TURUNAN
PARSIAL MK. Kalkulus Lanjut
MKMAT3315
©Aswad2016 1
Review
©Aswad2016
2
Turunan (derivatif) tidak sama dengan
diferensial.
Pada fungsi satu variabel, Dxy = dy/dx = f’(x)
adalah notasi untuk turunan
dy atau dx saja menyatakan diferensial
Misalkan f(x) = x2 – 3x + 1.
Turunan dari x2 – 3x + 1 adalah 2x – 3 karena
Dxy = d(x2 – 3x + 1)/dx = 2x – 3
Diferensial dari x2 – 3x + 1 adalah (2x-3)dx
karena dy = d(x2 – 3x + 1) = f’(x) dx = (2x-3) dx
©Aswad2016
3
©Aswad2016
4
©Aswad2016
5
Sehingga jelas bahwa turunan (derivativ)
adalah hasil pembagian antara dua buah
diferensial.
Pencarian turunan disebut diferensiasi
Bagian kalkulus yang berhubungan
dengan turunan disebut kalkulus
diferensial
Differentiable artinya dapat diturunkan
atau turunan fungsi tsb di titik itu ada.
©Aswad2016
6
Perhatikan bahwa turunan pada fungsi
satu variabel didefinisikan sebagai
asalkan limit ini ada, bukan ∞ atau - ∞.
Perhatikan pula bahwa jika f’(c) ada
maka f kontinu di c untuk c sebarang
bilangan, tetapi tidak berlaku sebaliknya.
©Aswad2016
7
Misalkan f(x) = 2x + 1.
Maka
Sehingga, jika f’(2) ada maka f kontinu di 2.
0 0
0 0
0
00
00
22 2
2
2lim lim 2 2
2
2lim 2 lim lim 2
2
lim5 .0
5 2
lim
lim
.lim 0 5
' 2
h h
h h h
h
h
h
h
f x ff x
f
f x
f
x
f x ff x f x
x
f x
f
x
f x ff x
x
x
©Aswad2016
8
Misalkan f(x) = |x|.
Fungsi f(x) jelas kontinu di 0 tetapi f’(0) tidak ada.
Perhatikan bahwa:
Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan
maka tidak ada. akibatnya f’(0) tidak ada.
Terbukti bahwa apabila suatu fungsi kontinu di x
maka belum tentu memiliki turunan di x.
0 0
0 0' 0 lim lim
h h
f h f hf
h h
0 0 0 0lim lim 1 lim lim 1h h h h
h hh hdan
h h h h
0limh
h
h
©Aswad2016
9
Definisi dan Tafsiran
Geometris
©Aswad2016
10
©Aswad2016
11
Definisi 3.1.
©Aswad2016
12
Contoh 1
Carilah fx(1, 2) dan fy(1, 2)
Apabila diketahui f(x, y) = x2y + 3y3.
©Aswad2016
13
Cara 1: By Definisi 3.1.
Turunan parsial
terhadap y
ditinggalkan
sebagai
latihan.
©Aswad2016
14
Cara 2: Langsung
E.o.E.1
©Aswad2016
15
Contoh 2
Jika z = x2 sin (xy2). Tentukanlah ∂z/∂x dan
∂z/∂y.
©Aswad2016
16
E.o.E.2
Perhatikan bahwa ada beberapa notasi
yang biasa digunakan berkenaan dengan
turunan parsial dari suatu fungsi. Misalkan z
= f(x, y) maka notasi yang biasa digunakan
untuk turunan-turunan parsial dari f(x, y)
pada (x0, y0) adalah sebagai berikut:
©Aswad2016
17
Tinjau permukaan z = f(x, y).
Bidang y = y0 memotong permukaan ini
pada kurva bidang PQR. Persamaan
bidang PQR = g(x) = f(x, y0). Nilai fx(x0, y0)
adalah kemiringan garis singgung pada
kurva di P(x0, y0, f(x0, y0)). Perhatikan
Gambar 1.(a). Dengan cara yang sama,
bidang x = x0 memotong permukaan pada
kurva bidang LPM. Persamaan bidang LPM
= h(y) = f(x0, y). Nilai fy(x0, y0) adalah
kemiringan garis singgung pada kurva di P.
Perhatikan Gambar 1.(b).
©Aswad2016
18
©Aswad2016
19
Gambar 1.
©Aswad2016
20
Contoh 3
Jika f(x, y) = 4 – x2 – 2y2. Tentukanlah fx(1, 1)
dan fy(1, 1). Kemudian gambarkan bentuk
grafik dari masing-masing turunan parsial
yang dimaksud.
fx = -2x maka fx(1, 1) = -2
fy = -4y maka fy(1, 1) = -4
bentuk grafik dari f(x, y) = 4 – x2 – 2y2 adalah suatu paraboloid.
Bidang y = 1 memotong permukaan pada kurva bidang z = 2 – x2. Jadi, kemiringan garis singgung di titik P(1, 1, 1) adalah fx(1, 1) = -2. Perhatikan Gambar 2.(a).
Dengan cara yang sama, bidang x = 1 memotong permukaan pada kurva bidang z = 3 – 2y2. Jadi kemiringan garis singgung di titik P(1, 1, 1) adalah fy(1, 1) = -4. Perhatikan Gambar 2.(b).
©Aswad2016
21
©Aswad2016
22
Gambar 2.
E.o.E.3
Turunan Parsial Fungsi
Implisit
©Aswad2016
23
©Aswad2016
24
Misalkan diketahui z = f(x, y) dengan yang
dinyatakan F(x, y, z) = C.
Turunan parsial fungsi f terhadap x dan
terhadap y dapat dihitung sebagai
/ /
/ /
z F x z F ydan
x F z y F z
©Aswad2016
25
Contoh 4
Tentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y.
x2 + y2 + z2 = 1
©Aswad2016
26
2 2 2( , , )
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
F x y z x y z
z F x x x
x F z z z
z F y y y
y F z z z
E.o.E.4
Turunan Parsial Tingkat
Tinggi
©Aswad2016
27
Jika f suatu fungsi dua variabel, maka
turunan parsial fx dan fy adalah juga suatu
fungsi dua variabel. Dengan demikian,
kedua turunan parsial tersebut dapat
diturunkan lagi terhadap variabel x dan y
sehingga menjadi (fx)x, (fx)y, (fy)x, dan (fy)y,
yang tidak lain merupakan turunan parsial
kedua dari f. Selengkapnya perhatikan
Definisi 3.2. berikut
©Aswad2016
28
©Aswad2016
29
Definisi 3.2.
©Aswad2016
30
Contoh 5
Tentukan turunan parsial kedua dari fungsi berikut
f(x, y) = x3 + x2y3 – 2y2.
©Aswad2016
31
E.o.E.5
Latihan
©Aswad2016
32
©Aswad2016
33
©Aswad2016
34
Selesai
©Aswad2016
35
Recommended
