8/20/2019 tulisan geometri
http://slidepdf.com/reader/full/tulisan-geometri 1/4
4.2.2 Bidang Silinder
Bidang silinder adalah bidang yang dilukiskan oleh sebuag garis lurus,
yang selalu tetap mempunyai arah yang sama dan di dalam semua
kedudukannya memotong sebuah garis lengkung yang sama. Garis-garis yang
sejajar itu adalah garis garis lukis.
Perhatikan gambar 4.4 . Diketahui arah pelukis persamaan bidang silinder [a,b,c]
dan garis lengkung dasarnya c
!"#,y,$% & ', g"#,y,$% & '.
(ika P "#', y', $'% pada c maka
) * "#', y', $'%
) g "#', y', $'%
Persamaan garis pelukis melalui P dengan arah [a,b,c]
) # & #' + a
) y & y' + b
) $ & $' + c
Dari hubungan-hubungan diatas, parameter- parameter di lenyapkan, akan
diperoleh persamaan bidang silinder yang diminta.
ontoh
entukan persamaan bidang silinder dengan garis lengkung dasarnya $ & ', # /
+ y/ + $/ & 4 sedangkan pelukisnya [0,0,0]
(a1ab 2isalkan P"#', y', $'% pada lingkaran dasar, maka
3' & ', #'/
+ y'/ + $'
/ & 4 .............................."0%
Persamaan garis pelukis adalah
# & #' + a atau #' & # 5
y & y' + b atau y' & y 5 ..........................."/%
$ & $' + c atau $' & $ 5
8/20/2019 tulisan geometri
http://slidepdf.com/reader/full/tulisan-geometri 2/4
Dari "0% dan "/%, parameter-parameter dilenyapkan akan diperoleh
6/ + y/ + /$/ + /#$ /y$ 07 & '
(adi, persamaan bidang silinder yang diminta adalah 6
/
+ y
/
+ /$
/
+ /#$ /y$ 07 & '
4.2.3 Bidang Atur
Bidang yang dilalui oleh sebuah garis lurus yang bergerak di dalam ruang
dengan aturan tertentu dinamakan sebuah bidang atur. ontohnya adalah
kerucut dan silinder yang termasuk jenis bidang atur.
2isal garis yang bergerak itu
6 & m$ + p ...................................."0%
8 & n$ + 9 ......................................"/%
Persamaan bidang atur didapat dengan jalan mengeliminir m, n, p, dan 9. :ntuk
itu dibutuhkan ; persamaan lagi
<0 " m n p 9 % & ' .............................";%
</ " m n p 9 % & ' ............................."4%
<; " m n p 9 % & ' .............................."=%
Dari "0%, "/%, ";%, "4%, dan "=% m, n, p, 9 dieliminir, maka persamaan bidang atur
didapat. Bila garis yang bergerak itu memotong suatu garis, maka garis itu
disebut garis arah. Bila garis yang bergerak itu >> dengan suatu bidang maka
bidang itu disebut bidang arah.
ontoh
entukan persamaan bidang atur yang terjadi karena suatu garis lurus bergerak
memotong garis
g0 ) y & ;, # & -/
g/ ) $ & /, # & -0
g; ) # & /, y & -/
(a1ab
Persamaan garis yang memotong g0 dan g/
) "y-;% + "$+/% & ' atau & −( y−3)
z+2 .........."0%
) "$-/% + ? "#+0% & ' atau ? & −( z−2
) x+1 .........."/%
8/20/2019 tulisan geometri
http://slidepdf.com/reader/full/tulisan-geometri 3/4
@ubstitusikan # & /, y & -/ ke "0%, diperoleh
"-/-;% + "$+/% & ' ........A -= + $ + / & '
"$-/% + ? " /+0% & ' ........A $-/ + ;? & ' $ & /- ; ?
@ubstitusikan nilai $, diperoleh -= + "/-; ?% + / & ' atau
4 - ; ? - = & ' ...."%
Persamaan ini tidak mengandung perubahan #, y, $ dan disebut persamaan
syarat.
@ubstitusikan persamaan "% ke persamaan "% diperoleh
4 (3− y
z+2) ; (
3− y
z+2) (
2− z
x+1) -= & '
Dengan menyederhanakan persamaan diatas di peroleh /# + /y + 4$ 4#y
;y$ =#$ -07 & ', merupakan persamaan bidang atur yang diminta.
4.3. Bidang Kerucut Lingkaran Tegak, bidang Silinder Lingkaran Tegak
dan Koordinat Homogen
4.3.1 Bidang Kerucut Lingkaran Tegak
@uatu bidang kerucut lingkaran tegak terjadi jika sebuah garis lurus yang
bergerak melalui sebuah titik tetap tertentu "&puncak% serta membuat sudut
konstan "&setengah sudut puncak% dengan garis lurus tertentu yang melaluipuncak "&poros kerucut%.
Bagaimanakah cara menentukan persamaan bidang kerucut lingkaran tegak
dengan puncak "#0,y0,$0%, arah poros [a,b,c], dan setengah sudut puncak C
Eihat gambar 4.=, pilih titik P"#', y', $'% pada kerucut, arah P & #' #0, y' y0, $'
$0
8/20/2019 tulisan geometri
http://slidepdf.com/reader/full/tulisan-geometri 4/4
@edangkan cos C &TP[a , b , c]
I TP I [a , b , c ]
Dengan menjalankan "#', y', $'% diperoleh
)"#-#0%/
+ "y-y0%/
+ "$-$0%/
5 )a/
+ b/
+ c/
5 cos/
C
& )a"#-#0% + "b"y-y0%% + c"$-$0%5/, merupakan persamaan yang diminta.
Dalam hal khusus
0% (ika puncak kerucut "',','%, persamaan menjadi "a# + by + c$%/ "a/ + b/ + c "#/ + y/ + $/ %
/% (ika puncak kerucut "',','% dan porosnya sumbu 3 "arah ',',0%,
persamaan menjadi 3/ & " #/ + y/ + $/ % cos/C atau #/ + y/ & $/ + tg/C
ontoh
entukan persamaan kerucut lingkaran tegak yang puncaknya "',','%, poros
sumbu y dan setengah sudut puncak adalah 4='
(a1ab
Puncak "',','% dan poros sumbu y "arah[',',']% persamaan kerucut
)a"#-#0% + "b"y-y0%% + c"$-$0%5/ & " a/ + b/ + c/ %)"#-#0%/ "y-y0%/ +"$-$0%/5 cos/C
2enjadi y/
& 0"#/
+y/
+$/
% cos/
4='
........A y/
& "#/
+ y/
+ $/
%
1
2
.........A 8/ &1
2 #/ +1
2 y/ +1
2 $/ ........A #/ + y/ + $/ & '