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Algebra LinearBibliografia

Transformacoes Lineares

Naygno Barbosa Noia

13 de dezembro de 2014

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Sumario

1 Algebra LinearTransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

2 Bibliografia

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TransformacoesTransformacoes LinearesMatriz da Transformacao Linear

O que e uma TRANSFORMACAO?

1. Basicamente, e um tipo de dependencia entre variaveis

2. De maneira mas simples, podemos fazer analogia de transformacao com ma-quinas, por exemplo, uma maquina de:

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LAVAR ROUPAS

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TRANSFORMACAO LINEAR

Sejam E , B espacos vetoriais. Uma transformacao linear A : E → F , e umacorrespondencia que associa a cada vetor v ∈ E um vetor A(v) = A· v = Av ∈ Fde modo que valham, para quaisquer u, v ∈ E e α ∈ R, as relacoes:

(i) A(u + v) = Au + Av ,(ii) A(α · v) = α · Av .

O vetor A · v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformacao A.

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Exemplo 1

1.1 Verificar se as transformacoes seguintes sao lineares(a) A : R2 → R2

A(x , y) = (x + y , x − y)

(b) B : R2 → RB(x , y) = xy

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Exemplo 1, verificando se a transformacao A e linear

Devemos verificar os itens (i) e (ii) da definicao de transformacao linear.

Consideremos os vetores u = (a, b), v = (c , d) e o escalar α ∈ R. Temos que

A(u + v) = A((a, b) + (c , d))= A(a + c , b + d)= ((a + c) + (b + d), (a + c)− (b + d))= ((a + b) + (c + d), (a− b) + (c − d))= (a + b, a− b) + (c + d , c − d)= A(a, b) + A(c , d)= A(u) + A(v)

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Agora,considerando apenas o vetor u = (a, b) e o escalar α ∈ R, temos:

A(αu) = A(α(a, b))= A(αa, αb)= (αa + αb, αa− αb)= (α(a + b), α(a− b)= α(a + b, a− b)= αA(a, b)= αA(u)

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Propriedades

Seja A : E → F uma transformacao linear:

1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 ∈ E no vetor 0 ∈ F .

2. A(αu + βv) = A(αu) + A(βv) = α · Au + β · Av

3. A(α1a1 + · · ·+ αmam) = α1Aa1 + · · ·+ αmAam

4. A(−u) = −Au

5. A(u − v) = Au − Av

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Propriedades





4. A(−u) = −Au

5. A(u − v) = Au − Av

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Propriedades





4. A(−u) = −Au

5. A(u − v) = Au − Av

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Propriedades





4. A(−u) = −Au

5. A(u − v) = Au − Av

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Propriedades





4. A(−u) = −Au

5. A(u − v) = Au − Av

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Propriedades





4. A(−u) = −Au

5. A(u − v) = Au − Av

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Propriedades





4. A(−u) = −Au

5. A(u − v) = Au − Av

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Soma e Produto por Escalar

Sejam A,B : E → F transformacoes lineares, u ∈ E e α ∈ R. Definimos:

A soma A + B : E → F , como: (A + B)u = Au + Bu

O Produto por Escalar αA : E → F , como: (αA)u = αAu

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Mais Sobre Transformacoes Lineares

Sejam L(E ,F ) o conjunto das transformacoes lineares de E em F .

O conjunto L(E ,F ), munido das operacoes de soma e produto por um escalar,e um ESPACO VETORIAL.Quando, E = F usaremos a notacao L(E ) para definir o conjunto das trans-formacoes lineares A : E → E denominadas de OPERADORES LINEARES.As transformacoes lineares φ : E → R sao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E ∗.

O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que, para se conhecerA ∈ L(E ,F ), basta que se saibam os valores A · u que A assume nos vetoresu ∈ B, onde B e uma base de E .

Por exemplo, quando E tem dimensao finita, um numero finito de valoresA · u1, · · · ,A · un atribuıdos arbitrariamente, definem uma transformacao linearA : E → F .

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Teorema 1

Sejam E ,F espacos vetoriais e B uma base de E . A cada vetor u ∈ B, facamos corresponder(de maneira arbitraria) um vetor u′ ∈ F . Entao existe uma unica transformacao linearA : E → F tal que A · u = u′ para cada u ∈ B.

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Aplicacao do Teorema 1

Em virtude do Teorema 1, se quisermos definir uma transformacao linear A : Rn →Rm basta escolher, para cada j = 1, · · · , n, um vetor vj = (a1j , a2j , · · · , amj) ∈ Rm

e dizer que vj = A · ej e a imagem do j-esimo vetor da base canonica, ej =(0, · · · , 1, · · · , 0), pela transformacao linear A. A partir daı, fica determinada aimagem A · v de qualquer vetor v = (x1, · · · , xn) ∈ Rn.

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Com efeito, tem-se

v = (x1, · · · , xn)

= x1e1 + · · ·+ xnen,

logo

A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)

= A

n∑j=1

xjej

=

n∑j=1

xjA · ej , onde A · ej = (a1j , a2j , · · · , amj)

=n∑

j=1

(a1jxj , a2jxj , · · · , amjxj).

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Com efeito, tem-se

v = (x1, · · · , xn)

= x1e1 + · · ·+ xnen,

logo

A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)

= A

n∑j=1

xjej

=

n∑j=1


=n∑

j=1


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Com efeito, tem-se

v = (x1, · · · , xn)

= x1e1 + · · ·+ xnen,

logo

A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)

= A

n∑j=1

xjej

=

n∑j=1


=n∑

j=1


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Com efeito, tem-se

v = (x1, · · · , xn)

= x1e1 + · · ·+ xnen,

logo

A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)

= A

n∑j=1

xjej

=

n∑j=1


=n∑

j=1


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Com efeito, tem-se

v = (x1, · · · , xn)

= x1e1 + · · ·+ xnen,

logo

A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)

= A

n∑j=1

xjej

=

n∑j=1


=n∑

j=1


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Com efeito, tem-se

v = (x1, · · · , xn)

= x1e1 + · · ·+ xnen,

logo

A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)

= A

n∑j=1

xjej

=

n∑j=1


=n∑

j=1


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Com efeito, tem-se

v = (x1, · · · , xn)

= x1e1 + · · ·+ xnen,

logo

A · v = A (x1e1 + · · ·+ xnen)

= A

n∑j=1

xjej

=

n∑j=1


=n∑

j=1


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Assim,

A · v =

n∑j=1

a1jxj ,n∑

j=1

a2jxj , · · · ,n∑

j=1

amjxj

,

ou seja

A(x1, x2, · · · , xn) = (y1, y2, · · · , ym),

onde

y1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

y2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn...

ym = am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn15 / 23




Assim,

A · v =

n∑j=1

a1jxj ,n∑

j=1

a2jxj , · · · ,n∑

j=1

amjxj

,

ou seja

A(x1, x2, · · · , xn) = (y1, y2, · · · , ym),

onde

y1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

y2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn...

ym = am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn15 / 23




Assim,

A · v =

n∑j=1

a1jxj ,n∑

j=1

a2jxj , · · · ,n∑

j=1

amjxj

,

ou seja

A(x1, x2, · · · , xn) = (y1, y2, · · · , ym),

onde

y1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

y2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn...

ym = am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn15 / 23




Assim,

A · v =

n∑j=1

a1jxj ,n∑

j=1

a2jxj , · · · ,n∑

j=1

amjxj

,

ou seja

A(x1, x2, · · · , xn) = (y1, y2, · · · , ym),

onde

y1 = a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

y2 = a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn...

ym = am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn15 / 23



Matriz da Tranformacao Linear

O sistema acima pode ser escrito como,y1y2...

ym

=

a11 a21 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

x1x2...

xn

Ou ainda,

w = a · v ,onde:

w = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn, v = (y1, y2, · · · , ym) ∈ Rm

a = [aij ] ∈M(m × n)

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ym

=

a11 a21 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

x1x2...

xn

Ou ainda,

w = a · v ,onde:

w = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn, v = (y1, y2, · · · , ym) ∈ Rm

a = [aij ] ∈M(m × n)

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ym

=

a11 a21 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

x1x2...

xn

Ou ainda,

w = a · v ,onde:

w = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn, v = (y1, y2, · · · , ym) ∈ Rm

a = [aij ] ∈M(m × n)

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ym

=

a11 a21 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

x1x2...

xn

Ou ainda,

w = a · v ,onde:

w = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn, v = (y1, y2, · · · , ym) ∈ Rm

a = [aij ] ∈M(m × n)

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ym

=

a11 a21 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

x1x2...

xn

Ou ainda,

w = a · v ,onde:

w = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn, v = (y1, y2, · · · , ym) ∈ Rm

a = [aij ] ∈M(m × n)

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Desta forma, uma transformacao linear A : Rn → Rm fica inteiramente determinada poruma matriz a = [aij ] ∈M(m × n)

Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMACAO A relativamente as basescanonicas de Rn e Rm. Tem-se

A · ej =n∑

j=1

aijej (j = 1, · · · n),

onde os ej estao em Rn e os ei em Rm.

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A · ej =n∑

j=1

aijej (j = 1, · · · n),


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A · ej =n∑

j=1

aijej (j = 1, · · · n),


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A · ej =n∑

j=1

aijej (j = 1, · · · n),


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Exemplo 2. Rotacao de um Angulo θ: (no sentido anti-horario)

Encontrar a transformacao linear da rotacao de um angulo θ no sentido antı-horario.

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Considere o comprimente do vetor v igual a r , entao

x ′ = r cos(θ + β)

= r cos(α) cos(θ)− r sen(α) sen(θ)

Mas

x = r cos(α)

y = r sen(α)

Entao

x ′ = x cos(θ) + y sen(θ)

Analogamente,

y ′ = x sen(α + θ)

= r (sen(α) cos(θ) + cos(α) sen(θ)

= y cos(θ) + x sen(θ)

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x ′ = r cos(θ + β)


Mas

x = r cos(α)

y = r sen(α)

Entao


Analogamente,

y ′ = x sen(α + θ)



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x ′ = r cos(θ + β)


Mas

x = r cos(α)

y = r sen(α)

Entao


Analogamente,

y ′ = x sen(α + θ)



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x ′ = r cos(θ + β)


Mas

x = r cos(α)

y = r sen(α)

Entao


Analogamente,

y ′ = x sen(α + θ)



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x ′ = r cos(θ + β)


Mas

x = r cos(α)

y = r sen(α)

Entao


Analogamente,

y ′ = x sen(α + θ)



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x ′ = r cos(θ + β)


Mas

x = r cos(α)

y = r sen(α)

Entao


Analogamente,

y ′ = x sen(α + θ)



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x ′ = r cos(θ + β)


Mas

x = r cos(α)

y = r sen(α)

Entao


Analogamente,

y ′ = x sen(α + θ)



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x ′ = r cos(θ + β)


Mas

x = r cos(α)

y = r sen(α)

Entao


Analogamente,

y ′ = x sen(α + θ)



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x ′ = r cos(θ + β)


Mas

x = r cos(α)

y = r sen(α)

Entao


Analogamente,

y ′ = x sen(α + θ)



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Assim,

Rθ(x , y) = (x cos(θ)− y sen(θ), y cos(θ) + x sen(θ)

E mais, [x ′

y ′

]=

[cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)

] [xy

]Assim, a matriz de Rθ relativa a base canonica de R2 e[

cos(θ) −sen(θ)sen(θ) cos(θ)

]

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Assim,


E mais, [x ′

y ′

]=


] [xy



]

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Assim,


E mais, [x ′

y ′

]=


] [xy



]

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Assim,


E mais, [x ′

y ′

]=


] [xy



]

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Assim,


E mais, [x ′

y ′

]=


] [xy



]

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Bibliografia

[1] BOLDRINI, Jose Luiz et alii. Algebra Linear. 3. ed. Sao Paulo, Harbra, 1984.[2] LIMA, E.L., Algebra Linear, IMPA/CNPq, Rio de Janeiro, RJ, 1995.[3] STEINBRUCH, A. WINTERLE, P. Algebra Linear. 2ed. Sao Paulo: Pearson, 1987.

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