Türevin Uygulamaları
A. Artan Ve Azalan Fonksiyonlar
i) Her x1, x2 A için, x1<x2 iken, f(x1)< f(x2) ise, fonksiyonu, A kümesinde, artandır.
m=tan= f ’(x1)>0 ise, f fonksiyonu (a,b)
aralığında artandır.
ii) Her x1, x2 A için, x1<x2 iken, f(x1)> f(x2) ise, f fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.
m=tan= f ’(x1)<0 ise, f fonksiyonu (a,b)
aralığında azalandır.
Sonuç:f:[a,b]R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır.
a b
f’(x)
f(x)
+ + + + + artan
Sonuç:f:[a,b]R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir.
Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır.
f’(x)
f(x)
a b
- - - - -
azalan
Uygulamalar
Soru: f(x)=x2-2x fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz?
Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları bulabilmek için,
Çözüm::
türevinin işaretini incelemeliyiz.
f(x)=x2-2x f’(x)= 2x-2
2x-2=0 x=1 olur.
f’(x)
f(x)
- 1 +- +
azalan
artan
Soru: R-{-2} için, f(x)= fonksiyonu- nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır? Çözüm :
2x1mx
Fonksiyonun daima artan olabilmesi için, ol-malıdır.
f’(x)>0
f’(x)= = =
2)2x()1mx.(1)2x.(m
2)2x(1mxm2mx
2)2x(1m2
Buradan; 0)2x(1m22
01m2
21
m bulunur.
Soru :Y=f(x)
y
x-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3,4] aralığındaki gra- fiğini görmektesiniz.Bu grafiğe göre, f(x)’in türevinin pozitif veya negatif olduğu aralıkları bulunuz?
Çözüm :
a) [-3,-1) aralığında,Fonksiyon azalan
olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır.
b) (-1,3) aralığında,
Fonksiyon artan olduğundan,
f ‘(x) > 0’dır.
c) (3,4) aralığında,Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır
Soru :
Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun, [-3,4] aralığında-ki türevinin grafiğini görmektesiniz. Grafiğe ba- karak, f(x)’in artan ve azalan olduğu aralıkları bu lunuz?
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y=f’(x)
y
x
Çözüm :
a) [-3,-2) aralığında:
f’(x) > 0
olduğundan,
f(x) bu aralıkta
artan’dır.
b) (-2,0) aralığında:
f’(x) < 0olduğundan,
f(x) bu aralıkta
azalan’dır.
c) (0,4] aralığında:
f’(x) > 0
x=3 noktası hariç,
olduğundan,f(x) bu aralıkta
artan’dır.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y=f’(x)
y
x
B.Maksimum Ve Minimum Değerlerin Bulunması:
1. YEREL MAKSİMUM NOKTASI:
Tanım:
f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0(a,b) ve > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında en
büyük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel maksimumu vardır.f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri denir.
x0- xo+ x0
f(x0)
a b
Y=f(x)
f ’(x)
f(x)
a x0 b + -
f(x0)
Maksimum
2. YEREL MİNİMUM NOKTASI:
Tanım:f:[a,b]R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0(a,b) ve > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ,xo+ ) aralığında en küçük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel minimumu vardır.f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum degeri denir.
x0- xo+ x0
a b
Y=f(x)
f(x0)
f ’(x)
f(x)
a x0 b +-
f(x0)
Minimum
Sonuç:
a
f(a)
b
f(b)
c
f(c)
d
f(d)
+
+++++- - -
--
-- -
- +++++++
y=f(x)
f ’(x)>0
f ’(x)<0
Yerel maksimum
f ’(x)>0
Yerel minimum
Uygulamalar
Soru : f(x)= x3-3x2+1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz?
Önce, f(x)’in türevini alıp, türevin işaretini incelemeliyiz:f’(x)=
3x2-6x =0
x1= 0 ve x2= 2x1= 0 f(0)= 1
x2= 2 f(2)= -3
f’(x)
f(x)
- 0 2 + 0 0
1 -3
+ - +
Cözüm:
Soru :
-4 -2 –1 0 3 5
y=f ’(x)
y
x
Şekilde, y=f(x) fonksiyo-nunun türevinin grafiğini görüyorsunuz. Bu grafiğe bakarak, y=f(x) fonksiyo-nunun, yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz?
Cözüm :
+-
+-
f’(x)
f(x)
-4 5
- + -
C. İkinci Türevin Geometrik Anlamı
f:[a,b] R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan türevli olsun:
a b
y=f(x)
Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır.
A
B
x1 x2
a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının büyüdüğüne dikkat!
a b
y=f(x)
A
B
x1 x2
Bu teğetlerin eğimleri;m1=
tan=f’(x1)ve m2=tan=f’(x
2) tan< tan f’(x1) < f’(x2) ‘dir.Yani
;x1< x2 için, f’(x1) < f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır. f’ fonksiyonu artan olduğundan, türevi, f’’(x) > 0 ‘dır.
Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim:
a b
A
B
x1 x2
a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat!
Bu teğetlerin eğimleri;
m1= tan=f’(x1) ve m2= tan =f’(x2) ‘dir.
a b
A
B
x1 x2
tan> tan f’(x1) > f’(x2) ‘dir.
Yani;
x1< x2 için, f’(x1) > f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır. f’ fonksiyonu azalan olduğundan, türevi, f’’(x) < 0 ‘dır.
SONUÇ:
Bir f fonksiyonu için, aralı-ğın her noktasında, f’’(x)< 0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü aşağı doğrudur.
Bir f fonksiyonu için, aralı-ğın her noktasında, f’’(x)> 0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü yukarı doğrudur.
f’’(x)< 0 Konkav(İç bükey)
f’’(x)> 0 Konveks(Dış bükey)
Soru :f:R R, f(x)= x3+x2-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları araştırınız?
Çözüm :Öncelikle, f’in ikinci türevini alıp, işaretini incelemeliyiz.
f’(x)=3x2+2x-2
f’’(x)=6x+2
= 0
x= -1/3
f’’(x)f(x)
- -1/3 +
- +
Bir önceki örnekte görüldüğü gibi, fonksiyon eğrisi, eğrilik yönünü bazı noktalarda değiştirmektedir:
Tanım:
Bir f fonksiyonunun grafiğinin, çukurluğunun yön değiş-tirdiği ve fonksiyonun sürekli olduğu noktaya,
Dönüm (büküm) noktası
denir.
Şekilleri dikkatle inceleyiniz!!!
a b0 x0
f(x0)
f ’’(x)<0 f ’’(x)>0
Dönüm noktası
a b0 x0
f(x0)
f ’’(x0)=0
f ’’(x)>0 f ’’(x)<0
f ’’(x0)=yokDönüm
noktası
DİKKAT: İkinci türevin işaret değiştirdiği nokta DÖNÜM noktasıdır.
Uygulamalar
1.
f: RR, f(x)= x4+x3-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları ve varsa, dönüm noktalarını bulunuz?
Çözüm :
f’(x)= 4x3+3x2-2
f’’(x)= 12x2+6x
İkinci türevin kökleri:
12x2+6x=0
6x(2x+1) = 0
6x=0
x1= 0
(2x+1)= 0
x2=-1
x
f’’(x)
f(x)
- -1/2 0 + + +
konveks konkav
konveks
Dönüm noktası
Dönüm noktası
-
2. f: RR, f(x)=(x-2)4 fonksiyonunun, varsa, dönüm noktasını bulunuz?
Çözüm :
f’(x)=4(x-2)3 ve f’’(x)= 12(x-2)2
12(x-2)2=0 x1=x2=2
xf’’(x)
f(x)
- 2 +
+ +
konveks konveks
?
x=2 noktası, ikinci türevin kökü olduğu halde, dönüm noktası değildir
Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir!
Yani; f’’(x0)=0 olması, x0 noktasının DÖNÜM noktası olmasını gerektirmez!!!!
D. L’HOSPITAL KURALI
(TÜREVİN, LİMİT KAVRAMINDA KULLANIMI)
f ve g , [b,c] aralığında sürekli ve (b,c) aralığında türevli iki, fonksiyon olsun. f ve g fonksiyonları, a(b,c) olmak üzere, bir a noktasında tü- revli ve g’(a)0 olsun.
Tanım:
,0)x(flimax
)x('g
)x('flim
axve varsa,,0)x(glim
ax
)x(g)x(f
limax
=)x('g)x('f
limax
L’HOSPITAL KURALI
00
BELİRSİZLİK HALLERİNE UYGULANIR
Uygulamalar
1.2x3x10x7x
lim2
2
2x
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
2x3x10x7x
lim2
2
2x
=
00
belirsizliği var
2x3x10x7x
lim2
2
2x
= 3x2
7x2lim
2x
= 32.2
72.2
= 313
2.x
xx
11lim
0
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
xx
x
11lim
0
=00
belirsizliği var
xx
x
11lim
0
=0
limx
12
1
x
1=
12
1lim
0 xx
= 102
1
= 21
3.x
xπx sin
cos1lim
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
xx
πx sincos1
lim
00
belirsizliği var
=
xx
πx sincos1
lim
πxlim=
- sinxcosx
π
π
cos
sin=
10
= 0
4. xe
xxx cos
)1ln(lim
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
xex
xx cos)1ln(
lim
=
belirsizliği var
xlim=
xex
xx cos)1ln(
lim
11x
ex - sinx
0
0
5.)2ln(sin)ln(sin
lim0 x
xx
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
)2ln(sin)ln(sin
lim0 x
xx
=
belirsizliği var
)2ln(sin)ln(sin
lim0 x
xx
=0
limx
cosx/sinx2cos2x/sin2x
0limx
cosx/sinx2cos2x/sin2x
=Cosx.sin2x
0limx 2cos2x.sinx
Cosx.sin2x0
limx 2cos2x.sinx
2sinx.cosx
2.sinx.cos2x 0
limx 2cos2x.sinx
=)0.2cos(.2
0cos.2 2
=2.
12.
1= 1
6.
x
xe
x
1lim limitinin değerini
bulunuz?
Çözüm :x
xe
x
1lim = 0
x
xe
x
1lim =
x
x xe
lim =
xlim=
x
x xe
lim ex
1 =e
1=
1=
7. xxx 2sin.lim
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
xxx 2sin.lim
=
x
xx 1
)2
sin(lim
=
00
xlim =
x
xx 1
)2
sin(lim
=
xx2
cos22
2
1x
)/2cos(.2lim xx
=2
8.
xxx ln1
11
lim1
limitinin değerini bulunuz?
Çözüm :
xxx ln1
11
lim1
= -
xxx ln1
11
lim1
=
)1(ln1ln
lim1 xx
xxx
=00
)1(ln1ln
lim1 xx
xxx
=1
limx
11
x
xxx
ln)1(1
=
1lim
x
xx1
xxxx ln.)1(
=xxx
xx ln.)1(
1lim
1
=
0
0
Bu aşamada, L’Hospital kuralı bir kere daha uygulanır:
xxxx
x ln.)1(1
lim1
=1
limx
2
1x
2
11xx
=
2
2
1 1
1
lim
xxx
x
=
11
lim1
xx
=21
Recommended
