1
B
Trigonometría básica
José Jesús MENA DELGADILLO
La trigonometría corresponde al estudio de los triángulos que a su vez es un
polígono limitado por tres lados, que forman entre sí tres ángulos internos.
El presente trabajo se remite a estudiar las propiedades de triángulos rectilíneos.
Los puntos A, B, C, se llaman vértices, los segmentos ,,, ACCBBA se llaman
lados; y los ángulos interiores CBA
,, .
A continuación en la figura 1 se presenta la disposición grafica de un triangulo
rectilíneo.
Figura 1. Muestra un triangulo rectilíneo, en donde, los puntos A, B, C, se llaman vértices,
los segmentos ,,, ACCBBA se llaman lados; y los ángulos interiores
La clasificación de los triángulos por la magnitud de sus lados.
a) Triangulo equilátero. Los tres lados del triangulo son iguales, es decir, los
segmentos
b) Triangulo isósceles. Dos de sus lados son iguales, y otro desigual.
c) Triangulo escaleno. Los tres lados del triangulo son diferentes en magnitud, es
decir, los segmentos .ACCBBA
Clasificación de los ángulos.
A C
A
B
c
2
La definición de un ángulo plano, corresponde a la parte de un plano determinado
por dos líneas llamadas lados que tiene el mismo punto de origen llamado vértice
del ángulo y cuya abertura puede medirse generalmente en grados o radianes.
Las diferentes clases de ángulos según su abertura, se clasifican de la forma:
ángulo recto: α = 900
ángulo agudo: α < 900
ángulo obtuso: α > 900
ángulo llano (Colineal): α = 1800
ángulo poligonal α = 3600
1. Ángulos opuestos por el vértice.
Dos ángulos que tienen un mismo vértice, y cuyos lados son los de uno la
prolongación del otro, reciben el nombre de ángulos opuestos por el vértice,
observe la figura 2.
Figura 2. Muestra la disposición geométrica de los ángulos ( ) yy ; opuestos por
el vértice.
En donde, se satisface:
== , (1)
2. Ángulos internos, alternos externos, correspondientes y adyacentes
suplementarios.
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal o secante, se forman
distintos pares de ángulos con características particulares.
α
β
ϒ
Ϭ
3
Para ilustrar dichas propiedades, considere la figura 3.
Figura 3. Muestra la disposición geométrica de los ángulos internos, alternos externos,
correspondientes y adyacentes suplementarios.
En donde, se satisface:
== , Por ser ángulos alternos internos. (2)
== , Por ser ángulos alternos externos. (3)
==== ,,, Por ser ángulos correspondientes. (4)
.180,180
,180,180,180,180,180,180
00
000000
=+=+
=+=+=+=+=+=+
Por ser ángulos adyacentes suplementarios. (5)
Ejemplos.
a) Considere que los ángulos x y y son adyacentes, su suma es de 650 y su
diferencia de 180. ¿Calcular el valor de x y y ?
Solución.
065=+ yx (i)
018=− yx (ii)
α β
ϒ ϭ
ϵ φ
τ ψ
4
De la relación (i):
yx −= 065 (iii)
Sustituyendo la expresión (iii) en (ii):
00 18)65( =−− yy
Desarrollando la expresión anterior:
000 4765182 −=−=− y
Es decir:
03232
47 00
==y (iv)
Sustituyendo (iv) en (i), resulta:
00 650323 =+x
03410 =x
(v)
b) Considere que los ángulos x y y son suplementarios, uno de ellos es igual al
triple más 80. ¿Calcular el valor de x y y ?
Solución.
0180=+ yx (11)
083 += yx (21)
De la relación (11):
yx
−= 0180 (31)
Sustituyendo (31) en (21), resulta:
00 83180 +=− yy
Desarrollando la expresión anterior:
000 17281804 −=+−=− y
Es decir:
5
0
0
0
434
172=
−
−=y (41)
Sustituyendo (41) en (11), resulta:
00 18043 =+x
000 13743180 =−=x (51)
Teorema: “En cualquier triángulo la suma de los ángulos interiores es igual a
1800 “.
Demostración.
Considere la siguiente figura geométrica:
a) ,1800=++ forman un ángulo llano.
b) , = por ser ángulos alternos internos.
c) , = por ser ángulos alternos internos.
Sustituyendo b) y c) en a), resulta:
0180=++ (6)
Ejemplo.
A
B
C
α
β
ϒ
φ ψ
6
A partir de la siguiente figura. ¿Calcule el valor de los ángulos β y x?
Solución:
Por ángulos suplementarios: β = 980
Por el teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo:
3 x + 120 + 280 + 980 = 1800
Desarrollando:
3 x + 1380 = 1800
3 x = 1800 – 1380 = 420
00
143
42==x
Relación entre grados sexagesimales y radianes.
Sabemos que la longitud de una circunferencia es 2 veces el radio, es decir,
subtiende un ángulo de 2 radianes.
Es decir:
01802 =radianes (7)
Ejemplos.
280 β 820
3 x + 12
7
Considerando la siguiente equivalencia: 180
10 = radianes.
Convertir:
a) 300 en radianes.
( ) radianesradianeso 6180
300 =
b) 600 en radianes.
( ) radianesradianeso 3180
600 =
c) 1350 en radianes.
( ) radianesradianeso 4
3
1801350
=
d) 5
radianes en grados sexagesimales.
000
365
180180
55==
=
radianes
e) 5
3 radianes en grados sexagesimales.
( ) 0000
1085
540
5
1803180
5
3
5
3===
=
radianes
f) 9
radianes en grados sexagesimales.
000
209
180180
99==
=
radianes
Propiedades de los triángulos por la magnitud de sus ángulos.
I) Triangulo rectángulo.
8
Se dice que un triangulo es rectángulo, si uno de sus ángulos internos es recto. En
todos los triángulos rectángulos se les llaman se les denominan catetos a los
lados que forman el ángulo recto y el otro se llama hipotenusa. Una propiedad
geométrica importante que satisface este tipo de triangulo, es el teorema de
Pitágoras. (Observe figura 4).
Figura 4. Muestra la forma de un triangulo rectángulo.
II) Triangulo acutángulo.
Se dice que un triangulo es acutángulo, si tiene sus tres ángulos internos agudos.
(Observe figura 5).
Figura 5. Muestra la forma de un triangulo acutángulo.
III) Triangulo obtusángulo.
Se dice que un triangulo es obtusángulo, si tiene un ángulo interno obtuso.
(Observe figura 6).
A
B
C
A C
B
9
Figura 6. Muestra la forma de un triangulo obtusángulo.
IV) Triangulo oblicuángulo.
Se dice que un triangulo es oblicuángulo, si ningún ángulo interno es recto. Que
corresponde a los casos de los triángulos obtusángulo y acutángulo.
Triángulos congruentes.
Un triangulo es congruente con otro, o igual a otro, si tiene todos sus lados y
ángulos respectivos iguales a los lados y los ángulos del otro. El conjunto de
elementos que deben ser iguales da origen, a los siguientes criterios de igualdad
de triángulos.
El primer criterio de igualdad de triángulos. Dos triángulos que tienen dos lados y
el ángulo comprendido respectivamente igual, son iguales.
Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 7.
A C
B
A
B
C D
E
F B
A
10
Figura 7. Muestra dos triángulos FEDyCBA que tienen los lados
FDCAyEDBA == y los ángulos BA
= .
El segundo criterio de igualdad de triángulos. Dos triángulos que tienen un lado y
dos ángulos igualmente dispuestos, entonces, los triángulos son iguales.
Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 8.
Figura 8. Muestra dos triángulos FEDyCBA que tienen el lado EDBA = y los
ángulos
== DCyBA
.
El tercer criterio de igualdad de triángulos. Dos triángulos que tienen los tres lados
respectivamente iguales, los triángulos son iguales.
Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 9.
A
B
C D
E
F B
A
C
D
A
B
C D
E
F
11
Figura 9. Muestra dos triángulos FEDyCBA que tienen los lados EDBA = ,
FDCAyFECB ==
Triángulos semejantes.
Los triángulos semejantes tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados
proporcionales.
Tipos de triángulos semejantes.
Primer tipo de triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen dos
ángulos respectivamente iguales.
Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 10.
Figura 10. Muestra dos triángulos FEDyCBA , son semejantes si tienen los
ángulos BA
= y DC
= .
Segundo tipo de triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen
un ángulo igual y los dos lados que lo forman son proporcionales.
Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 11.
A
B
C D
E
F B
A
C
D
A
B
D
E
F B
A
12
Figura 11. Muestra dos triángulos FEDyCBA , son semejantes si tienen un ángulo
BA
= y ED
BA
FD
CA= .
Tercer tipo de triángulos semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen sus
tres lados proporcionales.
Para ilustrar la presente propiedad geométrica, considere la figura 12.
Figura 12. Muestra dos triángulos FEDyCBA , son semejantes si satisface:
FE
CB
ED
BA
FD
CA==
Teorema de Tales.
“Toda recta paralela a un lado de un triángulo, forma con los otros dos lados o
prolongaciones otro triángulo que es semejante al triángulo dado”
Es decir:
C
A
B
C D
E
F
A
B
C
D
E
F
13
Demostración geométrica.
A partir de la siguiente construcción.
Dado que por construcción de la figura anterior: CDEáreaCBEárea =
entonces, se satisface.
( ) ( )2
2
2
1 hEDhBC=
(a)
En forma análoga: BDEáreaCBDárea = entonces, se satisface.
( ) ( )2
2
2
1 hEDhBC=
(b)
Y finalmente. EBAáreaCADárea = , entonces, se satisface.
( ) ( )2
1
2
2 hABhAD=
(c)
Dividiendo las relaciones (c) en (b), resulta:
BC
AB
ED
AD= (8)
Utilizando las propiedades del teorema de Tales de Mileto, se pueden obtener los
siguientes resultados geométricos particulares.
A
B
C
D
E h1
h2
14
Caso 1.
Considere los siguientes triángulos inscritos BADyCAE como se muestra en
la figura 13. .
Figura 13. Muestra dos triángulos inscritos BAEyCAE
Dado que los segmentos .CEIIBD
Entonces:
EA
AD
CA
AB=
(9)
Caso 2.
Considere los siguientes triángulos inscritos BADyCAE como se muestra en
la figura 14.
C
B
A
D
E
C
B
A
D E
15
Figura 14. Muestra dos triángulos inscritos CBDyCAE
Dado que los segmentos .AEIIBD
Entonces:
EA
BD
CE
CD=
(10)
Ejemplos.
I. Un palo de 2 m de alto, colocado verticalmente, proyecta una sombra de 5 m.
Simultáneamente, una torre proyecta una sombra de 45 m. ¿Qué altura tiene la
torre?
Solución.
Consideremos los lados como se ilustra en la siguiente figura.
De la relación (10), resulta:
H
m
m
m 2
45
5=
Por lo tanto:
H = 18 m
5 m
2 m
40 m
H = x
16
2. ¿Considerando la siguiente figura calcular el segmento BA y con segmentos
.DEIIBA ?
Solución.
Considere:
xBA = .
mCA 25= .
mDC 6= .
mED 5= .
Por semejanza de triángulos se establece:
DC
ED
CB
X=
Resolviendo:
( ) ( ) ( ) ( )m
m
m
m
mm
DC
CBEDX 8.20
6
125
6
255 2
====
Teorema de Pitágoras.
A
B C D
E
x
25 m
6 m
5 m
17
El teorema de Pitágoras indica: “Para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de sus catetos”.
Demostración:
Considere el triángulo ABC como se muestra en la siguiente figura:
El triángulo ABC con lados DCBA ⊥ .
b
c
c
e= Proporcionalidad entre los lados del triángulo ABC . (i)
2cbe = A partir de la propiedad (i). (ii)
d
a
a
e= Proporcionalidad entre los lados del triángulo ABC . (iii)
2ade = A partir de la propiedad (iii). (iv)
22 acdebe +=+ Sumando las propiedades (ii) y (iv) (v)
( ) 22 acdbe +=+ Factorizando (v) (vi)
dbe += A partir de la figura. (vii)
222 ace += Sustituyendo (vii) en (vi) (viii)
Es decir:
A B
C
a
b
c
d
e
D
18
222 ace += (11)
Ejemplos.
1. Considere la siguiente figura:
¿Calcular h?
Solución.
20
8 h
h=
Resolviendo:
( ) ( ) 1608202 ==h
( ) ( ) 10410161016160 ====h
2. Considere la siguiente figura:
h
8 20
β/2
α
β
600
600
19
¿Calcular el valor de α y β?
Solución.
00 18006 =++ (a)
00 180902
=++
(b)
De (a), resulta:
−=−−= 000 12060180 (c)
Sustituyendo (c) en (b), resulta:
000
180902
120=++
−
000 180902
60 =++
000 301501802
=−=
060= (d)
Sustituyendo (d) en (c), resulta:
000 6060120 =−= (e)
Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.
Considere el sistema cartesiano en un plano como se muestra en la figura 15:
β
α 600
600
20
Figura 15. Muestra gráficamente la distancia entre los puntos P = (x1,y1) y Q = (x2,y2) en el
plano cartesiano X-Y.
Se define la distancia entre los puntos P y Q que representa la línea “gruesa” que
se observa en el grafico anterior y se denota por: d (P, Q) y/o II P Q II.
Utilizando el teorema de Pitágoras:
( ) ( ) ( )222 , YXQPd +=
Desarrollando:
( ) ( ) ( )22, YXQPd +=
( ) ( ) ( )212
2
12, yyxxQPd −+−= (12)
Y
X
X1 O X2
Y1
Y2
P = ( x1 , y1 )
Q = ( x2 , y2 )
Δ X = x2 – x1
Δ Y = y2 – y1
21
La relación (12), es conocida como la fórmula utilizada para determinar la distancia
entre dos puntos en el plano cartesiano.
Ejemplos.
I) Si el punto P = (1, a) y su distancia al punto Q = (6, 7) es 13. ¿Determine el valor
de a?
Solución:
( ) ( ) ( )212
2
12, yyxxQPd −+−=
Sustituyendo:
( ) ( )2271613 a−+−=
( ) ( )227513 a−+=
( ) ( )214492513 aa +−+=
2147413 aa +−=
21474169 aa +−=
01495 2 =+−− aa
Resolviendo la anterior ecuación cuadrática, resulta:
191 =a
52 −=a
Por lo tanto:
P1 = (1,19)
P2 = (1, -5)
II) Si el punto P = (-1, y) y su distancia al origen es la mitad de su distancia al
punto Q = (1, 3). ¿Determine el valor de y?
Solución:
22
( )( )2
,0,
QPdPd =
Sustituyendo:
( ) ( ) ( ) 22210010, yyPd +=−+−−=
( ) ( ) ( )22311, −+−−= yQPd
( ) yyyyQPd 613964, 22 −+=+−+=
Sustituyendo valores en la primera expresión, resulta:
2
6131
2
2yy
y−+
=+
Desarrollando:
0963 2 =−+ yy
Resolviendo la anterior ecuación cuadrática, resulta:
11 =y
32 −=y
Por lo tanto:
P1 = (-1,1)
P2 = (-1, -3)
Funciones trigonométricas.
Las razones que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo cambian
de acuerdo al ángulo de que se trate y dichas razones son funciones del ángulo α.
Estas razones se les llaman funciones trigonométricas.
Sea el triángulo rectángulo ABC , con ángulos agudos
y . Como se observa
en la figura 16.
23
Figura 16. Muestra gráficamente el triángulo rectángulo ABC , con ángulos agudos
y .
En el triángulo rectángulo ABC .Se denota, el lado b, como el cateto opuesto al
ángulo y adyacente al ángulo
, el lado a, se denota como el cateto opuesto al
ángulo
y adyacente al ángulo
. El lado c corresponde a la hipotenusa.
Las proporciones que resultan de comparar los lados del triangulo rectángulo
están definidos para el ángulo , de la forma:
c
b
hipotenusa
opuestocatetosen == (i)
c
a
hipotenusa
adyacentecateto==cos (ii)
a
b
adyacentecateto
opuestocateto==tan (iii)
a
b
c
α
β
24
b
a
opuestocateto
adyacentecateto==cot (iv)
a
c
adyacentecateto
hipotenusa==sec (v)
b
c
opuestocateto
hipotenusa==csc (vi)
Ejercicios:
A partir de las definiciones muestre las siguientes identidades trigonométricas.
a) 1cos = sen
Solución:
1csc =
=
b
c
c
bsen
b)
costan
sen=
Solución:
costan
sen
c
a
c
b
ca
cb
a
b=
===
c) 1cos22 =+ sen
Solución:
1cos2
2
2
22
2
2
2
222
22 ==+
=+=
+
=+
c
c
c
ab
c
a
c
b
c
a
c
bsen
d) 22 csccot1 =+
Solución:
2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2 csc1
111cot1 =
==
+=+=+=
+=+
b
c
b
c
b
ab
b
a
b
a
b
a
25
La función seno de x, se denota por ( ) xsenxf = , y se dice que es una función
impar dado que satisface la siguiente propiedad:
( ) ( )xsenxsen −=− (13)
La función coseno de x, se denota por ( ) xxf cos= , y se dice que es una función
impar dado que satisface la siguiente propiedad:
( ) ( )xx coscos =−
(14)
Las funciones ( ) xsenxf = y ( ) xxf cos= son periódicas ya que satisfacen:
( ) ,....2,1,02 == nnxsenxsen
(15)
( ) ,....2,1,02coscos == nnxx
(16)
Las cuatro funciones trigonométricas restantes se pueden expresar en términos de
las funciones ( )xsen y ( )xcos , de la forma:
( )x
xsenx
costan =
(17)
( )xsen
xx
coscot =
(18)
( )x
xcos
1sec =
(19)
( )xsen
x1
csc =
(20)
Funciones hiperbólicas.
Corresponden a la combinación de funciones exponenciales. Estas combinaciones
se definen:
2
xx eexhsen
−−=
(21)
2cos
xx eexh
−+=
(22)
26
xx
xx
ee
ee
xh
xhsenxh
−
−
+
−==
costan
(23)
xx
xx
ee
ee
xhxh
−
−
−
+==
tan
1cot
(24)
xx eexhxh
−+==
2
cos
1sec (25)
xx eexhsenxh
−−==
21csc (26)
Construcción geométrica para algunos valores de los lados y ángulo de una
función trigonométrica particular.
Considere el triangulo equilátero de lado de 2 unidades como se muestra en la
figura 17.
Figura 17. Muestra un triángulo equilátero con lado de 2 unidades.
En el caso particular del triangulo de la figura 17, resulta:
2
360 ==
hipotenusa
opuestocatetosen o
2
160cos 0 ==
hipotenusa
adyacentecateto
30o
60o 60o
2
1
√3
27
360tan ==adyacentecateto
opuestocatetoo
3
160cot ==
opuestocateto
adyacentecatetoo
260sec 0 ==adyacentecateto
hipotenusa
3
260csc ==
opuestocateto
hipotenusao
En forma análoga:
2
130 ==
hipotenusa
opuestocatetosen o
2
330cos 0 ==
hipotenusa
adyacentecateto
3
130tan ==
adyacentecateto
opuestocatetoo
330cot ==opuestocateto
adyacentecatetoo
3
230sec 0 ==
adyacentecateto
hipotenusa
230csc ==opuestocateto
hipotenusao
A continuación considere un triangulo rectángulo isósceles de los catetos igual a 1
unidad, como se observa en l figura 18.
1
1
√2
45o
45o
28
Figura 18. Muestra un triángulo rectángulo isósceles con catetos de 1 unidad.
En el caso particular del triangulo de la figura 18, resulta:
2
145 ==
hipotenusa
opuestocatetosen o
2
145cos 0 ==
hipotenusa
adyacentecateto
145tan ==adyacentecateto
opuestocatetoo
145cot ==opuestocateto
adyacentecatetoo
245sec 0 ==adyacentecateto
hipotenusa
260csc ==opuestocateto
hipotenusao
Considerando las relaciones de la mitad del ángulo dadas por:
2
cos1
2
−=
sen
(27)
2
cos1
2cos
+=
(28)
Las ecuaciones de suma de ángulos:
( ) coscos /// sensensen +=+
(29)
( ) sensen /// coscoscos −=+ (30)
En el caso / = :
( ) cos22 sensen =
(31)
( ) 22cos2cos sen−=
(32)
29
Ejemplos
a) ¿Calcular sen 15o?
Solución.
Dado que:2
330cos =o y la ecuación (27), resulta:
2588.04
32
2
2
32
2
2
31
15 −
=
−
=
−
=osen
b) ¿Calcular cos 15o?
Dado que:2
130 =osen y la ecuación (28), resulta:
9659.04
32
2
2
32
2
2
31
15cos +
=
+
=
+
=o
c) ¿Calcular cos 45o?
Solución.
A partir de la ecuación (30), resulta:
( ) ooooooo sensen 301515cos30cos1530cos45cos −=+=
7071.02
1
4
32
4
32
2
345cos
−−
+
=o
d) ¿Calcular sen 45o?
A partir de la ecuación (29), resulta:
( ) ooooooo sensensensen 30cos1515cos30153045 +=+=
7071.02
3
4
32
4
32
2
145
−+
+
=osen
30
e) ¿Calcular sen 75o?
Solución.
A partir de la ecuación (29), resulta:
( ) ooooooo sensensensen 60cos1515cos60156075 +=+=
Sustituyendo valores:
9659.02
1
4
32
4
32
2
375
−+
+
=osen
f) ¿Calcular cos 120o?
Solución.
A partir de la ecuación (32), resulta:
( ) ( )ooo sen 6060cos120cos 22 −=
2
1
4
2
4
3
4
1
2
3
2
1120cos
22
−=−
=−=
−
=o
g) ¿Calcular sen 120o?
Solución.
A partir de la ecuación (31), resulta:
( ) ( )ooo sensen 60cos602120 =
8660.02
3
2
1
2
32120 =
=osen
h) ¿Calcular tan 120o?
Solución.
A partir de la ecuación (17), resulta:
o
oo sen
120cos
120120tan =
i) ¿Calcular sec 45o?
31
Solución.
A partir de la ecuación (19), resulta:
o
o
45cos
145sec =
4142.1
2
1
4
32
4
32
2
3
145sec
−−
+
=o
Bibliografía.
- Ress P., Sparks F.; Trigonometría, Reverte, 2005.
- Fuentelabrada S., Fuentelabrada I.; Geometría y trigonometría, Mc. Graw-Hill,
2013.