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GOBIERNO DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA SUR
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
UINIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
UNIDAD 03A
MATEMÁTICAS DEL ENTORNO:
RECURSO DIDÁCTICO PARA UN APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO
Ramón Pimentel Hernández
La Paz, B.C.S., marzo del 2006
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GOBIERNO DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA SUR
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
UINIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
UNIDAD 03A
MATEMÁTICAS DEL ENTORNO:
RECURSO DIDÁCTICO PARA UN APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO
Ramón Pimentel Hernández
TESIS
PRESENTADA PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRÍA EN DOCENCIA E INNOVACIÓN EDUCATIVA
Director de tesis:
M.C. José Luis Santos Orcillez
La Paz, B.C.S., marzo del 2006
3
AGRADECIMIENTOS
A mis alumnos:
De los que he aprendido más
de lo que quisiera admitir…
Al pueblo:
Como un pequeño tributo…
4
ÍNDICE No. de Página
Introducción……………………………………………………………..…….. 1
1.- MARCO TEÓRICO CONTEXTUAL………………………………….…… 5
1.1.- Una consideración de fondo: ¿qué es la actividad matemática?.…….…...... 5
1.2.- Las matemáticas en el contexto social y escolar……………….……….…. 8
1.3.- Los procesos de pensamiento en matemáticas…………….…………….... 10
2.- OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS……………………………….…… 16
2.1.- Construcción y representación del conocimiento………………….……… 16
2.2.- La epistemología en la práctica educativa matemática………………..……23
2.2.1.- La contribución constructivista ……………………………………….….31
2.2.2.- La epistemología y la didáctica de las matemáticas……………………....35
2.3.- Obstáculos didácticos………………….……………………………….….. 36
2.3.1.- Características de los obstáculos didácticos…………………………… 37
2.4.- Consideraciones en la organización de situaciones problemáticas. …….… 39
3.- APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO: BASE CONSTRUCTIVISTA
DEL APRENDIZAJE EN MATEMÁTICAS………………………….…….42
3.1.- Teoría del aprendizaje significativo de David Ausubel………………….....42
3.1.1.- La psicología educativa y la labor docente………………………….……42
3.1.2.- Teoría del aprendizaje significativo……………………………………... 44
3.1.3.- Aprendizaje por descubrimiento y aprendizaje por recepción…………... 45
3.1.4.- Tipos de aprendizaje significativo…………………………………….….47
3.1.4.1.- Aprendizaje de representaciones……………………………………..…47
3.1.4.2.- Aprendizaje de conceptos…………………………………………........48
3.1.4.3.- Aprendizaje de proposiciones………………………………………..…49
3.1.5.- Principio de la similación…………………………………………….. … 50
3.1.6.- Diferenciación progresiva y reconciliación integradora………………….50
3.2.- Los mapas conceptuales como sistemas de representación
en matemáticas…………………………………………………………. … 52
3.2.1.- Mapas conceptuales…………………………………………………… ....55
3.2.2.- Mapas conceptuales y matemáticas………………………………….… . 58
3.3.- La problematización: técnica de enseñanza………………………………. .59
5
4.- EL USO DE NUEVAS TECNOLOGÍAS EN EDUCACIÓN…………….… 65
4.1.- Un futuro para la enseñanza de la matemática………………………….. .…65
4.2.- En el futuro: un diseño universal de aprendizaje……………………….. … 67
5.- PROPUESTA METODOLÓGICA. LA MATEMÁTICA:
AVENTURA DEL CONOCIMIENTO, UNA FORMA
CREATIVA DE ABORDAR SU ENSEÑANZA Y SU
APRENDIZAJE…………………………………………………………...... 68
5.1.- Enfoque investigativo: la investigación de la realidad educativa
empleando el paradigma interpretativo con aportes del etnográfico............ 69
5.2.- Proceso metodológico…………………………………………………....…76
5.2.1- Metodología de trabajo de campo: obtención de información
empírica………………………………………….………………….……. 76
5.2.2.- Planteamiento del problema investigativo………………………….….....80
5.2.3.- Análisis e interpretación de la información obtenida…………….…...…..82
5.3.- Una propuesta alternativa de cambio en los principios metodológicos…......84
5.4.- La actividad principal de la educación matemática:
la resolución de problemas……………………………………………….... 86
5.5.- La importancia de la motivación………………………………………..…..89
5.6.- El uso inteligente de la nueva tecnología como herramienta educativa….... 90
5.7.- El aprendizaje cooperativo……………………………………………...….. 93
5.8.- Los conocimientos previos y la emotividad en el aprendizaje………...…….95
5.9.- Utilización de los juegos en la enseñanza …..…………………………....... 96
5.10.- La creatividad: elemento indispensable en el proceso de conocer……....... 99
5.10.1.- ¿Qué es la creatividad?.............................................................................100
6.- ACTIVIDADES DIDÁCTICAS……………………………………………..105
6.1.- Las matemáticas en la vida cotidiana……………………………………....105
6.1.1.- Operaciones con números………………………………………………...107
6.1.2.- Actividades…………………………………………………………...…..108
6.2.- Objetivos generales de estas actividades………………………...……...… 115
7.- RECOMENDACIONES PARA EL PROCESO DE EVALUACIÓN
EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS…………………...….. 117
6
7.1.- Un modelo para la reflexión…………………………………………...…....117
7.2.- Los supuestos……………………………………………………………..…120
7.3.- Evaluar hoy…………………………………………………………….....…121
7.4.- La importancia de los indicadores…………………………….…...……... 126
7.5.- Cambios en los énfasis………………………………………………....…. 128
8.- Conclusiones…………………………………………………………………. 130
BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………132
7
Introducción
El presente trabajo tiene como propósito lograr que los docentes involucrados en la
tarea de enseñar la ciencia básica, reflexionen sobre los elementos y procesos que
se requieren para tratar de lograr el aprendizaje, por parte de los estudiantes, de un
conocimiento vivo, cambiante y dinámico, enfocado a la solución de problemas, al
establecimiento de modelos de situaciones vivenciales; no sólo a la aplicación de
reglas inciertas, desconectadas de los contextos reales y naturales en los que viven y
se desenvuelven ellos.
Por regla general, los problemas que se presentan en el aprendizaje formal, es decir,
el escolar, surgen, en la mayoría de los casos, de los problemas cotidianos de la
vida, no de las entrañas de los libros de texto. Sin embargo, su conceptualización no
es un arte fácil, fundamentalmente porque la capacidad para lograr arribar al dominio
de estos conceptos está unida a la creatividad, ciertamente huidiza.
Es en esta dificultad donde la presente propuesta tiene cabida; la misma plantea
como fundamento que los recursos del entorno deben jugar un papel, de tal manera
importante, que se constituya en una ayuda para que los docentes presenten a sus
alumnos alternativas de solucion a problemas y situaciones que no se ciñan a la
imposición de usar únicamente libros, como textos de apoyo.
La propuesta tiene su base metodológica considerando la premisa de que el entorno
plantea por sí mismo problemas para lograr llegar al aprendizaje de conocimientos,
8
pero al mismo tiempo funciona también como elemento motivador a la hora de
solucionarlos convirtiendo su proceso de solución en toda una experiencia creativa,
al respecto, Montserrat Moreno expone una excelente afirmación que encuadra muy
bien con la idea aquí expresada en cuanto a lo que sucede en el universo escolar:
“Para que exista abstracción, es necesario que exista algo de lo que abstraer, y este
algo, en las formas elementales del pensamiento, no puede ser más que la
organización de las acciones sobre los objetos concretos a los que el niño tiene
acceso”1.
En todos los educadores existe la conciencia de que la escuela se encuentra inmersa
en una sociedad concreta y que una de las muchas definiciones que se pueden dar a
la educación es la enunciada por Jean Piaget: “Educar es adaptar al individuo al
medio social cambiante”2. Luego entonces es a partir de esta premisa cuando
deberíamos empezar por preguntarnos ¿cuál es el medio social en el que se
desarrolla la escuela actual y cómo se socializan los alumnos en la misma?
Es un hecho que la sociedad en los últimos años, y debido a los avances
tecnológicos, está sufriendo cambios radicales de tal forma que, en los países
llamados industrializados, se asiste a una especie de revolución causada por el paso
de una sociedad industrial a una sociedad basada en la información. Así, unos
medios mecánicos de comunicación relativamente lentos pero que han configurado y
1 MONTSERRAT, Moreno, El Pensamiento Matemático, en “La pedagogía Operatoria. Un Enfoque Constructivista”,
Barcelona, Laia, 1983, p 58, en La Matemática en la Escuela I, Antología, UPN, SEP, 1988, p. 37. 2 PIAGET, Jean, en Meece, Judith, Desarrollo del niño y el adolescente, Biblioteca para la actualización del maestro, SEP,
Mc Graw Hill, 2000, p. 104.
9
marcado las relaciones humanas a lo largo de siglos como son la voz y el papel
impreso, están siendo reemplazados por la comunicación electrónica, logrando que
de esta manera se pueda compartir información casi al instante con personas o
máquinas desde cualquier lugar del planeta, gracias al empleo de estos modernos
sistemas.
Ha nacido entonces la llamada sociedad de la información en parte debido al gran
desarrollo de las nuevas tecnologías, quizás por esto mismo también conocida como
la era digital o la sociedad digital. Es en este tipo de contextos, en los que, como
educadores, se debe reflexionar sobre la importancia que conlleva formar seres
humanos para que se conduzcan en esta nueva era, considerando las repercusiones
y consecuencias del empleo de estas tecnologías en la vida diaria.
Por otra parte y en relación al tema que nos ocupa, los profesionales en educación
básica, deben desarrollar en la conciencia el hecho de que las matemáticas
constituyen una disciplina del conocimiento muy amplia, dinámica y, además, básica
para lograr interactuar con otras disciplinas, creciendo su importancia en proporción
directa con su utilidad para lograr entender fenómenos de la realidad.
Al igual que otras ramas del saber, ésta también está siendo afectada por los nuevos
avances tecnológicos, tanto en su propio seno como en su enseñanza. De hecho se
afirma que se está viviendo una edad de oro en su producción, ya que más de la
mitad se han desarrollado desde la Segunda Guerra Mundial, a consecuencia de los
avances tecnológicos, que, no sólo han hecho más fáciles los cálculos y la
10
elaboración de gráficas, también han cambiado la naturaleza misma de los
problemas que interesan y sus métodos de investigación, es el caso por ejemplo de
los avances en Geometría Multidimensional la cual ha hecho posible los
descubrimientos en el diseño de las llamadas formas fractales.
Esta concepción de la ciencia y la introducción de las nuevas tecnologías como
herramientas en su desempeño, marcan la nueva docencia basada, a grandes
rasgos, en las exigencias que la sociedad actual impone al sistema educativo en su
conjunto, a saber: necesidad de trabajadores con cultura matemática que sean
capaces de ampliar su aprendizaje una vez acabada su escolarización y en función
de sus necesidades laborales y de desempeño profesional, con igualdad de
oportunidades para aprender, no sólo utilizando el aprendizaje como un filtro
intelectual. Ser ciudadanos bien informados capaces de entender y aun participar en
las cuestiones propias de una sociedad tecnológica.
Ahora bien, de acuerdo con lo que aquí se propone, el estudiante podrá lograr estos
objetivos sólo en el caso de sentirse atraído por el conocimiento de forma afectiva y
efectiva. Considerando lo anteriormente expuesto, en este trabajo se presenta una
propuesta de enfoque en el aprendizaje de la matemática tratando de modificar la
idea que comúnmente se tiene de esta ciencia, como un cuerpo de conocimientos
abstracto y ajeno a la realidad.
La propuesta pretende, entre otras cosas, que los docentes responsables de los
cursos formales apelen a la dimensión humana de esta disciplina en el proceso de
11
tratar de lograr su aprendizaje, utilizando como contexto los elementos y recursos del
entorno, empleando como base metodológica ejemplos didácticos que van desde
vivencias en el aula, en el hogar, en el juego, situaciones creadas por entornos
informáticos que pretenden emular a su vez entornos reales, experiencias fuera del
aula con elementos producto de la necesidad de develar enigmas que hagan sentir el
problema como propio y por ende la imperiosa obligación de resolverlo.
En general, se trata propiamente de fomentar en los docentes la participación en una
aventura matemática en el aprendizaje de esta ciencia con sus alumnos, con todo lo
que esto implica.
1.- MARCO TEÓRICO CONTEXTUAL
1.1.- Una consideración de fondo: ¿qué es la actividad matemática?
La filosofía prevaleciente sobre lo que la actividad matemática representa, su
capacidad de abstracción de entornos y situaciones reales, tiene un fuerte influjo,
más efectivo a veces de lo que aparenta, sobre las actitudes profundas respecto de
su enseñanza; sobre estas actitudes, se expone lo que expresa Markarian:
En el fondo, la mayoría de la gente considera que la matemática es importante pero, a veces, parece haber olvidado por qué. O da más peso a las dificultades de su aprendizaje y comprensión que a las ventajas e impacto de la disciplina. La matemática ocupa un lugar prominente en la currícula escolar en todos los países. El papel de la matemática en la sociedad es sutil y a veces difícil de percibir; incluso permanece totalmente escondido en los aparatos, herramientas y utensilios de uso diario. Las aptitudes para calcular y para organizar la información, así como la comprensión geométrica del espacio-tiempo (esto es el mundo físico y sus modelos), son dos aspectos que muestran el papel cultural y científico de la disciplina. Dado que la matemática ocupa un lugar prominente en
12
diversos sectores de la sociedad y de la civilización como un todo, los matemáticos y los profesores debemos preocuparnos de explicar y clarificar su rol, estructura, etc.
3
En esta misma obra, Markarian, expone que la actividad científica en general
consiste en la exploración de ciertas estructuras de la realidad, entendida ésta en
sentido amplio, como realidad física o mental.
La actividad matemática se enfrenta con el hecho de elaborar un cierto tipo de
estructuras que se prestan a unos modos peculiares de tratamiento que incluyen:
a) Una simbolización adecuada, que permite presentar eficazmente, desde
un punto de vista operativo, las entidades que maneja;
b) Una manipulación racional rigurosa, que tiene que ver con el manejo de
las reglas o convenciones iniciales de partida de los elementos y procesos
involucrados;
c) Un dominio efectivo de la realidad a la que pretende emular, primero de
manera racional, modelo mental que se construye, y luego, si se pretende,
de la realidad exterior modelada y expuesta de manera concreta utilizando
símbolos.
La antigua definición de la matemática como ciencia del número y de la extensión
(concepción clásica), no es incompatible en absoluto con la aquí propuesta, sino que
corresponde a un tipo de estadio en el que el enfrentamiento con la realidad se había
plasmado en dos aspectos fundamentales: la complejidad proveniente de la
multiplicidad de elementos (lo que da origen al número, a la aritmética) y la
3 MARKARIAN, Roberto: La dimensión humana de la matemática, Correo del Maestro-Ediciones La Vasija, México, D.F.,
2003, pp 18-19. Obtenido del WEB: http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2003/junio/libros85.htm
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complejidad que procede del espacio (lo que da lugar a la geometría, estudio de la
forma y la extensión). Más adelante el mismo espíritu de la disciplina se habrá de
enfrentar con:
La complejidad del símbolo empleado como variable (álgebra);
La complejidad de la razón de cambio y de la causalidad determinística
(cálculo);
La complejidad proveniente del manejo de la incertidumbre en la
causalidad múltiple incontrolable (probabilidad, estadística);
La complejidad que pretende emular la estructura formal del
pensamiento (lógica matemática).
La educación que compete al aprendizaje de esta ciencia debe ser concebida más
como un proceso de inmersión en las formas propias de proceder de su ambiente, a
la manera de como el aprendiz de artista va siendo imbuido poco a poco, como por
ósmosis, en la forma peculiar de ver las cosas característica del oficio en que se
entronca. Esta idea, como ya se dijo, tiene profundas repercusiones en la manera en
que se propone enfocar su aprendizaje.
Para lograr entender esta interacción fecunda entre la realidad y la ciencia en
cuestión es necesario acudir, por una parte, a su propia historia, donde se hace
patente su fecundidad y potencia. Con ello se hace obvio cómo se ha procedido en
su evolución, de forma muy semejante a las otras ciencias, por aproximaciones
sucesivas, por experimentos, por tentativas, unas veces fructíferas, otras estériles,
hasta que va alcanzando una forma más madura, aunque siempre perfectible.
La enseñanza ideal de los docentes con respecto a esta disciplina debería tratar de
reflejar este carácter profundamente humano, ganando con ello en accesibilidad,
dinamismo, interés y atractivo. Al respecto, David Block y Martha Dávila exponen lo
siguiente:
14
…es fundamental que analicemos nuestra concepción de
lo que es saber matemáticas, centrando la atención ya no sólo
en los contenidos matemáticos formales, sino también en la
capacidad de pensar matemáticamente, de generar y crear
procesos no canónicos para resolver problemas, justo como lo
hicieron aquellos que fueron inventando las matemáticas que
hoy nos presentan los libros.4
1.2.- Las matemáticas en el contexto social y escolar
Al abordar el tema de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas resulta muy
útil preguntarse ¿qué son?, ¿en que consisten y para que sirven?. Ahora bien,
estos cuestionamientos no pueden referirse sólo a los contenidos que se estudian en
la escuela de esta ciencia, se tiene que abarcar en los mismos todas las
matemáticas que existen en nuestra sociedad.
Se puede llegar a pensar que alguna persona tomada individualmente puede lograr
vivir sin necesidad de este conocimiento o, por lo menos, sin mucho de lo que se
estudia en forma obligada de esta disciplina en la educación básica, pero esta
creencia sólo se puede dar por el hecho de que no vivimos solos y aislados sino en
sociedad: en una sociedad que funciona en gran proporción con la base de estos
conocimientos y en la que hay personas capaces de desarrollarlos para cubrir las
4 BLOCK, David y DÁVILA, Martha, Educación Matemática, Volumen 5, DIE, CINVESTAV, IPN, México, 1993, p. 37.
15
necesidades de los demás, incluso cuando éstos no reconocen sus propias
necesidades de esta ciencia.
El hecho de que, en forma obligada, se enseñe matemáticas en la escuela responde
a una necesidad a la vez individual y social: cada individuo en este contexto debe
saber un poco de esta disciplina para poder resolver, o cuando menos reconocer, los
problemas que surgen en la diaria convivencia con los demás. Todos, de una manera
u otra, estamos obligados a mantener el combustible que hace funcionar a nuestra
sociedad.
La presencia de esta ciencia en el contexto escolar es entonces una consecuencia
de su presencia en la sociedad y, por lo tanto, las necesidades que surgen en la
escuela deben estar subordinadas a las necesidades de la vida en sociedad.
Cuando se llega al reduccionismo de considerar que las matemáticas y las otras
ciencias sólo están hechas para ser enseñadas y aprendidas, que la llamada
enseñanza formal es imprescindible en todo aprendizaje y que la única razón por la
que se aprende es porque se enseña en la escuela, se reduce el valor social del
conocimiento a un simple valor escolar, convirtiendo de esta manera la enseñanza
escolar en un fin en sí mismo. Se tiene aquí un problema relativo a las actividades
escolares que no es posible entender desde la perspectiva puramente escolar, sin
tomar en cuenta lo que ocurre fuera de la escuela y, en particular, la poca visibilidad
del empleo del conocimiento en el conjunto de la sociedad.
16
Es importante tomar en cuenta que los procesos de enseñanza y aprendizaje de esta
y otras ciencias son aspectos particulares de su proceso de estudio, entendiendo la
palabra estudio en un sentido amplio que englobe tanto el trabajo del aprendizaje
del alumno, como del profesional que también, a su modo, estudia problemas de esta
índole.
1.3.- Los procesos de pensamiento en matemáticas
Una de las tendencias generales más difundidas en la actualidad consiste en hacer
hincapié en la transmisión de los procesos de pensamiento propios de la matemática,
más bien que en la mera transferencia de contenidos, es decir, se considera que en
su aprendizaje, las actividades didácticas que se propongan como elementos de su
proceso de adquisición deben estar basadas sobre todo en la premisa del hacer, ya
que en esta ciencia el método claramente predomina sobre el contenido. Es por ello
que, en esta propuesta, se concede una gran importancia al estudio de las
cuestiones, en buena parte colindantes con la psicología cognitiva, que se refieren a
los procesos mentales que se involucran en la resolución de problemas.
Al respecto, Ermel del Irem, en su obra “Aprendizajes Matemáticos en la Escuela
Primaria”, expone: “La actividad de resolución de problemas se presenta en efecto
como una actividad compleja que requiere la afectación mental y simultánea de un
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gran número de tareas: depósito, selección, organización de información, búsqueda y
aplicación de procedimientos, cálculos, etc”5.
La matemática es una ciencia que, en su forma pura, se inició sin tener ninguna
utilidad práctica, el inicio estuvo ligado seguramente a cuando los primeros humanos
pensaron por primera vez en los números y las formas como tales, prescindiendo de
sus características.
Cuando estos seres primitivos iniciaron sus acciones de conquista con el ánimo de
invadir y sojuzgar otras civilizaciones para finalmente subyugarlas, pasaron a
heredar, entre otras cosas, el saber matemático que se había estado acumulando
con el tiempo, seguramente este conocimiento los fascinó y los amedrentó, pero
también los dejó insatisfechos, seguramente se preguntaron ¿por qué se
consideraban ciertas las aseveraciones? ¿qué significaban?. En este proceso de
búsqueda y respuestas, los griegos, con su escepticismo y razón que los
caracterizaron, formularon conscientemente los dos procesos mentales vitales para
el progreso matemático: la abstracción y la demostración. A este respecto, se
exponen las definiciones de estos dos elementos constituyentes del saber
matemático, obtenidas de David Bergamini6.
La abstracción se entiende como la capacidad de percibir una o
más cualidades comunes en cosas distintas y formar una idea
general partiendo de ellas. Abstraemos por ejemplo cuando nos
5 ERMEL, del Irem, Los Problemas en la Escuela Primaria, en Aprendizajes Matemáticos en la Escuela Primaria, La
Matemática en la Escuela II, Antología, UPN, SEP, 1985, p.212. 6 BERGAMINI, David, Matemáticas, Colección científica de Time-Life, Edit. Time Life Internacional, Mexico, 1987, p 39.
18
parecen formas circulares los neumáticos de los automóviles, los
aros de bordar, etc.
La demostración es posible entenderla como el arte de argumentar desde las premisas hasta la conclusión de forma tal que no se pueda encontrar ningún error en ninguna etapa del argumento.
Son estas dos premisas las que han logrado que esta ciencia tenga la estructura y el
potencial de la que es característica, hasta el grado de constituir una de las más
poderosas herramientas en el proceso de posibilitar el avance de la civilización como
la conocemos.
Por otra parte, como se deja ver, la matemática es una ciencia intensamente
dinámica y cambiante, ya que su evolución se ha dado de manera rápida y hasta
turbulenta en sus contenidos, y aun en su propia concepción, aunque de modo más
lento. Todo ello sugiere que, efectivamente, el aprendizaje de esta ciencia no puede
ser concebido como una realidad de abordaje sencillo.
El otro miembro del binomio educación-matemática, no es tampoco nada simple. La
educación ha de hacer referencia necesariamente a: lo más interno de la persona, un
individuo aún en formación, la sociedad en evolución en la que se ha de integrar, la
cultura que en esta sociedad se desarrolla, a los medios concretos personales y
materiales de que en el momento se puede o se quiere disponer, las finalidades
prioritarias que a esta educación se le quiera asignar, de tal manera que los
elementos que se encuentran involucrados son muchos y extraordinariamente
variados.
19
La complejidad de la matemática y de la educación sugiere que, los teóricos y no
menos los agentes responsables de su enseñanza, deban permanecer
constantemente atentos y abiertos a los cambios que en muchos aspectos la
dinámica rápidamente mutante que la situación global de nuestro mundo viene
exigiendo, al respecto se tiene el siguiente comentario expresado en un escrito de
Gimeno Sacristán.
“La globalización cultural en este sentido tiene consecuencias ambivalentes que implican llamadas de atención contradictorias para la educación. Suponen posibilidades de acceder y de enriquecerse con lo ajeno, de revisar y relativizar lo propio, adquirir nuevas competencias, estímulos que complementan y mejoran la cultura escolar…”
7
La educación, como todo sistema complejo8, presenta una fuerte resistencia al
cambio. Esto no es necesariamente malo. Una razonable resistencia ante las
variaciones es la característica de los organismos vivos sanos. Lo malo ocurre
cuando esto no se conjuga con una capacidad de adaptación ante la mutabilidad de
las circunstancias ambientales siempre cambiantes. Se expone a continuación un
texto de Edgar Morin que expresa con claridad la situación y los elementos que
intervienen en la dimensión compleja del sistema educativo.
“En es ta evo luc ión hac ia los cam bios fundam enta les
de nues t ros es t i los de v ida y nues t ros
com por tam ientos , l a educac ión –en su sent ido m ás
am pl io - j uega un pape l p reponderante . La educac ión
7 GIMENO, S., José, El significado y la función de la educación en la sociedad y cultura globalizada, en Educación y Cultura
Global, Rodrigo López Z., Coordinador, Serie Documentos y Textos, Colección Letras Magistrales, UAS, México, 2002, p 46. 8 Vid. MORIN, Edgar, Introducción al pensamiento complejo, Ed. Gedisa, Barcelona, 1994, p. 25.
20
es “ la f uer za de l f u turo” , porque e l la cons t i tu ye uno
de los ins t rum entos m ás poderosos para rea l i zar e l
cam bio . Uno de los desaf íos m ás d i f íc i les será e l de
m odi f icar nues t ro pensam iento de m anera que
enf ren te la com ple j idad c rec ien te , la rap idez de los
cam bios y lo im prev is ib le que carac ter i za nues t ro
m undo”9.
En esta cita se deja entrever la importancia de considerar la rapidez con la que, por
razones muy diversas, se va haciendo necesario traspasar la prioridad de la
enseñanza de unos contenidos a otros más acordes.
En la situación de transformación vertiginosa de la civilización en la que nos ha
tocado vivir, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento,
que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo más valioso que podemos
proporcionar a nuestros jóvenes estudiantes.
Los procesos a que se hace referencia son los que intervienen a nivel mental en los
individuos para lograr que un conocimiento sea pertinente. Considerando lo anterior,
la educación deberá entonces evidenciar, entre otras cosas:
El contexto
El conocimiento de las informaciones considerando elementos aislados de la misma
es insuficiente. Hay que ubicar las informaciones y los elementos en su contexto
9Ibidem, p. 32.
21
para que adquieran sentido. Para tener sentido la palabra necesita del texto que es
su propio contexto y el texto necesita del contexto donde se enuncia. Por ejemplo, la
palabra “amor” cambia de sentido en un contexto religioso y en uno profano.
Lo global (las relaciones entre el todo y las partes)
Lo global es considerar una dimensión más abarcativa que el contexto, es el
conjunto considerado como sistema, el cual contiene partes diversas ligadas de
manera interactiva u organizacional. De esta manera, es que una sociedad es
considerada mucho más que un contexto, es un todo organizado del cual todos
formamos parte. El todo tiene cualidades o propiedades que no se encontrarían en
las partes si éstas se separaran las unas de las otras y ciertas cualidades o
propiedades de las partes pueden ser inhibidas por las fuerzas que salen del todo.10
Lo multidimensional
Las unidades complejas, como el ser humano o la sociedad, son multidimensionales;
el ser humano es a la vez biológico, síquico, social, afectivo, racional. La sociedad se
conforma por dimensiones históricas, económicas, sociológicas, religiosas... El
conocimiento pertinente debe reconocer esta multidimensionalidad e insertar allí sus
informaciones; se podría no solamente aislar una parte del todo sino las partes unas
de otras; la dimensión económica, por ejemplo, está en interacción permanentes con
todas las otras dimensiones humanas11.
10
Ibidem, p. 43. 11
Ibidem, p.48.
22
Lo complejo
El conocimiento pertinente debe enfrentar la complejidad. Hay complejidad cuando
son inseparables los elementos diferentes que constituyen un todo (como el
económico, el político, el sociológico, el psicológico, el afectivo,) y que existe un
tejido interdependiente, interactivo entre el objeto de conocimiento y su contexto, las
partes y el todo, el todo y las partes, las partes entre ellas. Por esto se considera que
la complejidad es la unión entre la unidad y la multiplicidad. Los desarrollos propios
de nuestra era nos enfrentan cada vez más y de manera cada vez más impredecible
a los desafíos de la complejidad.
En consecuencia, la educación debe promover estos procesos de pensamiento que
promueven el desarrollo de un tipo de inteligencia general apta para referirse, de
manera multidimensional, a lo complejo y al contexto en una concepción global.
Es en esta dirección donde deberán ser encausados los esfuerzos para que el
docente promueva en sus estudiantes el empleo de estrategias heurísticas
adecuadas para la resolución de problemas en general, para estimular la resolución
autónoma de verdaderos problemas, más que la mera transmisión de recetas
adecuadas en cada materia, y en nuestro caso particular, la matemática.
2.- OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS
2.1.- Construcción y representación del conocimiento
23
El conocimiento es un producto en permanente cambio resultado de un proceso
constructivo que se da en condiciones sociales específicas, más allá de una simple
absorción o reproducción directa de la realidad, este proceso genera significados
específicos y ordenadores de la realidad circundante, incluso creando nuevas
realidades con sus referentes espacio temporales; el proceso constructivo también
involucra experiencias y abstracciones, y tiene consecuencias directas en los
procesos cognitivos y de la vida social en general de los individuos.
El conocimiento incluye lo que se sabe acerca de un segmento de la realidad (saber,
saber hacer) en algún nivel de profundidad y precisión, desde lo más informal y
superficial, hasta lo más formal, amplio y profundo; incluye también el enfoque o
perspectiva desde la cual se establece la certeza sobre lo que se sabe, y el lenguaje
empleado como vehículo comunicativo y soporte de todos los anteriores
componentes.
La representación del conocimiento es, de igual manera, el resultado de un proceso
complejo, su elaboración obedece a una combinación intrincada de aspectos
experienciales, valorales, racionales y motivacionales, los cuales operan a su vez
como un conjunto articulado de referentes que pretenden explicar la realidad. Este
proceso está permeado por diversos elementos del contexto histórico y cultural, es
debido a ello que los significados individuales sólo tienen sentido en cuanto se
comparten con otros; de esta manera la representación del conocimiento constituye
24
un medio para establecer la relación, tanto entre personas, como entre grupos
sociales.
La representación del conocimiento, en lo referente al ámbito educativo, está siendo
fuertemente influenciado por la revolución cognitiva llamada constructivismo
basada en las ideas de Jean Piaget, Vygotsky y otros autores. Una de estas
aportaciones, la de Jean Piaget, establece la idea de que el conocimiento se
construye a partir de las actividades físicas y mentales del estudiante, esto no es
algo que pueda simplemente darse, al respecto se expone lo que piensa Mece
Judith: “El conocimiento no es una copia de la realidad. Conocer un objeto, conocer
un hecho no es simplemente observarlo y hacer una copia mental de él. Conocer un
objeto es utilizarlo. Conocer es modificar, transformar, entender el proceso de
transformación y, en consecuencia, comprender la forma en que se construye.”12
Por su parte, Vygotsky establece que el conocimiento no se logra de modo individual,
sino que se construye entre las personas a medida que interactúan: “Las
interacciones sociales entre compañeros constituyen el medio principal del desarrollo
intelectual, el conocimiento no se sitúa ni en el ambiente ni en el estudiante, más
bien se localiza dentro de un contexto social determinado.”13
Como es de comprender, esta corriente educativa representa una importante
contribución en los planos cognitivo y socio histórico, sus implicaciones son de gran
12
MEECE, Judith, Desarrollo del niño y del adolescente, Biblioteca para la actualización del maestro, SEP, Mc Graw Hill, México, 2000, p. 101. 13
Idem
25
importancia en todos los niveles y grados de la educación escolarizada. Es con el
acuerdo de esta corriente educativa que se considera la tesis según la cual el
pensamiento de las personas no es un conjunto de términos estáticos, una mera
colección de contenidos de conciencia, de imágenes, etc., sino todo un juego de
operaciones vivientes y actuantes, al respecto se consideran las siguientes citas:
“Según el enfoque constructivista del aprendizaje, el niño crea su conocimiento del mundo a partir de sus interacciones con el ambiente, los profesores facilitan el proceso centrando su atención, haciéndole preguntas y estimulando su pensamiento”
14.
“Pensar es actuar, trátese de asimilar los datos de la experiencia sometiéndolos a los esquemas de actividad intelectual o de construir nuevas operaciones mediante una reflexión en apariencia abstracta, es decir, operando interiormente sobre objetos imaginarios. La imagen no es el elemento fundamental del pensamiento; constituye más bien su soporte, útil con frecuencia, sin duda, pero no indispensable. Además, en su naturaleza íntima, la propia imagen constituye un acto real y no un residuo de sensaciones; es una reproducción de los trazos principales de la exploración perceptiva que tuvo lugar durante la percepción de su modelo. De esta tesis puede extraer el didacta una clara visión de los fines intelectuales que la enseñanza debe lograr. Decir que el alumno debe conocer determinadas asignaturas es decir que debe aprender a ejecutar determinadas operaciones. Siempre son las operaciones las que definen a las nociones y es su ejecución lo que debe provocar la enseñanza, efectivamente primero y bajo forma interiorizada o representativa después”
15.
Conviene recordar que, en esta lógica, la intervención del docente se entiende más
como la de un mediador y no un sustituto de la actividad del alumno (Coll, 2000). Es
deseable que los estudiantes construyan y expresen sentidos distintos a los
maestros, y hagan intentos por comprender la lógica de sus razonamientos, pero
también debe haber una responsabilidad del docente, de intervenir cuando los
14
Ibidem, p. 124. 15
AEBLI, Hans, “La Construcción de las Operaciones Mediante la Investigación por el Alumno”, en MORENO, Fernández Xochitl (Coord.), Los problemas matemáticos en la escuela, Antología básica, LE”94, Ed. UPN, SEP, México, 1995, pp. 48-49.
26
chicos no han logrado construir el atributo de significado necesario para comprender
un concepto o estrategia del que necesitarán echar mano en procesos subsecuentes.
Cuando el maestro logra motivar, invita constantemente con su actitud a los alumnos
a que participen dando sus opiniones y construyan poco a poco juicios e hipótesis;
aunque estén equivocados.
El docente estará, en este contexto, dirigiendo su labor no solamente hacia el
mejoramiento del proceso analítico, sino hacia el logro de un aprendizaje colectivo en
el que los alumnos se sentirán capaces de pensar, de ser responsables de su
aprendizaje y de compartir sus ideas de una manera más fluida.
A lo largo de este proceso de maduración del pensamiento en los estudiantes, es
posible observar como las operaciones se diferencian poco a poco a partir de
esquemas de acción elementales, hasta llegar a formar sistemas cada vez más
complejos y más móviles, capaces de captar finalmente esquemas que contienen el
universo entero.
En cuanto a la definición del concepto propiamente dicho de representación
entendida como identidad simbólica16, se puede decir que se trata de un conjunto
de significados acerca de un objeto, sea este material o ideacional. Estas
representaciones permiten pensar y hablar de la realidad y actuar en ella: definir esta
realidad, qué objetos le pertenecen, cómo se relacionan entre sí y como nos
relacionamos con ellos. En cuanto al significado de un objeto, y no en cuanto al
16
GRAVIZ, Ferreiro, Paradigmas Psicopedagógicos, ITSON, Sonora, 1996, p. 64.
27
mismo, la representación actúa como un sustituto del objeto y cuenta por lo menos
con los siguientes atributos:
a).- Cuenta con una dimensión ontológica, ya que por sí misma establece que
objetos o elementos ver y que ver en ellos que sea representable.
b).- Una dimensión epistemológica, ya que sus características propias determinan
que aspectos son representables.
c).- Es un medio o forma de expresión en un sentido semiótico y en particular
lingüístico, este último aspecto muestra que la representación puede ser también un
elemento de carácter metodológico y comunicativo.
Las tres componentes: imágenes, conceptos y formas de relación en categorías,
consideradas en forma conjunta, constituyen la representación.
La imagen constituye así una reconstrucción visual y parcial de un objeto material o
de algún proceso conceptuado, también puede ser una visualización perceptiva que
reconstruye al objeto material o simbólico.
Con todo lo anterior, es posible definir el término concepto como un constructo
significativo, un conjunto determinado de ideas que describen, explican o
caracterizan las relaciones de un objeto o proceso complejo. Las formas de
relación en categorías determinan qué y cómo se articulan los conceptos, incluidas
las imágenes correspondientes.
28
La representación entendida como proceso, es siempre dinámica en cuanto acto
constructivo de imágenes combinadas con conceptos y sobre transformaciones de
objetos, y de imágenes de objetos fijos, independientemente de que dichos objetos
estén o no presentes ante el aparato sensorial. Además, la representación es
generativa, ya que posibilita las relaciones con nuevos conocimientos y experiencias,
fortaleciendo las que ya se poseen y generando a su vez conocimientos y
representaciones nuevas.
En el caso de las matemáticas, las acciones de representación simbólica descansan
en un aparato de tipo categorial y lógico, las representaciones en este contexto
tienen un fuerte contenido de referentes metodológicos, ya que además de definir
que ver, orientan sobre el cómo hacerlo y determinan también las formas de
validación del conocimiento construido al respecto.
Como en todo campo disciplinario, en éste se trata de construir sentido a un proceso
en el que las representaciones y manipulaciones simbólicas son muy importantes.
Los conocimientos, las estrategias y los sistemas de creencias están
interrelacionados, basados en enfoques generales o formas de pensamiento que se
necesitan para construir procedimientos.
En general, el contenido representacional, en este campo del saber humano, se
encuentra presente tanto en la forma de plantearse los problemas como en el
establecimiento de vías de solución a los mismos. El vehículo de expresión es
también de tipo semiótico, es por ello que un concepto matemático se puede
29
describir en varias formas representacionales intercambiables, por ejemplo,
representaciones algebraicas, visuales o discursivas.
2.2.- La epistemología en la práctica educativa matemática
Las raíces etimológicas de la epistemología provienen del griego (epísteme),
conocimiento, y (logía) estudio. La epistemología estudia la naturaleza y validez del
conocimiento. También ha sido llamada Teoría del conocimiento (término más
comúnmente usado). En las últimas décadas también es conocida como filosofía de
la ciencia.
El propósito de la epistemología es distinguir la ciencia auténtica de la llamada
seudociencia, la investigación profunda de la superficial, la búsqueda de la verdad
de sólo un modus vivendi. También debe ser capaz de criticar programas y aun
resultados erróneos, así como de sugerir nuevos enfoques promisorios17
Por lo anterior, se deja ver que el problema fundamental que ocupa a la
epistemología es el de la relación sujeto-objeto. En este tipo de trabajos se le suele
llamar sujeto al ser cognoscente y objeto a todo proceso o fenómeno sobre el cual
el sujeto desarrolla su actividad cognitiva.
17
Vid. WENZELBURGER, E., Teoría e Investigación en Educación Matemática, Ed. Paidós, México, D.F., 1990, p.59.
30
De este modo, el problema educativo clásico se presenta en la relación de quien
conoce y lo que es cognoscible. En esencia, se trata de la naturaleza, carácter y las
propiedades específicas de la relación cognoscitiva, así como de las particularidades
de los elementos que intervienen en esta relación.
Ya desde la época antigua, Platón18 establecía que cada saber real debe de tener un
carácter universal, persistente y objetivo y que, en consecuencia, no puede depender
de las particularidades individuales y personales del sujeto cognoscente. En su
filosofía se está reconociendo por primera vez, la necesidad de superar los
momentos subjetivos del saber para poder reconstruir acertadamente el objeto de
esta actividad cognoscitiva. Con esto se presentó la tarea de encontrar aquellas
propiedades del objeto que se muestran perdurables en relaciones cognoscitivas
distintas.
Esa es una tarea que tradicionalmente ha jugado un gran papel en toda la historia de
la filosofía, y que, ahora, se vuelve a discutir con mayor énfasis: por ejemplo, en
relación con los problemas metodológicos de las matemáticas, la física y la
psicología.
En la filosofía antigua no se podía comprender que la actividad creativa del sujeto era
indispensable para la construcción ideal del objeto. Se pensaba que el objeto
verdadero sólo puede ser dado al ser cognoscente: todo aquello que es producto de
18
Vid. Ibidem, p. 87.
31
su creatividad cognoscitiva subjetiva, sólo puede ser un simple opinar, una
subjetividad, y por lo tanto, no es verdadero, no corresponde al ser.
Descartes19 en cambio comprendió el yo, la autoconciencia del sujeto, como el
principio, en cuya existencia no se puede dudar, porque el acto mismo de dudar
presupone el yo (pienso, luego existo). Ya el hecho de que se subraye el yo como
experiencia interna determinada, como apariencia vital de la conciencia, es un cierto
progreso en el análisis filosófico.
En su sistema, a la materia se le atribuye una propiedad cuantitativa, mientras que al
espíritu se le da una cualitativa. De ahí resulta un dualismo marcado: la exclusión
lógica de las dos substancias.
En la medida que el racionalismo –después de Descartes- atribuía a la sustancia
ideal y material, al sujeto y al objeto, propiedades lógicamente incompatibles, esta
corriente filosófica no pudo resolver el problema del conocimiento.
En Locke20 aparecen la experiencia externa (sensorial) y la experiencia interna (la
reflexión) como dos fuentes casi independientes del conocimiento, cuya relación no
está claramente determinada, pero cuya independencia es señalada
categóricamente por el filósofo. A esto se añade otra dificultad para los filósofos de
este periodo en el problema sujeto-objeto, y que consistió en lo siguiente: para la
ciencia de aquel tiempo, la concepción de materia correspondía al conocimiento que 19
Ibidem, p. 88.
20 Vid. LEON, Olivé, Cómo acercarse a la filosofía, Ed. Limusa, México, 1991, p.33.
32
de ella habían elaborado las ciencias naturales matemático-mecánicas que las
identificaban con el saber objetivo, y todo aquello que se salía de este margen era
declarado subjetivo.
El conocimiento era interpretado como análisis y sistematización de las impresiones
del objeto dadas en la experiencia sensorial (empirismo). Referente a esto, la tesis
de Locke es típica, ya que sólo pueden poseer objetividad las ideas simples que en
la percepción le son dadas inmediatamente al sujeto. En cambio, las ideas
compuestas, que son comprendidas como producto de la actividad de la razón, son
siempre inseguras, condicionadas y, en su significado cognoscitivo, relativas.
Por primera vez en la historia de la filosofía, Kant21 demuestra que el objeto no es
una cosa ajena al sujeto, algo externo y opuesto a éste. La función de la objetividad,
según el filósofo alemán, es una forma de la actividad del sujeto, y el propio sujeto no
existe fuera de las cosas conocidas por él. Además, el objeto sólo existe en las
formas de la actividad subjetiva y sólo así puede ser conocido.
La cosa en sí es decidir si la realidad existente fuera de cualquier relación con el
sujeto cognoscente, o es dada al sujeto solamente en la forma de los objetos. Los
objetos son en su esencia producto de la actividad creadora propia del sujeto.
A diferencia de Descartes y de los otros racionalistas, Kant no comprendió el sujeto
como una cosa pensante. Para él el sujeto es auto actividad, actividad interna, que
21
Vid. Ibidem, p. 23.
33
sólo se puede manifestar en su actuación, en la ordenación de las sensaciones por
medio de la síntesis categorial.
Detrás de la tesis idealista de un mundo de objetos, creado por el sujeto, en Kant se
encuentra el profundo supuesto dialéctico de la actividad del sujeto: el sujeto no
percibe pasivamente el mundo de las sensaciones, que les es dado, o los conceptos
racionales terminados, sino realiza lo dado creativamente.
En los resultados que se encuentran en los trabajos de J. Piaget, se documenta el
gran significado que tiene, para el desarrollo del saber, el aprovechamiento de la
invariancia de las determinaciones del sujeto. Sus investigaciones en el campo de la
psicología infantil, lo llevaron a desarrollar un problema general, esto es, la génesis
del intelecto.
Piaget ve la esencia del intelecto en un sistema de operaciones. Las operaciones
como acciones internas que se derivan de la acción real, objetiva. Una operación es
la acción objetiva, externa transformada, y continuada internamente (interiorizada).
La operación como acción interna se realiza mentalmente, con el uso de imágenes,
símbolos y señales que representan cosas reales. Mas, la operación no solamente
se distingue de la acción objetiva, real por su carácter interno y abreviado.
No toda acción interna (interiorizada) es una operación. Una acción interna sólo se
convierte en operación, cuando en una dependencia mutua determinada con otras
acciones, se une a un sistema, a un todo estructurado. Ahí, tal sistema de
34
operaciones se caracteriza por el equilibrio que se establece entre las operaciones y
otras opuestas a aquéllas.
Así, a manera de ejemplo, en un sistema de operaciones en el sentido de una
clasificación, por ejemplo, no hay solamente operaciones para establecer las
relaciones aditivas (A+A’=B; B+B’=C; etc.), sino también las operaciones opuestas,
las de la sustracción (B-A’=A; C-B’=B, etc.). La reversibilidad de las operaciones
significa, pues, que para cada operación existe otra simétrica y opuesta que
reconstruye la situación original vista desde los resultados de la primera operación.
La reversibilidad de las operaciones produce un equilibrio dentro del sistema de
operaciones. Según Piaget, sólo el intelecto logra la reversibilidad completa, puesto
que a las formas inferiores de captar el objeto (tales aspectos del proceso del
conocimiento como la percepción o la experiencia) les son inaccesibles la
reversibilidad completa.
El desarrollo del conocimiento conduce de esta manera a que el sujeto reconoce
tales propiedades del objeto que son invariantes con respecto a las distintas
situaciones cognoscitivas. De ahí se derivan las posibilidades para superar el
subjetivismo y alcanzar una mayor objetividad del saber.
Es así que Piaget, llega a la concepción de que es posible y necesario aplicar la
teoría de las invariantes, especialmente a la teoría matemática, en la investigación
psicológica del proceso del conocimiento.
35
Las estructuras cognoscitivas que se forman en los diferentes estadios de desarrollo
del intelecto, Piaget las describe como conjuntos de transformaciones. Para el
proceso de la obtención de conocimiento, existe la tendencia característica de
conectar los diferentes elementos del saber por medio de producir un sistema único a
partir de las relaciones invariantes.
También se subraya esta tendencia por parte de algunos teóricos de la corriente
positiva, pero se la interpreta de un modo específico: no como una forma de
reproducción ideal del objeto real, sino como expresión de ciertas peculiaridades del
sujeto, al respecto se tiene lo expuesto por Adam Schaf.
De acuerdo con la concepción mecanicista de la teoría del reflejo, el objeto de conocimiento actúa sobre el aparato perceptivo del sujeto que es un agente pasivo, contemplativo y receptivo; el producto de este proceso (el conocimiento) es un reflejo o copia del objeto, reflejo cuya génesis está en relación con la acción mecánica del objeto sobre el sujeto. A eso se debe que califiquemos de mecanicista este modelo
22.
En la escuela de la psicología de la Gestalt23, se señala ampliamente el carácter
estructural del conocimiento. Este carácter ya aparece desde la percepción
elemental: el sujeto percibe determinadas totalidades estructuradas que se le
aparecen como cosas existentes en un determinado trasfondo. Según esto, el
22 SCHAF, Adam, Historia y Verdad, Editorial Grijalbo, México, D .F., 1974, p. 83.
23 La Gestalt aparece en Alemania a principios de siglo como una reacción a las teorías reduccionistas y atomistas que empezaban a imperar en el ámbito psicológico. La Gestalt estudia la incidencia en los sistemas totales, en las estructuras en las que las partes están interrelacionadas dinámicamente de manera que el todo no puede ser inferido de las partes consideradas separadamente. Estas totalidades se llaman, precisamente, gestalts (forma, pauta, configuración o conjunto total). De aquí se desprende el principio general de esta corriente: "el todo es más que la suma de las partes".
36
sujeto cognoscente aparece como pasivo en la concepción de la psicología de la
Gestalt; al propio sujeto se le considera como cosa física entre otras cosas físicas.
Con este supuesto, desde el principio es imposible diferenciar en la percepción
como resultado de la relación mutua entre sujeto y objeto, las propiedades de la
cosa como tal, de las propiedades que le son características a la percepción según
las peculiaridades de sujeto.
Piaget, sin embargo, se acercó más a la solución del problema de la relación sujeto-
objeto con ayuda de la teoría del equilibrio. Él critica la psicología de la Gestalt y
subraya que hay que ver al sujeto como un ser activo. Según Piaget, la psicología
de la Gestalt se dedica solamente a un tipo muy estrecho de estructura cognoscitiva
totalitaria, a las llamadas totalidades irreversibles y no-asociativas que corresponden
solamente al estadio inicial del desarrollo del intelecto, que son sustituidas en el
curso del desarrollo del mismo y que son sustituidas a su vez por otras estructuras
reversibles y asociativas.
Es hasta las estructuras reversibles, donde aparecen las características estables,
invariantes del objeto, las cuales no dependen del cambio continuo de las
condiciones cognoscitivas.
Los estudios psicogenéticos más recientes han puesto de relieve que la acción
constituye la fuente común del conocimiento lógico-matemático. Precisamente, es
desde los sistemas de acción que puede comprenderse la contribución del objeto y
del sujeto en el conocimiento, ya que tales instrumentos se modifican en virtud de las
37
resistencias de los objetos, y a su vez, los objetos sólo son conocidos por la acción
estructurante del sujeto.
2.2.1.- La contribución constructivista
Hay quienes sostienen en la actualidad que la idea del constructivismo no es nueva
y que algunos aspectos de él pueden encontrarse en las obras de Sócrates, Platón,
Aristóteles, John Locke, Kant, (Bruner, 1986, p. 104), pero puede decirse que los
planteamientos más difundidos con relación al constructivismo son los de quienes
toman como base las aportaciones de Piaget, Vygotsky, Bruner y Ausubel.24
Piaget y Vygotsky construyeron, cada uno por su parte, explicaciones del
conocimiento y, a su vez, Ausubel construye una explicación del aprendizaje, pero
ellos no se clasificaron como constructivistas, sino que fueron César Coll y otros
teóricos contemporáneos quienes les han ubicado en esa denominación, en el caso
de Bruner que explica la instrucción, él se clasifica entre los constructivistas y dice:
soy, desde hace tiempo constructivista y así como creo que nosotros construimos o
constituimos el mundo, creo también que el self es una construcción, un resultado de
la acción y la simbolización. Adicionalmente, a Bruner25 se le clasifica como
constructivista debido a que retoma las aportaciones de Piaget y de Ausubel para
afirmar que:
24
Vid. COLL, César, Constructivismo e intervención educativa. En: El Constructivismo en la práctica, Ed. Laboratorio educativo, España, 2000, pp. 131-153, 25
BRUNER, Jerome, La importancia de la educación, Ed. Paidós, Barcelona, 1987, pp. 134 y 159.
38
“el hombre construye modelos de su mundo y que esas construcciones no son vacías sino significativas e integradas a un contexto que le permiten ir más allá. Ese hombre capta el mundo de un manera que le permite hacer predicciones acerca de lo que vendrá a continuación: el hombre puede hacer comparaciones en pocas milésimas, entre una nueva experiencia y otra y luego las almacena para incorporarlas después al resto del modelo
26 ”.
Tomando en cuenta las aportaciones de Piaget, Coll dice que la idea básica del
constructivismo es que el acto de conocimiento consiste en una apropiación
progresiva del objeto por el sujeto, de tal manera que la asimilación del primero a las
estructuras del segundo es indisociable de la acomodación de estas últimas a las
características propias del objeto; el carácter constructivista del conocimiento, afirma
Coll, se refiere tanto al sujeto que conoce como al objeto conocido: ambos aparecen
como el resultado de un proceso permanente de construcción. El conocimiento
surge de la interacción continua entre el sujeto y el objeto, o más exactamente de la
interacción entre los esquemas de asimilación y las propiedades del objeto.
Para César Coll, el constructivismo no es, en sentido estricto, una teoría del
desarrollo o del aprendizaje y aclara que la finalidad de la concepción constructivista
es configurar un esquema de conjunto orientado a analizar, explicar y comprender
los procesos escolares de enseñanza y aprendizaje.
La idea central de la teoría de Piaget, y que se retoma en Coll, es que el
conocimiento no es copia de la realidad, ni tampoco se encuentra totalmente
determinado por las restricciones impuestas por la mente del individuo; por el
26
Ibidem, p. 18.
39
contrario es producto de una interacción entre estos dos elementos. Por tanto, el
sujeto construye su conocimiento a medida que interactúa con la realidad.
Esta construcción se realiza, como ya quedó establecido, a través de procesos,
entre los cuales destacan la asimilación y la acomodación.
En lo personal, se coincide con Jean Piaget cuando establece que el sujeto es capaz
de construir su propio conocimiento matemático27, pero se difiere en el planteamiento
que hace en el sentido de que esa construcción sólo se realiza mediante el proceso
que él explicó y que consiste en la asimilación, la acomodación y la adaptación de la
nueva información.
La construcción de conocimiento, por lo menos en las matemáticas, se realiza,
mediante un procedimiento más complejo basado en la apropiación del conocimiento
existente acerca de un objeto o proceso específico, en la crítica del mismo y con la
presencia de referentes no solamente teóricos sino también con los de carácter no
teórico, y que se encuentran presentes en el contexto y el sujeto que construye su
conocimiento.
En el constructivismo se plantea que el papel del maestro no es el de transmitir el
conocimiento sino el de propiciar los instrumentos para que el alumno lo construya a
partir de su saber previo, tal vez el punto de mayor interés para la psicología
27 PIAGET, Jean, De la Pedagogía, Ed. Paidós educador, México, D. F., 1999, p. 128.
40
educativa es que, dentro del modelo constructivista, el conocimiento no se adquiere
simplemente, no se recibe ni se considera una copia de la realidad, sino que es una
construcción del sujeto.
Esta corriente educativa es una posición actual en auge, en ella convergen distintas
aportaciones como ya se mencionó, esta convergencia de opiniones se beneficia del
mutuo reconocimiento de los puntos en común aceptados por distintos enfoques,
pero también hay que decir que existen divergencias notables que se reflejan, por
ejemplo, en la discusión actual sobre la obra de Vygotsky. Los mismos teóricos que
recomiendan esta corriente aclaran que no han sido suficientemente exploradas en la
posición constructivista las siguientes cuestiones:
Una definición precisa de la naturaleza del conocimiento previo, así
como una teoría coherente y acabada del cambio conceptual.
La especificación de las condiciones de aplicación de la concepción
constructivista a las distintas materias escolares (por ejemplo, es obvio
que no es lo mismo aprender matemáticas que aprender música, y
Los criterios de aplicación de los principios constructivistas al ámbito
escolar cotidiano; es decir, el paso de unos principios generales al
diseño del currículum y de la actividad en el aula.
El constructivismo es un tema obligado que está presente en gran parte de los
modelos que inspiran las actuales propuestas del sistema educativo. Se debe
suponer que esta corriente surgió como una alternativa que pretende aclarar la
41
posición epistemológica sobre el tan debatido tema del origen del conocimiento, con
un claro distanciamiento del racionalismo y del empirismo ya que en su
fundamentación se expresa que la principal diferencia entre aquél y éstos radica en
que en el constructivismo se considera que las teorías siempre pueden modificarse
o cambiarse de tal modo que siempre seremos capaces de construir una nueva
teoría mejor que la anterior. Tal vez en esto radique su principal ventaja.
2.2.2.- La epistemología y la didáctica de las matemáticas
J. Piaget28 con su teoría de la equilibración predominante presentó una teoría
coherente de la evolución del conocimiento; el conocimiento, de acuerdo con esta
teoría, pasaría de un estado a otro de equilibrio a través de un desequilibrio de
transición, en el curso del cual las relaciones consideradas por el sujeto en el estado
anterior estarían en contradicción, ya sea por la consideración de relaciones nuevas
o por la tentativa, nueva también, de coordinarlas. Esta fase de conflicto sería
superada durante una fase de reorganización y de coordinación que llevaría a un
nuevo estado de equilibrio.
Aplicar esta teoría al conocimiento matemático lleva, entre otras cosas, a considerar
que las situaciones-problema presentadas a los alumnos constituyen un factor
determinante para hacer evolucionar sus representaciones y sus procedimientos.
28
LABINOWICS, Ed, Introducción a Piaget, pensamiento, aprendizaje, enseñanza, Ed. Addison Wesley Iberoamericana, E.U. A., 1987, p. 19.
42
La situación didáctica implica en este contexto una interacción del estudiante con
situaciones problemáticas, una interacción dialéctica, donde el sujeto anticipa y
finaliza sus acciones y compromete sus conocimientos anteriores, los somete a
revisión, los modifica, los complementa o los rechaza para formar concepciones
nuevas.
El objeto principal de la didáctica en este nuevo esquema es estudiar las
condiciones que deben cumplir las situaciones planteadas al alumno para
favorecer la aparición, funcionamiento o rechazo de esas concepciones.
El interés de un problema dependerá de lo que el estudiante comprometa ahí, de lo
que someterá a prueba, lo que invertirá, de la importancia que conceda a los
rechazos a hacer, y de las consecuencias previsibles de esos rechazos, de la
frecuencia a cometer errores y de su importancia.
2.3.- Obstáculos didácticos
En esta interacción dialéctica, la noción de obstáculo aparece como fundamental,
debido a que éstos surgen en el proceso de aprendizaje por la confrontación, que de
los conocimientos, efectúa el estudiante, así, habrá de enfrentarlos y superarlos para
lograr un conocimiento científico. A este respecto Bachelard29 menciona lo siguiente:
29 BACHELARD, Gastón, El agua y los sueños, ensayo sobre la imaginación de la materia. Ed. FCE, México, D.F.,
1978, p. 31. Este filósofo francés (1884–1962), se centró en sus primeros trabajos en el estudio de la historia y la filosofía de
43
"no se trata de considerar los obstáculos externos como la complejidad y la fugacidad de los fenómenos, ni de incriminar la debilidad de los sentidos y del espíritu humano, es en el acto mismo de conocer íntimamente que aparecen por una suerte de necesidad funcional para conocer... Uno conoce contra un conocimiento anterior".
La noción de obstáculo aún está en vías de construirse y diversificarse, de donde no
es fácil decir generalidades pertinentes sobre el tema, vale más hacer estudios caso
por caso. Esta noción tiende a extenderse fuera del campo de la epistemología para
también ser considerado en los campos de la didáctica, psicología, y otras
disciplinas.
2.3.1.- Características de los obstáculos didácticos
a) Errores: un obstáculo se manifiesta por sus errores, los cuales son reproducibles
y persistentes. Están ligados entre ellos por una fuente común, una forma de
conocer, una concepción característica coherente y que ha tenido éxito en todo un
dominio de acciones que no son forzosamente explicitables. Los errores persisten,
resurgen a pesar del tiempo que tengan de haber sido rechazados del sistema
cognitivo consciente, no desaparecen radicalmente de golpe.
b) Franqueamiento: el obstáculo está constituido como un conocimiento con
objetos, relaciones, métodos de aprehensión, consecuencias olvidadas, va a resistir
la ciencia. De este ámbito pasa a desarrollar una contribución muy original en el campo de la filosofía del imaginario. En esta vertiente destacan sus trabajos sobre la imaginación de la materia (fuego, aire, agua, tierra), estableciendo una fecunda línea de comunicación entre la epistemología y la poética.
44
el rechazo, se adaptará localmente, se modificará al menor precio, se optimizará
sobre un campo reducido siguiendo un proceso de acomodamiento. Será necesario
un flujo suficiente de situaciones nuevas que van a desestabilizar en el alumno su
conocimiento y hacer necesaria la reconsideración, el rechazo, el olvido hasta en sus
últimas manifestaciones.
Franquear un obstáculo exige un trabajo de igual naturaleza que el establecimiento
de un conocimiento, es decir, interacciones rechazadas en el proceso dialéctico entre
el alumno y el objeto de conocimiento. Así, un verdadero problema es una situación
que permita esta dialéctica y que la motive.
c) Afianzamiento a causa del medio ambiente: el conocimiento, el hombre y el
medio mantienen una interacción que desemboca frecuentemente en concepciones
erróneas, mismas que son dirigidas por condiciones de interacción posibles de
modificar, fenómeno que es objeto de la didáctica. Este obstáculo es fruto de una
interacción del alumno con su medio. Esta declaración tiene consecuencias para la
enseñanza: si uno quiere desestabilizar una noción enraizada es necesario que el
alumno pueda invertir sus concepciones dentro de situaciones numerosas e
importantes para él, con condiciones informacionales diferenciadas para que un salto
cualitativo sea necesario.
45
2.4.- Consideraciones en la organización de situaciones problemáticas
La concepción del aprendizaje apoyada en el desarrollo de los conocimientos en
términos de obstáculos difiere de la concepción clásica en lo concerniente al rol y
organización de los problemas. El problema va a jugar en el proceso un rol
fundamental.
Plantear el problema consiste en encontrar una situación en la que el alumno
emprenderá una sucesión de intercambios relativos a una cuestión que
constituye un obstáculo para él, el cual tomará como apoyo para apropiarse o
construir un conocimiento nuevo.
Las condiciones en que se desarrolla esta situación-problema son inicialmente
escogidas por el que enseña.
El proceso debe pasar rápidamente por el control de quien va a participar a su
vez en la situación. La motivación nace de esta inversión y se conserva con
ella.
El estudiante deberá establecer la validez de una afirmación, por lo que el
maestro debe dirigirse al alumno como un sujeto capaz de aceptar o rehusar
sus afirmaciones, exponer pruebas de lo que anticipa, de oponerle otras
afirmaciones. Estos intercambios entre maestro y alumno permiten explicitar
teorías matemáticas. Se trata menos de aprender las pruebas aceptadas que
de poner a prueba aquéllas que uno concibe. Un proceso de prueba se
construye en una dialéctica de la validación que conduce al alumno a usar
46
espontáneamente la retórica, es decir, defender con argumentos aquello de lo
que no está tan seguro y, enseguida renunciar a ellos.
“La experiencia del estudiante, su punto de partida, es una red de información, de imágenes, de relaciones, anticipaciones e inferencias alrededor de una idea. Este complejo cognoscitivo es a lo que llamamos su concepción. El trabajo del estudiante consiste entonces en extraer de tal concepción relaciones y patrones: un conjunto coordinado de acciones y esquemas que conducen al conocimiento viable, a los conceptos y, por último, a la generación de algoritmos. A lo largo del proceso constructivo, que es permanente, el estudiante encuentra situaciones que cuestionan el estado actual de su conocimiento y le obligan a un proceso de reorganización; con frecuencia el estudiante se ve obligado a rechazar por inviable mucho de lo que había construido. Durante el proceso de construcción de significados, el estudiante se ve forzado a recurrir a nociones más primitivas que expliquen las situaciones que estudia. Esta no es una búsqueda consciente de esquemas lógicos, sino, más bien, está tratando de encontrar el sentido de aquello a lo que se va enfrentando.”
30
A lo largo de este apartado se han esbozado de forma breve y sencilla las
aproximaciones teóricas que fundamentan las estrategias didácticas enmarcadas
dentro del enfoque constructivista que intenta, desde el aula, captar la complejidad
de la clase.
En cuanto a los campos conceptuales, de igual manera se aceptó que en el
transcurso de los procesos anteriores, la influencia de más de una alternativa en las
formas de dar solución a la situación-problema enfrentada por los alumnos, a fin de
que lograran, en consecuencia, el conocimiento esperado.
30Obtenido del WEB, www.cibernous.com/glosario/racionalismo.hatml
47
Se abordó la comunicación de un saber a un público (los estudiantes), proceso que
supone la transformación de un saber en un conocimiento a enseñar y después en
un objeto de enseñanza, en donde quedó contemplada la transposición didáctica.
Así mismo, se esbozó la forma en que se deben crear y desarrollar las situaciones
didácticas a fin de que el alumno construya un conocimiento nuevo a partir de la
superación de sus obstáculos, cuestión que alude a estas mismas situaciones.
En este contexto teórico los problemas serán considerados no como un medio para
dificultar el aprendizaje en los estudiantes, sino como la mejor alternativa para
ayudarlos a superar sus obstáculos y provocarlo, de ahí que se sugiere una nueva
forma de plantearlos. De esta manera, los problemas y el surgimiento de los
obstáculos personales de los estudiantes ante un saber son medulares en las
estrategias didácticas.
En esta teoría el papel del profesor consiste principalmente en:
Organizar la situación didáctica de modo que el conocimiento sea planteado
como un objeto de enseñanza de forma tal que pueda ser adquirido, bajo su
dirección, en el proceso de aprendizaje,
Permitir a los estudiantes aceptar la responsabilidad de resolver el problema
propuesto, en un modo de funcionamiento adidáctico, manteniéndolo por
medio de un proceso de confrontación y argumentación.
Unir las adquisiciones desarrolladas durante el proceso de solución al
conocimiento institucional a través de una fase de institucionalización.
48
Actividades que ciertamente son muy distintas a las que en general desarrollan
dentro del sistema tradicional, sin embargo, desde la perspectiva constructivista,
esbozan ya los pasos para la aplicación o experimentación de una secuencia
didáctica acorde.
Cabe aclarar aquí que tales situaciones, aunque fundamentales para el aprendizaje,
pueden raramente corresponder a la enseñanza global en un campo dado bajo
condiciones estándar, incluso cuando tal funcionamiento pudiera ser teóricamente
posible.
3.- APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO: BASE CONSTRUCTIVISTA
DEL APRENDIZAJE EN MATEMÁTICAS
3.1.- Teoría del aprendizaje significativo de David Ausubel31
3.1.1.- La Psicología educativa y la labor docente
Durante mucho tiempo se consideró que el aprendizaje era sinónimo de cambio de
conducta, esto, porque dominó una perspectiva conductista de la labor educativa; sin
embargo, es posible poder afirmar en la actualidad con certeza, que el aprendizaje
humano va más allá de un simple cambio de conducta, conduce a un cambio en el
significado de la experiencia.
31
AUSUBEL, P. David, et al, Psicología Educativa, Ed. Trillas, México, D. F., 1983, p.24.
49
La experiencia humana no sólo implica pensamiento, sino también afectividad y
únicamente cuando se consideran en conjunto se capacita al individuo para
enriquecer el significado de su experiencia, al respecto se tiene este planteamiento
de David Ausubel que apoya la idea.
La facilitación del aprendizaje es tan sólo uno de los fines propios de la enseñanza. Esta no es un fin en sí misma a menos que los alumnos aprendan; y aunque el fracaso de éstos en aprender no indica necesariamente la competencia del maestro, aprender sigue siendo todavía la única medida factible del merito de la enseñanza
32.
Para entender la labor educativa, es necesario tener en consideración otros tres
elementos del proceso: los profesores y su manera de enseñar; la estructura de los
conocimientos que conforman el currículo y el modo en que éste se produce y el
entramado social en el que se desarrolla el proceso educativo.
Lo anterior se desarrolla dentro de un marco psicoeducativo, puesto que la psicología
educativa trata de explicar la naturaleza del aprendizaje en el salón de clases y los
factores que lo influyen, estos fundamentos psicológicos proporcionan los principios
para que los profesores descubran por sí mismos los métodos de enseñanza más
eficaces, puesto que intentar descubrir métodos por ensayo y error es un
procedimiento ciego y, por tanto innecesariamente difícil y antieconómico.
Es en este sentido donde se hace necesaria una teoría del aprendizaje que ofrezca
una explicación sistemática, coherente y unitaria del ¿cómo se aprende?, ¿cuáles
son los límites del aprendizaje?, ¿por qué se olvida lo aprendido?.
32
Ibidem, p. 26.
50
La teoría del aprendizaje significativo de Ausubel ofrece en este sentido, el marco
apropiado para el desarrollo de la labor educativa, así como para el diseño de
técnicas y estrategias educacionales coherentes con tales principios,
constituyéndose en un marco teórico que favorecerá seguramente dicho proceso.
3.1.2.- Teoría del aprendizaje significativo
Ausubel plantea en su obra, “Psicología educativa, un punto de vista cognoscitivo”
que el aprendizaje del alumno depende de la estructura cognitiva previa que se
relaciona con la nueva información, entendiendo por estructura cognitiva, al
conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un determinado
campo del conocimiento, así como su organización.
En el proceso de adquisición del aprendizaje, es de vital importancia para el docente
conocer la estructura cognitiva del alumno, es decir, las bases conceptuales con las
que ya cuenta; no sólo se trata aquí de saber la cantidad de información que posee,
sino cuales son los conceptos y proposiciones que maneja así como de su grado de
estabilidad, es decir, su conocimiento en cuanto a experiencias.
Los principios de aprendizaje propuestos por Ausubel ofrecen el marco para el
diseño de herramientas metacognitivas que permiten conocer algo de cómo esta la
organización de la estructura mental del educando, lo cual permitirá una mejor
orientación de la labor educativa, ésta ya no se verá como una labor que deba
desarrollarse con mentes en blanco o que el aprendizaje de los alumnos comience
51
de cero, pues realmente nunca es así, sino que, los educandos tienen ya una serie
de experiencias y conocimientos que afectan su aprendizaje y éstas pueden y deben
ser aprovechados para su beneficio.
Ausubel resume este hecho en el epígrafe de su obra de la siguiente manera: "Si
tuviese que reducir toda la psicología educativa a un solo principio, enunciaría este
de la siguiente manera. El factor más importante que influye en el aprendizaje es
lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñese consecuentemente"33.
3.1.3.- Aprendizaje por descubrimiento y aprendizaje por recepción
De acuerdo con la teoría de Ausubel, en el aprendizaje por recepción, el contenido o
motivo de aprendizaje se presenta al alumno en su forma final, sólo se le exige que
internalice o incorpore el material (leyes, un poema, un teorema de geometría, una
formula, etc.) que se le presenta de tal modo que pueda recuperarlo o reproducirlo en
un momento posterior.
En el caso anterior la tarea de aprendizaje no es potencialmente significativa ni
tampoco convertida en tal durante el proceso de internalización, por otra parte el
aprendizaje por recepción puede ser significativo si la tarea o material
potencialmente significativos son comprendidos e interactúan con los conceptos
inclusores pre-existentes en la estructura cognitiva del educando.
33
Ibidem, p. 35.
52
En el aprendizaje por descubrimiento, lo que va a ser aprendido no se da en su
forma final, sino que debe ser re-construido por el alumno antes de ser aprendido e
incorporado significativamente en la estructura. En este tipo de aprendizaje se
involucran elementos que el alumno debe reordenar en la información, integrarlos
con la estructura de conocimientos y reorganizar o transformar la combinación
integrada de manera que se produzca el aprendizaje deseado.
Si la condición para que un aprendizaje sea potencialmente significativo es que la
nueva información interactúe con la estructura previa y que exista una disposición
para ello del que aprende, implica que el aprendizaje por descubrimiento no
necesariamente es significativo y también que el aprendizaje por recepción es
obligatoriamente mecánico.
Tanto uno como el otro aprendizaje pueden ser significativos o mecánicos,
dependiendo de la manera como la nueva información es almacenada en la
estructura cognitiva; por ejemplo el armado de un rompecabezas por ensayo y error
es un tipo de aprendizaje por descubrimiento en el cual, el contenido descubierto ( el
armado) es incorporado de manera arbitraria a la estructura de conocimientos y por
lo tanto aprendido mecánicamente, por otro lado una ley física puede ser aprendida
significativamente sin necesidad de ser descubierta por el alumno, ésta puede ser
oída, comprendida y usada significativamente, siempre que exista en su estructura
los conocimientos previos apropiados.
53
3.1.4.- Tipos de aprendizaje significativo
Es importante recalcar que el aprendizaje significativo no es la simple conexión de
la información nueva con la ya existente en la estructura cognoscitiva del que
aprende, por el contrario, sólo el aprendizaje mecánico es la simple conexión,
arbitraria y no sustantiva; el aprendizaje significativo involucra la modificación y
evolución de la nueva información, así como de la estructura cognitiva envuelta en el
aprendizaje.
Ausubel distingue en su obra citada tres tipos de aprendizaje significativo: de
representaciones, conceptos y de proposiciones.
3.1.4.1.- Aprendizaje de representaciones
De acuerdo con Ausubel, es el aprendizaje más elemental del cual dependen los
demás tipos de aprendizaje. Consiste en la atribución de significados a determinados
símbolos, al respecto, el autor dice: Ocurre cuando se igualan en significado
símbolos arbitrarios con sus referentes (objetos, eventos, conceptos) y significan
para el alumno cualquier significado al que sus referentes aludan34.
Este tipo de aprendizaje se presenta generalmente en los niños pequeños, por
ejemplo, el aprendizaje de la palabra pelota, ocurre cuando el significado de esa
palabra pasa a representar, o se convierte en equivalente para la pelota que el niño
34
Ibidem, p. 68.
54
está percibiendo en ese momento, por consiguiente, significan la misma cosa para él;
no se trata de una simple asociación entre el símbolo y el objeto sino que el niño los
relaciona de manera relativamente sustantiva y no arbitraria, como una equivalencia
representacional con los contenidos relevantes existentes en su estructura cognitiva.
3.1.4.2.- Aprendizaje de conceptos
En la obra de Ausubel, los conceptos se definen como objetos, eventos, situaciones
o propiedades que poseen atributos de criterios comunes y que se designan
mediante algún símbolo o signos; a partir de aquí, es posible afirmar que en cierta
forma también es un aprendizaje de representaciones. Los conceptos son adquiridos
a través de dos procesos de formación y asimilación; en la formación de conceptos,
los atributos de criterio (características) se adquieren a través de la experiencia
directa, en sucesivas etapas de formulación y prueba de hipótesis, del ejemplo
anterior podemos decir que el niño adquiere el significado genérico de la palabra
pelota, ese símbolo sirve también como significante para el concepto cultural de
pelota, en este caso se establece una equivalencia entre el símbolo y sus atributos
de criterios comunes. De allí que los niños aprendan el concepto de pelota a través
de varios encuentros con su pelota y las de otros niños.
El aprendizaje de conceptos por asimilación se produce a medida que el niño amplía
su vocabulario, pues los atributos de criterio de los conceptos se pueden definir
usando las combinaciones disponibles en la estructura cognitiva por ello el niño
55
podrá distinguir distintos colores, tamaños y afirmar que se trata de una pelota,
cuando vea otras en cualquier momento.
3.1.4.3.- Aprendizaje de proposiciones
En este tipo de aprendizaje, se va más allá de la simple asimilación de lo que
representan las palabras combinadas o aisladas, puesto que exige captar el
significado de las ideas expresadas en forma de proposiciones, la parte semántica.
El aprendizaje de proposiciones implica la combinación y relación de varias palabras
cada una de las cuales constituye un referente unitario, luego éstas se combinan de
tal forma que la idea resultante es más que la simple suma de los significados de las
palabras tomadas como componentes individuales, produciendo a su vez un nuevo
significado que es asimilado a la estructura cognitiva. Es decir, que una proposición
potencialmente significativa, expresada verbalmente, es como una declaración que
posee significado denotativo (las características evocadas al oír los conceptos) y
connotativo (la carga emotiva, actitudinal provocada por los conceptos) de los
conceptos involucrados, interactúa con las ideas relevantes ya establecidas en la
estructura y, de esa interacción, surgen los significados de la nueva proposición.
56
3.1.5.- Principio de la asimilación
Ausubel establece en su obra que, este principio de asimilación se refiere más que
nada a la interacción entre el nuevo material que será aprendido y la estructura
cognitiva existente, tiene la finalidad de originar una reorganización de los nuevos y
antiguos significados para conformar una nueva estructura diferenciada, esta
interacción de la información nueva con las ideas pertinentes que existen en la
estructura propician su asimilación.
Por asimilación es posible entender, de acuerdo con lo anterior, que el proceso
mediante el cual la nueva información aprendida es vinculada con aspectos
relevantes preexistentes en la estructura cognitiva, proceso en que se modifica la
información recientemente adquirida y la estructura preexistente, al respecto Ausubel
recalca lo siguiente: Este proceso de interacción modifica tanto el significado de la
nueva información como el significado del concepto o proposición al cual está
afianzada. El producto de la interacción del proceso de aprendizaje no es solamente
el nuevo significado de (a’), sino que incluye la modificación del concepto inclusor y
es el significado compuesto (A’a’)35.
3.1.6.- Diferenciación progresiva y reconciliación integradora
Como ya se ha expresado anteriormente y continuando con el análisis de la obra de
David Ausubel, en el proceso de asimilación las ideas previas existentes en la
35
Ibidem, p. 45
57
estructura cognitiva se modifican adquiriendo nuevos significados. La presencia
sucesiva de este hecho produce una elaboración adicional jerárquica de los
conceptos o proposiciones dando lugar a una diferenciación progresiva.
Este es un hecho que se presenta durante la asimilación, pues los conceptos
inclusores están siendo reelaborados y modificados constantemente, adquiriendo
nuevos significados, es decir, progresivamente diferenciados. Por otro lado, si
durante la asimilación las ideas ya establecidas en la estructura cognitiva son
reconocidas y relacionadas en el curso de un nuevo aprendizaje posibilitando una
nueva organización y la atribución de un significado nuevo, a este proceso es a lo
que se le denomina según Ausubel reconciliación integradora.
La diferenciación progresiva y la reconciliación integradora son por lo tanto
procesos dinámicos que se presentan durante el aprendizaje significativo. La
estructura cognitiva se caracteriza por lo tanto, por presentar una organización
dinámica de los contenidos aprendidos.
Los conceptos de diferenciación progresiva y reconciliación integradora pueden ser
aprovechados en la labor educativa, puesto que la diferenciación progresiva puede
provocarse presentando al inicio del proceso educativo, las ideas más generales e
inclusivas que serán enseñadas, para diferenciarlos paulatinamente en términos de
detalle y especificidad, por ello es posible afirmar que: Es más fácil para los seres
humanos captar aspectos diferenciados de un todo inclusivo previamente aprendido,
que llegar al todo a partir de sus componentes diferenciados, ya que la organización
58
de los contenidos de una cierta disciplina en la mente de un individuo es una
estructura jerárquica.
3.2.- Los mapas conceptuales como sistemas de representación en
matemáticas
Los profesores en general y los de matemáticas en particular enfrentan diariamente
problemas complejos dentro de las aulas. Estos problemas parecen ser problemas
de enseñanza o de contenido. Pero, en realidad, casi siempre son de aprendizaje.
Aquí se hace referencia a los problemas que se suelen presentar para lograr que los
estudiantes construyan, de la mejor manera posible, su conocimiento matemático.
En algunos casos cuesta trabajo comprender por qué algunos estudiantes no pueden
avanzar en la construcción de su conocimiento. Y en muchas ocasiones (con o sin
razón) se les tiende a culpar de esta situación, al afirmar que vienen mal preparados
o que no tienen la actitud apropiada hacia las matemáticas.
Pero en estos casos la pregunta sería ¿qué pueden hacer los profesores para apoyar
a los estudiantes y lograr que avancen en su formación?
Un primer paso puede consistir en lograr el convencimiento de que el centro de la
preocupación debe ser el aprendizaje. Lo que debe preocupar es la calidad de la
formación que los estudiantes están logrando gracias a la intervención docente.
59
Y, en la preocupación por tratar de que los estudiantes logren adquirir el aprendizaje,
lo que se debe intentar comprenderse, por parte de los docentes, en la medida de
sus posibilidades, es precisamente eso, la problemática de la comprensión ¿qué
significa comprender en matemáticas?. Esta es una pregunta muy compleja que se
podría responder de manera sencilla: comprender las matemáticas significa ser
capaz de resolver problemas en los que las matemáticas están involucradas.
De esta manera, es posible reformular el problema original y preguntarse ¿por qué
los estudiantes no son capaces de resolver un problema dado?. Existe una respuesta
sencilla a esta pregunta: un estudiante no puede resolver un problema porque el
conocimiento que tiene no es suficiente para permitírselo.
Se tiene aquí un significado amplio del término conocimiento. No obstante, la tesis
planteada consiste en que buena parte de los problemas que, como profesores de
matemáticas, se enfrentan en las aulas de clase, tienen que ver con la capacidad
para conocer y comprender de qué manera se logra el conocimiento matemático por
parte de los estudiantes.
Esta capacidad debiera permitir comprender por qué los estudiantes no logran la
capacidad de resolver un problema dado. Adicionalmente, ella debe dar luces para
diseñar las estrategias con las cuales se pueda apoyar a los estudiantes para que
avancen en la construcción de su conocimiento y puedan llegar a resolver los
problemas que antes eran insolubles para ellos.
60
La comprensión en esta ciencia depende directamente de ella misma. Aunque hay
facetas de la formación matemática del estudiante y de sus actitudes hacia esta
ciencia que pueden ser comunes a otras áreas del conocimiento, la preocupación
aquí surge por aquellos aspectos de la comprensión que están directamente
relacionados con la ciencia misma. Es por esta razón que debe considerarse la
situación de que, el desarrollo de la capacidad para comprender el conocimiento
matemático de los estudiantes, depende en gran medida de la comprensión y el
conocimiento que, de las matemáticas escolares, logre el docente.
En otras palabras, para poder resolver los problemas que se enfrentan en el aula, se
deben conocer en detalle la estructura y las principales características del
conocimiento que se espera que los estudiantes construyan.
Aunque, por el hecho de ser profesores de matemáticas con cierta experiencia, se
puede llegar a la consideración de que ya se conoce suficientemente el tema que se
enseña, es posible que esto no sea cierto. Se puede ser un buen matemático, en el
sentido de conocer algunos temas con profundidad desde la perspectiva del saber de
esta ciencia. Pero, ¿se conocerán estos temas desde la perspectiva de las
matemáticas de la escuela y específicamente de los estudiantes?
En este trabajo se tiene la propuesta de profundizar en una herramienta que puede
aportar una mayor comprensión de las matemáticas escolares y hacer propicia la
construcción de estrategias para abordar los problemas a los que nos enfrentamos
en el aula de clase. Se trata de los mapas conceptuales.
61
A continuación se hace una descripción de las principales ideas detrás de la noción
de mapa conceptual como medio de representación del conocimiento y algunas de
las características de los mapas conceptuales que buscan describir un contenido
particular. Se hace énfasis en los diversos tipos de conexiones que pueden existir
entre los elementos de un mapa.
3.2.1.- Mapas conceptuales
Los mapas conceptuales fueron ideados por Joseph D. Novak36 para poner en
práctica el modelo de aprendizaje significativo de Ausubel37. Constituyen una técnica
o método de aprendizaje cuya función es ayudar a la comprensión de los
conocimientos que el alumno tiene que aprender y a relacionarlos entre sí o con
otros que ya posee. El ejercicio de elaboración de mapas conceptuales fomenta la
reflexión, el espíritu crítico y la creatividad.
Se componen básicamente de tres elementos:
Conceptos: se refieren a hechos, objetos, cualidades, animales, etc.;
gramaticalmente los conceptos se identifican como nombres, adjetivos y
pronombres.
Palabras de enlace: son los verbos, las preposiciones, las conjunciones, el
adverbio y en general todas las palabras que no sean conceptos.
36
Vid, NOVAK, J. D., y Gowin, D.B., Aprendiendo a aprender, Editorial Martínez Roca, Barcelona, España, 1988. p 57. 37
Vid. AUSUBEL, David, Op. Cit. P. 63.
62
Proposiciones: constituyen frases con un significado determinado que se
forma por dos o más conceptos unidos por palabras enlace.
Los mapas conceptuales son una herramienta para representar visualmente la
estructura de la información. Es decir, los mapas conceptuales son formas o
sistemas de representación cuyas normas son relativamente sencillas los
conceptos se representan por nodos a los que se les da una etiqueta por medio
de una palabra o una frase corta que indica el concepto. Las relaciones se
representan por líneas (enlaces) que conectan los nodos, a continuación se
muestra un esquema que refleja lo anteriormente expuesto.
Ejemplo de un mapa conceptual
En la figura anterior se muestra el ejemplo de un mapa conceptual para tratar de
explicar precisamente este. En este caso, vemos que es un mapa tipo araña puesto
63
que presenta una jerarquía partiendo de un concepto inicial, EL MAPA
CONCEPTUAL.
Aunque esta técnica de representación ha sido utilizada desde la Edad Media, se
considera que fue Joseph D. Novak, catedrático de la Universidad de Cornell en
Estados Unidos, el pionero en la utilización de los mapas conceptuales en la
educación. Él la desarrolló para determinar cómo ocurren los cambios en la
comprensión conceptual de los estudiantes.
Los mapas conceptuales están siendo utilizados en la actualidad de manera
sistemática en la educación, particularmente como herramienta, tanto para describir
el currículo, como herramienta de la instrucción.
Existe una técnica relacionada con los mapas conceptuales, llamada mapas
mentales. Ésta requiere que los mapas conceptuales tengan una jerarquía: un mapa
mental consiste en una palabra o concepto central, alrededor del cual se dibujan
de 5 a 10 ideas principales que se relacionan con esa palabra. Este proceso puede
ser repetido para cada una de las palabras hijas, tantas veces como se requiera.
Como sistemas de representación, los mapas conceptuales tienen dos ventajas
importantes: Permiten descripciones no lineales del objeto y proporcionan una visión
holística del mismo.
Al tener un carácter gráfico, permiten observar la estructura de la descripción.
64
3.2.2.- Mapas conceptuales y matemáticas
Las dos cualidades que se menciona al final del apartado anterior son importantes
para la descripción de objetos matemáticos y su correspondiente discurso. La
estructura del contenido matemático no es lineal. Por un lado, todo concepto se
encuentra relacionado con otros conceptos y, en general, todo procedimiento está
relacionado con uno o más conceptos y procedimientos adicionales38.
Por otro lado, y como se verá más adelante, la representación de un concepto (u
objeto) puede estar relacionada con otras representaciones de ese mismo u otros
conceptos (u objetos). Por consiguiente, siempre es posible diseñar una estructura
que represente la manera como los conceptos, los procedimientos y sus
representaciones se relacionan unos con otros. Aunque lo que se representa
gráficamente son características conocidas de los objetos matemáticos y su
correspondiente discurso, este último se hace, en general, dentro de un texto. Esto
implica, por un lado, que la descripción tiene que ser lineal, y, por el otro, que no es
posible ver gráficamente la estructura del discurso. Hay que deducirla de la lectura
del texto. En consecuencia, en contraposición con la descripción textual, los mapas
conceptuales resultan muy potentes para la descripción del discurso matemático y,
como veremos más adelante, cuando se conjugan con la noción de sistema de
representación, esta potencia se multiplica39.
38
Vid. NOVAK, J. y Gowin, D. Op. Cit. p. 33. 39
Ibidem, p. 49.
65
3.3.- La problematización: técnica de enseñanza
De acuerdo con lo que expresa César Coll en su obra40, diversos estudios en
investigación educativa relativos a la forma en que los estudiantes resuelven
problemas, han llevado a la explicación de que las actividades relacionadas con la
resolución de éstos surgen como objetos cognoscitivos (esquemas) a partir de las
reflexiones que los sujetos hacen sobre sus propias acciones. En este contexto, es
posible afirmar que el conocimiento matemático es resultado de esta reflexión sobre
acciones interiorizadas (abstracción reflexiva). La matemática, en esta perspectiva,
no se conceptualiza como un cuerpo codificado de conocimientos, sino
esencialmente una actividad intelectual en sí misma.
El conocimiento, desde la perspectiva constructivista, es siempre contextual y nunca
separado del sujeto; en el proceso de conocer, el sujeto va asignando al objeto una
serie de significados cuya multiplicidad determina conceptualmente al objeto (Coll,
2000).
Conocer entonces es actuar, pero conocer también implica comprender de tal
forma que permita compartir con otros el conocimiento y de esta manera conformar
una comunidad. En esta interacción, de naturaleza social, un rol fundamental lo juega
la negociación de significados.
40
Vid. COLL, César, Op. Cit. p. 61.
66
Un planteamiento fundamental de le teoría de Piaget41 es que todo acto intelectual se
construye progresivamente a partir de estructuras cognoscitivas anteriores y más
primitivas. La tarea del educador constructivista entonces deberá consistir en diseñar
y presentar situaciones que, apelando a las estructuras anteriores de las que el
estudiante dispone, le permitan asimilar y acomodar nuevos significados del objeto
de aprendizaje y nuevas operaciones asociadas a él.
El siguiente paso consistirá en socializar estos significados personales a través de
una negociación con otros estudiantes, con el profesor y con los textos.
Al poner el énfasis en la actividad del estudiante, una didáctica basada en teorías
constructivistas exige también, como contraparte, una actividad mayor por parte del
educador. Éste ya no sólo se deberá limitar a tomar conocimiento de un texto y
exponerlo en el aula, o en unas notas, o en otro texto, con mayor o menor habilidad.
La actividad demandada por esta concepción es menos rutinaria, en ocasiones
impredecible, y exige del educador un constante empleo de la imaginación y la
creatividad.
Una consideración especial basada precisamente en la interpretación que del
constructivismo se hace, tomando en cuenta las tendencias modernas en la
educación matemática, parte del establecimiento que se hace tradicionalmente en el
sentido de que el aprendizaje se da de lo simple a lo complejo (educación
programada), se propone un cambio en este sentido, que se debe dar más bien de lo
complejo a lo simple. El objetivo de esta innovación será la de evitar situaciones que
41
PIAGET, Jean, Op. Cit. p. 13.
67
sean demasiado simples, porque éstas se convierten en obstáculos epistemológicos
pues favorecen la acción automática y poco creativa.
Como ya se ha expuesto, la formación de los alumnos incluye de forma necesaria la
formación en la resolución de problemas, en el análisis crítico de situaciones
complejas que no se presten fácilmente a tratamientos automáticos. Lo anterior no se
deberá entender en el sentido de que el hacer las cosas difíciles es lo que debe
fundamentar una estrategia pedagógica.
Complejidad y dificultad no son sinónimos. Sin embargo, una situación compleja
plantea un contexto diferente al que plantea una trivial, que obliga a una estrategia
diferente en el aula, y en la situación educativa en general. El papel del maestro de
nuevo es aquí clave.
Con objetivo de promover el pensamiento crítico, la creatividad y la imaginación en
los estudiantes es importante darles la posibilidad de enfrentarse a las situaciones
problema de varias maneras. A diferencia de los esquemas tradicionales que
promueven una sola estrategia, aquí se tendrá que estimular y dejar el camino
abierto para que se intenten varios procedimientos.
Cuando se prescribe, sugiere, recomienda o guía antes de la experiencia directa del
alumno con la situación problema, es posible que se pierda ese espacio de libertad
68
fundamental para permitir la acción y el involucramiento profundo del estudiante en la
experiencia educativa planteada42.
En términos semejantes, el hecho de enfrentar situaciones reales que plantean la
posibilidad de emplear estrategias variadas, tanto de matemáticas, lógica, de lectura
cuidadosa y hasta sentido común, son las más valiosas, ya que permiten realizar
experiencias con lo más cercano a lo que en la vida real y cotidiana el niño y el joven
se enfrentarán. Aquí, la contextualización y los recursos del entorno juegan un papel
diferente y fundamental.
No se trata de revestir de entorno una operación matemática, es más bien enfrentar
una realidad, hacer un tratamiento de la información, determinar los límites y los
métodos que plantea la situación de aprendizaje. No se trata de poner simplemente
la operación 8 + 15 en términos de 8 naranjas más 15 naranjas, sino de ofrecer al
estudiante una situación que le permita usar su mente de manera más amplia,
considerando las diferentes variables posibles y discernir sobre todos los recursos a
su alcance.
Al respecto, se expone esta fracción de la entrevista que, como parte del material
empírico, se logro obtener, la misma muestra las posibilidades que los docentes de la
nueva generación le dan a los recursos del entorno.
…los elementos del entorno son base indispensable para que los niños desarrollen el proceso de aprendizaje de las matemáticas, yo
42
Vid. COLL, César. Op. Cit. p. 87.
69
tiendo (sic) en todo momento a utilizar los elementos del entorno, como práctica normal de mi enseñanza…
43
Frente al formalismo excesivo en le enseñanza tradicional, el simbolismo matemático
innecesario, y demás características, las nuevas tendencias promueven un
planteamiento contestatario muy importante: se apela en esta nueva concepción de
lo que significa aprender a la heurística, a la interactividad estudiante-maestro en
las nuevas experiencias, al recurso de la vida cotidiana y a la contextualización de la
enseñanza, y a otras premisas de no menos importancia para mejorar la formación
matemática del educando44.
Salvo en algunas versiones muy radicales del constructivismo que afirman que los
textos no son necesarios y, más bien, resultan inconvenientes, hay consenso en que
éstos pueden tener una función esencial en la educación.
En esta estrategia pedagógica que se propone, los textos especialmente (pero
también otros recursos) deben jugar un papel bien definido: deben ser insumos
particulares para la experiencia del que aprende. Este insumo particular debe servir,
en forma conjunta con el involucramiento en una colección de situaciones
problemáticas (problemas) que sirvan al desarrollo de la experiencia de la clase45. El
texto en sí mismo aislado de la experiencia de la clase no puede tener el impacto y la
utilidad necesarios asignados por la estrategia. El texto no es suficiente para la
construcción conceptual. La clase es necesaria.
43
Entrevista realizada el 21 de marzo del 2001, en las instalaciones de la UPN Unidad 03A , a un docente de educación primaria. 44
Vid. Ibidem, p. 53. 45
POSTIC, Marcel, La Relación Educativa, Ed. Nancea, Madrid, 1982, pp. 23-26.
70
La adopción de una estrategia que tome en cuenta las tendencias actuales en la
educación matemática plantearía la necesidad de acciones de formación,
capacitación y recursos de apoyo para estudiantes y profesores, así como de toma
de conciencia de los padres de familia. No se trataría de proponer un cambio a
realizarse en unos pocos meses, o en un par de años, sino de una transformación
educativa que tomaría varios años.
Al respecto, se tiene el siguiente aporte producto de las entrevistas, el cual
representa muy bien esta idea.
…a las nuevas generaciones de egresados de la Normal se nos trata de fomenta un tipo de práctica docente innovadora, donde se busca en todo momento lograr un aprendizaje analítico, crítico y reflexivo en los alumnos…
46
Como se observa en la entrevista, ya existe la inquietud de promover cambios en las
estructuras mismas de las instituciones responsables de la formación de docentes.
En calidad de opinión, y considerando la información anterior, esta estrategia
pedagógica puede iniciarse desde ahora aunque dotada de todos los ajustes,
apoyos, y demás acciones necesarias. Es seguro que llegar a adoptar esta estrategia
es más difícil que seguir recetando lo mismo.
Al asumir un nuevo enfoque en la educación, incluyendo desde luego la matemática,
se debe cambiar la práctica educativa de una forma significativa: los alumnos
desarrollarán seguramente una actitud diferente frente a la clase y la experiencia
46
Continuación de la misma entrevista
71
educativa, los profesores asumirán una aproximación distinta, y los padres de familia
comprenderán la dinámica de los nuevos métodos.
Como siempre sucede con todo cambio, al principio la gente puede llegar a sentir
temor e incertidumbre. Pero a continuación, más para unos que para otros, este
cambio podría despertar nuevas ilusiones, una especial mística, y un estímulo
extraordinario.
Los espacios de libertad para dar curso a la creatividad, la imaginación, en un marco
de participación y amplio trabajo interactivos, constituyen por si solos un vigoroso
medio de estímulo para un nuevo compromiso con la enseñanza y el aprendizaje.
Se trata en términos generales, como se puede apreciar, del establecimiento de una
nueva mística y estímulo para el conocimiento, la cultura y la educación. Después de
participar en esta experiencia no se podría despertar ya jamás con la mentalidad
tradicional rutinaria, pasiva, programada, basada en la subestimación de las
capacidades de los niños, los jóvenes y los educadores.
4.- EL USO DE NUEVAS TECNOLOGÍAS EN EDUCACIÓN
4.1.- Un futuro para la enseñanza de la matemática
72
De acuerdo con Perelman47, la aparición de herramientas tan poderosas como la
calculadora y el ordenador actuales están comenzando a influir fuertemente en los
intentos por orientar nuestra educación matemática básica adecuadamente, de forma
que se aprovechen al máximo de tales instrumentos.
Es claro que, por diversas circunstancias tales como costo, inercia, novedad,
impreparación de profesores, hostilidad de algunos... aún no se ha logrado encontrar
moldes plenamente satisfactorios.
Este constituye uno de los retos importantes del momento presente. Ya desde ahora,
como se ha estado afirmando, se puede presentir que la forma tradicional de
enseñanza y los mismos contenidos tienen que experimentar drásticas reformas.
El acento habrá que ponerlo, también por esta razón, en la comprensión de los
procesos matemáticos más bien que en la ejecución de ciertas rutinas que en la
situación actual ocupan todavía gran parte de la energía de nuestros alumnos, con el
consiguiente sentimiento de esterilidad del tiempo que en ello emplean.
Lo importante vendrá a ser su preparación para el diálogo inteligente con las
herramientas que ya existen, de las que algunos ya disponen y otros van a disponer
en un futuro que ya es presente.
47 PERELMAN, Y., I., Matemáticas Recreativas, Editorial Martínez Roca, Barcelona, 1987. p. 91.
73
El siguiente texto de José Ramón Jiménez, aclara y refuerza lo expuesto, y
proporciona una ligera idea de las posibilidades a que pueden dar lugar.
Hoy en día la calculadora es un instrumento de fácil acceso y bajo costo. Es importante que se favorezca su uso con distintos fines: a) para verificar rápidamente el resultado de un calculo; b) para resolver problemas con cálculos complicados, cuando lo que interesa es centrar la atención en la estrategia de resolución; c) para experimentar con los números. La introducción de la calculadora no pretende sustituir la enseñanza y el ejercicio del cálculo numérico, sino que, con el apoyo de la calculadora, los alumnos resuelvan diferentes actividades que les permitan desarrollar diversas estrategias, para afianzar y profundizar el conocimiento y el uso de las operaciones
48.
4.2.- En el futuro: un diseño universal de aprendizaje
Las nuevas tecnologías están revolucionando la forma de abordar el aprendizaje tal
como transcurre en el cerebro. El uso actual que les damos e estas nuevas
tecnologías, inimaginables hace diez años, nos revelan que en el aprendizaje su
empleo será decisivo para el futuro de la educación.
Los diseñadores educacionales en el futuro adaptarán seguramente el uso de los
medios digitales a cada tarea, a diferentes tipos de aprendizaje y a diferentes
estudiantes. Utilizarán la transformabilidad y la flexibilidad de los medios digitales
para reducir las barreras y las ineficiencias inherentes a los textos impresos actuales,
de formato único para todos. Además, adquirirán experiencia en las cualidades
representativas y expresivas de cada medio, y de los nuevos híbridos que se irán
48
JIMENEZ, Rodríguez José Ramón, La calculadora en primaria, en Moreno Fernandez Xochitl (Corrd), Los problemas matemáticos en la escuela, Op Cit. pp. 145-146.
74
desarrollando, para atender a un conjunto más amplio de estudiantes con un mayor
rango de conocimientos.
Los estudiantes con discapacidades, serán tal vez quienes reciban el mayor impacto
de estas transformaciones. Las múltiples representaciones permitirán incrementar el
acceso al contenido y a las oportunidades de estudiar, gracias a los libros parlantes,
videos descriptivos, pistas para lenguaje gestual, etc., y se convertirán en los
primeros beneficiarios de estos nuevos medios.
Y seguramente habrá también otros beneficiarios, como los profesores virtuales de
matemáticas, música, geografía, física y demás materias que difícilmente pueden
transmitir en la actualidad sus contenidos desde un texto en línea.
5.- PROPUESTA METODOLÒGICA. LA MATEMÁTICA: AVENTURA
DEL CONOCIMIENTO, UNA FORMA CREATIVA DE ABORDAR SU
ENSEÑANZA Y SU APRENDIZAJE
Objetivos:
Proponer elementos que hagan de la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática algo interesante.
Propiciar las condiciones para que cualquier alumno obtenga de esta
disciplina una vivencia agradable.
75
Mostrar que, además de ser el estudio de la matemática una
experiencia creativa, puede contribuir a dar respuesta a los diferentes
y variados problemas que enfrentamos en la vida cotidiana.
5.1.- Enfoque investigativo: la investigación de la realidad educativa empleando
el paradigma interpretativo con aportes del etnográfico
Hablar de metodología interpretativa es hacer referencia a formas concretas de
percibir y abordar la realidad, lo cual conduce a compartir posturas que coinciden en
concebir dicha realidad como multirreferencial, cambiante; cuyas explicaciones son,
a fin de cuentas, un producto social y humano. Lo anterior da como resultado un
posicionamiento ontológico, epistemológico y, por tanto, metodológico concreto49.
Es precisamente desde este tipo de coincidencias desde las cuales se conforma una
tradición investigativa, o bien, un paradigma.
Tomando en cuenta los diferentes planos de coincidencias señalados anteriormente,
es posible hablar en este caso del paradigma interpretativo, el cual surge con la
intención de superar los reduccionismos al pretender legitimar el tipo de investigación
de corte explicativo centrando las discusiones y pretendiendo explicar esta
orientación en investigación, pero siempre en contraposición con el método científico.
De aquí las nominaciones de metodología cuantitativa versus cualitativa. Es de
utilidad recordar que remitirse al modelo cuantitativo significa referirse a la
investigación de corte empírico, a través del cual se valora la objetividad y
49
WOODS, Peter, La escuela por dentro, Ed. Paidós, Ibérica, España, 1989, p. 18.
76
cientificidad de una investigación mediante resultados observables, medibles,
cuantificables.
Frente a estos reduccionismos, cuantitativo versus cualitativo, se plantea la
constitución de un nuevo paradigma más amplio e incluyente, en el que a partir de la
coincidencia de los planos ya mencionados, metodológico, epistemológico y
ontológico, las preocupaciones por llevar a cabo un tipo de investigación diferente
sea compartida por diversas disciplinas sociales y humanas, tales como la historia,
la sociología, la educación. Cada una de ellas, desde los problemas de estudio que
las caracterizan, retoman aportes de la antropología, lo que permite incluir la
dimensión cultural en las nuevas búsquedas e interpretaciones.
Estos intereses se encuentran centrados también en tratar de incorporar en el
discurso científico a los sujetos como productores de historias, de prácticas, de
significados50. Evidentemente este posicionamiento muestra que, ante las grandes
explicaciones científicas bajo las cuales se trabajaba en las disciplinas sociales y
humanas, es de mucha utilidad volver la mirada hacia lo cotidiano y hacia quienes
construyen y dan vida permanentemente a producciones particulares.
Esta visión obliga necesariamente a una constante búsqueda y confrontación que
abarca todo el proceso, desde los primeros momentos en que se interroga a la
realidad, las interpretaciones que se elaboran de la misma, así como el abordaje
metodológico51. La anterior obligación implica también reconocernos como sujetos
50
Vid. Ibidem, p. 23. 51
Vid. BERGER y Luckman. Op. Cit. p. 42.
77
durante el recorrido y a aceptar que el trabajo de investigación se encuentra
determinado por la historia personal y por la carga de subjetividad que conforma la
existencia de los sujetos, no sólo por intereses puramente académicos o científicos.
Por otro lado, Peter woods muestra lo que el enfoque etnográfico también
representa, como un recurso para explicar una realidad, en este caso la que
corresponde al entorno educativo52: La etnografía como todo enfoque cualitativo,
incorpora la idea de "representación " no como imagen isomórfica del mundo
percibido, sino como proceso de interpretación y reconstitución de la experiencia.
En el trabajo de campo, por ejemplo, tiene importancia investigativa lo que se ve, lo
que se escucha, en contraste con aquello que pasa desapercibido, se encuentra
permeado por la historia personal respectiva de cada sujeto y por las nociones
teóricas que la preceden, así como por las que le acompañan en ese momento53.
Con este orden de ideas, es posible entender que la interpretación que realizan
diferentes sujetos ante un mismo suceso, sosteniendo el ejemplo del trabajo de
campo, a través de las observaciones, entrevistas e incluso consulta bibliográfica o
de archivo, adquiere para cada investigador una explicación diferente de la realidad.
La razón anterior es la que permite admitir la presencia de diversas subjetividades
en el proceso de investigación, por lo que cada vez resulta más importante para el
investigador reconocer el lugar desde el cual está hablando, escribiendo,
interpretando. Lejos de pretender eliminar ese conjunto de subjetividades, es
52
WOODS,Peter, Op. Cit. p. 113 53
Vid. Ibidem. p. 115.
78
deseable reconocerlas: ¿cuál es el lugar en el que yo me encuentro y desde cuál
intervienen mis informantes?
De acuerdo con Peter Woods, la investigación de corte interpretativo entonces se
fundamenta en cuatro nociones fundamentales54: a).- La subjetividad de los
significados. b).- Los significados que se asignan a los objetos y acontecimientos
expresados por sus acciones. c).- Las mismas acciones humanas como elementos
susceptibles de interpretación y d).- La importancia del contexto social.
Las acciones humanas a diferencia de la conducta de los objetos, siempre implican
interpretaciones de los actores y por lo tanto, sólo pueden ser entendidas
comprendiendo el significado que el autor les asigna. La tarea de la investigación
empleando el enfoque interpretativo es precisamente tratar de descubrir estos
significados que hagan la acción inteligible.
El carácter social de las acciones humanas implican, entre otras cosas, que las
mismas surgen de una intrincada red de significados; es por esta razón que, otro
objetivo no menos importante de este enfoque, es poner al descubierto el conjunto
de reglas que da lugar a un determinado tipo de actividad social y poner de relieve la
estructura de significados que subyace a esa actividad.
En el caso educativo, que es el que enmarca este trabajo, uno de los objetivos es
precisamente sacar a la luz los significados implícitos que los participantes en el
hecho llevan a cabo. Es por ello que una parte clave del enfoque investigativo
54
Ibidem, p. 119.
79
propuesto se basa en la comparación de segmentos de información, tratando de
encontrar similitudes o diferencias en la misma sobre las cuales formular categorías.
El objetivo es tratar de descubrir algún tipo de patrón en los datos y construir con
ésto una teoría de comportamiento, partiendo de las relaciones entre los distintos
patrones encontrados.
Como se aprecia, la investigación como proceso de interrogación y construcción
constante de una realidad, tiene su punto más álgido, pero a la vez más productivo,
en la etapa de análisis de datos, o bien en la construcción de las categorías de
análisis. Es el momento, creencia personal, en que se lleva a cabo el trabajo más
fino.
El hecho de pasar, de los datos descriptivos; transcripciones, registros anecdóticos;
y pasar a la etapa de análisis, requiere de la construcción de una lógica
progresivamente más abstracta, pues si bien mediante los datos que han
proporcionado los protagonistas, se trata de explicar esa realidad, lo cierto es que
esta última precisa ser reconstruida bajo una lógica en la cual sea posible encontrar
los significados ocultos, no manifiestos, ante una cantidad de datos que en los
primeros momentos se aprecian inconexos, amplios, arbitrarios en cierta manera. Al
respecto se tiene esta oportuna aportación de Peter Woods que describe muy bien la
idea que trata de expresarse.
…el enfoque etnográfico implica penetrar las culturas grupales y las perspectivas de realidades ajenas, esas realidades están constituidas por muchas capas y no todas ellas están al mismo tiempo disponibles a nuestra percepción. Además, debemos
80
enfrentarnos con diferentes realidades en situaciones diferentes y en momentos distintos
55.
La posibilidad de conformar una estructura lógica que organice los datos, es un
trabajo que sólo puede llevar a cabo el investigador, quien en contacto permanente
con informantes y datos, precisa realizar búsquedas cada vez más finas de
referentes teóricos que permitan sostener sus interpretaciones, así como clarificar los
ejes de análisis, las ideas centrales que van a integrar todas las categorías analíticas
y que servirán de anclaje para ir entretejiendo los datos que nos proporciona la
realidad y las nociones o conceptos teóricos que harán posible arribar a niveles de
explicación más complejos.
El anterior contexto del marco teórico investigativo permite exponer que : el objeto
de estudio presente se centra en dar cuenta de los referentes a través de los
cuales se construye el trabajo áulico relacionado con la enseñanza de las
matemáticas básicas por parte del docente de educación básica, lo cual se
considera como una forma de conocer, de manera representativa, la realidad que
impera en los haceres educativos de los docentes de este nivel, permitiendo
incorporar al proceso investigativo formas de representación adecuadas para el
análisis e interpretación de la realidad, que sobre sus experiencias profesionales
elaboraron los informantes.
En este proceso de interpretación, la teoría y los datos que muestra la realidad son
elementos compartidos. La descripción tiene como finalidad convertir los sucesos
55
Ibidem, p. 129.
81
captados en algo científicamente elocuente, por lo tanto los conceptos o aportes
teóricos se convierten en instrumentos útiles para la interpretación, al mezclarse con
ellos, con el objeto de dar expresión y coherencia científica a los sucesos simples, no
así para crear conceptos nuevos y sistemas teóricos abstractos.
Al Incorporar aportes de los paradigmas interpretativo y etnográfico para describir lo
que pasa en una situación de la realidad, de lo que se trata es de volver la mirada
hacia lo cotidiano, hacia los acontecimientos narrados por los protagonistas que
intervienen en esta realidad. Lo anterior se realiza con la finalidad de encontrar pistas
relevantes que permitan otorgar significado a los datos obtenidos en el trabajo de
campo, con la idea de interrogar a la realidad alrededor de los elementos que
intervienen, en este caso, en la construcción de identidades socioprofesionales en el
campo educativo y en particular en la forma de abordar la enseñanza de las
matemáticas por parte del docente.
Recurrir a relatos de primera mano, implica recuperar la memoria colectiva de los
sujetos, la cual es fundamentalmente memoria activa. Esta memoria es la que el
investigador utiliza, descompone y recompone, a través de esas adquisiciones
progresivas.
El reto en este proceso consiste en tratar de eliminar interpretaciones ya superadas,
pues las representaciones no pueden ser consideradas simples reproducciones, son
construcciones que se expresan a través de los procesos de comunicación.
Contienen además ciertos elementos de autonomía, tanto individual como colectiva.
82
Esto enriquece los análisis, pues se enfrenta a la diversidad, al entramado de
significados, similares o contrapuestos, pero compartidos por los informantes.
5.2.- Proceso metodológico
5.2.1.- Metodología de trabajo de campo: obtención de información empírica
El objetivo que orientó la presente investigación, como ya se adelantó, fue tratar de
indagar cuáles son las concepciones que los maestros de educación básica tienen
con respecto a la enseñanza de la ciencia matemática usando enfoques y elementos
tradicionales y contrastarla con la nueva concepción educativa del aprendizaje
basado en elementos obtenidos de la teoría constructivista, tales como el aprendizaje
significativo, la utilización de problemas así como contextos y elementos del entorno
como elementos auxiliares en la enseñanza de la matemática.
La investigación se realizó en dos modalidades, la entrevista y la video grabación de
una clase de matemáticas, se logró entrevistar a tres maestros de educación básica
y filmar en video la clase de un maestro de educación secundaria.
La recolección de datos se realizó mediante un formato de entrevista individual
basada en técnicas de interrogatorio oral, donde se pretende lograr que el sujeto
exprese su libre opinión sobre aspectos de su quehacer cotidiano en el aula, y en
especial, lo referente a estrategias cognitivas para lograr el aprendizaje de
contenidos matemáticos.
83
La información obtenida mediante la grabación de las entrevistas fue transcrita a un
formato especial, en el cual los registros de diálogo fueron analizados y en el mismo
formato fueron extraídas las respectivas categorías de análisis, posteriormente, ya
con toda la información categorizada en primera instancia, se procedió a la obtención
de categorías sensibilizadoras y por último a las interpretaciones descriptivas.
El análisis y la interpretación de los datos se realizó en forma cualitativa ya que el
interés básico consistía en lograr identificar las concepciones que los maestros
tienen en cuanto a las estrategias de enseñanza empleadas por ellos y la
conveniencia de replantear, modificar o actualizar estas estrategias.
Por lo que corresponde al proceso de indagación, se estructuró el mismo, en un
primer momento, a través de una lógica inductiva, es decir, permitiendo que los
datos, obtenidos a través de las respuestas de los protagonistas, hablaran por sí
mismos en una primera instancia. Esto tiene que ver desde luego con el paradigma
de abordaje interpretativo en el que estamos ubicados, el cual permite incorporar la
aparición del sujeto, de los actores, de los instituyentes frente a lo instituido, de
acuerdo con Woods56.
En el momento de enfrentar la amplitud con la que aparecen los datos, se ve la
urgencia de incorporar continuamente elementos teóricos para su análisis. Aquí es
donde se inicia el proceso inductivo deductivo antes citado, que continúa a lo largo
de toda la investigación, es decir la aparición de categorías.
56
Vid. Ibidem, p 68.
84
Las evidencias que mostraron los protagonistas permiten rescatar los
acontecimientos, que para los entrevistados representan momentos importantes en
su historia laboral cotidiana en el aula. Esto permitió establecer un orden de
importancia, en función de los sucesos que resultaban relevantes para gran parte de
los entrevistados, y no desde la lógica externa del investigador.
El diseño de la guía de entrevista consistió en tratar de rescatar información que,
sobre la forma, tipo y secuencia de actividades didácticas en la enseñanza de las
matemáticas básicas, se emplean corrientemente en el medio educativo.
El análisis se llevó a cabo finalmente, como ya se ha mencionado, con cuatro
entrevistas, integradas, las cuales abarcaron aproximadamente tres horas en
conjunto.
Ya en el trabajo de categorización las evidencias que se incluyen, como categorías,
constituyen apreciaciones e interpretaciones personales a modo de recortes de
entrevistas o de registros de la observación lograda. En general sólo se procura
tomar en cuenta una evidencia del hecho o situación observada, y corresponde a
aquella que se considera más representativa de la idea trabajada, es decir, aun
cuando se contó con algún número de frecuencias, se optó por no romper la lógica
del análisis con la irrupción constante de datos empíricos repetitivos.
Un elemento fundamental en el análisis de datos, fue el rastreo de las construcciones
típicas elaboradas por los entrevistados, pero también fue importante la necesidad de
mantener una actitud crítica hacia esos datos, así como a los que se fueron
85
incorporando a través de la información documentada. Lo que implicó someter
permanentemente a análisis las interpretaciones elaboradas.
Algo que en lo personal se considera importante en el proceso investigativo, es
procurar escribir con la mayor precisión y amplitud acerca del proceso de
construcción de categorías analíticas, con el objeto de retomar algunos recorridos ya
realizados en cada una de las fases de la investigación interpretativa, especialmente
la transformación de los datos descriptivos en datos interpretativos, analíticos y
volverlos a replantear en un nuevo esquema más abarcativo, es lo que en la teoría
interpretativa se suele denominar como proceso de triangulación de información57.
Este tipo de tratamiento de la información, así como su abordaje, es lo que permite
mantener la nominación del paradigma al que se hace referencia, uno de los
resultados que se obtuvo se expone a continuación:
…las matemáticas se comparan con una carrera de obstáculos en la que la misma partida es un obstáculo. La metodología esta mal orientada o simplemente no existe, los profesores de matemáticas por lo general son los más temidos porque exigen rigor y exactitud en los resultados, pareciera que las matemáticas se reducen a hacer cálculos. Constituye una tortura para el estudiante realizar hojas y hojas de ejercicios de multiplicación y división, es una excelente aplicación del mecanicismo según ésta, la práctica es la única forma de aprender; es lo que creen muchos profesores de primaria, el estudiante ya es capaz de realizar multiplicaciones hasta de 4 cifras pero no entiende aún el concepto de multiplicación y división
58…
57
Vid. Ibidem, p. 93. 58
Parte de una conclusión obtenida del análisis, considerando aportaciones de tres categorías interpretadas y la observación de un fragmento de video.
86
5.2.2.- Planteamiento del problema investigativo
El rendimiento estudiantil es uno de los indicadores de gestión en las instituciones
educativas, por lo que es objeto de permanente preocupación y atención a fin de
encontrar las razones de los bajos niveles alcanzados en diferentes asignaturas. Uno
de los resultados de rendimiento que más ha sido objeto de estudio en contextos
educacionales es el que se obtiene en el aprendizaje de la matemática en el nivel
básico, puesto que el mismo revela niveles persistentemente bajos.
Lo anterior se demuestra por los resultados obtenidos en las diferentes evaluaciones
realizadas por los organismos oficiales comisionados para ello. En estas evidencias
se muestra, de manera clara, que los estudiantes de estos niveles, presentan
dificultades en el aprendizaje matemático y en la capacidad para adquirir
competencias que los conduzcan a la resolución de problemas de este tipo.
A continuación se tiene este recorte de entrevista, en el cual se muestra lo que ya se
afirma, que existe un sentimiento generalizado en el medio educativo en el sentido
de que el abordaje de esta ciencia, por parte del docente, para que su aprendizaje
sea logrado por los alumnos, constituye todo un desafió.
…en realidad, si existe una… problemática, y no es que sea un problema actual, la matemática tradicionalmente se tiene considerada como “el coco” de todos. En realidad si es una ciencia en la que existe una gran problemática para abordar su enseñanza…
59
59
Recorte de la segunda entrevista, realizada en las instalaciones de la UPN, el día 15 de junio, del 2001.
87
Tradicionalmente se ha buscado relacionar el fracaso de los alumnos en el
aprendizaje de ésta y otras ciencias en la carencia de competencias y aptitudes de
éstos. Sin embargo, en los últimos tiempos se ha manifestado un cierto cambio en la
dirección del enfoque; y se ha redireccionado el problema a partir de los métodos
usados por los profesores para lograr inducir el aprendizaje.
…un buen maestro, creo yo, debe tener una etiqueta de responsable, de… de buscar siempre la actualidad, de procurar actualizarse en las nuevas metodologías, es uno de los principios que se fomentan ¿verdad?
60...
El comentario anterior obtenido en la entrevista y transcrito ilustra bien lo que se
quiere expresar, permite inferir una situación de inseguridad velada en el sujeto
entrevistado, las muletillas empleadas, el titubeo dejan ver que no se tiene la plena
seguridad de contar con los atributos que se expresan, pero al menos dejan ver que
se tiene el convencimiento de su necesidad.
En este enfoque metodológico se pretende crear conciencia en los docentes de que
las estrategias correspondientes a los procesos de pensamiento y aprendizaje deben
estar presentes en las actividades del aula, ya que a través de éstas los alumnos
descubren su forma de aprender; de esto se deriva que no sólo se enseñe contenido,
sino también los instrumentos necesarios para aprender ese contenido y otros.
60
Ibidem.
88
5.2.3.- Análisis e interpretación de la información obtenida
Para este estudio, como ya se ha mencionado, se procuró realizar un tipo de
triangulación metodológica, según la cual, a través de distintos procedimientos, entre
los que se destaca la búsqueda de regularidades, se contrastaron los resultados
obtenidos; así se logró la correlación entre la información obtenida a través del video
y el cuestionario gravado en audio y transcrito de las entrevistas abiertas.
En el proceso de análisis e interpretación de la información existieron tres momentos:
un primer momento, consistió en la descripción inicial de la información de campo; un
segundo momento, que consistió en un proceso de categorización o clasificación de
los contenidos transcritos, y; un tercer momento, consistió en la teorización, durante
la cual se perciben, contrastan, comparan, agregan y ordenan categorías o grupos
de categorías, se establecen relaciones y se jerarquizan.
Seguidamente se presenta, a modo de ejemplo, una fracción de la categorización y
descripción de la información obtenida para uno de los eventos del estudio.
Categorización y Descripción de la Información
Categorías Descripción
Problemas en el aprendizaje de las matemáticas.
“En realidad si existe una problemática, y no se trata de un problema actual. La matemática tradicionalmente se ha considerado como una ciencia que es el “coco” de todos. Es una ciencia en la cual existe una gran problemática que se ha ido presentando de generación en generación.”
Estrategias de aprendizaje.
“Las estrategias a emplear son las que proporcionan tradicionalmente los materiales oficiales. Las innovaciones que se están haciendo son las que se recomiendan en los
89
programas de formación y actualización de las licenciaturas de UPN.”
Recursos didácticos a emplear.
“Los recursos didácticos son los libros de texto, ficheros de matemáticas y en muy pocas ocasiones recursos del entorno.”
Como ejemplo de interpretación de la información anterior se tiene lo siguiente:
Se reconoce la existencia de una problemática en el medio educativo en general y
específicamente en el aprendizaje de las matemáticas, el sujeto expresa la dificultad
que tradicionalmente ha significado apropiarse de estos contenidos de aprendizaje.
Las soluciones que se proponen, por parte de los sujetos entrevistados, como una
vía para encarar esta problemática es aprovechar los recursos que proporcionan los
materiales oficiales. Otra opción que presentan es apegarse a la idea de innovación
que se tiene como premisa de los programas educativos y de formación de la UPN.
En este tipo de planteamientos, los sujetos del estudio dejan ver una serie de
incongruencias; en principio, si los programas de UPN recomiendan que el alumno –
maestro que cursa dicho programa sea un investigador e innovador de su propia
práctica, lo anterior significa que permanentemente debe estarse preguntando si lo
que está realizando es perfectible, es decir, si puede mejorarse.
Lo anterior es independiente de lo que sugieren los programas oficiales, en cuanto a
metodología empleada en la enseñanza de contenidos. El maestro siempre tiene que
estar alerta a los nuevos enfoques metodológicos de la enseñanza y a la posibilidad
de crear los propios.
90
5.3.- Una propuesta alternativa de cambio en los principios metodológicos
- Hacia la adquisición de los procesos típicos del pensamiento matemático
¿Cómo debería ser entonces el proceso de aprendizaje matemático a cualquier
nivel?. Una respuesta podría ser que, de forma semejante a como la humanidad ha
conseguido la creación de las ideas matemáticas; de modo parecido al que el
matemático activo utiliza al enfrentarse con el problema de matematización de la
parcela de la realidad de la que se ocupa, es esta la opción que recomienda la
presente propuesta .
Se trata, en primer lugar, de ponerse en contacto con la realidad matematizable que
ha dado lugar a los conceptos que queremos explorar con nuestros alumnos. Para
ello, se deberán conocer a fondo el contexto histórico y la evolución en el que se
enmarcan.
¿Por qué razones las comunidades antiguas se ocuparon con ahínco en ciertos
momentos de este tema y lo hicieron el verdadero centro de su exploración tal vez
por un período de siglos? Sería útil tratar de mirar las situaciones con las que ellos se
enfrentaron con la mirada perpleja con que las contemplaron inicialmente.
La visión del tema que se brinda en muchos de los libros de texto se parece en
demasiadas ocasiones a una novela policíaca cuya trama aparece ya resuelta desde
el principio por haber comenzado contando el final. Tal vez si esta historia fuera
contada de otra forma más razonable podría ser verdaderamente apasionante.
91
Normalmente la historia proporciona una magnífica guía para enmarcar los
diferentes temas, los problemas de los que han surgido los conceptos importantes de
esta disciplina proporcionan luces para entender la razón que ha conducido al
hombre para ocuparse de ellos con interés. Si se conoce la evolución de estas ideas,
se sabrá perfectamente el lugar que ocupan éstas, sus consecuencias, las
aplicaciones que de ellas han podido surgir y la situación de las teorías que de ellas
han derivado.
En otras ocasiones el acercamiento inicial se puede hacer a través del intento directo
de una modelización de la realidad en la que el profesor sabe que han de aparecer
las estructuras matemáticas en cuestión, es decir, estrategias de aprendizaje.
Se puede acudir para ello a las otras ciencias que también hacen uso de esta
disciplina, a circunstancias del entorno, a la realidad cotidiana o bien a la
presentación de juegos con contenido acorde, de los que en más de una ocasión a lo
largo de la historia han surgido ideas matemáticas de gran profundidad, como se
tratará más adelante.
Puestos con los estudiantes delante de las situaciones-problema en las que tiene
lugar la gestación de las ideas que se quieren plantear, se debe tratar de estimular
su búsqueda autónoma, su propio descubrimiento paulatino de estructuras sencillas,
de problemas interesantes relacionados con tales situaciones que surgen de modo
natural en la vida cotidiana.
92
Es claro que no es posible esperar que los alumnos descubran en un par de
semanas lo que la humanidad elaboró tal vez a lo largo de varios siglos de trabajo
intenso de mentes muy brillantes. Pero es cierto que la búsqueda con guía, sin
aniquilar el placer de descubrir, es un objetivo alcanzable en la enseñanza y
aprendizaje de esta ciencia, así como la detección de técnicas concretas, de
estrategias útiles de pensamiento en el campo en cuestión y de su transmisión a los
estudiantes.
La teoría de esta manera concebida resultará seguramente llena de sentido,
plenamente motivadora y mucho más fácilmente asimilable. Su aplicación a la
resolución de los problemas, que en un principio aparecen como objetivos
inalcanzables, puede llegar a ser una verdadera fuente de satisfacción y placer
intelectual, de asombro ante el poder del pensamiento matemático eficaz y de una
fuerte atracción hacia esta ciencia.
5.4.- La actividad principal de la educación matemática: la resolución de
problemas
La didáctica de la matemática ha pasado por diversos momentos en su evolución
histórica, cada uno de los cuales con sus respectivos cambios en los contenidos y en
la forma de enseñarlos. El formalismo del grupo Bourbaki61, cuyos integrantes se
61
En la década de los 60´s se gestó en Francia un grupo de investigación que bajo la denominación de “Bourbaki”, produjo un cambio fundamental en la enseñanza de las matemáticas, desde el nivel preescolar hasta el universitario, presentando la matemática de una manera ordenada, secuencial, estructuralista, general y abstracta. SKEMP, R. R., Mathematics in the Primary School, Routledge, USA, 1989, p 42.
93
habían dedicado a la elaboración de una obra magna sobre los fundamentos de la
matemática, tuvo mucha influencia en la década de los sesenta del anterior siglo XX.
Este movimiento reformista, al que se le conoce como el movimiento de
matemática moderna, recomienda dar mayor énfasis a las estructuras, al lenguaje
formal, y a los métodos basados en la demostración, todo con la finalidad de elevar
el nivel de formación escolar en ésta. Sin embargo, el resultado fue que muchos
alumnos repetían de memoria las propiedades de los sistemas numéricos sin lograr
comprender su significado.
En la siguiente década, los setenta, la preocupación estuvo centrada en lograr que
los alumnos dominen técnicas y rutinas básicas. El movimiento se denominó regreso
a lo básico y daba mayor importancia al manejo de las operaciones fundamentales y
procedimientos algorítmicos. Sin embargo, este regreso tampoco mejoró el nivel de
los estudiantes en este conocimiento, ya que aun cuando eran capaces de hacer
operaciones, muchas veces no lograban entender el significado o sentido de las
respuestas que obtenían.
En este caso, si un alumno no puede asignar significado a lo que está aprendiendo
pronto recurrirá a patrones mnemotécnicos (por asociación) para tener éxito en su
empresa; y en estas condiciones no avanzará significativamente en su formación
matemática.
En la década de los ochenta, una evaluación del currículo en Estados Unidos de
América, puso de manifiesto que los estudiantes de educación básica no eran
94
capaces de aplicar sus conocimientos a la resolución de problemas de la vida real,
ello dio lugar a que el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)62
declarara que la resolución de problemas debía ser el centro de la enseñanza y el
aprendizaje de la matemática.
En los noventa se profundiza este enfoque y aparecen otras tendencias como la
modelización o el llamado Based Learning63; en todas ellas el énfasis está puesto en
el manejo de estrategias heurísticas, en el desarrollo de habilidades mentales, en
mejorar los procesos típicamente útiles en la solución de situaciones problema. El
consenso actual avanza en el sentido de reconocer que, en el estudio de la
matemática, la actividad de resolver y formular problemas desempeña un papel
importante.
En las corrientes actuales de la educación, en la que se debate sobre la matemática
pertinente para el siglo XXI, toma cada vez más fuerza la idea que en esta ciencia el
método claramente predomina sobre el contenido, y por lo tanto se postula que
conocer matemática es hacer matemática y que, además de su poder explicativo,
constituye ella misma un eficaz medio de comunicación.
En la situación de cambios en que nos encontramos en la actualidad, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo más valioso que podemos proporcionar a nuestros alumnos. En nuestro mundo científico e intelectual tan rápidamente mutante vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente se convierten en lo que se suele llamar ideas inertes ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de combinarse con
62
Nacional Council of Teachers of Mathematics, 1906 Asociation Drive, Restan, VA., 20191. Use of the Web site: http://www.nctm.org. 63
Idem
95
otras para formar constelaciones dinámicas, capaces de abordar los problemas del presente.
64
Al igual que las personas que se citan en la nota anterior, en lo personal creo que la
resolución de problemas es un proceso que posibilitará a los estudiantes
experimentar la utilidad y potencia de la matemática. Implicarlos en esta labor les
permitirá indagar, construir, aplicar y conectar lo aprendido. De ahí que una
responsabilidad de los docentes sea elaborar, seleccionar, proponer y discutir
problemas de diverso tipo y exigencia conjuntamente con los estudiantes y con otros
colegas. Es de importancia en todo este contexto considerar las experiencias y
trabajos desarrollados por investigadores como Jeorge Polya y Alan Schoenfield65,
entre otros.
5.5.- La importancia de la motivación66
Una preocupación general que se observa en el ambiente educativo conduce a
procurar la búsqueda de motivación de los alumnos desde un punto de vista más
amplio, que no se limite sólo al posible interés intrínseco de la matemática y de sus
aplicaciones. Se trata de hacer patentes los impactos mutuos que la evolución de la
cultura, la historia, los desarrollos de la sociedad, por una parte, y la matemática, por
otra, han proporcionado.
64
Tomado del WEB, WWW.matematicas.net 65
POLYA, George y Alan Schoenfield proponen dos modelos para encarar las situaciones problemáticas, especialmente en el área de matemáticas, a las que se ha denominado “Propuesta de Polya” y “Propuesta de Schoenfield”. A pesar que su libro “How to Solve it” (Cómo Plantear y Resolver Problemas) fue escrito en 1977, su pensamiento y su propuesta son vigentes. 66
CASTILLO, J., El Trabajo Colaborativo a través de Internet, http://www.rediris.es/cvu/
96
Cada vez va siendo más patente la enorme importancia que los elementos afectivos
que involucran a toda la persona pueden tener en la formación escolar. Es claro que
una gran parte de los fracasos escolares de muchos de nuestros estudiantes tienen
su origen en un posicionamiento inicial afectivo destructivo de sus propias
potencialidades en este campo y en otros, es provocado, en muchos casos, por la
inadecuada forma de abordaje de contenidos educativos por parte de sus maestros.
Es por ello que se debe intentar también, a través de diversos medios, procurar que
los estudiantes perciban el sentimiento estético, el placer lúdico que esta ciencia es
capaz de proporcionar, a fin de involucrarlos en ella de un modo más personal y
humano.
5.6.- El uso inteligente de la nueva tecnología como herramienta educativa
En el ambiente contemporáneo, con una fuerte tendencia hacia la deshumanización
de la ciencia, a la despersonalización producida por la cultura computarizada, es
cada vez más necesario un saber humanizado en que el hombre y la máquina
ocupen cada uno el lugar que le corresponde. La educación matemática adecuada
puede contribuir eficazmente en esta importante tarea.
Cuando se intenta exponer la relación entre estos nuevos elementos y la educación,
como mínimo, se quieren expresar tres cosas diferentes: primero, ¿cómo enseña la
escuela ahora con estas nuevas premisas?, segundo, ¿cómo enseña la escuela a
utilizar éstas, ya que los contenidos son los de siempre, pero utilizando como
97
elemento metodológico los adelantos tecnológicos de la información y la
comunicación?. Pero hay un tercer elemento que tal vez sea el más importante, la
escuela y el sistema educativo no sólo tienen que enseñar con este nuevo enfoque,
no sólo tienen que seguir enseñando materias a través de ésto sino que, aparte de
producir cambios en la escuela inducen cambios en el entorno y, como la escuela lo
que pretende es preparar a la gente en este entorno, si éste cambia, la actividad
propia de la escuela tiene que cambiar.
Es por todo lo anterior que debe tratar de irse más allá de este tipo de enseñanza
utilizando estos elementos como parte del bagaje metodológico, tiene que cambiar
de igual manera el enfoque de la enseñanza, no sólo por la necesidad de acoger
estas nuevas tecnologías, sino porque la sociedad está cambiando a consecuencia
de éstas influyendo en el modo de vida.
Lo anterior conduce a las siguientes preguntas ¿cómo está la sociedad actual?, y
cuando decimos que se está pasando de la sociedad industrial a la sociedad del
conocimiento, ¿qué se quiere decir?. En esta sociedad del conocimiento ¿cuáles son
las exigencias educativas?. El propósito entonces será describir este entorno y hacer
entender que implican estas exigencias.
Esta descripción de la sociedad de la información conducirá seguramente a un tipo
de planteamiento donde se exigirán novedosos retos educativos. Por consiguiente se
tiene que responder a dos preguntas: en primer lugar ¿de dónde nace esto que se
98
llama sociedad del conocimiento?, ¿cuál es el impulso inicial que está provocando
esta transformación?
En sus aspectos técnicos este impulso es muy claro, se trata de la convergencia de
dos fenómenos tecnológicos, el primero de ellos es el progreso que se ha
conseguido en los últimos años en todas las tecnologías que se emplean para
trabajar con información.
La informática y su desarrollo espectacular no son nada más que una plataforma
tecnológica para trabajar con la información en forma cada vez más rápida y
eficiente, ya sea para transmitirla en mayores cantidades, a mayores distancias y en
menos tiempo o almacenarla cada vez en espacios más pequeños.
Es decir, se han derribado todas las barreras que limitaban el trabajo con los
números y la información en general: barreras de espacio, de distancia, de tamaño,
de tiempo... Podría pensarse que la capacidad social de trabajar con información es
infinita, entendiendo por infinito un tamaño que va más allá de lo que se necesita. Un
buen ejemplo son las pruebas que se hacen actualmente para aumentar la velocidad
de Internet. Aparentemente, con los nuevos avances, se ha conseguido bajar de un
servidor a una PC toda la Enciclopedia Británica en 1.2 segundos. Esto es a lo que
se le llama infinito. Esto es una muestra de la desaparición de los límites en lo que
concierne a lo que podemos hacer con los números y su influencia en el manejo de
la información.
99
5.7.- El aprendizaje cooperativo.
En la actualidad no existen personalidades que desarrollen conocimiento tecnológico
y científico aislado del mundo. La época en que se trabajaba sin interacción con las
comunidades científicas son cosa del pasado; basta echar una ojeada a las revistas
especializadas en investigación científica y comprobar que la mayoría de los trabajos
importantes son realizados por grupos interdisciplinarios. En un contexto más
próximo, es posible afirmar que, para poder tener éxito en un empleo, es una
necesidad fundamental contar con habilidades sociales tales como: aprender a
trabajar en grupo, compartiendo el conocimiento, siendo tolerante, sabiendo apreciar
otras formas de razonamiento, poniendo al servicio colectivo nuestras
potencialidades y completándolas con el resto, etc67.
Hasta hace algunos años la clase típica de matemáticas se realizaba en el más
absoluto silencio, y con cada alumno ubicado en su cuaderno, sin ninguna posibilidad
de comentar sus ideas e intercambiar experiencias.
Hoy, en cambio, la mayoría de los investigadores en educación recomiendan y
promueven el uso del aprendizaje cooperativo, el cual tiene como expresión
organizativa el trabajo en pequeños grupos. El trabajo grupal tiene, entre muchas
ventajas, la de reducir prácticamente el tamaño de la clase; así si la típica clase
tuviese 36 estudiantes, con un ordenamiento en grupos de 4 constará de nueve
67
Vid. Pagina Web: http://www.monografias.com/trabajos4/aprend_mat/aprend_mat.shtml
100
estudiantes. Cuando una mano se levanta, sabremos entonces que hay 4
interesados oyentes esperando una orientación.
Por otra parte, a través de practicar la verbalización, ellos aprenden como hacer
preguntas de exploración y, también, como explicar sus propios procesos de
razonamiento.
Muchos estudiantes que tal vez nunca hubieran sido capaces de plantear una
pregunta frente a 40 personas, son motivados, se deciden a preguntar dentro de su
grupo. Es decir, el grupo adecuadamente organizado promueve una mayor
interacción, da mayor cabida a la expresión y al trabajo creativo, su ambiente facilita
la exploración, el uso metódico del ensayo y error, y en general el empleo de
diversas estrategias para resolver problemas y desarrollar trabajos.
Además, este ambiente abierto y de apoyo reduce la ansiedad, los estudiantes y el
profesor entran rápidamente en un proceso de retroalimentación. El profesor de este
modo se convierte también en un aprendiz de su propio trabajo pedagógico,
evaluando su actitud, las actividades realizadas, el material y el clima del aula. Todos
estos elementos servirán para mejorar su práctica docente, y a través de un análisis
de ellos perfeccionar su desempeño académico.
101
5.8.- Los conocimientos previos y la emotividad en el aprendizaje.
Como ya se mencionó en el apartado donde se describe el aprendizaje significativo,
todo nuevo aprendizaje parte de lo que ya ha experimentado y construido el
estudiante. Éste trae conocimientos diversos, ya sean de tipo intuitivo o formal,
correcto o incorrecto, y va integrando los nuevos contenidos a su estructura mental
otorgándoles significado y sentido, y en ocasiones va reestructurando ésta. La labor
docente, si se quiere que tenga éxito, no debe ignorar esto (Ausubel, 1983).
La acción sobre diversos objetos reales, sus representaciones, y todo aquello que
sirva para identificar las relaciones entre objetos diversos, son un paso previo e
imprescindible en la comprensión y asimilación de los contenidos matemáticos. Esta
fase es necesaria, pues del conocimiento sensorial se llega al conocimiento
abstracto, racional, y además nunca debe olvidarse regresar al punto de partida y
contrastar los resultados obtenidos.
No debe olvidarse que la evolución del aprendizaje en matemáticas está significado
en una primera etapa por la búsqueda, la exploración, la conjetura y que hasta en
una etapa posterior se empiezan a formalizar los resultados, a expresarlos mediante
símbolos, a depurarlos, a plantear modelos.
Presentar en una clase resultados acabados, perfectos, aniquila la creatividad y
mata la aventura, pues todo lo hermoso del periodo de búsqueda es ocultado en la
trastienda; es como, ya se mencionó anteriormente, leer un relato de un caso
102
policiaco sabiendo de antemano la solución del enigma. Además de que dan una
idea deformada de la matemática, concibiéndola como algo acabado e
incontrovertible. La matemática no es eso, es una interesante aventura del
pensamiento humano que involucra múltiples emociones, que contribuye a formar y
disciplinar nuestra mente, y que también constituye un medio eficaz de comunicación
de ideas científicas.
¡Quién no habrá experimentado en alguna ocasión la satisfacción de resolver un
problema o un enigma, o la alegría de poder armar un rompecabezas! En las clases
cotidianas se deberían procurar a toda costa esos sentimientos de felicidad, orgullo,
satisfacción; usar la sorpresa, la emotividad y la imaginación como recursos
pedagógicos. No olvidar que las aulas son espacios donde conviven seres humanos
y no robots. No dejar que prospere el prejuicio de que esta ciencia y los sentimientos
emotivos están reñidos entre sí.
5.9.- Utilización de los juegos en la enseñanza.
¿Es posible utilizar juegos matemáticos con provecho en la enseñanza?, ¿de qué
forma?, ¿qué juegos?, ¿qué objetivos pueden conseguirse a través de los juegos?
Los juegos tienen un carácter fundamental de pasatiempo y diversión. Para eso se
han hecho y ese es el cometido básico que desempeñan. Por eso es natural que
haya mucho receloso de su empleo en la enseñanza. A nuestro parecer, en cambio,
103
ese mismo elemento de pasatiempo y diversión que el juego tiene esencialmente,
debería ser un motivo más para utilizarlo generosamente.
¿Por qué no paliar la mortal seriedad de muchas de las clases con una sonrisa?. Si
cada día es ofrecido a los alumnos, junto con el rollo cotidiano, un elemento de
diversión, incluso aunque no tuviese nada que ver con el contenido de la enseñanza,
el conjunto de la clase y de las mismas relaciones personales con los alumnos
variarían favorablemente.
Pero es que además de las razones apuntadas antes, relativas a la semejanza de
estructura del juego mismo y de la matemática, avaladas por su historia misma y de
los juegos, el juego bien escogido y bien explotado puede ser un elemento auxiliar de
gran eficacia para lograr algunos de los objetivos de la enseñanza más eficazmente.
De acuerdo con la teoría planteada como propuesta, el objetivo primordial de la
enseñanza básica no consiste en embutir en la mente del niño un amasijo de
información que, se piensa, le va a ser muy necesaria como ciudadano en la
sociedad. El objetivo fundamental consiste en ayudarle a desarrollar su mente y
sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas, físicas, de modo
armonioso. Y para ello el instrumento principal debe consistir en el estímulo de su
propia acción, colocándole en situaciones que fomenten el ejercicio de aquellas
actividades que mejor pueden conducir a la adquisición de las actitudes básicas más
características que se pretende transmitir con el cultivo de cada materia.
104
Por la semejanza de estructura entre el juego y la matemática, es claro que existen
muchos tipos de actividad y muchas actitudes fundamentales comunes que pueden
ejercitarse escogiendo juegos adecuados tan bien o mejor que escogiendo
contenidos matemáticos de apariencia más seria, en muchos casos con claras
ventajas de tipo psicológico y motivacional para el juego sobre los contenidos
propiamente matemáticos.
Es un hecho frecuente que muchas personas que se declaran incapaces de toda la
vida para la matemática, disfrutan intensamente con los llamados crucigramas y
juegos cuya estructura en poco difiere de esta disciplina.
Es de comprender que existen en los estudiantes claros bloqueos psicológicos que
nublan su mente en cuanto se percatan de que una cuestión que se les propone,
mucho más sencilla tal vez que el juego que practican, tiene que ver con el teorema
de Pitágoras. Estos bloqueos son causados muy frecuentemente en la niñez
temprana, donde a absurdas preguntas iniciales totalmente inmotivadas seguían
respuestas aparentemente inconexas que hacían de la matemática una madeja
inextricable cada vez más absurda y complicada.
Bien se puede pensar que muchas de estas personas, adecuadamente motivadas
desde un principio, tal vez a través de esos mismos elementos lúdicos que están
descargados del peso psicológico y de la seriedad temible de la matemática oficial,
se mostrarían, ante la ciencia en general y ante la matemática misma en particular,
tan inteligentes como corresponde al éxito de su actividad en otros campos
diferentes.
105
Es claro que no todos los juegos que se encuentran en los libros de recreaciones se
prestan igualmente al aprovechamiento didáctico. Muchos son meras charadas y
acertijos ingeniosos. Muchos otros se basan en la confusión intencionada del
enunciado y dejan al final una impresión de mera tomadura de pelo.
En otros casos la solución da la impresión de haber llegado por revelación divina que
no cabe fácilmente en un esquema de pensamiento que pueda conducir a un
método. Pero también hay juegos que, de forma natural, resultan adecuados a una
manipulación muy semejante a la que se lleva a cabo en la resolución sistemática de
problemas matemáticos y que encierran lecciones profundamente valiosas.
5.10.- La Creatividad: elemento indispensable en el proceso de conocer
La creatividad tiene que ver con la capacidad humana de modificar la visión que se
tiene del entorno a partir de la conexión con el yo esencial. Esto permite generar
nuevas formas de relacionarse con ese entorno, crear nuevos objetos, generar
nuevas propuestas de acción.
Esta capacidad, si bien está fuertemente determinada por la herencia genética e
historia personal, también puede ser estimulada y desarrollada. El estímulo creativo
enriquece el cerebro, induce al participante a pensar desde puntos de vista distintos
al habitual, y le proporciona herramientas vivenciales para practicar esa nueva forma
de vivir. En otras palabras, cambiar de paradigma, o flexibilizarlo.
106
5.10.1.- ¿Qué es la creatividad?
Imaginando por un momento que la psiquis humana es como una gran esfera, con
una superficie consciente llena de facetas con marcas y colores, rellena de
contenidos inconscientes, y con un núcleo central que es el Yo interior o sí-mismo.
Considerando que en ese núcleo anidan las verdaderas necesidades y posibilidades
de ser individuo. Es posible decir que la creatividad consistirá en lograr conectarse
desde la superficie con ese Yo, con ese sí-mismo, con ese núcleo luminoso interior,
y lograr descubrir o escuchar lo que allí se tiene. Así de simple y así de difícil es el
proceso creativo.
Algunos investigadores se refieren a la creatividad como a la hijastra de la psicología. El volumen creciente de publicaciones en este campo en los últimos años es testigo de que ahora se valora más y más esta cualidad. Se comprende fácilmente que en una era de tantas y tan grandes innovaciones como es la nuestra, el interés de los psicólogos y del público se vaya desplazando del estudio de la inteligencia al de la creatividad
68.
Es posible afirmar que en la psiquis humana se distingue ese Yo esencial o sí-mismo
como una especie de centro de gravedad del Yo total. Es como la concentración de
lo que se es.
Las investigaciones en psicoanálisis afirman que en ese centro están concentradas
las posibilidades básicas de cada ser humano, sintetizadas en una especie de misión
a desarrollar.
68
RODRIGUEZ, E. Mauro, Psicología de la Creatividad, Editorial Pax, México, D.F., 1995, pp. 19 y 20.
107
Como ser humano, se nace con una tarea a cumplir de acuerdo con las
posibilidades, al momento y lugar. Esa tarea se construye a lo largo de la vida, con la
capacidad innata; condicionada por le herencia recibida, por el momento del
nacimiento, por el ámbito familiar de los primeros meses y finalmente por el ámbito
que impera en los primeros años. Todo lo anterior conforma las posibilidades que se
pueden o deben desarrollar.
Cuando en un discurso cotidiano se hace referencia a estar realizados,
ambiguamente se hace referencia a esta situación: hacer lo que debe hacerse para
sentir más el Yo, o por lo menos en forma más auténtica. Ese Yo interior, o núcleo
esencial, está guardado seguramente muy profundo en el interior de cada ser
humano, tal vez en algún lugar del inconsciente. ¿Por qué es tan difícil llegar hasta
él?, ¿por qué no esta ubicado en una zona más accesible?
Hay una razón constante que hace que todo lo que se refiere al crecimiento requiere
de un esfuerzo, y en general, de una gran dedicación. El núcleo, como ya se dijo,
está profundamente guardado. A la superficie consciente solo llegan señales más o
menos fuertes, pero muy difíciles de decodificar.
Ese Yo interior habla con un lenguaje extraño y su voz llega muy debilitada por los
ruidos que constantemente produce la mente concreta o racional.
108
Volviendo a la pregunta inicial, ¿qué es la creatividad?, ¿cuándo se dice que somos
creativos? No se requiere buscar estas capacidades y posibilidades fuera, las
tenemos dentro, pero no se manifiestan fácilmente, están ocultas.
La diferencia entre una persona creativa y otra menos creativa está en los canales de
conexión que cada uno ha logrado con ese Yo esencial. En la medida en que los
canales sean más fluidos, llegaran a la mente racional las respuestas, las soluciones
a los problemas, las formas de comunicar ideas, de concretar ideas en hechos, por lo
tanto se será más creativo.
Reformulando la respuesta a la pregunta ¿qué es la creatividad?. Creatividad es la
capacidad que tiene el ser humano de enfrentarse con un problema nuevo y
encontrar la solución; de enfrentarse con una necesidad expresiva y lograr
comunicarla; descubrir un nuevo aspecto del suceder humano y lograr transmitirlo;
encontrar una nueva visión de las relaciones interpersonales; percibir un cierto matiz
en la relación del hombre con el cosmos y lograr transformarlo en una obra de arte;
en enfrentarse con una hoja vacía y lograr elaborar, con esfuerzo, una idea.
Todo comienza siempre con la hoja vacía, con la olla vacía, o con lo que sea
necesario llenar. Como es ciertamente el caso en este momento, en que se está
luchando intensamente por lograr volcar en palabras escritas los pensamientos y
conceptos que dan vueltas en la cabeza.
109
Al querer plasmar en un escrito las ideas siempre se choca con una gran dificultad;
pretender expresar todo ese capital interior que intenta aflorar a través de las
palabras, resulta una labor titánica, ya que intenta reflejar una realidad interna
existente en el subconsciente.
Es por lo anterior que se requieren herramientas que permitan abrir los canales de
comunicación con el Yo interno, con ese núcleo que se imagina luminoso, tal vez
porque allí anida la sabiduría. Esa comunicación no es nada fácil ya que la mente
consciente es una especie de ardilla, moviéndose nerviosamente de un pensamiento
a otro, sin lograr quedarse un solo minuto en silencio.
Cuando se intenta poner la mente en blanco, se cae en la cuenta que no hay forma
de parar ese movimiento, que se pasa de la preocupación por la cuenta del teléfono
no pagada, hasta la necesidad de lograr una mejor comprensión del cosmos. La
mente es así. Va continuamente creando asociaciones que llevan desde la puerilidad
más cotidiana hasta la preocupación por la situación, que como humanos, se tiene
por el cosmos. La mente constantemente esta hablando y haciendo bulla, es como
tener siempre una radio prendida que habla de los temas más diversos e inconexos,
y no deja concentrar.
Para lograr ser creativos se tiene necesariamente que leer en esa fuente de
sabiduría interior, mientras se tiene ese tipo de radio prendida a todo volumen,
difícilmente se podra escuchar nada. Las voces interiores que deberían traer las
110
respuestas llegaran con gran dificultad a la superficie consciente. Se hace necesario
acallar los ruidos que provienen del interior.
Para lograr ser creativos hay que trabajar entonces de manera intensa. Es verdad
que siempre habrá creativos natos que no requerirán de tanto esfuerzo. Siempre
existirán los Mozart, los Einstein, los Kant que con su accionar marcarán los rumbos
en el desarrollo de la especie. Pero seguirán siendo una ínfima minoría, al resto sólo
nos queda el esfuerzo denodado. Lo cual no significa que esos genios de la
humanidad no hayan trabajado también para hacer posible sus logros. Lo que tienen
de ventaja es que los canales de conexión, de los cuales ya hemos hablado, tal vez
estaban, en su caso, más abiertos.
Una situación sumamente conflictiva es la angustia que conlleva el proceso creador.
El placer que proporciona la acción creativa es un resultado mediato. Se siente
placer a lo largo del camino, pero la satisfacción plena está al lograr la meta.
Debe tenerse presente que los procesos creativos producen una gran ansiedad. No
es posible pretender ser creativos y tener una vida liviana sin sobresaltos y
angustias. El enfrentar la obligación de dar a luz un objeto, un hecho, una relación,
es dar a luz con todo lo que ello implica. Una vez que el bebé esta afuera todo es
luminoso; pero el proceso en sí es doloroso. Esta angustia es una de las causas más
poderosas para optar por los refugios en rutinas que protejan de enfrentar lo
desconocido. Pero así como ese temor hace la vida más segura, también la hace
111
más aburrida y pobre, y así empobrece también el rendimiento laboral y el accionar
como personas en todos los ámbitos.
Se debe procurar ser creativo siempre, vale la pena enfrentar el riesgo de serlo; la
compensación al final del camino es alta en todos sentidos.
6.- ACTIVIDADES DIDÁCTICAS
6.1.- Las matemáticas en la vida cotidiana
La conceptualización y utilización de las matemáticas como una forma de lenguaje, el
empleo de instrumentos y técnicas de cálculo de medida y construcción, la predicción
de resultados y posterior reflexión sobre ellos, facilitan la adquisición progresiva del
pensamiento abstracto y la construcción de conceptos matemáticos en la vida
cotidiana. Es en este sentido que, la resolución de problemas se manifiesta como el
vehículo más idóneo para el adecuado desarrollo de estas capacidades.
Asimismo, el medio social y cultural es un elemento a considerar en la puesta en
marcha de muchas experiencias matemáticas, tomando en cuenta la importancia de
reflexionar en el hecho de que los alumnos encuentren sentido a lo que hacen, en el
momento en que lo hacen, con actividades atractivas, motivadoras, abiertas y de
dificultad creciente, que permitan procesos de participación graduales acordes con el
desarrollo de cada uno.
112
La percepción global de la realidad en la que se desarrollan los niños y niñas de las
edades consideradas en la educación básica, cuyo proceso evolutivo, además de las
propias características de la enseñanza de las matemáticas, aconsejan que las
actividades de aprendizaje partan, de acuerdo con esta propuesta metodológica, de
la observación, manipulación y experimentación con objetos o situaciones concretas,
cercanas y diversas, puesto que la adquisición de conocimiento matemático, de
acuerdo con las nuevas y más actuales teorías educativas ya expuestas y
analizadas, debe ser el resultado de las propias experiencias y de la reflexión sobre
situaciones concretas, a partir de las cuales los alumnos logren avanzar de forma
progresiva hacia expresiones más formalizadas y abstractas.
Todo aquel que ha ido a la escuela sabe que los procesos didácticos escolares no empiezan ni acaban en la clase. El estudio que uno ha emprendido con un grupo de compañeros y un profesor dentro de un aula sigue viviendo al salir de clase y al volver a casa. Habrá que hacer los deberes, prepararse para un examen, o aclarar alguna duda con la ayuda de un familiar o compañero. Al salir de clase, las matemáticas que hay que estudiar siguen siendo las mismas y el que estudia también sigue siendo la misma persona. Lo único que ha cambiado es que el profesor, que dirige nuestro estudio, no está físicamente presente.
69
El docente debe pues, en esta perspectiva, convertirse en el mediador entre lo que
sabe el alumno y los aprendizajes que pretende fomentar. Para ello, ha de procurar
hacer todo lo posible para lograr establecer la comunicación a través de un lenguaje
adecuado, adaptar la información, las actividades y la adquisición de técnicas y
destrezas de acuerdo a las diferencias individuales y, al mismo tiempo, proporcionar
toda la ayuda posible para conseguir las metas adecuadas.
69
CHEVALLARD, Yves, et al, Estudiar Matemáticas, Biblioteca para la actualización del maestro, SEP, México, D.F., 1998, p.58.
113
En todo proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se debe respetar el
tiempo que exige la maduración para lograr adquirir estas capacidades, así como el
ritmo individual de progreso. Este presupuesto, así como la didáctica específica del
área y la lógica de la disciplina en cuestión, sustentan la presente propuesta de
secuencia de objetivos y contenidos, que se interrelacionan para promover y
potenciar el desarrollo de las distintas capacidades a saber: razonamiento,
deducción, reflexión, análisis, abstracción.
6.1.1.- Operaciones con números
Es recomendable que, para cada uno de los diferentes ciclos educativos, se
seleccionen y adapten aquellos contenidos susceptibles de generar un aprendizaje
significativo.
El medio físico cotidiano ofrece recursos bastos y estrategias que deben
aprovecharse para contextualizar el trabajo a partir de la realidad concreta y avanzar
progresivamente hacia la generalización.
Es así como, el concepto de número, el de medida, diferentes aspectos de las
formas geométricas y situaciones en el espacio, tienen la posibilidad de ser
adquiridas a través de la manipulación de objetos, de la exploración de sus
relaciones y en general de las experiencias motrices vividas por el alumno.
114
Un diagnóstico individual y actualizado de las dificultades, errores más frecuentes,
falta de comprensión, puede permitir al profesor tener una visión global del progreso
experimentado por el grupo para, de esta manera, seleccionar aquellas actividades
que deben plantearse en cada momento y de esta manera, llevar un control de la
situación en que se encuentra cada participante, con el fin de proporcionarle la ayuda
y orientación oportuna, así como concretar criterios más específicos que permitan
comprobar la adquisición de los diferentes contenidos.
En este aspecto, la observación se convierte en un buen instrumento para comprobar
la adquisición del conocimiento matemático cuando se integra en la actividad diaria
del aula, unas veces habrá que prestar especial atención a las actuaciones
espontáneas y generales del grupo, y otras, a situaciones más concretas, tales como
la realización de actividades individuales previamente planificadas.
La observación también facilita la autoevaluación del maestro o maestra a través de
las opiniones del alumnado, de cómo se sienten en clase, cómo trabajan,... y de la
reflexión sobre cómo se ha desarrollado el proceso de enseñanza y aprendizaje, si
los apoyos han sido acertados y oportunos, si las estrategias y materiales han sido
utilizados adecuadamente, etc.
6.1.2.- Actividades
Trabajar sin comenzar por uno
115
Hay contextos en los que se hace necesario partir de una posición intermedia dentro
de los primeros términos de la línea numérica y hay la necesidad de realizar cálculos
y estimaciones a partir de la posición ocupada. Entre las situaciones más comunes
se tienen las que tienen que ver con el manejo del calendario y las regletas partidas.
a).- El Calendario
Las vacaciones comienzan el día 3 y terminan el 21. ¿cuántos días hay
de vacaciones?
Hoy es día 13 y faltan 3 días para mi cumpleaños, ¿en qué día cumplo
años?
Hoy es día 9 y ya se ha gastado el gas que compré hace una semana,
¿qué día lo compré?
Hay 20 días de plazo a partir de hoy para entregar la solicitud. Hoy es
día 15 de marzo, ¿qué día termina el plazo?
b).- Regletas partidas
No todas las reglas comienzan en cero, a veces ocurre que el único trozo de regla
disponible comienza con otro número, o bien ocurre que la parte que se está
midiendo queda fuera de la raya. El dar respuesta a éstas y otras situaciones
similares requiere la realización de experiencias que favorecen el desarrollo de
destrezas para contar hacia delante y hacia atrás.
116
c).- Adición y Sustracción
Un tipo interesante de actividades a realizar consiste en asociar dos hechos o
ilustraciones que expresen una acción que tenga que ver con el resultado de lo que
simboliza esa acción. Ésta es la idea del juego uno más uno. Es posible realizar
esta actividad jugando con asociaciones de palabras en las que se dan dos términos
y se pide otro término como resultado.
Ejemplo: Domingo y sol, resultado: excursión
Niños y profesor, resultado: educación
Parcela y tractor, resultado: producción, etc.
Puede pedirse a los alumnos que describan historietas cortas en las que intervengan
términos tales como: juntar, reunir, dar, perder, comprar, gastar, encontrar, etc. La
idea común a todas estas actividades es que los alumnos usen su capacidad de
imaginación en el resto de las etapas que sean coherentes con la información de la
que disponen.
Es posible y aconsejable el uso de cubos de plástico, juegos de lotería, etc. con los
que se puede dar una mejor materialización a las distintas operaciones. Sin
embargo, el material por sí solo no es significativo... conviene que para su
utilización se trabaje en contextos amplios, dentro de los cuales el material concreto
sea sólo una de las fases que debe complementarse con las restantes.
117
d).- Producto y división
También en este caso, la variedad de materiales, representaciones y expresiones
verbales, da lugar a una gran cantidad de posibilidades.
Conviene tener en cuenta que los términos específicos equivalentes a las
operaciones de multiplicar y dividir no son muy frecuentes; por ello, conviene emplear
los más conocidos y ver en qué situaciones o en qué contextos tienen mayor uso.
En todos estos casos debe estar implícita la idea de reiteración: cuando se reitera
una determinada acción el resultado es un producto.
Suele ser muy frecuente el empleo del modelo de suma reiterada para ejemplificar la
operación de multiplicación o el de la descomposición en partes iguales para la
división, con el consiguiente abandono, y a veces olvido, del resto de los modelos.
Debe quedar claro que la operación de suma y multiplicación son dos operaciones
diferentes, que coinciden para un cierto caso, pero que cada una tiene su propia
naturaleza matemática, la multiplicación es una operación de transformación y la
suma lo es de adición.
También suelen predominar los ejercicios en los que el precio de costo de una
unidad o el precio global de varios objetos son datos a manejar o calcular, en estos
casos la distribución de objetos en una tabla, mediante filas y columnas de igual
118
longitud, se presta a muchos juegos y actividades, conviene realizarlos con
frecuencia ya que favorece el captar la atención.
e).- Adivinanzas y juegos numéricos
Las adivinanzas y juegos constituyen un tipo de actividad muy motivador para iniciar
un trabajo, o bien el estudio de un determinado tipo de propiedades. También suelen
emplearse como actividad de ampliación. En un nivel básico las adivinazas sencillas
entusiasman a los niños, tales como:
- Juegos con animales:
¿En qué se convierte una vaca después de cumplir 5 años?
R: en una vaca de 6 años.
¿Cuál es el animal que tiene 3 patas?
R: el pato
- Jugando con el tiempo:
¿Dónde está el jueves antes que el miércoles?
R: en el diccionario
¿Cuándo da un reloj 13 campanadas?
R: cuando hay que llevarlo a arreglar.
- Jugando con números: ¿Es posible mediante cinco cifras impares sumar 20?
R: 1 + 1 + 5 + 13
119
Una suma de tres cifras iguales da como resultado 60, los números no son 20.
¿Cuáles son los números?
R: 55 + 5
¿Cuál es la mitad de “2 + 2”?
R: el signo “+”
En la siguientes igualdades, el signo (+) no quiere decir más,
¿Qué significa entonces?
1 + 4 = 3
4 + 6 = 7
6 + 4 = 8
R: el signo (+) quiere decir más la mitad de
Ejemplo: 1 más la mitad de 4, es igual a 3.
Otros juegos conocidos en los que intervienen números y aún operaciones entre
ellos son:
- El número secreto: se pide a un niño que piense en un número cualquiera
de una sola cifra sin decirlo. A continuación, se pide que le sume 7, y que
multiplique el resultado por 2, luego que le reste 4, a continuación que lo
divida entre 2 y que, finalmente le reste el número pensado.
R. La respuesta correcta del resultado es siempre 5
De este tipo pueden inventarse multitud de variantes...
120
- Curiosidades matemáticas:
Propiedades del número 1089. Este curioso número presenta
algunas propiedades poco comunes:
Al multiplicar 1089 x 9 se obtiene 9801, es decir su inverso positivo.
Al multiplicar 1089 x 2 se obtiene 2178, si se multiplica 2178 x 4 se
obtiene 8712, curiosamente el inverso positivo nuevamente.
Si a 2178 lo restamos de su inverso que es 8712, el resultado es
6534, repitiendo la operación con este último número, se obtiene:
6534 – 4356 = 2178
Hasta donde se sabe, ningún otro número presenta este extraño
comportamiento.
- Multiplicando: 12345679 x 9, se obtiene 111111111
La idea fundamental con estos elementos didácticos de las matemáticas
consiste en propiciar que el alumno que las estudia explore las posibilidades,
intervenga en el descubrimiento de las relaciones y hechos numéricos y
obtenga sus propias conclusiones en base a sus propios aciertos, errores y
equivocaciones.
121
6.2.- Objetivos generales de estas actividades
Que los docentes reconozcan situaciones de la vida cotidiana en las que
existan problemas cuya resolución requiera el conocimiento de las
operaciones básicas.
Que fomenten la utilización de estrategias didácticas de estimulación, cálculo
mental y orientación espacial.
Que induzcan en sus alumnos la resolución de situaciones o problemas
sencillos del entorno próximo.
Que Identifiquen en la vida cotidiana situaciones y problemas sencillos.
Que utilicen el conocimiento de los números naturales y ordinales para
interpretar y producir informaciones y mensajes sobre fenómenos conocidos.
La secuencia y el tipo de contenidos que se plantea en esta propuesta dirigida a los
docentes de educación básica, como ya se ha mencionado, debe basarse en el
conocimiento de las características psicoevolutivas de los alumnos, del periodo
educativo de que se trate, evitando en todo lo posible aprendizajes prematuros que
lleven a una actitud negativa hacia las matemáticas.
Los tres tipos de contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales, han de
trabajarse a lo largo de todo el proceso, concediéndole la máxima importancia a los
procedimientos que son los que capacitan mejor para lograr el autoaprendizaje y son
fundamentales para favorecer los aprendizajes experimentales e inductivos y las
técnicas de expresión matemática.
122
Es recomendable que los contenidos actitudinales deban ser tratados
sistemáticamente a lo largo de toda la etapa educativa formal. Es muy posible que, al
término de la misma, los alumnos hayan adquirido una actitud positiva hacia la
matemática, y sean capaces de valorar y comprender la belleza y utilidad del
conocimiento matemático, hayan logrado experimentar el placer de su empleo y
conocimiento, y tengan confianza en sí mismos y en lo que concierne a su dominio.
Una metodología adecuada en la enseñanza y el aprendizaje de esta ciencia ha de
basarse en la actividad que realiza el alumnado y en los apoyos que le proporciona el
maestro para que construya, organice y reelabore sus propios conocimientos. Lo
anterior implica la construcción, mediante avances y retrocesos a través de la
observación y manipulación de materiales, de representaciones gráficas y/o
simbólicas, de intuición, tanteos, solución de casos particulares, etc.
La utilización funcional, eficaz y razonada de estas actividades didácticas, tiene el
propósito de favorecer la integración personal, el desarrollo de fuertes estructuras
mentales y consecuentemente, con el hecho de afrontar situaciones educativas
cotidianas, preparar al alumno para comprender, interpretar y representar
informaciones sobre objetos que no es posible observar directamente o adelantar
soluciones a aquellos problemas aún no conocidos.
Las actividades, como ya se ha mencionado, han de ser realizadas con el propósito
de crear y fomentar hábitos de trabajo que favorezcan la creatividad y la participación
en trabajo grupal. Asimismo, presentar los conocimientos estructurados y
123
organizados de la mejor manera posible, y elaborar situaciones de aprendizaje
adecuadas, motivadoras e interesantes que estimulen la participación y faciliten la
integración significativa de contenidos.
En definitiva, el trabajo en el aula implica combinar las concepciones generales sobre
la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y la propia experiencia en la
práctica pedagógica, con los principios metodológicos más adecuados en cada
periodo educativo.
Esta sencilla propuesta de elementos didácticos pretende constituirse en una
pequeña porción de los factores que participan en el proceso de construcción y
elaboración de las matemáticas para la vida, en el contexto del proceso de
enseñanza y aprendizaje escolar.
7.- RECOMENDACIONES PARA EL PROCESO DE EVALUACIÓN
EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
7.1.- Un modelo para la reflexión
Hasta hace algún tiempo, la evaluación era considerada como una actividad
independiente y externa al proceso de enseñanza y aprendizaje. Era realizada para
constatar que la enseñanza había producido el efecto deseado en el alumno y así
poder acreditarle ante los demás.
124
El modo en que se evalúa incide, de una forma decisiva, en el sentido que el
conocimiento adquiere para el estudiante, así como en las percepciones que ellos
desarrollan acerca de sí mismos y acerca de su potencial de aprendizaje. Las
actitudes hacia la escuela de igual manera se ven afectadas por la forma en que ésta
se realiza.
De igual manera, la evaluación, tiende a determinar el currículo real: "es importante
lo que se evalúa, lo que 'entra' para la prueba".
Por último, en muchos casos, la evaluación reemplaza la motivación intrínseca. En
efecto, es muy frecuente que se estudie por motivaciones externas, principalmente
por las calificaciones o, más bien, por los efectos que esas calificaciones producen
en la vida del estudiante.
De una forma compleja, difícil de rastrear en sus causas, sostenida en el tiempo y
muy generalizada; la práctica escolar ha dado en reducir la evaluación a la
calificación de los resultados del aprendizaje, según son determinados por medio de
pruebas e interrogaciones construidas por el profesor. Esto lo saben todos los que
enseñan.
La evaluación generalmente se realiza sobre la base de la experiencia personal, de
un modo más o menos espontáneo, en el sentido de no recurrir necesariamente al
conocimiento especializado que cada uno conoció en las etapas de formación y/o de
actualización, se genera de esta manera algún tipo de cuestionamientos a modo de
preguntas que se proponen a los estudiantes.
125
Luego, también en un proceso estereotipado por la repetición y alejado del
conocimiento técnico, se "corrigen" las respuestas y se "pone nota".
Se sabe mucho más que eso acerca de cómo evaluar, qué evaluar y con qué
recursos hacerlo, pero una práctica escolar rutinaria y generalizada influye para que
la evaluación no sea lo que se espera.
La mayoría de los alumnos aprenden pronto que los premios se otorgan a los que son buenos. Y en las escuelas ser bueno consiste principalmente en hacer lo que manda el profesor. Como es natural, éste dice muchas cosas y algunas de sus indicaciones resultan más fáciles de cumplir que otras, pero generalmente sus expectativas no son irrazonables y la mayoría de los alumnos las aceptan bastante bien para asegurarse de que en sus horas de clase abunden más elogios que los castigos
70.
Todo hace pensar, dadas las circunstancias, que este es un momento adecuado
para experimentar con formas innovadoras de evaluación. Tanto nacional como
internacionalmente, se observa un interés creciente en la educación y, en un intento
de poner nuevos modelos de enseñanza a funcionar.
Las nuevas directrices apuntan en el sentido de lograr un aumento de la calidad, a
una ampliación del rango de recursos a utilizar en la escuela, plantear como
posibilidad la idea de innovar los haceres en aras de lograr el aprendizaje en los
alumnos.
70
JACKSON, W., Philip, La vida en las aulas, Ediciones Morata, Madrid, 1994, p. 66.
126
7.2.- Los supuestos
Las presentes recomendaciones se basan en la experiencia y en los resultados de la
indagación en la materia. Los supuestos y las decisiones iniciales que orientaron este
trabajo se pueden resumir de la forma siguiente:
1.- La evaluación es una parte central del proceso curricular. La forma en que se
evalúan los aprendizajes condiciona, en gran medida, el estilo curricular, las formas
posibles de enseñanza, la administración del proceso y las actividades de
aprendizaje. Esto es, para poner en práctica una idea pedagógica, tanto lo que se
quiere enseñar (el currículo), la forma en que se organizan las experiencias de
aprendizaje (las prácticas pedagógicas) y la evaluación, deben formar un todo a
modo de un sistema cuyos elementos deben ser congruentes, interdependientes y
mutuamente reforzadores y, por lo tanto, participar en conjunto de un propósito
común.
2.- El verdadero perfeccionamiento proviene de la capacidad del docente para
poner a prueba sus ideas y aprender de los resultados de esa experiencia. El
salón de clases, las experiencias en que los profesores interactúan con sus
estudiantes constituyen el terreno más adecuado para facilitar el aprendizaje, no sólo
de los alumnos, sino también del profesor. Se sabe que existen profesores, en los
más diversos lugares y en las más diversas condiciones que han experimentado, y
experimentan formas innovadoras de hacer educación. Para esos profesores la sala
de clases constituye un laboratorio de aprendizaje permanente.
127
7.3.- Evaluar hoy
Repitiendo con algunas modificaciones las preguntas con que se inició la
introducción, podemos preguntarnos: ¿cómo evaluamos?, ¿qué papel juega la
evaluación en el proceso educativo hoy?, ¿es ese el papel que deseamos?, ¿existen
otras formas de evaluar?
Responder a estas preguntas en forma plena excede la pretensión de este trabajo,
pero sí es posible plantearlas a los profesionales de la educación y esperar que, en
conjunto, motiven la reflexión y la construcción de un pensamiento y una acción que
superen lo que es posible hacer en la práctica hoy en día.
Consecuentemente, ésta es sólo una reflexión inicial y una invitación a compartir, con
nosotros y con otros profesores, los resultados de su trabajo y su reflexión.
Sabemos que en el proceso están involucradas tres acciones, la medición, la
evaluación y la calificación. Sabemos, también, que en la práctica, el rito
predominante es el de "poner notas".
Medir se puede realizar de muchos modos y con diferentes niveles de
estructuración. Puede ser un proceso de clasificación, o de generación de categorías
a partir de la observación o la comparación de comportamientos observables con
escalas conocidas.
Evaluar, supone la existencia de estándares o criterios para la población a la que
pertenecen los estudiantes, con respecto a los cuales comparar los resultados de la
128
medición y emitir un juicio acerca de la relación entre lo demostrado por el
estudiante y el estándar o criterio seleccionado.
Calificar, es expresar mediante un código (generalmente un número que indica una
posición en una escala dada) el resultado de ese juicio.
Diferentes momentos del aprendizaje apelan a diferentes modalidades de
evaluación, diferentes propósitos de la evaluación, hacen referencia a distintos
procedimientos y técnicas. En general la evaluación pretende responder a una
pregunta. ¿Qué saben mis alumnos acerca de...?, ¿cuánto han aprendido de...?,
¿qué sentido tiene para ellos este concepto, procedimiento, algoritmo...?,
¿aprendieron lo esperado?, ¿pueden aplicarlo a una situación diferente a la tratada
en clase?
Cada una de esas preguntas apela a modalidades de medición y de evaluación
diferentes. En la experiencia que se propone a continuación, se da como ejemplo un
instrumento para la evaluación acerca de los conocimientos que esperamos que los
estudiantes aporten para el logro de una tarea de aprendizaje dada.
Ejemplo: El gobierno municipal ha decidido colocar una lámpara de luz en un
pequeño parque público triangular, de manera que se logre iluminar la mayor área
del parque. ¿Dónde deberá ubicarse la lámpara?
Este problema social se puede resolver siguiendo la estrategia general que aplican
los matemáticos, es decir, a través de la matematización del problema. La
matematización la podemos separar en estos cinco pasos:
129
Paso 1.- Se parte de un problema del mundo real;
establecer la ubicación óptima para una lámpara en un parque.
Paso 2.- Es posible establecer el problema en términos de
conceptos matemáticos; el parque se puede representar como un
triángulo, y la iluminación como un círculo con la lámpara en el
centro.
Paso 3.- De igual manera se abstrae de la realidad a través de
procesos tales como hacer supuestos sobre cuáles aspectos del
problema son importantes, la generalización del problema y su
formalización (estos permiten transformar el problema real en un
problema matemático que representa la situación en forma
fehaciente); el problema se convierte en ubicar el centro de un
círculo que circunscriba el triángulo.
Paso 4.- Se resuelve el problema matemático; y
basándose en el hecho de que el centro de un círculo que
circunscribe un triángulo yace en el punto de intersección de los
bisectores perpendiculares de los lados del triángulo, construir los
bisectores perpendiculares de dos de los lados del triángulo. El
punto de intersección de los bisectores es el centro del círculo.
Paso 5.- Se hace conciencia de la solución matemática en términos
de la situación real. Relacionar este hallazgo con el parque real.
Reflexionar sobre la solución y reconocer, por ejemplo, que si una
de las tres esquinas del parque fuera un ángulo obtuso, esta
130
solución no funcionaría, pues el reflector quedaría por fuera del
parque. Reconocer que la localización y tamaño de los árboles del
parque son otros factores que afectan la utilidad de la solución
matemática.
Son estos procesos (representados gráficamente en el diagrama) los que
caracterizan, en términos generales, cómo los matemáticos hacen matemáticas,
cómo las personas utilizan las matemáticas en un sinnúmero de actividades, y cómo
ciudadanos bien informados y reflexivos deben usar las matemáticas para interactuar
de manera integral y competente con el mundo real.
DIAGRAMA: EL CICLO DE LA MATEMATIZACIÓN
SOLUCION
MATEMÁTICA
PASO: 5
SOLUCION REAL
PASO: 5
PROBLEMA
MATEMÁTICO
PASO: 4
PROBLEMA DEL
MUNDO REAL
PASOS: 1,2,3
131
Idealmente, para juzgar hasta que punto los estudiantes están en capacidad de
utilizar el conocimiento matemático que han acumulado para resolver problemas que
encuentran en su vida diaria, el docente recolectará información sobre su capacidad
para matematizar situaciones complejas.
El nivel de competencia para resolver un problema matemático de la realidad se
refleja en la manera en la que utiliza los conocimientos y las herramientas. Los
problemas (y sus soluciones) pueden ocurrir dentro de una variedad de situaciones o
contextos en la vida de cada individuo.
El contenido matemático se puede dividir en categorías que comprendan los tipos de
problemas que surgen en la vida cotidiana y al mismo tiempo se refieran a la manera
en que estos problemas se suelen presentar a la gente. Para los propósitos de la
evaluación, estas nociones pueden ser: cantidad, espacio, forma, cambios en las
relaciones, e incertidumbre. Esta clasificación puede diferir del contenido típico de los
currículos escolares. Sin embargo, en su conjunto, estas nociones en términos
generales, comprenden la totalidad de los temas matemáticos que se requiere que
aprendan los estudiantes, al menos en el nivel básico.
A los procesos matemáticos que los estudiantes aplican cuando intentan resolver un
problema se les denominan competencias matemáticas. Las que se requieren para
resolver un problema estarán relacionadas con la naturaleza de éste, y se verán
reflejadas en la solución planteada.
132
Mientras que las situaciones y los contextos definen las áreas de problemas en el
mundo real, y las nociones claves reflejan la manera en que miramos el mundo a
través de “lentes matemáticos”, las competencias serán el corazón del “alfabetismo”
matemático. Sólo cuando ciertas competencias estén a disposición de los
estudiantes podrán éstos resolver exitosamente los problemas que se les presenten
en su vida.
La evaluación de la competencia matemática de los estudiantes en la solución de
problemas incluye evaluar hasta qué punto cuentan con habilidades, conocimientos y
actitudes que puedan aplicar productivamente en situaciones de contextos reales
como el del ejemplo.
7.4.- La importancia de los indicadores
Otro elemento no menos importante y clave en el proceso de medición son los
indicadores del aprendizaje. Esos indicadores son los que obtenemos cuando el
que aprende expresa sus procesos internos. En el momento que el estudiante
responde o interviene en la clase, explica a un compañero, realiza o explica una
tarea, hace una aplicación o responde una pregunta en una prueba, nos provee con
algunos indicadores de sus procesos internos.
Esos indicadores nos permiten comprender parcialmente lo que sabe, lo que ha
comprendido y lo que le falta. Desde un punto de vista más profundo, se pueden
inferir las concepciones acerca del objeto de estudio, también, las falsas
133
concepciones. Estas muestras de la vida interior son nuestras únicas pistas para
comprender el complejo proceso del aprendizaje y poder así cumplir nuestro papel
de orientadores y guías.
También en forma parcial, esas señales observables emitidas por nuestros alumnos,
son las que nos muestran cómo se están configurando sus intereses, conocimientos,
motivaciones, actitudes y otras manifestaciones emocionales que serán cruciales en
la forma que los aprendizajes se incorporen a su modo de pensar, actuar y sentir.
Desde esta perspectiva, la actuación de los jóvenes es un material de inmenso valor
para el profesional de la enseñanza. Tener la capacidad para observar, analizar
indicadores, relacionar esos indicadores con categorías y decidir su actuación
posterior de acuerdo con la información que ese proceso esté entregando, es una
capacidad profesional de orden superior.
Así, una respuesta, un error, un comentario, un gesto, o el registro escrito del
pensamiento, constituyen la sustancia a partir de la cuál se puede reorientar o
enriquecer el proceso educativo.
Algunos elementos tales como: Los "mapas conceptuales", las pautas de
observación y las pautas para evaluar exposiciones y proyectos, los llamados
portafolios de evidencias, son formas de evaluación que hacen referencia a esos
indicadores, a los procesos para obtenerlos y a los patrones con qué contrastar el
comportamiento observado. Estas formas de hacer evaluación son resultados de
134
esfuerzos relativamente recientes en la investigación y el desarrollo en educación
(Ausubel, 1983).
7.5.- Cambios en los énfasis
La proposición de usar “situaciones” en vez de ítems aislados, busca transformar el
proceso de evaluación en un medio para el mejor conocimiento entre el estudiante y
su profesor. Más que determinar una nota, la propuesta busca determinar: a) el
potencial de aprendizaje (¿cuánto es capaz de aprender un alumno?); b) la
capacidad para resolver problemas; c) la capacidad para comunicar lo
aprendido (es en la expresión de nuestro pensamiento cuando la formalización se
produce y se apela a la memoria profunda); d) el razonamiento (¿cómo lo pensó?,
¿qué aspectos correctos tiene esa forma de pensar?); e) los conceptos y
procedimientos y f) la actitud.
Los siguientes son algunos de los cambios de énfasis propuestos en relación a la
evaluación de los aprendizajes de los alumnos.
Prestar más atención a:
Comprobar qué saben los alumnos y cómo razonan acerca de los
temas en estudio.
Considerar la evaluación parte integrante de la docencia.
135
Centrarse en una gama amplia de tareas y adoptar una visión global del
objeto de estudio.
Utilizar técnicas y fuentes múltiples de evaluación, incluyendo informes
escritos y orales, exposiciones, archivadores y la demostración de las
capacidades aprendidas (desempeño).
Utilizar en la evaluación diversos materiales, según la especialidad,
incluidas calculadoras y computadores.
Determinar el valor de un programa recolectando información sobre
resultados, currículo, materiales, relación pedagógica y docencia.
Que el alumno reconozca sus fortalezas.
Desarrollar un lenguaje que permita expresar formas de razonar y
sentimientos.
Menos atención a:
Comprobar lo que los alumnos no saben.
Considerar la evaluación simplemente como un recuento de respuestas
acertadas de un examen con el único propósito de poner una nota.
Centrarse en un gran número de destrezas específicas y aisladas
organizadas como contenido / actuación.
Utilizar ejercicios o enunciados que sólo requieren de pocas destrezas.
Utilizar exclusivamente pruebas escritas.
Utilizar ejercicios o preguntas que muestren los contenidos
descontextualizados.
136
Excluir de la evaluación materiales, situaciones, calculadoras y
computadores.
Valorar el programa basándose exclusivamente en la puntuación de
exámenes
Utilizar pruebas normalizadas sólo como uno de los muchos
indicadores de éxito de un programa.
La evaluación planteada de esta manera pretende incluir fundamentalmente al sujeto
que aprende y al contexto en el que éste se desenvuelve. El diseño de este tipo de
evaluación, como se deja ver, parte tanto de cuestionamientos sobre la
significatividad de los aprendizajes como del deslinde que se haga entre evaluación,
medición, calificación y acreditación. Remite a una reflexión constante sobre lo
que ocurre en el complejo proceso de aprender y aun cuestionarse cómo y para qué
se aprende. La evaluación así pensada se constituye en un elemento del
proceso de aprendizaje que permite el acceso al conocimiento escolar,
entendido como saber colectivo culturalmente organizado.
8.- Conclusiones
Desde una concepción constructivista, la matemática y su aprendizaje deben
constituirse en herramientas que ayuden a los alumnos que la están
aprendiendo en el conocimiento de su realidad.
137
En la generalidad de los actos de la vida cotidiana existen aspectos que la
matemática ayuda a representar. Los niños desde pequeños se desplazan por
el espacio, observan y manipulan los cuerpos que este contiene, en general
viven continuamente situaciones mediante las cuales poco a poco van
construyendo conceptos por un proceso natural de abstracción de la realidad.
Si las primeras nociones matemáticas provienen de la experiencia de la vida
diaria, se hace necesario encontrar la relación entre la realidad en la que viven
los estudiantes y la iniciación matemática que se les propone.
En cuanto al papel de los docentes en el proceso de aprendizaje, también
desde la concepción constructivista, se sabe que enseñar no consiste en
transmitir saberes, ya que son los alumnos los que han de construir el
sentido y el significado de lo que aprenden.
Los saberes que pretenden construir los alumnos ya existen, y se tienen ya
establecidos los valores sociales y culturales, por lo tanto a los docentes les
queda asumir la función de mediadores, entre el conocimiento del entorno y
los alumnos que lo están aprendiendo.
El papel del docente en este contexto consiste en acercar el contenido
matemático a los alumnos haciéndolos participar en entornos de situaciones
reales y cotidianas, donde aparezcan y utilicen contenidos relacionados con
este lenguaje.
138
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