación de transformaciones• Propiedades de las operaciones con matrices cuadradas
– Adición • Asociativa (A+B)+C=A+(B+C)• Conmutativa A + B = B + A
– Multiplicación • Asociativa (A·B)·C = A·(B·C)• NO conmutativa A·B ‡ B·A en general• Distributiva con respecto a la adición por ambos lados
A·(B+C) = A·B+B·C(B+C)·A = B·A+C·A
• A·B=0 no implica necesariamente A=0 o B=0• A·B=A·C no implica necesariamente B=C
Propiedades de las Operaciones con Matrices
TT ABBA
1000)cos()(0)()cos(
11''
sinsin
yxyx
11000)cos()(0)()cos(
1''
yx
sinsin
yx
Propiedades de las Operaciones con Matrices11, BAABIABBA
1001001
1001001 1
y
x
y
x
dd
dd
100
010
001
1000000 1
y
x
y
x
s
s
ss
1000)cos()(0)()cos(
1000)cos()(0)()cos( 1
sinsin
sinsin
10001001
10001001 1
xx cc
PddTP yx ),(' 11 '),('' 22 PddTP yx
PddTddTPddTddTP yxyxyxyx )),(),(()),((),('' 11221122
),(),( 1122 yxyx ddTddT
1001001
1001001
1001001
),(),( 21
21
1
1
2
2
1122 yy
xx
y
x
y
x
yxyx dddd
dd
dd
ddTddT
Concatenación de Traslaciones• Supongamos que realizamos 2 traslaciones consecutivas.
• Y nos queda realizar el producto matricial
PssSP yx ),(' 11'),('' 22 PssSP yx
PssSssSPssSssSP yxyxyxyx )),(),(()),((),('' 11221122
),(),( 1122 yxyx ssSssS
1000000
1000000
1000000
),(),( 12
12
1
1
2
2
1122 yy
xx
y
x
y
x
yxyx ssss
ss
ss
ssSssS
Concatenación de Escalados• Cabría esperar que la concatenación de escalados fuera
multiplicativa
• Y nos queda realizar el producto matricial
PRP )(' ')('' PRP
PRRPRRP ))()(())(()(''
)()( RR
1000)cos()(0)()cos(
1000)cos()(0)()cos(
)()(
sinsin
sinsin
RR
Concatenación de Rotaciones• Cabría esperar que la concatenación de rotaciones fuera aditiva
• Y nos queda realizar el producto matricial
)()( RR
1000)cos()cos()()()()cos()cos()(0))cos()()()(cos()()()cos()cos(
)()(
sinsinsinsinsinsinsinsin
RR
Concatenación de Rotaciones
)cos()()()cos()()()()cos()cos()cos(
sinsinsinsinsin
1000)cos()(0)()cos(
)()(
sinsin
RR
Ejemplo
• Rotar la figura respecto de P, un ángulo
P(x,y) P
Ejemplo• Rotación respecto a un punto fuera del origen =>
– Traslación al origen– Rotación– Traslación al punto P P
1001001
1000)cos()(0)()cos(
1001001
yx
sinsin
yx
),()(),( yxTRyxT
P
100)())cos(1()cos()()())cos(1()()cos(
xsinysinysinxsin
Convención de signos • Convención de signos para las rotaciones
– Sistema dextrógiro• Un giro de 90º en sentido antihorario transforma un eje
en otro, visto desde la parte positiva del tercero.– Sistema levógiro
• (al revés)
• Atención: No todos los textos usan la misma convención.
– Matemáticas dextrógiro– 3D levógiro
• Conversión: Reflexión respecto al plano xy
Z
X
Y
Levogiro
ZX
Y
Dextrogiro
Transformaciones 3D• Traslaciones
1000100010001
),,(z
y
x
zyx ddd
dddT
• Escalado
1000000000000
),,(z
y
x
zyx ss
s
sssS
10000100010001
),( y
x
yxxy
cc
ccC
• CizallamientoCizallamiento
10000)cos()(00)()cos(00001
)(
sin
sinRx
10000)cos(0)(00100)(0)cos(
)(
sin
sin
Ry
1000010000)cos()(00)()cos(
)(
sin
sin
Rz
Transformaciones 3DRotación alrededor de x Rotación alrededor de z
Rotación alrededor de yRotación alrededor de y Reflexión respecto del plano Reflexión respecto del plano xy (z->-z)xy (z->-z)
1000010000100001
xyE
Transformaciones / Cambio de Sistema Coordenado
• Transformaciones Geométricas– Cambio de un conjunto de
coordenadas a otro en un mismo sistema.
– También puede pensarse como un cambio entre sistemas de coordenadas.
• Aproximación útil para múltiples objetos cada uno definido en su propio sistema.
• Sea jiM
la transformación que pasa la transformación que pasa del sistema j al i.del sistema j al i.PP(i)(i) es la representación de es la representación de P en el sistema i, P en el sistema i, PP(j)(j) es la representación de es la representación de P en el sistema jP en el sistema jPP(k)(k) es la representación de es la representación de P en el sistema kP en el sistema k
)()( jji
i PMP
)()( kkj
j PMP
Transformaciones / Cambio de Sistema Coordenado
Hay que notar queHay que notar que
)()( jji
i PMP )()( k
kjj PMP
)()()()( kki
kkjji
jji
i PMPMMPMP
kjjiki MMM
ijji MM
1
La aproximación consiste en La aproximación consiste en considerar cada cuerpo en su considerar cada cuerpo en su propio sistema de coordenadas propio sistema de coordenadas y transformarlo y transformarlo apropiadamenteapropiadamente
Composición de transformaciones
• Como en 2D se resume en la multiplicación de matrices.
• Es la herramienta básica a la hora de– posicionar los objetos– establecer sus orientaciones– animar los movimientos– crear objetos compuestos
Rotación alrededor de un eje arbitrario
y
x
z
d
ux
uz
uy
22zy uud
duz)cos(
du
sin y)(
d)cos(
xusin )(
xyzyx RRRRRM 11