HUMBERTO TODESCO
UM ESTUDO COM OS NÚMEROS INTEIROS NAS SÉRIES INICIAIS: Re-aplicação da Pesquisa de Passoni.
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
PUC/SP São Paulo
2006
HUMBERTO TODESCO
UM ESTUDO COM OS NÚMEROS INTEIROS NAS
SÉRIES INICIAIS: Re-aplicação da Pesquisa de Passoni.
Dissertação apresentada à Banca Examinadora
da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
como exigência parcial para obtenção do título de
MESTRE PROFISSINAL EM ENSINO DE
MATEMÁTICA, sob a orientação da Profª Drª
Sandra Maria Pinto Magina.
PUC/SP São Paulo
2006
Banca Examinadora
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total
ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: ___________________________Local e Data: _______________
À minha base:
Lucimara, Thiago e André,
Aos meus pais, Ao meu sogro e sogra,
Meu carinho,
Pelo apoio e credibilidade
AGRADECIMENTOS
Ao longo desta jornada, muitas pessoas auxiliaram-me com conhecimento,
incentivo, amizade e amor. Foram momentos compartilhados com intensidade e
alegria. Agora que chegamos ao final é tempo de agradecer. A Deus pelo dom
divino da vida, proteção e providência. À minha esposa Lucimara, pelo
constante incentivo, pela paciência em momentos difícies, pela compreensão
em minhas ausências, sempre demonstrando o seu amor. Aos meus filhos peço
desculpa pela ausência em momentos que foram preenchidos pela mãe, avôs e
tios. Ao Governo do Estado de São Paulo, através da Prof.ª Ana Fava da Leste
4, pelo apoio financeiro. À minha orientadora Prof.ª Sandra Maria Pinto Magina
por ser, uma grande pessoa com seu apoio, incentivo, compreensão e paciência
com os iniciantes em pesquisa, acrescentados às suas firmes orientações
transmitindo confiabilidade e respeito. Obrigado pela paciência de sempre em
reorientar o nosso caminho principalmente nos momentos mais difícies da
nossa pesquisa. À Prof.ª Leila Zardo Puga integrante da banca examinadora
pelas suas sugestões que direcionaram e enriqueceram muito este trabalho e
pela sua grande alma que acolheu de modo carinhoso nossas dificuldades. À
Prof.ª Abigail Fregni Lins integrante da banca examinadora pelas sugestões que
muito contribuíram para o enriquecimento deste trabalho. Aos professores do
Programa de Mestrado Profissional em Educação Matemática pelas experiências
e pelo conhecimento compartilhado durante o curso. Aos meus colegas do
Programa de Mestrado Profissional em Educação Matemática pela União e
companheirismo demonstrados durante o curso. Aos colegas Alvesmar, Lourival
e Evanilton pela convivência harmoniosa, pela ajuda mútua e pela compreensão
durante o período de trabalho coletivo. Ao Centro Integrado Ensino Jovens e
Adultos onde lecionei e a Escola Estadual Romeu Montoro onde leciono pela
compreensão de nossas dificuldades através de palavras de incentivo e carinho
de todos os professores e funcionários (principalmente Sra. Luiza e Sra. Laíde)
que muitas vezes por um abraço, um sorriso e até por um lanche nos ajudaram
muito em nosso caminho. À Terbraz Industrial, através de seu Diretor
Alexandre e o Presidente Sr. Nelson Tercero por liberar do horário de trabalho
para as atividades necessárias a nossa pesquisa. À Escola Municipal Rodrigues
de Carvalho por abrir suas portas para realização desta pesquisa, especialmente
à coordenadora Elaine Aparecida Ribeiro Felipe, a Prof.ª Izabel Alves de Oliveira
e principalmente a Prof.ª Célia Regina Fraccaroli que além de ceder as horas de
trabalho com seus alunos a nós, demonstraram um grande carinho com o
nosso trabalho. E principalmente aos alunos da 3ª. série B que com entusiasmo
participaram de nossas atividades e foram os responsáveis por este trabalho:
Adriano Tavares da Silva, Amanda Gabriela Luglio do Melo, Bruna Batatello dos
Santos, Danilo Marcelo Pereira, Edna Ferreira Xavier Pereira, Flavio França da
Silva, Gabriela Soares de Souza, Isabela Cristina Gonçalves Barbosa, Isadora
Fernandes Gama, Jaqueline Oliveira do Nascimento, Jefferson de Souza,
Jhemerson Pereira da Silva, Jhonata Gobato dos Santos, José Everton Gomes
da Silva, Joyce Alves Pereira, Lais Miria Pereira de Abreu, Leonardo Rocha Nieri
Moreno, Lucas Medeiros Bezerra, Marcela Martins dos Santos, Maria Tainá da
Silva, Mariana da Silva, Mayara Aline Damião, Naiane Eduardo dos Santos,
Nilton de Lima Espíndola, Raiane Rodrigues da Silva, Renata de Araújo Costa,
Shirlene Maria da Silva, Silvania Maria da Silva, Vanessa Ricardo de Freitas,
Vitor Miranda de Alencar, Washington Lima de Souza, Wendell Camargo dos
Santos, Wesley Coelho Farias, Jéssica Mayara Munhoz de Assis, Mikael Henrique
Araújo de Souza, Yasmin Oliveira da Silva, Henrique Eduardo de Oliveira. Enfim
a todos que de uma maneira ou outra participaram de minha jornada, quero
agradecer dividindo este momento especial.
“O que é preciso é desenvolver o desejo infantil de
reconhecimento e direcionar a criança para campos de
atividades importantes para a sociedade”.
Albert Einstein
RESUMO
O objetivo desta dissertação foi investigar a possibilidade e eficiência de se
introduzir o número inteiro negativo na 3ª. série do Ensino Fundamental de
uma escola pública, reaplicando parte do estudo desenvolvido por Passoni
(2002), a fim de responder às seguintes questões de pesquisa: “Partindo de
uma seqüência elaborada que utilize um contexto familiar e significativo, qual a
compreensão que as crianças de 3ª. série passam a ter sobre os números
negativos? Até onde tal seqüência pode ajudar na introdução desse conceito?
E, por último, em que consiste o avanço?” Para tanto, foi desenvolvida uma
pesquisa de caráter intervencionista com alunos de duas classes de 3ª. série
do Ensino Fundamental de uma escola da rede pública municipal de São
Paulo; uma delas constituiu-se em grupo controle (GC) e a outra em grupo
experimental (GE). A pesquisa de campo complementou duas etapas –
aplicação dos instrumentos diagnósticos (pré e pós-testes), tanto no GE como
no GC e aplicação da intervenção de ensino com uso de material manipulativo
apenas no GE. Os resultados obtidos em cada uma dessas etapas foram
analisados considerando a possibilidade da introdução dos números inteiros
negativos na 3ª. série do Ensino Fundamental. Do ponto de vista teórico,
apoiamos-nos nas idéias de Jean Piaget e Raymond Duval relacionados ao
papel que as representações desempenham na compreensão da Matemática.
A meta é de tornar os alunos capazes de transformar tratamentos intencionais
de representações semióticas em tratamentos quase-instantâneos. Os
resultados mostraram um crescimento de quase 50% no desempenho dos
alunos do GE, no pós-teste. Tendo por base tais resultados pode-se concluir
que a associação da intervenção de ensino com o material manipulativo
possibilitou o desenvolvimento de estratégias para resoluções das atividades.
As atividades foram desenvolvidas com 17 crianças do grupo GE e 18 crianças
do grupo GC. Os resultados obtidos foram satisfatórios.
Palavras-chave: Intervenção de Ensino; Número Negativo; Ensino
Fundamental; Formação de Conceito.
ABSTRACT
The objective of this dissertation was to investigate the possible performance of
introducing the entire negative number on the 3rd cycle of the fundamental
school in a public organization on replication of part of the Passoni (2002) work
so as to respond the following questions of the investigation: “Starting from a
sequence formed by a familiar and significant context, what is the
comprehension that the 3rd cycle school children will have over negative
numbers? To what extended level this sequence might aid on introducing this
concept? At last, what’s this improvement consisted of?” On this approach, an
interventionist investigation was developed with students of two groups of the
3rd cycle fundamental public school in the city of Sao Paulo; one of them named
as the control group (CG) and the other one being the experimental group (EG).
The field survey had two steps – execution of diagnostic instruments (before
and after tests) on the CG as well as the EG group and carrying out the
teaching intervention with the usage of manipulative material only at the EG.The
results obtained in each of these steps were evaluated considering the possible
introduction of the negative numbers to the students of the 3rd fundamental
cycle. In theory, we lay down on the ideas of Jean Piaget and Raymond Duval
related to the kind of representations that can act upon the Mathematic
conception. The target is to make students able to convert intentional
treatments of semiotic representations in “roughly” instantaneous treatments.
The results show a 50% increase on student’s performance of EG group, at pos
test. Taking into account these results, it can be concluded that the associative
intervention on teaching with manipulative material has developed strategies for
the solution of the activities. The activities were developed with 17 children of
EG and 18 ones of the CG. The results are said to be satisfactory.
Keywords: Teaching Intervention; Negative Number; Fundamental Teaching;
Concept Formation.
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 – APRESENTAÇÃO...................................................................01
1.1 – Introdução.................................................................................................01
1.2 – Justificativa...............................................................................................06
1.3 – Objetivo e Questões de Pesquisa.............................................................09
1.4 – Descrição dos Capítulos da Dissertação..................................................10
CAPÍTULO 2 – APORTE TEÓRICO.................................................................12
2.1 – Introdução.................................................................................................12
2.2 – A Representação......................................................................................13
2.2.1 – A Representação Sob Duas Óticas.............................................16
2.2.2 – A Representação do Ponto de Vista de Piaget...........................16
2.2.3 – A Representação do Ponto de Vista de Duval............................23
2.3 – A Revisão de Estudos Científicos Correlatos...........................................33
2.3.1 – O Estudo de Solange dos Santos Nieto......................................33
2.3.2 – O Estudo de Alciony Regina Hérdérico Souza Silva...................43
2.3.3 – O Estudo de Luís Augusto Sbardellini.........................................48
2.3.4 – O Estudo de Regina Flemming Damm........................................49
2.3.5 – O Estudo de Ana Paula Jahn......................................................53
2.4 – O Estudo de Passoni................................................................................57
2.5 – Histórico dos Números Negativos.............................................................61
2.6 – Os Números Inteiros Negativos na Escola...............................................69
2.6.1- Parâmetros Curriculares Nacionais .............................................70
2.6.2- Livro Didático...............................................................................72
2.6.2.1 – Referente 1ª à 4ª série....................................................72
2.6.2.2 – Referente 5ª à 8ª série·...................................................73
CAPÍTULO 3 - METODOLOGIA.......................................................................78
3.1 – Universo do Estudo...................................................................................78
3.2 – Os Sujeitos................................................................................................78
3.3 – Desenho do Experimento.........................................................................79
3.4 – Procedimento............................................................................................80
3.5 – Material Utilizado......................................................................................81
3.5.1 – Materiais da Etapa 1 – Os Testes...............................................82
3.5.1.1 – Pré-Teste.......................................................................82
3.5.1.2 – Pós-Teste......................................................................88
3.5.2 – Materiais da Etapa 2 – A Intervenção.........................................98
CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DOS RESULTADOS.............................................111
4.1 – Análise Quantitativa................................................................................112
4.1.1 – Análise Geral: Comparação entre o número de acertos dos
grupos GE e GC nos Pré e Pós -testes................................................113
4.1.1.1 – Análise, por item, dos instrumentos diagnósticos........114
4.1.1.2 – Apresentação dos desempenhos dos alunos dos GE e
GC nos pré e pós-testes............................................................116
4.1.2 – Comparação Intra e Inter Grupos uma Síntese........................118
4.2 – Análise Qualitativa..................................................................................118
4.2.1- Análise qualitativa do pré-teste...................................................120
4.2.2 – Intervenção de Ensino...............................................................133
4.2.3 – Pós-Teste..................................................................................159
CAPÍTULO 5 – CONCLUSÃO........................................................................176
5.1 – Introdução...............................................................................................176
5.2 - Síntese dos resultados............................................................................177
5.3 - Respondendo nossa Questão de Pesquisa............................................179
5.4 - Sugestões para futuras pesquisas..........................................................182
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..............................................................183
ANEXOS..........................................................................................................187
LISTA DAS FIGURAS
FIGURA 1.1: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.44.....................02
FIGURA 1.2: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.43.....................02
FIGURA 1.3: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.94.....................04
FIGURA 1.4: SAEB (2001), p.45.......................................................................06
FIGURA 1.5: Jahn (1994), p.98.........................................................................07
FIGURA 2.1: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.165...................22
FIGURA 3.1: Protocolo de resposta do aluno GC 2 do pré-teste......................89
FIGURA 3.2: Protocolo de resposta do aluno GC 1 do pré-teste......................91
FIGURA 3.3: Protocolo de resposta do aluno GC 1 do pré-teste......................91
FIGURA 3.4: Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré-teste......................93
FIGURA 3.5: Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pré-teste......................96
FIGURA 3.6: Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pré-teste......................98
FIGURA 4.1: Esquema de nossa análise Qualitativa......................................119
FIGURA 4.2: Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré-teste....................121
FIGURA 4.3: Protocolo de resposta dos alunos GE15 e GC15 do pré-teste..122
FIGURA 4.4: Protocolo de resposta do aluno GC 2 do pré-teste....................123
FIGURA 4.5: Protocolo de resposta do aluno GC 1 do pré-teste....................125
FIGURA 4.6: Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré-teste....................126
FIGURA 4.7: Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pré-teste....................128
FIGURA 4.8: Protocolo de resposta dos alunos GC 4 e GE 9 do pré-teste....129
FIGURA 4.9: Protocolo de resposta do aluno GC 8 e GE 15 do pré-teste......130
FIGURA 4.10: Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré-teste..................131
FIGURA 4.11: Protocolo de resposta do aluno GC 5 do pré-teste..................132
FIGURA 4.12: Protocolo de resposta do aluno GE 8 da intervenção..............134
FIGURA 4.13: Protocolo de resposta do aluno GE 9 da intervenção..............135
FIGURA 4.14: Protocolo de resposta do aluno GE 2 da intervenção..............136
FIGURA 4.15: Protocolo de resposta do aluno GE 6 da intervenção..............137
FIGURA 4.16: Protocolo de resposta do aluno GE 8 da intervenção..............138
FIGURA 4.17: Protocolo de resposta do aluno GE 15 da intervenção............139
FIGURA 4.18: Protocolo de resposta do aluno GE 9 da intervenção..............140
FIGURA 4.19: Protocolo de resposta do aluno GE 2 da intervenção..............141
FIGURA 4.20: Protocolo de resposta do aluno GE 9 da intervenção..............142
FIGURA 4.21: Protocolo de resposta do aluno GE 5 da intervenção..............144
FIGURA 4.22: Protocolo de resposta do aluno GE 8 da intervenção..............145
FIGURA 4.23: Protocolo de resposta do aluno GE 15 da intervenção............146
FIGURA 4.24: Protocolo de resposta do aluno GE 14 da intervenção............146
FIGURA 4.25: Protocolo de resposta do aluno GE 16 da intervenção............147
FIGURA 4.26: Protocolo de resposta do aluno GE 4 da intervenção..............148
FIGURA 4.27: Protocolo de resposta do aluno GE 5 da intervenção..............148
FIGURA 4.28: Protocolo de resposta do aluno GE 7 da intervenção..............149
FIGURA 4.29: Protocolo de resposta do aluno GE 2 da intervenção..............150
FIGURA 4.30: Protocolo de resposta do aluno GE 16 da intervenção............150
FIGURA 4.31: Protocolo de resposta do aluno GE 6 da intervenção..............151
FIGURA 4.32: Protocolo de resposta do aluno GE 14 da intervenção............151
FIGURA 4.33: Protocolo de resposta do aluno GE 2 da intervenção..............152
FIGURA 4.34: Protocolo de resposta do aluno GE 8 da intervenção..............154
FIGURA 4.35: Protocolo de resposta do aluno GE 4 da intervenção..............155
FIGURA 4.36: Protocolo de resposta do aluno GE 9 da intervenção..............155
FIGURA 4.37: Protocolo de resposta do aluno GE 6 da intervenção..............156
FIGURA 4.38: Protocolo de resposta do aluno GE 15 da intervenção............157
FIGURA 4.39: Protocolo de resposta do aluno GE 8 da intervenção..............158
FIGURA 4.40: Protocolo de resposta do aluno GE 2 da intervenção..............159
FIGURA 4.41: Protocolo de resposta do aluno GE 2 do pós-teste.................161
FIGURA 4.42: Protocolo de resposta do aluno GC 2 do pós-teste.................161
FIGURA 4.43: Protocolo de resposta do aluno GE 11 do pós-teste...............162
FIGURA 4.44: Protocolo de resposta do aluno GC 1 do pós-teste................162
FIGURA 4.45: Protocolo de resposta do aluno GE 2 do pós-teste.................164
FIGURA 4.46: Protocolo de resposta do aluno GE 4 do pós-teste.................164
FIGURA 4.47: Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pós-teste.................164
FIGURA 4.48: Protocolo de resposta do aluno GE 4 do pós-teste.................166
FIGURA 4.49: Protocolo de resposta do aluno GE 9 do pós-teste.................166
FIGURA 4.50: Protocolo de resposta do aluno GE 8 do pós-teste.................167
FIGURA 4.51: Protocolo de resposta do aluno GC 9 do pós-teste.................167
FIGURA 4.52: Protocolo de resposta do aluno GE 12 do pós-teste...............167
FIGURA 4.53: Protocolo de resposta do aluno GE 8 do pós-teste.................169
FIGURA 4.54: Protocolo de resposta do aluno GC 8 do pós-teste.................169
FIGURA 4.55: Protocolo de resposta do aluno GE 15 do pós-teste...............169
FIGURA 4.56: Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pós-teste.................170
FIGURA 4.57: Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pós-teste.................172
FIGURA 4.58: Protocolo de resposta do aluno GE 15 do pós-teste...............173
FIGURA 4.59: Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pós-teste................174
FIGURA 4.60: Protocolo de resposta dos alunos GE 15 e GE 2 do pós.........175
LISTA DOS QUADROS
Quadro 2.1: Duval, 2001, p.3.- sistema de tratamento ou conversão.............025
Quadro 2.2: Representação e compreensão para o conhecimento matemático (Duval 2000, composição da figura 2, p.59 e da figura 6, p.65) .....................027
Quadro 2.3: (Duval, 2000, p.65), registros multifuncionais ou registros monofuncionais. ..............................................................................................028 Quadro 2.4: Várias coordenações entre sistemas produtivos requeridos para compreensões matemática. Fonte: Duval (2000 p. 66). .................................030 Quadro 2.5: Sinopse dos 16 conjuntos de atividades desenvolvidas por Passoni (2002, p.25)........................................................................................059 Quadro 3.1: Desenho do experimento............................................................079 . Quadro 3.2 - Questão 1 do pré - teste. ..........................................................082
Quadro 3.3 - Questão 2 do pré-teste. ............................................................083 Quadro 3.4 - Questão 3 do pré-teste. ...........................................................084 Quadro 3.5 - Questão 4 do pré-teste. ............................................................084 Quadro 3.6 - Questão 5 do pré-teste. ............................................................085 Quadro 3.7 - Questão 6 do pré-teste. ............................................................086 Quadro 3.8 - Questão 7 do pré-teste. ............................................................086 Quadro 3.9 - Questão 8 do pré-teste. ............................................................087 Quadro 3.10 - Questão 9 do pré-teste. ..........................................................087 Quadro 3.11 - Questão 1 do pós-teste. .........................................................089 Quadro 3.12 - Questão 2 do pós-teste. ........................................................090 Quadro 3.13 - Questão 3 do pós-teste..........................................................092 Quadro 3.14 - Questão 4 do pós-teste. .........................................................093 Quadro 3.15 - Questão 5 do pós-teste. ..........................................................094 Quadro 3.16 - Questão 6 do pós-teste. ..........................................................094
Quadro 3.17 - Questão 7 do pós-teste. ..........................................................095 Quadro 3.18 - Questão 8 do pós-teste. .........................................................096 Quadro 3.19 - Questão 9 do pós-teste. . .......................................................097
Quadro 3.20 - Questão 10 do pós-teste. . .....................................................098 Quadro 3.21 - Atividade 1 da seqüência de ensino. . ....................................099 Quadro 3.22 - Atividade 2 da seqüência de ensino. . ....................................100 Quadro 3.23 - Atividade 3 da seqüência de ensino. . . ..................................101 Quadro 3.24 - Atividade 4 da seqüência de ensino. . . ..................................101 Quadro 3.25 - Atividade 5 da seqüência de ensino. . . ..................................102 Quadro 3.26 - Atividade 6 da seqüência de ensino. . . ..................................102 Quadro 3.27 - Atividade 7 da seqüência de ensino. . ....................................103 Quadro 3.28 - Atividade 8 da seqüência de ensino........................................104 Quadro 3.29 - Atividade 9 da seqüência de ensino. . . ..................................104 Quadro 3.30 - Atividade 10 e 11 da seqüência de ensino. . . ........................105 Quadro 3.31 - Atividade 12 e 13 da seqüência de ensino..............................106 Quadro 3.32 - Atividade 14 e 15 da seqüência de ensino. . . ........................106 Quadro 3.33 - Atividade 16 e 17 da seqüência de ensino. . . ........................106 Quadro 3.34 - Atividade 18 e 19 da seqüência de ensino..............................107 Quadro 3.35 - Atividade 20 da seqüência de ensino. . . ................................107 Quadro 3.36 - Atividade 21 da seqüência de ensino. . . ................................108
Quadro 3.37 - Atividade 22 da seqüência de ensino. . . ................................108 Quadro 3.38 - Atividade 23 da seqüência de ensino. . . ................................108 Quadro 3.39 - Atividade 24 da seqüência de ensino. . . ................................109 Quadro 3.40 - Atividade 25 da seqüência de ensino. . ..................................109 Quadro 3.41 - Atividade 26 da seqüência de ensino. . . ................................109
Quadro 3.42 - Atividade 27 da seqüência de ensino. . . ................................109 Quadro 3.43 - Atividade 28 da seqüência de ensino. . . ................................110 Quadro 3.44 - Atividade 29 da seqüência de ensino. . . ................................110 Quadro 3.45 - Atividade 30 da seqüência de ensino. . . ................................110
Quadro 3.46 - Atividade 31 da seqüência de ensino. . . ................................110
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 - Registro da língua natural, registro do sistema escrito, registro figural, registro gráfico.....................................................................................025 Tabela 2.2 - Livro Didático 1ª. à 4ª..................................................................073
Tabela 2.3 - Livro Didático 5ª. à 8ª..................................................................077 Tabela 3.1 - Correspondência entre pré-teste e pós-teste..............................088 Tabela 4.1: Desempenho geral do GE e GC nos testes (pré e pós-testes)....113 Tabela 4.2: Distribuição do desempenho geral dos dois grupos – GE e GC – nos pré-testes..................................................................................................116 Tabela 4.3: Distribuição do desempenho geral dos dois grupos – GE e GC – nos pós-testes..................................................................................................116
LISTA DE ANEXOS
Anexo 1 – Pré – teste......................................................................................187 Anexo 2 – Pós – teste.....................................................................................190
Anexo 3 – Materiais da Intervenção de Ensino...............................................194
CAPÍTULO 1 APRESENTAÇÃO
1.1 INTRODUÇÃO
Nosso objetivo principal com o presente estudo é investigar a
possibilidade e eficiência de se introduzir o número inteiro negativo1 na 3a série
do Ensino Fundamental na Escola Pública.
A natureza desse número difere da idéia do número natural porque este
último está diretamente relacionado a quantidades palpáveis, tangíveis. Por
exemplo, ao nos referirmos ao número 5, podemos estar atribuindo a esse
número a quantidade de 5 lápis, que estão sobre a mesa, pois podemos tocá-
los, pegá-los e contar esses objetos. Mas para o número -5 não há como
relacioná-lo a uma quantidade de objetos concretos. Nesse sentido, podemos
dizer que os números negativos não correspondem às quantidades concretas,
tangíveis, não “existem fisicamente” na vida cotidiana. Para tanto, vamos
reaplicar parte do estudo desenvolvido por Passoni (2002).
Sendo assim é preciso investigar, no processo de aprendizagem escolar,
a passagem das grandezas (noções concretas) para os números (noções
abstratas).
A noção de número negativo pode ser introduzida desde cedo na escola
a partir de várias situações que estão de acordo com o mundo físico, conforme
ilustramos nas situações abaixo. Uma situação muito comum na qual os
números negativos aparecem são as representações de andares para as
1 Sempre que mencionarmos números inteiros negativos estamos nos referindo aos números inteiros não positivos.
2
garagens de um prédio, que geralmente ficam no subsolo, como ilustra a
figura 1.1 a seguir:
FIGURA 1.1: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.44.
Os andares do prédio podem ser associados à reta numérica, tomando-
se o piso térreo como sendo o número zero, conforme desenho acima, os
andares acima do térreo representam na reta numérica os números inteiros
positivos ou os números naturais, e as garagens, que estão abaixo do térreo
(zero), representam os números inteiros negativos que no exemplo acima são
(“-1” e “-2”).
Outra situação também comum que lida com os números inteiros
negativos são as situações presentes no painel do elevador. Por exemplo, num
elevador em um shopping, conforme ilustra a figura 1.2 abaixo, é
FIGURA 1.2: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.43.
3
comum dizermos ao ascensorista que queremos ir para “garagem 2”, para
“G2”, ou ainda “para o menos 2”. Todas essas situações podem ser
representadas numericamente pelo número inteiro negativo “–2”, indicando que
queremos ir para 2 andares abaixo do térreo. Novamente adotamos o térreo
como zero, reforçando a idéia da reta numérica.
Mas os prédios ou elevadores não são as únicas situações em que
aparecem os números inteiros negativos. É comum dizermos frases do tipo:
“estou com 183 reais negativos no banco”.
Nesse caso, se tirarmos um extrato bancário irá aparecer um saldo
devedor de 183 reais, o qual costuma ser representado pelo número inteiro
negativo -183. Quando observamos um extrato bancário, notamos que os
números inteiros positivos representam os créditos da conta e os números
inteiros negativos os débitos, mostrando assim, o montante de dinheiro que
entrou e o que foi retirado de nossa conta bancária. Com isto podemos
estabelecer uma relação entre os valores do extrato bancário e a reta
numérica.
Continuando a exemplificar situações do dia-a-dia em que nos
deparamos com os números inteiros negativos, temos a do nível do mar
comumente considerada como marco zero. Neste, caso podemos ter uma
situação em que há um submarino que está a -125,2 metros do nível do mar
(ou abaixo do nível do mar 125,2 metros) e o avião está a 387,5 metros do
nível do mar (ou acima do nível do mar), como ilustra a figura 1.3 abaixo.
Novamente, a reta numérica pode ser desenhada fazendo-se
corresponder o número zero com o nível do mar.
4
FIGURA 1.3: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.94. Ainda podemos ter situações relacionadas à temperatura, muito
utilizadas nos livros didáticos. Nesse caso podemos ter citações como:
Está noite fez muito frio no Rio Grande do Sul, pois tivemos -2 graus.
De fato, em situações de temperatura, costumamos usar terminologias
como: “2 graus negativos”, ou, ainda “menos 2 graus” para representar uma
temperatura abaixo de zero.
No caso dos números naturais podemos não só dizer que temos 100
reais no banco, como podemos ir até lá e retirá-lo, tocando assim no objeto a
que se refere essa quantidade (uma nota de 100 reais). Mas ao dizermos que
estamos 100 reais negativos, como nós podemos ir lá e retiramos -100 reais do
banco?
Todas essas situações apresentadas referem-se às situações em que os
números inteiros negativos estão associados às situações corriqueiras, isto é,
relacionando objetos (noção concreta) ou situações existentes aos números
(noção abstrata).
Dessa forma, o número, até então restrito a quantidades, ganha uma
dimensão mais ampla. Ele deixa de significar, simplesmente os objetos
quantificáveis, que podem ser efetivamente tocados, passando a ser uma idéia,
um lugar, um status, cujo objeto a que ele refere não é mais tangível.
5
É notório que os números inteiros negativos fazem parte da vida das
crianças desde cedo, mas em contrapartida o seu ensino e sua implementação
na escola costumam ser difícieis e problemáticas.
Na minha experiência docente e em discussão com os colegas,
comenta-se freqüentemente sobre as dificuldades dos alunos em
compreenderem e se apropriarem de operações com números negativos.
A expressão “(-a) – (- a) = 0”, por exemplo, não é nada simples de ser
entendida, seja pelos alunos da 8a série, seja até por pessoas adultas que
tenham completado o Ensino Médio ou mesmo o Ensino Superior, pois temos
um mesmo símbolo (-) para:
Expressão “(-a) – (- a) = 0” símbolo operacional diático (2 elementos: -a e -a)
Expressão “(-a) – (- a) = 0” símbolo operacional monádico (1 elementos: -a)
A introdução do número negativo no ensino, normalmente no terceiro
ciclo (5ª ou 6ª série) do Ensino Fundamental, costuma ser vista como difícil e
um conteúdo “muito doloroso” para as crianças, e os professores queixam-se
bastante sobre a dificuldade de aprendizagem das crianças.
Refletindo a esse respeito, tendemos a acreditar que isso acontece
porque os alunos não vêem uma ligação entre o número inteiro negativo e o
mundo a sua volta, talvez por que esse número seja introduzido sem que haja
um aproveitamento dos contextos nos quais ele aparece no dia-a dia das
crianças.
Sob esse enfoque, a nossa preocupação é estudar então a possibilidade
de se introduzir número inteiro negativo, a partir de uma situação familiar, para
os alunos da 3a série.
6
1.2 JUSTIFICATIVA
Quando observamos os sistemas de avaliação oficial, como o Sistema
de Avaliação e Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP)
realizado em 1998, e o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica
(SAEB) de 2001, notamos que praticamente não tivemos questões que
envolvessem os números inteiros negativos correspondentes à 4a ou na 8a
série do Ensino Fundamental. No último relatório do SARESP (1998) das 15
questões elaboradas para a 5ª série sobre números e operações, nenhuma
trazia um problema envolvendo números inteiros negativos; mas para o Ensino
Médio houve uma única questão, que consistia em localizar números na reta.
Quanto ao SAEB, havia um único problema, apresentado para os alunos
que estariam concluindo a 8a série, que envolveu números inteiros negativos
(ver figura 1.4 abaixo).
FIGURA 1.4: SAEB (2001), p.45
Notamos que se trata de um problema que não oferece um contexto
além do algoritmo, apresentando apenas uma expressão, resumindo-se ao já
tão conhecido “resolva”. O percentual de acerto nesta questão foi muito baixo
(menos de 40%) conforme o relatório oficial publicado (2001).
7
Fica claro que este exercício tem a finalidade de verificar, basicamente,
dois conhecimentos dos alunos: o primeiro diz respeito à operação entre sinais
dos números inteiros positivos e negativos; o segundo refere-se à ordem de
prioridade das operações, isto é multiplicações / divisões devem ser efetuadas
antes das adições / subtrações. Fica evidente, tendo em vista o resultado
inferior a 40% de acertos, que há uma necessidade premente de uma atenção
maior sobre esse tema e, ainda de se buscar maneiras para se trabalhar este
conteúdo de maneira mais satisfatória.
Em relação a outras pesquisas que apresentam problemas com
aprendizagem com os números inteiros podemos citar os índices encontrados
no estudo de Jahn (1994), que propõem a elaboração de uma pesquisa de
ensino para introdução do conceito e das operações aditivas dos números
inteiros, elaboradas em seqüências que proporcionam aos alunos uma tomada
de consciência da existência dos números inteiros negativos, a partir de
situações dentro do modelo ganho/perda.
Em Jahn (1994), observamos na página 97 que o maior índice de erros
foi na categoria 3, que inclui o item 9, subtração de um número inteiro negativo,
onde 9 alunos erraram dos 16 que responderam à questão. (43,7% de acertos)
FIGURA 1.5: Jahn (1994), p.98
8
O estudo de Damm (1992) visa a classificação dos problemas de adição
em conceituais, semânticos ou textuais com grupos de alunos de (6-9anos) e
(9-12 anos) da França e do Brasil.
Classificando em critérios conceituais como: Composição de 2
elementos de N; Operação de uma transformação; Relação estática entre 2
elementos; Composição e 2 transformações; Transformação entre duas
relações estáticas; Composição de relações. São aplicadas 8 questões no pré
e pós teste com o tipo de problema acumulativo (multiplicação e adição) e
comparação (multiplicação, adição e subtração).
A pesquisa de Alciony (2005) visa compreender como os erros de
números racionais são concebidos pelos professores e alunos no processo de
ensino e aprendizagem do Ensino Fundamental.
O estudo investiga no contexto do ensino aprendizagem da Matemática,
as práticas docentes utilizadas para o tratamento dos erros produzidos pelos
alunos numa escola pública do Município de Araucária/PR.
Os sujeitos da pesquisa são 2 professores que ministram aulas de
Matemática nas 5as, 6as e 7as séries e 17 alunos das referidas séries.
O estudo aponta a vigência de formas tradicionais de tratamento de
erros como a principal dificuldade dos docentes de ensinar os números
racionais de forma contextualizada, aliadas as dificuldades dos alunos no
processo de aprendizagem em relação a parte-todo, as dificuldades conceituais
e de operacionalização desse conjunto de números.
Alciony (2005) destaca alguns objetivos específicos neste trabalho
como os erros praticados pelos alunos na aprendizagem dos números
9
racionais e identificar as principais dificuldades dos alunos em relação aos
números racionais.
A pesquisa desenvolvida por Sbardellini (2005) visa demonstrar a
homogeneidade das estruturas ordenadas dos racionais.
A pesquisa desenvolvida por Nieto (1994) visa compreender antecipação
do ensino dos números inteiros negativos para a quarta série do primeiro grau:
um estudo das possibilidades.
O objetivo de Nieto (1994) é a princípio verificar se alunos de séries
anteriores à sexta série do 1º Grau, já se encontram capacitados para assimilar
os conceitos referentes dos números inteiros, uma vez que estes conceitos já
se apresentam com freqüência no cotidiano dos alunos, como por exemplo,
nas colunas esportivas. Portanto, tais conceitos, já bastante conhecidos pelos
alunos, ainda que de modo informal, que fortalecem a necessidade da presente
pesquisa.
Nieto (1994) buscou apoio na “Matemática informal”, aprendida pela
criança fora do processo educacional e estudada por Schliemann (1991), onde
separa seus testes em: Teste Formal e Teste Informal.
1.3 OBJETIVO E QUESTÕES DE PESQUISA
Por outro lado, Passoni (2002) propõe a introdução dos números
negativos, desde cedo, a partir de situações significativas para o aluno.
Passoni realizou uma intervenção de ensino com crianças de 3ª série de uma
escola particular da cidade de São Paulo com o intuito de introduzir os números
negativos, tendo como suporte teórico às idéias de Raymond Duval, no que
tange à utilização de vários registros de representação. Sua intervenção teve
10
como característica os registros em atividades de tratamento e conversão.
Como dito anteriormente, o objetivo principal deste trabalho é o de avaliar a
possibilidade de uma intervenção de ensino, com alunos de 3ª série, para
introduzir o conceito de número inteiro negativo, com base na pesquisa de
Passoni.
Conforme veremos no Capítulo 2, página 23, o Aporte Teórico da
Representação do ponto de vista de Duval e no Capítulo 3, na página 81, os
Materiais utilizados na etapa de intervenção como a Metodologia
intervencionista da página 78 são os mesmos utilizados da pesquisa de
Passoni. As questões são as mesmas utilizadas na pesquisa de Passoni,
porém podemos trabalhar este conteúdo na forma interdisciplinar com os
conteúdos de Geografia e Português.
A partir desse objetivo, o presente estudo foi elaborado para responder
três questões de pesquisa, relacionadas entre si, a saber:
“Partindo de uma seqüência elaborada que utilize um contexto
familiar e significativo, qual a compreensão que crianças de 3ª série
passam a ter sobre os números negativos? Até onde tal seqüência pode
ajudar na introdução desse conceito? E, por último, em que consiste o
avanço?”.
Para responder a essas perguntas, vamos percorrer um caminho teórico e
metodológico, que descrevemos na próxima seção.
1.4 DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS DA DISSERTAÇÃO
O Capítulo 1 trata da apresentação, justificativa, objetivo do estudo e,
ainda, das 3 questões de pesquisa, tal como foi exposto nos itens anteriores.
11
O Capítulo 2 apresenta o nosso suporte teórico, no qual discutimos
principalmente as idéias Jean Piaget e Raymond Duval no que diz respeito à
idéia de representação. Para tanto, iniciamos o capítulo apresentando o
conceito de representação do ponto de vista da Língua Portuguesa, da
Filosofia, da Sociologia e da Semiótica. Esse capítulo apresenta as pesquisas
correlatas ao nosso estudo, como a de Passoni (2002), Damm (1992), Jahn
(1994), Nieto (1994), Alciony (2005) e Sbardellini (2005), todas abordando o
tema números inteiros negativos, na qual nos espelhamos de sobre maneira
para a construção de nosso trabalho.
E por último uma análise dos Livros Didáticos através dos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN), em relação à introdução dos números inteiros
negativos.
O Capitulo 3 destina-se a descrição pormenorizada de nossa
Metodologia de Estudo, onde justificamos teoricamente o tipo de pesquisa
escolhida, apresentamos o estudo preliminar, a partir do qual pudemos refinar
o instrumento diagnóstico e, por fim, o estudo principal. Neste mesmo capítulo
descrevemos todo o desenho do experimento, isto é, os sujeitos envolvidos, o
material utilizado, a análise a priori das questões contidas no questionário (pré
e pós-testes), as atividades envolvidas na intervenção de ensino e, por fim, o
procedimento adotado no estudo.
No Capítulo 4 são apresentados e analisados os resultados, que serão
tratados do ponto de vista quantitativo e qualitativo. Por fim, apresentamos as
considerações finais de nosso estudo, tecendo comentários sobre os principais
resultados encontrados, retomando e respondendo às três questões de
pesquisa e, finalmente propor algumas sugestões para futuros estudos.
12
CAPÍTULO 2 APORTE TEÓRICO
2.1 INTRODUÇÃO
O presente capítulo visa a atender quatro objetivos. O primeiro centra-se
na apresentação e reflexão das idéias teóricas, que usaremos como suporte
para compreender o processo de ensino-aprendizagem dos números
negativos. Pretendemos discutir em especial as idéias teóricas de Jean Piaget
e Raymond Duval. A escolha por essas Teorias baseia-se no fato de que
ambas discutem o papel da representação na formação (Piaget) e na
aprendizagem de conceitos (Duval).
O segundo objetivo é o de apresentar o estudo de Passoni (2002), no
qual nos baseamos para desenvolver nosso estudo empírico. Passoni
desenvolveu uma pesquisa intervencionista através de uma seqüência de
ensino voltada para introdução dos números negativos com crianças da
3ª.série do Ensino Fundamental.
O terceiro objetivo é o de procedermos uma revisão da literatura no que
concerne a estudos científicos que se relacionam com o nosso tema de
pesquisa. Discutiremos, particularmente, estudos realizados com números
negativos, como é o caso daqueles desenvolvidos por Regina Damm, Ana
Paula Jahn, Alciony Regina Herdérico Souza Silva, Luís Augusto Sbardellini e
Solange dos Santos Nieto.
13
O quarto e último objetivo deste capítulo é de correlacionar os PCN, os
livros didáticos e nosso estudo de pesquisa, para discussão de como os
números negativos são trabalhados em nosso dia-a-dia.
2.2 A REPRESENTAÇÃO
Podemos iniciar a discussão sobre representação apresentando vários
pontos de vista, tais como o lingüístico, o filosófico, o psicológico, o semiótico e
o social.
Para Ferreira (1999), representação ganha os seguintes significados:
“1. Ato ou efeito de representar-se... 4.Reprodução daquilo que se pensa... 9.Filos. Conteúdo concreto aprendido pelos sentidos, pela imaginação, pela memória ou pelo pensamento.”(p.1747).
Notamos então que na Língua Portuguesa a representação tem relação
direta com a forma de pensar e com os sentidos. Nesse caso, representação
refere-se tanto ao pensamento, como à memória e à percepção.
Já na perspectiva filosófica (Ockham (Quodl, IV, q.3)), a representação é
tratada como:
Representação - Vocábulo de origem medieval que indica imagem ou idéia no 2o sentido, ou ambas as coisas. O uso desse termo foi sugerido aos escolásticos pelo conceito de conhecimento como ‘semelhança’ do objeto. ‘Representar algo’ - dizia S. Tomás de Aquino –(’significa conter a semelhança da coisa’). Mas foi principalmente no fim da escolástica que esse termo passou a ser mais usado às vezes para indicar o significado das palavras. Ockham distinguia três significados fundamentais: em primeiro lugar, designa-se com este termo aquilo por meio do qual se conhece algo; nesse sentido, o conhecimento é representativo, e representar significa ser aquilo com que se conhece alguma coisa. Em segundo lugar, por representar entende-se conhecer alguma coisa, após cujo conhecimento conhece-se outra coisa; nesse sentido, a imagem representa aquilo de que é imagem, no ato de lembrar. Em terceiro lugar, por representar entende-se causar o conhecimento do mesmo modo como o objeto causa o conhecimento’(Ockham citado por Fukiko, 2005, p.170).
14
Num enfoque filosófico podemos observar que a representação nos guia
a relação de três significados: o primeiro a representação como uma idéia no
sentido amplo e geral; no segundo nos remetendo a idéia de imagem e por
último trazendo-nos o próprio objeto.
Observemos agora a representação sob o aspecto, especificamente da
semiótica, apresentando a compreensão que Pierce (1999):
“[...] estar em lugar de isto é, estar numa relação com um outro que, para certos propósitos, é considerado por algumas mentes como se fosse o outro. Assim, um porta-voz, um deputado, um advogado, um agente, um vigário, um diagrama, um sintoma, uma descrição, um conceito, uma premissa, um testemunho, todos representam alguma outra coisa, de diferentes modos, para mentes que consideram sob esse aspecto. Veja-se o conceito de Signo. Quando se deseja distinguir entre aquilo que representa e o ato ou relação de representação, pode-se denominar o primeiro de representante e o último de representação”. (p.61).
Nesta ótica podemos verificar que o ato de representar pode ser
entendido como uma relação de uma incógnita qualquer, por exemplo x, com
algo que desejamos representar como medida, idade etc.
A representação do ponto de vista semiótico, segundo o psicólogo
francês contemporâneo Raymond Duval, nos diz que:
“[...] Descartes, até hoje, passando por Peirce e Piaget, muitas mudanças têm ocorrido na maneira de considerar as relações entre conhecimento e representação e, a natureza das representações parece tornar-se mais e mais complexa”. Duval (2000, p. 58).
“Muitos estudantes não discriminam o conteúdo da representação e o objeto representado: objetos mudam quando a representação muda!” (Ibid, p. 59).
Isso posto, notamos que não podemos falar de representação sem
relacioná-la com seus sistemas de produção.
15
Pois podemos ter exercícios com diferentes objetos com a mesma
representação.
Para a Psicologia, considerando a ótica de Piaget (1978) como um de
seus grandes representantes temos que:
“Diz representação, diz conseqüentemente reunião de um significante que permite a evocação e de um significado fornecido pelo pensamento”. (p.345).
Notamos que a capacidade de diferenciar significantes de significados é
condição básica para que ocorra a representação e, assim, ser capaz de
evocar e se referir a outro. Por exemplo, quando falamos de uma cadeira, a
palavra cadeira é o significante, enquanto a imagem da cadeira é o significado.
Para finalizar sob o enfoque social apresentamos uma definição clássica
segundo Jodelet (1985). Para representação social:
“São modalidades de conhecimento prático orientadas para a comunicação e para a compreensão do contexto social, material e ideativo em que vivemos. São, conseqüentemente, formas de conhecimento que se manifestam como elementos cognitivos — imagens, conceitos, categorias, teorias —, mas que não se reduzem jamais aos componentes cognitivos. Sendo socialmente elaboradas e compartilhadas, contribuem para a construção de uma realidade comum, que possibilita a comunicação” (p. 469-494).
Sob este aspecto vemos que a representação é um campo que
possibilita questionar, de um lado, a natureza do conhecimento e, de outro, a
relação indivíduo-sociedade a partir do aspecto cognitivo.
O conceito de representação segundo Moscovici (1988):
“Por representação social, entendemos um conjunto de conceitos, proposições e explicações originado na vida cotidiana no curso de comunicações interpessoais. Elas são o equivalente, em nossa sociedade, dos mitos e sistemas de crenças das sociedades tradicionais; podem também ser
16
vistas como a versão contemporânea do senso comum.” (p. 211).
Resumidamente, podemos falar em representação como uma forma de
conhecimento socialmente elaborada e partilhada, que tem um objetivo prático
e concorre para a construção de uma realidade comum a um conjunto social.
Pelo exposto vemos que a representação pode ser pensada e entendida
sob diversas perspectivas, dependendo da ciência ou do pensador que a
investigue. No item a seguir vamos nos restringir a duas óticas em especial, de
grande importância para o desenvolvimento de nosso estudo.
2.2.1 - A REPRESENTAÇÃO SOB DUAS ÓTICAS
Como dissemos na introdução deste capítulo, nosso objetivo é abordar o
papel da representação na formação e aprendizagem, que é o que faremos
nesta seção.
Para tanto, iniciamos com as idéias teóricas dos psicólogos Jean Piaget
e na seqüência as de Raymond Duval que tratam desse assunto.
2.2.2 - A REPRESENTAÇÃO DO PONTO DE VISTA DE PIAGET
Segundo Piaget (1995), é a partir da representação que surge o
conhecimento, ou seja, não há conhecimento sem representação.
“Há representação quando se imita um modelo ausente”. (p.12).
[...] é a capacidade de evocar por meio de um signo ou de uma imagem simbólica o objeto ausente ou a ação ainda não realizada. (PIAGET. 1975 p.231).
“Evocações de objetos ausentes ou a ação ainda não consumida”. (Ibid, p.231).
17
Essas afirmações de Jean Piaget nos permitem notar que, para ele,
representar é o ato de trazer a mente algo que está percentualmente ausente.
Assim, não é preciso estar diante de um coqueiro para poder representá-lo, ou
formar a sua imagem na mente. Neste sentido, representar significa o resultado
de uma ação que pode ser adquirida pela diferenciação ativa de significantes e
significados.
“A representação começa quando há, simultaneamente, diferenciação e coordenação entre significantes e significados ou significações”. (PIAGET 1978, p.11-12).
Então quando falamos de um coqueiro, a palavra coqueiro é o
significante, enquanto a imagem do coqueiro é o significado. Como já dissemos
anteriormente, segundo Piaget, a capacidade de diferenciar significantes de
significados é a condição básica para que ocorra a representação e, assim, ser
capaz de evocar um e referir-se ao outro, sem necessidade de estar perto do
objeto.
Agora partindo para uma análise mais profunda de representação temos
que Jean Piaget (1926, 1971) considera a existência de 2 tipos de
representação: Uma que está ligada a evocação do que já foi percebido
fisicamente. E a outra representação que não pode ser percebida como é o
caso do objeto matemático:
[...] essas duas espécies de representações, lato e estrito, apresentam relações mútuas: o conceito é um esquema abstrato e a imagem um símbolo concreto, mas, embora já não se reduza o pensamento a um sistema de imagens, pode-se-a admitir que todo o pensamento se faz acompanhar de imagens, portanto, se pensar consiste em interligar significações, a imagem será um significante e o conceito um significado”.(Piaget 1971, p.87).
18
Essa capacidade representativa é denominada por Piaget função
simbólica. Para esse autor a evocação é o primeiro tipo de representação, já
que evocar é vista como a produção mental de um objeto em sua ausência
através de uma lembrança ou imagem do que já foi percebido em algum
momento. Nesse caso, a pessoa ao evocar um fato, acontecimento ou objeto
está, simplesmente, reproduzindo na mente o que já havia visto ou vivido
anteriormente.
Um segundo tipo de representação refere-se a trazer à mente algo que
não pode ser fisicamente percebido, como é o caso de um objeto matemático.
Tomemos como exemplo para este tipo de objeto, o número 1. Notamos que
muitos objetos concretos podem facilmente representar a quantidade referente
ao número 1, como um lápis, um giz, uma caneta ou até mesmo o dedo
indicador. Todos são fisicamente concretos e todos são diferentes do objeto
matemático número, que é abstrato.
Para ajudar a entender melhor a capacidade representativa da função
simbólica vamos olhar o que Piaget (1975), postula sobre o desenvolvimento
da criança. Ele pontua que esse desenvolvimento se dá por meio de quatro
estágios: o sensório-motor; o pré-operatório, o operatório-concreto e, por fim, o
operatório-formal, que seria o último estágio do desenvolvimento. Sendo que
os estágios acima não são regras padrões, inclusive não são os únicos fatores
que influenciam as crianças a aprender, por exemplo os números negativos.
“Eles (os estágios) não correspondem, por sua vez, as idades absolutas observando-se, pelo contrário, as acelerações ou retardamentos segundo os diversos meios sócios e a experiências adquiridas” (Piaget, 1982, p.45).
O estágio sensório-motor: É neste estágio que o bebê começa a
construir os esquemas de ação pela construção prática das noções de objeto,
19
espaço, causalidade e tempo. Nesse período ele lança mão de seus reflexos
neurológicos básicos para começar assimilar mentalmente o meio, cujo contato
é direto e imediato, sem representações ou pensamentos.
O estágio pré-operatório, também denominado Inteligência simbólica, é
a fase em que surge, na criança, a capacidade de substituir um objeto ou
acontecimento por uma representação. Esta substituição é possível graças à
função simbólica.
No estágio subseqüente, chamado operatório concreto, ocorre o
desenvolvimento da reversibilidade, ou seja, a capacidade da representação de
uma ação no sentido inverso de uma anterior, anulando a transformação
observada.
Por fim, no estágio operatório formal as estruturas cognitivas da criança
alcançam seu nível mais elevado de desenvolvimento e tornam-se aptas a
aplicar o raciocínio lógico a todas as classes de problemas.
A representação agora permite à criança uma abstração total, não se
limitando mais à representação imediata e nem às relações previamente
existentes. Agora a criança é capaz de pensar logicamente, formular hipóteses
e buscar soluções, sem depender mais só da observação da realidade.
Após visualizarmos as fases de desenvolvimento da criança, na qual a
representação tem um papel fundamental, voltamos a tratar do aparecimento
da função simbólica que, para Jean Piaget, é um momento fundamental do
desenvolvimento cognitivo. É através da função simbólica que a inteligência
torna-se representativa; as ações e sua coordenação podem ser realizadas em
um novo nível, interno, sem ficarem subordinadas aos dados atuais e externos
da percepção.
20
A capacidade representativa é demonstrada pela função simbólica,
como vimos anteriormente e agora podemos representá-la em cinco padrões
de comportamentos que, segundo Piaget e Inhelder (1995), surgem
simultaneamente a partir do segundo ano de vida da criança. São eles: a
imitação, o jogo simbólico, o desenho, a imagem mental, a linguagem. Esses
comportamentos, apesar de começar por volta dos 2 anos, vão levar toda a
infância e parte da adolescência para se formarem completamente. Uma vez
adquiridos, serão sempre usados. São a partir desses comportamentos, que
nós adultos, formamos as imagens e são eles que, juntos, permitem criar a
representação. Para melhor entendermos esses 5 padrões de comportamento
utilizamos as idéias de Piaget e Inhelder. (1995 p. 48).
“1) Há, primeiro que tudo,a imitação diferida, isto é aquela que principia na ausência do modelo. Numa conduta de imitação sensório-motora a criança começa imitando em presença do modelo (por exemplo, um movimento da mão), depois pode continuar a fazê-lo na ausência do modelo sem que isso implique em nenhuma representação em pensamento.
2) Há, em seguida, o jogo simbólico, ou jogo de ficção, desconhecido no nível sensório-motor. A mesma garotinha inventou o primeiro jogo simbólico ao fingir dormir, sentada e sorrindo largamente, mas de olhos fechados, cabeça inclinada, polegar na boca e segurando um canto de pano, que simula o canto do travesseiro, consoante o ritual costumeiro que observa ao adormecer; pouco depois, faz dormir o seu urso de pelúcia, enfia uma conchinha numa caixa dizendo “miau”(acaba de ver um gato num muro) etc.
3) O desenho ou imagem gráfica, nos seus primórdios, é intermediário entre o jogo e a imagem mental, embora quase não apareça antes dos 2 anos ou dos 2 ½ anos.
4) Vem, em seguida, mais cedo ou mais tarde, a imagem mental, da qual não se observa traço algum no nível sensório-motor (pois, do contrário, o descobrimento do objeto permanente seria grandemente facilitado) e que surge como imitação interiorizada.
5) Enfim, a linguagem nascente permite a evocação verbal de acontecimentos não atuais. “Quando a garotinha há pouco citada diz “miau”, já sem ver o gato, há representação verbal além de imitação”.
21
Salientamos que Jean Piaget (Ibid) faz distinção entre dois tipos de
imagem mental: a estática, presa à memória e à percepção, e a dinâmica que
permite que atuemos sobre um determinado objeto, modificando-lhe o
tamanho, a posição, a coloração, a direção ou o sentido sem, contudo, deixar
de reconhecê-lo como sendo o mesmo objeto.
Para representar um objeto do mundo real, podemos fazê-lo lançando
mão de uma evocação. Para tanto, precisamos ter a capacidade de imitação,
do jogo simbólico, do desenho e até da imagem mental estática. Mas se nós
precisamos criar um objeto que não é palpável ou concreto, como é o caso de
objetos matemáticos, vamos precisar então da imagem mental dinâmica, da
memória de evocação e da linguagem. No caso da Matemática há conceitos
como, por exemplo, associado à idéia de simetria:
Se A = B então B =A
Que não é obvio que se tenha tal idéia internalizada, principalmente porque
não estamos nos referindo, necessariamente, a dois objetos concretos,
tangíveis. Da mesma forma, ao expressarmos a idéia de transitividade:
Se A >B >C então A > C,
Neste caso, estamos atuando sobre os objetos e sejam quais forem
eles, o primeiro (A) é maior que o segundo (B), que, por sua vez é maior que o
terceiro (C) e, portanto, podemos inferir que o primeiro é maior que o terceiro.
Assim podemos assumir que a partir dos primeiros conhecimentos a
criança é capaz de reproduzir alguma coisa. Por exemplo, pensemos em um
quadrado:
22
FIGURA 2.1: PROMAT, Grasseschi, Andretta, Silva, 2004, p.165. A criança pode representar essa figura geométrica porque ela reconhece
e desenha um quadrado, mas se ela estiver presa mais nos primeiros padrões
de representação, como imitação ou do desenho, ela pode representar esse
quadrado apenas no eixo ortogonal. Nesse caso, para Jean Piaget, a criança
estaria utilizando o que ele chamou de aspecto figurativo do conhecimento, que
acontece quando a criança lança mão apenas da percepção e da memória
para representar ou reconhecer um objeto. Porém, se ela trabalhar com a
imagem mental internalizada, ela será capaz de atuar sobre esse objeto e
então representá-lo ou reconhecê-lo mesmo que ele lhe seja mostrado em
posições não ortogonal ou não convencional.
Ela pode dizer que “continua sendo um quadrado” só que o quadrado
girou, pois continua com os lados de mesma medida e os ângulos retos. Nesse
caso, dizemos que ela está atuando sobre o objeto.
Com isso, podemos resumir que uma vez adquiridos estes padrões de
comportamento todo ser humano passa a usá-los sempre que for representar
algo.
Quando tratamos dos números negativos vamos precisar da imagem
mental dinâmica, da memória de evocação e da linguagem para podermos
representar esse objeto que não é palpável. Por exemplo, para uma dívida de
três reais, isto é, de –3 reais não há como relacioná-la com qualquer coisa
tangível do mundo concreto.
23
Assim, podemos dizer que a idéia de números inteiros negativos acaba
por destruir a idéia de número como sendo algo possível de ser quantificável
por meio de objetos concretos. Se no conjunto dos naturais um número podia
ser um objeto palpável a partir de sua correspondência com as coisas do
mundo tangível, agora ele passa, definitivamente, para o mundo das idéias. Se
antes considerávamos que um bom caminho para se introduzir o conceito de
número para a criança era relacioná-lo a objetos e coisas contáveis do mundo,
estabelecendo uma analogia entre o conceito de contagem com o da
quantificação de coisas ou de objetos, agora, em que tal situação, vemos que
isso não é mais possível.
Sendo assim há necessidade de se considerar dois tipos de objetos, os
concretos e os abstratos. Dentre os concretos ainda temos aqueles objetos
passíveis de serem vistos no mundo circundante – árvores, livros, cachorros
etc – e aquele que não enxergamos – micróbios, bactérias, átomos e outros.
Quanto aos objetos abstratos, nos referimos àqueles tais como amor, raiva, ar,
etc.
Isso posto, vemos que os estudos de Jean Piaget, de grande valia para
o entendimento sobre o surgimento e o desenvolvimento da representação,
ainda não são suficientes para explicar em suas diferentes nuanças e, por isso,
vamos recorrer às idéias de Raymond Duval sobre esse assunto.
2.2.3 A REPRESENTAÇÂO DO PONTO DE VISTA DE DUVAL
Segundo Raymond Duval (1999), a noção de registro de representação
semiótica traz como princípio a mobilização de vários registros como uma
maneira típica de se representar um objeto matemático, fazendo uma distinção
clara entre a Matemática e o funcionamento cognitivo dos sujeitos que realizam
24
essa atividade. Isto é, mostrando o mesmo objeto matemático em vários
registros facilita o entendimento.
Duval mostra que há dois tipos de sistemas produtores da
representação: os dispositivos físicos (ligados aos neurônios e à percepção) e
os sistemas semióticos (relacionados à linguagem). Não faz sentido, portanto,
falar em representação sem levar em conta o seu sistema de produção.
“[...] Mas de Descartes, até hoje, passando por Peirce e Piaget, muitas mudanças têm ocorrido na maneira de considerar as relações entre conhecimento e representação e, a natureza das representações parece tornar-se mais e mais complexa”. Duval (2000 p. 58).
Essas afirmações nos permitem notar que, para Duval, a natureza das
representações necessita de uma análise estruturada do funcionamento dos
objetos matemáticos.
Numa análise mais específica para os registros de representação temos
que Duval (1999), classifica-os em quatro tipos: dois relativos à representação
discursiva: a língua natural e os sistemas de escritas e outros dois relativos à
representação não discursiva: registro figural e registro gráfico.
Este autor sustenta que para que um conhecimento, ou saber
matemático, possa ser colocado em funcionamento é necessário que se
apreenda não somente com um registro, mas com pelo menos dois registros de
representação e que se saiba também coordenar esses registros, buscando as
relações entre os objetos representados.
Por exemplo, podemos reconhecer um objeto matemático por meio de
suas possíveis e diferentes representações apresentadas no quadro abaixo:
25
Registro da língua natural
Registro do sistema escrito
Registro figural Registro gráfico
Considere a reta que passa pelos pontos A e B
AB
A B
B A
Tabela 2.1 – Registro da língua natural, registro do sistema escrito, registro figural, registro gráfico.
Para ajudar a entender melhor o registro de representação Duval (1999)
postula que não podemos falar de representação sem relacioná-la com seus
sistemas de produção. Mas se levamos em conta sistemas semióticos significa
focar as transformações de representações. Portanto precisamos distinguir
dois tipos de transformações, que são bem diferentes, a saber: “tratamento” e
“conversão”.
Os tratamentos são transformações de representações dentro de um
mesmo registro. Por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no
mesmo sistema de escrita ou de representações dos números.
Exemplo: 5 – 3 = 2 ou 5 + (-3) = 2
As conversões são transformações de representações que consistem
em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados. Por
exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação a sua representação
gráfica.
TRANSFORMAÇÃO (De uma dada representação semiótica
para uma outra representação semiótica diferente)
Quadro 2.1: Duval, 2001, p.3. - sistema de tratamento ou conversão.
PERMANECENDO NO MESMO SISTEMA: TRATAMENTO
MUDANDO O SISTEMA: CONVERSÃO.
26
Salientamos que Duval (1999), postula a complexidade cognitiva da
conversão em que podemos observar duas situações importantes que são:
uma de congruência e outra de não congruência.
Em alguns casos a conversão é obvia e imediata. Como se a
representação de um registro de partida fosse transparente para a
representação do registro de chegada e, nesse caso, dizemos que a
conversão é congruente.
“As conversões congruentes são imediatas e espontâneas e para as não congruentes não há nada de imediato” (Passoni, 2002, p.11).
Exemplo de conversão congruente:
Conjunto de pontos cuja ordenada y é maior que a abscissa x, então: y > x
Isso posto, vemos que os estudos de Duval (1995) destaca que a
conversão congruente existe quando:
“Correspondência semântica entre as unidades significantes que as constituem, mesma ordem possível de apreensão dessas unidades nas duas representações e, para converter de uma unidade significante da representação de partida em uma só unidade significante na representação de chegada”. (pp. 5-6)
Salientamos que Duval (1999) destaca que a não congruência é o
fenômeno crucial para toda tarefa de conversão. As dificuldades e os
bloqueios mentais originam-se, freqüentemente, na inabilidade de se realizar a
conversão. Mas o mais surpreendente é o seu caráter unidimensional. Uma
conversão pode ser congruente em um sentido e não congruente no sentido
oposto.
27
Exemplo de conversão não-congruente:
Conjunto de pontos cuja ordenada y e abscissa x tem o mesmo sinal: 0. >yx
Então quando falamos em conversão estamos nos referindo à
congruência ou não-congruência.
Buscamos agora uma explicação da direção da conversão para os que
obtiveram sucesso a conversão é congruente e fracasso, ou mesmo
bloqueios mentais, para a conversão não congruente, revelando uma falta de
coordenação entre os registros. E notamos que o entendimento conceitual só é
possível quando a coordenação é atingida. Por isso, que não podemos
confundir objetos matemáticos com o conteúdo de sua representação, que
podem ser vistos conforme quadro abaixo:
Compreensão
Coordenação
Quadro 2.2: Representação e compreensão para o conhecimento matemático (Duval 2000, composição da figura 2, p.59 e da figura 6, p.65)
OBJETO Denotação Denotação
Signos ou composição de signos
Conteúdo A da representação
Signos ou composição de signos
Conteúdo B da representação
Produção de uma representação Por meio de limitações e possibilidades específicas de um sistema semiótico A.
Produção de uma representação Por meio de limitações e possibilidades específicas de um sistema semiótico B.
28
Assim para qualquer objeto matemático podemos ter diferentes
representações produzidas por diferentes sistemas semióticos. Nesta
perspectiva Raymond Duval (2000) aprofunda:
“Sempre que um sistema semiótico muda, o conteúdo da representação muda, enquanto o objeto continua o mesmo. Mas, um objeto matemático não pode ser identificado por alguma de suas representações, muitos estudantes não discriminam o conteúdo da representação e o objeto representado: objetos mudam quando a representação muda!” (p. 59).
Para ajudar a entender melhor a capacidade representativa, que
consiste em desenvolver coordenações entre os vários tipos de registros, que
se classificam em quatro tipos segundo Raymond Duval (1995, 1996):
REPRESENTAÇÃO DISCURSIVA
REPRESENTAÇÃO NÃO-DISCURSIVA
REGISTROS MULTIFUNCIONAIS:
Os tratamentos não são algoritmizáveis.
Linguagem natural: Associações verbais (conceituais). Forma de raciocinar:
• Argumentação a partir de observações, de crenças...
• Dedução válida a partir de definição ou de teoremas.
Registro Figural: Tabelas ou em perspectivas (configurações em dimensões 0,1,2 ou 3). • Apreensão
operatória e não somente perceptiva;
• Construção com instrumentos.
REGISTROS
MONOFUNCIONAIS: Os tratamentos são principalmente algoritmos
Sistema de Escrita: • Numéricas • Algébricas; • Simbólicas
(línguas formais). • Cálculo
Registro Gráfico: • Mudanças de
sistema de coordenadas;
• Interpolação, extrapolação.
Quadro 2.3: (Duval, 2000, p.65)
“Processos matemáticos envolvem no mínimo dois destes quatro tipos, como podemos ver na resolução de qualquer problema ou em alguns campos como Geometria. A compreensão matemática requer, no mínimo, a coordenação entre dois destes quatro tipos de registro, um monofuncional e outro multifuncional. Problemáticas clássicas de relações entre Matemática e linguagem podem ser colocadas de uma maneira cuidadosa e relevante somente dentro de tal estrutura cognitiva. Em níveis mais avançados de ensino, a
29
predominância de registros monofuncionais discursivos parece crescer. Além disso, é com estes tipos de registros que a perda de significado é observada. Por quê? Acredita-se erradamente que a aplicação na vida diária ou em situações fora da Matemática podem ser as fontes de significado e de entendimento. Não! O principal problema é com os registros multifuncionais. Eles são necessários implicitamente ou explicitamente para a compreensão matemática, mas a maneira que eles trabalham nos processos de pensamento matemático é totalmente diferente da maneira com que eles trabalham em outros campos do conhecimento, e a fortiori, na vida cotidiana. Por essa razão, utilizar a língua natural como no discurso usual referindo-se à uma figura geométrica como se isso fosse tão óbvio como uma outra imagem visual não ajuda, mas aumenta a confusão na compreensão e aprendizagem. Aqui se abre um amplo campo de pesquisas. Se nós queremos entender o complexo mecanismo da aprendizagem matemática nós devemos analisar as maneiras específicas de trabalho dos registros multifuncionais, especialmente em demonstrações e visualizações na resolução de problemas geométricos. Nós já temos muitas variáveis cognitivas decisivas. (Duval, 2000, pp. 65-66).
Um bom caminho para entender a capacidade representativa está em
distinguirmos em primeiro lugar os registros multifuncionais dos registros
monofuncionais.
Registros multifuncionais são aqueles que são utilizados em todos os
campos da cultura. Eles são utilizados para a comunicação e para o
processamento. Assim, a língua natural é necessariamente utilizada em
Matemática, mas não da mesma maneira como ela é utilizada na vida
cotidiana. Ao contrário, os registros monofuncionais têm sido desenvolvidos
para um específico tipo de processamento, para ter desempenhos mais
poderosos e menos custosos que aqueles do registro multifuncional.
Estabelecendo uma analogia entre os registros multifuncionais e
monofuncionais, destacamos que os registros multifuncionais possuem
tratamentos que não podem ser modificados de um modo algorítmico e ao
contrário, os registros monofuncionais podem ser expandidos como
algoritmo.
30
Raymond Duval (1995, 2000), remete-nos ainda a questão: quais são as
condições cognitivas requeridas a fim de que todo o sujeito possa entender
Matemática?
Considerando que entendimento matemático requer uma organização de
maior complexidade, então um bom caminho é valer-se de sistemas
semióticos.
Para entendermos a complexidade dos tipos de transformações
semióticas envolvidas no processo matemático vejamos o que Raymond Duval
(1995,2000) chama de arquitetura cognitiva, constando os tratamentos
intencionais e os automáticos (ou quase-instantâneos), conforme quadro
abaixo:
Quadro 2.4: Várias coordenações entre sistemas produtivos requeridos para compreensões
matemáticas. Fonte: Duval (2000, p. 66).
INTENCIONAL AUTOMÁTICO Utilizando um sistema semiótico através da ativação de sistemas orgânicos (mentalmente ou materialmente)
A representação DENOTA A representação é o RESULTADO o objeto representado em de um acesso direto ao objeto
(da visão para a memória) registro discursivo registro não discursivo reprodução de disponibilidade interna do (expressão) (visualização) gestalts percebidas que foi VISTO linguagem simbólico não-ícônico ícônico natural ou formal sentenças formulas gráficos imitação figuras simulação imagens mentais ? ? esquemas desenhos (homem,casa...) esboço
Internalização
31
Numa análise dos tratamentos, temos o que Raymond Duval (1995),
considera como tratamentos intencionais:
“Aqueles que levam, pelo menos, o tempo de um controle consciente para serem efetuados e que se realizam exclusivamente sobre os dados previamente observados em uma visão do objeto ainda que furtiva. (...) Sua particularidade é que eles não podem ser efetuados, a não ser um após outro e que são muito sensíveis ao número de elementos a integrar” (p.34).
Tratamentos quase-instantâneos (automáticos) são:
“Aqueles que são efetuados antes mesmo de terem sido observados e que produzem as informações e as significações de que um sujeito tem imediatamente consciência (...). Intuitivamente, os tratamentos quase-instantâneos correspondem à familiaridade ou à experiência resultante de uma longa prática ou de uma competência adquirida em um domínio”(pp. 33,34).
“Toda atividade cognitiva humana repousa sobre a complementaridade desses dois tipos de tratamentos. (...). O conjunto dos tratamentos quase-instantâneos de que um sujeito dispõe determina o nível e o horizonte epistêmico para a aplicação dos tratamentos intencionais. (...). Não haveria construção hierárquica de conhecimentos possível sem o acréscimo dos tratamentos quase-instantâneos” (pp. 34, 35).
Podemos observar que Raymond Duval enfatiza que para se dar o
processo de aprendizagem precisamos trabalhar com a mudança de sistemas
de representação. Assim, se introduzimos um determinado conteúdo a partir de
situações relacionadas ao mundo à nossa volta e, conseqüentemente, a dos
alunos, devemos, o mais cedo possível, mudar essa representação para uma
situação Matemática. Por exemplo, se quisermos trabalhar com a reta
numérica, podemos iniciar esse trabalho numa situação que use a
representação de um edifício de apartamentos, mas devemos em seguida
passar a representar o edifício de apartamentos na reta numérica fazendo uma
32
correspondência entre os andares do edifício com a graduação da reta
numérica.
Nestas condições, aprender Matemática implica em integrar dentro da
própria arquitetura cognitiva os registros necessários, na medida do possível,
como novos sistemas de representação, envolvendo coordenações de registros
ou suas decompartamentalizações, tornando-se apto para qualquer
transformação de representação, conforme Duval (1995) afirma:
“A aprendizagem matemática não consiste primeiramente em uma construção de conceitos pelos estudantes, mas na construção da arquitetura cognitiva do sujeito epistêmico”. (pp.66-67).
Tendo exposto os principais pontos das teorias de Jean Piaget e
Raymond Duval, no que tange as idéias que esses autores enfatizam sobre a
representação e seu papel na formação e aprendizagem de conceitos
matemáticos, apresentamos a seguir o estudo de Passoni.
Podemos notar que os pensamentos de Piaget e Duval são
convergentes no campo da representação.
Piaget diz que não há conhecimento sem representação e
conseqüentemente a reunião de um significante que permite a evocação e de
um significado fornecido pelo pensamento.
Duval diz que a representação como princípio para mobilização de
vários registros.
Segundo Piaget é a partir da representação que surge o conhecimento,
ou seja, não há conhecimento sem representação. Portanto há representação
quando se imita um modelo ausente, quando tratamos dos números negativos
33
vamos precisar da imagem mental dinâmica, da memória de evocação e da
linguagem para podermos representar esse objeto que não é palpável.
Duval traz a representação, como princípio a mobilização de vários
registros, como uma maneira típica de se representar um objeto matemático.
Mostra que a natureza das representações necessita de uma análise
estruturada do funcionamento dos objetos matemáticos.
Isso posto, observamos que o estudo de Jean Piaget, traz o
entendimento sobre o surgimento e o desenvolvimento da representação e
Duval complementa com a mobilização de vários registros.
2.3 REVISÃO DE ESTUDOS CIENTÍFICOS CORRELATOS
Procedemos a uma revisão na literatura de estudos correlatos ao nosso
tema de pesquisa buscando as devidas complementações para adequar nosso
trabalho às teorias de Jean Piaget e Raymond Duval.
Podemos notar uma preferência pelo modelo direcionado à
complexidade cognitiva do pensamento humano, em especial ao modelo
cognitivo de Raymond Duval. Isso posto, observamos que o estudo de Piaget,
traz o entendimento sobre o surgimento e o desenvolvimento da representação
e Duval complementa com a mobilização de vários registros.
2.3.1 - O ESTUDO DE SOLANGE DOS SANTOS NIETO
A pesquisa desenvolvida por Nieto (1994) sob orientação da Profª. Drª.
Maria Martha Hubner Pinto visa analisar as possibilidades de se antecipar o
ensino dos números inteiros negativos para a quarta série do primeiro grau.
34
Nieto (1994) entende que, um quadro onde as crianças dos baixos
estratos sócio-econômicos têm necessariamente, que começar sua vida
profissional cedo, encaixando-se na economia informal. Com 10 - 11 anos, que
o ensino de tal matéria – Matemática - é de substancial importância, pois as
habilita do convívio diário. Com números e as operações que os envolvem.
“O abandono da matemática traz dano a todo conhecimento, pois aquele que ignora não pode conhecer as outras ciências ou as coisas deste mundo” (Bacon, séc. XIII citado por Nieto, 1994).
O objetivo de Nieto (1994) é verificar se alunos de séries anteriores à
sexta série do 1º Grau, já se encontram capacitados para assimilar os
conceitos referentes aos números inteiros, uma vez que estes conceitos já se
apresentam com freqüência no cotidiano dos alunos. É o caso, por exemplo,
nas colunas esportivas, em que os pontos dos clubes aparecem representados
por meio de números inteiros negativos, ou também nas marcações de
temperatura, que envolvem números abaixo de zero.
Nieto (1994) busca apoiar-se na “Matemática informal”, aprendida pela
criança fora do processo educacional e estudada por Schliemann (1991), que
separa seus testes em: Teste Formal e Teste Informal. No Teste Formal, o
examinador oferecia lápis e papel e pedia que seu sujeito resolvesse as contas
no papel. No Teste Informal, o sujeito era analisado através de questões orais
na própria barraca ou carrinho no qual ele trabalhava.
Como resultado Schliemann (1991) obteve que no teste informal 98,2%
dos problemas foram resolvidos corretamente enquanto que no teste formal,
nas operações aritméticas, somente 36,8% foram resolvidas e para os
problemas 73,7% foram resolvidos.
35
Na pesquisa de Schliemann (1991) é muito importante verificar o
desempenho das crianças no teste informal, em contrapartida à idéia do que é
feita na escola, onde primeiro se ensinam às crianças operações aritméticas
isoladas de qualquer contexto. Isso mostra que os professores não conhecem
adequadamente sua clientela. Colecionam-se afirmações preconceituosas
sobre o que ela não sabe o que não conhece e deixa de aproveitar o que ela
sabe, o que ela conhece, fazendo com que a criança deixe na porta da escola
suas experiências, suas habilidades.
Nieto (1994) observa que se for feita uma comparação entre crianças da
periferia das grandes cidades e as crianças da classe média, verificar- se- á
que as crianças da periferia são mais independentes, pois aprendem sozinhas
muito mais cedo. Porém, no momento que elas entram para a escola essas
diferenças se revertem, fazendo com que elas passem a agir passivamente.
Essa atitude, só vem reforçar o conceito de o quanto a escola está afastada
dessa clientela e quanto a escola está afastada da comunidade.
Diante desse quadro Nieto (1994) argumenta que cresce continuamente
a preocupação em saber exatamente em que série deveria estar incluída a
apresentação dos números inteiros, deixando de lado, a oportunidade de
antecipar esse estudo, que poderá proporcionar um melhor aproveitamento da
criatividade, da potencialidade e do pensar abstrato presente nas crianças,
trazendo-as à elaboração do pensamento lógico e, conseqüentemente, do
entendimento da teoria. Em outras, palavras seria preciso motivá-los a atingir o
raciocínio necessário à compreensão das operações matemáticas.
Para ajudar a entender essas questões, Nieto (1994) encontra em toda
obra de Piaget uma metodologia que apresentava sugestões de uma relação
36
de semelhança entre a estrutura lógica da mente e as estruturas lógicas da
Matemática. Para essa associação Piaget refere-se ao trabalho do grupo de
matemáticos Bourbaki, que desenvolveu três estruturas básicas da
Matemática, que não eram redutíveis e que, independentemente ou em
combinação, podem originar todas as outras estruturas Matemáticas. São elas:
estrutura algébrica, estrutura de ordem e estrutura topológica.
A associação feita por Piaget (Wadsworth, 1987, p.72) foi a seguinte: no
pensamento da criança de seis ou sete anos de idade encontram-se estruturas
que se assemelham a cada uma das estruturas Matemáticas, apesar de
parecerem altamente abstratas.
Podemos aqui citar como exemplo a “noção de número”. O número
depende das estruturas algébricas e de ordem. Isoladamente, estas estruturas
não satisfazem à noção de número.
Para Piaget (1975, p.44) antes de as crianças conseguirem
compreender a representação dos conceitos matemáticos elas precisam
compreender as operações em si, isto é, antes de conseguirem lidar
significativamente com os números, precisam compreender o que os números
significam.
“O conceito de número inteiro (aqui entende-se inteiro como o número natural sem o zero) é o mais antigo na Matemática e sua origem se perde em névoas da antigüidade pré-histórica (Boyes,1974, p.04).
Nesse contexto insere-se a presente pesquisa tendo como objetivo
verificar se os alunos do nível anterior, como por exemplo, alunos de quarta
série do primeiro grau, já se encontram habilitados a aprender conceitos
referentes aos números negativos.
37
A hipótese levantada por Nieto (1994) é a de que o ensino dos números
negativos está incluído muito tardiamente, pois alunos na faixa etária de 10 e
11 anos que cursam a quarta - série, com freqüência já tem números negativos
permeando a sua vida cotidiana. Norteando-se através da pergunta; “Estarão
às crianças de quarta série aptas a conhecerem o conjunto dos números
inteiros?”, surgiu o Estudo 1, onde elaboram-se questões e testes para os
alunos de três escolas, diferentes nos níveis sócio- econômico- cultural de seus
pais. Os dados coletados nesses três tipos de escolas, em que o primeiro tipo
denominado de grupo A é representado por alunos de escola particular. Na
escola A, há turmas de primeira à quarta série num total de dezesseis salas de
aula com capacidade para aproximadamente 700 alunos de classe social
média alta. Com 70% de pais com nível universitário completo, 20% com
segundo grau completo, e os outros 10% com segundo grau incompleto e
primeiro grau completo ou incompleto.
O segundo tipo de escola, denominada doravante de grupo “B”, é
representado por alunos da escola Publica Estadual de 1º e 2º Graus. No
prédio há quinze salas de aulas para aproximadamente 600 crianças de
primeira à quarta série. A clientela da escola “B” pertence a uma classe social
média, onde verifica-se que 5% tem nível universitário, 20% segundo grau
completo,10% grau incompleto, 30% segundo grau incompleto,15% primeiro
grau incompleto e 20% sem instrução.
O terceiro tipo de escola, denominado de grupo “C” é uma Escola
Publica de primeiro grau com doze salas de aula e com aproximadamente 1000
alunos de primeira à quarta série. A clientela dessa escola “C” pertence à uma
classe social média baixa. Pode-se verificar que cerca de 2% dos pais tem
38
nível universitário, 10% segundo grau completo e 10% segundo grau
incompleto e demais 78% dividiam-se entre primeiro grau completo ou
incompleto e os sem instrução.
A faixa etária dos grupos A, B, C compreende em sua maioria crianças
entre 10 e 12 anos.
Os Materiais foram aplicados, num total de 116 questionários aos alunos
dos grupos A, B, C, que cursavam a quarta série do primeiro grau sendo
distribuído da seguinte forma: 22 questionários para os alunos que
representavam o grupo A, 57 questionários para os representantes do grupo B
e 37 questionários para o grupo C.
Cada questionário esta composto por 9 questões manuscritas e
mimeografadas, tais como as questões: “ O que é um número?”;“Qual é o
menor número que você conhece?”; “ É possível ter no banco menos que
zero?”
Um exemplo de problema é o seguinte:
“Você tem 30 bolinhas, tira 10 e fica com _20_ bolinhas em seguida, tira 10 e
fica com _10_bolinhas novamente tira 10 e ficam com_0_ bolinhas e mais uma
vez tira 10 e fica com_-10_bolinhas”.
30 - _10_ = _20_
_20_ - _10_ = _10_
_10_ - _10_ = _0_
_0_ - _10_ = _-10_
Sobre os procedimentos de pesquisa, Nieto (1994) apresentava-se ao
diretor de cada uma das escolas explicando seu trabalho e objetivo. Depois
então marcava-se o teste. No dia marcado, com a presença da professora de
sala, os questionários eram distribuídos pela pesquisadora. Não havia
39
instrução quanto ao seu preenchimento, exceto quando havia dúvidas quanto à
escrita.
Os professores ficavam na sala, no inicio da aplicação dos
questionários, mas saíam de vez em quando. A aplicação do questionário,
desde a entrega para os alunos até o seu recolhimento, durou em média de 15
a 30 minutos.
Conclusão: Tendo em vista os dados coletados, as crianças
entrevistadas demonstram já possuir conhecimentos sobre os números
negativos. A maioria das crianças conceitua um número como quantidade.
Explicam através de exemplos como o zero é o menor número que conhecem.
Em duas escolas A e B, há crianças que acham possível ter-se menos do que
nada no banco. Utilizam símbolos adequados para representar “perdas” e
“ganhos” e têm conhecimento da noção de aposto.
Portanto, as crianças investigadas podem aprender números negativos e
isto vai ao encontro da afirmação de Piaget:
“Eles (os estágios) não correspondem, por sua vez, as idades absolutas observando-se, pelo contrário, as acelerações ou retardamentos segundo os diversos meios sócios e a experiências adquiridas” (Piaget, 1982, p.45).
A idade das crianças de 10 a 12 anos se encontra segundo Piaget
(1982), no estágio das operações concretas e provavelmente iniciando o
estágio das operações formais. Como o conjunto dos números inteiros
representados por Z é um grupo comutativo com relação à adição, isto
possibilita sua aprendizagem por compreensão, e não por memorização
apenas, pois elas teriam condições de compreender o conjunto dos Z como
uma ampliação de N (Conjunto dos números naturais), obtida pelo acréscimo
dos números negativos.
40
Segundo Piaget (1982), no estágio em que essas crianças se
encontram, o das operações concretas, é importante salientar que o ponto de
partida é um sistema real de objetos e relações que a criança percebe.
Sendo assim, Nieto (1994) propôs uma sugestão sobre como
desenvolver o conjunto dos números inteiros para a quarta série, fazendo com
que as crianças percebessem suas aplicações na vida pratica, assimilando
também a ação e o pensamento que levaram o homem a construir o conjunto
dos números negativos.
O que acontece atualmente, segundo Nieto (1994) é que as crianças
vêem esse conjunto somente na sexta série do primeiro grau, depois de
trabalharem praticamente cinco anos no conjunto dos números naturais. Nesta
fase, o assunto dos números inteiros surge sem ter sido elaborada alguma
estratégia preparatória para sua aprendizagem. Os conceitos, as simbologias
utilizadas são oferecidas sem nenhuma certeza de que se possa garantir a
compreensão operatória.
Nieto (1994) acredita que a ausência de construção de um sistema,
como por exemplo, os dos números inteiros é que acarreta os problemas
encontrados na série em que o estudo está sendo comumente ensinado. Por
outro lado, como foi visto na presente pesquisa, as crianças já podem estudar
esse assunto antes.
“Enquanto que a introdução do estudo dos números negativos é deixada para 6º série, as suas propriedades básicas e operações desenvolvem-se de maneira instrutiva, no nível elementar (1º a 4º série)”. (D’ Augustine 1976, p.261).
Além disso, a formalização desse ensino, a dos números negativos,
segundo Nieto (1994) acontece muito depois de a criança já ter deparado-se
com o uso deles. Como, por exemplo, nas manchetes de televisão em que um
41
repórter diz que o frio atinge 9 graus abaixo de zero ou, ainda, em sua própria
casa, onde escuta comentários sobre negócios alegando-se prejuízo. Nos itens
que envolvem a comparação de números positivos (+) e números negativos (-),
as maiores dificuldades encontram-se nas comparações entre números
negativos.
Resta uma dúvida ou questionamento, segundo Nieto (1994) que essa
dificuldade na aprendizagem pode ser oriunda da forma de ensinar ou do
momento mais precoce? Refletindo sobre esses aspectos, Nieto (1994) pensou
em uma reaplicação do questionário, só que precedido de aula sobre o
assunto.
Mas uma aula que levasse as crianças a pensar, a usar a imaginação e
não, simplesmente manipular “regrinhas” decorativas. Esta replicação,
precedida de uma aula sobre números inteiros, foi chamada de Estudo 2.
Os sujeitos são alunos da escola B, escolhidos para refazerem os
questionários anteriormente aplicados, após uma aula sobre números inteiros.
Optou-se por conduzir o Estudo 2 com a escola B pelo fato de tratar-se
de uma escola com nível médio em relação às outras duas. Após cinco meses
da primeira aplicação, houve a necessidade de se trabalhar com um grupo de
controle e um grupo experimental. A primeira aplicação dos questionários da
escola B foi com 57 alunos pertencentes as quatro 5ª séries.
O material utilizado é o mesmo isto é, os questionários da primeira
aplicação do Estudo 1.
Como conclusão, vê-se pelos dados apresentados, que a idade das
crianças não oferece nenhuma dificuldade para a aquisição dos conceitos dos
números inteiros e que a aula dada foi suficiente para tal.
42
Segundo Nieto (1994) conclui-se que, na educação o currículo necessita
de uma revisão de suas práticas em sala de aula, requerendo uma nova visão,
exigindo novos métodos que se adaptem aos novos problemas. Uma mudança
curricular implica logicamente numa proposta pedagógica, mas não é só na
educação que ela se reflete, mas no social, na política, no cultural etc. Vale
citar, dentre de várias contribuições de Rosseau, a insistência em que se
conheça a criança e conhecendo seus estágios qualitativamente. (Rosseau
abud Adler, 1968).
“O momento propício é feito pela criança”
Vê-se assim a importância do professor, pois não basta saber que o
aluno é capaz, mas é preciso avaliar também se o professor está de acordo e
preparado para efetuar a mudança.
Pensando neste fato, Nieto (1994) realizou um estudo com professores,
chamado de Estudo 3. Os Sujeito, são professores das escolas A, B, e C com
nível sócio econômico médio e médio alto. Dos três grupos das escolas, 11
professores responderam aos questionários, sendo três da escola A, quatro da
escola B e quatro da escola C, escolhidos aleatoriamente. Foram apresentados
questionários com seis questões. A conclusão é que nas respostas dadas
pelos professores, pode-se verificar semelhanças nas respostas no conjunto
geral, mas constatou-se “superioridade” nas condições dos professores da
escola A. Nas escolas B e C a maioria, possuía o curso de magistério completo
e poucos com licenciatura. Em nenhuma das três escolas os professores
possuíam “Licenciatura Matemática”.
A pesquisa de Nieto (1994) mostra que as crianças já conhecem o
número negativo na linguagem do dia-a-dia, já aplicam e aprendem quando
43
ensinadas. Discutiu-se, então, se os educadores, os PCN’(s) e o Livro Didático
possam estar negligenciando esses conhecimentos, pois as crianças são
portadoras de uma grande quantidade de informações quando chegam à
quarta-série e o nosso currículo não está contemplando.
O trabalho de Nieto é muito significativo à nossa própria pesquisa, pois
propõe a mesma idealização de trabalho que é o de antecipar o ensino dos
números inteiros negativos para séries iniciais, buscando compreender as
dificuldades das crianças com os números inteiros negativos e as respectivas
deficiências da prática docente.
2.3.2 - O ESTUDO DE ALCIONY REGINA HERDÉRICO SOUZA SILVA
A pesquisa desenvolvida por Alciony (2005), sob orientação da Profª.
Drª. Neuza Bertoni Pinto, visa compreender como os erros com números
racionais são concebidos pelos professores e alunos no processo de ensino e
aprendizagem do Ensino Fundamental.
O estudo investiga no contexto matemático, as práticas docentes
utilizadas para o tratamento dos erros produzidos pelos alunos numa escola
pública do Município de Araucária/PR.
Os sujeitos da pesquisa são 2 professores que ministram aulas de
Matemática nas 5as, 6as e 7as séries e 17 alunos das referidas séries.
A Metodologia constituiu de uma prova contendo questões relativas aos
conteúdos dos números racionais indicados na proposta curricular oficial para
os professores avaliarem os erros detectados. Após foram fornecidos os
indicadores da qualidade, da origem e das formas de superação dos mesmos.
Mostrando uma forte tendência para origem dos erros na precariedade da
Matemática ensinada nas séries iniciais.
44
A pesquisa apresenta entrevistas semi-estruturadas com todos os
sujeitos envolvidos com o objetivo de levantar dificuldades e formas de
conceber e lidar com erros. O estudo aponta a vigência de formas tradicionais
de tratamento de erros como a principal dificuldade dos docentes em ensinar
os números racionais de forma contextualizada, aliadas às dificuldades dos
alunos no processo de aprendizagem em relação a parte-todo, as dificuldades
conceituais e de operacionalização desse conjunto de números.
Os resultados revelam um discurso docente construtivista e uma prática
conservadora e descontextualizada de tratamento de erros com implicações na
auto-estima dos alunos que consideram o erro uma incapacidade pessoal em
aprender Matemática. Tais evidências remetem à complexidade de formação
docente e à cultura conservadora impregnada no ambiente escolar em relação
ao erro por desconsiderar sua potencialidade didática.
Assim a questão que Alciony (2005) coloca prioritária para o presente estudo:
“Como os erros são percebidos pelos professores e pelos alunos no processo de ensino e aprendizagem dos números racionais no Ensino Fundamental”?
A investigação é focada na concepção que tem o professor de
Matemática do Ensino Fundamental em relação aos erros cometidos pelos
alunos nas operações com os números racionais.
Além desse objetivo geral, Alciony (2005) destaca também alguns
objetivos específicos em seu trabalho, como os erros praticados pelos alunos
na aprendizagem dos números racionais, identificando as principais
dificuldades dos alunos em relação aos números racionais.
45
Para entender o homem e o conhecimento a ciência modernas em sua
trajetória de evolução, bem como os reflexos desta evolução percebidos pelas
sociedades cada vez mais desiguais, com um capitalismo que exalta a crença
do progresso material ilimitado, os seres humanos são desrespeitados, entre
outros. Assim, Alciony (2005) busca explicação em Santos (2000, p.117).
“a sociedade moderna, outrora vista como solução para todos os problemas das sociedades modernas, acabou por se tornar ela própria, num problema”.
Em Bronowski (1977, p.85), explica que foi por volta de 1660 que a
Europa pôs fim ao longo pesadelo das guerras religiosas que o homem passou
a estabelecer uma vida mais voltada à exploração comercial e industrial.
Também encontramos em Behrens (2000, p.17), no final do século XIX e início
do século XX, as sociedades são influenciadas pelo método cartesiano, que
separa mente e matéria e propõe a divisão do conhecimento em campos
especializados.
Este pensamento leva a comunidade científica a uma mentalidade
reducionista, marcada pela visão fragmentada de mundo em que o
individualismo acentuado, a racionalidade e a objetividade são considerados
como pontos fundamentais da ciência. Mas todo este desejo de ordenação
acaba por resultar na separação entre sujeito e objeto de conhecimento.
Conforme Morais (1988, p.88):
“Sujeito e objeto precisam, de alguma forma, comungar entre si para que aconteça o conhecimento. Um deles não pode excluir totalmente o outro”.
46
Dentro deste contexto, Alciony (2005) mostra que o homem acaba por
ficar perdido num emaranhado de informações, sem saber qual deveria ser o
caminho para uma vida melhor e, conseqüentemente, para sua felicidade.
Sendo assim, todo o conhecimento acumulado é valido, mas é
necessário saber diferenciar o conhecimento que melhor se ajusta às
necessidades das pessoas que convivem nas sociedades, que está
intimamente ligado a aprendizagem. Para Bronowski (1977, p.95 -96):
“O processo de aprendizagem é essencial a nossa vida. Todos os animais superiores o procuram deliberadamente. São inquiridores e experimentam. Uma experiência é uma espécie de inofensiva tentativa e realizar qualquer ação que teremos de fazer no mundo real; e isso quer seja feita no laboratório, por cientistas, ou fora dele”.
Segundo Morais (1988, p.89):
“Se não houver um decidido policiamento das nossas idéias pré-concebidas, conduziremos nossas observações premeditadamete e acabaremos por falsear a realidade que nos apresenta”.
Segundo Alciony (2005) a educação enfrenta uma grande crise, em
especial a disciplina de Matemática pelo papel seletivo e excludente que tem
exercido no processo educacional, tendo em vista a reconstrução de uma nova
história no processo no processo de ensino aprendizagem desta ciência. Em
Polettini (1999, p.255):
“O professor de Matemática ainda tem uma visão dualista da Matemática, caracterizada pelo certo e errado, e esta visão implica na dificuldade do docente em organizar ações em sala de aula de outro tipo de abordagem da Matemática”.
A pesquisa de Alciony (2005) busca dados que evidenciassem as idéias
de professores de Matemática e alunos das séries finais do Ensino
47
Fundamental sobre os erros no processo ensino e aprendizagem dos números
racionais.
Os alunos, em uma análise geral, atribuem os seus erros a uma falta de
capacidade de realizar aquilo que foi transmitido pelo professor. Quando eles
não conseguem perceber seus erros, demonstram um certo desconforto com a
situação. A maioria dos alunos envolvidos na pesquisa tinha de saber onde
errou e como poderiam realizar o mesmo problema da maneira correta.
Em relação às entrevistas, constatou-se que os professores possuem
uma visão basicamente tradicional do processo de ensino e aprendizagem,
apesar de conhecerem outras propostas pedagógicas. Ainda em relação às
entrevistas, Alciony (2005) constata que os professores não aceitam
interpretações diferentes das suas respostas fornecidas pelos alunos. Este fato
causou preocupação, pois os docentes continuam motivando seus alunos para
submissão das regras impostas, prejudicando o desenvolvimento da
aprendizagem independente.
Os erros sinalizam claramente as dificuldades que os alunos possuem
em relação aos números racionais. Todavia o professor, a partir destes erros,
pode refletir e investigar uma maneira diferente de trabalhar o conteúdo que
ficou incompleto para que ocorra aprendizagem.
Os professores atribuem os erros dos alunos, com relação aos números
racionais, às séries anteriores. Mas este fato acaba revelando a inexistência de
diálogo e reflexão entre os pares, ou seja, a culpa recaia sobre as séries
iniciais, alegando que as professoras não possuem formação matemática
específica.
48
Neste sentido, a formação de professores parece ser muito frágil no que
tange ao trabalho pedagógico com relação aos erros dos alunos.
A pesquisa de Alciony (2005) mostra que a escola deve perder a rigidez
e a disciplina impostas, para então ganhar naturalidade e criatividade, já que as
normas disciplinares nascem do consenso do grupo. O horário e o tempo de
aprendizagem ficam condicionados à construção do saber e não ao tempo pré-
estabelecido por um papel.
Que as concepções de erros dos professores participantes não trazem
avanços em relação às propostas reflexivas e interacionistas de trabalho com
erro, especialmente com erros de números racionais. Isto também decorre das
limitações observadas em relação à compreensão dos atributos principais os
conceitos dos números racionais.
2.3.3 - O ESTUDO DE LUÍS AUGUSTO SBARDELLINI
A pesquisa desenvolvida por Sbardellini (2005), orientada pela Prof. Dr.
Marcelo Esteban Coniglio, visa apresentar um resumo histórico sobre o
desenvolvimento conceitual da concepção do continuum matemático, a qual se
traduz, em larga medida, na noção de números reais. Mostrando a asserção de
que idéias de magnitudes variam continuamente.
O estudo investiga matematicamente, que uma estrutura (parcialmente)
ordenada só merece qualificação “de números reais” se ela é de fato
homogênea. A parte da pesquisa que nos interessou foi a introdução do objeto
números naturais viabiliza a definição de sistemas numéricos tais como os
inteiros, os racionais e, conforme o método aplicado, diferentes (isto é, não
isomorfas) estruturas reais.
49
Os principais resultados deste trabalho foram a demonstração da
homogeneidade das estruturas ordenadas dos racionais, dos reais de
Dedekind e dos números reais de Cauchy. Mostrando que a estrutura dos
racionais é, num certo sentido, a menor dessas estruturas.
A maneira usual de definir o objeto dos números inteiros Z naturalizado
E2 consiste em tomar a união disjunta de N com a sua imagem por s. Assim:
Z : = N + s( N ).
2.3.4 - O ESTUDO DE REGINA FLEMMING DAMM
A tese de doutorado Damm (1992), orientada pela Profº Drº Gerard
Vergnaud, trata dos nos problemas de adição à representação bi-dimensional e
a sua compreensão de texto visualizando a congruência ou não congruência
como instrumento de aprendizagem classificando os problemas de adição em
conceituais, semânticos ou textuais com grupos de alunos de (6-9anos) e (9-12
anos) da França e do Brasil.
Apresenta a classificação dos problemas aditivos em critérios
conceituais como:
• Composição de 2 elementos de N;
• Operação de uma transformação;
• Relação estática entre 2 elementos;
• Composição e 2 transformações;
• Transformação entre duas relações estáticas;
• Composição de relações.
2 E são topos onde são introduzidos o objeto dos números naturais para definição de sistemas numéricos
50
Foram aplicados 8 questões no pré e pós-teste com o tipo de
problema acumulativo ( multiplicação e adição) e comparação ( multiplicação,
adição e subtração).
Damm (1992), conclui que o importante é notar que temos diferentes
formas de resolução de problemas de adição e que a escola primária insiste
em resolver estes problemas sempre com certas resoluções padrões.
Vergnaud propõe uma classificação de problemas que não atenda somente às
características semânticas dos problemas, mas que atenda também às
relações entre as concepções e os enunciados dos problemas.
Outra parte importante do trabalho é a representação, compreensão e
resolução dos problemas aditivos, através dos registros de representação dos
problemas aditivos, onde são trabalhados a congruência e a não congruência e
a representação da bi-dimensionalidade do problema.
Essa autora considera a idéia do uso de representações no ensino da
Matemática, com base na teoria de Raymond Duval, para a organização de
situações de aprendizagem.
Segundo Regina Damm (2000):
“Em Matemática toda a comunicação se estabelece com base em representações, os objetos a serem estudados são conceitos, propriedades, estruturas, relações que podem expressar diferentes situações, portanto para o seu ensino precisamos levar em consideração as diferentes formas de representação de um mesmo objeto matemático. Um dos primeiros passos a ser dado é a compreensão do que seriam estas representações essenciais ao funcionamento do conhecimento e ao desenvolvimento dos conhecimentos” (ibid, p. 135).
A pesquisadora sintetiza que podemos dizer que uma escrita, um
símbolo ou uma notação representam objetos matemáticos. O que foi
51
observado, de uma forma geral, foi a confusão entre a representação do objeto
matemático com o próprio objeto matemático. Para a compreensão da
Matemática é de fundamental importância a distinção existente entre objeto
matemático tratado e a sua representação.
O que foi constatado em diversas pesquisas em Educação Matemática,
segundo a pesquisadora, é a dificuldade que o aluno encontra em passar de
uma representação para a outra:
“Ele consegue fazer tratamentos em diferentes registros de representação de um mesmo objeto matemático, porem é incapaz de fazer as conversões necessárias para a apreensão deste objeto. Esta apreensão é significativa a partir do momento em que o aluno consegue realizar tratamentos em diferentes registros de representação e “passar” de um a outro o mais naturalmente possível” (Damm 2000, p.136).
A apreensão é importante quando o aluno consegue colocar em prática
naturalmente os diferentes registros significando a aprendizagem do conteúdo.
Por outro lado, a pesquisadora observa uma vertente que a Matemática
trabalha com objetos abstratos, ou seja, estes objetos não são diretamente
acessíveis à percepção, necessitando para sua apreensão o uso de uma
representação. Neste caso as representações através de símbolos, signos,
códigos, tabelas, gráficos, algoritmos, desenhos foram bastante significativas,
pois permitem a comunicação entre os sujeitos e as atividades cognitivas do
pensamento, compreendendo registros de representação diferentes de um
mesmo objeto matemático.
Esta linha de investigação apresenta algumas dificuldades em relação
ao fazer pedagógico. Assim, Damm apoia-se na fundamentação teórica das
idéias de Raymond Duval (1993), com três aproximações sobre a noção de
representação:
52
As representações como representação subjetiva e mental: Pode-se
dizer que estão na mesma perspectiva das concepções prévias.
As representações internas ou computacionais: São representações
internas e não conscientes do sujeito.
As representações semióticas: A noção de representação semiótica
surgi com um problema de modelização da linguagem.
Com isto, Damm (2000) conclui que:
As representações semióticas, as representações computacionais e as representações mentais não são espécies diferentes de representações, mas sim representações que realizam funções diferentes. As representações mentais têm uma função de objetivação. As representações computacionais realizam uma função de tratamento.
As representações semióticas realizam, de maneira indissociável, uma função de objetivação e uma função de expressão. Elas realizam de alguma forma uma função de tratamento, porém este tratamento é intencional, uma função fundamental para a aprendizagem humana. Podemos citar como exemplo as representações gráficas, que são representações semióticas, como o são as figuras geométricas, a escrita algébrica, as línguas. Isto significa dizer que o representante visível (que no caso das representações gráficas são os traços retos ou curvos traçados sobre o plano) tem lei de organização própria que permite a representação de outras coisas (funções ou outros objetos matemáticos).Convém aqui lembrar que as representações semióticas têm dois aspectos, sua forma (ou o representante) e seu conteúdo (o representado) (p.141).
Este trabalho de Damm (2000) é muito significativo para o nosso próprio
estudo porque descreve a forma como se processa a aquisição do
conhecimento em conjunto com representações, organizando assim as
situações de aprendizagem.
Em Matemática toda a comunicação se estabelece com base em
representações levando em consideração as diferentes formas de representar
um mesmo objeto matemático, mostrando que é durante a passagem de um
53
registro de representação a outro que podemos observar a importância da
forma de representação.
2.3.5 - O ESTUDO DE ANA PAULA JAHN
A pesquisa desenvolvida por Jahn (1994), orientada pela Profª Drª Tânia
Maria Mendonça Campos, visa apresentar a construção e estudo do
funcionamento do processo de ensino de operações no conjunto dos números
inteiros, identificando os obstáculos que se opuseram à compreensão dos
números inteiros.
O estudo investiga no contexto do ensino aprendizagem da Matemática,
e mostra que as dificuldades encontradas no decorrer da história quanto à
compreensão dos números relativos, repetem-se em sala de aula quando da
introdução desses números na sexta série do Ensino Fundamental,
prejudicando sensivelmente o trabalho algébrico.
A pesquisa de Jahn (1994) foi realizada com uma classe de 16 alunos
da 5ª. série (faixa etária de 11 anos) de uma escola particular de classe média
alta de São Paulo, em Junho de 1994. Foram ministradas 7 sessões de uma
hora cada, com observação de 2 professores da área de Matemática da
graduação.
Essas sessões foram realizadas no horário normal, especificamente nas
aulas de Matemática cedidas pelo professor da turma. Os alunos trabalharam
em dupla, sendo duas delas fixas e escolhidas aleatoriamente para serem
observadas no decorrer das sessões.
54
Foi escolhida uma situação simulando um processo do computador,
utilizando materiais como fichas, áudio-gravador em duplas e testes de
conhecimento.
Utiliza a Engenharia Didática como metodologia de pesquisa. Com isto,
a seqüência didática proporciona aos alunos condições para a construção dos
seus próprios algoritmos, dando sentido aos números negativos.
Jahn (1994) toma a Engenharia Didática enquanto metodologia de
pesquisa apoiada nas idéias de Bell(1986) , Murray(1985) e Nunes(1991):
“O trabalho com números inteiros por sua vez, tem sido identificado por vários pesquisadores (Bell, 1986; Murray, 1985; Nunes, 1991) como uma questão que apresenta sérias dificuldades no ensino-aprendizagem da Matemática. Dentre os problemas encontrados, percebe-se que as crianças muitas vezes estendem as regras das operações multiplicativas (as chamadas regras de sinais) para as operações aditivas.” (Jahn 1994, p.12).
A pesquisadora considera o problema da descontextualizarão, apoiada
nas idéias de Campos (1993), e mostra que introduzindo estes números de
forma contextualizada dá, num primeiro momento, a ilusão de que o conceito
foi adquirido, mas quando do trabalho com operações formais, a
descontextualizarão não ocorre. Nesta mesma linha, Jahn (1994) apresenta
uma dificuldade apontada por Campos (1993) onde os alunos acertam no
modelo de temperatura, mas erram na comparação dos mesmos números
quando apresentados formalmente. O erro está no fato de que consideram
maior aquele que tem maior valor absoluto. Além disso, aponta também o
problema do conhecimento espontâneo e busca maiores esclarecimentos nos
desenvolvimentos dos conceitos espontâneos e científicos vindos da
fundamentação teórica de Vygotsky (1987):
55
”O problema acima diz respeito a passagem do conhecimento espontâneo, aquele que o aluno adquire a partir de suas experiências no cotidiano e que é trazido para a sala de aula, para o conhecimento formal, aquele que é aprendido na escola e que forma o saber científico.”(Jahn, 1994, p.13)
Com isto, Jahn (1994) argumenta que a introdução dos números inteiros
negativos a partir de um sistema de representação condizente com o processo
mental ou cognitivo desenvolvido numa situação para o aluno foi condição
essencial para aprendizagem dos números inteiros, principalmente no que se
refere às operações.
No caso específico dos números inteiros, a didática não pode ignorar o
caráter teórico desta noção matemática. Enquanto os números naturais podem
ser representados por objetos ou modelos empíricos, os números negativos
não existem, no mesmo sentido, na vida cotidiana. Assim, é preciso, no
processo de aprendizagem escolar, supor a passagem das grandezas (noções
concretas) aos números (noção abstrata) com a ajuda da fundamentação
teórica das idéias de Schubring (1986):
Na introdução do conceito de número negativo, (Schubring, 1986) este pode ser justificado por entes ou situações que estão de acordo com o mundo físico (por exemplo: pelo modelo de temperatura). Na continuidade desse estudo, em determinados momentos, alguns aspectos são justificados pela coerência do campo conceitual, ou seja, satisfazendo apenas condições internas da Matemática.
Gallardo e Rojano (1988):
Nas investigações sobre os fenômenos de transição do pensamento aritmético, Gallardo e Rojano (1988) afirmam que, para se chegar ao conhecimento algébrico é necessário romper com conceitos e hábitos do aritmético. (Jahn,1994, p.19 e 20).
Observamos, na vertente da pesquisadora, que é possível perceber a
dificuldade dos matemáticos em se desprenderem do caráter concreto atribuído
56
aos entes números existentes, dando aos negativos uma outra natureza. A
pesquisadora conclui:
“ Se os próprios matemáticos que contribuíram para a criação e desenvolvimento da teoria tiveram certas dificuldades para compreender claramente os conceitos, acreditamos que o mesmo poderá ocorrer com os alunos e professores. E somente uma análise epistemológica fornecerá subsídios para se estudar as condições pedagógicas de superação desses obstáculos, resultando num projeto didático que efetivamente os considere e não venha reforçar as concepções errôneas dos alunos.”(Jahn, 1994, p.42).
Esse trabalho de Jahn (1994) é significativo porque descreve alguns dos
obstáculos que se opuseram à aquisição da noção de números negativos
colocando-os em evidência, analisando os seus efeitos e buscando formas de
superá-los. Jahn (1994) evidencia que os números naturais podem ser
representados por objetos ou modelos empíricos, os números negativos não
existem, no mesmo sentido, na vida cotidiana. Onde é preciso no processo
escolar, supor a passagem das grandezas (noções concretas) aos números
(noção abstrata), trazendo muita similaridade com o nosso estudo.
Outro aspecto muito interessante relatado por Jahn (1994) é a
dificuldade de homogenização dos números inteiros positivos e negativos em
uma única entidade a reta numérica. Dificuldades que os alunos tiveram na
construção de uma reta com os números inteiros positivos e negativos.
Tendo exposto os principais pontos dos estudos de Damm, sobre os
registros de representação bem como os estudos de Jahn sobre a introdução
do conceito e das operações aditivas dos números, apresentaremos, a seguir a
importância dos números inteiros negativos na escola, segundo os Parâmetros
Curriculares Nacionais.
57
2.4 O ESTUDO DE PASSONI
O estudo de Passoni, uma dissertação de mestrado (2002), tem por
objetivo estudar a possibilidade e conveniência de ensinar a estudantes de
nove anos de idade o conceito de números inteiros, bem como introduzir
noções de (pré) Álgebra.
Passoni (2002) concluiu que os resultados progressivos alcançados
podem ser apresentados na questão onde foi trabalhada a reta numérica que
apresentou um índice de acerto médio de 8,25% no pré-teste e após a
seqüência de atividades desenvolvidas com o aporte teórico de Duval, tivemos
no pós-teste um resultado final de 100%. Mostrando que o respeito ao ritmo
individual de aprendizagem dos alunos e a forma estruturada da seqüência de
atividades trouxe este resultado significativo.
Estudo esse que teve por suporte teórico as idéias de Raymond Duval.
Passoni (2002), ao interpretar as idéias de Raymond Duval, explicita que:
É essencial para a aprendizagem da Matemática o reconhecimento de conversões não-congruentes e a coordenação desses registros. O entendimento conceitual só se realiza em Matemática quando tal consideração é atingida. Somente assim os objetos matemáticos não são confundidos com o conteúdo de cada representação. (Passoni, 2002, p.11).
O estudo, de caráter intervencionista, foi aplicado com todos os alunos
de uma das 3a séries de uma escola particular da cidade de São Paulo, cuja
média de idade foi de 8 anos e 9 meses. O tempo para a realização do estudo
foi de cinco meses, e dividido em duas etapas: a etapa correspondente à
aplicação de testes – pré e pós-teste – e a etapa que compreendeu a aplicação
de uma seqüência de ensino. Esta última etapa, sobre a seqüência de ensino,
foi desenvolvida em 3 meses, com uma duração total de aproximadamente 32
58
horas, tendo sido inteiramente desenvolvida pela professora da classe e com
supervisão presencial do pesquisador.
A seqüência é composta de 16 conjuntos de atividades, divididas em
cinco partes. A primeira é dedicada à introdução dos números inteiros (3
conjuntos de atividades), a segunda abordou a introdução da idéia de oposto (4
conjuntos de atividades), a terceira tem a finalidade de introduzir a adição com
inteiros (5 conjuntos de atividades), a quarta foca a introdução de equações e
de alguns problemas aditivos (3 conjuntos de atividades) e a quinta, e última
parte, é dirigida para a introdução da subtração com os números inteiros (1
conjunto de atividade).
O quadro abaixo consta na da dissertação de Passoni (2002) que aqui
reproduzimos e descreve, sumariamente, as cinco partes da seqüência de
ensino, acompanhadas dos conjuntos de atividades referentes a cada parte.
Mostrando que nossa pesquisa não vai na contramão à teoria de Piaget
(1982) em relação à faixa etária como foi colocado na página (18), 3 parágrafo
capítulo 2.
A pesquisa mostra resultados progressivos no desenvolvimento dos
alunos, trazendo que os fatores para o tal sucesso é pelo respeito ao ritmo
individual de aprendizagem dos alunos e a forma estruturada da seqüência de
atividades desenvolvidas.
59
Quadro 2.53: Sinopse dos 16 conjuntos de atividades desenvolvidos por Passoni (2002, p.25)
O estudo de Passoni conclui que:
3 e.g. exemplos gerais.
60
“Pelos resultados progressivos, no desenvolvimento da seqüência, e pelos resultados do pós-teste, acreditamos ter mostrado, efetivamente, como nossa possibilidade pode ser realizada” (Passoni, 2002, p.203).
O autor atribui como principais fatores para tal sucesso o respeito ao
ritmo individual de aprendizagem das crianças participantes e a forma como foi
estruturada a seqüência de atividades desenvolvida.
Na estrutura arquitetônica dessas atividades, tivemos presente a necessidade de, constantemente e no momento apropriado, derrubar os andaimes e deixar bem visível a estrutura conceitual (Passoni, ibid, p. 203).
A nossa intenção com o presente estudo é realizar uma reaplicação do
estudo de Passoni acima relatado, porém serão desenvolvidas apenas as
Fases 1 e 2 na introdução dos números inteiros. Com relação à série,
trabalhamos com alunos da mesma série que Passoni adotou, ou seja,
pretendemos investigar a possibilidade de se introduzir os números inteiros
para crianças da terceira série (idade entre 8 e 9 anos) da escola pública
Municipal, ou utilizando a seqüência de atividades de Passoni (2002),
seqüência esta norteada pelas idéias de Raymond Duval sobre à utilização de
vários registros de representação envolvendo tratamento e conversão.
As escolhas metodológicas serão discutidas oportunamente, no capítulo
de Metodologia.
Nossa conjectura científica é saber se um estudo desenvolvido em
ambiente de aprendizagem, no qual os alunos são menos estimulados em seus
lares (como é o caso, provavelmente, dos alunos da escola pública da periferia
da Cidade de São Paulo) alcançara resultados tão positivos como foram os
obtidos por Passoni (2002).
61
2.5 - HISTÓRICO DOS NÚMEROS NEGATIVOS
Para melhor compreender as dificuldades inerentes ao conceito de
número relativo, apresentamos um resumo histórico sobre o aparecimento e
uso desses números na Matemática (com o respectivo tipo de representação),
conforme as pesquisas de Jahn (1994, p.27 – 33), Passoni (2002, p.15 – 18) e
Nieto (1994, p. 33 - 37).
Passoni (2002) afirma que a história dos números é bastante
interessante. Os leitores interessados podem se deliciar com os textos de
Georges Glaeser (1981), ou com Gert Schrubing (1986), ou com José Luis
Gonzáles et alii (1990), ou com Dominique Gaud e Jaqueline P. Guichard
(1991), ou com Ana Paula Jahn (1994), ou ainda com excertos de Carl B.
Boyer (1974) e, é claro, com excertos de outros livros de história da
Matemática. Pareça haver um certo consenso de que os números negativos
foram bastante utilizados em Matemática antes de serem “legitimados”.
Para a legitimação dos negativos “contribuiu de forma decisiva a obra do
matemático alemão Hermann Hankel (1839 – 1873), publicada em 1867:
‘Teoria do sistema dos números complexos’. Com ela se dá o salto do concreto
ao formal que permitirá justificar os diversos sistemas numéricos”.(Gonzáles,
1990, p. 48).
Gonzáles nos diz que “Hankel não buscou a justificação dos negativos
em situações reais que ‘expliquem’ seu comportamento, mas em leis formais,
concretamente no ‘princípio de permanência’ que teria sido introduzido por
George Peacock (1791 – 1858), alguns anos antes, a fim de fundamentar a
Álgebra e justificar as operações com expressões literais”.
62
Continuando a elucidar Gonzáles (citado por Passoni, 2002):
“Hankel, retomando a iniciativa de Peacock, formulou o princípio de permanência das leis formais que estabelece o critério geral de algumas ampliações do conceito do número”: 1. A palavra número responderá a símbolos ou agregados de símbolos que não representam necessariamente números de campo numérico previamente dado ou conhecido, posto que seu significado possa ser qualquer. 2. Definir-se-ão para o novo campo numérico as operações fundamentais da Aritmética (adição e multiplicação) e o conceito de igualdade, de maneira que se conservem as definições no campo menos amplo, como no caso particular das novas definições, e que subsistam as leis formais de uniformidade, associativa, comutativa, distributiva e conservação do elemento neutro. A partir desse momento, os negativos foram completamente admitidos e ocuparam um lugar reconhecido dentro da Matemática; não obstante, careciam de uma definição rigorosa e explícita. Até então eram apenas símbolos, com os quais se operava seguindo determinadas leis” (Gonzáles, 1990, pp. 48 – 49).
No final do século XIX e início do XX, surgem várias construções de Z e os
números negativos passam a ser reconhecidos no mesmo nível dos positivos.
Há quase unanimidade também, embora haja leituras diversas, em
reconhecer que os números negativos surgiram como necessidade no domínio
da Matemática. Fischbein (1987, p. 121) observa que “não existe necessidade
prática para inventar números negativos”. Não há como negar, no entanto, que
a maior parte das atividades envolvendo um pouco de Matemática atualmente
é inconcebível sem o uso desses números.
A noção de estrutura mostra que os números inteiros, com os quais
estamos tratando em nosso trabalho, é um modelo de anel de integridade
totalmente ordenado e que, via inclusão, podemos, sem muitos problemas,
considerar N como sendo o subconjunto de Z formado pelos inteiros maiores
ou iguais a zero.
Com essa perspectiva, podemos considerar os inteiros não positivos como
o subconjunto de Z formado pelos inteiros menores ou iguais a zero, isto é,
63
partir do ponto, por assim dizer, de quando os matemáticos tranqüilizaram-se
em relação a esses números (e em relação a outros) e os usam, quando
necessitam, como ferramentas muito úteis.
Jahn (1994) relata que os chineses fizeram uso dos números negativos
desde o primeiro século de nossa era. Eles efetuavam cálculos e resolviam
equações interpretando esses números como simples subtraendos. Os
coeficientes positivos eram indicados por gravetos (pequenos pauzinhos)
vermelhos e os coeficientes negativos por gravetos pretos que eram
manipulados sobre um tabuleiro: esse esquema de cores também era
encontrado nos trabalhos escritos. Apesar das regras de sinais não terem sido
definitivamente afirmadas em qualquer tratado Chinês até 1299, elas já eram
conhecidas e utilizadas constantemente.
O embrião da regra de sinais é geralmente atribuído à Diophante (fim do
século III d.C.). Este autor não faz nenhuma referência aos números negativos,
entretanto no início do livro I de sua “Arithmétique”, fazendo talvez alusão ao
desenvolvimento do produto de duas diferenças, ele escreve:
“Uma falta multiplicada por uma falta dá o que é positivo, enquanto que uma falta multiplicada por o que é positivo dá uma falta”. (Glauser, 1981, p. 311).
Os hindus também utilizaram muito cedo os negativos, Brahmagupta
(séc. VII) foi um dos primeiros matemáticos a aceitá-los. Ele falava em
“quantidades positivas e negativas” e apresentou a seguinte regra:
“... uma dívida subtraída de zero torna-se um bem, e um bem subtraído de zero torna-se uma dívida”. (Gaud e Guichard, 1991, p.94 ).
Bhaskara (séc. XII) tinha uma posição oscilante em relação aos números
negativos, pois operava com os mesmos, mas rejeitava-os como raízes de uma
64
equação. As obras hindus da época traziam as sentenças acompanhadas de
um exemplo de aplicação numérica, nada era demonstrado ou explicado.
Os árabes pouco contribuíram para a teoria no sentido de apresentarem
algo novo. Al-Khowarizmi (séc. IX) estabeleceu as regras usuais que foram
consideradas verdadeiras pelos seus sucessores, mas pouca atenção foi dada
aos negativos. Sendo a Itália uma das principais vias pelas quais a ciência
árabe penetrou na Europa, quando Fibonacci escreveu o seu “Liber Abaci” em
1202, seguiu a postura árabe. Alguns anos mais tarde, na sua obra “Flos”
(1225), interpretou uma raiz negativa num problema financeiro como uma
perda. Outros escritores medievais foram poucos, além disso, nesse tema, mas
no período Renascentista, encontramos esses números recebendo cada vez
mais reconhecimento.
No Ocidente, os números negativos aparecem por volta do final do
século XV, sobretudo entre os matemáticos que se preocupavam com as
equações e suas raízes. Nos problemas resolvidos por Chuquet (1484), por
exemplo, ele escreve a raiz de uma equação como “m 7 x 3/11” para –7 x 3/11,
demonstrando manipular e aceitar a solução negativa.
O primeiro escritor do século XVI que tratou da referida questão foi
Cardan no livro “Ars Magna” em 1545, onde reconheceu as raízes negativas e
(re) definiu as regras de cálculo multiplicativo. Entretanto outros matemáticos
da mesma época ou posteriores, tal como Viète, insistiam em dar às equações
somente raízes positivas. Viète (1541-1603) talvez tenha sido o maior
algebrista de seu tempo, mas nem mesmo toda a sua visão algébrica permitiu
uma compreensão dos números negativos, a ponto de não mais rejeitá-los.
65
A partir de Viète, o cálculo literal se desenvolveu espantosamente com
regras possíveis de serem ensinadas, mas, elas se referiam somente às
quantidades positivas uma vez que as letras não representavam quantidades
negativas. Apesar disso, o uso de letras representou um papel unificador
essencial, sobretudo em 1659, quando Hudde introduziu a idéia de que uma
letra, sem sinal pré-fixado (não afetada de um sinal), poderia designar um
número positivo ou negativo.
Faz-se necessário também mencionar o matemático alemão Michael
Stifel que escreveu a “Arithmetica integra”, um dos mais importantes livros de
álgebra impressos no século XV. Ele se ocupou de maneira significativa dos
números negativos, dos radicais e das potências. Ao utilizar os coeficientes
negativos nas equações, Stifel reduzia muitas equações quadráticas a uma
única forma apresentando uma regra especial quando se devia empregar o
sinal + ou o sinal -. Conhecia bem as propriedades dos números negativos que
chamava de “números absurdos”. Ainda que não admitindo os negativos como
raízes, difundiu o uso dos sinais + e – em detrimento à notação italiana (m.
para negativos ou menos e p. para positivo ou mais). Os símbolos + e – são
atribuídos a um outro matemático alemão, Widman que em 1489 publicou um
livro de aritmética comercial considerado o primeiro a trazer esta apresentação.
O que se pode perceber até aqui é que a utilização dos números
negativos estava sujeita às numerosas controvérsias, principalmente quanto à
existência e validade de certas regras. Somente na metade do século XIX é
que esses números adquiriram um estatuto de igualdade com os positivos, em
particular nos trabalhos de Hankel (1867). Na verdade Hankel estava
interessado em expor a teoria formal dos números complexos e é a título
66
preliminar que ele liquida o problema dos relativos na obra “Theorie der
Complexen Zahlensysteme”. A vantagem dos trabalhos desse matemático
alemão é a abordagem numa outra perspectiva, a de que os números
negativos não são descobertos, mas sim inventados, imaginados, por isso não
há necessidade de extrair da natureza exemplos práticos que os explicam.
Conhecendo as propriedades aditivas de R e a multiplicação de R+ ,
Hankel propõe a extensão da multiplicação de R+ a R, respeitando um princípio
de permanência: a estrutura algébrica procurada deve manter as propriedades.
A existência e a unicidade dessa extensão resultou no seguinte teorema:
“Teorema: A única multiplicação sobre R que prolonga a multiplicação usual sobre R+, respeitando as distributivas ( à esquerda e à direita) é aquela conforme a regra de sinais”. (Glaeser, 1981, p.338).
Depois desta formulação, ele apresenta a primeira demonstração correta do
produto de números negativos:
“0 = a x 0 = a x (b + opp b) = ab + a x (opp b) 0 = 0 x (opp b) = (opp a) x (opp b) + a x (opp b) Daí: (opp a ) x (opp b) = ab” (ibid.,p.388)
Esse breve histórico mostra que a prática e a utilização dos números
relativos foram bem anteriores a sua definição, como ocorreu com muitas
outras noções matemáticas. Esses números, “concretos” para os orientais e
“falsos” para os ocidentais, apareceram como instrumentos de cálculo
facilitando a resolução de equações, ou seja, um instrumento teórico e
algébrico.
“... Assim, a prática clandestina do cálculo de números relativos antecedeu em 1600 anos sua compreensão. Eis uma lição que a didática da Matemática jamais deveria esquecer.” (Glaeser, 1981, p.313)
67
Nieto (1994) menciona que já se encontravam vestígios sobre números
negativos, na civilização através de dois escritos de monta – o Chou Pei Suang
e o Chiu – Chiang por volta de 300 a.C., onde estão presentes problemas
matemáticos, cálculos, equações e modos de mensuração. Vale lembrar,
segundo Carl Boyer (1974), que a numeração Chinesa ao contrário daquela da
Mesopotânia, permaneceu essencialmente decimal, com dois sistemas de
notação coexistindo lado a lado: no primeiro havia símbolos diferentes para os
dígitos de um a dez, e símbolos adicionais para as potências de dez e, em
outro sistema, os numerais eram grafados em barras, mas o que é de
importância não se esquecer, é o fato de que o conceito de número negativo já
estava consolidado na China – prova – o uso de dois tipos de coleções de
barras, uma vermelha para os números positivos e uma negra para os números
negativos – muito embora Boyer (1974) acredite que os chineses não
aceitassem a idéia de que um número negativo pudesse ser resolução de uma
equação.
Um outro matemático Hindu, que antecedeu Bhaskara, foi Brahmagupta
(viveu em 628). Que contribuiu muito para álgebra, apresentando soluções
gerais de equações quadráticas, inclusive envolvendo raízes negativas.
Do que se conhecia das regras sobre grandezas negativas, dos
teoremas geométricos dos Gregos sobre subtração, por exemplo, (a-b). (c-d) =
ac + bd –ad – bc, os Hindus as convertiam em regras numéricas sobre número
positivo e negativo.
“Positivo dividido por positivo, ou negativo por negativo é afirmativo. Cifra (zero) dividido por cifra é nada. Positivo dividido por negativo é negativo. Negativo dividido por afirmativo é negativo. Positivo ou negativo dividido por cifra é uma fração com esse denominador” (Boyer, 1974. p.160).
68
De Brahmagupta, século VII, vai-se para Al-Khowarizmi, matemático e
astrônomo árabe do século IX.
“Embora os árabes rejeitassem as raízes negativas e grandezas negativas, conheciam as regras que governavam o que chamamos de número com sinal” (Boyer, 1974. p.169).
Daqui dá-se um salto para o século XVI, com uma obra muito importante
– Arithmética Íntegra, de Michel Stifel (1487 – 1567), onde o aspecto mais
importante é seu tratamento dos números negativos, radicais e potências.
Explicou, por uma regra especial, quando usar (+) e quando usar (-). Mesmo
assim, ele recusou a admitir números negativos como raízes de uma equação
e os chamava de “numeri absurdi”.
Mas coube a Albert Girard (1590 – 1633),
“enunciar claramente as relações entre raízes e coeficientes, pois ele admitiu raízes negativas e imaginárias. De modo geral Girard percebia que as raízes negativas são orientadas em sentido oposto ao dos números positivos, antecipando, assim a idéia de reta numerada. O negativo em geometria indica um retrocesso, ele disse, ao passo que o positivo, um avanço” (Boyer, 1974. p.224).
Somente em 1867, com Hermann Hankel (1839 – 1873), que finalmente
barreiras se superaram. Hankel considerou os números negativos como
números inventados, dando assim a ampliação de R+ (conjunto dos números
não negativos) para R (conjunto dos números Reais).
Tem-se, portanto, um período que vai de 200 a.C. até 1867 d. C., com
de aproximadamente 2000 anos, até que ocorresse a formação do conjunto de
números inteiros, isto é, a junção dos números positivos e dos números
negativos numa mesma classe de números.
69
Por fim, chega-se ao século XX, com duas grandes guerras, a Física
Quântica e Atômica, a velocidade da luz e do som, o avião, o telefone, a luz
elétrica, o automóvel, as bombas atômicas, os satélites e a exploração
extraterrestre, que estarão por trás desta nova postura.
O avanço da ciência – o universo tecnológico, o vídeo e a informática,
estes são, provavelmente, os responsáveis pela nova ótica e pela nova relação
que se estabelece entre indivíduo e conhecimento, inteligência, no sentido de
coisa intelectual – e saber – no sentido de conhecimento estruturado.
“E quando a criança de trinta anos atrás podia estar olhando para o céu e acreditar em qualquer estória que se contasse sobre as estrelas e astros em geral, hoje qualquer criança já sabe ou mesmo viu na TV, o desembarque do homem na Lua. E quando há trinta anos atrás podia-se falar do homem que fazia grandes cálculos com números enormes em pouco tempo, hoje qualquer criança sabe, que apertando um botãozinho, em pouco tempo se fazem cálculos de 10 algarismos sem maiores problemas”.(D’Ambrosio, 1986, p.90).
2.6 – OS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS NA ESCOLA
O foco do nosso estudo é a introdução do número inteiro negativo na 3ª
série do Ensino Fundamental. Achamos de muito valia ao nosso estudo
observar como são tratados os números inteiros negativos em relação aos
Parâmetros Curriculares Nacionais e aos livros didáticos que obtiveram
aprovação no Plano Nacional Livro Didático, denotado simplesmente como
PNLD, no terceiro e quarto ciclo.
Assim, tendo em vista a importância dos números inteiros negativos
para a leitura de situações especificas que integram o individuo ao meio que
vive, faremos uma breve apresentação sobre esse tema constante nos
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (1ª a 8ª séries) –
volume 3 – Matemática, denotado simplesmente como PCN. Para entender
70
melhor um paradoxo em que, por um lado alunos concluintes do Ensino
Fundamental e alguns profissionais de Nível Superior apresentam dificuldades
em lidar com operações simples envolvendo esses números e, por outro, a
comparação empírica que crianças pequenas (a partir de 8 ou 9 anos)
apresentam facilidade em lidar com esse tipo de número em situações do dia-
a-dia, acrescido do sucesso que crianças de 9 anos tiveram em aprender e
trabalhar com números inteiros negativos no estudo realizado por Nieto (1994)
e Passoni (2002).
2.6.1 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS
Referentes a 1ª à 4ª séries, os números inteiros negativos não constam
explicitamente como objetivos gerais do Ensino Fundamental nos primeiro e
segundo ciclos no PCN (BRASIL, 1997):
“A construção da idéia de número racional é relacionada à divisão entre dois números inteiros, excluindo-se o caso em que o divisor é zero. Ou seja, desde que um número represente o quociente entre dois inteiros quaisquer (o segundo não nulo), ele é um número racional como neste ciclo trabalha-se apenas com os naturais e ainda não com os inteiros negativos os números racionais a serem tratados são quocientes de números naturais”.(ibid.p.101) “As relações entre a medida de uma dada grandeza e um número é um aspecto de fundamental importância, pois é também por meio dele que o aluno ampliará seu domínio numérico e compreenderá a necessidade de criação de números fracionários, negativos, etc”.(ibid p.131)
Referentes a 5ª à 8ª séries, os números inteiros negativos se
relacionam aos objetos gerais do Ensino Fundamental no terceiro e quarto ciclo
no PCN (BRASIL, 1998):
“Nesse processo, o aluno perceberá a existência de diversos tipos de números (números naturais, negativos, racionais e irracionais) bem como de seus diferentes significados, à medida que deparar com situações-problema envolvendo operações ou medidas de
71
grandezas, como também ao estudar algumas das questões que compõem a história do desenvolvimento do conhecimento matemático”. (ibid p.50) “Neste bloco serão tratadas diferentes grandezas (comprimento, massa, tempo, capacidade, temperatura etc.) incluindo as que são determinadas pela razão ou produto de duas outras (velocidade, energia elétrica, densidade demográfica etc.). Será explorada a utilização de instrumentos adequados para medi-las, iniciando também uma discussão a respeito de algarismo duvidoso, algarismo significativo e arredondamento. Outro conteúdo destacado neste bloco é a obtenção de algumas medidas não diretamente acessíveis, que envolvem, por exemplo, conceitos e procedimentos da Geometria e da Física. (ibid p.52). “resolver situações-problema envolvendo números naturais,inteiros, racionais e a partir delas ampliar e construir novos significados da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação”.(ibid p.64). “Os números inteiros podem surgir como uma ampliação do campo aditivo, pela análise de diferentes situações em que esses números estejam presentes. Eles podem representar diferença, “falta”, orientação e posições relativas. As primeiras abordagens dos inteiros podem apoiar-se nas idéias intuitivas que os alunos já têm sobre esses números por vivenciarem situações de perdas e ganhos num jogo, débitos e créditos bancários ou outras situações. ”(ibid p.66). “A esse respeito convém salientar que a resolução de situações-problema com diferentes tipos de números é pouco trabalhada neste ciclo (e menos ainda no quarto ciclo), não possibilitando aos alunos ampliar ou construir novos significados, seja para a adição/ subtração, multiplicação/divisão ou para a potenciação /radiciação”. (ibid p.67).
Podemos notar que os números inteiros negativos não ganham
importância mesmo no PCN’(s), pois estão sempre relacionados com a álgebra
e um pouco no campo de grandeza e número. Talvez, seja este, um dos
motivos da grande dificuldade em se abordar este assunto nos conteúdos
escolares. Com isto, consequentemente os Livros Didáticos abordam os
números inteiros negativos somente em blocos na 6ª.série.
72
Nossa sugestão com relação aos PCN’(s) é que os mesmos podem
apresentar e relacionar os números inteiros já nas séries iniciais dos currículos,
tal como nossa pesquisa busca mostrar.
2.6.2 – LIVRO DIDÁTICO
Adotaremos para análise em nosso estudo uma coleção com aprovação
no PNLD para 1ª a 4ª serie e duas coleções para 5ª a 8ª série.
2.6.2.1 - Referente 1ª à 4ª série
Considerando para análise a coleção FAZENDO E COMPREENDENDO
MATEMÁTICA, de Lucília Bechara Sanchez, Manhúcia P. Liberman, Regina L.
Motta Wey, Editora Saraiva, PNLD 2005 código 004251-L- 1ª edição, 4ª
tiragem- 2004.-NOVA VERSÃO.
Escolhemos está coleção porque além de possuir aprovação do PNLD é
o livro adotado na escola em que nossa pesquisa foi realizada.
As considerações:
O livro da 1ª série, não apresentou representação com números inteiros
negativos.
O livro da 2ª série, na página 187, há o gráfico de temperatura somente
com os números inteiros positivos.
O livro da 3ª série, na página 31, temos exercícios lidando com dinheiro
em que trabalha-se com números inteiros positivos e, na página 161,
trabalhando com a unidade de comprimento.
O livro da 4ª série, também trabalhando com a régua, há exercícios
propostos com números inteiros positivos, mas só que agora trabalhando com
frações decimais. Ainda nenhum exemplo ou exercício que trabalhasse com os
números inteiros negativos.
73
1ª série 2ª série 3ª série 4ª série
1ª à 4ª série
FAZENDO E
COMPREENDENDO
MATEMÁTICA
Não apresentou
representação com
números inteiros
negativos.
Gráfico de
temperatura
somente com os
números inteiros
positivos.
Somente com
números inteiros
positivos, utilizando
a régua como
padrão.
Há exercícios
propostos somente
com números inteiros
positivos
Tabela 2.2 - Livro didático 1ª à 4ªsérie
2.6.2.2 - Referente 5ª à 8ª série
Adotamos para análise duas coleções porque os PCN fazem referência
aos números negativos nas séries acima e as coleções possuem aprovação no
PNLD.
1º Coleção
O livro analisado é da coleção PROMAT Projeto oficina de Matemática,
de Maria Cecília Castro Grasseschi, Maria Capucho Andretta, Aparecida
Borges dos Santos Silva, Editora FTD, PNLD 2004 código 258164-8A L-Ano-
2004.
Nossas análises são as seguintes:
O livro da 5ª série, em nenhum momento trabalhou-se com os números
inteiros negativos. Na página 165, há um exemplo de temperatura com
números inteiros positivos e na página 172, desenvolveu-se o conceito de
frações, que trata de números inteiros.
O livro da 6ª série ampliou-se a contagem mostrando um termômetro
com temperatura negativa, na página 19. Um outro exemplo interessante,
trazendo o nível do mar como zero, também trouxe o conjunto dos números
inteiros negativos nas páginas 20 e 21.
74
Sistematiza as idéias de sentido crescente e decrescente na reta
numérica. Na página 26, consta um jogo de labirinto com os números inteiros
positivos e negativos. Nas páginas 28 e 29, as regras de sinais são
apresentadas e nas páginas 42 e 44, inclui-se um exercício de representação
dos andares de um prédio correspondendo-os na reta numérica.
Na página 50, os números inteiros negativos são representados pelas
derrotas dos times de futebol na tabela de classificação.
Nas páginas 55 à 58, temos uma história tratando das operações com
números negativos.
O livro da 7ª série, apresenta nas páginas 7 e 8, os números inteiros
negativos. Na página 11, a transformação de registro de um número decimal
negativo em um número fracionário negativo e na pagina 17, mostra-se uma
representação de uma reta com alguns números reais positivos e negativos.
O livro da 8ª série mostra-se na página 11, a arrecadação de impostos
numa tabela com números negativos. Na página 25, temos a operação de
potência com números inteiros negativos. Uma idéia interessante aparece na
página 47, em que da raiz quadrada exata de um número inteiro positivo temos
como um dos resultados um número inteiro negativo.
Sobre o tema números inteiros negativos, na página 99, têm-se os
conjuntos domínio e imagem cujos elementos são os números negativos.
Mostrando com tudo isto que os números inteiros negativos são
trabalhados em blocos na sexta série sem nenhuma correlação ou interligação
com as séries seguintes.
2º Coleção
O livro considerado é da coleção A CONQUISTA DA MATEMÀTICA, de
75
Jose Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr., Editora
FTD, PNLD 2002 código 258016-8 tipo L- Ano- 2002.
Nossas análises são as seguintes:
No livro da 5ª série, em nenhum momento trabalhou-se com os
números inteiros negativos.
No livro da 6ª série, a introdução do número negativo começa no
capítulo 2, das páginas 22 à 27, relatando a história do número negativo,
apresentando exemplos de termômetro, de extrato de conta bancária, de
painéis de elevadores e de saldos de gols.
Introduziu-se os números inteiros na reta numérica, na página 28.
Trabalhou com as operações com números inteiros negativos, passando pela
potenciação e radiciação até chegar nas expressões numéricas com números
inteiros negativos. Trabalhou o conjunto dos números racionais com números
negativos até a página 97.
O livro da 7ª série, traz-se na página 23 apenas uma representação na
reta numérica, sem trabalhar exercícios com os números negativos. O aluno
volta a trabalhar com os números negativos numa situação em que uma das
raízes da solução de um sistema de equações de 1º grau com duas incógnitas,
sendo a primeira um número negativo, nas páginas 136 e 137.
O livro da 8ª série mostra-se, nas páginas 10 e 11, a potência de um
número real trabalhando com números negativos e das páginas 14 até a 21
com potência de um número real. Na página 26, trabalha-se com a raiz
enésima de um número real. Entre as páginas 71 e 145, há resoluções de
equações do 2º grau com uma raiz negativa.
76
Utiliza-se os números negativos no plano cartesiano entre as páginas
102 e 141 e na página 113, na relação funcional entre 2 conjuntos.
Com isso notamos que os números negativos são pouco trabalhados no
primeiro e segundo ciclo, recebendo recomendação só no terceiro e quarto
ciclo do Ensino Fundamental, mas sem o devido destaque.
Conseqüentemente, os livros didáticos trabalham pontualmente com esses
números no conjunto dos números inteiros, mais especificamente na 6ª série.
Nos 2 livros analisados não encontramos aplicação sobre a deflação, muito
comentada pelos meios de comunicação à partir de 1994, e muito menos numa
tabela de variação cambial, como por exemplo, do dólar mostrando sua
flutuação no mercado financeiro, pois diariamente pelos meios de comunicação
são mostrados os valores de queda e de alta tanto da bolsa de valores quanto
da variação cambial.
Estas análises dos livros didáticos nos mostram que os números inteiros
negativos devem deixar de serem trabalhados em blocos em uma única série
para serem trabalhados no bloco Tratamento da Informações4 e distribuídos
em todas as séries, pois a economia faz parte do nosso dia-a-dia.
Podemos concluir que os números inteiros negativos, devido a sua
necessidade de abstração, devem ainda ser introduzidos no primeiro ciclo para
que os blocos de números e operações, espaço e forma, grandezas e medidas
e Tratamento da Informação possam interpretar e demonstrar o que a mídia
televisiva e escrita diariamente relaciona com a economia brasileira e mundial.
O quadro, a seguir, resume nossas análises sobre os livros investigados.
4 Bloco de Tratamento da Informação refere-se à parte da estatística
77
5ª série 6ª série 7ª série 8ª série
1º Coleção
Coleção PROMAT
Projeto oficina de
Matemática
Em nenhum
momento trabalhou-
se com os números
inteiros negativos.
Sistematiza as
idéias de sentido
crescente e
decrescente na
reta numérica.
Trabalha pouco
com números
inteiros negativos.
Trabalha com
conjuntos domínio
e imagem cujos
elementos são os
números
negativos.
2º Coleção
Coleção
A CONQUISTA
DA
MATEMÁTICA
Em nenhum
momento trabalhou-
se com os números
inteiros negativos.
Relata a história do
número negativo,
apresentando
exemplos de
termômetro, de extrato
de conta bancária, de
painéis de elevadores e
de saldos de gols.
O aluno volta a
trabalhar com os
números negativos
numa situação em que
uma das raízes da
solução de um sistema
de equações de 1º grau
com duas incógnitas.
Utiliza-se os números
negativos no plano
cartesiano na relação
funcional entre 2
conjuntos.
Tabela 2.3 - Livro didático 5ª à 8ªsérie
78
CAPÍTULO 3 METODOLOGIA
O presente capítulo propõe descrever um estudo intervencionista que
realizamos com vistas a responder a questão de nossa pesquisa, a saber:
investigar a possibilidade e eficiência de se introduzir a noção de número
inteiro negativo na 3ª série do Ensino Fundamental na Escola Pública, através
da reaplicação de uma parte do estudo desenvolvido por Passoni (2002).
Passoni (2002) busca conhecer o processo de aprendizagem escolar na
passagem das grandezas concretas para as abstratas do número.
Acreditamos que a noção dos números negativos pode ser introduzida
desde cedo na escola, a partir de situações que estão de acordo com o mundo
físico. (geral na p.1) ou (específica p.7).
3.1 – UNIVERSO DO ESTUDO
Nossos sujeitos são alunos de duas classes de 3º série, do período
matutino, de uma Escola Municipal, localizada no Bairro Sapopemba, Zona
leste de São Paulo. Esta escola atende aos dois primeiros ciclos do Ensino
Fundamental, funcionando em períodos matutino e vespertino. Atende a,
aproximadamente, 850 alunos, sendo 16 turmas pela manhã, 08 turmas no
período da tarde e 02 turmas de reforço escolar no período matutino.
Os profissionais docentes da escola contam com razoáveis recursos
pedagógicos, tais como: Biblioteca, sala de vídeo e laboratório de informática.
3.2 OS SUJEITOS
Este estudo foi realizado com dois grupos de alunos, isto é, envolveu
duas classes da 3º série do Ensino Fundamental, às quais denominamos de
79
Grupo de Controle (GC) e Grupo Experimental (GE).
Em relação ao grupo experimental, começamos a trabalhar com 26
alunos, com idade aproximada de 9 anos, e como é comum o abandono ao
longo do experimento, concluímos com 17 alunos. Quanto ao grupo de controle
começamos com 27 alunos e finalizamos com 18 alunos.
3.3 DESENHO DO EXPERIMENTO Nossa pesquisa tem caráter intervencionista, uma vez que contempla,
em sua metodologia, a aplicação de um pré-teste, de uma intervenção de
ensino e um pós-teste.
O desenho envolveu um grupo experimental e um de controle. Ambos os
grupos submeteram-se tanto ao pré-teste como ao pós-teste.
Os grupos de pesquisa foram compostos de alunos de uma mesma
escola de duas classes diferentes, porém numa mesma faixa etária.
O esquema abaixo é um quadro elucidativo do experimento que foi
desenvolvido:
Quadro 3.1: Desenho do experimento
Grupo Controle
Sujeitos
Grupo Experi-mental
Com Intervenção
Manipulativa
Pré teste
Pós teste
Pós teste
Pré teste
Sem Intervenção
Manipulativa
80
O GE participou da aplicação de dois instrumentos diagnósticos sendo
que o primeiro, teve o objetivo de diagnosticar os conhecimentos prévios dos
alunos sobre os números inteiros, enquanto que o segundo, aplicado após
intervenção de ensino visou, estudar o desenvolvimento desses conceitos.
Nossa intervenção de ensino objetiva desenvolver os conceitos de introdução
do número inteiro negativo na 3ª série do Ensino Fundamental, com o uso de
material manipulativo específico conforme descrito a seguir.
O GC constituiu-se em um grupo de referência, em que aplicamos apenas o
pré-teste e o pós-teste.
3.4 – PROCEDIMETO
O estudo constou de duas etapas distintas a saber: diagnostico (pré e
pós-teste) e intervenção de ensino, desenvolvidas, separadamente com os dois
grupos(GC e GE) de alunos que participaram da pesquisa da seguinte forma:
GC – etapa diagnóstica (pré-teste e pós-teste) e GE – etapa diagnóstica (pré-
teste e pós-teste) e intervenção de ensino.
Todas as etapas foram desenvolvidas em sala de aula convencional, no
período normal das aulas, com a presença do pesquisador e da professora da
sala.
A Etapa 1, referente aos Instrumentos diagnósticos, foi subdividida em duas
fases, o pré e o pós-teste.
Na distribuição e passagem para o próximo exercício, o pesquisador e o
professor leram as questões, em voz alta, para que os alunos pudessem
entender e solicitassem ajuda toda vez que necessitassem.
O grupo composto pelo pesquisador e professor da sala, foi bastante
cauteloso ao atender as dúvidas dos alunos quanto ao entendimento das
81
questões, de forma a não interferir em suas respostas. O motivo de tal
procedimento está na garantia que nenhuma sugestão pudesse ser dada aos
alunos, mesmo que involuntariamente.
As questões foram resolvidas pelos alunos, individualmente, no contexto
de papel e lápis. O primeiro grupo que respondeu o pré-teste foi o GE e, no dia
seguinte, o GC.
O conteúdo matemático abordado nas questões do pré-teste foi também
contemplado no pós-teste de maneira semelhante, procurando manter o
mesmo grau de dificuldade.
O pré-teste foi aplicado em Março de 2005, a intervenção de ensino foi
desenvolvida ao longo dos meses de Março, Abril, Maio,Junho e Julho, e o
pós-teste foi aplicado 15 dias após o término da intervenção.
A 2º Etapa, referente A intervenção de ensino, foi desenvolvida ao longo de
quinze semanas e sempre que possível consecutivas com 1 só encontro
semanal. Durante esses encontros foram realizadas 31 atividades, totalizando
aproximadamente 15 encontros, com duração aproximada de 3h30 cada um.
No próximo capítulo será apresentado o resultado desta coleta, bem
como as análises quantitativas e qualitativas.
3.5 – MATERIAL UTILIZADO
A pesquisa desenvolveu-se em 2 etapas, através do seguinte material:
na etapa 1, o material utilizado constou de instrumentos diagnósticos (testes)
aplicados em duas fases (pré e pós-teste), e na etapa 2 utilizamos fichas de
atividades e material para manipulação.
82
3.5.1 – MATERIAIS DA ETAPA 1 – OS TESTES
3.5.1.1 - Pré-Teste
O pré-teste foi constituído por 9 questões dispostas em forma de um
caderno com as dimensões de meia folha A4. Em cada folha desse caderno
havia, no máximo, duas questões por página, sendo que ao todo o caderno
tinha 6 páginas, contando com a capa, a qual foi dedicada a identificação do
aluno. Assim, temos que os testes (pré e pós) foram desenvolvidos no contexto
de papel e lápis.
A seguir, apresentamos as questões do pré-teste, acompanhadas do
objetivo, de uma análise a priori e de possíveis procedimentos de resolução.
1-PREENCHA NA SEQUÊNCIA ABAIXO ESCREVENDO O NÚMERO CORRESPONDENTE DENTRO DO
CÍRCULO, OUTRO DENTRO DO TRIÂNGULO E OUTRO DENTRO DO QUADRADO:
a) O NÚMERO DENTRO DO CÍRCULO É MAIOR DO QUE O NÚMERO DO QUADRADO? SIM NÃO
b) O NÚMERO DENTRO DO QUADRADO É IGUAL AO O NÚMERO DENTRO DO TRIÂNGULO? SIM NÃO
c) O NÚMERO DENTRO DO TRIÂNGULO É MENOR QUE ZERO? SIM NÃO
Quadro 3.2 - Questão 1 do pré teste.
Esta questão objetiva identificar:
a) Se os alunos apresentam algum raciocínio com relação aos números inteiros
positivos e negativos comparando-os entre si pelo seu valor numérico.
b) Se os alunos possuem alguma noção de posição na reta numérica com os
números positivos e negativos e quais as relações que o número zero possui
com eles.
c) Observar se as figuras geométricas são preenchidas com os números
inteiros.
0-1
83
De forma geral, com base no aporte teórico, o desempenho dos alunos
nessa questão será insatisfatório, pois a maioria dos alunos conseguirá
preencher corretamente o valor numérico dentro do quadrado, porém
encontrarão dificuldades em completar corretamente os valores do círculo e do
triângulo, por se tratar de números negativos. Quanto ao conhecimento
geométrico das figuras não tivemos interferência, pois foi um tema bastante
trabalhado na 2ª série tanto no GC como GE, conforme relato da professora
Célia da Escola Rodrigues de Carvalho, onde aplicamos a nossa pesquisa
todos os alunos possuíam conhecimento de figuras geométricas, pois
trabalham com elas desde a segunda-série.
2-OBSERVE COM ATENÇÃO OS NÚMEROS ABAIXO E ORGANIZE ELES EM ORDEM CRESCENTE NA LINHA.
9, -9, 5, -5, 1, -1 E 0
________________________________
Quadro 3.3 - Questão 2 do pré teste.
Nesta questão, ainda temos como objetivo:
a) Analisar se os alunos apresentam algum raciocínio em relação ao valor
numérico dos números inteiros.
b) Verificarmos se o aluno possui algum conhecimento ou familiarização com
os números negativos e, ainda, alguma noção de ordenação em relação aos
números positivos e negativos.
c) Também queremos observar se os alunos possuem alguma idéia de
ordenação para os números positivos e negativos em relação ao número zero.
De forma geral, com base no aporte teórico, o desempenho dos alunos
nessa questão será insatisfatório, pois provavelmente a maioria dos alunos não
conseguirá realizar corretamente a ordenação por não estarem familiarizados
com os números inteiros negativos.
84
3- O DESENHO ABAIXO É PARA MOSTRAR O PRÉDIO ONDE JOÃO MORA. O PRÉDIO TEM DOIS ANDARES DE GARAGENS, UM ANDAR TÉRREO E QUATRO ANDARES PARA CIMA.
O ANDAR TÉRREO JÁ ESTÁ INDICADO COM NÚMERO ZERO.
COMPLETE O DESENHO DO PRÉDIO COLOCANDO O NÚMERO CORRETO DENTRO DE TODOS OS ANDARES.
Quadro 3.4 - Questão 3 do pré teste.
Nossa análise continua a mesma, ou seja:
Verificar se os alunos apresentam a capacidade de relacionar os números
inteiros com os andares do prédio, considerando o piso térreo como sendo o
número zero.
De forma geral, com base no aporte teórico, acreditamos que a maioria dos
alunos nessa questão será insatisfatório conseguirão estabelecer uma
correspondência entre os números inteiros e os andares do prédio,
possibilitando ordená-los em ordem crescente. Porém encontrarão dificuldades
para as garagens localizadas abaixo do piso térreo que corresponde ao
número zero, não utilizando os números negativos e, possivelmente alguns
alunos escreverão uma seqüência em ordem decrescente.
4-ATENÇÃO OLHE O PRÉDIO ONDE JOÃO MORA. REPRESENTE NUMERICAMENTE OS ANDARES DO PRÉDIO NA RETA ABAIXO:
Quadro 3.5 - Questão 4 do pré teste.
Térreo 0
0
2
Subir é + Descer é -
85
Esta questão tem por objetivo analisar:
a) A capacidade do aluno, em observar a ordem dos números.
b) Se os alunos conseguem transportar os valores correspondentes aos
andares dos prédios para os da reta numérica, isto é “enxergar” os andares do
prédio como se fossem os números da reta numérica.
De forma geral, com base no aporte teórico, o desempenho para a maioria
dos alunos nessa questão será satisfatório, conseguirão trabalhar com os
números positivos, mas terão dificuldades com os números negativos que
representam as garagens.
5- JOÃO MORA NO SEGUNDO ANDAR.
UTILIZE A RETA DO EXERCÍCIO ANTERIOR E RESPONDA:
a) PARA CHEGAR AO QUARTO ANDAR O QUE ELE PRECISA FAZER? ______________________ ________________________________________________________________________
b) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO____________________________________
c) SAINDO DO SEU APARTAMENTO O QUE ELE PRECISA FAZER PARA CHEGAR NA PRIMEIRA GARAGEM? ___________________________________________________________________
d) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO___________________________________
Quadro 3.6 - Questão 5 do pré teste.
Nesta atividade o objetivo é de que o aluno perceba que a reta está
representando o prédio e os andares os números inteiros positivos e negativos.
De forma geral, com base no aporte teórico, o desempenho para a
maioria dos alunos nessa questão será satisfatório os alunos não terão
grandes dificuldades de movimentar na reta numérica, mas poderão ter
dificuldades na contagem dos andares representados na reta numérica.
86
6 - ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA.
a ) 0 É MENOR QUE -8 SIM NÃO
b) –5 É MENOR QUE -7 SIM NÃO
c) 5 É MAIOR QUE 7 SIM NÃO
d) – 7 É MENOR QUE 5 SIM NÃO
Quadro 3.7 - Questão 6 do pré teste.
Nesta, o objetivo é de trabalhar com a representação dos números em
relação ao seu valor numérico.
De forma geral, com base no aporte teórico, o desempenho para a
maioria dos alunos nessa questão será satisfatório, nesse exercício os alunos
não terão dificuldades no item c, mas para os outros itens os alunos
apresentarão dificuldades, pois realizarão a questão trabalhando somente com
números inteiros positivos, ignorando os sinais dos números.
7-OBSERVE COM ATENÇÃO A RETA ABAIXO E IMAGINE JOÃO ANDANDO NELA.
A) JOÃO SAIU DA POSIÇÃO -3 E CHEGOU NA POSIÇÃO 2. QUANTOS NÚMEROS ELE ANDOU? B) JOÃO SAIU DA POSIÇÃO 4 E CHEGOU NA POSIÇÃO -3. QUANTOS NÚMEROS ELE ANDOU?
Quadro 3.8 - Questão 7 do pré teste.
O objetivo, nesta questão, é observar como o aluno realiza as
movimentações na reta com numeros inteiros positivos e negativos e se ele
associa alguma idéia com o prédio.
De forma geral, com base no aporte teórico, o desempenho para a
maioria dos alunos nessa questão será satisfatório, os alunos novamente não
terão dificuldades para realizar os movimentos na reta numérica, e se
apresentarem alguma dificuldade esta será focada na contagem.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
87
8- USE A RETA ACIMA PARA LHE AJUDAR E RESPONDA QUAL É A DISTÂNCIA ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO:
a) DE -2 ATÉ 2 _________ b) DE -6 ATÉ 0 __________ c) DE 5 ATÉ -2 __________
Quadro 3.9 - Questão 8 do pré teste.
Nosso objetivo continua sendo de observar a associação dos andares do
prédio com a reta numérica.
De forma geral, com base no aporte teórico, o desempenho para a
maioria dos alunos nessa questão será satisfatório os alunos novamente não
terão dificuldades para realizar as devidas movimentações na reta numérica, se
apresentarem alguma dificuldade será focada novamene na contagem.
9 – PRESTE BASTANTE ATENÇÃO NA DIREÇÃO E NO SENTIDO DO SEGMENTO DE RETA ABAIXO:
a) QUAL É O NOME DA DIREÇÃO DO SEGMENTO DE RETA:
__________________________________________________________________
b) QUAL É O NOME DO SENTIDO DO SEGMENTO DE RETA:
___________________________________________________________________
RESPONDA USANDO NÚMEROS E SINAIS (+ OU -):
c) PARA SAIR DE + 1 E CHEGAR EM + 4 QUANTOS NÚMEROS EU PULO: ___________________________________________________________________
d) PARA SAIR DE 0 E CHEGAR EM –3 QUANTOS NÚMEROS EU PULO:
___________________________________________________________________
e) PARA SAIR DE – 2 E CHEGAR EM + 3 QUANTOS NÚMEROS EU PULO: ___________________________________________________________________
f) PARA SAIR DE – 3 E CHEGAR EM –1 QUANTOS NÚMEROS EU PULO:
___________________________________________________________________
Quadro 3.10 - Questão 9 do pré teste.
Nosso objetivo é o de verificar se os alunos possuem algum conceito de
direção e sentido em relação aos números positivos e negativos.
De forma geral, com base no aporte teórico, o desempenho para a
-4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4
88
maioria dos alunos nessa questão será insatisfatório. No que se refere à
direção e sentido os alunos apresentarão grandes dificuldades de resolução,
mas na situação para realizar as devidas movimentações na reta, será
satisfatório e não encontrarão, portanto grandes “obstáculos”.
3.5.1.2 - Pós Teste
No que se refere ao conteúdo matemático e também ao nível de
dificuldade, elaborou-se para cada questão do pré-teste uma questão
correspondente no pós-teste.
A seguir, apresentamos as 10 questões do pós-teste aplicadas para os
mesmos alunos que responderam ao pré-teste e participaram da seqüência de
ensino. Isso se justifica, pois a nossa finalidade é analisar, comparar e
identificar os conhecimentos adquiridos após essa seqüência, que permite
verificar então o desempenho dos alunos antes e depois do aprendizado.
Abaixo temos um quadro relacionando as questões do pós-teste e do
pré-teste. No enunciado das questões do pós-teste consta entre parênteses a
correspondente questão do pré-teste.
PÓS - TESTE
PRÉ - TESTE
QUESTÃO
1 2
QUESTÃO
2 3
QUESTÃO
3 1
QUESTÃO
4 6
QUESTÃO
5 7
QUESTÃO
6 8
QUESTÃO
7 4
QUESTÃO
8 5
QUESTÃO
9 9
QUESTÃO
10 NOVA
TABELA 3.1 - Correspondência entre pré-teste e pós-teste
89
QUESTÃO1: (QUESTÃO2) - OBSERVE COM ATENÇÃO OS NÚMEROS ABAIXO E ORGANIZE-OS EM ORDEM
CRESCENTE NA LINHA
8, -8, 3, -3, 1, -1 E 0
________________________________________
Quadro 3.11 - Questão 1 do pós teste.
Análise a priori:
Depois do desenvolvimento da seqüência esperamos que a maioria dos
alunos consiga realizar corretamente a ordenação em relação aos números
inteiros positivos e negativos.
É interessante observar que na correspondente questão do pré-teste,
em nossas análises a posteriori, constatamos que a maioria dos alunos não
apresenta nenhuma ordenação em relação aos números inteiros negativos.
A figura abaixo ilustra um protocolo de aluno durante o pré-teste sobre a
ordenação dos números inteiros.
FIGURA 3.1 – Protocolo de resposta aluno GC 2 do pré-teste
90
QUESTÃO2: (QUESTÃO 3) - O DESENHO ABAIXO É PARA MOSTRAR O PRÉDIO ONDE JOÃO MORA.
O PRÉDIO TEM DOIS ANDARES GARAGENS, UM ANDAR TÉRREO E QUATRO ANDARES PARA CIMA.
O ANDAR TÉRREO JÁ ESTÁ INDICADO COM NÚMERO.
COMPLETE O DESENHO DO PRÉDIO COLOCANDO O NÚMERO CORRETO DENTRO DE TODOS OS ANDARES.
Quadro 3.12 - Questão 2 do pós teste.
Análise a priori:
Depois do desenvolvimento da seqüência esperamos que a maioria dos
alunos consiga estabelecer uma correspondência entre os números inteiros e
os andares do prédio, possibilitando ordená-los em ordem crescente para as
garagens localizadas abaixo do piso térreo.
Com isto, queremos observar se, depois do aprendizado, o aluno usa o
número zero como elemento neutro, e se utiliza corretamente os números
inteiros positivos e negativos.
É interessante observar que na correspondente questão do pré-teste,
em nossas análises a posteriori, constatamos que os alunos apresentaram:
a) Ordenação somente com os números inteiros positivos, conforme figura
abaixo que ilustra um protocolo de aluno durante o pré-teste.
TÉRREO 0
91
FIGURA 3.2 – Protocolo de resposta aluno GC 1 do pré-teste
b) Dificuldades para utilização dos números inteiros negativos nas garagens
localizadas abaixo do piso térreo, conforme figura abaixo que ilustra um
protocolo de aluno durante o pré-teste.
FIGURA 3.3 – Protocolo de resposta aluno GC 1 do pré-teste
c) Vários alunos utilizam a seqüência numérica de ordem decrescente.
92
QUESTÃO3:(QUESTÃO 1)-PREENCHA A INTERVENÇÃO ABAIXO ESCREVENDO O NÚMERO CORRESPONDENTE DENTRO DO CÍCULO, OUTRO DENTRO DO TRIANGULO, OUTRO DENTRO DO QUADRADO E OUTRO DENTRO DO RETÂNGULO:
a) O NÚMERO DENTRO DO CÍRCULO É MAIOR DO QUE O NÚMERO DO QUADRADO? SIM NÃO
b) O NÚMERO DENTRO DO QUADRADO É IGUAL AO NÚMERO DENTRO DO TRIÂNGULO? SIM NÃO
c) O NÚMERO DENTRO DO TRIÂNGULO É MENOR QUE ZERO? SIM NÃO
d) O NÚMERO DENTRO DO RETÂNGULO É IGUAL DO QUE O NÚMERO DENTRO DO CÍRCULO? SIM NÃO
Quadro 3.13 - Questão 3 do pós teste.(ALTERAÇÕES NAS FIGURAS EM RELAÇÃO AO PRÉ-TESTE ACRESCENTAMOS UM RETANGULO)
Análise a priori:
Depois do desenvolvimento da seqüência esperamos que a maioria dos
alunos consiga realizar corretamente a ordenação em relação aos números
inteiros positivos e negativos, preenchendo as figuras geométricas acima com
os respectivos valores.
Quanto ao conhecimento geométrico das figuras, nós ressaltamos
novamente que não tivemos interferência, pois foi um tema bastante trabalhado
na 2ª série tanto no GC ou GE, conforme relato da professora Célia, inclusive
neste exercício foi incluída uma nova figura geométrica, o retângulo que está
identificado no quadro acima.
É interessante observar que na correspondente questão do pré-teste,
em nossas análises a posteriori, constatamos que os alunos apresentaram:
a) Algum raciocínio em relação ao valor numérico dos números inteiros,
apresentando ordenação somente com os números inteiros positivos;
b) Não apresentam nenhuma ordenação em relação aos números inteiros
negativos;
0-1
93
c) Dificuldades de completar corretamente os valores do círculo e do triângulo,
por se tratar de números inteiros negativos.
A figura abaixo ilustra um protocolo de aluno durante o pré-teste sobre a
ordenação dos números inteiros.
FIGURA 3.4 – Protocolo de resposta aluno GE 6 do pré-teste
Questão4: (Questão6) - Assinale a alternativa correta.
A) 0 É MAIOR QUE -4 SIM NÃO
B) 5 É MENOR QUE -8 SIM NÃO
C) –5 É MAIOR QUE -7 SIM NÃO
D) -2 É MENOR QUE -8 SIM NÃO E) –5 É MENOR QUE 7 SIM NÃO
Quadro 3.14 - Questão 4 do pós teste.
Análise a priori:
Depois do desenvolvimento da seqüência esperamos que a maioria dos
alunos consiga distinguir adequadamente os números inteiros positivos dos
números inteiros negativos.
É interessante observar que na correspondente questão do pré-teste,
em nossas análises a posteriori, constatamos que os a maioria dos alunos não
identificam os números inteiros negativos.
94
QUESTÃO 5: (QUESTÃO7)-OBSERVE A RETA ABAIXO E IMAGINE QUE JOÃO SAIU DA POSIÇÃO –2 E CHEGOU NA POSIÇÃO 3.
QUANTOS NÚMEROS JOÃO ANDOU?
Quadro 3.15 - Questão 5 do pós teste.
Análise a priori:
Depois do desenvolvimento da seqüência esperamos que a maioria dos
alunos consiga a movimentação na reta numérica com os números inteiros
positivos e negativos, associando a idéia da reta numérica com o prédio,
utilizando a contagem numérica.
É interessante observar que na correspondente questão do pré-teste,
em nossas análises a posteriori, constatamos que os a maioria dos alunos não
associam a reta numérica com o prédio e na sua maioria apresentam muitas
dificuldades com a contagem.
QUESTÃO6:(QUESTÃO8)- USE A RETA ACIMA PARA LHE AJUDAR E RESPONDA QUAL É A DISTÂNCIA ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO:
a) DE -3 ATÉ 3 _________ b) DE -5 ATÉ 0 __________ c) DE 0 ATÉ 6 __________ d) DE 4 ATÉ -3 __________
Quadro 3.16 - Questão 6 do pós teste.
Análise a priori:
Depois do desenvolvimento da seqüência esperamos que a maioria dos
alunos consiga associar a reta numérica com o prédio, apesar da dificuldade
que os alunos apresentam em sair do concreto (prédio) e ir para a régua, na
contagem dos números inteiros positivos e negativos para realização dos
movimentos na reta numérica.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
95
É interessante observar que na correspondente questão do pré-teste,
em nossas análises a posteriori, constatamos que alguns alunos associaram a
reta numérica com o prédio e na sua maioria apresentaram muitas dificuldades
com a contagem.
QUESTÃO7: (QUESTÃO4) – OLHE COM ATENÇÃO A RETA ABAIXO E COMPLETE COM OS NÚMEROS INTEIROS CORRETOS:
Quadro 3.17 - Questão 7 do pós teste.
Análise a priori:
Depois do desenvolvimento da seqüência esperamos que a maioria dos
alunos consiga distinguir adequadamente os números inteiros positivos dos
números inteiros negativos. Verificamos se o aluno possui um referencial
concreto para representação dos números em uma reta, ou se eles estão
utilizando um registro de representação plurifuncional.
É interessante observar que na correspondente questão do pré-teste,
em nossas análises a posteriori, constatamos:
a) Alguns erros em relação ao sentido da reta e ordenação dos números
inteiros positivos e negativos;
b) Em nossas análises anteriores observamos que a minoria dos alunos
enxergou os andares do prédio como números da reta numérica.
0
3
96
Questão 8: (Questão 5)- João está no número 3.
UTILIZE A RETA DO EXERCÍCIO ANTERIOR E RESPONDA:
a) PARA CHEGAR AO NÚMERO 5 O QUE ELE PRECISA FAZER? ____________________________________________________________________
b) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO____________________________________
c) SAINDO DO NÚMERO 2 O QUE ELE PRECISA FAZER PARA CHEGAR NO NÚMERO -2? ____________________________________________________________________
d) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO____________________________________
Quadro 3.18 - Questão 8 do pós teste.
Análise a priori:
Depois do desenvolvimento da seqüência esperamos que a maioria dos
alunos consiga eliminar as dificuldades em relação à direção e sentido da reta e
se realmente conseguem correlacionar esta reta com o prédio.
É interessante observar que na correspondente questão do pré-teste,
em nossas análises a posteriori, constatamos que a minoria dos alunos
enxergou os andares do prédio como números da reta numérica.
A figura abaixo ilustra um protocolo de aluno durante o pré-teste sobre a
as dificuldades em relação à direção e sentido da reta.
FIGURA 3.5 – Protocolo de reposta do aluno GC 4 do pré-teste
97
QUESTÃO 9:(QUESTÃO 9) – PRESTE BASTANTE ATENÇÃO NA DIREÇÃO E NO SENTIDO DO SEGMENTO
DE RETA ABAIXO:
a) QUAL É O NOME DA DIREÇÃO DO SEGMENTO DE RETA: ______________________________________________________________________
b) QUAL É O NOME DO SENTIDO DO SEGMENTO DE RETA? ______________________________________________________________________
RESPONDA USANDO NÚMEROS E SINAIS (+ OU -)
c) PARA SAIR DE + 1 E CHEGAR EM + 5 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? ______________________________________________________________________
d) PARA SAIR DE 0 E CHEGAR EM –4 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? ______________________________________________________________________
e) PARA SAIR DE – 4 E CHEGAR EM + 3 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? ______________________________________________________________________
f) PARA SAIR DE – 5 E CHEGAR EM –1 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? ______________________________________________________________________
Quadro 3.19 - Questão 9 do pós teste.
Análise a priori:
Depois do desenvolvimento da seqüência esperamos que a maioria dos
alunos consiga um bom desempenho para os conceitos de direção e sentido,
bem como os conceitos de números inteiros.
É interessante observar que na correspondente questão do pré-teste,
em nossas análises a posteriori, constatamos nenhum aluno expressou o
conceito de direção e sentido em relação aos números inteiros.
A figura abaixo ilustra um protocolo de aluno durante o pré-teste sobre o
conceito de direção e sentido.
-4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 -5
98
FIGURA 3.6 – Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pré-teste
QUESTÃO10: (NOVA) - OBSERVE AS FLEXINHAS DAS RETAS QUE INDICAM O SENTIDO E COMPLETE OS NÚMEROS QUE FALTAM EM CADA UMA.
Quadro 3.20 - Questão 10 do pós teste.
Análise a priori:
Depois do desenvolvimento da seqüência esperamos que a maioria dos
alunos tenha uma ampla visão de aplicação dos números inteiros para a reta
numérica com qualquer direção e sentido.
É interessante observar que para esta questão não tivemos uma
respectiva no pré-teste.
3.5.2 – MATERIAIS DA ETAPA 2 – A INTERVENÇÃO
Descrevemos nesta subseção as fichas de atividades que compõem a
seqüência de ensino e o material manipulativo. As fichas são em número total
de 31 atividades entregues aos alunos de acordo com o planejamento de cada
encontro.
00
99
O material manipulativo utilizado por nós consta de fichas vermelhas,
verdes, barbante e uma flecha. As fichas serão preenchidas numericamente
pelos próprios alunos durante a aplicação das atividades.
Estes materiais serão fundamentais para definirmos importantes
conceitos de direção e sentido de uma reta.
A seguir apresentamos a descrição pormenorizada de cada uma das
questões das atividades, bem como uma análise das mesmas.
Na primeira atividade de nossa seqüência, as crianças receberão uma
folha com um desenho de um prédio e será solicitado a numerar os andares,
recortar o prédio de apartamentos com andares acima e abaixo do térreo.
Em seguida, deverão colar o prédio numa folha que contém 2 árvores e
uma linha indicando o solo.
1 - VOCÊ ESTÁ RECEBENDO UMA FOLHA COM UM DESENHO DE UM PRÉDIO. NUMERE OS ANDARES E RECORTE. DEPOIS MONTE O PRÉDIO NOVAMENTE E COLE NESTA FOLHA.
Quadro 3.21 - Atividade 1 da seqüência de ensino.
100
Objetivo dessa atividade foi:
Introduzir os números inteiros, com sua ordem habitual, bem como dos
conceitos de números positivos, negativos e zero ou nulo. Comparando-os
entre si pelo seu valor numérico, e verificando quais as relações que o número
zero possui com eles.
O PCN aponta que a organização de um número é um aspecto de
fundamental importância, pois é também por meio dele que o aluno ampliará
seu domínio numérico e compreenderá a necessidade de criação de números
negativos. (BRASIL, 1997).
Na segunda atividade de nossa seqüência é solicitado as crianças
desenhem um prédio de apartamentos com 1 andar térreo, 12 andares acima
do térreo e 3 andares de garagens abaixo do térreo.
2 - DESENHE UM PRÉDIO DE APARTAMENTOS COM 1 ANDAR TÉRREO, 12 ANDARES ACIMA DO TÉRREO E 3 ANDARES DE GARAGENS ABAIXO DO TÉRREO.
Quadro 3.22 - Atividade 2 da seqüência de ensino.
Objetivo dessa atividade foi:
Reforçar a introdução dos números inteiros, salientando novamente a
sua ordem habitual.
Com base no aporte teórico de Piaget podemos notar que representar
significa o resultado de uma ação que pode ser adquirida pela diferenciação
ativa de significantes e significados. (Piaget, 1978).
A terceira atividade de nossa seqüência é para representar o prédio
“desenhado em uma reta”, marcando os andares dos moradores, o térreo e os
andares das garagens.
101
3-REPRESENTE NA RETA A SEGUIR O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU. MARQUE OS ANDARES DOS MORADORES, O TÉRREO E OS ANDARES DA GARAGEM.
Quadro 3.23 - Atividade 3 da seqüência de ensino.
Objetivo dessa atividade foi:
Desenvolver o raciocínio que permita a passagem do desenho que
representa o prédio para o da reta numérica, observando como os alunos
interpretam esta situação, estando atentos para os registros de representação
de Duval, de um registro plurifuncional não discursivo (figura) para um
monofuncional não discursivo (gráfico).
Na quarta atividade de nossa seqüência os alunos desenharão em uma
reta os números correspondentes aos andares, isto é, 0 para o térreo,
1,2,...para os andares acima e -1,-2,... para os andares abaixo do térreo.
4-FAÇA UMA RETA REPRESENTANDO O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU, NUMERANDO OS ANDARES DA SEGUINTE MANEIRA:
• OS ANDARES ACIMA DO TÉRREO COM OS NÚMEROS 1, 2, 3, ...; • O TÉRREO NUMERE COM 0; • OS ANDARES DAS GARAGENS COM UM SINAL E UM NÚMERO.
Quadro 3.24 - Atividade 4 da seqüência de ensino.
Objetivo dessa atividade foi:
Reforçar o raciocínio dos alunos da passagem do prédio para a reta
numérica, à partir da “evocação do objeto ausente” de Piaget(1937), o
Nascimento da Inteligência na Criança, sugere que o aluno “esqueça” o edifício
e represente os andares do prédio usando uma reta. Adotando o andar térreo
102
como o ponto zero na reta numérica, iremos reforçar a compreensão intuitiva
para um caminho importante na marcação dos números inteiros positivos e
negativos.
Na quinta atividade de nossa seqüência os alunos desenharão uma reta
com andar térreo e andares acima e abaixo do térreo.
5-FAÇA UMA RETA REPRESENTANDO O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU, NUMERANDO OS ANDARES ACIMA DO TÉRREO E O ANDAR TÉRREO. NUMERE OS ANDARES DAS GARAGENS COMO O SEU COLEGA OU SUA PROFESSORA NUMEROU.
Quadro 3.25 - Atividade 5 da seqüência de ensino.
Objetivo dessa atividade foi:
Estabelecer a partir do ponto zero, um caminho com marcos positivos e
negativos.
Mostrando que a representação não é, com efeito, outra coisa senão o
esboço motor interiorizado de ações. (DUVAL, 1999b, p.18).
Na sexta atividade de nossa seqüência os alunos deverão identificar os
números que foram apresentados.
6 - RESPONDA: A) OS NÚMEROS 1,2,3,... SÃO CHAMADOS NÚMEROS.................................................................................................................................. B) O NÚMERO 0 É CHAMADO ..........................................OU...................................... ............................................................. C) OS NÚMEROS -1,-2,-3,.... SÃO CHAMADOS NÚMEROS................................................................................................................................... D) OS NÚMEROS ...., -3,-2,-1,0,1,2,3,...SÃO CHAMADOS NÚMEROS...................................................................................................................................
Quadro 3.26 - Atividade 6 da seqüência de ensino.
Objetivo dessa atividade foi:
Desenvolver com os alunos os conceitos e suas relações com os
números dos nomes positivos, zero ou nulo, negativos e inteiros.
103
Segundo Duval a representação precede a descoberta do objeto, e o
conteúdo da representação, antes dessa descoberta, é interpretado por
analogia com os objetos já conhecidos pelo sujeito. (Duval, 1999b, p.17).
Na sétima atividade de nossa seqüência os alunos novamente devem
identificar os números que foram apresentados, com a finalidade de consolidar
nomenclaturas vistas.
7- INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS INTEIROS
COMPLETE: a) OS NÚMEROS 1,2,3,...SÃO CHAMADOS ____________________________________________________________________________ b) O NÚMERO 0 É CHAMADO ___________________________________OU_______________________________________ c) OS NÚMEROS -1,-2,-3,.... SÃO CHAMADOS ____________________________________________________________________________ d) OS NÚMEROS...,-3,-2,-1,0,1,2,3... SÃO CHAMADOS ____________________________________________________________________________
Quadro 3.27 - Atividade 7 da seqüência de ensino.
Objetivo dessa atividade foi:
Gradualmente associar o térreo com o número 0, os andares acima do
térreo com os números positivos e as garagens como números negativos.
104
Introduzir os números negativos em um contexto possível de ser
encontrado pelos alunos em edifícios, na ordem habitual dos inteiros, através
da conversão linguagem natural para a linguagem simbólica.
Com base no aporte teórico segundo Duval “Se não houver uma
aprendizagem prévia relativa às especificações semióticas de formação e de
tratamento de representação que são próprias a cada um dos registros
presentes”. (Duval, 1995, p.46).
Na oitava atividade os alunos “derrubarão o prédio”, isto é,
representarão horizontalmente.
8- VAMOS “DERRUBAR O PRÉDIO” PARA A DIREITA. REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA HORIZONTAL.
Quadro 3.28 - Atividade 8 da seqüência de ensino. Objetivo dessa atividade foi:
Superar alguns obstáculos e consolidar a representação dos números
inteiros em uma reta horizontal. Mostrando aos alunos que podemos trabalhar
os números inteiros recém-introduzidos através de uma reta com
representação em direções horizontais e verticais.
Na nona atividade os alunos novamente “derrubarão o prédio”, isto é,
representarão horizontalmente.
9 – VAMOS “DERRUBAR O PRÉDIO” PARA A ESQUERDA. REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA HORIZONTAL.
Quadro 3.29 - Atividade 9 da seqüência de ensino. Objetivo dessa atividade foi:
Novamente superar alguns obstáculos e consolidar a representação
dos números inteiros em uma reta horizontal. Tentando mostrando aos alunos
que podemos trabalhar os números inteiros recém-introduzidos através de uma
reta com representação em direções horizontais e verticais. Dando ao aluno
105
um referencial concreto para a representação dos números inteiros em uma
reta.
Nas atividades 10, 12, 14, 16 e 18, os alunos trabalharão com fichas
brancas, verdes e vermelhas onde preencheram os números inteiros, um
pedaço de barbante para representar a reta e uma flecha para mostrar o
sentido da reta.
DIREÇÃO E SENTIDO DA RETA NUMERADA PARA AS ATIVIDADES 10, 12, 14, 16 E 18: VOCÊ ESTÁ RECEBENDO UM KIT COM UM PEDAÇO DE BARBANTE, 6 FICHAS VERMELHAS, 6 FICHAS VERDES, UMA FICHA BRANCA E UMA FLECHA. ESCREVA NA FICHA BRANCA 0, NAS FICHAS VERMELHAS ESCREVA –1,-2,-3, ETC. E NAS FICHAS VERDES ESCREVA 1, 2, 3, ETC. 10 – ESTENDA O BARBANTE HORIZONTALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 À DIREITA DO ZERO.COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DA ESQUERDA PARA A DIREITA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE. 11- REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL, SENTIDO DA ESQUERDA PARA A DIREITA. VOCÊ PODE SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
Quadro 3.30 - Atividade 10 e 11 da seqüência de ensino. O objetivo dessa atividade:
Visa demonstrar ao aluno um referencial concreto para representar os
números inteiros na reta, usando um registro de representação plurifuncional
não discursivo (modelo), na utilização de barbante, fichas e flechas. Enquanto
na representação em uma reta temos uma mudança de registro, de um
plurifuncional não discursivo (modelo) para um monofuncional não discursivo
(gráfico). Muito importante nesta atividade é deixar claro ao aluno que direção é
horizontal e o sentido é da esquerda para direita.
106
12 – Estenda o barbante HORIZONTALMENTE em relação à você. Escolha um ponto e coloque a ficha branca. Coloque o número 1 à esquerda do zero. Com a mesma distância do zero ao 1, coloque os números 2, 3, 4, etc. Coloque os números negativos. Dizemos que estamos orientando a reta da direita para a esquerda. Coloque a flecha ao lado do barbante. 13 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL, SENTIDO DA DIREITA PARA A ESQUERDA. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
Quadro 3.31 - Atividade 12 e 13 da seqüência de ensino.
O objetivo dessa atividade:
Enfatizar novamente o que é direção (horizontal) e o que é sentido
(direita para esquerda). Muito importante nesta atividade é deixar claro ao
aluno que a posição dos números positivos ou negativos na reta está ligada ao
sentido da reta.
14 – ESTENDA O BARBANTE VERTICALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 ACIMA DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DE BAIXO PARA CIMA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.
15 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL, SENTIDO DE BAIXO PARA CIMA. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
Quadro 3.32 - Atividade 14 e 15 da seqüência de ensino.
O objetivo dessa atividade:
Demonstrar ao aluno que esta é outra maneira de representar os
números inteiros na reta agora com uma reta vertical e com outro sentido de
baixo para cima. Muito importante nesta atividade é deixar claro ao aluno o que
é direção (vertical) e sentido (de baixo para cima) de uma reta.
16 – ESTENDA O BARBANTE VERTICALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 ABAIXO DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DE CIMA PARA BAIXO. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.
17 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL, SENTIDO DE CIMA PARA BAIXO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
Quadro 3.33 - Atividade 16 e 17 da seqüência de ensino.
107
O objetivo dessa atividade:
Mostrar ao aluno que continuamos com uma reta com direção vertical e
com outro sentido, agora de cima para baixo.
18 – ESTENDA O BARBANTE E ESCOLHA UMA DIREÇÃO QUE NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL EM RELAÇÃO A VOCÊ. COLOQUE O ZERO, OS NÚMEROS POSITIVOS, OS NEGATIVOS E A FLECHINHA.
19 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO QUE NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL. ESCOLHA UM SENTIDO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
Quadro 3.34 - Atividade 18 e 19 da seqüência de ensino.
O objetivo dessa atividade:
Mostrar aos alunos que temos outras direções além da vertical e
horizontal, que iremos trabalhar nas próximas atividades.
Quanto a representação, isto a esquematização do barbante para o
desenho mostra uma mudança de registro de um modelo plurifuncional não
discursivo (modelo) para um monofuncional não discursivo (gráfico).
20 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA. VOCÊ ESCOLHE A DIREÇÃO E O SENTIDO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
Quadro 3.35 - Atividade 20 da seqüência de ensino.
O objetivo dessa atividade:
Visualizar se o problema de ordenação dos números inteiros foi
superado e se os alunos conseguiram assimilar os conceitos de direção e
sentido de uma reta. No campo da representação se os alunos conseguiram
uma passagem imediata da plurifuncional não discursiva para a monofuncuonal
não discursiva.
Na vigésima primeira atividade de nossa seqüência os alunos
novamente devem identificar os números que foram apresentados.
108
21 – RECORDANDO: a) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS 1, 2, 3,...? ........................................................................................................................................................ b) COMO É CHAMADO O NÚMERO 0? ..............................................................OU...................................................................................... c) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS -1, -2, -3,...? ......................................................................................................................................................... d) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS -3, -2, -1, 0 , 1, 2 , 3,...? .........................................................................................................................................................
Quadro 3.36 - Atividade 21 da seqüência de ensino.
O objetivo dessa atividade:
Revisão e consolidação das nomenclaturas dos números inteiros.
Nas 22, 23, 24, 25 atividades de nossa seqüência os alunos trabalharão
com os números inteiros numa reta e suas respectivas direções e sentidos.
22 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.
a) QUAL É A DIREÇÃO DESSA RETA? ........................................................................................................................................................ b) QUAL É O SENTIDO DESSA RETA? ........................................................................................................................................................
Quadro 3.37 - Atividade 22 da seqüência de ensino.
O objetivo dessas atividades 22, 23, 24, 25:
Nestas atividades os alunos precisam se valer de todos os
conhecimentos usados e adquiridos durante a seqüência. Logo, acreditamos
que não apresentarão grandes dificuldades na resolução.
23 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.
a) QUAL É A DIREÇÃO DESSA RETA?.................................................................................................... b) QUAL É O SENTIDO DESSA RETA?....................................................................................................
Quadro 3.38 - Atividade 23 da seqüência de ensino.
109
24 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.
Quadro 3.39 - Atividade 24 da seqüência de ensino.
25 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.
Quadro 3.40 - Atividade 25 da seqüência de ensino.
Nas 26, 27, 28, 29 e 30 atividades de nossa seqüência os alunos
trabalharão com os números inteiros numa reta e suas respectivas direções e
sentidos. Onde construirão as suas retas sem o apoio de exemplos.
26 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL E COM SENTIDO DA ESQUERDA PARA DIREITA.
Quadro 3.41 - Atividade 26 da seqüência de ensino.
O objetivo dessas atividades 26, 27, 28, 29 e 30:
São de verificar como os alunos aplicarão os seus conhecimentos
adquiridos e apresentarão as suas dificuldades nas construções de retas que
especificam sentidos e direções diferentes usando os números inteiros.
27 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL E COM SENTIDO DA DIREITA PARA ESQUERDA.
Quadro 3.42 - Atividade 27 da seqüência de ensino.
110
28 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL E COM SENTIDO DE BAIXO PARA CIMA.
Quadro 3.43 - Atividade 28 da seqüência de ensino.
29 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL E COM SENTIDO DE CIMA PARA BAIXO.
Quadro 3.44 - Atividade 29 da seqüência de ensino.
30 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA CUJA DIREÇÃO NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL. INDICAR O SENTIDO USANDO UMA FLECHINHA.
Quadro 3.45 - Atividade 30 da seqüência de ensino.
Na atividade trigésima primeira de nossa seqüência os alunos deverão
observar as retas e os respectivos sentidos e completar os espaços vazios com
os números inteiros.
31–OBSERVE O SENTIDO DE CADA RETA E COMPLETE COM NÚMEROS INTEIROS.
Quadro 3.46 - Atividade 31 da seqüência de ensino.
O objetivo dessa atividade:
Medir a evolução dos alunos quanto às habilidades e conceitos de
números inteiros na reta numérica, evidenciando a consolidação do conceito de
ordenação dos números inteiros, observando se os alunos assimilaram de
modo geral, o conceito de direção e sentido.
111
CAPÍTULO 4 ANÁLISE DOS RESULTADOS
O presente capítulo tem por objetivo descrever e analisar os resultados
obtidos em nosso estudo experimental. Esta análise tem caráter quantitativo e
qualitativo. Com relação a análise quantitativa, esta basear-se-à nos números e
percentuais de acertos dos sujeitos da pesquisa nos instrumentos diagnósticos,
já a parte qualitativa da análise leva em consideração os tipos de resposta
apresentados pelos sujeitos dos dois grupos no instrumento diagnóstico e
também as estratégias de ação utilizadas pelos sujeitos do grupo experimental
ao longo de nossa intervenção de ensino.
Iniciamos examinando os dados obtidos a partir da aplicação dos dois
instrumentos diagnósticos, pré e pós-teste, dos dois grupos de sujeitos, GE e
GC, primeiro sob a ótica quantitativa e, em seguida, qualitativamente.
Na análise quantitativa faremos, inicialmente, uma comparação entre os
acertos desses dois grupos no pré-teste, seguida de uma comparação entre os
resultados dos dois grupos no pós-teste. Faremos ainda uma análise da
evolução, ou involução, dos resultados do pré-teste para o pós-teste dos
sujeitos de cada grupo (GE e GC) bem como uma confrontação entre os
percentuais de acertos no pós-teste. Finalizamos as considerações
quantitativas com uma análise do desempenho dos alunos do GE nos itens do
pré e pós-teste, pois trata-se do grupo em que desenvolvemos a intervenção de
ensino.
Na análise qualitativa, utilizamos categorias, extraídas com base em
estratégias de resolução dos próprios alunos nos testes diagnósticos, o que
112
nos permitirá uma maior clareza dos dados. Sempre que pertinente,
apresentamos trechos das fichas de atividades da intervenção de ensino
realizadas pelos os alunos do GE com a finalidade de buscar possíveis
explicações para o desempenho desses alunos nos pós-testes.
Como já dito no capítulo da metodologia, a intervenção de ensino foi
desenvolvido com todos os alunos da classe do GE, mas só foram
considerados aqueles que participaram de todo o experimento, ou seja, do pré
e pós-teste e da intervenção de ensino. Assim, os alunos do GE que estavam
presentes nos testes, mas que faltaram em algum dos encontros da
intervenção, foram descartados enquanto sujeitos experimentais. Todavia,
sempre que esses alunos estavam presentes nos encontros de intervenção, foi
permitida sua participação nas atividades em conjunto com a classe. Esse
mesmo critério foi adotado com relação aos alunos do GC, no que diz respeito
a poder responder os instrumentos diagnósticos. O motivo para permitir a
participação do aluno em qualquer etapa do estudo, é evitar o sentimento de
discriminação, por outro lado, o não considerá-lo como sujeito da pesquisa foi
assumido para garantir maior cientificidade, evitando que variáveis não
planejadas no presente estudo e, portanto, sem nosso controle, pudessem
interferir e/ou falsear os resultados.
4.1 – ANÁLISE QUANTITATIVA
Consideramos certas as questões cujas respostas estavam estritamente
corretas, ou seja, desconsideramos as respostas com valores aproximados ou
com erros de escrita, de cálculo ou de contagem, mesmo que o raciocínio à
primeira vista parecia correto.
113
4.1.1 – ANÁLISE GERAL: COMPARAÇÃO ENTRE O NUMERO DE
ACERTOS DOS GRUPOS GE E GC NOS PRÉ E PÓS-TESTES.
A tabela 4.1 abaixo apresenta o desempenho geral nos testes – pré e
pós – dos dois grupos (GE e GC), tanto em números absolutos de acertos bem
como em percentuais de sucesso.
Pré-teste Pós-teste
GE (17 alunos)
7 alunos (40,58%)
10 alunos (59,93%)
GC (18 alunos)
4 alunos (20%)
6 alunos (32,88%)
Tabela 4.1: desempenho geral do GE e GC nos testes (pré e pós-testes)
Observando esses resultados gerais, principalmente comparando os
resultados do pré-teste com o pós-teste temos:
• O desempenho dos grupos em relação ao pré e pós-teste mostra que
houve uma diferença e esta diferença mostra avanços, com uma evolução de
19,35 pontos de porcentagem no grupo GE, representando um crescimento de
47,58% em relação ao pré-teste. Enquanto o grupo GC apresentou uma
evolução de 12,88 pontos de porcentagem, representando um crescimento de
64,4%. À primeira vista, este resultado apresenta-se como um indicador de que
os alunos do GC mostraram um maior crescimento mesmo sem ter participado
da nossa intervenção em sala de aula. Podemos conjecturar que esta evolução
está relacionada ao interesse despertado na professora e em seus alunos
pelos números inteiros negativos. Notando que mesmo com um crescimento de
64,4% a porcentagem de acertos do grupo GC no pós-teste, ficou abaixo do
valor do pré-teste do grupo GE. Voltaremos a essa discussão quando
estivermos analisando os tipos de resposta apresentado no pós-teste pelos
114
dois grupos (análise qualitativa), pois como já dissemos, neste momento
estamos avaliando apenas aquelas respostas estritamente corretas.
• A diferença final entre os grupos é muito significativa, pois o grupo GE
tem 27 pontos de porcentagem a mais de acertos do que o grupo GC, isto
representa uma diferença de 82,26% no pós-teste.
• Apesar do GE ter apresentado um maior percentual de acerto no pré-
teste, este ainda foi baixo, o que nos permite inferir que, de um modo geral, os
alunos dos dois grupos, não conheciam os números negativos.
Reconhecemos que a tabela 4.1, que trás o percentual geral de acertos
dos GE e GC nos dois testes, apresentam os dados de maneira muito
genericamente, permitindo pouca interpretação no que tange à compreensão
desses alunos dos números inteiros negativos. Por isso faremos na sub-seção
a seguir, a análise do desempenho dos alunos, considerando item por item, nos
pré e no pós-testes.
4.1.1.1 - Análise, por item, dos instrumentos diagnósticos.
Nesta seção procederemos a análise do desempenho dos alunos dos
GE e GC no pré e pós-teste.
Pré-Teste
A tabela 4.2 abaixo apresenta o desempenho dos GE e GC no pré-teste.
Os números em vermelho representam a quantidade de acertos menores que
50%. Os números em azul representam a quantidade de acertos maior ou igual
a 50%.
α Representa a resposta do aluno dentro do círculo do exercício 1 do pré-
teste.
115
∆ Representa a resposta do aluno dentro do triângulo do exercício 1 do pré-
teste.
Π Representa a resposta do aluno dentro do quadrado do exercício 1 do pré-
teste.
No exercício 3 e 4, a parte (3a) e (4a) representam a ordenação dos
números inteiros positivos e a parte (3b) e (4b) representam a ordenação dos
números inteiros negativos.
Pós-Teste
A tabela 4.3 abaixo apresenta o desempenho dos GE e GC no pós-teste.
Os números em vermelho representam a quantidade de acertos menores que
50%, enquanto que os números em azul representam a quantidade de acertos
maiores ou igual a 50%.
α Representa a resposta do aluno dentro do círculo do exercício 3 do pós-
teste.
∆ Representa a resposta do aluno dentro do triângulo do exercício 3 do pós-
teste.
Π Representa a resposta do aluno dentro do quadrado do exercício 3 do pós-
teste.
δ Representa a resposta do aluno dentro do retângulo do exercício 3 do pós-
teste.
No exercício 2, 7 e 10, a parte (2a), (7a) e (10a) representam a
ordenação dos números inteiros positivos e a parte (2b) e (7b) e (10b)
representam a ordenação dos números inteiros negativos.
116
4.1.1.2 Apresentação dos Desempenhos dos alunos dos GE e GC nos pré e pós-testes (item por item)
Questões
Grupos Teste
α
∆
Π 1a 1b 1c 2 3a 3b 4a 4b 5a 5b 5c 5d 6a 6b 6c 6d 7a 7b 8a 8b 8c 9a 9b 9c 9d 9e 9f Total
GE Pré-teste 0 0 4 14 14 3 0 13 0 17 0 14 15 4 0 6 5 14 2 11 13 10 10 8 0 2 8 6 6 8
207
40,58%
G
C Pré-teste 0 0 2 11 14 3 0 13 0 13 0 3 3 2 0 4 5 16 3 1 0 0 4 3 0 2 2 1 1 0
108
20%
Tabela 4.2: Distribuição do desempenho geral dos dois grupos – GE e GC – no pré-teste.
Questões
Grupos Teste
1 2a 2bα ∆ Π δ 3a 3b 3c 3d 4a 4b 4c 4d 4e 5 6a 6b 6c 6d 7a 7b 8a 8b8c 8d 9a9b 9c 9d 9e 9f 10a
10b
10c
10d Total
GE
Pós teste 6 15 9 12 12 17 11 8 14 6 11 9 4 4 4 11 5 7 10 12 3 15 14 14 14 8 0 10 13 11 11 11 10 13 12 13 17
377
59,93%
GC
Pós teste 0 12 0 2 2 5 8 11 16 5 15 1 3 2 1 16 1 2 5 7 1 17 0 8 10 9 0 0 12 2 9 4 6 12 1 1 14
219
32,88%
Tabela 4.3: Distribuição do desempenho geral dos dois grupos – GE e GC – no pós-teste.
117
Do ponto de vista do número de acertos, notamos que a tabela 4.2 pode
ser dividida em duas partes. Uma parte na qual os alunos apresentam bom
desempenho nos itens 1a 1b, 3a, 4a e 6c já no pré-teste. Isto acontece tanto no
grupo experimental (GE) quanto no grupo de controle (GC). Este alto número de
sucesso justifica-se por está relacionado aos exercícios que trabalham com os
números naturais, isto é os números inteiros positivos.
A outra parte da tabela 4.2 foi aquela referente aos itens em que os alunos
apresentaram crescimento no número de acertos do pré para o pós-teste,
principalmente no GE.
Notamos, como esperado, que nenhum aluno acertou os itens α , ∆ , 2, 3b,
4b, 5d e 9a em ambos os grupos, no pré-teste (tabela 4.2). Isto porque estes itens
exigiam que os alunos conhecessem o conjunto dos números inteiros, o que não
acontece nas séries iniciais do Ensino Fundamental.
Também notamos um desempenho nulo do grupo GC nos itens 7b, 8a e 9f,
os quais tratavam, novamente, com os números negativos e buscando explicação
novamente em Jahn (1994), encontramos que os números naturais podem ser
representados por objetos ou modelos empíricos, os números negativos não
existem, no mesmo sentido, na vida cotidiana. Onde é preciso no processo
escolar, supor a passagem das grandezas (noções concretas) aos números
(noção abstrata).
No pós-teste observamos um maior crescimento no número de acertos por
parte do GE em relação ao GC, porém ainda tivemos itens nulos nos dois grupos,
como foi o caso do exercício 8d e no GC dos itens 1, 2b, 7b e 9a.
118
Examinando estes aspectos, encontramos explicações nos estudos de
Jahn (1994), em que a pesquisadora elucida a dificuldade em unificar a reta
numérica, ou mais precisamente, a dificuldade dos alunos pesquisados por ela na
homogenização dos inteiros positivos e negativos em uma única entidade de
números.
4.1.2 - COMPARAÇÃO INTRA E INTERGRUPOS – UMA SÍNTESE
Observamos que os dois grupos apresentam uma evolução na
comparação intragrupos, ou seja, tanto o GE como o GC cresceram em seus
desempenhos. Mas, ao confrontarmos os percentuais de crescimento desses dois
grupos, notamos que, o aumento no percentual de acerto do GE é maior do que o
do GC.
Em porcentagem o crescimento GE foi de 19,35% e do GC foi de 12,88%.
Um fator a ser destacado é que o grupo GC não conseguiu atingir, mesmo no
pós-teste, o percentual de acerto que o grupo GE teve no pré-teste, que foi de
40,58%.
Como já mencionamos anteriormente, os alunos possuem dificuldades de
trabalhar com os números negativos, muito provavelmente pelo desconhecimento
desse conjunto numérico, embora o GE apresentasse, já no pré-teste, alguma
competência em lidar com ele.
4.2 - ANÁLISE QUALITATIVA
Nossa análise qualitativa considera todos os dados obtidos no estudo,
sejam os advindos dos instrumentos diagnósticos (pré-teste e pós-teste), sejam
aqueles coletados na intervenção de ensino.
119
Como já foi dito anteriormente, o foco de nossa pesquisa é a introdução
dos números inteiros para alunos da 3ª.série do Ensino Fundamental, por meio de
representações dos números inteiros na reta orientada.
Nos instrumentos diagnósticos utilizamos comparações entre os números
inteiros, ou seja, trabalhamos relações entre números positivos e negativos.
Também estudamos a representação desses números em retas e ainda em
andares de prédios de apartamentos.
Trabalhamos também com o sentido e direção da reta orientada com os
números inteiros.
Figura 4.1 – Esquema de nossa análise qualitativa
Observando os conjuntos de atividades que trabalhamos com os nossos
alunos, podemos separar 3 padrões de conceitos aplicados:
• Representação de uma reta de um prédio de apartamentos com andares
para cima e para baixo do térreo;
QUALITATIVA
REPRESENTAÇÃO DE DIREÇÃO E
SENTIDO
REPRESENTAÇÃO DE UMA RETA DE UM PRÉDIO DE APARTAMENTOS
CONVERSÃO DE REGISTROS DE
DESIGUALDADES
120
• Representação de direção e sentido de uma reta que podem ser
horizontais, verticais, noroeste, sudoeste, etc. Com o uso de barbante e
fichas vermelhas e azuis para representar os números inteiros;
• Conversão de registros de desigualdades, da linguagem simbólica para a
natural e vice-versa.
Os resultados apresentados no pré-teste e pós-teste nos mostram que os
números negativos fazem parte de nosso cotidiano e que precisamos buscar a
coerência entre o estudo desses números na escola e a sua aplicação na nossa
vida diária, conforme afirma Nieto (1994).
A três próximas seções da análise serão dedicadas a apresentação e
interpretação dos resultados obtidos no pré-teste, na intervenção de ensino e no
pós-teste, respectivamente. Seguiremos exatamente esta ordem porque achamos
que esta foi a seguida na realização do estudo e que, portanto, faz sentido
apresentá-la conforme ela foi experienciada pelos alunos.
4.2.1 ANÁLISE QUALITATIVA DO PRÉ-TESTE
Nesta seção, para efeito de riqueza da análise, procedemos com a mesma
nos detendo em cada um dos itens que compuseram o pré-teste. Assim
seguimos a seguinte ordem de apresentação: primeiro traremos a questão, na
seqüência apresentamos os resultados obtidos pelos dois grupos (GE e GC),
acompanhados de nossa interpretação desses resultados e por fim apresentamos
um ou dois exemplos, extraídos dos protocolos dos alunos, para melhor ilustrar
as estratégias de ação dos alunos. Sempre que pertinente a nossa discussão
será complementada com as idéias dos autores que nos deram sustentação
teórica e dos resultados obtidos por estudos correlatos.
121
Questão 1 1-PRENCHA NA SEQUÊNCIA ABAIXO ESCREVENDO O NÚMERO CORRESPONDENTE DENTRO DO CÍRCULO, OUTRO DENTRO DO TRIÂNGULO E OUTRO DENTRO DO QUADRADO:
a) O NÚMERO DENTRO DO CÍRCULO É MAIOR DO QUE O NÚMERO DO QUADRADO? SIM NÃO
b) NÚMERO DENTRO DO QUADRADO É IGUAL DO QUE O NÚMERO DENTRO DO TRIÂNGULO?
SIM NÃO
c) O NÚMERO DENTRO DO TRIÂNGULO É MENOR QUE ZERO? SIM NÃO
Dos 18 alunos do GC somente 2 completaram corretamente o número
dentro do quadrado, isto é os números naturais. Esse comportamento não foi
muito diferente no GE, já que apenas 4, dos 17 alunos, completaram
corretamente o número dentro do quadrado, isto é os números naturais.Conforme
figura 4.2 extraída do protocolo de resposta de aluno.
Figura 4.2 – Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré - teste
Nenhum dos alunos seja do GC ou GE, completou corretamente o valor
numérico dentro das figuras geométricas na respectiva reta, ressaltando conforme
relato da professora da escola em que aplicamos a pesquisa, todos os alunos
possuem conhecimento de figuras geométricas, pois trabalham desde a 2ª. série
com este conteúdo. Analisando este quadro notamos que os alunos possuem
0-1
122
familiarização somente com os números inteiros positivos, isto é, “somente noção
concreta do número”, como se refere Jahn (1994).
A figura 4.3 abaixo apresenta dois protocolos respondidos pelos alunos,
sendo o da esquerda retirado do GC e o da direita retirado do único aluno do GE
que acertou os três itens.
Figura 4.3 – Protocolo dos alunos GE 15 e GC15 respectivamente do pré-teste.
Notamos que os alunos possuem ordenação com os números inteiros
positivos, pois 14 alunos do GE e 11 alunos do GC acertaram a comparação do
quadrado com o círculo e praticamente tivemos o mesmo resultado de acertos na
comparação do quadrado com o triângulo, 14 alunos do GE e do GC. Na
comparação do triângulo com o número zero temos um resultado muito abaixo
dos outros itens com somente 3 acertos para cada grupo (GC e GE). Com isto
podemos nos apoiar novamente em Jahn (1994), a qual afirma que é preciso, no
processo de aprendizagem escolar, supor a passagem das grandezas (noções
concretas) aos números (noção abstrata) com a ajuda da fundamentação teórica.
A seguir analisaremos a questão 2.
Questão 2 2-OBSERVE COM ATENÇÃO OS NÚMEROS ABAIXO E ORGANIZE-OS EM ORDEM CRESENTE NA LINHA.
9, -9, 5, -5, 1, -1 E 0
________________________________________
123
Nenhum dos alunos, seja no GE ou no GC, conseguiu organizar em ordem
crescente os números. Abaixo apresentamos, na figura 4.4 o protocolo da
resposta dada por um dos alunos do GE no pré-teste, na qual é possível notar
que ele seguiu a ordem decrescente (diferente do que foi pedido). Além disso, ele
também organizou os números sem dar qualquer importância ao valor negativo,
numa evidência que desconhece se não o próprio conjunto numérico, pelo menos
a sua representação.
Figura 4.4 – Protocolo de resposta do aluno GC 2 do pré-teste
Notamos que além de organizar os números em ordem decrescente os
alunos ainda não conheciam os sinais dos números entendendo, por exemplo,
que o numero 5 era igual ao número -5. Portanto interpretamos que o aluno não
apresenta idéia de ordenação por faltar conhecimento ou familiarização com os
números inteiros negativos.
Considerando as idéias de Piaget (1995) que defende que o conhecimento
surge a partir da representação. Podemos afirmar que esse aluno não tem
conhecimento dos números inteiros, já que ainda não se apropriou de sua
representação.
124
Questão 3 3- O DESENHO ABAIXO É PARA MOSTRAR O PRÉDIO ONDE JOÃO MORA. O PRÉDIO TEM DOIS ANDARES GARAGENS, UM ANDAR TÉRREO E QUATRO ANDARES PARA CIMA. O ANDAR TÉRREO JÁ ESTÁ INDICADO COM NÚMERO ZERO.
COMPLETE O DESENHO DO PRÉDIO COLOCANDO O NÚMERO CORRETO DENTRO DE TODOS OS ANDARES.
Térreo 0
No GC 12 alunos completaram corretamente a parte dos números naturais
e os 6 restantes não completaram corretamente nem os naturais e nem os
números inteiros negativos.
No GE 13 alunos completaram corretamente os números naturais e 4
alunos não completaram corretamente nem os naturais e nem os números
inteiros negativos.
A figura 4.5 abaixo apresenta um protocolo respondido pelo aluno do GE
que ordenou corretamente os números inteiros positivos nos andares do prédio
acima do zero, mas também completou as garagens abaixo do zero com os
números inteiros positivos. Novamente o exemplo mostra que esses alunos não
têm familiarização com os números inteiros negativos.
125
Figura 4.5 – Protocolo de resposta do aluno GC 1 do pré-teste
Duval (1995,200) afirma que a aprendizagem matemática não consiste em
uma construção de conceitos pelos estudantes, mas na construção da arquitetura
cognitiva do sujeito epistêmico. Assim para que esses alunos consigam enfatizar
o processo de aprendizagem é necessário que o mais cedo possível, que se
apropriem de vários registros de representação para mudança de uma situação
Matemática.
Questão 4 4-ATENÇÃO OLHE O PRÉDIO ONDE JOÃO MORA. REPRESENTE NUMERICAMENTE OS ANDARES DO PRÉDIO NA RETA ABAIXO:
0
2 Subir é + Descer é -
126
Tivemos 17 alunos do GE e 13 alunos do GC que completaram
corretamente os números inteiros positivos e nenhum aluno completou
corretamente na reta os números inteiros negativos.
A figura 4.6 abaixo apresenta um protocolo de resposta do aluno, onde
notamos que o aluno organizou o prédio na reta numérica somente com os
números inteiros positivos.
Figura 4.6 - Protocolo da resposta do aluno GE 6 no pré-teste.
Podemos comparar esse resultado com os resultados obtidos nas
questões discutidas anteriormente e percebemos que tanto antes quanto agora o
sucesso dos alunos acontece apenas na parte da reta que trata dos números
inteiros positivos.
Este resultado encontra respaldo em Piaget (1975) quando este afirma que
representar é a capacidade de evocar, por meio de um signo ou de uma imagem
simbólica, o objeto ausente, os alunos de nossa amostra ainda não apresentam
tal capacidade no que tange aos números inteiros negativos. Pelo menos no
momento da aplicação do pré-teste.
127
Questão 5 5- JOÃO MORA NO SEGUNDO ANDAR.
UTILIZE A RETA DO EXERCÍCIO ANTERIOR E RESPONDA:
a) PARA CHEGAR AO QUARTO ANDAR O QUE ELE PRECISA FAZER?____________
_____________________________________________________________________________
b) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO___________________________
c) SAINDO DO SEU APARTAMENTO O QUE ELE PRECISA FAZER PARA CHEGAR NA
PRIMEIRA GARAGEM? ___________________________________________
d) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO___________________________
No item 5a, 14 alunos do GE e 3 alunos do GC responderam corretamente.
No item 5b, 14 alunos do GE e 3 alunos do GC responderam corretamente.
No item 5c, 4 alunos do GE e 2 alunos do GC responderam corretamente.
No item 5d, nenhum aluno tanto do GE como GC respondeu
corretamente.
Os alunos do GE tiveram sucesso quando trabalharam com os números
inteiros positivos souberam “andar” na reta numérica nos itens 5a e 5b. O mesmo
não aconteceu com o GC, que tive um resultado muito inferior, apresentando
dificuldades para “andar” na reta numérica mesmo com os números inteiros
positivos.
Mas quando os alunos tiveram que lidar com os números abaixo de zero
na reta os resultados dos dois grupos foram semelhantes (itens 5c e 5d), já que
tivemos resultados pouco expressivos ou praticamente nulos, mostrando que não
conseguiram representar os números inteiros negativos.
128
A figura 4.7 abaixo nos apresenta um protocolo de resposta do aluno.
Figura 4.7 - Protocolo de resposta do aluno do GC 4 no pré-teste.
O exemplo ilustra como os alunos não se apropriaram ainda dos números
inteiros negativos e como costumam lidar com eles, mesmo apresentando este
conjunto numérico dentro de um contexto familiar já que não conseguiram
enxergar as garagens como números inteiros negativos.
Questão 6 6 - ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA.
a) 0 É MENOR QUE -8 SIM NÃO
b) -5 É MENOR QUE -7 SIM NÃO
c) 5 É MENOR QUE 7 SIM NÃO
d) -7 É MENOR QUE 5 SIM NÃO No item 6a, 6 alunos do GE e 4 alunos do GC responderam corretamente.
No item 6b, 5 alunos tanto do GE como GC responderam corretamente.
No item 6c, 14 alunos do GE e 16 alunos do GC responderam
corretamente.
No item 6d, 2 alunos do GE e 3 alunos do GC responderam corretamente.
Notamos que o melhor resultado foi no item 6c, o qual apresenta números
inteiros positivos, nos outros itens a maioria dos alunos continuou não
129
identificando os números inteiros negativos, realizou a atividade trabalhando
como se todos os números fossem inteiros positivos.
A figura 4.8 abaixo nos apresenta um protocolo de resposta que acertou
somente os números inteiros positivos e outro que acertou todos os itens.
Figura 4.8 - Protocolo da resposta dos alunos GC 4 e GE 9 no pré-teste, respectivamente
Fica claro, mais uma vez, que os alunos não reconhecem os números
inteiros negativos. De fato segundo Duval (1995,1996) para o atendimento e
desenvolvimento da representação é preciso mobilizar vários registros.
Questão 7 7-OBSERVE COM ATENÇÃO A RETA ABAIXO E IMAGINE JOÃO ANDANDO NELA.
a) JOÃO SAIU DA POSIÇÃO -3 E CHEGOU NA 2. QUANTOS NÚMEROS ELE ANDOU?
b) JOÃO SAIU DA POSIÇÃO -3 E CHEGOU NA 2. QUANTOS NÚMEROS ELE ANDOU?
No item 7a, 11 alunos do GE e 1 aluno do GC responderam corretamente.
No item 7b, 13 alunos do GE e nenhum GC responderam corretamente.
A figura 4.9 abaixo apresenta dois protocolos respondidos pelos alunos,
sendo o da esquerda foi retirada de um protocolo de resposta do aluno GC e o da
direita do GE. Este último apresenta um aluno que acertou os 2 itens. Adotando a
reta numérica, somente como números inteiros positivos, os alunos do GE
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
130
souberam “andar” na reta e responder os itens 7a e 7b. Enquanto que o GC não
conseguiiu adotar nenhuma estratégia satisfatória para resolver os itens.
Figura 4.9 - Protocolo da resposta do aluno GC 8 e GE 15, respectivamente.
Questão 8 8- USE A RETA ACIMA PARA LHE AJUDAR E RESPONDA QUAL É A DISTÂNCIA ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO:
a) DE -2 ATÉ 2 __________
b) DE -6 ATÉ 0 __________
c) DE 5 ATÉ -2 __________
No item 8a, 10 alunos do GE e nenhum aluno do GC responderam
corretamente.
No item 8b, 10 alunos do GE e 4 aluno do GC responderam corretamente.
No item 8c, 8 alunos do GE e 3 aluno do GC responderam corretamente.
Observando as estratégias utilizadas por esses alunos, notamos que, em
alguns casos, eles apresentam erro de contagem, principalmente quando
trabalham com os números inteiros negativos ou ainda, quando esses números
não estão representados na reta numérica. Notamos que o GE teve praticamente
o mesmo resultado da questão anterior e o GC apresenta melhora pouco
significativa nesta questão. A figura 4.10 abaixo apresenta dois protocolos de
resposta dos alunos.
131
Figura 4.10 - Protocolo da resposta do aluno GE 6 no pré-teste.
Notamos que o GE apresenta um pouco mais de familiaridade com a ação
de deslocamento na reta numérica. Esta familiaridade contudo ainda está restrita
a poucos alunos deste grupo.
Questão 9
9 – PRESTE BASTANTE ATENÇÃO NA DIREÇÃO E NO SENTIDO DO SEGMENTO DE RETA ABAIXO:
a) QUAL É O NOME DA DIREÇÃO DO SEGMENTO DE RETA:
_________________________________________________________________
b) QUAL É O NOME DO SENTIDO DO SEGMENTO DE RETA:
________________________________________________________________ RESPONDA USANDO NÚMEROS E SINAIS (+ OU -).
c) PARA SAIR DE + 1 E CHEGAR EM + 4 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? _________________________________________________________________
d) PARA SAIR DE 0 E CHEGAR EM -3 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? _________________________________________________________________
e) PARA SAIR DE -2 E CHEGAR EM + 3 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? __________________________________________________________________
f) PARA SAIR DE +-3 E CHEGAR EM -1 QUANTOS NÚMEROS EU PULO?
_________________________________________________________________
No GE 13 alunos acertaram pelo menos um item, sendo que 4 alunos
erram todos.
-4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4
132
No item 9a, nenhum aluno do GE ou GC responderam corretamente.
No item 9b, 2 alunos tanto do GE como GC responderam corretamente.
No item 9c, 9 alunos do GE e 2 aluno do GC responderam corretamente.
No item 9d, 6 alunos do GE e 1 aluno do GC responderam corretamente.
No item 9e, 6 alunos do GE e 1 aluno do GC responderam corretamente.
No item 9f, 8 alunos do GE e nehum do GC responderam corretamente.
Na figura 4.11 abaixo apresenta um protocolo de resposta de aluno que
errou a direção da reta e o sentido do segmento de reta. Notamos que o aluno
comete uma troca dos nomes, mostra algum entendimento de direção e sentido,
mencionando deitada e direita.
Figura 4.11 - Protocolo da resposta do aluno do GC 5 no pré-teste.
A partir do desempenho dos alunos neste diagnóstico, somado as
estratégias errôneas que eles buscaram para responder as questões do pré-teste.
Notamos que iremos trabalhar os números inteiros negativos, sem que eles
tenham se apropriado deles. Além do que, fica claro para nós, que uma
133
intervenção de ensino que prioriza entre outras coisas o trabalho de direção e
sentido do segmento da reta. Passamos agora à análise da intervenção de ensino
na qual apenas o GE tomou parte.
4.2.2 - INTERVENÇÃO DE ENSINO
Nesta seção, como aconteceu no pré-teste, apresentamos os resultados
dos alunos do GE na resolução das atividades propostas apresentamos a
intervenção analisando atividade por atividade, acompanhadas sempre pela
ilustração de um ou dois exemplos extraídos dos protocolos desses alunos.
Analisamos as estratégias de ação dos alunos com as idéias dos autores que nos
deram sustentação teórica.
Atividade1 1 - VOCÊ ESTÁ RECEBENDO UMA FOLHA COM UM DESENHO DE UM PRÉDIO.
NUMERE OS ANDARES E RECORTE. DEPOIS MONTE O PRÉDIO NOVAMENTE E COLE NESTA FOLHA.
134
Temos 17 alunos que realizaram esta atividade. Notamos que eles a
realizaram com muito interesse, acrescentando desenhos de carros, ruas,
pessoas, semáforos, pássaros, nuvens e observamos em suas construções.
Apenas um aluno recortou e colou as garagens abaixo do térreo. Este foi
representado pelas árvores e a linha, conforme mostra a figura 4.12 abaixo do
seu protocolo de resposta.
Figura 4.12 - Protocolo de resposta do aluno GE 8 - Atividade 1 da intervenção de ensino.
Nessa atividade ainda não realizamos nenhuma intervenção sobre os
números inteiros negativos, simplesmente pedimos para que os alunos
numerassem, recortassem os andares e colassem novamente o prédio numa
folha em branco. A maioria dos alunos continuou ordenando os andares do prédio
135
na ordem decrescente e numerando as garagens com números inteiros positivos,
mostrando que não possuíam o conhecimento da representação dos números
inteiros. Passoni (2002) relatou problemas semelhantes aos encontrados em
nossa pesquisa.
Temos um outro exemplo (figura 4.13 abaixo) que mostra um aluno
ordenando corretamente os andares do prédio, porém identificando os números
negativos com os respectivos sinais, porém em ordem decrescente. Este aluno
não conseguiu visualizar as garagens abaixo do andar térreo, porém conseguiu
identificar as garagens como números negativos abaixo do zero. Como esta
primeira atividade é de familiarização, não realizamos nenhuma intervenção.
Figura 4.13 - Protocolo de resposta do GE 9 - Atividade 1 da intervenção de ensino
136
Lembramos que esta atividade teve como objetivo associar o andar térreo
ao número zero, e consequentemente associar os andares do prédio com os
números inteiros positivos e as garagens como números inteiros negativos. As
árvores foram colocadas no desenho para indicar o solo e adotarmos o térreo
para separarmos os andares do prédio das garagens. Introduzir a ordem habitual
e os conceitos dos números inteiros, acompanhando a diferenciação entre
significantes e significados para chegarmos à representação. (Piaget, 1978).
Atividade 2
2 - DESENHE UM PRÉDIO DE APARTAMENTOS COM 1 ANDAR TÉRREO, 12 ANDARES ACIMA DO TÉRREO E 3 ANDARES DE GARAGENS ABAIXO DO TÉRREO.
A figura 4.14 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno, apresenta
um exemplo de resolução adotada por 5 alunos. Estes ordenaram corretamente
os números, considerando o térreo como zero, porém não souberam identificar as
garagens com os números inteiros negativos.
Figura 4.14 - Protocolo de resposta do GE 2 - Atividade 2 da intervenção de ensino.
137
Notamos que os alunos perceberam o térreo associado ao número zero,
não identificaram as garagens com os números inteiros negativos e nenhum aluno
utilizou a estratégia de desenhar as garagens abaixo do térreo (subsolo).
Ressaltamos que também nesta atividade não realizamos nenhuma
intervenção. Esta estratégia também foi adotada no estudo de Passoni (2002).
12 alunos construíram os andares do prédio na ordenação correta, partindo
do térreo (zero), mas identificaram as garagens com ordenação decrescente sem
também identificar em nenhum momento os números negativos, como ilustra a
figura abaixo.
Figura 4.15 - Protocolo de resposta do GE 6 - Atividade 2 da intervenção de ensino.
Provavelmente os alunos consideraram os números a partir do número 1,
estabelecendo uma relação entre números e coisas quantificáveis, que neste
caso, são os andares e as garagens. Por isso tanto os andares como as garagens
começam no número 1.
138
Atividade 3 3-REPRESENTE NA RETA A SEGUIR O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU. MARQUE OS ANDARES DOS MORADORES, O TÉRREO E OS ANDARES DA GARAGEM.
Ao representar o prédio na reta, 7 alunos ordenaram os números inteiros
positivos corretamente, sem identificar os inteiros negativos abaixo do
zero.Conforme ilustra a figura 4.16 abaixo do protocolo de resposta do aluno.
Figura 4.16 - Protocolo de resposta do GE 8 - Atividade 3 da intervenção de ensino.
139
Esta atividade envolve a mudança de um registro plurifuncional não
discursivo (figura) para um monofuncional não discursivo (gráfico), conforme
Duval (1995). Os alunos conseguiram realizar esta passagem, porém não
conseguiram ainda identificar os números inteiros negativos.
Atividade 4
4-FAÇA UMA RETA REPRESENTANDO O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU, NUMERANDO OS ANDARES DA SEGUINTE MANEIRA:
• OS ANDARES ACIMA DO TÉRREO COM OS NÚMEROS 1, 2, 3, ...; • O TÉRREO NUMERE COM 0; • OS ANDARES DAS GARAGENS COM UM SINAL E UM NÚMERO.
Na representação do prédio 9 alunos numeraram o prédio corretamente os
andares acima do térreo, o térreo como zero e as garagens, faltando somente a
identificação do respectivo sinal para os números negativos. Conforme ilustra
figura
4.17 abaixo do protocolo de resposta do aluno.
Figura 4.17 - Protocolo de resposta do GE 15 - Atividade 4 da intervenção de ensino.
140
Esta atividade continua envolvendo a mudança de um registro
plurifuncional não discursivo (figura) para um monofuncional não discursivo
(gráfico), conforme Duval (1995,1996). Nota-se pelo exemplo acima que os
alunos ainda não conseguiram ainda identificar os números inteiros negativos, o
que consideramos um comportamento natural, já que até esse momento nada
lhes foi ensinado a respeito desses números.
Tivemos, porém 2 alunos que representaram os andares e as garagens na
forma decrescente, e nas garagens colocaram sinal “-“ seguido de uma
numeração decrescente, conforme ilustra a figura 4.18 abaixo extraída do
protocolo de resposta do aluno.
Figura 4.18 - Protocolo de resposta do aluno GE 9 - Atividade 4 da intervenção de ensino.
A análise das respostas dos alunos nesta atividade, ainda nos permite
detectar que eles têm sucesso para ordenar os números naturais, adotando o
zero como térreo e identificando as garagens abaixo deste.
Porém não conseguiram ordenar corretamente os números inteiros
negativos. Nieto (1994) afirma que na Matemática Informal alguns alunos, que
141
começam a trabalhar precocemente, apresentam noção de números inteiros
negativos antes do currículo escolar. Mas não foi isto que encontramos com
nossos alunos. Se considerarmos os alunos de Nieto, observamos que são mais
velhos e provavelmente de uma realidade diferente da nossa. Como ainda não
aplicamos a intervenção de ensino para este conteúdo é natural, que eles não
consigam realizar as tarefas propostas.
Atividade 5 5-FAÇA UMA RETA REPRESENTANDO O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU, NUMERANDO OS ANDARES ACIMA DO TÉRREO E O ANDAR TÉRREO. NUMERE OS ANDARES DAS GARAGENS COMO O SEU COLEGA OU SUA PROFESSORA NUMEROU.
É a partir desta atividade, que iniciamos a intervenção de ensino.
14 alunos representaram corretamente os números inteiros na reta.
Notamos que 3 alunos além da reta, ordenaram corretamente os andares do
prédio e conseguiram visualizar os números inteiros em outra aplicação, que
neste caso é o painel de um elevador. Mostrando uma apropriação dos conceitos
dos números inteiros, conforme figura 4.19 abaixo extraída do protocolo de
resposta do aluno.
Figura 4.19 - Protocolo de resposta do GE 2 - Atividade 5 da intervenção de ensino.
142
2 alunos representaram corretamente os números inteiros, porém
colocaram os sinais atrás dos números, conforme figura 4.20 abaixo extraída do
protocolo de resposta do aluno.
Figura 4.20 - Protocolo de resposta do GE 9 - Atividade 5 da intervenção de ensino.
O propósito de começar com o desenho do prédio é de gradualmente
associar o térreo com o zero, os andares acima do térreo como números naturais
e as garagens como introdução dos números inteiros negativos num contexto de
ser encontrado como nos edifícios residenciais ou comerciais.
Atividade 6 6 - RESPONDA:
A) OS NÚMEROS 1,2,3,... SÃO CHAMADOS NÚMEROS....................................................................... B) O NÚMERO 0 É CHAMADO ..........................................OU...................................... C) OS NÚMEROS -1,-2,-3,.... SÃO CHAMADOS NÚMEROS....................................................................... D) OS NÚMEROS ...., -3,-2,-1,0,1,2,3,...SÃO CHAMADOS NÚMEROS.......................................................................
143
Atividade 7
7- INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS INTEIROS
COMPLETE: A) OS NÚMEROS 1,2,3,...SÃO CHAMADOS ____________________________________________________________________________ B) O NÚMERO 0 É CHAMADO ___________________________________OU_______________________________________ C) OS NÚMEROS -1,-2,-3,.... SÃO CHAMADOS ____________________________________________________________________________ D) OS NÚMEROS...,-3,-2,-1,0,1,2,3... SÃO CHAMADOS ____________________________________________________________________________
14 alunos responderam corretamente a classificação dos números, tanto
na atividade 6 como na atividade 7.
A análise das respostas dos alunos nestas atividades nos permite verificar
um desenvolvimento das relações e conceitos dos números inteiros, associando o
térreo com o número 0, os andares acima do térreo com números positivos e as
garagens com os números negativos, através de contextos possíveis de serem
encontrados pelos alunos. Conforme figura 4.21 abaixo extraída do protocolo de
resposta do aluno.
144
Figura 4.21 - Protocolo de resposta do aluno GE 5 - Atividade 6 da intervenção de ensino.
Notamos que as nomenclaturas apresentadas estão sendo consolidadas,
para esses alunos, através da conversão da linguagem simbólica para linguagem
natural, onde podemos reconhecer um objeto matemático por meio de suas
possíveis e diferentes representações, conforme Duval (1999).
Atividade 8 8- VAMOS “DERRUBAR O PRÉDIO” PARA A DIREITA. REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA HORIZONTAL.
Atividade 9 9 – VAMOS “DERRUBAR O PRÉDIO” PARA A ESQUERDA. REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA HORIZONTAL.
14 alunos derrubaram o prédio corretamente tanto para direita como para a
esquerda, da atividade 8 como na atividade 9.
As análises das respostas dos alunos nestas atividades nos permite
verificar uma superação de alguns obstáculos e a consolidação da representação
145
dos números inteiros na reta horizontal. Conforme figura 4.22 abaixo extraídas do
protocolo de resposta do aluno.
Figura 4.22 - Protocolo de resposta do aluno GE 8 Atividade 8 e 9 da intervenção de ensino.
A maioria dos alunos conseguiu derrubar o prédio, trabalhar com a direção
horizontal. Gradativamente estão tomando consciência da ordenação numérica da
reta, que depende do sentido (esquerda ou direita) que derrubamos o prédio. Isto
é começamos a introduzir o sentido da reta.
Atividade 10 e 11
DIREÇÃO E SENTIDO DA RETA NUMERADA PARA AS ATIVIDADES 10, 12, 14, 16 E 18: VOCÊ ESTÁ RECEBENDO UM KIT COM UM PEDAÇO DE BARBANTE, 6 FICHAS VERMELHAS, 6 FICHAS VERDES, UMA FICHA BRANCA E UMA FLECHA. ESCREVA NA FICHA BRANCA 0, NAS FICHAS VERMELHAS ESCREVA –1,-2,-3, ETC. E NAS FICHAS VERDES ESCREVA 1, 2, 3, ETC. 10 – ESTENDA O BARBANTE HORIZONTALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 À DIREITA DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DA ESQUERDA PARA A DIREITA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE. 11- REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL, SENTIDO DA ESQUERDA PARA A DIREITA. VOCÊ PODE SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
13 alunos completaram corretamente o exercício. As análises das
respostas nestas atividades demonstram que os alunos na sua maioria começam
a desenvolver uma familiarização com a direção e sentido da reta. Conforme
figura 4.23 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.
146
Figura 4.23 - Protocolo de resposta do GE 15 - Atividade 10 e 11 da intervenção de ensino.
Visa dar ao aluno um referencial concreto para representação dos números
inteiros na reta, utilizando um modelo plurifuncional não discursivo (modelo), na
utilização de barbantes, fichas e flechas.
A reta abaixo foi representada com a flecha no sentido contrário,
apresentada por 2 alunos que tiveram dificuldades com o sentido da reta.
Conforme figura 4.24 extraída do protocolo de resposta do aluno.
Figura 4.24 - Protocolo de resposta do aluno GE 14 - Atividade 10 e 11 da intervenção de ensino.
Problema identificado no momento da reprodução do barbante, das fichas
e da flecha para o desenho, isto é de da passagem um modelo plurifuncional não
discursivo (modelo) para o monofuncional discursivo (gráfico).
147
Atividade 12 e 13
12 – ESTENDA O BARBANTE HORIZONTALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 À ESQUERDA DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DA DIREITA PARA A ESQUERDA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.
13 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL, SENTIDO DA DIREITA PARA A ESQUERDA. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
13 alunos identificaram corretamente os números inteiros na reta.
Conforme figura 4.25 extraída do protocolo de resposta do aluno.
Figura 4.25 - Protocolo de resposta do aluno GE 16 - Atividade 12 e 13 da intervenção de ensino.
Podemos notar que a passagem da representação do barbante e das
fichas para o gráfico costuma não ser imediata.
Atividade 14 e 15 14 – ESTENDA O BARBANTE VERTICALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 ACIMA DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DE BAIXO PARA CIMA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.
15 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL, SENTIDO DE BAIXO PARA CIMA. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
14 alunos ordenaram corretamente os números inteiros na reta. Conforme
figura 4.26 extraída do protocolo de resposta do aluno.
148
Figura 4.26 - Protocolo de resposta do aluno GE 4 - Atividade 14 e 15 da intervenção de ensino.
Atividade 16 e 17 16 – ESTENDA O BARBANTE VERTICALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 ABAIXO DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DE CIMA PARA BAIXO. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.
17 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL, SENTIDO DE CIMA PARA BAIXO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA. 14 alunos ordenaram corretamente os números inteiros. Conforme figura
4.27 extraída do protocolo de resposta do aluno, onde temos 3 alunos que
colocaram o sinal após o número, que para este momento, consideramos correto.
Figura 4.27 - Protocolo de resposta do aluno GE 5 Atividade 16 e 17 da intervenção de ensino.
149
Os alunos adotaram estratégia correta para direção (vertical) e sentido (de
baixo para cima) da reta.
Atividade 18 e 19 18 – ESTENDA O BARBANTE E ESCOLHA UMA DIREÇÃO QUE NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL EM RELAÇÃO A VOCÊ. COLOQUE O ZERO, OS NÚMEROS POSITIVOS, OS NEGATIVOS E A FLECHINHA.
19 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO QUE NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL. ESCOLHA UM SENTIDO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
15 alunos ordenaram corretamente os números inteiros. Conforme figura
4.28 extraída do protocolo de resposta do aluno, onde temos 2 alunos que
colocaram o sinal após o número, que para este momento, consideramos correto.
Figura 4.28 - Protocolo de resposta do aluno GE 7 - Atividade 18 e 19 da intervenção de ensino.
Os alunos conseguiram criar uma estratégia diferente com direções nem
vertical nem horizontal, isto é conseguindo no campo da representação uma
passagem imediata dos registros plurifuncional não discursivo para o
monofuncional não discursivo.
150
Atividade 20 20 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA. VOCÊ ESCOLHE A DIREÇÃO E O SENTIDO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
14 alunos não representaram os números inteiros corretamente. Conforme
figuras 4.29, 4.30, 4.31 e 4.32 extraídos dos protocolos de respostas dos alunos.
Sendo 4 alunos desenharam direção vertical com sentido de cima para
baixo:
Figura 4.29 - Protocolo de resposta do GE 2 - Atividade 20 da intervenção de ensino.
3 alunos desenharam na direção vertical com sentido de baixo para cima.
Figura 4.30 - Protocolo de resposta do aluno GE 16 - Atividade 20 da intervenção de ensino.
151
1 aluno desenhou na direção horizontal com sentido da esquerda para direita.
Figura 4.31 - Protocolo de resposta GE 6 - Atividade 20 da intervenção de ensino.
2 alunos desenharam na direção horizontal, porém com sentido da direita
para esquerda e completaram a reta colocando os sinais negativo e positivos
após os números.
Figura 4.32 - Protocolo de resposta do GE 14 - Atividade 20 da intervenção de ensino.
Os alunos encontraram dificuldades de sair da representação horizontal ou
vertical do segmento de reta, pois não conseguiram ampliar o uso da direção e
sentido para qualquer segmento de reta. Ficaram presos aos modelos
anteriormente apresentados. Podemos citar Alciony (2005) que a escola deve
perder a rigidez para ganhar então naturalidade e criatividade, já que as normas
disciplinares nascem do consenso do grupo. O horário e o tempo de
aprendizagem ficam condicionados à construção do saber e não ao tempo pré-
estabelecido por um papel.
152
Atividade 21 21 – RECORDANDO: A) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS 1, 2, 3,...? ............................................................................................................................................................. B) COMO É CHAMADO O NÚMERO 0? ..............................................................OU........................................................................................... C) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS -1, -2, -3,...? .............................................................................................................................................................. D) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS -3, -2, -1, 0 , 1, 2 , 3,...? .............................................................................................................................................................. 15 alunos preencheram corretamente. Conforme figura 4.33 extraída do
protocolo de resposta dos alunos.
Figura 4.33 - Protocolo de resposta do GE 2 - Atividade 21 da intervenção de ensino.
Para maioria dos alunos as nomenclaturas dos números inteiros estão
sendo assimiladas.
153
Atividade 22 22 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.
A) QUAL É A DIREÇÃO DESSA RETA? .............................................................................................................................................................. B) QUAL É O SENTIDO DESSA RETA? ..............................................................................................................................................................
ATIVIDADE 23
23 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.
A) QUAL É A DIREÇÃO DESSA RETA? .............................................................................................................................................................. B) QUAL É O SENTIDO DESSA RETA? ..............................................................................................................................................................
Atividade 24 24 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.
154
13 alunos completaram corretamente a direção e o sentido dos 3 atividades
acima, porém apresentaram algumas dificuldades na escrita. Conforme figura
4.34 extraída do protocolo de resposta do aluno.
Figura 4.34 - Protocolo de resposta do GE 8 - Atividade 22, 23 e 24 da intervenção de ensino.
Atividade 25, 26 e 27
25 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.
26 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL E COM SENTIDO DA ESQUERDA PARA DIREITA.
27 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL E COM SENTIDO DA DIREITA PARA ESQUERDA.
155
13 alunos representaram corretamente a direção ou o sentido da reta.
Conforme figura 4.35 extraída do protocolo de resposta do aluno.
3 alunos utilizaram a seta inadequadamente. Conforme figura 4.36 extraída
do protocolo de resposta do aluno.
Figura 4.35 - Protocolo de resposta do GE 4 - Atividade 25 da intervenção de ensino.
Figura 4.36 - Protocolo de resposta do GE 9 - Atividade 26 e 27 da intervenção de ensino.
156
A partir do desempenho dos alunos somado as suas estratégias que
utilizaram para responder as atividades acima, notamos que as terminologias de
direção e sentido estão sendo assimiladas pela maioria dos alunos.
ATIVIDADE 28 28 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL E COM SENTIDO DE BAIXO PARA CIMA.
14 alunos representaram corretamente a direção e o sentido da reta.
3 alunos não ordenaram corretamente os números inteiros na reta ou
esqueceram de representar os números inteiros negativos com o seu respectivo
sinal. Conforme figura 4.37 extraída do protocolo de resposta do aluno.
. Figura 4.37 - Protocolo de resposta do GE 6 - Atividade 28 da intervenção de ensino.
157
Atividade 29 29 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL E COM SENTIDO DE CIMA PARA BAIXO. 14 alunos representaram corretamente a direção e o sentido da reta.
Conforme figura 4.38 extraída do protocolo de resposta do aluno.
Figura 4.38 - Protocolo de resposta do GE 15 - Atividade 29 da intervenção de ensino.
Atividade 30
30 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA CUJA DIREÇÃO NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL. INDICAR O SENTIDO USANDO UMA FLECHINHA.
15 alunos representaram corretamente a direção nem horizontal, nem vertical e o
sentido da reta.
158
Conforme figura 4.39 de resposta do protocolo de aluno abaixo.
Figura 4.39 - Protocolo de resposta do GE 8 - Atividade 30 da intervenção de ensino.
31–OBSERVE O SENTIDO DE CADA RETA E COMPLETE COM NÚMEROS INTEIROS.
15 alunos completaram corretamente a reta com os números inteiros e
todos descreveram o sentido e um aluno ainda completou com a sua respectiva
direção. Sendo que a maioria dos alunos completaram o sentido descrevendo as
159
coordenadas geográficas. Conforme figura 4.40 abaixo extraída do protocolo de
resposta do aluno.
Figura 4.40 - Protocolo de resposta do GE 2 - Atividade 31da intervenção de ensino.
Notamos após a aplicação da intervenção de ensino, a maioria dos alunos
evidencia uma evolução de conceitos de ordenação de números inteiros e
habilidades em lidar com conceito de direção e sentido na reta. Mostram de modo
geral uma consolidação das nomenclaturas dos números inteiros.
Passamos agora para análise do pós-teste para analisar, comparar e
identificar o desempenho dos alunos antes e depois do aprendizado.
4.2.3 - PÓS- TESTE
Nesta seção, apresentamos sempre que possível os dados obtidos no pré-
teste para a questão e a sua respectiva diferença entre o GE e GC. Comentando
os exemplos apontando em cada um o tipo de erro (ou acerto) e como
provavelmente o aluno raciocinou, sempre que possível apresentamos 2
exemplos um do GE e outro GC e comparando as estratégias utilizadas por cada
grupo.
160
Mostraremos sempre que possível a diferença entre os dados obtidos na
análise qualitativa (na qual consideramos somente as respostas totalmente
corretas) e os resultados obtidos na análise qualitativa (quando o GE, mesmo não
tendo apresentado resposta totalmente correta mostra compreensão dos alunos).
Questão 1 - Questão 2 Pré 1-OBSERVE COM ATENÇÃO OS NÚMEROS ABAIXO E ORGANIZE-OS EM ORDEM CRESENTE NA LINHA.
8, -8, 3, -3, 1, -1 e 0 ________________________________________
Dos 17 alunos do GE, 6 alunos ordenaram corretamente no pós-teste e
nenhum ordenou corretamente no pré-teste. Conforme figura 4.41 abaixo extraída
do protocolo de resposta do aluno.
Dos 18 alunos do GC, 1 aluno ordenou corretamente tanto no pós-teste e
nenhum ordenou corretamente no pré-teste.
Conforme figura 4.42 abaixo extraídas do protocolo de resposta do aluno.
Notamos que o desempenho nesta questão, em relação a ordenação dos
números inteiros foi regular, mostrada pelos resultados encontrados no GE, onde
de um total de 17 alunos que participaram da intervenção de ensino somente 6
ordenaram corretamente.
Observamos também que tivemos 1 aluno do GC que ordenou
corretamente, possivelmente se interessou pelo trabalho que estávamos
desenvolvendo na sala ao lado, ou realizou um trabalho paralelo com a sua
professora de sala.
161
Figura 4.41 - Protocolo de resposta do aluno GE 2 - Questão 2 pré-teste e questão 1 pós-teste, respectivamente.
Figura 4.42 – ( Protocolo de resposta do aluno GC 2 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GC 2 do pós-teste), respectivamente Questão 2 – Questão 3 Pré 2- O DESENHO ABAIXO É PARA MOSTRAR O PRÉDIO ONDE JOÃO MORA. O PRÉDIO TEM DOIS ANDARES GARAGENS, UM ANDAR TÉRREO E QUATRO ANDARES PARA CIMA. O ANDAR TÉRREO JÁ ESTÁ INDICADO COM NÚMERO.
COMPLETE O DESENHO DO PRÉDIO COLOCANDO O NÚMERO CORRETO DENTRO DE TODOS OS ANDARES.
Térreo 0
Dos 17 alunos do GE,
Item 2a, 15 alunos acertaram no pós-teste e 13 acertaram no pré-teste.
162
Item 2b, 9 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.
Conforme figura 4.43 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.
Dos 18 alunos do GC,
Item 2a, 12 alunos acertaram no pós-teste e 13 acertaram no pré-teste.
Item 2b, nenhum dos alunos acertaram tanto no pós-teste como no pré-teste.
Conforme figura 4.44 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.
Nesta questão houve um grande avanço do GE, pois saímos do pré-teste
com um resultado nulo e alcançamos sucesso com 9 alunos, onde são
trabalhados os números inteiros negativos. Quanto ao item 2a , que utiliza os
números naturais os resultados foram semelhantes, tanto no GE como GC.
Notamos também que a questão do sinal após o número permanece.
Figura 4.43 - Protocolo de resposta do aluno GE 11 – (questão 3 pré-teste e questão 2 pós-teste, respectivamente).
Figura 4.44 – (Protocolo de resposta do aluno GC1 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GC1 do pós-teste), respectivamente
163
Questão 3 – Questão 1 Pré 3-PRENCHA A SEQUÊNCIA ABAIXO ESCREVENDO O NÚMERO CORRESPONDENTE DENTRO DO CÍRCULO, OUTRO DENTRO DO TRIÂNGULO E OUTRO DENTRO DO QUADRADO E OUTRO DENTRO DO RETÂNGULO:
a) O NÚMERO DENTRO DO CÍRCULO É MAIOR DO QUE O NÚMERO DO QUADRADO?
SIM NÃO
b) NÚMERO DENTRO DO QUADRADO É IGUAL DO QUE O NÚMERO DENTRO DO
TRIÂNGULO?
SIM NÃO
c) O NÚMERO DENTRO DO TRIÂNGULO É MENOR QUE ZERO?
SIM NÃO
d) O NÚMERO DENTRO DO RETÂNGULO É IGUAL DO QUE O NÚMERO DENTRO DO CÍRCULO?
SIM NÃO
Dos 17 alunos do GE,
Item círculo, 12 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.
Item triângulo, 12 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.
Item quadrado, 17 alunos acertaram no pós-teste e 4 acertaram no pré-teste.
Item retângulo, 11 alunos acertaram no pós-teste e não tinha no pré-teste
Item 3a, 8 alunos acertaram no pós-teste e 14 acertaram no pré-teste.
Item 3b, 14 alunos acertaram no pós-teste e 14 acertaram no pré-teste.
Item 3c, 6 alunos acertaram no pós-teste e 3 acertaram no pré-teste.
Item 3d, 11 alunos acertaram no pós-teste e não tinha no pré-teste. Conforme
figuras 4.45, 4.46 e 4.47 abaixo extraída dos protocolos de resposta dos alunos.
Dos 18 alunos do GC,
Item círculo, 2 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.
Item triângulo, 2 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.
0-1
164
Item quadrado, 5 alunos acertaram no pós-teste e 2 acertaram no pré-teste.
Item retângulo, 8 alunos acertaram no pós-teste e não tinha no pré-teste
Item 3a, 11 alunos acertaram no pós-teste e 11 acertaram no pré-teste.
Item 3b, 16 alunos acertaram no pós-teste e 14 acertaram no pré-teste.
Item 3c, 5 alunos acertaram no pós-teste e 3 acertaram no pré-teste.
Item 3d, 15 alunos acertaram no pós-teste e não tinha no pré-teste.
Ressaltamos que os alunos conheciam as figuras geométricas, conforme
relatado da professora Célia. Observamos que houve um grande crescimento no
resultado do pós-teste em relação pré-teste no GE. Temos um caso particular a
ser estudado posteriormente, pois o GC teve um resultado extremamente
significativo pois “andaram” corretamente na reta, sem terem participado da
intervenção de ensino.
Figura 4.45 - Protocolo de resposta do aluno GE 2 - Questão 1 pré-teste e questão 3 pós-teste, respectivamente.
Figura 4.46 - Protocolo de resposta do aluno GE 4 - Questão 1 pré-teste e questão 3 pós-teste, respectivamente
Figura 4.47 – (Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pós-teste), respectivamente
165
Questão 4 – Questão 6 Pré
4 - ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA.
a) 0 É MAIOR QUE -4 SIM NÃO
b) 5 É MENOR QUE -8 SIM NÃO
c) -5 É MENOR QUE -7 SIM NÃO
d) -2 É MENOR QUE -8 SIM NÃO
e) -5 É MENOR QUE 7 SIM NÃO
Dos 17 alunos do GE,
Item 4a, 9 alunos acertaram no pós-teste e 6 acertaram no pré-teste.
Item 4b, 4 alunos acertaram no pós-teste e 5 acertaram no pré-teste.
Item 4c, 4 alunos acertaram no pós-teste e 14 acertaram no pré-teste.
Item 4d, 4 alunos acertaram no pós-teste e 2 acertaram no pré-teste.
Conforme figura 4.48 e 4.49 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.
Dos 18 alunos do GC,
Item 4a, 4 alunos acertaram no pós-teste e 1 acertaram no pré-teste.
Item 4b, 5 alunos acertaram no pós-teste e 3 acertaram no pré-teste.
Item 4c, 16 alunos acertaram no pós-teste e 2 acertaram no pré-teste.
Item 4d, 3 alunos acertaram no pós-teste e 1 acertaram no pré-teste.
Nesta questão, não temos como demonstrar um resultado significativo, os
alunos não conseguiram trabalhar com os números inteiros, e uma estratégia de
resolução adotada que podemos observar nos exemplos abaixo que os alunos
trabalharam como todos os números fossem inteiros positivos.
166
Figura 4.48– ( Protocolo de resposta do aluno GE 4 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GE 4 do pós-teste), respectivamente
Figura 4.49– ( Protocolo de resposta do aluno GE 9 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GE 9 do pós-teste), respectivamente
Questão 5 – Questão 7 Pré 5-OBSERVE A RETA ABAIXO E IMAGINE QUE JOÃO SAIU DA POSIÇÃO -2 E CHEGOU NA
POSIÇÃO 3.
QUANTOS NÚMEROS JOÃO ANDOU?.
Dos 17 alunos do GE,
Item 5a, 5 alunos acertaram no pós-teste e 11 acertaram no pré-teste.
Item 5b, Não tivemos pós-teste e 13 acertaram no pré-teste.
Conforme figuras 4.50 e 4.52 abaixo extraídas dos protocolos de resposta dos
alunos.
Dos 18 alunos do GC,
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
167
Item 5a, 1 alunos acertaram no pós-teste e 1 acertaram no pré-teste.
Item 5b, Não tivemos no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.
Conforme figura 4.51 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.
Novamente, como na questão anterior não houve evolução significativa,
mas identificamos um outro problema que pode interferir diretamente em nossa
pesquisa, a dificuldade dos alunos na contagem dos números na reta.
Figura 4.50 - Protocolo de resposta do aluno GE 8 - Questão 7 pré-teste e questão 5 pós-teste, respectivamente
Figura 4.51– (Protocolo de resposta do aluno GC 9 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GC 9 do pós-teste), respectivamente
Figura 4.52– (Protocolo de resposta do aluno GE 12 do pré-teste) e (Protocolo de resposta do aluno GE 12 do pós-teste), respectivamente.
168
Questão 6 – Questão 8 Pré
6- USE A RETA ACIMA PARA LHE AJUDAR E RESPONDA QUAL É A DISTÂNCIA ENTRE OS NÚMEROS ABAIXO:
a) DE -3 ATÉ 3 _________
b) DE -5 ATÉ 0 __________
c) DE 0 ATÉ 6 __________
d) DE 4 ATÉ -3 __________
Dos 17 alunos do GE,
Item 6a, 7 alunos acertaram no pós-teste e 10 acertaram no pré-teste.
Item 6b, 10 alunos acertaram no pós-teste e 10 acertaram no pré-teste.
Item 6c, 12 alunos acertaram no pós-teste e 8 acertaram no pré-teste.
Item 6d, 3 alunos acertaram no pós-teste e não tínhamos no pré-teste.
Conforme figuras 4.53 e 4.55 abaixo extraídas dos protocolos de resposta
dos alunos.
Dos 18 alunos do GC,
Item 6a, 7 alunos acertaram no pós-teste e 10 acertaram no pré-teste.
Item 6b, 10 alunos acertaram no pós-teste e 10 acertaram no pré-teste.
Item 6c, 12 alunos acertaram no pós-teste e 8 acertaram no pré-teste.
Item 6d, 3 alunos acertaram no pós-teste e não tínhamos no pré-teste.
Conforme figura 4.54 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.
Observando os protocolos dos alunos abaixo, identificamos o mesmo
problema de contagem apresentado na questão anterior. O GC permanece
estável.
169
Figura 4.53 - Protocolo de resposta do aluno GE 8 - Questão 8 pré-teste e questão 6 pós-teste, respectivamente
Figura 4.54– (Protocolo de resposta do aluno GC 8 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GC 8 do pós-teste), respectivamente Figura 4.55– (Protocolo de resposta do aluno GE 15 do pré-teste) e (Protocolo de resposta do aluno GE 15 do pós-teste), respectivamente. Questão 7 – Questão 4 Pré 7 – OLHE COM ATENÇÃO A RETA ABAIXO E COMPLETE COM OS NÚMEROS INTEIROS CORRETOS:
0
3
170
Dos 17 alunos do GE,
Item 7a, 15 alunos acertaram no pós-teste e 17 acertaram no pré-teste.
Item 7b, 14 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.
Conforme figura 4.56 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.
Dos 18 alunos do GC,
Item 6a, 17 alunos acertaram no pós-teste e 13 acertaram no pré-teste.
Item 6b, Nenhum alunos acertou no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.
Quando trabalhamos na reta, com questões similares as aplicadas na
intervenção de ensino os resultados são significativos.
Provavelmente os alunos estão com dificuldades na conversão dos
registros de representação.
Figura 4.56– (Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GE 6 do pós-teste), respectivamente
171
Questão 8 – Questão 5- Pré.
8- JOÃO ESTÁ NO NÚMERO 3.
UTILIZE A RETA DO EXERCÍCIO ANTERIOR E RESPONDA:
a) PARA CHEGAR AO NÚMERO 5 O QUE ELE PRECISA FAZER? ___________________________________________________________
b) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO_________________________
c) SAINDO DO NÚMERO 2 O QUE ELE PRECISA FAZER PARA CHEGAR
NÚMERO - 2? ___________________________________________________ d) REPRESENTE SUA RESPOSTA COM NÚMERO_________________________
Dos 17 alunos do GE,
Item 8a, 14 alunos acertaram no pós-teste e 14 acertaram no pré-teste.
Item 8b, 14 alunos acertaram no pós-teste e 15 acertaram no pré-teste.
Item 8c, 8 alunos acertaram no pós-teste e 4 acertaram no pré-teste.
Item 8d, nenhum alunos acertou no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.
Dos 18 alunos do GC,
Item 8a, 8 alunos acertaram no pós-teste e 3 acertaram no pré-teste.
Item 8b, 10 alunos acertaram no pós-teste e 3 acertaram no pré-teste.
Item 8c, 9 alunos acertaram no pós-teste e 2 acertaram no pré-teste.
Item 8d, nenhum alunos acertou no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.
Conforme figura 4.57 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.
Notamos nesta questão que os alunos não evoluem, isto é não conseguem
demonstrar em resultados os conceitos aprendidos na intervenção de ensino.
172
Figura 4.57– (Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pós-teste), respectivamente Questão 9 – Questão 9 Pré.
9 – PRESTE BASTANTE ATENÇÃO NA DIREÇÃO E NO SENTIDO DO SEGMENTO DE RETA ABAIXO:
a) QUAL É O NOME DA DIREÇÃO DO SEGMENTO DE RETA:
____________________________________________________________
b) QUAL É O NOME DO SENTIDO DO SEGMENTO DE RETA? ____________________________________________________________
RESPONDA USANDO NÚMEROS E SINAIS (+ OU -)
c) PARA SAIR DE +1 E CHEGAR EM +5 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? ____________________________________________________________
d) PARA SAIR DE 0 E CHEGAR EM -4 QUANTOS NÚMEROS EU PULO?
____________________________________________________________
e) PARA SAIR DE -4 E CHEGAR EM +3 QUANTOS NÚMEROS EU PULO? ____________________________________________________________
f) PARA SAIR DE -5 E CHEGAR EM -1 QUANTOS NÚMEROS EU PULO?
____________________________________________________________ Dos 17 alunos do GE,
Item 9a, 10 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.
Item 9b, 13 alunos acertaram no pós-teste e 2 acertaram no pré-teste.
-4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 -5
173
Item 9c, 11 alunos acertaram no pós-teste e 8 acertaram no pré-teste.
Item 9d, 11 alunos acertaram no pós-teste e 6 acertaram no pré-teste.
Item 9e, 11 alunos acertaram no pós-teste e 6 acertaram no pré-teste.
Item 9f, 10 alunos acertaram no pós-teste e 8 acertaram no pré-teste.
Conforme figura 4.58 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.
Dos 18 alunos do GC,
Item 9a, nenhum aluno acertou no pós-teste e nem no pré-teste.
Item 9b, 12 alunos acertaram no pós-teste e 2 acertaram no pré-teste.
Item 9c, 2 alunos acertaram no pós-teste e 2 acertaram no pré-teste.
Item 9d, 9 alunos acertaram no pós-teste e 1 acertaram no pré-teste.
Item 9e, 4 alunos acertaram no pós-teste e 1 acertaram no pré-teste.
Item 9f, 6 alunos acertaram no pós-teste e nenhum acertou no pré-teste.
Conforme figura 4.59 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.
Observamos que os conceitos de direção e sentido estão sendo
gradativamente consolidados, pelos resultados encontrados no GE.
Figura 4.585 - Protocolo de resposta do aluno GE 15 - Questão 9 pré-teste e questão 9 pós-teste, respectivamente
5 Na Figura 4.58 – Erro de digitação no enunciado: a) Qual é o nome da direção do segmento da reta
174
Figura 4.59 6– ( Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pré-teste ) e (Protocolo de resposta do aluno GC 4 do pós-teste), respectivamente Questão 10 10) OBSERVE AS FLECHINHAS DAS RETAS QUE INDICAM O SENTIDO E COMPLETE OS
NÚMEROS QUE FALTAM EM CADA UMA:
Dos 17 alunos do GE:
Item 10a, 13 alunos acertaram no pós-teste.
Item 10b, 12 alunos acertaram no pós-teste.
6 Na Figura 4.59 – Erro de digitação no enunciado: a) Qual é o nome da direção do segmento da reta.
00
175
Item 10c, 13 alunos acertaram no pós-teste.
Item 10d, 17 alunos acertaram no pós-teste.
Conforme figura 4.60 abaixo extraída do protocolo de resposta do aluno.
Dos 18 alunos do GC,
Item 10a, 12 alunos acertaram no pós-teste.
Item 10b, 1 aluno acertou no pós-teste.
Item 10c, 1 alunos acertou no pós-teste.
Item 10d, 14 alunos acertaram no pós-teste.
Figura 4.60 - Protocolo de resposta dos alunos GE 15 e GE 2, respectivamente questão 10.
176
CAPÍTULO 5
CONCLUSÃO
5.1 INTRODUÇÃO
Nossa pesquisa tem por objetivo investigar a possibilidade e eficiência de
se introduzir o conceito de número inteiro negativo na 3a série do Ensino
Fundamental na Escola Pública, através de uma intervenção de ensino, com base
na pesquisa de Passoni(2002). Para tal, iniciamos esta dissertação apresentando
uma exposição dos motivos que nos levaram a elaborá-la, nossa problemática e
objetivos, bem como de sua relevância para o meio acadêmico e científico
(capítulo 1). Na seqüência, buscamos subsídios teóricos que pudessem nos
auxiliar, tanto na construção do experimento quanto na sua análise. Partimos
sobre a discussão de representação apresentando vários pontos de vista, tais
como o lingüístico, o filosófico, o psicológico, o semiótico e o social.
Apresentamos que a noção de número negativo pode ser introduzida
desde cedo na escola a partir de várias situações que estão de acordo com o
mundo físico, tendo como suporte teórico às idéias de Jean Piaget (1926-1995) e
Raymond Duval (1995,2000), no que tange à utilização de vários registros de
representação e como característica os registros em atividades de tratamento e
conversão, com os mesmos materiais utilizados na pesquisa de Passoni (2002).
Investigando, no processo de aprendizagem escolar, a passagem das grandezas
(noções concretas) para os números (noções abstratas).
De posse de nosso quadro teórico definido, bem como das leituras das
revisões de estudos correlatos, construímos a metodologia de trabalho, a qual foi
177
composta de duas etapas distintas, a saber: diagnóstico (pré e pós-teste) e
intervenção de ensino, desenvolvidas, separadamente com dois grupos (GE e
GC) de alunos.
Tivemos como público alvo duas 3ª.série do Ensino Fundamental de uma
escola da rede pública municipal de São Paulo, compostas por 25 alunos em
média. Destas, uma foi o grupo experimental, que participou dos testes e da
nossa intervenção de ensino. A outra foi o grupo de controle, que somente
participou dos testes.
O passo seguinte à realização do estudo foi a análise dos dados dele
obtidos. Esta análise nos forneceu subsídios suficientes para chegarmos no
presente Capítulo, no qual apresentaremos as conclusões retiradas dela. Visando
melhor organização do capítulo, dividimo-lo em quatro seções. A primeira que se
refere a esta introdução. A segunda que apresentará uma síntese dos principais
resultados, os quais encontram-se detalhados no capítulo anterior. A terceira
seção retomará a nossa questão de pesquisa com o intuito de respondê-la. E, por
fim, na quarta seção, apresentaremos algumas sugestões para futuros trabalhos,
os quais vieram a mente após reflexão sobre o estudo que realizamos.
5.2 SÍNTESE DOS RESULTADOS
Para destacar os principais resultados de nossa análise dividimos esta
seção em duas partes. A primeira descreverá os resultados dos testes e, a
segunda os resultados da intervenção de ensino.
TESTES
A análise dos desempenhos dos grupos nos dois instrumentos diagnósticos
mostrou que no pré-teste o desempenho foi relativamente baixo. Porém no pós-
178
teste observamos um real crescimento, mostrando que GE em relação ao GC
teve um crescimento de 27 pontos de porcentagem a mais de acerto, isto
representa uma diferença de 82,26% no pós-teste.
A evolução nos desempenhos dos grupos também pôde ser notada nas
estratégias utilizadas para resolver as questões dos testes. No pré-teste
praticamente não houve estratégia para resolução das questões. Já no pós-teste
podemos evidenciar no GE, os alunos utilizando barbantes, flechas e fichas
utilizadas na intervenção de ensino na resolução das questões pós-teste.
Notamos um bom desempenho em alguns itens específicos, tanto no GC
com GE, quanto trabalhamos com os números naturais.
Observamos que os dois grupos apresentaram uma evolução na
comparação intragrupos, ou seja, tanto o GE como O GC cresceram em seus
desempenhos. Mas, ao confrontarmos os percentuais de crescimento desses dois
grupos, notamos que, o aumento no percentual de acerto do GE é maior do que o
do GC. Em porcentagem o crescimento GE foi de 19,35% e do GC foi de 12,88%,
um fator a ser destacado que o GC não conseguiu atingir mesmo no pós-teste o
percentual de acerto do grupo GC que foi de 40,48% no pré-teste.
Como já mencionamos anteriormente os alunos possuem dificuldades de
trabalhar com os números inteiros negativos, e o grupo GE está melhor preparado
para lidar com estes números.
INTERVENÇÃO DE ENSINO
Nesta parte estamos nos referindo apenas ao trabalho do GE. Este, após o
término da intervenção de ensino apresenta resultados positivos como na
representação de uma reta de um prédio de apartamentos com andares para
cima e para baixo do térreo; representação de direção e sentido de uma reta que
179
podem ser horizontais, verticais, noroeste, sudoeste, etc. Com o uso de barbante
e fichas vermelhas e azuis para representar os números inteiros; conversão de
registros de desigualdades, linguagem simbólica para a natural e vice-versa.
Os resultados apresentados no pré-teste e pós-teste nos mostram que
precisamos buscar a coerência entre o estudo desses números na escola e sua
aplicação na nossa vida diária, conforme afirma Nieto (1994).
5.3 RESPONDENDO NOSSA QUESTÃO DE PESQUISA
A partir da análise dos resultados, apresentada no capítulo 4, cujos
principais pontos estão sintetizados na seção anterior, responderemos nossas
três questões de pesquisa, a qual retomamos:
“Partindo de uma seqüência elaborada que utilize um contexto familiar
e significativo, qual a compreensão que crianças de 3ª série passam a ter
sobre os números negativos? Até onde tal seqüência pode ajudar na
introdução desse conceito? E, por último, em que consiste o avanço?”.
Respondendo a primeira pergunta:
Partindo de uma seqüência elaborada que utilize um contexto familiar e
significativo, qual a compreensão que crianças de 3ª série passam a ter
sobre os números negativos?
Como já dissemos anteriormente, responderemos nossa questão de
pesquisa baseadas na análise obtida ao longo de todo o experimento, desde a
fase pré-teste até pós-teste.
Na intervenção de ensino utilizamos seqüências didáticas envolvendo
mudança de registros plurifuncional não discursivo (figura) para um
180
monofuncional não discursivo (gráfico). Como por exemplo, na passagem da
representação numérica dos andares do prédio para a reta.
Olhando os resultados da intervenção de ensino e do pós-teste,
acreditamos que as crianças obtiveram uma significativa compreensão dos
números inteiros negativos, pois na seqüência didática foram utilizados exercícios
dentro de um contexto muito familiar do aluno, principalmente na correlação do
número associado ao andar do prédio com a reta numérica, na relação do
número associado aos andares da garagens.
Quando adotamos o prédio para demonstrarmos a direção e sentido da
reta realizamos o “tombamento”, com isto trabalhamos com a direção (horizontal
ou vertical) e o sentido (direita ou esquerda).
No momento em que adotamos retas cuja direção não podia ser vertical
nem horizontal, as crianças construíram as suas estruturas e encontraram novos
sentidos para suas retas. A orientação com a seta foi muito importante para
ordenação dos números inteiros.
Temos a plena convicção que as atividades desenvolvidas com contexto
familiar e significativo levaram os alunos à compreensão dos conceitos dos
números inteiros negativos. Tornar os números inteiros negativos mais familiares
é envolver os alunos ao meio, e este meio deverá ser constituído pelo professor
para que se aproveitem ou se extraiam os resultados desejáveis.
Com relação à segunda pergunta:
Até onde tal seqüência pode ajudar na introdução desse conceito?
A seqüência mostrou ser possível introduzir os números inteiros a alunos
da terceira série, pois tivemos muitas vantagens no desenvolvimento dos alunos
181
no plano didático e acreditamos ser possível conseguir prevenir futuros
obstáculos.
Outra vantagem foi à estruturação adequada da seqüência de atividades
que respeitou o ritmo individual de aprendizagem de cada aluno.
Na última pergunta:
E, por último, ”em que consiste o avanço?”
Este avanço nos mostra uma “falha” ou “engano” para o momento do
ensino dos números inteiros negativos, conforme PCN(s) ou Livros Didáticos,
mostrando uma crença na incapacidade dos alunos, ou seja, como demonstramos
em nossa pesquisa podemos abordar os números inteiros negativos na 3ª. série.
Que o ensino da Matemática seja menos condicionante a uma rotina de
regras e ceda lugar a um ensino em que as crianças sejam desafiadas a pensar.
“A falta de desafio em nossos currículos atuais pode ser responsável em parte pela aversão ou, no melhor dos casos, pela indiferença para com a Matemática que prevalece nas escolas”. (Dienes, 1975, p.4)
Uma outra possibilidade é buscar na História os erros, as hesitações, os
obstáculos para se chegar ao conceito de número negativo e tentar aprender com
eles. As crianças podem, no seu processo de aprendizagem, ter as mesmas
dificuldades que o homem teve ao longo da História. Uma outra possibilidade é
tentar, usando recursos que a Educação Matemática, através da mobilização de
vários registros de representação conforme teoria de Duval, iniciando os
estudantes nos números inteiros (e os negativos como parte deles) o “mais
estruturalmente possível”, através de intervenções de ensino que mostrem bons
resultados didáticos e/ou pedagógicos. Em outras palavras, podemos usar
182
quadros teóricos e as diferentes formas de representação, tanto concreta como
abstrata, para os mais diversos caminhos da aprendizagem.
5.4 SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS
No decorrer da análise algumas questões visitaram nosso pensamento
sobre possíveis trabalhos ligados ao nosso tema ou que dessem continuidade a
ele.
Um primeiro questionamento que nos ocorreu foi o seguinte: Seria
possível introduzir os números inteiros negativos na 1ª. série do Ensino
Fundamental ? Para responder esta questão, o estudo poderia ser iniciado com
atividades que levassem as crianças desde o início da vida escolar criar
esquemas de abstração. Quebrando a barreira de relacionar os números a
objetos concretos.
Uma segunda reflexão que nos ocorreu foi a questão: Investigar a
evolução da aplicação de números inteiros na 2ª.série e 4ª.série do Ensino
Fundamental simultaneamente para correlacionar os possíveis obstáculos da
idade e do convívio social, como foi apresentado por Nieto (1994).
Aqui o importante é correlacionar o trabalho de Passoni (2002), Jahn (1994),
Nieto (1994) e o nosso, para descobrir e resolver os obstáculos e propor novos
caminhos, inclusive, até uma mudança nos PCN’(s).
183
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187
ANEXO 1
Pré - Teste
1-Preencha na sequência abaixo escrevendo o número correspondente dentro do cículo, outro dentro do triângulo e outro dentro do quadrado:
a) O número dentro do círculo é maior do que o número do quadrado? Sim Não
b) O número dentro do quadrado é igual do que o número dentro do triângulo? Sim Não
c) O número dentro do triângulo é menor que zero? Sim Não
2-Observe com ATENÇÃO os números abaixo e organize eles em ordem crescente na linha.
9, -9, 5, -5, 1, -1 e 0 ________________________________________
3- O desenho abaixo é para mostrar o prédio onde João mora.
O prédio tem dois andares garagens, um andar térreo e quatro andares para cima. O andar térreo já está indicado com número zero. Complete o desenho do prédio colocando o número correto dentro de TODOS os andares.
Térreo 0
0-1
188
4- Atenção, olhe o prédio onde João mora. Represente numericamente os andares do prédio na reta abaixo:
5- João mora no segundo andar.
Utilize a reta do exercício anterior e responda:
a) Para chegar ao quarto andar o que ele precisa fazer?
____________________________________________________________
b) Represente sua resposta com número_____________________________
c) Saindo do seu apartamento o que ele precisa fazer para chegar na primeira
garagem? ____________________________________________________
d) Represente sua resposta com número_____________________________
6 –Assinale a alternativa correta.
a) 0 é menor que -8 Sim Não
b) –5 é menor que -7 Sim Não
c) 5 é maior que 7 Sim Não
d) –7 é menor que 5 Sim Não
0
2
Subir é + Descer é -
189
7-Observe com atenção a reta abaixo e imagine João andando nela.
a) João saiu da posição -3 e chegou na posição 2. Quantos números ele andou?
b) João saiu da posição 4 e chegou na posição -3. Quantos números ele andou? 8- Use a reta acima para lhe ajudar e responda qual é a distância entre os números abaixo:
a) De -2 até 2 __________
b) De -6 até 0 __________
c) De 5 até -2 __________
9 – Preste bastante ATENÇÃO na direção e no sentido do segmento de reta abaixo:
a. Qual é o nome da direção do segmento de reta:
___________________________________
b. Qual é o nome do sentido do segmento de reta?
______________________________
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4
190
Responda usando números e sinais (+ ou -)
c. Para sair de + 1 e chegar em + 4 quantos números eu pulo? _______________
d. Para sair de 0 e chegar em –3 quantos números eu pulo? _______________
e. Para sair de – 2 e chegar em + 3 quantos números eu pulo? _______________
f. Para sair de – 3 e chegar em –1 quantos números eu pulo? _______________
ANEXO 2
Pós – Teste
1 - Observe com ATENÇÃO os números abaixo e organize eles em ordem crescente na linha.
8, -8, 3, -3, 1, -1 e 0 ________________________________________
2 - O desenho abaixo é para mostrar o prédio onde João mora. O prédio tem dois andares garagens, um andar térreo e quatro andares para cima. O andar térreo já está indicado com número zero. Complete o desenho do prédio colocando o número correto dentro de TODOS os andares.
Térreo 0
191
3-Preencha na sequência abaixo escrevendo o número correspondente dentro do cículo, outro dentro do triangulo, outro dentro do quadrado e outro dentro do retângulo:
a) O número dentro do círculo é maior do que o número do quadrado?
Sim Não b) O número dentro do quadrado é igual do que o número dentro do
triângulo?
Sim Não c) O número dentro do triângulo é menor que zero?
Sim Não d) d) O número dentro do retângulo é igual do que o número dentro do
círculo?
Sim Não 4 –Assinale a alternativa correta.
a) 0 é maior que -4 Sim Não
b) 5 é menor que -8 Sim Não
c) –5 é maior que -7 Sim Não
d) -2 é menor que -8 Sim Não
e) –5 é menor que 7 Sim Não
5-Observe a reta abaixo e imagine que João saiu da posição –2 e chegou na
posição 3.
Quantos números João andou?
0-1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
192
6- Use a reta acima para lhe ajudar e responda qual é a distância entre os números abaixo:
a) De -3 até 3 _________ b) De -5 até 0 __________
c) De 0 até 6 __________ d) De 4 até -3 __________
7 – Olhe com ATENÇÃO a reta abaixo e complete com os números inteiros corretos:
8- João está no número 3.
Utilize a reta do exercício anterior e responda:
a) Para chegar ao número 5 o que ele precisa fazer?
___________________________________________________________
b) Represente sua resposta com número____________________________
c) Saindo do número 2 o que ele precisa fazer para chegar no número -2?
__________________________________________________________
d) Represente sua resposta com número____________________________
0
3
193
9 – Preste bastante ATENÇÃO na direção e no sentido do segmento de reta abaixo:
a) Qual é o nome da direção do segmento de reta:
____________________________________________________________
b) Qual é o nome do sentido do segmento de reta? ____________________________________________________________
Responda usando números e sinais (+ ou -)
c) Para sair de + 1 e chegar em + 5 quantos números eu pulo? ____________________________________________________________
d) Para sair de 0 e chegar em –4 quantos números eu pulo? ____________________________________________________________
e) Para sair de – 4 e chegar em + 3 quantos números eu pulo? ____________________________________________________________
f) Para sair de – 5 e chegar em –1 quantos números eu pulo? ____________________________________________________________
10) Observe as flexinhas das retas que indicam o sentido e complete os números que
faltam em cada uma
-4 -3 -2 -1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 -5
00
194
ANEXO 3
MATERIAIS DA INTERVENÇÃO DE ENSINO
1-Preencha na sequência abaixo escrevendo
1 - VOCÊ ESTÁ RECEBENDO UMA FOLHA COM UM DESENHO DE UM PRÉDIO. NUMERE OS ANDARES E RECORTE. DEPOIS MONTE O PRÉDIO NOVAMENTE E COLE NESTA FOLHA.
Quadro 3.21 - Atividade 1 da seqüência de ensino.
2 - DESENHE UM PRÉDIO DE APARTAMENTOS COM 1 ANDAR TÉRREO, 12 ANDARES ACIMA DO TÉRREO E 3 ANDARES DE GARAGENS ABAIXO DO TÉRREO.
Quadro 3.22 - Atividade 2 da seqüência de ensino.
195
3-REPRESENTE NA RETA A SEGUIR O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU. MARQUE OS ANDARES DOS MORADORES, O TÉRREO E OS ANDARES DA GARAGEM.
Quadro 3.23 - Atividade 3 da seqüência de ensino.
4-FAÇA UMA RETA REPRESENTANDO O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU, NUMERANDO OS ANDARES DA SEGUINTE MANEIRA:
• OS ANDARES ACIMA DO TÉRREO COM OS NÚMEROS 1, 2, 3, ...; • O TÉRREO NUMERE COM 0; • OS ANDARES DAS GARAGENS COM UM SINAL E UM NÚMERO.
Quadro 3.24 - Atividade 4 da seqüência de ensino.
5-FAÇA UMA RETA REPRESENTANDO O PRÉDIO QUE VOCÊ DESENHOU, NUMERANDO OS ANDARES ACIMA DO TÉRREO E O ANDAR TÉRREO. NUMERE OS ANDARES DAS GARAGENS COMO O SEU COLEGA OU SUA PROFESSORA NUMEROU.
Quadro 3.25 - Atividade 5 da seqüência de ensino.
6 - RESPONDA:
A) OS NÚMEROS 1,2,3,... SÃO CHAMADOS NÚMEROS........................................................................................................................................ B) O NÚMERO 0 É CHAMADO ..........................................OU...................................... .................................................................. C) OS NÚMEROS -1,-2,-3,.... SÃO CHAMADOS NÚMEROS........................................................................................................................................ D) OS NÚMEROS ...., -3,-2,-1,0,1,2,3,...SÃO CHAMADOS NÚMEROS........................................................................................................................................
Quadro 3.26 - Atividade 6 da seqüência de ensino.
196
7- INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS INTEIROS
COMPLETE: A) OS NÚMEROS 1,2,3,...SÃO CHAMADOS _______________________________________________________________________________ B) O NÚMERO 0 É CHAMADO ___________________________________OU_________________________________________ C) OS NÚMEROS -1,-2,-3,.... SÃO CHAMADOS _______________________________________________________________________________ D) OS NÚMEROS...,-3,-2,-1,0,1,2,3... SÃO CHAMADOS _______________________________________________________________________________
Quadro 3.27- Atividade 7 da seqüência de ensino.
8- VAMOS “DERRUBAR O PRÉDIO” PARA A DIREITA. REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA HORIZONTAL.
Quadro 3.28 - Atividade 8 da seqüência de ensino. 9 – VAMOS “DERRUBAR O PRÉDIO” PARA A ESQUERDA.
REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA HORIZONTAL.
Quadro 3.29- Atividade 9 da seqüência de ensino.
197
DIREÇÃO E SENTIDO DA RETA NUMERADA PARA AS ATIVIDADES 10, 12, 14, 16 E 18: VOCÊ ESTÁ RECEBENDO UM KIT COM UM PEDAÇO DE BARBANTE, 6 FICHAS VERMELHAS, 6 FICHAS VERDES, UMA FICHA BRANCA E UMA FLECHA. ESCREVA NA FICHA BRANCA 0, NAS FICHAS VERMELHAS ESCREVA –1,-2,-3, ETC. E NAS FICHAS VERDES ESCREVA 1, 2, 3, ETC. 10 – ESTENDA O BARBANTE HORIZONTALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 À DIREITA DO ZERO.COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DA ESQUERDA PARA A DIREITA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE. 11- REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL, SENTIDO DA ESQUERDA PARA A DIREITA. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
Quadro 3.30 - Atividade 9 da seqüência de ensino
12 – ESTENDA O BARBANTE HORIZONTALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 À ESQUERDA DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DA DIREITA PARA A ESQUERDA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.
13 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL, SENTIDO DA DIREITA PARA A ESQUERDA. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
Quadro 3.31 - Atividade 12 e 13 da seqüência de ensino.
14 – ESTENDA O BARBANTE VERTICALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 ACIMA DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DE BAIXO PARA CIMA. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.
15 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL, SENTIDO DE BAIXO PARA CIMA. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
Quadro 3.32 - Atividade 14 e 15 da seqüência de ensino.
16 – ESTENDA O BARBANTE VERTICALMENTE EM RELAÇÃO À VOCÊ. ESCOLHA UM PONTO E COLOQUE A FICHA BRANCA. COLOQUE O NÚMERO 1 ABAIXO DO ZERO. COM A MESMA DISTÂNCIA DO ZERO AO 1, COLOQUE OS NÚMEROS 2, 3, 4, ETC. COLOQUE OS NÚMEROS NEGATIVOS. DIZEMOS QUE ESTAMOS ORIENTANDO A RETA DE CIMA PARA BAIXO. COLOQUE A FLECHA AO LADO DO BARBANTE.
17 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL, SENTIDO DE CIMA PARA BAIXO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
Quadro 3.33 - Atividade 16 e 17 da seqüência de ensino.
198
18 – ESTENDA O BARBANTE E ESCOLHA UMA DIREÇÃO QUE NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL EM RELAÇÃO A VOCÊ. COLOQUE O ZERO, OS NÚMEROS POSITIVOS, OS NEGATIVOS E A FLECHINHA.
19 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA COM DIREÇÃO QUE NÃO SEJA HORIZONTAL NEM VERTICAL. ESCOLHA UM SENTIDO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
Quadro 3.34 - Atividade 18 e 19 da seqüência de ensino. 20 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS EM UMA RETA. VOCÊ ESCOLHE A DIREÇÃO E O SENTIDO. VOCÊ PODE, SE QUISER, DESENHAR UMA FLECHINHA NA RETA OU AO LADO DELA.
Quadro 3.35 - Atividade 20 da seqüência de ensino.
21 – RECORDANDO: A) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS 1, 2, 3,...? .............................................................................................................................................................. B) COMO É CHAMADO O NÚMERO 0? ..............................................................OU........................................................................................... C) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS -1, -2, -3,...? .............................................................................................................................................................. D) COMO SÃO CHAMADOS OS NÚMEROS -3, -2, -1, 0 , 1, 2 , 3,...? ..............................................................................................................................................................
Quadro 3.36 - Atividade 21 da seqüência de ensino. 22 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.
A) QUAL É A DIREÇÃO DESSA RETA? ................................................................................................................................... B) QUAL É O SENTIDO DESSA RETA? ...................................................................................................................................
Quadro 3.37 - Atividade 22 da seqüência de ensino.
23 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.
A) QUAL É A DIREÇÃO DESSA RETA?......................................................................................................... B) QUAL É O SENTIDO DESSA RETA?.........................................................................................................
Quadro 3.38 - Atividade 23 da seqüência de ensino.
199
24 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.
Quadro 3.39 - Atividade 24 da seqüência de ensino. 25 – ESTÃO REPRESENTADOS A SEGUIR, EM UMA RETA, OS NÚMEROS INTEIROS.
Quadro 3.40 - Atividade 25 da seqüência de ensino.
26 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL E COM SENTIDO DA ESQUERDA PARA DIREITA.
Quadro 3.41 - Atividade 26 da seqüência de ensino.
27 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO HORIZONTAL E COM SENTIDO DA DIREITA PARA ESQUERDA.
Quadro 3.42 - Atividade 27 da seqüência de ensino.
28 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL E COM SENTIDO DE BAIXO PARA CIMA.
Quadro 3.43 - Atividade 28 da seqüência de ensino.
29 – REPRESENTAR OS NÚMEROS INTEIROS USANDO UMA RETA COM DIREÇÃO VERTICAL E COM SENTIDO DE CIMA PARA BAIXO.
Quadro 3.44 - Atividade 29 da seqüência de ensino.
200
30 – Representar os números inteiros usando uma reta cuja direção não seja horizontal nem vertical. Indicar o sentido usando uma flechinha.
Quadro 3.45 - Atividade 30 da seqüência de ensino. 31–OBSERVE O SENTIDO DE CADA RETA E COMPLETE COM NÚMEROS INTEIROS.
Quadro 3.46 - Atividade 31 da seqüência de ensino.