Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Une approche d'optimisation robuste pourl'ordonnancement de projet sous contraintes de
ressources avec durées incertaines
Christian Artigues1 et Roel Leus2
1LAAS-CNRS, Université de Toulouse, France
2Research group ORSTAT, Faculty of Business and Economics,
K.U.Leuven, Leuven, Belgium
Recherche en partie �nancée par le programme ANR �Blanc�
Projet ROBOCOOP - ANR-08-BLAN-0331-01
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
1 IntroductionOptimisation robusteOrdonnancement de projet sous contraintes de ressourcesL'ordonnancement de projet robusteDi�culté du problème et enjeux
2 Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRestriction aux scénarios extrêmesBornes inférieures et supérieures des regrets maximauxPLNE pour l'évaluation du regret maximal
3 Résolution du AR-RCPSP
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Optimisation robusteOrdonnancement de projet sous contraintes de ressourcesL'ordonnancement de projet robusteDi�culté du problème et enjeux
Optimisation combinatoire robuste
Optimisation combinatoire et scénarios d'incertitude
Soit le problème d'optimisation combinatoireminx∈X⊆{0,1}n cx .
supposons que c est incertain avec c ∈ C, ensemble desscénarios d'incertitude.
Coût Minimax ou regret minimax
L'optimisation combinatoire robuste consiste à
Minimiser le pire des cas sur les scénarios minx∈X maxc∈C cx
Minimiser le plus grand regret absolu sur les scénariosminx∈X maxc∈C(cx −miny∈Y cy)
Minimiser le plus grand regret relatif sur les scénariosminx∈X maxc∈C
(cx−miny∈Y cy)miny∈Y cy
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Optimisation robusteOrdonnancement de projet sous contraintes de ressourcesL'ordonnancement de projet robusteDi�culté du problème et enjeux
Ordonnancement de projet sous contraintes de ressources
Dé�nitions
V = {0, 1, . . . , n, n + 1}, ensemble des tâches (projet) avec 0tâche �ctive de début et n + 1 tâche �ctive de �n,
pi durée de la tâche i ∈ V ,
R ensemble de ressources,
bk , disponibilité de la ressource k ∈ R ,
bik demande de la tâche i en ressource k ∈ R ,
E contraintes de successions entre tâches
Si début de la tâche i (à déterminer)
RCPSP (Resource-Constrained Project Scheduling Problem) :Minimiser la durée totale du projet en respectant les contraintes desuccession et les disponibilités des ressources.
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Optimisation robusteOrdonnancement de projet sous contraintes de ressourcesL'ordonnancement de projet robusteDi�culté du problème et enjeux
Formulation �conceptuelle� du RCPSP
Décision : Détermination des dates de début des tâches(S ∈ Rn+2)
Soit S ensemble (in�ni) des ordonnancements réalisables =ensemble des vecteurs S ∈ Rn+2 véri�ant
Sj ≥ Si + pi ∀(i , j) ∈ E (1)∑sj≤t<sj+pi
bik ≤ Bk ∀t ≥ 0,∀k ∈ R (2)
Sj ≥ 0 i ∈ V (3)
Formulation 1 (directe)
(RCPSP)minS∈S Sn+1
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Optimisation robusteOrdonnancement de projet sous contraintes de ressourcesL'ordonnancement de projet robusteDi�culté du problème et enjeux
Le RCPSP comme un problème d'optimisation combinatoire
Décision : Sélection d'un ordre strict X ⊆ V 2 (ensemble decouples de tâches représentant des successions additionnelles)réalisable
Un ordre strict X ⊆ V 2 est dit réalisable si S(X ) ⊆ S avecS(X ) = {S ≥ 0|Sj ≥ Si + pi , ∀(i , j) ∈ E ∪ X}, l'ensemble desdates de début respectant l'ordre strict.
Soit X l'ensemble des ordres stricts réalisables.
Soit Cmax(X ) la longueur du plus long chemin dansG (V ,E ∪ X ) dans lequel les arcs sont valués par les durées destâches.
Formulation 2 (optimisation combinatoire)
(RCPSP)minX∈X Cmax(X )
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Optimisation robusteOrdonnancement de projet sous contraintes de ressourcesL'ordonnancement de projet robusteDi�culté du problème et enjeux
Durées incertaines et ordres stricts
On suppose une incertitude sur les durées pi ∈ Pi avec Piensemble continu (intervalle) ou discret.
On note Cmax(X , p) la longueur du plus long chemin dansG (V ,X ∪ E ) dans lequel les arcs sont valués par les durées destâches.
Par dé�nition, un ordre strict réalisable reste réalisable pourtout scénario de durées.
Un ordre strict dé�nit une politique de décision sous incertitude dedurées
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Optimisation robusteOrdonnancement de projet sous contraintes de ressourcesL'ordonnancement de projet robusteDi�culté du problème et enjeux
Ordonnancement de projet robuste sous contraintes deressources
Le regret absolu d'un ordre strict X pour un scénario de durées pest donné parRA(X , p) = (Cmax(X , p)−minY∈X Cmax(Y , p))
Ordonnancement de projet à minimax regret absolu
(AR − RCPSP)minX∈X maxp∈P RA(X , p)
Le regret relatif d'un ordre strict X pour un scénario de durées pest donné parRR(X , p) = (Cmax(X ,p)−minY∈X Cmax(Y ,p))
minY∈X Cmax(Y ,p)
Ordonnancement de projet à minimax regret relatif
(RR − RCPSP)minX∈X maxp∈P RR(X , p)
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Optimisation robusteOrdonnancement de projet sous contraintes de ressourcesL'ordonnancement de projet robusteDi�culté du problème et enjeux
Di�culté du problème et enjeux
Complexité
Étant donné un ordre strict X et un scénario de durées p, calculerle regret absolu RA(X , p) ou relatif RR(X , p) est NP-di�cile(résolution d'un RCPSP).
Enjeux :
Calculer des bornes supérieures et inférieures du regret ?
Proposer une méthode de résolution utilisable en pratique ?
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Restriction aux scénarios extrêmesBornes inférieures et supérieures des regrets maximauxPLNE pour l'évaluation du regret maximal
Regret maximal absolu : restriction aux scénarios extrêmes
si Pi est un ensemble continu ou discret, il possède un élémentminimum pmin
i et un élément maximal pmaxi .
un scénario p est extrême si pi = pmini ou pi = pmax
i pourtoute tâche i ∈ V .
Théorème
Étant donné un ordre strict X , le regret absolu maximal est atteintsur un scénario extrême.
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Restriction aux scénarios extrêmesBornes inférieures et supérieures des regrets maximauxPLNE pour l'évaluation du regret maximal
Regret maximal relatif et scénarios extrêmes
Contrexemple pour le regret relatif
soit n = 2 et P1 = {2, 3, 6} et P2 = {1, 3, 5}, pas de contrainte desuccession, pas de contrainte de ressource.
Pour tout scénario, le makespan optimal estC ∗max(p) = max(p1, p2).
Soit X = {(1, 2)}. Cmax(X , p) = p1 + p2.
Le regret absolu de X pour un scénario p estRA(X , p) = p1 + p2 −max(p1, p2) de maximum atteint pourp1 = 6 et p2 = 5.
Le regret relatif de X pour un scénario p estRR(X , p) = p1+p2
max(p1,p2) − 1 de maximum unique atteint pourp1 = p2 = 3
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Restriction aux scénarios extrêmesBornes inférieures et supérieures des regrets maximauxPLNE pour l'évaluation du regret maximal
Bornes inférieures des regrets maximaux
Soit Y un ordre strict.
ra(X ,Y ) = maxp∈P(Cmax(X , p)− Cmax(Y , p))
rr(X ,Y ) = maxp∈PCmax(X ,p)−Cmax(Y ,p)
Cmax(Y ,p)
ra(X ,Y ) (rr(X ,Y )) est la plus grande di�érence absolue(relative) entre les longueurs des plus longs chemins dansG (V ,E ∪ X ) et G (V ,E ∪ Y ).
Bornes inférieures des regrets absolu et relatif
Si Y est un ordre strict réalisable, alorsmaxp∈P RA(X , p) ≥ ra(X ,Y ) etmaxp∈P RR(X , p) ≥ rr(X ,Y )
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Restriction aux scénarios extrêmesBornes inférieures et supérieures des regrets maximauxPLNE pour l'évaluation du regret maximal
Bornes supérieures des regrets maximaux
Un ordre strict �nécessaire� Y est un ordre strict nonnécessairement réalisable mais tel que pour tout scénariop ∈ P , Cmax(Y , p) est une borne inférieure de C ∗max(p).
Un ordre strict nécessaire trivial est donné par Y = ∅.
Bornes supérieures des regrets absolu et relatif
Si Y est un ordre strict nécessaire, alorsmaxp∈P RA(X , p) ≤ ra(X ,Y ) etmaxp∈P RR(X , p) ≤ rr(X ,Y )
Problème ouvert : complexité du calcul de ra(X ,Y ) et rr(X ,Y ).
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Restriction aux scénarios extrêmesBornes inférieures et supérieures des regrets maximauxPLNE pour l'évaluation du regret maximal
PLNE pour l'évaluation du regret absolu maximal
Détermination simultanée de la durée optimale pour le regret et dela solution optimale du RCPSP
Variable ai ∈ {0, 1} de sélection de la durée minimale oumaximale
Variables de �ot continues φminij ∈ [0, ai ] et φmax
ij ∈ [0, 1− ai ]pour le calcul du plus long chemin dans G (V ,E ∪ X ).
Variables de dates de début Si pour le calcul de la solutionoptimale du RCPSP pour la durée p
Variables yi ,j ∈ {0, 1} pour le calcul de l'ordre strict optimalpour la durée p
Variables continues de �ots d'unités de ressource fijk pour lesconditions de �réalisabilité� de l'ordre strict
RCPSP multi-mode à fonction objectif composite (mais linéaire)
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Restriction aux scénarios extrêmesBornes inférieures et supérieures des regrets maximauxPLNE pour l'évaluation du regret maximal
Extrait du PLNE pour l'évaluation du regret absolu maximal
RA∗(X ) = max
∑
(i,j)∈E∪Xpmin
i φmin
ij + pmax
i φmax
ij
− Sn+1
sous les contraintes :∑
(i,j)∈E∪Xφmin
ij + φmax
ij =∑
(j,i)∈E∪Xφmin
ji + φmax
ji ∀i ∈ V \ {0, n + 1}
∑(0,j)∈E∪X
φmin
0j + φmax
0j =∑
(j,n+1)∈E∪Xφmin
j,n+1+ φmax
j,n+1= 1
∑(i,j)∈E∪X
φmax
ij ≤ ai ,∑
(i,j)∈E∪Xφmin
ij ≤ 1− ai ∀i ∈ V \ {0, n + 1}
φmin
ij , φmax
ij ≥ 0 ∀(i , j) ∈ E ∪ X
Sj ≥Si + (1− ai )pmin
i + aipmax
i −M(1− yij ) ∀(i , j) ∈ E
S0 = 0
ai ∈ {0, 1} ∀i ∈ V
a0 = an+1 = 0
Y ∈ XChristian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Formulation du AR-RCPSP par considération explicite desscénarios
La minimisation du plus grand regret absolu peut être formuléeen considérant explicitement tous les scénariosp1, . . . , ph, . . . , p|P| :
ρ∗ = min ρ
ρ ≥ Shn+1 − C∗max(ph) ∀ph ∈ P
Shj ≥ Shi + phi −M(1− xij ) ∀(i , j) ∈ V × V , i 6= j , ∀ph ∈ P
Shi ≥ 0 ∀i ∈ V , ∀ph ∈ PX ∈ X
La considération d'un sous ensemble de scenarios P̃ ⊆ Pconduit à une borne inférieure du plus grand regret minimal.
Nous proposons une méthode itérative pour la résolution duAR-RCPSP, basée sur la relaxation des scénarios, faisantprogressivement croître la borne inférieure.
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Un premier algorithme de relaxation des scenarios
1: Choisir un scénario p1 (par exemple pmin) et résoudre le RCPSP.P̃ ← {p1}. h← 1.
2: Résoudre le AR-RCPSP avec P̃ et obtenir une borne inférieure BI etun ordre strict X .
3: Si BI = BS alors Stop.4: Sinon Calculer le regret maximal de X en résolvant le RCPSP
multi-mode, mettre à jour la borne supérieure BS , récupérer lescénario ph+1 et le makespan optimal C∗
max(ph+1). h← h + 1.
5: Si BI = BS alors Stop.6: Sinon retour à l'étape 2.
Converge en au plus 2n itérations.(voir aussi Assavapokee et al. (COR 35(6), 2093-2102, 2008)) pour une approche
générale en optimisation robuste)
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Algorithme de relaxation des scenarios (variante)
1: Choisir un scénario p1 (par exemple pmin) et résoudre le RCPSP.P̃ ← {p1}. h← 1.
2: Résoudre le AR-RCPSP avec P̃ et obtenir une borne inférieure BI etun ordre strict X .
3: Si BI = BS alors Stop.4: Sinon chercher une solution du RCPSP multimode d'objectif plus
grand que BI , et récupérer le scénario de durée ph+1. h← h + 1.5: Si une solution a été trouvée, Calculer le makespan optimal
C∗max(p
h+1) et retour à l'étape 2.6: Sinon Stop.
Avantages : Le RCPSP multi-mode n'a pas a être résolu àl'optimalité (on cherche seulement un regret plus grand que laborne inférieure)Inconvénient : On doit résoudre un RCPSP à chaque itération.
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Expériences numériques
Deux exemples
i pmin
ipmax
ibi1 bi2 Γi
1 4 8 2 1 102 0 2 1 0 5, 63 0 2 3 1 74 1 3 2 0 85 2 4 1 1 96 4 6 2 1 107 4 8 3 0 −8 2 4 1 2 −9 1 3 1 2 1010 3 5 1 1 −bk 7 4
i pmin
ipmax
ibi1 bi2 bi3 bi4 Γi
1 1 3 10 10 5 5 7, 8, 92 1 3 10 2 3 8 5, 6, 73 1 4 5 9 2 8 4, 5, 64 6 8 3 2 10 10 85 1 3 4 6 10 8 66 1 3 1 7 2 1 87 8 10 10 8 8 2 −8 6 8 8 4 4 3 −9 6 8 4 2 3 2 −10 6 8 2 9 2 5 −bk 19 18 19 17
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Résultats
L'algorithme 1 résout l'exemple 1 en 9 itérations et 9,3secondes et l'exemple 2 en 7 itérations et 2801 secondes.
L'algotithme 2 résout l'exemple 1 en 9 itérations et 4,8secondes et l'exemple 2 en 13 itérations et 1843 secondes.
La variante proposée divise par deux le temps requis parl'algorithme inspiré d'Assavapokee et al.
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP
Plan de la présentationIntroduction
Evaluation du regret maximal d'un ordre strictRésolution du AR-RCPSP
Conclusion
Dé�nition du problème de RCPSP robuste basé sur lareprésentation des solutions par ordres stricts.
Résultats pour la résolution du problème de minimax regretpour le RCPSP avec durées incertaines : propriétés structurelleset amélioration d'approches d'optimisation robuste générales.
Vers une approche pratique en ordonnancement robuste...Améliorer les calculs de bornes inférieures et supérieures,utiliser des méthodes d'ordonnancement basées sur lescontraintes.
Nécessité de considérer des approches moins conservatives(Bertsimas et Sim, Math Prog, 2004, ...).
http ://robocoop.li.univ-tours.fr
Christian Artigues1 et Roel Leus2 Optimisation robuste pour le RCPSP