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Page 1: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Probabilidade e Estatística

Prof. Jefferson Heráclito

Curso de Engenharia Civil

Page 2: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Unidade II

Teoria das Probabilidades

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Introdução

Aleatoriedade

Experimento aleatório

Espaço amostral

Evento

Eventos mutuamente exclusivos

Probabilidade

Teoria das Probabilidades - Sumário

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Teoremas fundamentais

Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos

Teoria da contagem

Espaços amostrais finitos equiprováveis

Probabilidade condicional

Teorema do produto

Independência estatística

Teorema de Bayes

Teoria das Probabilidades - Sumário

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Introdução

Aleatoriedade

Experimento aleatório

Espaço amostral

Evento

Eventos mutuamente exclusivos

Probabilidade

Teoria das Probabilidades - Sumário

Page 6: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

2.1 Introdução

A estatística tem por objetivo obter, organizar e analisar dados

estatísticos, a fim de descrevê-los e explicá-los, além de

determinar possíveis correlações e nexos causais.

A estatística se utiliza das teorias probabilísticas para explicar a

freqüência da ocorrência de eventos, tanto em estudos

observacionais quanto experimentais.

Em outras palavras, a estatística procura modelar a aleatoriedade

e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previsão de

fenômenos futuros, conforme o caso.

Page 7: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Estudo dos fenômenos de observação: deve-se distinguir

o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o

explique, se determinístico ou probabilístico.

Modelo determinístico:

• Adotado para explicar fenômenos submissos às leis

sistemáticas.

• Baseia-se, portanto, num encadeamento em que a

relação causa-efeito pressupõe nexos definidos em

forma unívoca e imutável.

2.1 Introdução

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Modelo probabilístico:

• Adotado para explicar os fenômenos aleatórios, que

são aqueles cujos resultados, mesmo em condições

normais de experimentação, variam de uma

observação para outra, dificultando dessa maneira a

previsão de um resultado futuro.

• Portanto, esses fenômenos são insubmissos às leis

sistemáticas, pois são regidos ou influenciados pelo

acaso.

2.1 Introdução

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A estatística estuda os fenômenos aleatórios e o modelo

matemático será o cálculo das probabilidades.

Diante de um acontecimento aleatório é possível, às

vezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuição de

probabilidade.

2.1 Introdução

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Introdução

Aleatoriedade

Experimento aleatório

Espaço amostral

Evento

Eventos mutuamente exclusivos

Probabilidade

Teoria das Probabilidades - Sumário

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2.2 Aleatoriedade

Aleatoriedade ou acontecimento aleatório pode ser explicado

considerando-se as seguintes afirmações:

a- Se x + 8 = 3x – 4, então x = 6;

b- A próxima carta retirada de um baralho será um ás.

• A afirmação a pode ser confirmada ou negada de forma

conclusiva, utilizando-se elementos da matemática; é

uma afirmação categórica (verdadeira ou falsa).

• Na afirmativa b, entretanto, somente pode ser afirmado

que o fato é possível, mas que é possível, também, a

saída de qualquer uma das 52 cartas do baralho.

Page 12: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

No segundo caso somente a realização do experimento

permitirá estabelecer se a afirmação é falsa ou verdadeira;

trata-se de um acontecimento aleatório

Em geral, os acontecimentos aleatórios se caracterizam por

admitirem dois ou mais resultados possíveis, e não se tem

elementos de juízo suficientes para predizer qual deles

ocorrerá em um determinado experimento.

2.2 Aleatoriedade

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Introdução

Aleatoriedade

Experimento aleatório

Espaços amostral

Evento

Eventos mutuamente exclusivos

Probabilidade

Teoria das Probabilidades - Sumário

Page 14: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Definição:

• Um experimento que pode fornecer diferentes resultados,

muito embora seja repetido toda vez da mesma maneira, é

chamado de um Experimento Aleatório. (Montgomery e

Runger, 2013).

2.3 Experimento Aleatório

Page 15: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

2.3 Experimento Aleatório

Características:

Para que um experimento seja considerado aleatório é

necessário que apresente as seguintes características:

1. Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente

sob as mesmas condições;

2. Não se conhece, a priori, um particular valor do

experimento; entretanto, pode-se descrever todos os

possíveis resultados (as possibilidades);

Page 16: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Características:

3. Quando o experimento for repetido um grande número

de vezes, surgirá uma regularidade na apresentação dos

resultados, ou seja, ocorrerá uma estabilização da

fração freqüência relativa:

n

rf

onde: n é o número de repetições, e

r é o número de sucessos de um particular

resultado estabelecido antes da realização do

experimento.

2.3 Experimento Aleatório

Page 17: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Exemplos:

• Jogar um dado e observar o número mostrado na face

superior.

• Jogar uma moeda um certo número de vezes e observar o

número de coroas obtidas.

• Contar o número de peças defeituosas da produção diária

da máquina “A”.

2.3 Experimento Aleatório

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Introdução

Aleatoriedade

Experimento aleatório

Espaço amostral

Evento

Eventos mutuamente exclusivos

Probabilidade

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2.4 Espaço Amostral

Definição:

• Para cada experimento aleatório E, define-se espaço

amostral S como o conjunto de todos os possíveis

resultados desse experimento (Fonseca e Martins, 1996).

• O conjunto de todos os resultados possíveis de um

experimento aleatório é chamado de espaço amostral do

experimento. O espaço amostral é denotado por S.

(Montgomery e Runger, 2013).

Page 20: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

2.4 Espaço Amostral

- Exemplos:

i. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.

S = R+ ={x | x > 0}

ii. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.

S = {x | 10 < x < 11}

iii. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.

S = {baixa,média, alta}

iv. E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada.

S = {sim, não}

Page 21: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

2.4 Espaço Amostral

- Exemplos:

a) E: jogar um dado e observar o número na face superior.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) E: lançar duas moedas e observar o resultado.

S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa.

c) E: Fabricar um lâmpada, colocá-la em um suporte,

acendê-la e registrar o tempo de funcionamento até

fundir o filamento:

S = {t : t ≥ 0}

Page 22: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

- Exemplos:

d) E: Registrar a temperatura continuamente durante um

período de 24 horas em uma determinada localidade; as

temperaturas mínima e máxima são registradas:

S = {(x, y) : x ≤ y}, onde x é a temperatura mínima e y a

máxima

e) E: Admitir que a temperatura mínima nessa localidade não

poderá ser menor que um certo valor (m) e a temperatura

máxima não poderá ser superior a um certo valor (M).

S = {(x, y) : m ≤ x ≤ y ≤ M}

2.4 Espaço Amostral

Page 23: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

2.4 Espaço Amostral

Diagrama em forma de árvore:

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2.4 Espaço Amostral

Exercício 01:

Cada mensagem em um sistema digital de comunicação

será classificada dependendo de ela ser recebida dentro de

um tempo específico pelo projeto do sistema. Se três

mensagens forem classificadas, aplique o diagrama em

forma de árvore para representar o espaço amostral de

resultados possíveis.

Page 25: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

2.4 Espaço Amostral

Exercício 02:

Uma construtora fornece imóveis com alguns opcionais.

Cada imóvel é encomendado:

com ou sem garagem;

com ou sem ar-condicionado;

com uma das três escolhas de esquadrias;

com uma das quatro cores existentes.

Se o espaço amostral consistir no conjunto de todos os

tipos possíveis de imóveis, qual será o número de

resultados no espaço amostral?

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Aleatoriedade

Experimento aleatório

Espaço amostral

Evento

Eventos mutuamente exclusivos

Probabilidade

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Page 27: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

2.5 Evento

Definição:

• É um conjunto de resultados do experimento.

• Em analogia com os conjuntos, é um subconjunto de S.

Observação:

- Em particular, o espaço amostral, S, e o conjunto vazio,

, são eventos.

- S é dito o evento certo e o evento impossível.

Page 28: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

- Exemplo 1:

E: lançar o dado e observar o número da face superior.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos:

A: ocorrer número par: A = {2, 4, 6}

B: ocorrer número impar: B = {1, 3, 5}

C: ocorrer número múltiplo de 2 e 3: C = {6}.

2.5 Evento

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- Exemplo 2:

E: jogar três moedas e observar o resultado.

S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c),

(k, k, k), (k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)}

Eventos:

A: ocorrer pelo menos duas caras:

A = {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)}

B: ocorrer somente coroa: B = {(k, k, k)}.

2.5 Evento

Page 30: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Observações:

- Sendo S um espaço amostral finito com n elementos, pode-

se verificar que o número total de eventos extraídos de S é

dado por 2n;

- No exemplo 1 (lançamento do dado), o número total de

eventos é 26 = 64.

2.5 Evento

Page 31: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Observações:

- A partir do uso das operações com conjuntos, novos

eventos podem ser formados:

a) é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou

ambos ocorrem;

b) é o evento que ocorre se A e B ocorrem

simultaneamente;

c) ou A’ é o evento que ocorre se A não ocorre.

BA

BA

A

2.5 Evento

Page 32: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

- Exemplo:

E: lançar um dado e observar o resultado.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = ocorrer número múltiplo de 2: A = {2, 4, 6}

B = ocorrer número múltiplo de 3: B = {3, 6}

= {2, 3, 4, 6}

= {6}

= {1, 3, 5}

= {1, 2, 3, 4, 5}

BA

BA

A

BA

2.5 Evento

Page 33: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Introdução

Aleatoriedade

Experimento aleatório

Espaço amostral

Evento

Eventos mutuamente exclusivos

Probabilidade

Teoria das Probabilidades - Sumário

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2.6 Eventos Mutuamente exclusivos

Dois eventos A e B são denominados mutuamente

exclusivos se os mesmos não puderem ocorrer

simultaneamente, ou seja, BA

• Exemplo: E: lançar um dado e observar o resultado.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = ocorre número par – A = {2, 4, 6}

B = ocorrer número ímpar – B = {1, 3, 5}

;

logo, A e B são mutuamente exclusivos, pois a

ocorrência de um número que seja par e ímpar não

pode ser verificada como decorrência do mesmo evento.

BA

Page 35: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Introdução

Aleatoriedade

Experimento aleatório

Espaço amostral

Evento

Eventos mutuamente exclusivos

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Teoria das Probabilidades - Sumário

Page 36: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

2.7 Probabilidade

Definição:

- Dado um experimento aleatório E, sendo S o seu espaço

amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, P(A), é

uma função definida em S que associa a cada evento um

número real, satisfazendo os seguintes axiomas:

(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1;

(ii) P(S) = 1;

(iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos

, então )B(P)A(P)BA(P BA

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Teoremas fundamentais

Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos

Teoria da contagem

Espaços amostrais finitos equiprováveis

Probabilidade condicional

Teorema do produto

Independência estatística

Teorema de Bayes

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2.8 Teoremas Fundamentais

• T1: Se é o conjunto vazio, então .

• Demonstração:

- Seja A um evento qualquer, A e são disjuntos, pois

;

- De (iii), temos que ;

- Como , então ou

- Logo .

A

)()()( PAPAP

AA )(P)A(P)A(P

0)(P

0)(P

)A(P)A(P)(P

Page 39: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• T2: Se Ā é o complemento do evento A, então P(Ā) = 1 – P(A).

• Demonstração:

- Do diagrama, pode-se escrever .

- Como (são mutuamente exclusivos),

,

;

- De (ii) 1 = P(A) + P(Ā),

- Logo P(Ā) = 1 – P(A).

AAS

)A(P)A(P)AA(P

)A(P)A(P)S(P

S

AA

2.8 Teoremas Fundamentais

Page 40: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• T3: Se , então P(A) ≤ P(B).

• Demonstração:

- Do diagrama, pode-se escrever que .

- Como (são mutuamente exclusivos),

,

e

P(B) – P(A) ≥ 0, (de i), tem-se que

P(A) ≤ P(B).

)BA(AB

)BA(P)A(P)B(P

)A(P)B(P)BA(P

S

AB

)BA(A

BA

2.8 Teoremas Fundamentais

Page 41: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• T4: (Teorema da soma) Se A e B são dois eventos quaisquer,

então .

• Demonstração:

a) Se A e B são mutuamente exclusivos , recai-se no

axioma (iii);

)BA(

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

A

BBA

S

2.8 Teoremas Fundamentais

Page 42: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Demonstração:

b) Se A e B não são mutuamente exclusivos , tem-se:

- Os eventos A e são mutuamente exclusivos;

logo, pelo axioma (iii)

- Mas , B é a união dos eventos mutuamente exclusivos

e ;

- Logo,

)BA(

)BA(

)BA(P)A(P)BA(P)]BA(A[P

)AB( )AB(

).BA(P)BA(P)B(P A

BBA

S

2.8 Teoremas Fundamentais

Page 43: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Demonstração:

- Substituindo o valor de

na expressão anterior, tem-se:

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

)BA(P)B(P)BA(P

2.8 Teoremas Fundamentais

Page 44: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Teoremas Fundamentais

Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos

Teoria da contagem

Espaços amostrais finitos equiprováveis

Probabilidade condicional

Teorema do produto

Independência estatística

Teorema de Bayes

Teoria das Probabilidades - Sumário

Page 45: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Seja S um espaço amostral finito S = {a1, a2, ..., an}.

• Considere-se o evento formado por um resultado simples

A = {ai}.

• A cada evento simples {ai} associa-se um número pi

denominado probabilidade de {ai}, que satisfaz as condições:

a) pi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n

b) p1 + p2 + ...+ pn = 1

• A probabilidade de cada evento composto (mais de um

elemento) é definida, então, pela soma das probabilidades dos

pontos de A.

2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos

Page 46: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Exemplo: Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. Se A

tem duas vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem

duas vezes mais probabilidade de ganhar de C. a) Quais são as

probabilidades de cada um dos cavalos ganhar? b) Qual seria a

probabilidade de B ou C ganhar?

• Solução:

P(C) = p;

P(B) = 2.P(C) = 2p;

P(A) = 2.P(B) = 4p

Como P(A) + P(B) + P(C) = 1, então

4p + 2p + p = 1, de onde se obtém p = 1/7.

2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos

Page 47: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Solução (continuação):

• a) P(A) = 4/7; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7.

b)

Do axioma (iii):

= 2/7 + 1/7 = 3/7.

)C(P)B(P)CB(P

2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos

Page 48: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Teoremas fundamentais

Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos

Teoria da contagem

Espaços amostrais finitos equiprováveis

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Teorema do produto

Independência estatística

Teorema de Bayes

Teoria das Probabilidades - Sumário

Page 49: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• A Teoria da Contagem é utilizada quando a determinação de

resultados que compreende o espaço amostral (ou um evento)

se torna mais difícil.

• O diagrama em forma de árvore pode ser substituído pela

equação abaixo quando se objetiva encontrar o número total

de um espaço amostral:

𝑛1 𝑥 𝑛2 𝑥 …𝑥 𝑛𝑘

2.9.1 Teoria da Contagem

Page 50: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Outro cálculo útil é o número de sequências ordenadas dos

elementos de um conjunto, conhecida como permutação.

• Exemplo: Em um conjunto S={a, b, c} as prováveis

permutações de S seriam: abc, acb, bac, cab e cba.

• O número de permutações de subconjuntos de r elementos

selecionados de um conjunto de n elementos diferentes é:

𝑃𝑛,𝑟 = 𝑛 𝑥 𝑛 − 1 𝑥 𝑛 − 2 𝑥 …𝑥 𝑛 − 𝑟 + 1 =𝑛!

𝑛 − 𝑟 !

2.9.1 Teoria da Contagem

Page 51: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Exemplo: Um canteiro de obra tem oito localizações

diferentes para armazenamento de material. Se quatro

materiais diferentes chegaram à obra, quantas possibilidades

de armazenamento são possíveis?

𝑃8,4 = 8 𝑥 7 𝑥 6 𝑥 5 =8!

4!

𝑃8,4 = 1680 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑧𝑒𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜.

2.9.1 Teoria da Contagem

Page 52: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Podemos contar o número de subconjuntos de r elementos que

pode ser selecionado a partir de um conjunto de n elementos,

porém não importando a ordem. A resolução desse problema é

chamada combinação.

𝐶𝑛,𝑟 =𝑛!

𝑟! 𝑛 − 𝑟 !

• Exemplo: Um canteiro de obra tem oito localizações para

armazenamento de material. Se quatro materiais idênticos

chegaram à obra, quantas possibilidades de armazenamento

são possíveis?

𝐶8,4 =8!

4! 8 − 4 !=

8 𝑥 7 𝑥 6 𝑥 5 𝑥 4!

4 𝑥 3 𝑥 2 𝑥 1 𝑥 4!=

1680

24= 70

2.9.1 Teoria da Contagem

Page 53: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Teoremas fundamentais

Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos

Teoria da contagem

Espaços amostrais finitos equiprováveis

Probabilidade condicional

Teorema do produto

Independência estatística

Teorema de Bayes

Teoria das Probabilidades - Sumário

Page 54: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• O espaço amostral chama-se equiprovável quando à cada ponto

amostral desse espaço está associada a mesma probabilidade.

• Portanto, se S contém n pontos, então a probabilidade de cada

ponto será igual a 1/n.

• Se um evento A contém r pontos, então:

2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

n

1.r)A(P

Page 55: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Freqüentemente, este método de avaliar a probabilidade é

enunciado da seguinte forma:

)casosdetotalºn(NTC

)favoráveiscasosdeºn(NCF)A(P

ou

ocorreSamostralespaçooqueemvezesdeºn

ocorrerpodeAeventooqueemvezesdeºn)A(P

2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

Page 56: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Exemplo 1: Numa escolha aleatória de uma carta de baralho

com 52 cartas, qual a probabilidade de sair um rei? e uma carta

de copas?

• Solução: Seja A = {a carta é um rei} e B = {A carta é de copas}

4

1

52

13

cartasdetotalºn

copasdecartasdeºn)B(P

13

1

52

4

cartasdetotalºn

reisdeºn)A(P

2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

Page 57: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Na maioria dos casos, utiliza-se os conhecimentos de análise

combinatória (Teoria de Contagem) para se obter o número

de casos favoráveis e o número total de casos.

• Exemplo 2: De um lote de doze peças onde quatro são

defeituosas, retira-se duas peças. Calcular a probabilidade:

a) de ambas serem defeituosas;

b) de ambas não serem defeituosas;

c) de pelo menos uma ser defeituosa.

2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

Page 58: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Soluções:

a) A = {ambas são defeituosas}

11

1

66

6

NTC

NCF)A(P,Logo

vezes66!10.1.2

!10.11.12

)!212(!2

!12CocorrerpodeS

vezes6!2.1.2

!2.3.4

)!24(!2

!4CocorrerpodeA

2,12

2,4

2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

Page 59: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Soluções:

b) B = {ambas não são defeituosas}

33

14

66

28

NTC

NCF)B(P,Logo

vezes66!10.1.2

!10.11.12

)!212(!2

!12CocorrerpodeS

vezes28!6.1.2

!6.7.8

)!28(!2

!8CocorrerpodeB

2,12

2,8

2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

Page 60: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Soluções:

c) C = {pelo menos uma é defeituosa}

33

19

33

141)B(P1)C(P

BCouBdeocomplementoéC

2.10 Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis

Page 61: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Teoremas fundamentais

Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos

Espaços amostrais finitos equiprováveis

Probabilidade condicional

Teorema do produto

Independência estatística

Teorema de Bayes

Teoria das Probabilidades - Sumário

Page 62: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Considere o experimento aleatório E: lançar um dado e

observar o resultado, e o evento A = {sair o nº 3}. Então

P(A) = 1/6.

• Considere agora o evento B = {sair um nº ímpar} = {1, 3,5},

então P(B) = 1/2.

• A probabilidade de ocorrer o evento A condicionada à

ocorrência do evento B, representada por P(A/B), será

P(A/B) = 1/3.

2.11 Probabilidade Condicional

Page 63: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Com a informação da ocorrência do novo evento, reduz-se o

espaço amostral. No exemplo dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi

reduzido para S* = {1, 3, 5}, e é neste espaço reduzido que a

probabilidade do novo evento é avaliada.

• Definição: Se A e B são dois eventos, a probabilidade do

evento A ocorrer quando o evento B tiver ocorrido é

denominada probabilidade condicionada, P(A/B), dada por:

.ocorreujápois,0)B(P,)B(P

)BA(P)B/A(P

2.11 Probabilidade Condicional

Page 64: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Para o exemplo apresentado, tem-se:

3

1

21

61

)B(P

)BA(P)B/A(P

• No caso de aplicações mais complexas, é mais prático se

utilizar a seguinte fórmula:

)B(NCF

)BA(NCF

NTC)B(NCF

NTC)BA(NCF

)B(P

)BA(P)B/A(P

2.11 Probabilidade Condicional

Page 65: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Exemplo: No experimento do lançamento de dois dados,

considere os eventos: A = {(x1,x2)|(x1 + x2) = 10} e

B = {(x1,x2)| x1 > x2}, onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 o

resultado do dado 2. Avalie P(A), P(B) e P(B/A).

• Soluções:S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), A = {(6,4), (5,5), (4,6)}

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), B = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2),

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3),

(5,1), (5,2), (5,3). (5,4), (5,5), (5,6), (5,4), (6,4), (6,5)}

(6,1). (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A ∩ B = {(6,4)}

2.11 Probabilidade Condicional

Page 66: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Soluções:

.3

1

)A(NCF

)BA(NCF)A/B(P

;15

1

)B(NCF

)BA(NCF)B/A(P

;12

5

36

15

NTC

)B(NCF)B(P

;12

1

36

3

NTC

)A(NCF)A(P

2.11 Probabilidade Condicional

Page 67: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Teoremas fundamentais

Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos

Espaços amostrais finitos equiprováveis

Probabilidade condicional

Teorema do produto

Independência estatística

Teorema de Bayes

Teoria das Probabilidades - Sumário

Page 68: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• O Teorema do Produto pode ser enunciado a partir da

definição de probabilidade condicional, como:

“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos,

A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da

probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade

condicional do outro em relação ao primeiro”.

• Assim:

2.12 Teorema do Produto

)A/B(P).A(P)BA(P)A(P

)BA(P)A/B(P

)B/A(P).B(P)BA(P)B(P

)BA(P)B/A(P

Page 69: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Exemplo: Em um lote de peças contendo doze unidades

onde quatro são defeituosas, duas são retiradas, uma após a

outra, sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas

não sejam defeituosas?

• Solução: A = { a primeira peça retirada é boa}

B = {a segunda peça retirada é boa}

33

14

11

7

12

8)B/A(P).B(P)BA(P

2.12 Teorema do Produto

Page 70: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Teoremas fundamentais

Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos

Espaços amostrais finitos equiprováveis

Probabilidade condicional

Teorema do produto

Independência estatística

Teorema de Bayes

Teoria das Probabilidades - Sumário

Page 71: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Definição: Um evento A é considerado independente de um

outro evento, B, se a probabilidade de A é igual a probabilidade

de A condicionada a B, ou

2.13 Independência Estatística

)B/A(P)A(P

)A/B(P)B(P

Se A é independente de B, então B é independente de A;

logo:

- Do teorema do produto, pode-se afirmar que, se A e B são

independentes, então:

)B(P).A(P)BA(P

Page 72: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

- Dados n eventos A1, A2, ..., An, diz-se que eles são

independentes se o forem 2 a 2; 3 a 3, ..., n a n, isto é:

)A(P).A(P...).A(P).A(P).A(P)A...AA(P

)A(P).A(P).A(P)AAA(P

...;);A(P).A(P).A(P)AAA(P

)A(P).A(P)AA(P...;);A(P).A(P)AA(P

n1n321n21

n1n2nn1n2n

321321

n1nn1n2121

2.13 Independência Estatística

Page 73: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Exemplo 1: Uma caixa contém doze peças, sendo quatro

defeituosas; retira-se duas peças, uma após a outra, com

reposição. Calcular a probabilidade de ambas não possuírem

defeitos?

• Solução: A = {a primeira peça não possui defeito}

B = {a segunda peça não possui defeito}

- Como a primeira peça foi reposta, B não é condicionado por

A, ou seja, A e B são independentes; logo:

9

4

12

8

12

8)B(P).A(P)BA(P

2.13 Independência Estatística

Page 74: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Exemplo 2: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral

equiprovável, e A = {1, 2}, B = {1, 3} e C = {1, 4} eventos de

S, verificar se estes eventos são independentes.

• Solução: S = {1, 2, 3, 4};

A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4};

}1{CBA

};1{CB};1{CA};1{BA

2.13 Independência Estatística

Page 75: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Solução (continuação):

4

1)C(P).A(P)CA(P

:olog;4

1)CA(P;

2

1

4

2)C(P;

2

1)A(P:CeAPara

4

1)B(P).A(P)BA(P

:olog;4

1)BA(P;

2

1

4

2)B(P;

2

1

4

2)A(P:BeAPara

2.13 Independência Estatística

Page 76: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Solução (continuação):

8

1)C(P).B(P).A(P

4

1)CBA(P

:olog

;4

1)CBA(P;

2

1)C(P;

2

1)B(P;

2

1)A(P:CeB,APara

4

1)C(P).B(P)CB(P

:olog;4

1)CB(P;

2

1)C(P;

2

1)B(P:CeBPara

- Portanto, os eventos A, B e C não são independentes.

2.13 Independência Estatística

Page 77: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Teoremas fundamentais

Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos

Espaços amostrais finitos equiprováveis

Probabilidade condicional

Teorema do produto

Independência estatística

Teorema de Bayes

Teoria das Probabilidades - Sumário

Page 78: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Sejam A1, A2, A3, ..., An, n eventos mutuamente exclusivos,

tais que .

Sejam P(Ai) as probabilidades conhecidas dos vários eventos,

e B um evento qualquer de S, tal que são conhecidas todas as

probabilidades condicionais P(B/Ai).

Então, para cada i, tem-se:

que é o Teorema de Bayes.

SA...AAA n321

)A/B(P).A(P...)A/B(P).A(P)A/B(P).A(P

)A/B(P).A(P)B/A(P

nn2211

iii

2.14 Teorema de Bayes

Page 79: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Exemplo: Tem-se três urnas (u1, u2, u3), cada uma contendo

bolas pretas, brancas e vermelhas, nas quantidades mostradas

no quadro abaixo. De uma urna escolhida ao acaso retira-se

uma bola também ao acaso, verificando-se que a mesma é

branca. Qual a probabilidade da bola escolhida ter vindo da

urna 2? e da urna 3?

Cores / Urnas u1 u2 u3

P (preta)

B (branca)

V (vermelha)

3

1

5

4

3

2

2

3

3

2.14 Teorema de Bayes

Page 80: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

Solução:

;8

3)/(;

3

1

9

3)/(;

9

1)/(

;3

1)(;

3

1)(;

3

1)(

321

321

uBPuBPuBP

uPuPuP

Cores / Urnas u1 u2 u3

P (preta)

B (branca)

V (vermelha)

3

1

5

4

3

2

2

3

3

2.14 Teorema de Bayes

Page 81: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Solução (continuação):

)/().()/().()/().(

)/().()/(

332211

222

uBPuPuBPuPuBPuP

uBPuPBuP

2.14 Teorema de Bayes

59

24

8

3

3

1

3

1

3

1

9

1

3

13

1

3

1

Page 82: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

• Solução (continuação):

59

8)/(1)/()/()/(

59

27)/(

1321

3

BuPBuPBuPBuP

BuP

2.14 Teorema de Bayes

Page 83: Unidade II - Teoria Da Probabilidade

FIM


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