Download pdf - Tutorial Kalkulus 1 - Bab Aplikasi Turunan

Kalkulus – Aplikasi Turunan 1

Aplikasi Turunan I. Laju yang Saling Berkaitan

Secara definisi, turunan sebuah fungsi merupakan tingkat perubahan dari fungsi yang

diturunkan. Ditinjau dari definisi tersebut, turunan bisa digunakan untuk mengetahui kondisi

suatu nilai pada titik tertentu.

Umumnya, permasalahan yang diberikan adalah mencari nilai pada suatu titik, atau mencari

tingkat perubahan saat titik tertentu. Teknik penyelesaian permasalahan tersebut adalah

dengan mengubah persamaan fungsi agar nilai tertentu dapat digunakan

Contoh 1.1

Diberikan sebuah balok es dengan ukuran 3 x 2 x 2 meter (panjang, lebar, tinggi). Balok tersebut

mencair sehingga ukuran balok tersebut menyusut. Diketahui penyusutan setiap sisi tersebut

sebesar 0.2 mm/s. Tentukan volume balok setelah 1 jam.

Diketahui, p = 3 m

l = 2 m

h = 2 m 𝑑𝑝

𝑑𝑡 =

𝑑𝑙

𝑑𝑡 =

𝑑ℎ

𝑑𝑡 = -2 x 10-4 m/s

Penyelesaian pt = 1 jam = 3 + (-2 x 10-4) . 3600 = 2.28 m

lt = 1 jam = 2 + (-2 x 10-4) . 3600 = 1.28 m

ht = 1 jam = 2 + (-2 x 10-4) . 3600 = 1.28 m

Vt = 1 jam = 2.28 x 1.28 x 1.28

Vt = 1 jam = 3.735552 m3

Contoh 1.2

Di sebuah persimpangan terdapat sebuah mobil dan motor yang melintas. Mobil tersebut

bergerak ke arah utara, sedangkan motor bergerak ke arah timur. Jika diketahui kecepatan

mobil tersebut 100 km/jam, dan motor bergerak dengan kecepatan 75 km/jam. Dengan asumsi

bahwa saat persimpangan kedua kendaraan berpapasan dan jarak kedua kendaraan saat

persimpangan diabaikan, tentukan laju perubahan jarak antara kedua kendaraan tersebut jika

kedua kendaraan bergerak dengan kecepatan konstan.

Diketahui, 𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 100 km/jam,

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 75 km/jam

Penyelesaian h = √𝑥2 + 𝑦2 . . . . . . u = 𝑥2 + 𝑦2; 𝑑𝑢

𝑑𝑡 = 2x

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 2y

𝑑𝑦

𝑑𝑡

h = u1/2


𝑑ℎ

𝑑𝑡 =

1

2 u-1/2

𝑑𝑢

𝑑𝑡

𝑑ℎ

𝑑𝑡 =

1

2√𝑥2+𝑦2 (2x

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 2y

𝑑𝑦

𝑑𝑡)

𝑑ℎ

𝑑𝑡 =

1

√𝑥2+𝑦2 (x

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + y

𝑑𝑦

𝑑𝑡)

𝑑ℎ

𝑑𝑡 =

75𝑥+100𝑦

√𝑥2+𝑦2 atau

𝑑ℎ

𝑑𝑡 =

75𝑥+100𝑦

ℎ

Latihan Soal

1.1) Sebuah kerucut tanpa alas digunakan untuk menampung air. Debit air sebesar 3

cm3/detik mengisi kerucut tersebut. Tentukan kecepatan tinggi air bertambah saat

tinggi air 6 cm jika diketahui keliling kerucut adalah 40π cm dan tinggi kerucut adalah 24

cm.

1.2) Sebuah papan sepanjang 25 m bersandar di tembok. Jika papan tergelincir dengan

kecepatan 1 m/s menjauhi tembok, tentukan kecepatan perubahan jarak papan dengan

tanah saat tinggi papan setinggi 24 m.

1.3) Gerobak pengangkut beras menuangkan berasnya ke gudang. Gundukan beras tersebut

membentuk sebuah kerucut. Diketahui bahwa beras tersebut memiliki sisi yang cukup

licin, sehingga tinggi tumpukan beras pasti tidak lebih dari 5 cm. Gerobak menuang

beras dengan kecepatan 13 cm3/detik. Tentukan kecepatan pertambahan jari-jari

gundukan beras tersebut saat 10 detik.

II. Turunan sebagai indikator perubahan kurva

Turunan sebuah fungsi dapat digunakan untuk mencari tahu bahwa suatu interval kurva sedang

menurun, menaik, atau mendatar. Nilai turunan fungsi menentukan apakah fungsi sedang

menaik, menurun, atau konstan.

(a) Grafik menurun saat x > 0 (b) Grafik menaik saat x > 0


(c) Grafik konstan untuk semua x

Jika,

(a) f’(x) > 0 untuk setiap nilai x dalam selang (a, b), maka f menaik pada [a,b]

(b) f’(x) < 0 untuk setiap nilai x dalam selang (a, b), maka f menurun pada [a,b]

(c) f’(x) = 0 untuk setiap nilai x dalam selang (a, b), maka f konstan pada [a,b]

Agar mudah dibaca, definisi tersebut bisa dipersingkat.

(a) f’(x) > 0 maka f menaik (di antara dua titk dimana x berada)

(b) f’(x) < 0 maka f menurun (di antara dua titik dimana x berada)

(c) f’(x) = 0 maka f mendatar (di antara dua titik dimana x berada)

Umumnya digunakan garis bilangan untuk menentukan kemiringan kurva. Perhatikan contoh

berikut.

Contoh 2.1

Tentukan kemiringan selang yang terdapat pada f(x) = x2 + 3x – 4.

Langkah 1 Cari turunan fungsi tersebut

f(x) = x2 + 3x – 4

f’(x) = 2x + 3

Langkah 2 Tentukan titik pembuat 0 turunan fungsi tersebut

f’(x) = 2x + 3

x = -3

2

Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat 0 turunan fungsi.

Ambil nilai x sembarang yang berada di antara selang tersebut

x = -3

2

Untuk selang (-∞,-3

2 ], misal x = -2

f’(-2) = 2(-2) + 3

f’(-2) = -1

Karena f’(-2) > 0, selang (-∞,-3

2 ] memiliki bentuk kurva menurun


Untuk selang [-3

2 , +∞), misal x = 0

f’(0) = 2(0) + 3

f’(0) = 3

Karena f’(0) > 0, selang [-3

2 , +∞) memiliki bentuk kurva menaik

Contoh 2.2

Tentukan kemiringan selang yang terdapat pada f(x) = x3 - 3x

Langkah 1 Cari turunan fungsi tersebut

f(x) = x3 – 3x

f’(x) = 3x2 - 3

Langkah 2 Tentukan titik pembuat 0 turunan fungsi tersebut

f’(x) = 3x2 – 3

f’(x) = 3(x2 - 1)

f’(x) = 3(x – 1)(x + 1)

x = {-1, 1}

Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat 0 turunan fungsi.

Ambil nilai x sembarang yang berada di interval selang tersebut

x = {-1, 1}

Untuk selang (-∞, -1], misal x = -2

f’(-2) = 3(-2)2 – 3


f’(-2) = 24

Karena f’(-2) > 0, selang (-∞, -1] memiliki bentuk kurva menaik

Untuk selang [-1, 1], misal x = 0

f’(0) = 3(0)2 – 3

f’(0) = -3

Karena f’(0) < 0, selang [-1, 1] memiliki bentuk kurva menurun

Untuk selang [1, ∞), misal x = 2

f’(2) = 3(2)2 – 3

f’(2) = 24

Karena f’(2) > 0, selang [1, -∞) memiliki bentuk kurva menaik

Latihan Soal

2.1) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = x2 – 5x + 6

2.2) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = x3 – 12x – 10

2.3) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = x4 – x3 + x2 – 2

2.4) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = √𝑥2 + 4𝑥 − 11

Catatan: Perhatikan domain natural fungsi

2.5) Tentukan kemiringan setiap selang pada f(x) = 𝑥−5

3𝑥2−9𝑥

III. Kecekungan

Kecekungan kurva dalam suatu selang dapat diketahui dengan turunan pertama fungsi maupun

turunan kedua fungsi


(a) Dengan turunan pertama fungsi, kecekungan dapat diketahui dengan garis bilangan selama

kurva kontinu

i. Kurva cekung ke atas apabila bagian kiri titik pembuat nol negatif, dan bagian kanan titik

pembuat nol positif.

ii. Kurva cekung ke bawah apabila bagian kiri titik pembuat nol positif, dan bagian kanan

titik pembuat nol negatif.

(i) Garis bilangan kurva yang cekung ke atas (ii) Garis bilangan kurva yang cekung ke bawah

(b) Dengan turunan kedua fungsi, kecekungan dapat diketahui dengan garis bilangan

i. Kurva cekung ke atas dalam sebuah selang apabila f’’(x) > 0 pada selang tersebut

ii. Kurva cekung ke bawah dalam sebuah selang apabila f’’(x) < 0 pada selang tersebut

Nilai pembuat nol pada turunan kedua fungsi disebut dengan titik belok, karena pada

titik tersebut terjadi perubahan arah perubahan kurva.

[gambar titik belok]

Contoh 3.1

Carilah kecekungan seluruh selang yang ada pada f(x) = x2 – 1

Langkah 1 Cari turunan pertama fungsi tersebut

f(x) = x2 – 1

f’(x) = 2x

Langkah 2 Cari pembuat nol turunan fungsi tersebut

f’(x) = 2x

x = 0

Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat nol fungsi. Ambil nilai x

sembarang yang berada di interval selang

x = 0

Untuk selang (-∞, 0], ambil x = -1

f’(-1) = 2(-1)

f’(-1) = -2

Karena f’(-1) < 0, selang (-∞, 0] negatif (menurun)

Untuk selang [0, ∞), ambil x = 1

f’(1) = 2(1)

f’(1) = 2


Karena f’(1) > 0, selang [0, ∞) positif (menaik)

Mengikuti garis bilangan, karena sisi kiri 0 negatif dan sisi kanan 0 positif, kecekungan

(-∞, ∞) adalah cekung ke atas

Alternatif pengerjaan contoh 3.1 adalah sebagai berikut

Langkah 1 Cari turunan kedua dari f(x)

f(x) = x2 – 1

f’(x) = 2x

f’’(x) = 2

Langkah 2 Cari titik pembuat nol turunan kedua fungsi tersebut

f’’(x) = 2

x = {ø}

Langkah 3 Cari nilai setiap selang dari turunan kedua fungsi tersebut. Ambil x sembarang pada

interval selang

x = {ø}

Untuk selang (-∞, ∞), ambil x = 0

f’’(0) = 2

Karena f’’(0) > 0, selang (-∞, ∞) cekung ke atas

Contoh 3.2


Carilah kecekungan setiap selang pada f(x) = x2

3

Langkah 1 Cari turunan kedua dari f(x)

f(x) = x2 – 1

f’(x) = 2

3x−

1

3

f’’(x) = - 2

9x−

4

3

Langkah 2 Cari titik pembuat nol turunan kedua fungsi tersebut

f’’(x) = - 2

9x−

4

3

x = 0

Langkah 3 Cari nilai setiap selang dari turunan kedua fungsi tersebut. Ambil x sembarang pada

interval selang

x = 0

Untuk selang (-∞, 0), ambil x = -1

f’’(-1) = - 2

9(-1)−

4

3

f’’(-1) = - 2

9

Karena f’’(0) < 0, selang (-∞, 0) cekung ke bawah

Untuk selang (0, ∞), ambil x = 1

f’’(1) = - 2

9(1)−

4

3

f’’(1) = - 2

9

Karena f’’(0) < 0, selang (0, ∞) cekung ke bawah

Perlu diperhatikan bahwa f’(0) = ∞. Artinya f(x) tidak kontinu saat x = 0. Dalam kasus ini,

penggunaan turunan pertama tidak dapat digunakan untuk mencari kecekungan, namun masih

bisa digunakan untuk menentukan arah perubahan kurva. Perhatikan penyelesaian berikut.

Langkah 1 Cari turunan pertama fungsi tersebut

f(x) = x2

3

f’(x) = 2

3x−

1

3

Langkah 2 Cari pembuat nol turunan fungsi tersebut

f’(x) = 2

3x−

1

3

x = 0


Langkah 3 Cari nilai turunan untuk setiap selang yang dibatasi titik pembuat nol fungsi. Ambil nilai x

sembarang yang berada di interval selang

x = 0

Untuk selang (-∞, 0], ambil x = -1

f’(-1) = 2

3(-1)−

1

3

f’(-1) = - 2

3

Karena f’(-1) < 0, selang (-∞, 0] negatif (menurun)

Untuk selang [0, ∞), ambil x = 1

f’(-1) = 2

3(1)−

1

3

f’(-1) = 2

3

Karena f’(1) > 0, selang [0, ∞) positif (menaik)

Apabila diberlakukan aturan kecekungan pada turunan pertama tersebut, dengan mengikuti

garis bilangan, karena sisi kiri 0 negatif dan sisi kanan 0 positif, kecekungan (-∞, ∞) adalah

cekung ke atas. Sedangkan menurut turunan kedua fungsi, kecekungan kurva (solusi yang benar)

adalah

f’’(x) < 0, saat -∞ < x < 0 dan 0 < x < ∞

Latihan Soal

3.1) Cari kecekungan setiap selang dari f(x) = x2 – 2x + 3

3.2) Cari kecekungan setiap selang dari f(x) = 2x3 + 2x2 – 4

3.3) Cari kecekungan setiap selang dari f(x) = 8x3/4

Catatan: Perhatikan domain alami dari fungsi

3.4) Cari kecekungan setiap selang dari f(x) = 𝑥2

𝑥−7

IV. Titik Ekstrim Relatif

Yang dimaksud dengan titik ekstrim relatif adalah titik tertinggi atau titik terendah untuk

rentang tertentu. Satu terminologi yang berkaitan dengan ekstrim relatif adalah titik kritis. Titik

kritis adalah sebuah titik pada fungsi dimana arah fungsi berubah.


(a) Ekstrim minimum relatif pada x = 0 (b) Ekstrim maksimum relatif pada x = 0

Penentuan titik kritis dapat dilakukan melalui turunan pertama fungsi. Titik kritis suatu fungsi

ditentukan dengan

f’(x) = 0

atau

f’(x) = ∞

[kurva f’(x) = 0][kurva f’(x) = ∞]

Jika,

(a) f’(x) < 0 pada sebelah kiri titik pembuat nol, dan f’(x) > 0 pada sebelah kanan titik pembuat

nol, maka f(x) memiliki minimum relatif pada titik tersebut

(b) f’(x) > 0 pada sebelah kiri titik pembuat nol, dan f’(x) < 0 pada sebelah kanan titik pembuat

nol, maka f(x) memiliki maksimum relatif pada titik tersebut

Selain menggunakan turunan pertama fungsi, turunan kedua fungsi juga dapat digunakan untuk

mencari titik ekstrim relatif. Menggunakan titik kritis yang didapat pada turunan pertama, jika

(a) f’’(x) > 0 pada titik kritis, maka titik tersebut merupakan minimum relatif

(b) f’’(x) < 0 pada titik kritis, maka titik tersebut merupakan maksimum relatif

Contoh 4.1

Tentukan titik kritis dari f(x) = x2 – 6x + 5

Penyelesaian f(x) = x2 – 6x + 5

f’(x) = 2x – 6

x = 3

Contoh 4.2

Tentukan titik kritis dari f(x) = x2-5

x2+1


Penyelesaian f(x) = x2-5

x2+1

f’(x) = 2x(𝑥2+1)−2𝑥(𝑥2−5)

(x2+1)2

f’(x) = 12x

(x2+1)2

x = 0

Contoh 4.3

Tentukan titik maksimum relatif dan minimum relatif dari f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 1

Penyelesaian f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 1

f’(x) = 3x2 + 6x – 9

f’(x) = 3(x+3)(x-1)

x = {-3, 1} . . . . . . Simpan titik ini untuk diuji coba pada turunan kedua fungsi

f’’(x) = 6x + 6

f’’(x) = 6(x+1)

Masukkan x = -3 pada f’’(x)

f’’(-3) = -12

Karena f’’(-3) < 0, titik x = -3 merupakan titik maksimum relatif

Masukkan x = 1 pada f’’(x)

f’’(1) = 12

Karena f’’(1) > 0, titik x = 1 merupakan titik minimum relatif

Contoh 4.4

Tentukan titik maksimum relatif dan minimum relatif dari f(x) = 5𝑥2

x+2

Penyelesaian f(x) = 5𝑥2

x-2

f’(x) = 10x(x-2)-1(5𝑥2)

(𝑥−2)2

f’(x) = 10𝑥2−20𝑥−5𝑥2

(𝑥−2)2

f’(x) = 5𝑥2−20𝑥

(𝑥−2)2

0 = 5x(x – 4) x = {0, 4} . . . . . . Simpan titik ini untuk diuji coba pada turunan kedua fungsi


f’’(x) = (10x-20)(𝑥−2)2 - (5𝑥2−20𝑥)2(𝑥−2)

((𝑥−2)2)2

f’’(x) = 10(x-2)(𝑥−2)2 - 5x(𝑥−4)2(𝑥−2)

(𝑥−2)4

f’’(x) = 10(x-2)(𝑥−2)2 - 10x(𝑥−4)(𝑥−2)

(𝑥−2)4

f’’(x) = 10(𝑥−2)2 - 10x(𝑥−4)

(𝑥−2)3

f’’(x) = 10 (𝑥−2)2 - x(𝑥−4)

(𝑥−2)3

f’’(x) = 10 (𝑥2−4𝑥+4)- (x2−4𝑥)

(𝑥−2)3

f’’(x) = 10 4

(𝑥−2)3

f’’(x) = 40

(𝑥−2)3


f’’(0) = -5

Karena f’’(0) < 0, titik x = 0 merupakan titik maksimum relatif


f’’(4) = 5

Karena f’’(4) > 0, titik x = 4 merupakan titik minimum relatif

Latihan Soal

4.1) Tentukan semua titik ekstrim relatif (maksimum dan minimum) pada f(x) = x4 - 2x2 + 1

4.2) Tentukan semua titik ekstrim relatif (maksimum dan minimum) pada f(x) = x3 + 12x2 -

27x – 9

4.3) Tentukan semua titik ekstrim relatif (maksimum dan minimum) pada f(x) = x5/3

4.4) Tentukan semua titik ekstrim relatif (maksimum dan minimum) pada f(x) = 2𝑥−5

𝑥2+5

V. Maksimum dan Minimum Absolut

Jika sebelumnya telah dibahas langkah untuk mendapat ekstrim relatif, sekarang akan dibahas

mengenai ekstrim absolut. Ekstrim absolut adalah titik ekstrim terbesar (maksimum maupun

minimum) dari kurva. Dari seluruh titik ekstrim, dicari titik yang menghasilkan nilai

tertinggi/terendah.

Pada permasalahan ini, cara yang dapat dilakukan untuk menyelesaikannya adalah dengan


(1) mencari titik ekstrim pada kurva dalam selang yang ditentukan,

(2) membandingkan nilai setiap titik ekstrim

Contoh 5.1

Tentukan titik maksimum dan minimum absolut dari f(x) = x4 – 8x3 – 2x2 + 120x + 85

Langkah 1 Tentukan titik ekstrim dari fungsi

f(x) = x4 – 8x3 – 2x2 + 120x + 85

f’(x) = 4x3 – 24x2 – 4x + 120

f’(x) = 4(x3 – 6x2 – x + 30)

f’(x) = (x + 2)(x – 3)(x – 5)

x = {-2, 3, 5}

Langkah 2 Bandingkan nilai semua titik

f(-2) = (-2)4 – 8(-2)3 – 2(-2)2 + 120(-2) + 85 = -83

f(3) = (3)4 – 8(3)3 – 2(3)2 + 120(3) + 85 = 292

f(5) = (5)4 – 8(5)3 – 2(5)2 + 120(5) + 85 = 260

Titik maksimum absolut terdapat di x = 3, dan titik minimum absolut terdapat pada

x = -2

Terkadang ada permasalahan untuk mencari nilai maksimum/minimum absolut dalam selang

tertutup tertentu. Pada kasus ini, perlu dipertimbangkan juga titik interval selang. Saat

melakukan perbandingan nilai, masukkan juga titik interval selang ke fungsi awal. Lalu

bandingkan dengan titik ekstrim lainnya.

Contoh 5.2

Tentukan titik maksimum dan minimum absolut dari f(x) = x4 – 8x3 – 2x2 + 120x + 85 pada

selang [-4, 6]

Langkah 1 Tentukan titik ekstrim dari fungsi

f(x) = x4 – 8x3 – 2x2 + 120x + 85

f’(x) = 4x3 – 24x2 – 4x + 120

f’(x) = 4(x3 – 6x2 – x + 30)

f’(x) = (x + 2)(x – 3)(x – 5)

x = {-2, 3, 5}

Langkah 2 Bandingkan nilai semua titik termasuk titik selang

f(-4) = (-4)4 – 8(-4)3 – 2(-4)2 + 120(-4) + 85 = 341

f(-2) = (-2)4 – 8(-2)3 – 2(-2)2 + 120(-2) + 85 = -79

f(3) = (3)4 – 8(3)3 – 2(3)2 + 120(3) + 85 = 292

f(5) = (5)4 – 8(5)3 – 2(5)2 + 120(5) + 85 = 260

f(6) = (6)4 – 8(6)3 – 2(6)2 + 120(6) + 85 = 301

Titik maksimum absolut terdapat pada x = -4, dan minimum absolut terdapat pada x = -2


Pada contoh 5.2, selang yang digunakan adalah selang tertutup. Apabila selang yang digunakan

adalah selang terbuka, titik dimana selang tersebut terbuka tidak perlu dipertimbangkan.

Contoh 5.3

Tentukan titik maksimum dan minimum absolut dari f(x) = x4 – 8x3 – 2x2 + 120x + 85 pada

selang (-4, 6]

Dengan mengikuti hasil pada langkah 2 di contoh 5.2, x = -4 tidak perlu dicari nilainya, karena -4

tidak terdapat dalam interval selang. Maka hasilnya adalah titik maksimum absolut terdapat

pada x = 6, dan minimum absolut terdapat pada x = -2

Latihan Soal

4.1) Tentukan semua titik ekstrim absolut (maksimum dan minimum) pada f(x) = x4 - 2x2 + 1

4.2) Tentukan semua titik ekstrim absolut (maksimum dan minimum) pada f(x) = x3 + 12x2 -

27x – 9

4.3) Tentukan semua titik ekstrim absolut (maksimum dan minimum) pada f(x) = x5/3

4.4) Tentukan semua titik ekstrim absolut (maksimum dan minimum) pada f(x) = 2𝑥−5

𝑥2+5

4.5) Untuk f(x) = 5x3 + 3x2 – 4, tentukan semua titik ekstrim absolut pada selang

(a) [-3, 0]

(b) [3, 6]

(c) [0, 10)

VI. Aplikasi Nilai Maksimum dan Minimum

Pada kasus nyata, kegunaan nilai maksimum dan minimum umumnya untuk mencari nilai

optimal permasalahan.

Contoh 6.1

Sebuah segi empat memiliki keliling sebesar 40 satuan. Tentukan panjang dan lebar segi empat

yang mungkin dimiliki segi empat tersebut agar luas segi empat tersebut maksimal.

Diketahui, K = 40 satuan, dimana K = 2 × (p + l)

Penyelesaian 40 = 2 × (p + l)

20 = p + l

maka l = 20 - p

L = p × l

L = p × (20 – p) . . . . . Substitusi l = 20 – p, supaya fungsi L memiliki hanya 1 variabel

L = -p2 + 20p

L’ = -2p + 20 . . . . . . Turunkan persamaan terhadap p

0 = -2p + 20 . . . . . . Luas maksimum jika turunannya bernilai 0

2p = 20

p = 10


20 = p + l

20 = 10 + l

l = 10

Maka besar panjang dan lebar segi empat tersebut adalah masing-masing 10 satuan

Contoh 6.2

Sebuah balok akan dibentuk dari kertas karton. Salah satu sisi balok tersebut akan dibuat

berbentuk persegi. Jika kertas karton yang tersedia adalah sebanyak 600 cm2, dan tidak ada

karton yang bertumpuk, tentukan volume maksimum yang mungkin dibentuk dari karton

tersebut.

Diketahui, Lp = 600 cm2, dimana Lp = 2s2 + 4st dan V = s2t

Penyelesaian V = s2t

600 = 2s2 + 4st . . . . . . Substitusi Lp dengan 600

300 = s2 + 2st

300 – s2 = 2st 300−𝑠2

2𝑠 = t

V = s2 300−𝑠2

2𝑠 . . . . . . Substitusi t dengan

300−𝑠2

2𝑠

V = 150s - 1

2s3

V’ = 150 - 3

2s2 . . . . . . Turunkan persamaan terhadap s

0 = 150 - 3

2s2 . . . . . . Volume maksimum saat nilai turunannya 0

3

2s2 = 150

s2 = 100

s = ± 10

s = 10 cm . . . . . . Ambil nilai positif karena panjang sisi tidak mungkin negatif

t = 300−𝑠2

2𝑠

t = 300−100

20

t = 10 cm

V = s2t

V = 102.10

V = 1000 cm3

Contoh 6.3

Tentukan luas terbesar yang mungkin dibentuk dari segi empat di dalam sebuah lingkaran

berjari-jari 10 satuan

Diketahui, r = 10


Penyelesaian Bagi seluruh bentuk lingkaran menjadi seperempatnya, kemudian masukkan sebuah segi

empat hingga salah satu sudutnya menyentuh sisi lingkaran

Panjang x dan y milik segi empat tersebut dapat ditentukan sebagai berikut

x = cos θ . r

y = sin θ . r

dimana hipotenusa segi empat = r

Ubah salah satu variabel x atau y menggunakan hipotenusa. Contoh ini mengubah y

menjadi nilai yang mengandung x

h2 = x2 + y2

y = √h2 − x2

Gunakan luas segi empat dan turunannya untuk mencari luas maksimal

L = xy . . . . . . Karena nilai y akan diubah menjadi x, turunkan terhadap x 𝑑𝐿

𝑑𝑥 = 1.y + x.

𝑑𝑦

𝑑𝑥

y = √ℎ2 − 𝑥2 . . . . . . Subsitusi u = h2 – x2

y = 𝑢1

2 dy

dx =

1

2u−

1

2 .du

dx . . . . . . Didapat bahwa

𝑑𝑢

𝑑𝑥= −2𝑥


dy

dx =

1

2(h2 − x2)−

1

2 . (−2x)

dy

dx =

1

2

−2x

√(h2−x2) . . . . . . Substitusi√ℎ2 − 𝑥2 dengan y

dy

dx =

−x

y

Masukkan nilai tersebut ke persamaan turunan L

𝑑𝐿

𝑑𝑥 = 1.y + x.

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝐿

𝑑𝑥 = y + x.

−𝑥

𝑦 . . . . . . Agar luas maksimum, turunan persamaan harus bernilai 0

0 = y + −𝑥2

𝑦

𝑥2

𝑦 = y

x2 = y2

x = ± y . . . . . . Ukuran sisi x tidak mungkin negatif, ambil nilai positifnya

x = y

Sekarang yang harus dilakukan adalah mencari nilai sudut lingkaran yang memberikan

nilai maksimum dengan cara memasukkan nilai x atau y ke persamaan hipotenusa

h2 = x2 + y2

h2 = y2 + y2

h2 = 2y2

h = 𝑦√2

Masukkan nilai h ke persamaan sinus

sin θ = 𝑦

ℎ

sin θ = 𝑦

𝑦√2

sin θ = 1

2√2

θ = 45°

Masukkan nilai θ ke persamaan y

y = sin θ . r

y = 1

2√2 . 10

y = 5√2 cm

x = 5√2 cm . . . . . . Karena x = y

Masukkan nilai x dan y ke persamaan luas

L = xy

L = (5√2)2

L = 50 cm2

Karena nilai L hanya untuk seperempat lingkaran, kalikan dengan 4 untuk mendapat nilai

luas seluruh persegi


L = 50 × 4

L = 200 cm2

Latihan Soal

6.1) Tentukan dua bilangan yang menghasilkan nilai paling besar jika dikalikan dengan syarat

jumlah bilangan tersebut tidak lebih dari 32

6.2) Seorang pedagang menjual dua jenis buah: jeruk dan semangka. Keuntungan satu jeruk

adalah Rp. 10.000,- dan keuntungan satu semangka adalah Rp. 40.000,-. Ukuran

semangka yang dijual cukup besar, menempati setara dengan 5 buah jeruk. Jika seorang

pedagang dalam satu kali penjualan hanya mampu menjual sebanyak setara dengan 100

buah jeruk. Jika suatu hari penjual ingin menjual satu jenis buah saja, tentukan buah

mana yang akan menghasilkan keuntungan yang lebih besar.

VII. Sifat Fungsi Rasional

Sebuah fungsi umumnya memiliki beberapa sifat pada kurvanya, yaitu:

1. Simetri. Simetri fungsi ada dua:

a. Simetri terhadap sumbu x; jika x diganti dengan –x fungsi tidak berubah

b. Simetri terhadap sumbu y; jika y diganti dengan –y fungsi tidak berubah

2. Perpotongan dengan sumbu x. Diketahui dengan mencari akar persamaannya

3. Perpotongan dengan sumbu y. Diketahui dengan substitusi x dengan 0

4. Asimtot. Asimtot fungsi ada dua:

a. Asimtot tegak; jika lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ±∞

b. Asimtot datar; jika lim𝑓(𝑥)→∞

𝑓(𝑥) = ±∞

5. Selang naik dan selang turun

6. Titik stationer (titik pembuat nol pada persamaan turunan pertama)

7. Kecekungan

8. Titik belok (titik pembuat nol pada persamaan turunan kedua)

Contoh 7.1

Carilah asimtot dari f(x) = 𝑥−7

𝑥+4 jika ada

Penyelesaian Asimtot tegak

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ±∞ didapat saat x + 4 = 0, maka titik asimtot tegak berada pada x = -4

Asimtot datar

lim𝑓(𝑥)→∞

𝑓(𝑥) = ±∞ didapat dengan cara meng-invers f(x)

f(x) = y = 𝑥−7

𝑥+4

x = −4𝑦−7

𝑦−1

lim𝑓(𝑥)→∞

𝑓(𝑥) = ±∞ didapat saat y – 1 = 0, maka titik asimtot datar berada pada y = 1


Contoh 7.2

Carilah titik singgung sumbu x dan y dari f(x) = 𝑥−7

𝑥+4 jika ada

Penyelesaian Titik singgung x; terjadi saat y = 0

x-7 = 0

x = 7

Titik singgung y; terjadi saat x = 0

y = 0−7

0+4

y = −7

4

Latihan Soal

7.1) Gambar kurva f(x) = x2 + 9x – 10

7.2) Gambar kurva f(x) = (x-3)3

7.3) Gambar kurva f(x) = √𝑥2 − 4𝑥 − 45

7.4) Gambar kurva f(x) = 𝑥2−5𝑥+6

3𝑥−8

Semua gambar grafik diambil menggunakan Wolfram Alpha (wolframalpha.com)